题型六新定义阅读理解题

题型六 新定义阅读理解题

1. (2016B卷)我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q(p，q是正整数，且p≤q)，在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F(n)＝pq.例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1＞6－2＞4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)＝34.

(1)如果一个正整数a是另外—个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F(m)＝1；

(2)如果一个两位正整数t，t＝10x＋y(1≤x≤y≤9，x，y是自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18.那么我们称这个数t为“吉祥数”．求所有“吉祥数”中F(t)的最大值．

2. (2017A卷)对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F(n)．例如n＝123.对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213 ＋321＋132 ＝666，666÷111＝6，所以，F(123) ＝6.

(1)计算：F(243)，F(617)；

(2)若s，t都是“相异数”，其中s＝100x＋32，t＝150＋y(1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数)，规定：k＝F（s）F（t）.当F(s)＋F(t)＝18时，求k的最大值．

3. (2015A卷)如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”．再如22，545，3883 ，345543，…，都是“和谐数”．

(1)请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由；

(2)已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字为x(1≤x≤4，x为自然数)，十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．

4. (2017)阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于－1，记为i2＝－1，这个数i叫做虚数单位，把形如a＋bi(a，b为实数)的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．

例如计算：(2－i)＋(5＋3i)＝(2＋5)＋(－1＋3)i＝7＋2i；

(1＋i)×(2－i)＝1×2－i＋2×i－i2＝2＋(－1＋2)i＋1＝3＋i；

根据以上信息，完成下列问题：

(1)填空：i3＝________，i4＝________；

(2)计算：(1＋i)×(3－4i)；

(3)计算：i＋i2＋i3＋…＋i2017.

5. (2018原创)若整数m是8的倍数，那么称整数m为“发达数”．例如，因为16是8的倍数，所以16是“发达数”．

(1)已知整数m等于某个奇数的平方减1，求证：m是“发达数”．

(2)已知两位正整数t＝10x＋y(1≤x≤y≤9，其中x，y为自然数)，交换其个位上的数字和十位上的数字得到新数s，如果s加上t的和是“发达数”，求所有符合条件的两位正整数t.

6. (2017南开模拟)若将自然数中能被3整除的数，在数轴上的对应点称为“3倍点”，取任意的一个“3倍点”P，到点P距离为1的点所对应的数分别记为a，b.定义：若数K＝a2＋b2－ab，则称数K为“尼尔数”．例如：若P所表示的数为3，则a＝2，b＝4，那么K＝22＋42－2×4＝12；若P所表示的数为12，则a＝11，b＝13，那么K＝132＋112－13×11＝147，所以12，147是“尼尔数”．

(1)请直接判断6和39是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被9除余3；

(2)已知两个“尼尔数”的差是189，求这两个“尼尔数”．

7. (2017一外一模)若一个三位数t＝abc(其中a，b，c不全相等且都不为0)，重新排列各数位上的数字必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫作原数的差数，记为T(t)．例如，357的差数T(357)＝753－357＝396.

(1)已知一个三位数a1b(其中a＞b＞1)的差数T(a1b)＝792，且各数位上的数字之和为一个完全平方数，求这个三位数．

(2)若一个三位数ab2(其中a、b都不为0)能被4整除，将个位上的数字移到百位得到一个新数2ab被4除余1，再将新数的个位数字移到百位得到另一个新数b2a被4除余2，则称原数为4的“闺蜜数”．例如：因为612＝4×153，261＝4×65＋1，126＝4×31＋2，所以612是4的一个闺蜜数．求所有小于500的4的“闺蜜数”t，并求T(t)的最大值．

8. (2017八中一模)一个三位正整数M，其各位数字均不为零且互不相等，若将M的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为M的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”；若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如：123的“团结数”为12＋13＋21＋23＋31＋32＝132.

(1)求证：M与其“友谊数”的差能被15整除；

(2)若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a、个位数字为b，且各位数字互不相等(a≠0, b≠0)．若N的“团结数”与N之差为24，求N的值．

9. (2017大渡口区模拟)我们知道：一个整数的个位数是偶数，则它一定能被2整除；一个整数的各位数字之和能被3整除，则它一定能被3整除．若一个整数既能被2整除又能被3整除，那么这个整数一定能被6整除．数字6象征顺利、吉祥，我们规定，能被6整除的四位正整数abcd(千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d)是“吉祥数”．请解答下面几个问题：

(1)已知785x是“吉祥数”，则x＝________.

(2)若正整数abcd是“吉祥数”，试说明：d＋4(a＋b＋c)能被2整除．

(3)小明完成第(2)问后认为：四位正整数abcd是“吉祥数”，那么d＋4(a＋b＋c)也能被6整除．你认为他说得对吗？请说明理由．

10. —个正整数，由N个数字组成，若它的第一位数可以被1整除，它的前两位数可以被2整除，前三位数可以被3整除，…，一直到前N位数可以被N整除，则这样的数叫做“精巧数”．如：123的第—位“1”可以被1整除，前两位数“12”可以被2整除，“123”可以被3整除，则123是一个“精巧数”．

(1)若四位数123k是一个“精巧数”，求k的值；

(2)若一个三位“精巧数”2ab各位数字之和为—个完全平方数，请求出所有满足条件的三位“精巧数”．

11. (2017巴蜀模拟)阅读材料：

欢喜数——若一个四位数的前2位数是后2位数的2倍，则称该数为“欢喜数”，如1005、2211等都是欢喜数；半和数——一个数，若各个数位上的数字之和等于十位上的数字的2倍，则称该数为“半和数”，如132等都是半和数；平方差数——一个三位数字，若十位上数字等于百位数字与个位数字的平方差，则称该数为“平方差数”．

根据上面的材料，回答下列问题：

(1)证明所有的三位“半和数”均能被11整除； (2)若一个四位正整数abbc是欢喜数，bmc既是半和数又是平方差数，求m的值．

12. 一个三位自然数m，将它任意两个数位上的数字对调后得一个首位不为0的新三位自然数m′(m′可以与m相同)，记m′＝abc，在m′所有的可能情况中，当|a＋2b－c|最小时，我们称此时的m′是m的“幸福美满数”，并规定K(m)＝a2＋2b2－c2.例如：318按上述方法可得新数有：381、813、138；因为|3＋2×8－1|＝18，|8＋2×1－3|＝7，|1＋2×3－8|＝1，1＜7＜18，所以138是318的“幸福美满数”，K(318)＝12＋2×32－82＝－45.

(1)若三位自然数t的百位上的数字与十位上的数字都为n(1≤n≤9，n为自然数)，个位上的数字为0，求证：K(t)＝0；

(2)设三位自然数s＝100＋10x＋y(1≤x≤9，1≤y≤9，x，y为自然数)，且x＜y.交换其个位与十位上的数字得到新数s′，若19s＋8s′＝3888，那么我们称s为“梦想成真数”，求所有“梦想成真数”中K(s)的最大值．

13. (2018原创)如果一个自然数从高位到个位是由一个数字或几个数字重复出现组成，那么我们把这样的自然数叫循环数，被重复的一个或几个数字称为“循环节”，我们把“循环节”的数字个数叫做循环数的阶数，例如：252525，它由“25”依次重复出现组成，所以252525是循环数．它是2阶6位循环数；再如：11是1阶2位循环数，789789789是3阶9位循环数，6是4阶12位循环数….

(1)请你直接写出3个2阶6位循环数，猜想任意一个2阶6位循环数能否被7整除，并说明理由；

(2)已知一个能被13整除的2阶4位循环数，设循环节为xy，(0

14. (2018原创)若一个三位数，其个位数加上十位数等于百位数，可表示为t＝100(x＋y)＋10y＋x，则称实数t为“加成数”．将t的百位作为个位，个位作为十位，十位作为百位，组成一个新的三位数h，规定q＝t－h，f(m)＝q9.例如：321是一个“加成数”，将其百位作为个位，个位作为十位，十位作为百位，得