新教材高中数学第四章对数的运算课后篇巩固提升含解析新人教A版必修第一册
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新教材高中数学新人教A版选择性必修第一册：
4.3.2 对数的运算
课后篇巩固提升
合格考达标练
1.2log510+log50.25=( )
A.0 B.1 C.2 D.4
答案C
解析原式=log5102+log50.25=log5(100×0.25)
=log525=2.
2.(2021河南郑州高一期末)已知alog32=1,则2a= ( )
A.13 B.1 C.2 D.3
答案D
解析alog32=1=log32a,故2a=3.故选D.
3.(2021吉林公主岭高一期末)log2√8+lg 25+lg 4+6log612+9.80=( )
A.1 B.4 C.5
D.7
答案C
解析原式=32log22+lg(25×4)+12+1=2+2+1=5.故选C.
4.(多选题)(2021江苏连云港高一期末)若x>0,y>0,n≠0,m∈R,则下列各式中,恒等的是( )
A.lg x+lg y=lg(x+y)
B.lg𝑥𝑦=lg x-lg y
C.log𝑥𝑛ym=𝑚𝑛logxy
D.lg𝑥1𝑛=lg𝑥𝑛
答案BCD
解析因为x>0,y>0,n≠0,m∈R,则lgx+lgy=lg(xy),故A错误;
lg𝑥𝑦=lgx-lgy,故B正确;log𝑥𝑛ym=𝑚𝑛logxy,故C正确;
lg𝑥1𝑛=lg𝑥𝑛,故D正确.故选BCD.
5.若2lg(x-2y)=lg x+lg y(x>2y>0),则𝑦𝑥的值为 ( )
A.4 B.1或14 C.1或4 D.14
答案D
解析∵2lg(x-2y)=lgx+lgy(x>2y>0), 2
∴lg(x-2y)2=lgxy,∴(x-2y)2=xy,
∴x2-5xy+4y2=0,∴(x-y)(x-4y)=0,
∴x=y或x=4y.∵x-2y>0,且x>0,y>0,
∴x≠y,∴𝑦𝑥=14.
6.计算:2713+lg 4+2lg 5-eln 3= .
答案2
解析由题意得2713+lg 4+2lg 5-eln 3=(33)13+(lg 4+lg 25)-eln 3=3+2-3=2.
7.log35log46log57log68log79=
.
答案3
解析log35log46log57log68log79=lg5lg3·lg6lg4·lg7lg5·lg8lg6·lg9lg7=lg8lg9lg3lg4=3lg2×2lg3lg3×2lg2=3.
8.计算:
(1)lg2+lg5-lg8lg50-lg40;
(2)lg12-lg58+lg54-log92·log43.
解(1)原式=lg2×58lg5040=lg54lg54=1.
(2)(方法一)原式=lg1258+lg54−lg2lg9×lg3lg4
=lg(45×54)−lg22lg3×lg32lg2=lg1-14=-14.
(方法二)原式=(lg1-lg2)-(lg5-lg8)+(lg5-lg4)-lg2lg9×lg3lg4=-lg2+lg8-lg4-lg22lg3×lg32lg2=-(lg2+lg4)+lg8-14=-lg(2×4)+lg8-14=-14.
等级考提升练
9.(2021北京昌平高一期末)已知2x=3,log289=y,则2x+y=( )
A.3 B.4 C.8 D.9
答案A
解析由2x=3可知x=log23,且y=log289.
2x+y=2log23+log289=log232×89=log28=3.
10.(2021浙江嘉兴高一期末)设lg 3=a,lg 5=b,则log212的值为( )
A.2𝑏-𝑎+21-𝑏 B.2𝑏-𝑎+2𝑏-1
C.𝑎-2𝑏+21-𝑏 D.𝑎-2𝑏+21+𝑏 3
答案C
解析根据换底公式和对数运算性质得
log212=lg12lg2=lg3+2lg2lg2=lg3+2lg105lg105=lg3+2-2lg51-lg5=2+𝑎-2𝑏1-𝑏.故选C.
11.(多选题)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么 ( )
A.ab+bc=2ac
B.ab+bc=ac
C.2𝑐=2𝑎+1𝑏 D.1𝑐=2𝑏−1𝑎
答案AD
解析由题意,设4a=6b=9c=k(k>0),
则a=log4k,b=log6k,c=log9k,
对于选项A,由ab+bc=2ac,可得𝑏𝑐+𝑏𝑎=2,因为𝑏𝑐+𝑏𝑎=log6𝑘log9𝑘+log6𝑘log4𝑘=log𝑘9log𝑘6+log𝑘4log𝑘6=log69+log64=log636=2,故A正确,B错误;
对于选项C,2𝑎+1𝑏=2log4𝑘+1log6𝑘=2logk4+logk6=logk96,2𝑐=2log9𝑘=2logk9=logk81,故2𝑐≠2𝑎+1𝑏,故C错误;
对于选项D,2𝑏−1𝑎=2log6𝑘−1log4𝑘=2logk6-logk4=logk9,1𝑐=1log9𝑘=logk9,故1𝑐=2𝑏−1𝑎,故D正确.
12.已知a>b>1,若logab+logba=52,ab=ba,则a= ,b=
.
答案4
2
解析∵logab+logba=logab+1log𝑎𝑏=52,
∴logab=2或logab=12.
∵a>b>1,∴logab ∴logab=12,∴a=b2. ∵ab=ba,∴(b2)b=𝑏𝑏2,∴b2b=𝑏𝑏2. ∴2b=b2,∴b=2,∴a=4. 13.解下列对数方程. (1)log(2x-1)(5x2+3x-17)=2;(2)logx4+log2x=3. 解(1)由log(2x-1)(5x2+3x-17)=2, 得{ 2𝑥-1>0,2𝑥-1≠1,5𝑥2+3𝑥-17>0,5𝑥2+3𝑥-17=(2𝑥-1)2, 即{2𝑥-1>0,2𝑥-1≠1,5𝑥2+3𝑥-17=4𝑥2-4𝑥+1, 解得x=2或x=-9(舍). (2)由logx4+log2x=3(x>0,且x≠1), 4 得2logx2+log2x-3=0, 令log2x=t,得2𝑡+t-3=0,即t2-3t+2=0, 解得t=1或t=2.当t=1时,可得log2x=1,即x=2; 当t=2时,可得log2x=2,即x=4. 经检验x=2,x=4均符合题意. 故原方程的解为x=2或x=4. 14.(2021湖南长沙高一期末)某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备,使产生的废气经过过滤后排放,以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位:mg/L)与过滤时间t(单位:h)间的关系为P(t)=P0e-kt(P0,k均为非零常数,e为自然对数的底数),其中P0为t=0时的污染物数量.若经过5 h过滤后还剩余90%的污染物. (1)求常数k的值; (2)试计算污染物减少到30%至少需要多长时间.(精确到1 h) (参考数据:ln 0.2≈-1.61,ln 0.3≈-1.20,ln 0.4≈-0.92,ln 0.5≈-0.69,ln 0.9≈-0.11) 解(1)由已知得当t=0时,P=P0; 当t=5时,P=90%P0.于是有90%P0=P0e-5k, 解得k=-15ln0.9(或k≈0.022). (2)由(1)知P=P0e(15ln0.9)𝑡,当P=30%P0时, 有0.3P0=P0e(15ln0.9)𝑡, 解得t=ln0.315ln0.9≈-1.2015×(-0.11)=60.11≈55. 故污染物减少到30%至少需要55h. 新情境创新练 15.已知2y·logy4-2y-1=0(y>0,y≠1),√log𝑥√5𝑥·log5x=-1(x>0,x≠1),是否存在一个正数P,使得P=√1𝑥-𝑦? 解存在.由2y·logy4-2y-1=0,得2y(log𝑦4-12)=0,∴logy4=12,即y=16. 由√log𝑥√5𝑥·log5x=-1, 得√log𝑥√5𝑥=-1log5𝑥, 即√log𝑥√5𝑥=-logx5>0. ∴12(logx5+1)=(logx5)2, 整理得2(logx5)2-logx5-1=0, 解得logx5=-12(logx5=1舍去),∴1𝑥=25. 从而P=√1𝑥-𝑦=√25-16=3, 5 即存在一个正数P=3,使得P=√1𝑥-𝑦成立.
