2020_2021学年新教材高中数学第四章对数运算和对数函数单元测试卷一课一练含解析第一册

学必求其心得，业必贵于专精

1 第四章对数运算与对数函数

第四章单元测试卷

第Ⅰ部分选择题(共40分)

一、选择题(5分×8=40分)

1.☉%＠0￥8￥34＃％☉（2020·广州二中高一期中）下列函数中，既是奇函数,又在定义域上是增函数的是( ）。

A.y=ex B.y=lnx

C。y=ex—1e𝑥 D。y=ex+1e𝑥

答案：C

解析： y=ex,y=lnx,y=ex+1e𝑥不是定义域上的奇函数，而y=ex-1e𝑥是定义域上的奇函数,且在（-∞，+∞）上,y1=ex,y2=—1e𝑥是增函数,所以y=ex-1e𝑥是(-∞，+∞）上的增函数.故选C。

2.☉%5＠5@＠2@3%☉(2020·北京检测)如果log12x

A。y〈x<1 B.x〈y<1

C.1

答案：D

解析：对数函数y=log12x在（0，+∞)上单调递减,则由log12x〈log12y<0=log121，可得1〈y

3。☉%￥＊＃8046#％☉(2020·南充一中高一月考）已知函数f(x）=2log12x的值域为[-1，1]，则函数f(x）的定义域是( ）。

A.[√22,√2] B。［—1，1］

C.[12,2] D.(-∞,√22]∪[√2，+∞) 学必求其心得，业必贵于专精

2 答案：A

解析:由已知得-12≤log12x≤12,(12)12≤x≤(12)-12，即√22≤x≤√2。故选A。

4。☉%@＊574#＠6%☉（2020·黄冈中学月考)已知函数f（x)=(12)𝑥,则函数f(x+1）的反函数的图像可能是( )。

图4—8

答案：D

解析：函数f（x)=(12)𝑥的图像恒过点（0，1），则函数f（x+1)的图像恒过点(-1,1）,则其反函数的图像恒过点（1,—1）.而选项A，B，C中的图像明显不过点（1，-1）,故排除.所以正确选项为D。故选D。

5。☉％3￥￥*8#31%☉(2020·合肥一中月考)已知f（x）={(𝑎-2)𝑥,𝑥≥2,(12)𝑥-1,𝑥<2是R上的减函数,则实数a的取值范围是( )。

A。（-∞,2) B.(-∞,138]

C。(0,2) D.[138,2)

答案：B

解析：由题意得，函数f（x)={(𝑎-2)𝑥,𝑥≥2,(12)𝑥-1,𝑥<2是R上的减函数,则{𝑎-2<0,(12)2-1≥(𝑎-2)×2,解得a≤138，故选B。 学必求其心得，业必贵于专精

3 6.☉%055＃1＃＊@％☉（2020·九江一中月考)已知定义在R上的函数f（x）=2|x-m｜—1（m为实数)为偶函数。记a=f（log0。53)，b=f（log25),c=f(2m），则a，b,c的大小关系为（ ）。

A。a

C。a〈c〈b D.c〈b

答案：B

解析：由f（x）=2｜x-m|—1是偶函数,得m=0,则f(x）=2｜x|-1。当x∈[0，+∞)时,f（x）=2x-1单调递增,又a=f(log0。53）=f(|log0。53｜）=f（log23)，c=f(0)，且0

7.☉%07＠@63￥＠%☉（2020·黄石二中月考）当0〈x≤12时，4x

A。(0,√22) B.(√22,1)

C.(1，√2) D。(√2，2)

答案：B

解析：当0〈x≤12时,1〈4x≤2。要使4x𝑥,对0〈x≤12恒成立，所以{0<𝑎<1,𝑎2>12,解得√22〈a<1，故选B。

8.☉%#6￥￥239＠%☉（2020·芜湖中学检测)已知函数f(x）=|lgx｜.若0

A.(2√2,+∞) B.［2√2,+∞）

C。（3,+∞） D。［3,+∞）

答案：C 学必求其心得，业必贵于专精

4 解析：因为f（a）=f（b)，所以|lga|=｜lgb｜。又b>a〉0,则lga<0，即a〈1,lgb>0,即b〉1，所以0〈a<1〈b，|lga|=-lga,|lgb｜=lgb,即lga+lgb=lg（ab)=0,所以b=1𝑎，则a+2b=a+2𝑎。令g(x)=x+2𝑥，由对勾函数的性质知函数g（x)在(0，1)上为减函数,所以g(a）>g(1）=1+21=3,即a+2b的取值范围是（3,+∞）。故选C。

第Ⅱ部分非选择题(共60分)

二、填空题(5分×3=15分)

9。☉%￥＠69＃3＃0%☉（2020·乐山一中检测）已知125x=12。5y=1000,则𝑦-𝑥𝑥𝑦= 。

答案：13

解析:因为125x=12。5y=1000，所以x=log1251000，y=log12。51000,𝑦-𝑥𝑥𝑦=1𝑥-1𝑦=log1000125—log100012。5=log100012512.5=log100010=13。

10.☉%＠￥4￥*038%☉(2020·衡水中学高一月考）已知奇函数y=f（x）(x∈R且x≠0),当x〉0时,f(x)=-x2+2x+2，则f（x)的单调增区间为 。

答案:[—1，0)，(0，1]

解析:若x<0，则-x〉0，当x〉0时，f（x)=—x2+2x+2，所以当-x>0时,f（-x)=-(-x)2+2（—x）+2=-x2-2x+2。因为函数f(x)是定义域上的奇函数,所以f(-x)=-f(x)=-x2-2x+2，所以f(x)=x2+2x—2，x<0。当x〉0时，f(x）=—x2+2x+2，此时函数的递增区间为（0,1],当x<0时,f(x）=x2+2x-2，此时函数的递增区间为[—1,0)，综上，函数的递增区间为［-1，0）,(0,1]。 学必求其心得，业必贵于专精

5 11。☉%＊@￥307*1％☉(2020·石嘴山第三中学高一上期末）给出下列四个结论：

①函数y=(12)-𝑥2+1的最大值为12；

②已知函数y=loga(2-ax)（a〉0且a≠1)在（0，1)上是减函数,则a的取值范围是(1,2];

③在同一坐标系中,函数y=log2x与y=log12x的图像关于y轴对称;

④在同一坐标系中,函数y=2x与y=log2x的图像关于直线y=x对称。

其中正确结论的序号是 .

答案：②④

解析：①应是最小值为12，③应关于x轴对称。

三、解答题(共45分）

12。(10分）☉％7＃#＃￥532％☉(2020·黄石二中月考)计算：

(1)1√2-1-(35)0+(94)-0.5+√(√2-e)44；

答案：解:原式=√2+1-1+23+e-√2=23+e。

(2)lg500+lg85-12lg64+50×(lg2+lg5)2.

答案：原式=lg5+lg102+lg23-lg5—12lg26+50×（lg10）2=lg5+2+3lg2—lg5—3lg2+50=52。

13.（10分）☉%2@12#4@＊%☉（2020·大冶一中检测）已知函数f（x）=log12(x2—2ax+3）。

(1）若函数的定义域为(-∞,1)∪（3，+∞),求实数a的值；

答案：解:由题意,知x2—2ax+3〉0的解集为(-∞,1)∪（3，+∞）,故a=2。

（2）若函数的值域为（—∞，—1]，求实数a的值。 学必求其心得，业必贵于专精

6 答案:若函数的值域为(—∞,-1］,即f（x）=log12（x2—2ax+3)≤—1,且-1能取到,故x2—2ax+3≥2。

故a2-1=0,即a=1或a=-1.

14。(12分)☉％4327￥＊@￥％☉(2020·启东高级中学月考）已知定义域为R的函数f(x）=𝑏-2𝑥2𝑥+𝑎是奇函数。

(1）求a，b的值;

答案：解:因为f（x）为R上的奇函数，所以f(0)=0,b=1.

又f（—1)=-f（1),得a=1.经检验a=1，b=1符合题意。

（2)证明f(x)在(-∞，+∞）上为减函数；

答案：证明:任取x1,x2∈R，且x1〈x2,则f（x1）—f（x2）=1-2𝑥12𝑥1+1-1-2𝑥22𝑥2+1=(1-2𝑥1)(2𝑥2+1)-(1-2𝑥2)(2𝑥1+1)(2𝑥1+1)(2𝑥2+1)=2(2𝑥2-2𝑥1)(2𝑥1+1)(2𝑥2+1)。

因为x1〈x2,所以2𝑥2-2𝑥1〉0。

又（2𝑥1+1）(2𝑥2+1）〉0,所以f(x1）〉f(x2).

所以f（x)为R上的减函数。

（3）若对于任意t∈R,不等式f（t2-2t）+f(2t2-k）〈0恒成立，求k的取值范围。

答案：解:因为t∈R,不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）〈0恒成立,

所以f(t2-2t）〈-f(2t2—k)。

因为f(x)为奇函数,所以f(t2-2t)

因为f（x）为减函数，所以t2—2t>k—2t2,即k〈3t2-2t恒成立。而3t2-2t=3(𝑡-13)2-13≥-13,所以k〈-13。

故k的取值范围为(-∞,-13)。 学必求其心得，业必贵于专精

7 15.（13分)☉％1@8＃1￥3＊%☉（2020·山西大学附属中学高一下学期2月模块诊断)已知函数f（x）=log2（2x+k)（k∈R）的图像过点P(0，1)。

（1）求k的值并求函数f(x）的值域;

答案:解：因为函数f(x）的图像过点P（0，1），所以log2（20+k)=1,

解得k=1。

则f(x）=log2（2x+1）,

因为2x+1〉1,所以f（x)=log2(2x+1）>0，

所以函数f（x)的值域为（0,+∞)。

（2)若关于x的方程f(x）=x+m,x∈[0,1］有实根,求实数m的取值范围.

答案：方程有实根，即m=f（x)-x有实根,

构造函数h(x)=f(x）—x=log2(2x+1）—x,

则h(x）=log2（2x+1）-log22x=log22𝑥+12𝑥=log2（2-x+1），

因为函数y=2-x+1在R上单调递减,而y=log2x在（0，+∞)上单调递增,所以复合函数h（x)=log2(2-x+1)是R上的单调递减函数.

所以h（x）在[0,1]上的最小值为h(1）=log2（2—1+1)=log23—1，最大值为h（0)=log2（20+1)=1,即h（x)∈［log23-1，1],

所以当m∈[log23—1，1］时,方程有实根。