D8_5隐函数求导

- 1 - 隐函数求导法

一、隐函数求导法

1、原理及注意事项。隐函数的导数在隐函数为连续型或可微型的情况下才能进行讨论。隐函数在有限区间[0， +infty)上连续或可微时可采用“隐函数求导”的方法来推断其导数，即由隐函数的表达式通过隐函数求导公式，求出其导数值。注意：隐函数为分段函数时不能采用此方法。 2、例题

7。已知f(x)在[-infty， 0]上连续， f(x)=-f(x+3/2)， x∈[0， -infty)。 f(x)=-1，求导数f'(x)=-2*3/2-1*3/2=3/2。

f'(x)=-6*3/2=18/2

4、解题方法： ①如果对方程求导，得到f(x)与f'(x)，那么，我们可以直接求出f'(x)，再利用“一般的导数求导公式”就能求出f(x)。 ②如果对方程求导，得到f'(x)与f''(x)，那么，我们也可以先求出f''(x)，再利用“一般的导数求导公式”求出f'(x)。 3、注意事项：隐函数求导不仅适用于连续和可微两种情形，而且可以在处处不等价的情形中运用。对于处处不等价的情形要注意“极限的思想”。二、分段函数的导数

1、原理及注意事项。在研究分段函数时，有些函数(如正弦、余弦函数)的导数也可用“隐函数求导”的方法来求，这是因为有些分段函数虽然各段不等，但导数仍满足一定的条件。在此介绍几个典型的例子。

这种做法是直接利用一般的导数求导公式求出隐函数，同时求出 - 2 - 一般的导数。隐函数的导数也称为隐函数的“因式分解”。 2、例题3、解题方法： ①如果对方程求导，得到f'(x)与f''(x)，那么，我们可以直接求出f''(x)，再利用“一般的导数求导公式”就能求出f'(x)。 ②如果对方程求导，得到f''(x)与f''(x)，那么，我们也可以先求出f''(x)，再利用“一般的导数求导公式”求出f'(x)。三、单调性判别法

§8 5 隐函数的求导公式

课 题：§8.5隐函数的求导公式

教学目的：通过学习，使学生掌握隐函数的求导公式

教学重点：一个方程的情形隐函数的求导公式

教学难点：方程组的情形隐函数的求导公式

教学过程：

一、一个方程的情形

隐函数存在定理1

设函数F(x y)在点P(x0 y0)的某一邻域内具有连续偏导数 F(x0 y0)0 Fy(x0

y0)0 则方程F(x y)0在点(x0 y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数yf(x) 它满足条件y0f(x0) 并有

yxFFdxdy  求导公式证明 将yf(x)代入F(x y)0 得恒等式

F(x f(x))0

等式两边对x求导得

0dxdyyFxF

由于F y连续 且Fy(x0 y0)0 所以存在(x0 y0)的一个邻域 在这个邻域同Fy 0 于是得

yxFFdxdy

例1 验证方程x2y210在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x) 并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值

解 设F(x y)x2y21 则Fx2x Fy2y F(0 1)0 Fy(0 1)20 因此由定理1可知 方程x2y210在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x)

yxFFdxdyyx 00xdxdy 332222221)(yyxyyyxxyyyxydxyd

1022xdxyd

隐函数存在定理还可以推广到多元函数 一个二元方程F(x y)0可以确定一个一元隐函数 一个三元方程F(x y z)0可以确定一个二元隐函数

隐函数的求导公式

首先，我们假设存在一个方程f(x,y)=0，其中y是x的函数，即y=g(x)。我们希望求解函数g(x)的导数。为了实现这一目标，我们需要对方程两边同时对x求导。

首先，我们对方程f(x,y)=0两边对x求导，得到：

∂f/∂x + ∂f/∂y * dy/dx = 0

在这个方程中，∂f/∂x 是 f(x, y) 对 x 的偏导数，∂f/∂y 是 f(x, y)

对 y 的偏导数，dy/dx 是 y 对 x 的导数，也就是 g'(x)。

然后，我们将其整理成关于g'(x)的方程：

dy/dx = - (∂f/∂x) / (∂f/∂y)

最终，我们得到了隐函数的求导公式，即：

g'(x)=-(∂f/∂x)/(∂f/∂y)

这个公式告诉我们，要求隐函数的导数，只需对方程中的偏导数进行求解并代入到公式中即可。

我们来看几个求解隐函数导数的例子。

例子1：求解方程x^2+y^2=1的导数。

首先，我们对方程两边求导，得到：

2x + 2y * dy/dx = 0

然后，我们整理得到：

dy/dx = -2x / 2y = -x / y 所以，方程 x^2 + y^2 = 1 的导数为 dy/dx = -x / y。

例子2：求解方程x^2+y^2-x*y=0的导数。

首先，我们对方程两边求偏导数，得到：

2x - y - x * dy/dx + dy/dx = 0

然后，我们整理得到：

dy/dx = (2x - y) / (y - x)

所以，方程 x^2 + y^2 - x * y = 0 的导数为 dy/dx = (2x - y) /

(y - x)。

通过这些例子，我们可以看出，在求解隐函数的导数时，我们需要根据具体的方程进行偏导数的计算，然后将其代入到隐函数的求导公式中。

总结起来，隐函数的求导公式为g'(x)=-(∂f/∂x)/(∂f/∂y)，其中f(x,y)=0是隐函数所满足的方程，∂f/∂x和∂f/∂y分别是方程对x和y的偏导数。这个公式对于求解含有多个变量的函数的导数非常有用。

隐函数的求导方法

求导隐函数的方法

许多实际中的问题都可以用数学方法抽象出来，以函数的方式来表示并分析。而有些函数是定义的、表示的要素并不一定在函数的表达式里显式出来，这种函数叫作隐函数，它们和其他普通函数没有根本的区别，仅仅依赖于是否显式出现在表达式中而存在差异。求导隐函数即处理隐函数的求导问题，其方法也有多种，下面就将针对求导隐函数的方法进行详细介绍。

一、假定法

假定法也称作外推法，它是求导隐函数的基本方法。也就是将隐函数变量看作已知量，把给定的表达式假定成关于函数其他未知变量的函数。根据这个函数的导数的性质及规律，再把这个函数的导数代入假定的表达式中消去方程的其中一个变量，得到对另一个变量求导的表达式。

二、换元法

换元法的思路是：先在给定的隐函数表达式中，把不清楚的变量用已知的变量代替，这样就可以得到一个常数未知的表达式，再根据这个表达式，进行求导操作。

三、单变量求导

单变量求导是一种特殊的求导隐函数方法，不过它通常只用于解决简单 == 只有两个变量的 == 隐函数求导问题。其方法是在同时考虑两个变量的情况下，把其中一个变量取值固定，而将另一个变量当做只有一个变量的函数处理即可。

四、展开法

有时给定的隐函数表达式可以用一阶微分方程与其预测变量的值展开出来，根据变量在函数或方程中出现的顺序，计算对应的偏导数序列子，进而求出求导隐函数的表达式。

五、其他方法

除上述四种求导隐函数的方法外，还有一些比较特殊的方法也能用来求解。比如，可以使用多元函数的定义域的理论，结合隐函数的特性来解决。此外，还可以利用连续函数的性质以及其在不同点处的导数求解隐函数的求导问题。

总结

好了，以上就是我们为大家带来的关于求导隐函数的方法，主要有假定法、换元法、单变量求导法、展开法等四种。当然，还有更为特殊的方法也能用来求导隐函数，比如利用定义域的理论、连续函数的性质等，在掌握了上述这些方法之后，此类问题就不再是难题了。