高中数学：三次函数图像与性质

§1.4.3正切函数的图像与性质

【教学过程】

一、预习检查、总结疑惑

检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

二、复 习导入、展示目标。

问题1：就我们前面所学的内容中，正切函数与正余弦函数的有何区别？

大家怎么知道正切函数的值域是R?

通过单位圆中的正切线可以得到。

那请同学们回忆正切线在每一个象限的画法。

（设计意图：①通过此问题确定本节课的一个基调：类比学习；②通过此问题来复习我们已经研究过的正切函数的性质；③通过比较让学生了解正切与正弦的区别，在画图像的时候注意区别；④因为在作图时必须用正切线的知识，所以在此做一个相应的复习和准备工作，顺应学生的思维在知识链接处提问）

问题2：我们用什么样的方式得到正余弦函数的图像的？

利用单位圆内的正弦线，得到在一个周期，即[0，2 ]内的图象，再利用周期性得到在定义域内的图象。

问题3：请同学们根据所学知识设计一个研究正切函数图像与性质的方案。

方案：第一步：画出正切函数的在一个周期内的图象；

第二步：将图象向左、向右平移拓展到整个定义域上去；

第三步：根据图象总结性质。

三、合作探究、精讲点拨。

①请同学们解决方案的第一步，先画出y=tanx在一个周期内的简图。

给学生充足的时间与空间，发挥学生的主动性，这样不仅提高了学生的动手实践能力，还培养了学生对数学的兴趣。

注：有的学生可能会想到利用函数的奇偶性来画图，很多学生会画出（0.）的图象，教师暂时不予评价，等待学生形成图象。

②教师用投影仪展示作图结果，学生之间相互评价，指出优点和不足之处，并鼓励学生阐述自己的观点。教师直接在投影仪上纠正学生错误的图像；并将（0，）的图象与2,2的图像进行比较来说明只是周期的选择不同，拓展到整个定义域上也是一致的。

通过学生之间的点评与总结，引出渐近线，并请同学们总结出：要画出一个周期内的图象，首先，选择哪段区间较好，其次，在画图象的过程中应该注意什么？

三次函数

定义1、形如的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命

名）。

定义2、三次函数的导数，把叫做三次函数导函数的判别式。

三次函数图象与性质的探究：

1、单调性： 一般地，当时，三次函数在上是单调函数；当时，三次函

数在上有三个单调区间。（根据两种不同情况进行分类讨论）

2、对称中心;三次函数是关于点对称，且对称中心为点，y＝f(x)图象的对称中心在导函数y＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。

3. 图像问题：

4. （1）

（2）

（3）

5.三次方程根的问题。

（1）当△=时，由于不等式恒成

立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。

（2）当△=时，由于方程有两个不同的实根，不妨设，可知，为函数的

极大值点，为极小值点，且函数在和上单调递增，在上单调递减。

此时：①若，即函数极大值点和极小值点在轴同侧，图象均与轴只有一

个交点，所以原方程有且只有一个实根。②若，即函数极大值点与极小值点在轴异侧，图象与轴必有三个交

点，所以原方程有三个不等实根。

3 若，即与中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个实根，其中

两个相等。 1、设是函数f(x)的导函数，的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是（） C2、函数在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是（）A. 1， －1B. 1，－17 C. 3，－17 D. 9，－193、设函数.（1）若的两个极值点为，且，求实数的值； （2）是否存在实数，使得是上的单调函数？若存在,求出的值；若不存在，说明理由.4、设定函数，且方程的两个根分别为1，4。（Ⅰ）当a=3且曲线过原点时，求的解析式；（Ⅱ）若在

无极值点，求a的取值范围。

5、已知函数f（x）=，其中a>0. （Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间上，

f（x）>0恒成立，求a的取值范围. y=6x-9 0

8、已知函数（a-b）

切线方程。

1 2011－2012学年度下学期高二理科数学导学案（三）

课题：三次函数的性质：单调区间和极值

教学目标：

（一）知识与技能：

1、了解三次函数的图象与简单性质，三次函数二次函数的联系。

2、应用导数研究三次函数的单调区间与极值。

（二）过程与方法：使学生体会导数是解决三次函数问题的有力工具，在应用导数解决各种问题的过程中凸现导数的思想方法，强调“如何用”导数。

（三）情感、态度与价值观：引导学生进行自主探究，让学生经历观察、猜想、推理等过程。

教材分析：

（一）重点：三次函数的图象、单调区间和极值。

（二）难点：三次函数的单调区间及参数范围。

学习过程：

一、温故而知新

1、求函数y=f(x)在[a，b]上最值的步骤。

2、（1）函数f(x)在[a，b]上满足f’(x)≥0是f(x)在[a，b]上单调递增的

条件。

（2）f’(x)＝0是函数f(x)在x=x0处存在极值的

条件。

3、高一函数中“三个二次”关系是什么？

二、自主探究：

1、设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，如何分类讨论画出y=f(x)的大致图象。

2 2、求三次函数极值、最值。

（1）求函数f(x)=(x2－4)(x－12)在(－4，4)上的极值。

（2）若函数f(x)＝2x3+ax2+1（a为常数）在区间（－∞，0），（2，+∞）内单调递增，在（0，2）上单调递减，求常数a的值。

三、典例分析：

例1：已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=－2处取得极值，并且它的图象与直线y=－3x+3在点（1，0）处相切，求a，b，c的值。

变式提高：设函数f(x)=x3+ax2－9x－1（a<0），若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y＝6平行，求：（1）a的值；（2）求函数f(x)的单调区间。

3 例2：已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=－1时有极值0，求m，n的值。

解题技巧与方法

JIETIJIQIAOYUFANGFA146

数学学习与研究2019.13性质及应用三次函数的图像、

性质及应用

◎刘振传（

广东省汕头市潮阳第一中学，

广东汕头515100）

【

摘要】

三次函数的雏形是教材必修1

中的幂函数

f（x）=x3

，

是基本初等函数之一，

在此雏形函数的基础上拓

展为一般的三次函数f（x）=ax3

+bx2

+cx+d（a

≠0）．

本文

研究总结三次函数f（x）=ax3

+bx2

+cx+d（a

≠0）

的图像类

别，

由图像探究性质，

并在此基础上得到启发，

总结一些跟

三次函数有关的问题的解决方法、

规律，

从而培养学生的观

察联想能力、

推理概括能力、

创新思维能力．

【

关键词】

三次函数；

极值点；

极值；

单调性；

对称性

一、

定义

我们把形如f（x）=ax3

+bx2

+cx+d（a

≠0）

的函数称为

三次函数．

二、

三次函数单调性及图像

三次函数y=ax3

+bx2

+cx+d（a

≠0）

的导函数是f'（x）

=3ax2

+2bx+c（a

≠0），

令f'（x）=0，

若Δ=4（b2

－3ac）＞

0，

则方程f'（x）=0

有两个不相等的实数根x

1，x

2（x

1＜x

2）．

在a＞0

的条件下，

当x＜x

1或x＞x

2时，f'（x）＞0，

此时f（x）

在（－

∞，x

1），（x

2，+

∞）

上单调递增，

当x

1＜x＜x

2时，

f'（x）＜0，

此时f（x）

在（x

1，x

2）

上单调递减，

图像如图1

所

示．

同理，

当Δ=4（b2

－3ac）＞0

且a＜0

时，f（x）

在（－

∞，

x

1），（x

2，+

∞）

上单调递减，f（x）

在（x

1，x

2）

上单调递增，

图

像如图2

所示．

当Δ=4（b2

－3ac）

≤0

且a＞0

时，f（x）

在Ｒ

上单调递增，

图像如图3

所示．

当Δ=4（b2

－3ac）

≤0

且a＜

0

时，f（x）

在Ｒ

上单调递减，

图像如图4

所示．

因此，

三次函

数的图像有四种类型，

如图所示．

图

1

图

2

图

3

图4

利用三次函数的单调性与图像，

可以解决2014

年高考

全国卷（

新课标Ⅰ理科）11

题：

已知函数f（x）=ax3

－3x2

+

1，