2013年湖南省长沙市中考数学试卷(含解析版)

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2013年湖南省长沙市中考数学试卷

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。本题共10个小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）下列实数是无理数的是（ ）

A．﹣1 B．0 C． D．

2．（3分）小星同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关的结果的条数约为61700000，这个数用科学记数法表示为（ ）

A．617×105 B．6.17×106 C．6.17×107 D．0.617×108

3．（3分）如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8

4．（3分）已知⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为3cm，两圆的圆心距O1O2为4cm，则两圆的位置关系是（ ）

A．外离 B．外切 C．相交 D．内切

5．（3分）下列计算正确的是（ ）

A．a6÷a3＝a3 B．（a2）3＝a8 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．a2+a2＝a4

6．（3分）某校篮球队12名同学的身高如下表：

身高（cm） 180 186 188 192 195

人数 1 2 5 3 1

则该校篮球队12名同学身高的众数是（单位：cm）（ ）

A．192 B．188 C．186 D．180

7．（3分）下列各图中，∠1大于∠2的是（ ）

A． B．

C． D．

8．（3分）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（ ）

A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形

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9．（3分）在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是（ ）

A． B．

C． D．

10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象中如图所示，则下列关系式错误的是（ ）

A．a＞0 B．c＞0 C．b2﹣4ac＞0 D．a+b+c＞0

二、填空题(本题共8小题，每小题3分，共24分）

11．（3分）化简：﹣＝

．

12．（3分）分解因式：x2+2x+1＝ ．

13．（3分）已知∠A＝67°，则∠A的余角等于 度．

14．（3分）方程的解为x＝ ．

15．（3分）如图，BD是∠ABC的平分线，P为BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE＝4cm，则点P到边BC的距离为 cm．

16．（3分）如图，在△ABC中，点D，点E分别是边AB，AC的中点，则△ADE和△ABC的周长之比等于 ．

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17．（3分）在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是

．

18．（3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝50°，∠C＝80°，AE∥CD交BC于点E，若AD＝2，BC＝5，则边CD的长是 ．

三、解答题本题共2小题，每小题6分，共12分）

19．（6分）计算：|﹣3|+（﹣2）2﹣（+1）0．

20．（6分）解不等式组并将其解集在数轴上表示出来．

四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

21．（8分）“宜居长沙”是我们的共同愿景，空气质量倍受人们的关注．我市某空气质量检测站点检测了该区域每天的空气质量情况，统计了2013年1月份至4月份若干天的空气质量情况，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：

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（1）统计图共统计了 天空气质量情况．

（2）请将条形统计图补充完整，并计算空气质量为“优”所在扇形圆心角度数．

（3）从小源所在班级的40名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测点参观，则恰好选到小源的概率是多少？

22．（8分）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠DBC＝∠BAC．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，∠BAC＝30°，求图中阴影部分的面积．

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五、解答题（本题共2小题，每小题9分，共18分）

23．（9分）为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁1、2号线．已知修建地铁1号线24千米和2号线22千米共需投资265亿元；若1号线每千米的平均造价比2号线每千米的平均造价多0.5亿元．

（1）求1号线，2号线每千米的平均造价分别是多少亿元？

（2）除1、2号线外，长沙市政府规划到2018年还要再建91.8千米的地铁线网．据预算，这91.8千米地铁线网每千米的平均造价是1号线每千米的平均造价的1.2倍，则还需投资多少亿元？

24．（9分）如图，在▱ABCD中，M、N分别是AD，BC的中点，∠AND＝90°，连接CM交DN于点O．

（1）求证：△ABN≌△CDM；

（2）过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE＝1，∠1＝∠2，求AN的长．

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六、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）

25．（10分）设a、b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．

（1）反比例函数y＝是闭区间[1，2013]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；

（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；

（3）若二次函数y＝x2﹣x﹣是闭区间[a，b]上的“闭函数”，求实数a，b的值．

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26．（10分）如图，在平面坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，动点P（a，b）在第一象限内，由点P向x轴，y轴所作的垂线PM，PN（垂足为M，N）分别与直线AB相交于点E，点F，当点P（a，b）运动时，矩形PMON的面积为定值2．

（1）求∠OAB的度数；

（2）求证：△AOF∽△BEO；

（3）当点E，F都在线段AB上时，由三条线段AE，EF，BF组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S1，△OEF的面积为S2．试探究：S1+S2是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．

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2013年湖南省长沙市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。本题共10个小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）下列实数是无理数的是（ ）

A．﹣1 B．0 C． D．

【考点】26：无理数．

【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

【解答】解：A、是整数，是有理数，选项错误；

B、是整数，是有理数，选项错误；

C、是分数，是有理数，选项错误；

D、是无理数．

故选：D．

【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．

2．（3分）小星同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关的结果的条数约为61700000，这个数用科学记数法表示为（ ）

A．617×105 B．6.17×106 C．6.17×107 D．0.617×108

【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将61700000用科学记数法表示为6.17×107．

故选：C．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

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3．（3分）如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【考点】K6：三角形三边关系．

【分析】已知三角形的两边长分别为2和4，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围．

【解答】解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得4﹣2＜x＜4+2，即2＜x＜6．

因此，本题的第三边应满足2＜x＜6，把各项代入不等式符合的即为答案．

2，6，8都不符合不等式2＜x＜6，只有4符合不等式．

故选：B．

【点评】本题考查了三角形三边关系，此题实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．

4．（3分）已知⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为3cm，两圆的圆心距O1O2为4cm，则两圆的位置关系是（ ）

A．外离 B．外切 C．相交 D．内切

【考点】MJ：圆与圆的位置关系．

【分析】本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．

【解答】解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别为1cm和3cm，圆心距O1O2＝4cm，

∴O1O2＝1+3＝4，

∴两圆外切．

故选：B．

【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系，外离，则d＞R+r；外切，则d＝R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切，则d＝R﹣r；内含，则d＜R﹣r．（d表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．

5．（3分）下列计算正确的是（ ）

A．a6÷a3＝a3 B．（a2）3＝a8

C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．a2+a2＝a4

【考点】35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法；4C：完全平方公式．

【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母