正多边形和圆(一)

专题11 正多边形和圆

一、正多边形和圆

1.正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2.正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

二、正多边形的对称性

1.正多边形的轴对称性。正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。

2.正多边形的中心对称性。边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。

3.正多边形的画法。先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。

三、正多边形的性质

任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.

(1)正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫作正多边形的中心.

(2)外接圆的半径叫作正多边形的半径.

(3)内切圆的半径叫作正多边形的边心距.

(4)正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.正多边形的每个中心角都等于

360n

四、正多边形的有关计算

(1)正n边形的中心角怎么计算？

概念规律 重在理解 (2)正n边形的边长a，半径R，边心距r之间有什么关系？

(3)边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？

特别重要：圆内接正多边形的辅助线

(1)连半径，得中心角；

(2)作边心距，构造直角三角形.

【例题1】(2021贵州贵阳)如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（ ） 典例解析 掌握方法

A．144° B．130° C．129° D．108°

【答案】A

【解析】先根据五边形的内角和求∠E＝∠D＝108°，由切线的性质得：∠OAE＝∠OCD＝90°，最后利用五边形的内角和相减可得结论．

正五边形的内角＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，

∴∠E＝∠D＝108°，

∵AE、CD分别与⊙O相切于A、C两点，

∴∠OAE＝∠OCD＝90°，

∴∠AOC＝540°﹣90°﹣90°﹣108°﹣108°＝144°．

正多边形和圆(一)

在几何学中，正多边形和圆是两个常见的几何形状。它们有着许多有趣的性质和特点。本文将介绍正多边形和圆的定义、性质以及它们之间的关系。

正多边形的定义

正多边形是指所有边相等且所有角度相等的多边形。简单来说，正多边形是一个边和角都相等的多边形。以正n边形为例，它有n个边和n个角，每个角的度数为(180(°) - 360(°)/n)。常见的正多边形有正三边形、正四边形、正五边形等。

正多边形有一些有趣的性质。首先，正多边形的内角和公式为：(n - 2) *

180(°)。这意味着正三边形的内角和为180(°)，正四边形的内角和为360(°)，以此类推。其次，正多边形具有对称性，任意两条边或角之间都有对称关系。此外，正多边形的对角线数目可以通过公式n(n-3)/2来计算，其中n表示正多边形的边数。

圆的定义

圆是几何学中的一个重要概念，也是一种特殊的椭圆。圆由一个固定点（圆心）和到这个点的距离相等的所有点（圆上的点）组成。圆的直径是通过圆心并且两端点都在圆上的线段的长度的两倍。圆心到圆上任意一点的距离被称为半径。直径是半径的两倍。

圆也有一些有趣的性质。首先，圆的周长公式为2πr，其中r表示半径。其次，圆的面积公式为πr^2。这些公式是圆的重要特征，可以用于计算圆的周长和面积。另外，圆具有无限个对称轴，即通过圆心的任意直线都是圆的对称轴。

正多边形与圆的关系

正多边形和圆之间存在着紧密的关系。事实上，正多边形可以视为圆的一种特例。当正多边形的边数越多时，它的形状越接近于一个圆。

具体而言，当正多边形的边数n趋向于无穷大时，正多边形的内角趋向于180度，并且边的长度趋向于相等。这就是说，正多边形逐渐接近于一个圆。因此，我们可以认为圆是一个具有无限多边形的特殊情况。 另外，正多边形和圆的周长和面积也存在着一定的关系。当正多边形的边数增大时，其周长逐渐接近于圆的周长，即2πr。同样地，正多边形的面积也逐渐接近于圆的面积，即πr^2。

24.3 正多边形和圆（1）

缪家营中学—李建敏

1．了解正多边形和圆的有关概念；

2．理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系

1、重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、•边长之间的关系。

2、难点：通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、•弦心距、边长之间的关系。

一、自主学习 （ 预习案）

（1）情境导入：

问题：观察、分析、归纳下列问题：

思考：1、等边三角形边角各有什么性质？

2、正方形的边角有什么性质？

3、等边三角形、正方形的边、角性质的共同点。

（二）要点探究

1、正多边形的概念：

。

（想一想）①请同学们自己举出一些正多边形。

②矩形，菱形是正多边形吗？为什么？

2、正多边形与圆的关系

正多边形与圆的关系非常密切。只要把一个圆分成 的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形。这个圆叫做正多边形的 。这个多边形叫做圆的 。

3、正多边形的有关概念：

1、 叫正多边形的中心；

叫正多边形的半径；

叫正多边形的中心角；

叫正多边形的边心距。

（三）例题解析

（1）、已知：圆O中, A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒E=E⌒A.

求证：五边形ABCDE是圆内接正五边形。

学习目标

重点难点

D A

B C E

（2）有一个亭子，它的地基是半径是4米的正六边形，求地基的周长和面积。

（3）做一做

（1）正方形ABCD的外接圆圆心叫做正方形ABCD的 。

《正多边形和圆》教学设计

教学内容

1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的外接圆，正多边形的中心，•正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边形的边心距．

2．在正多边形和圆中，圆的半径、边长、边心距中心角之间的等量关系．

3．正多边形的画法．

教学目标

了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形．

复习正多边形概念，让学生尽可能讲出生活中的多边形为引题引入正多边形和圆这一节间的内容．

重难点、关键

1．重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、•边长之间的关系．

2．难点与关键：通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、•弦心距、边长之间的关系．

教学过程

一、复习引入

请同学们口答下面两个问题．

1．什么叫正多边形？

2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、•中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？

老师点评：1．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．

2．实例略．正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条；•正多边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点．

二、探索新知

如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，•正六边形ABCDEF，连结AD、CF交于一点，以O为圆心，OA为半径作圆，那么肯定B、C、•D、E、F都在这个圆上．

因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．

我们以圆内接正六边形为例证明．

如图所示的圆，把⊙O•分成相等的6•段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，下面证明，它是正六边形．

∵AB=BC=CD=DE=EF

∴AB=BC=CD=DE=EF

又∴∠A=12BCF=12（BC+CD+DE+EF）=2BC ∠B=12CDA=12（CD+DE+EF+FA）=2CD