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排列组合概率统计

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1 高考数学140分专题讲解-排列组合、概率统计2013 张金星 2 3 排列组合难题二

十一种方法 排列组合问题联系实际生动有趣但题型多样思路灵活因此解决排列组

合问题首先要认真审题弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题其次要抓住问题的本质特征采用合理恰当的方法来处理。 教学目标 1.进一步理解和应

用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略能运用解题

策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思

想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理加法原理 完成一件事有n类

办法在第1类办法中有1m种不同的方法在第2类办法中有2m种不同的方法??在第n类办法中有nm种不同的方法那么完成这件事共有 12nNmmm 种不同的方法 2.分步

计数原理乘法原理 完成一件事需要分成n个步骤做第1步有1m种不同的方法做第2

步有2m种不同的方法??做第n步有nm种不同的方法那么完成这件事共有 12nNmmm

种不同的方法 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立任何

一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存每步中的方法完成事件的一个阶段不能完成整个事件 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认

真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事即采取分步还是分类或是分

步与分类同时进行确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题有序

还是组合无序问题元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题

往往类与步交叉因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由012345可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特

殊要求应该优先安排以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13C 然后

排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288CCA 练习

题:7种不同的花种在排成一列的花盆里若两种葵花不种在中间也不种在两端的花盆

里问有多少不同的种法 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 其中甲乙相邻且丙丁相邻 共有多少种不同的排法. 解可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复

合元素同时丙丁也看成一个复合元素再与其它元素进行排列同时对相邻元素内部进

行自排。由分步计数原理可得共有522522480AAA种不同的排法 C14A34C13 位置

分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法若以元素分析为

主需先安排特殊元素再处理其它元素.若以位置分析为主需先满足特殊位置的要求再处理其它位置。若有多个约束条件往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它

条件 4 乙甲丁丙 练习题:某人射击8枪命中4枪4枪命中恰好有3枪连在一起的情形

的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈2个相声3

个独唱舞蹈节目不能连续出场则节目的出场顺序有多少种 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A种第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A不同的方法由分步计数原理节目的不同顺序共有5456AA 种

练习题某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单开演前又增加了两个新节目.如

果将这两个新节目插入原节目单中且两个新节目不相邻那么不同插法的种数为 30

四.定序问题倍缩空位插入策略 例4.7人排队其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同

的排法 解:倍缩法对于某几个元素顺序一定的排列问题可先把这几个元素与其他元素一起进行排列然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数则共有不同排法种

数是7373/AA 空位法设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有▲yxabyfx种方

法其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法则共有▲xya标准正态分布曲线S阴0.5Sa0.5SS种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗 插入法先排甲乙丙三个人共有1

种排法再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等排成前后排每

排5人要求从左至右身高逐渐增加共有多少排法 510C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把

第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此

类推由分步计数原理共有67种不同的排法 练习题 1 某班新年联欢会原定的5个节

目已排成节目单开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中那

么不同插法的种数为 42 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人他们到各自的一层下电梯下电梯的方法87 六.环排问题线排策略 例6. 8人围桌而坐共有多少种坐法 解

围桌而坐与坐成一排的不同点在于坐成圆形没有首尾之分所以固定一人44A并从此

位置把圆形展成直线其余7人共有8-1种排法即7 要求某几个元素必须排在一起的问

题可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素再与其它元素一

起作排列同时要注意合并元素内部也必须排列. 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端 定序问题可以用倍缩法还可转化

为占位插 空模型处理 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象元素不受位

置的约束可以逐一安排各个元素的位置一般地n不同的元素没有限制地安排在m个

位置上的排列数为nm种 5 HFDCAABCDEABEGHGF 练习题6颗颜色不同的钻石

可穿成几种钻石圈 120 七.多排问题直排策略 例7.8人排成前后两排每排4人其中甲乙在前排丙在后排共有多少排法 解:8人排前后两排相当于8人坐8把椅子可以把椅

子排成一排.个特殊元素有24A种再排后4个位置上的特殊元素丙有14A种其余的5人

在5个位置上任意排列有55A种则共有215445AAA种 前 排后 排 练习题有两排座

位前排11个座位后排12个座位现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐并且这2人不左右相邻那么不同排法的种数是 346 八.排列组合混合问题先选后排策略 例8.有5个不同的小球装入4个不同的盒内每盒至少装一个球共有多少不同的装法. 解:

第一步从5个球中选出2个组成复合元共有25C种方法.再把4个元素包含一个复合元

素装入4个不同的盒内有44A种方法根据分步计数原理装球的方法共有2454CA 练

习题一个班有6名战士其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务每人完

成一种任务且正副班长有且只有1人参加则不同的选法有 192 种 九.小集团问题先整体后局部策略 例9.用12345组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1在

两个奇数之间这样的五位数有多少个 解把当作一个小集团与排队共有22A种排法

再排小集团内部共有2222AA种排法由分步计数原理共有222222AAA种排法. 15243

练习题 .计划展出10幅不同的画其中1幅水彩画幅油画幅国画 排成一行陈列要求同

一 品种的必须连在一起并且水彩画不在两端那么共有陈列方式的种数为254254AAA 2. 5男生和女生站成一排照像男生相邻女生也相邻的排法有

255255AAA种 一般地n个不同元素作圆形排列共有n-1种排法.如果从n个不同元素

中取出m个元素作圆形排列共有1mnAn 一般地元素分成多排的排列问题可归结为

一排考虑再分段研究. 解决排列组合混合问题先选后排是最基本的指导思想.此法与

相邻元素捆绑策略相似吗 小集团排列问题中先整体后局部再结合其它策略进行处理。 6 十.元素相同问题隔板策略 例10.有10个运动员名额分给7个班每班至少一个

有多少种分配方案 解因为10个名额没有差别把它们排成一排。相邻名额之间形成个

空隙。在个空档中选个位置插个隔板可把名额分成份对应地分给个班级每一种插板方法对应一种分法共有69C种分法。 一班二班三班四班五班六班七班 练习题 1 10

个相同的球装5个盒中每盒至少一有多少装法 49C 2 .100xyzw求这个方程组的自然

数解的组数 3103C 十一.正难则反总体淘汰策略 例11.从0123456789这十个数字中取出三个数使其和为不小于10的偶数不同的 取法有多少种 解这问题中如果直接求

不小于10的偶数很困难可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇数所取的三

个数含有3个偶数的取法有35C只含有1个偶数的取法有1255CC和为偶数的取法共

有123555CCC。再淘汰和小于10的偶数共9种符合条件的取法共有1235559CCC 练

习题我们班里有43位同学从中任抽5人正、副班长、团支部书记至少有一人在内的 抽法有多少种 十二.平均分组问题除法策略 例12. 6本不同的书平均分成3堆每堆2本

共有多少分法 解: 分三步取书得222642CCC种方法但这里出现重复计数的现象不

妨记6本书为ABCDEF若第一步取AB第二步取CD第三步取EF该分法记为ABCDEF

则222642CCC中还有ABEFCDCDABEFCDEFABEFCDABEFABCD共有33A种取法

而这些分法仅是ABCDEF一种分法故共有22236423/CCCA种分法。 练习题 1 将13个球队分成3组一组5个队其它两组4个队 有多少分法544213842/CCCA 2.10名学生

分成3组其中一组4人 另两组3人但正副班长不能分在同一组有多少种不同的 分组

方法 1540 3.某校高二年级共有六个班级现从外地转 入4名学生要安排到该年级的

两个班级且每班安 排2名则不同的安排方案种数为______22224262/90CCAA 十三.

合理分类与分步策略 将n个相同的元素分成m份nm为正整数每份至少一个元素可以用m-1块隔板插入n个元素排成一排的n-1个空隙中所有分法数为11mnC 有些排列

组合问题正面直接考虑比较复杂而它的反面往往比较简捷可以先求出它的反面再从

整体中淘汰. 平均分成的组不管它们的顺序如何都是一种情况所以分组后要一定要

除以nnAn为均分的组数避免重复计数。 7 例13.在一次演唱会上共10名演员其中8

人能能唱歌5人会跳舞现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目有多少选派方法 解10演员中有5人只会唱歌2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究 只

会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有2233CC种只会唱的5人中只有1人选上唱歌人

员112534CCC种只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有2255CC种由分类计数原理

共有 22112223353455CCCCCCC种。 练习题 1.从4名男生和3名女生中选出4人参加

某个座 谈会若这4人中必须既有男生又有女生则不同的选法共有34 2. 3成人2小孩乘船游玩1号船最多乘3人 2号船最多乘2人3号船只能乘1人他们任选2只船或3只船

但小孩不能单独乘一只船 这3人共有多少乘船方法. 27 本题还有如下分类标准 以3

个全能演员是否选上唱歌人员为标准 以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 以

只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果 十四.构造模型策略

例14. 马路上有编号为123456789的九只路灯现要关掉其中的3盏但不能关掉相邻的2盏或3盏也不能关掉两端的2盏求满足条件的关灯方法有多少种 解把此问题当作一

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附加题-排列组合、概率统计(2)

附加题-排列组合、概率统计(2)

黄天浩教案 让学习成为一种习惯！

第 1 页 共 7 页 教学目标：掌握概率统计问题的算法。

教学重点：离散型随机变量的分布列，准确运用期望和方差公式，条件概率及相对独立事件、理解n次独立重复实验的模型。

教学难点：条件概率及相对独立事件的概率求法，期望与方差公式运用。

教学过程：

一、排列、组合、二项式定理

1、排列数公式:Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=错误！未找到引用源。，!nnAn.

组合数公式：Cnm=错误！未找到引用源。，01nnnCC.

组合数性质：mnmnnCC；

2、二项式定理：

掌握二项展开式的通项：1(0,1,2,...,)rnrrrnTCabrn；

例1．已知)(321NnAAAAannnnnn，当n≥2时，求证：

⑴naann11；⑵12311111(1)(1)(1)(1)3naaaan≤

（1）因为)2(A)]!1()1[()!1()!(!A11nknknnnknnknkn，

所以当2n时，nnan1)AAA(21nnnn=)]AA([11111nnnnnnn

111111)AA(1nnnna. 所以naann11．

（2）由（1）得1111nnnnnaaaa，即1111nnnnaaa，

所以3241231231111(1)(1)(1)(1)234naaaaaaaaaa…nnana)1(1

11(1)!(1)!nann)AAA(112111nnnn)!1(1!1nn…1112!1!

高中数学中的排列组合与概率统计

高中数学中的排列组合与概率统计

高中数学中的排列组合与概率统计

高中数学是我们学习的重要学科之一，其中排列组合与概率统计是数学中的两个重要概念。它们在数学中的应用广泛，不仅帮助我们解决实际问题，还培养了我们的逻辑思维和分析能力。

一、排列组合

排列组合是数学中的一种方法，用于计算一组对象的不同排列或组合的数量。在排列中，对象的顺序是重要的，而在组合中，对象的顺序是不重要的。

排列的计算方法可以通过以下例子来理解。假设有3个球，分别是红球、蓝球和绿球，现在要将这3个球放在一个篮子里。那么，一共有多少种不同的排列方式呢？

首先，我们可以将红球放在篮子的第一个位置，然后将蓝球放在第二个位置，最后将绿球放在第三个位置。这样的排列方式是一种情况。同样的，我们可以将红球放在第一个位置，绿球放在第二个位置，蓝球放在第三个位置，这样的排列方式也是一种情况。根据这个思路，我们可以得出结论，一共有3个球，所以一共有3!（3的阶乘）种不同的排列方式。

组合的计算方法则是通过以下例子来理解。假设有5个人，我们要从中选出3个人组成一个小组。那么，一共有多少种不同的组合方式呢？

首先，我们可以从5个人中选出一个人作为小组的第一个成员，然后从剩下的4个人中选出一个人作为第二个成员，最后从剩下的3个人中选出一个人作为第三个成员。这样的组合方式是一种情况。同样的，我们可以从5个人中选出一个人作为第一个成员，从剩下的4个人中选出一个人作为第二个成员，从剩下的3个人中选出一个人作为第三个成员，这样的组合方式也是一种情况。根据这个思路，我们可以得出结论，一共有5个人，我们要选出3个人，所以一共有5C3（5的组合数）种不同的组合方式。 二、概率统计

概率统计是研究随机事件发生的可能性的一门学科。它可以帮助我们预测事件发生的概率，并根据概率进行决策和分析。

概率的计算方法可以通过以下例子来理解。假设有一个装有10个红球和10个蓝球的箱子，现在我们从中随机抽取一个球。那么，抽到红球的概率是多少呢？

高考排列组合及概率

高考排列组合及概率

排列组合

（2013•福建）满足a，b∈{-1，0，1，2}，且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为（ ）

A.14 B.13 C.12 D.10

（2013•四川）从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a-lg b的不同值的个数是（

）

A.9 B. 10 C.18 D.20

（2013•山东）用0，1，2，„，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ）

A.243 B.252 C.261 D.279

（2013•重庆）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是_____________.

（2013•北京）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________________.

（2013•浙江）将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有_______________种（用数字作答）.

（2012•辽宁）一排9个座位坐了3个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为

A．3×3! B．3×（3!）3 C．（3!）4 D．9!

（2012•山东）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（ ）

高考数学常用二级结论：排列组合概率统计、复数、导数(收藏)

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一、排列组合二项式定理概率与统计

42.二项式系数恒等式:

nnnrnnnnCCCCC2210

13502412nnnnnnnnnCCCCCCCC奇偶

43.组合数性质

mnmnnCC,11mmmnnnCCC,1121rnrnrrrrrrCCCCC,11kknnkCnC.

44.线性回归方程yabx必过定点(,)xy,其中11niixxn,11niiyyn.

45.方差与标准差

(1)一组数据123,,,,nxxxx,他们的方差为

123111()nniixxxxxxnn

222222123n111[(x)(x) (x)(x)]()niiSxxxxxxnn－－－－－,标准差为211()niixxn－.

(2)两组数据123,,,,nxxxx与123,,,,nyyyy,其中iyaxb,1,2,3,,in.则yaxb,它们的方差为222yxSaS,标准差为||yxa

46.具有线性关系的随机变量的数学期望与方差有以下关系式:

(1)()()EabaEb；

(2)2()()VabaV.

47.二项分布:(,)XBnp的数学期望与方差公式:

(1)()EXnp；

(2)()(1)VXnpp.

二、复数

48.复数模的等式与不等式:

(1)22221212122zzzzzz；

(2)121212zzzzzz

49.复数的几何意义及应用:复平面上:

(1)0zzr(0)r表示圆心为0z半径为r的圆；

(2)0zzr(0)r表示圆心为0z半径为r的圆面；

(3)222zzzza12(20)azz,表示以12,zz为焦点的椭圆.