第五节隐函数的求导公式

经济数学---微积分教案

山 东 女 子 学 院 1 第五节 隐函数求导法则

教学目的：会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。

教学重点：隐函数的偏导数

教学难点：隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；

教学时数：2

教学内容：

一、一个方程的情形

1、 隐函数存在定理1

设函数(,)Fxy在点00(,)Pxy的某一邻域内具有连续偏导数

0000(,)0,(,)0yFxyFxy 则方程(,)0Fxy在点00(,)xy的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数yfx 它满足条件00yfx 并有

yxFFdxdy 证明 将yfx代入(,)0,Fxy得恒等式(,)0,Fxfx

等式两边对x求导得0dxdyyFxF

由于yF连续 且00(,)0yFxy 所以存在00(,)xy的一个邻域 在这个邻域同0yF 于是得

yxFFdxdy

例1： 验证方程2210xy在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当0x时1y的隐函数,yfx并求这函数的一阶与二阶导数在0x的值

解： 设22(,)1Fxyxy 则2xFx、2yFy、 F(0,1)0 F(0,1)20.y因此由定理1可知 方程2210xy在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当0x时1y的隐函数()yfx 经济数学---微积分教案

山 东 女 子 学 院 2 yxFFdxdyyx 00xdxdy 332222221)(yyxyyyxxyyyxydxyd

1022xdxyd

隐函数存在定理还可以推广到多元函数 一个二元方程(,)0Fxy可以确定一个一元隐函数 一个三元方程(,,)0Fxyz可以确定一个二元隐函数

(完整)第五节 隐函数的求导公式

1 第五节 隐函数的求导公式

要求：会求隐函数（包括方程组确定的隐函数）的偏导数。

重点：隐函数（组）的求导公式与求导法。

难点：理解隐函数（组）的存在定理，隐函数组的求导法.

作业：习题8－5（43P）**1)3)2,4,7,8,10,11

一．一个方程的情形

在一元函数微分中，曾引进了隐函数的概念，并介绍了不经过显化直接由确定隐函数的方程0),(yxF，求它所确定y是x的隐函数的导数的方法．下面可利用多元复合函数的求导法则来推出隐函数的求导数公式．

例如，方程yexye确定隐函数的偏导数为yFdyyxFdxexy．

如果0yF，则方程0))(,(xfxF两边对x求导，有

0dxdyyFxFdxdF ，从中解出

yFxFdxdy．

1．隐函数存在定理1

设函数),(yxF满足条件

(1）在点000(,)Pxy的某一邻域内具有连续的偏导数；

（2）0),(00yxF；

(3）0),(00yxFy,

则方程0),(yxF在点),(00yx的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续，且具有连续导数的函数)(xfy，它满足条件)(00xfy，并有导数公式

yxFFdxdy．

说明：求偏导数xF时，将函数),(yxF中y视为常数，对x求偏导数；

求偏导数yF时，将函数),(yxF中x视为常数,对y求偏导数． (完整)第五节 隐函数的求导公式

2 例1．验证方程1yxey在点)1,0(的某一邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的隐函数)(xfy，当0x时1y，并求这函数的一阶与二阶导数在0x的导数值．

解 设函数1),(yxeyxFy,

则 yxeF，1yyxeF，显然偏导数连续，且0)1,0(F，又01)1,0(yF,因此由定理1可知方程1yxey在点)1,0(的邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的隐函数)(xfy，当0x时，1y．有导数

36 第五节 隐函数的求导公式

在一元函数中，我们已经提出了隐函数的概念，并且提出了不经过显化真接由方程0,yxF（1）求它所确定的隐函数的导数的方法。现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法则导出多元隐函数的导数公式。

隐函数存在定理1 设函数yxF,在点00,yxP的某一邻域内具有连续偏导数，且0,00yxF , 0,00'yxFy。则方程0,yxF在点00,yx的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数xfy，它满足条件00xfy， 并有

''yxFFdxdy (2)

公式(2)就是隐含数的求导公式

这个定理我们不证，现仅就公式)2(作如下推导。

将方程(1)所确定的函数xfy代入(1)，得恒等式

0,xfxF

其左边可以看作是x的一个复合函数，求这个函数的全导数，即有

0dxdyyFxF

由于'yF连续，且 0,00'yxFy,所以存在00,yx的一个邻域，在这个邻域内 0'yF

于是得

''yxFFdxdy

隐函数存在定理可以推广到多元函数，既然一个二元方程（1）可以确定一个一元隐函数，那么一个三元方程0,,zyxF就有可能确定一个二元隐函数。 37 与定理1相仿，我们同样可以由三元函数zyxF,,的性质来断定由方程0,,zyxF 所确定的二元函数yxfz,的存在性及这个函数的性质，这就是下面的定理。

隐函数存在定理2 设函数0,,zyxF在点000,,zyxP的某一邻域内具有连续偏导数，且0,,000zyxF，0,,000'zyxFz。则方程0,,zyxF在点000,,zyx的某个邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数yxfz,，它满足条件000,yxfz，并有

第五节隐函数求导法则

隐函数是指由关系式给出的函数，其自变量和因变量之间的关系不用显式地给出函数表达式。在实际问题中，往往需要求出这种隐函数的导数。本节将介绍隐函数求导的方法和一些常见的隐函数求导法则。

一、隐函数求导的基本方法

首先我们来回顾一下显函数求导的基本方法。对于显函数，我们可以直接对函数表达式使用求导公式进行求导。但对于隐函数，由于函数表达式未知，我们需要使用一些特殊的方法来求导。

假设我们有一个由关系式 F(x,y)=0 给出的隐函数，我们要求该隐函数关于 x 的导数 y'=dy/dx。隐函数的求导可分为以下几个步骤：

1.对关系式两边同时求导，得到F'(x,y)+F'(y,x)y'=0。

2.将y'移至方程右边得到y'=-F'(x,y)/F'(y,x)。

3.根据关系式求出y的表达式，代入y'=-F'(x,y)/F'(y,x)中，即得到y'的表达式。

这种求导的方法称为隐函数求导的基本方法，下面我们将介绍一些常见的隐函数求导法则来简化上述的步骤。

1.加法法则：如果隐函数关系式为F(x,y)+G(x,y)=0，则求导后得到F'(x,y)+G'(x,y)y'=0。

2.乘法法则：如果隐函数关系式为F(x,y)·G(x,y)=0，则求导后得到F'(x,y)G(x,y)+F(x,y)G'(x,y)y'=0。 3.反函数法则：如果隐函数关系式为G(F(x,y))=0，其中G是F的反函数，则求导后得到G'(F(x,y))·F'(x,y)+G(F(x,y))=0。

4.传递法则：如果隐函数关系式中存在中间变量Z，即F(x,y,z)=0，其中x和z可看作自变量，y为中间变量，则求导后，将得到一个含有z的隐函数关系式，再对其中的x和z分别求导。

5.高阶求导法则：对于高阶隐函数求导，可以依照以上的方法逐阶进行求导，直至得到所需的高阶导数。

三、应用实例

为了更好地理解隐函数求导法则的应用，我们通过一些实例来演示具体的求导过程。