中考数学必考几何模型：手拉手模型
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1 手拉手模型
模型手拉手
如图，△ABC
是等腰三角形、是等腰三角形、△△ADE
是等腰三角形，AB
＝AC
，AD
＝AE
，∠BAC
＝∠DAE
＝．
结论：连接BD
、CE
，则有△BAD
≌△CAE
．
模型分析
如图①，
∠BAD
＝∠BAC
－∠DAC
，∠CAE
＝∠DAE
－∠DAC
．
∵∠BAC
＝∠DAE
＝
，
∴∠BAD
＝∠CAE
．
在△BAD
和△CAE
中，
ABAC
BADCAE
ADAE
﹐
﹐
﹐
图②、图③同理可证．
（
1）这个图形是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存
在一对全等三角形．
（
2）如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有
公共顶点，类似大手拉着小手，所以把这个模型称为手拉手模型．
（
3）手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现．
模型实例
例
1如图，△ADC
与△EDG
都为等腰直角三角形，连接AG
、CE
，相交于点H
，问：
（
1）AG
与CE
是否相等？
（
2）AG
与CE
之间的夹角为多少度？CDEA
B
图①CDEA
B
图②CDE
A
B图③
C
D
EG
H
AO
2
解答：
（
1）AG
＝CE
．理由如下：．理由如下：
∵∠ADG
＝∠ADC
＋∠CDG
，∠CDE
＝∠GDE
＋∠CDG
，∠ADC
＝∠EDG
＝
90°，
∴∠ADG
＝∠CDE
．
在△ADG
和△CDE
中，中，
ADCD
ADGCDE
DGDE
﹐
﹐
﹐
∴△ADE
≌△CDE
．
∴AG
＝CE
．
（
2）∵△ADG
≌△CDE
，
∴∠DAG
＝∠DCE
．
∵∠COH
＝∠AOD
，
∴∠CHA
＝∠ADC
＝
90°．
∴AG
与CE
之间的夹角是
90°．
例
2 如图，在直线AB
的同一侧作△ABD
和△BCE
，△ABD
和△BCE
都是等边三角形，连接
AE
、CD
，二者交点为H
．
求证：（
1）△ABE
≌△DBC
；
（
2）AE
＝DQ
；
（
3）∠DHA
＝
60°；
（
4）△AGB
≌△DFB
；
（
5）△EGB
≌△CFB
；
（
6）连接GF
，GF
∥AC
；
（
7）连接HB
，HB
平分∠AHC
．
证明：（
1）∠ABE
＝
120°，∠CBD
＝
120°，
在△ABE
和△DBC
中，中，
BABD
ABEDBC
BEBC
﹐
﹐
﹐
∴△ABE
≌△DBC
．
（
2）∵△ABE
≌△DBC
，
∴AE
＝DC
．
（
3）△ABE
≌△DBC
，
∴∠
1＝∠
2．
∴∠DGH
＝∠AGB
． CD
E
F
GH
A
B
3
∴∠DHA
＝∠
4＝
60°．
（
4）∵∠
5＝
180°－∠
4－∠CBE
＝
60°，
∴∠
4＝∠
5．
∵△ABE
≌△DBC
，
∴∠
1＝∠
2．
又∵AB
＝DB
，
∴△AGB
≌△DFB
（ASA
）．
（
5）同（
4）可证△EGB
≌△CFB
（
ASA）．
（
6）如图①所示，连接GF
．
由（
4）得，△AGB
≌△DFB
．
∴BG
＝BF
．
又∵∠
5＝
60°，
∴△BGF
是等边三角形．是等边三角形．
∴∠
3＝
60°．
∴∠
3＝∠
4．
∴GF
∥AC
．
（
7）如图②所示，过点B
作BM
⊥DC
于M
，过点B
作BN
⊥AE
于点N
．
∵△ABE
≌△DBC
，
∴S△
ABE＝S△
DBC．
∴1
2×AE
×
BN
＝1
2×CD
×BM
．
∵AE
＝CD
，
∴BM
＝BN
．
∵点B
在∠AHC
的平分线上．的平分线上．
∴HB
平分∠AHC
．
跟踪练习：
1． 在△ABC
中，AB
＝CB
，∠ABC
＝
90°，F
为AB
延长线上一点，点E
在BC
上，且AE
＝CF
．
（
1）求证：BE
＝BF
；
（
2）若∠CAE
＝
30°，求∠ACF
度数．度数．
答案：
（
1）证明：∠ABC
＝
90°．
在
Rt△ABE
和
Rt△CBF
中，
中， CD
E
F
GH
A
B5
12
3
4
图①
CD
E
H
A
BNM
图②
CE
FAB
4
CFAE
ABCB
﹐
﹐
∴
Rt△ABE
≌
Rt△CBF
（HL
）．
∴BE
＝BF
．
（
2）∵AB
＝CB
，∠ABC
＝
90°，
∴∠BAC
＝∠BCA
＝
45°．
∴∠CAE
＝
30°．
∴∠BAE
＝
45°－
30°＝
15°．
∵
Rt△ABE
≌
Rt△CBF
，
∴∠BCF
＝∠BAE
＝
15°．
∴∠ACF
＝∠BCF
＋∠BCA
＝
15°＋
45°＝
60°．
2．如图，△ABD
与△BCE
都为等边三角形，连接AE
与CD
，延长AE
交CD
于点H
．
求证：（
1）AE
＝DC
；
（
2）∠AHD
＝
60°；
（
3）连接HB
，HB
平分∠AHC
．
答案：
（
1）∵∠ABE
＝∠ABD
－∠EBD
，∠DBC
＝∠EBC
－∠EBD
，∠ABD
＝∠EBC
＝
60°，
∴∠ABE
＝∠DBC
．
在△ABE
和△DBC
中，中，
ABDB
ABEDBC
BEBC
﹐
﹐
﹐
∴△ABE
≌△DBC
．
∴AE
＝DC
．
（
2）∵△ABE
≌△DBC
，
∴∠EAB
＝∠CDB
．
又∵∠OAB
＋∠OBA
＝∠ODH
＋∠OHD
，
∴∠AHD
＝∠ABD
＝
60°．
（
3）过B
作AH
、DC
的垂线，垂足分别为点M
、N
．
∵△ABE
≌△DBC
， CD
EH
AB
