甘肃高三高中数学月考试卷带答案解析

兰州一中高三年级11月月考试题高三数学注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z 满足(4-3i )z =1+2i,则|z |=()A.255B.25C.15D.552.已知集合A ={x |-1≤x ≤2},B ={x |-a ≤x ≤a +1},则"a =1"是"A ⊆B "的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.若正项等差数列a n 的前n 项和为S n ,S 20=100,则a 10⋅a 11的最大值为()A.9B.16C.25D.504.在ΔABC 中,BC =6,AB =4,∠CBA =π2,设点D 为AC 的中点,点E 在BC 上,且AE ⋅BD =0,则BC ⋅AE =()A.16B.12C.8D.-45.已知定义在R 上的函数f (x )在(-∞,2)内为减函数,且f (x +2)为偶函数,则f (-1),f (4),f 112的大小为()A.f (-1)<f (4)<f 112B.f (4)<f (-1)<f 112C.f 112<f (4)<f (-1) D.f (-1)<f 112<f (4)6.近年来,人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物的释放对大气臭氧层的破坏作用.科学研究表明,臭氧含量Q 与时间t （单位:年）的关系为Q =Q 0e-t a,其中Q 0是臭氧的初始含量,a 为常数.经过测算,如果不对氟化物的使用和释放进行控制，经过280年将有一半的臭氧消失.如果继续不对氟化物的使用和释放进行控制,再经过n 年,臭氧含量只剩下初始含量的20%,n 约为()(参考数据:ln2≈0.7,ln10≈2.3)A.280B.300C.360D.6407.已知角α,β满足cos β=13,cos αcos (α+β)=14,则cos (2α+β)=()A.13B.14C.16D.188.南宋数学家杨辉在《解析九章算法•商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关,如图是一个三角垛,最顶层有1个小球,第二层有3个,第三层有6个,第四层有10个,⋯,设第n 层有a n 个球，则1a 1+1a 2+1a 3+⋯+1a 2025的值为()A.40442023B.20231012C.20222023D.20251013二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设a ,b ,c ,d 为实数,且a >b >0>c >d ,则下列不等式正确的有()A.c 2<cdB.a -c <b -dC.ac <bdD.c a >db10.已知f (x )=A sin (ωx +φ)A >0,ω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示,则()A.f (x )的最小正周期为πB.f (x )的图象可由y =2cos2x 的图象向右平移π12个单位得到C.f (x )在-5π12,5π6 内有3个极值点D.f (x )在区间11π6,2π 上的最大值为311.已知三次函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 有三个不同的零点x 1,x 2,x 3x 1<x 2<x 3 ,函数g (x )=f (x )-1也有三个零点t 1,t 2,t 3t 1<t 2<t 3 ,则()A.b 2>3acB.若x 1,x 2,x 3成等差数列,则x 2=-b3aC.x 1+x 3<t 1+t 3D.x 12+x 22+x 32=t 12+t 22+t 32三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知f (x )=e x +1x-x ,则曲线y =f (x )在点(-1,f (-1))处的切线方程为.13.已知数列a n 满足a 1+2a 2+3a 3+⋯+na n =n (n +2),则a 66=.14.ΔABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知ΔABC ΔABC 的周长6,AB ⋅AC =3a 2-2bc2,则A 的最大值为.xyπ122π3四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(13分)已知数列a n满足a1=1,a2=3,数列b n为等比数列,且满足b n a n+1-a n=b n+1.(1)求数列a n的通项公式;(2)数列b n的前n项和为S n,若,记数列c n满足c n=a n,n为奇数,b n,n为偶数,求数列cn的前2n项和T2n.在①2S2=S3-2,②b2,2a3,b4成等差数列,③S6=126这三个条件中任选一个补充在第(2)问中,并对其求解.16.(15分)如图,在三棱锥P-ABC中,P A⊥平面ABC,AC⊥BC.(1)求证:平面P AC⊥平面PBC;(2)若AC=5,BC=12,三棱锥P-ABC的体积为100,求二面角A-PB-C的余弦值.PA CB17.(15分)如图,四边形OACB中,a,b,c为ΔABC的内角A,B,C的对边,且满足sin B+sin Csin A=2-cos B-cos Ccos A.(1)证明:b+c=2a；(2)若b=c,设∠AOB=θ(0<θ<π),OA=2OB=2,求四边形OACB面积的最大值.18.(17分)已知动点P (x ,y )与定点F (1,0)的距离和P 到定直线l :x =2的距离的比是常数22,记点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的标准方程;(2)设点F '(-1,0),若曲线C 上两点M ,N 均在x 轴上方,且FM //F 'N ,|FM |+F 'N =872,求直线FM 的斜率.19.(17分)若将对于任意x ,y ∈R 总有f (x +y )+f (x -y )=2f (x )f (y )的函数称为"类余弦型"函数.(1)已知f (x )为"类余弦型"函数,且f (x )>0,f (2)=178,求f (1)的值;(2)在(1)的条件下,若数列:a n =2f (n +1)-f (n )n ∈N * ,求2log a 13+2log a 23+…+2log a1003的值;(3)若g (x )为"类余弦型"函数,且g (0)>0,对任意非零实数t ,总有g (t )>1.设有理数x 1,x 2满足x 2 >x 1 ,判断g x 2 与g x 1 的大小关系,并给出证明.参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案DACABCCD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案ADABDABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.3x +y +3=013.1336614.π3四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(13分)【解析】(1)因为b n a n +1-a n =b n +1,a 1=1,a 2=3,令n =1得2b 1=b 2,又数列b n 为等比数列,所以公比为2,即b n +1=2b n ,则a n +1-a n =2,所以数列a n 是以1为首项2为公差的等差数列,所以a n =2n -1（2）由（1）知数列b n 为公比为2的等比数列若选①,由2S 2=S 3-2得2b 1+2b 1 =b 1+2b 1+4b 1-2,所以b 1=2,则b n =2n若选②,由b 2,2a 3,b 4成等差数列得4a 3=b 2+b 4,即2b 1+8b 1=20,所以b 1=2,则b n =2n 若选③,由S 6=126得b 11-26 1-2=126,所以b 1=2,则b n =2n 所以c n =2n -1,n 为奇数,2n,n 为偶数, 数列c n 的奇数项是以1为首项4为公差的等差数列,偶数项是以4为首项4为公比的等比数列,所以T 2n =a 1+a 3+⋯+a 2n -1 +b 2+b 4+⋯+b 2n =n +n (n -1)2×4+41-4n 1-4=2n 2-n +44n -1 316.(15分)【解析】(1)证明:由题意得P A ⊥平面ABC ,因为BC ⊂平面ABC ,所以P A ⊥BC ,又因为AC ⊥BC ,P A ,AC ⊂平面P AC ,所以BC ⊥平面P AC ,又因为BC ⊂平面PCB ,所以平面P AC ⊥平面PBC .(2)因为AC =5,BC =12,AC ⊥BC ,所以S ΔABC =12×12×5=30,又因为三棱锥P -ABC 的体积为100,即得100=13×P A ×30P A =10,由题意可得以A 为原点,分别以平行于BC ,及AC ,AP 所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,如图,则n ⋅PB=12x +5y -10z =0n ⋅AP =10z =0,PAC Bxy z令x =-5,得y =12,z =0,则n=(-5,12,0),设平面PBC 的一个法向量为m=(a ,b ,c ),则m ⋅PB=12a +5b -10c =0m ⋅CB =12a =0,令b =2,得a =0,c =1,则m=(0,2,1),设二面角A -PB -C 为θ,则cos θ=|cos n ,m |=|m ⋅n||m ||n |=2×1213×5=24565.所以锐二面角A -PB -C 的余弦值为24565.17.(15分)【解析】证明∵sin B +sin C sin A =2-cos B -cos Ccos A,∴sin B cos A +sin C cos A =2sin A -cos B sin A -cos C sin A ,∴sin B cos A +cos B sin A +sin C cos A +cos C sin A =2sin A ,∴sin (A +B )+sin (A +C )=2sin A ,∴sin C +sin B =2sin A ,∴b +c =2a .(2)因为b +c =2a ,b =c ,所以a =b =c ,所以ΔABC 为等边三角形,所以S OACB =S ΔOAB +S ΔABC =12OA ⋅OB sin θ+34AB 2=sin θ+34OA 2+OB 2-2OA ⋅OB cos θ =sin θ-3cos θ+534=2sin θ-π3 +534,∵θ∈(0,π),∴θ-π3∈-π3,2π3 ,当且仅当θ-π3=π2,即θ=5π6时取最大值,S OACB 的最大值为2+534.⋅18.(17分)【解析】(1)曲线C 的标准方程为x 22+y 2=1.(2)由题意,直线FM ,F 'N 的斜率都存在,设k FM =k F 'N =k ,则直线F 'N 的方程为y =k (x +1),分别延长NF ',MF 交曲线C 于点N ',M ',设N x 1,y 1 ,N 'x 2,y 2 ，联立y =k (x +1)x 22+y 2=1,即1+2k 2 x 2+4k 2x +2k 2-2=0,则x 1+x 2=-4k 21+2k 2,x 1x 2=2k 2-21+2k 2,根据对称性,可得|FM |=F 'N ' ,则|FM |+F 'N =NN ' =1+k 2⋅x 1+x 2 2-4x 1x 2=1+k 2⋅-4k 21+2k 22-4×2k 2-21+2k 2=221+k 2 1+2k 2,即221+k 2 1+2k 2=872,解得k =±3,所以直线FM 的斜率为± 3.19.(17分)【解析】(1)令x =y =0则,f (0)+f (0)=2f 2(0),又f (x )>0,故f (0)=1.令x =1,y =1,则f (2)+f (0)=2f (1)f (1),则f 2(1)=2516f (1)>0故f (1)=54(2)令x =n ,y =1,n ∈N +,则f (n +1)+f (n -1)=2f (n )f (1)=52f (n ),2f (n +1)-f (n )=2[2f (n )-f (n -1)],即a n =2a n -1又a 1=3,所以数列a n 为以2为公比,3为首项的等比数列,即a n =3.2n -1,则2log a 13+2log a 23+⋯+2log a 1003=0+1+2+⋯+99=0+992×100=4950(3)由题意得：函数g (x )定义域为R,定义域关于原点对称,令x =y =0,有g (0)+g (0)=2g 2(0)又g (0)>0,故g (0)=1.令x =0,y 为任意实数则g (y )+g (-y )=2g (0)g (y )即g (y )=g (-y ),故g (x )是偶函数因为g (x +y )+g (x -y )=2g (x )g (y )又因为当x ≠0时,g (x )>1所以当x ≠0时,有2g (x )g (y )>2g (y )所以g (x +y )+g (x -y )>2g (y )x 2 ,x 1 为有理数,不妨设x 1 =p 1q 1,x 2 =p 2q 2令N 为x 2 ,x 1 ,分母的最小公倍数且x 1 =a N ,x 2 =b N ,a ,b 均为自然数,且a <b ,设C n =g nN,g (0)=1<g 1N ,则c 0<c 1令x =n N ,y =1N ,则g n +1N+g n -1N >2g nN ,设C n +1+C n -1>2C n ,C n +1>2C n -C n -1=C n +C n -C n -1 >C n ,故数列C n 单调递增则g x 2 >g x 1 ,又g (x )是偶函数,所以有g x 2 >g x 1。

甘肃高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.复数的虚部是( )A．B．C．D．2.下列命题中，假命题是（）A．B．C．D．3.函数是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的偶函数4.已知点，，则与共线的单位向量为（）A．或B．C．或D．5.若在处取得最小值，则（）A．B．3C．D．46.设是三个互不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（）A．若，则B．若，，，则C．若，，则D．若，，，则7.某程序的框图如右图所示，输入，则输出的数等于（ ）A ．B ．C ．D ．8.数列{}满足若=，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．9.设二元一次不等式组所表示的平面区域为M ，使函数y=a x (a>0, a≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是（ ） A ．[1,3]B ．[2,] C ．[2,9]D ．[,9]10.有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为（ ）正视图 侧视图 俯视图 A ． B ． C ．D ．11.已知F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点,P 为双曲线右支上的任意一点且，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(1,2]B ．[2 +)C ．(1,3]D ．[3，+)12.函数的定义域为D ，若对于任意，当时，都有，则称函数在D 上为非减函数，设函数在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③.则等于( )A ．B ．C ．D ．无法确定二、填空题1.已知的最小值为，则二项式展开式中项的系数为 .2.记定义在R 上的函数的导函数为．如果存在，使得成立，则称为函数在区间上的“中值点”．那么函数在区间[－2，2]上的“中值点”为____．3.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点，为坐标原点．若双曲线的离心率为2,的面积为,则.三、解答题1.已知函数x ∈R 且,（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）函数f(x)的图象经过怎样的平移才能使所得图象对应的函数成为偶函数？（列举出一种方法即可）．2.如图，在长方体，中，，点在棱AB 上移动.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求点到平面的距离；（Ⅲ）等于何值时，二面角的大小为3.小波以游戏方式决定：是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为：以O 为起点,再从A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X,若就去打球；若就去唱歌；若就去下棋.（Ⅰ）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.（Ⅱ）写出数量积X 的所有可能取值，并求X 分布列与数学期望4.已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．（Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）当点为直线上的定点时，求直线的方程；（Ⅲ）当点在直线上移动时，求的最小值．5.已知函数．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．（Ⅲ）求证：（，e是自然对数的底数）.6.如图，、是圆的半径，且，是半径上一点：延长交圆于点，过作圆的切线交的延长线于点.求证：.7.已知曲线的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.（Ⅰ）求点A，B，C，D的直角坐标；（Ⅱ）设P为上任意一点，求的取值范围．8.已知函数，，且的解集为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求证：甘肃高三高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.复数的虚部是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】,复数的虚部为，故选B．【考点】复数的概念和运算2.下列命题中，假命题是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】特殊值验证，∴是假命题，故选D．【考点】命题真假的判断3.函数是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的偶函数【答案】C【解析】根据诱导公式将函数化简为，于是可判断其为最小正周期为的偶函数,选C..【考点】本小题主要考查诱导公式、三角函数的奇偶性4.已知点，，则与共线的单位向量为（）A．或B．C．或D．【答案】C【解析】因为点，，所以，，与共线的单位向量为,选C..【考点】向量共线.5.若在处取得最小值，则（）A．B．3C．D．4【答案】B【解析】由，当且仅当即时，取得等号，故选B.【考点】均值不等式6.设是三个互不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（）A．若，则B．若，，，则C．若，，则D．若，，，则【答案】B【解析】根据点、线、面的位置关系可知“若，，，则”，即不在平面内的直线平行于两个平行平面中的一个必平面另一个.【考点】本小题主要考查点、线、面的位置关系7.某程序的框图如右图所示，输入，则输出的数等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，；第五次循环，；此时不满足条件，输出，选D.【考点】算法与框图.8.数列{}满足若=，则的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为故所以故从而是以3为周期的周期数列，故，选A.【考点】本小题数列性质，数列问题函数化思想9.设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y=a x(a>0, a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是（）A．[1,3]B．[2,]C．[2,9]D．[,9]【答案】C【解析】画出题设中的线性区域如图中的阴影部分．可求得A(1,9),B(3,8)，当y=a x过A、B时，函数y=a x的图象过区域M ，分别解得a=9和a=2，∴a 的取值范围是[2，9]，故选C ．【考点】线性规划.10.有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为（ ）正视图 侧视图 俯视图 A ． B ． C ．D ．【答案】A【解析】由三视图可得该几何体为圆锥，且底面直径为6，即底面半径为r=3，圆锥的母线长l=5，则圆锥的底面积S 底面=π•r 2=9π侧面积S 侧面=π•r•l=15π故几何体的表面积S=9π+15π=24πcm 2，又由圆锥的高h==4故V=•S 底面•h=12πcm 3故选A. 【考点】由三视图求面积、体积11.已知F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点,P 为双曲线右支上的任意一点且，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(1,2]B ．[2 +)C ．(1,3]D ．[3，+)【答案】C【解析】由定义知：|PF 1|-|PF 2|=2a ，所以|PF 1|=2a+|PF 2|，+4a+|PF 2| ≥8a ，当且仅当=|PF 2|，即|PF 2|=2a 时取得等号,设P （x 0，y 0） （x 0a ），由焦半径公式得：|PF 2|=-ex 0-a=2a ，，又双曲线的离心率e ＞1，∴e ∈（1，3]，故选C ．【考点】本题主要考查双曲线的定义及几何性质，均值定理的应用12.函数的定义域为D ，若对于任意，当时，都有，则称函数在D 上为非减函数，设函数在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③.则等于( )A ．B ．C ．D ．无法确定【答案】A 【解析】由，令，得，因为，所以.由②，令，得.由③，令，得，所以.再由②，令，得.②中再令，得.又函数在[0，1]上为非减函数，，所以，故.所以有=1+++++=.【考点】抽象函数的运算、新概念的理解二、填空题1.已知的最小值为，则二项式展开式中项的系数为 .【答案】15【解析】二项式展开式中含的项为其系数为．【考点】绝对值不等式的性质、二项式定理.2.记定义在R上的函数的导函数为．如果存在，使得成立，则称为函数在区间上的“中值点”．那么函数在区间[－2，2]上的“中值点”为____．【答案】【解析】由求导可得，设为函数在区间[－2，2]上的“中值点”则，即解得.【考点】新定义、导数，考查学生对新定义的理解、分析和计算能力.3.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点，为坐标原点．若双曲线的离心率为2,的面积为,则 .【答案】.【解析】有得所以双曲线的渐近线为又抛物线的准线方程为联立双曲线的渐近线和抛物线的准线方程得在中，到的距离为..【考点】双曲线与抛物线的几何性质.三、解答题1.已知函数 x∈R且,（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）函数f(x)的图象经过怎样的平移才能使所得图象对应的函数成为偶函数？（列举出一种方法即可）．【答案】（1）；（2）右平移个单位或向左平移个单位.【解析】（1）利用已知代入函数将函数解析式确定，在将其化为一角一函数形式，根据正弦函数性质解答；（2）根据图象平移即余弦函数的特征解答.试题解析：（1）由得∴（ 4分）因此，．（6分）故（7分）（2）由于或，（9分）于是将向右平移个单位或向左平移个单位，（ 11分）所得图象对应的函数均为偶函数．（其他正确答案参照给分）（12分）【考点】三角函数的性质、图像变换、两角和的正弦公式.2.如图，在长方体，中，，点在棱AB上移动.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求点到平面的距离；（Ⅲ）等于何值时，二面角的大小为【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）二面角的大小为.【解析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，利用向量数量积为零证明即可；（Ⅱ）求出平面的法向量解答；（Ⅲ）设平面的法向量，利用空间向量解答即可.试题解析：以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则 2分（1） 4分（2）因为为的中点，则，从而， 5分，设平面的法向量为，则也即，得 6分从而， 7分所以点到平面的距离为 8分（3）设平面的法向量，∴由令，∴依题意∴（不合，舍去），.∴时，二面角的大小为. 12分【考点】线面、面面的垂直关系、二面角的求法、空间向量在立体几何中的应用.3.小波以游戏方式决定：是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为：以O 为起点,再从A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X,若就去打球；若就去唱歌；若就去下棋.（Ⅰ）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.（Ⅱ）写出数量积X 的所有可能取值，并求X 分布列与数学期望 【答案】（Ⅰ）小波去下棋的概率为，小波不去唱歌的概率．（Ⅱ）的所有可能取值为；【解析】（Ⅰ）的所有可能取值，即从，，，，，这六个向量中任取两个，共有种,的所有可能取值为,利用古典概型概率计算公式求解；（Ⅱ）由上表可知的所有可能取值为；数量积为-2的只有一种，数量积为-1的有六种，数量积为0的有四种，数量积为1的有四种，列出分布列，求期望.试题解析：（Ⅰ）的所有可能取值，即从，，，，，这六个向量中任取两个，共有种。

兰州一中2020届高三9月月考试题数 学（文）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.） 1.已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围为( ) A .(0，1] B .[1，＋∞) C .(0，1) D .(1，＋∞) 2.若复数z 满足()3443i z i -=+,则z 的虚部为( )A . 45i - B . 45-C . 45D . 45i 3.若||1a =r ，||2b =r ()a a b ⊥-r r r，则向量,a b r r 的夹角为( )A .45oB .60oC .120oD . 135o4.已知直线:10(R)l x ay a +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点()4,A a -作圆C 的一条切线,切点为B ,则AB =( ) A .2B .42C .6D .2105.如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，且BC 1⊥AC ，过C 1作C 1H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则点H 在( )A .直线AC 上B .直线AB 上C .直线BC 上D .△ABC 内部6.已知三条直线2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角 形，则实数m 的取值集合为( )A .⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23 B .⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43 C .⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23 D .⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，237.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2 ,…, 960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9,抽到的32人中,编号落入区间[]1,450的人做问卷A ,编号落入区间[]451,750的人做问卷B ,其余的人做问卷C ,则抽到的人中,做问卷C 的人数为( )A .7B .9C .10D .158.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6),骰子朝上的面的点数分别为,x y ,则2log 1x y =的概率为( )A .16 B . 536 C . 112 D .129.若实数x ，y 满足条件4022000x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,则12x y -⎛⎫⎪⎝⎭ 的最大值为( )A .116B . 12C . 1D .210.已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为T n ，且a 2a 4＝a 3，则使得T n >1的n 的最小值为( ) A .4B .5C .6D .711.函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2,对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( ) A .(－1，1) B .(－1，＋∞) C .(－∞，－1)D .(－∞，＋∞)12.已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>有相同的焦点12,F F ,若点P 是1C 与2C 在第一象限内的交点,且1222F F PF =,设1C 与2C 的离心率分别为12,e e ,则21e e -的取值范围是( )A . 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B . 1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C . 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D . 1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题（本大题共4 小题，每小题5分，共20分）13. 函数22()log (2)f x x x =--的单调递减区间是________.14.已知抛物线方程为y 2＝－4x ，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，到直线l 的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________. 15.ABC ∆的内角,,ABC 的对边分别为,,a b c ，若a b c bc a b c -+=+-，则sin sin B C +的取值范围是 .16.已知实数e ,0()=lg(),0x x f x x x ⎧≥⎨-<⎩，若关于x 的方程()2()0f x f x t ++=有三个不同的实根，则t 的取值范围为____________．三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)17.（12分）已知向量()()2cos ,1,cos 2,a x b x x =r r=函数().f x a b =⋅r r(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求函数()f x 值域．18.（12分）在锐角ABC △中，,,a b c 为内角,,A B C 的对边，且满足(2)cos cos 0c a B b A --=． (1)求角B 的大小；(2)已知2c =，AC 边上的高BD =，求ABC △的面积S 的值．19.（11分）在平面直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为2,{2x t y =--= (t 为参数),直线l 与曲线()22:21C y x --=交于,A B 两点．(1)求AB 的长；(2)在以O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点P的极坐标为34π⎛⎫⎪⎝⎭,求点P 到线段AB 中点M 的距离．20.（11分）已知()()20f x ax ax a a =-+->． (1)当1a =时,求()f x x ≥的解集；(2)若不存在实数x ,使()3f x <成立,求a 的取值范围．21.（12分）设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x (常数a >0)． (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围．22.（12分）已知函数()(2)ln(1)()f x x x ax a R =++-∈． (1)若1a =,求曲线()y f x =在点()0,(0)f 处的切线方程； (2)若()0f x ≥在[)0,+∞上恒成立,求实数a 的取值范围．兰州一中2020届9月月考试题参考答案数学（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题：（每小题5分，共20分） 13. (,1)-∞- 14.655－1 15. 16. (,2]-∞- 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(12分）已知向量()()2cos ,1,cos 2,a x b x x =r r=函数().f x a b =⋅r r(1)求函数()f x 的单调增区间;(2)当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求函数()f x 值域.解：（1）()22cos 2f x a b x x =⋅=+r r2cos 212sin 216x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，由()222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈,得(),.36k x k k Z ππππ-≤≤+∈（2）由（1）知()f x 在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴当6x π=时, ()max 3f x =;当0x =时, ()min 2f x =18.（12分）在锐角ABC △中，,,a b c 为内角,,A B C 的对边，且满足(2)cos cos 0c a B b A --=． （1）求角B 的大小．（2）已知2c =，AC 边上的高BD =，求ABC △的面积S 的值． 解（1）∵(2)cos cos 0c a B b A --=，由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0C A B B A --=， ∴2sin cos sin cos sin cos C B A B B A =+， 即2sin cos sin C B C =。

甘肃高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知全集U=R,集合，则集合等于 ( )A．B．C．D．2.设则的值为( )A．6B．C．D．3.设，则（）A．B．C．D．4.已知a<b函数，若命题，命题q:g(x)在 (a，b) 内有最值，则命题p是命题q成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5.已知，则 ( )A．B．C．D．6.设函数的图象关于直线及直线对称，且时，，则（）A．B．C．D．7.设为等比数列的前项和，已知，则公比（）A．4B．3C．2D．88.已知向量a，b是互相垂直的单位向量，且，则对任意的实数的最小值为( )A．5B．7C．12D．139.如图是函数在一个周期内的图像，M、N分别是最大、最小值点，且，则A • w的值为( )A．B．C．D．10.如图,在△中,,是上的一点,若,则实数的值为( )A．B．C．1D．311.在三角形ABC中，B=600，AC=, 则AB+2BC的最大值为( )A．3B．C．D．212.已知函数在上恰有两个零点，则实数的取值范围为( )A．B．C．D．（2，4）二、填空题1.若实数满足不等式组则的最小值是．2.已知向量为正常数，向量，且则数列的通项公式为。

3.若，则的最小值为。

4.设函数,给出以下四个命题：①当c=0时，有②当b=0,c>0时，方程③函数的图象关于点（0，c）对称④当x>0时；函数，。

其中正确的命题的序号是_________。

三、解答题1.本小题满分10分）设函数，（Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期.，（Ⅱ）设A,B,C为ABC的三个内角，若，且C为锐角，求2. (本小题满分12分)在△ABC中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量="(1,cosA" -1)，=(cosA,1)且满足⊥. （Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若a=，b+c=3 求b、c的值.3.（本小题满分12分）．设p:实数x满足,其中,命题实数满足．（I）若且为真，求实数的取值范围；（II）若是的充分不必要条件,求实数a的取值范围．4.（本题满分12分）如图，有一块矩形空地，要在这块空地上辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB＝（>2），BC＝2，且AE＝AH＝CF＝CG，设AE＝，绿地面积为.（1）写出关于的函数关系式，并指出这个函数的定义域;（2）当AE为何值时，绿地面积最大？（10分）5.（本小题满分12分）设数列对任意正整数n都成立，m为大于—1的非零常数。

甘肃高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合，则（）A．B．C．D．2.“”是“函数在区间上为增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要3.已知，则（）A．B．C．D．4.曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．5.定义域为上的奇函数满足，且，则（）A．2B．1C．-1D．-26.已知函数，（为自然对数的底数），且,则实数的取值范围是（）A．B．C．D．7.在中，，若，则面积的最大值是（）A．B．4C．D．8.已知函数，且，则（）A．B．C．D．9.函数的示意图是（）A．B．C．D．10.已知，是函数图像上的两个不同点.且在两点处的切线互相平行，则的取值范围是（）A．B．C．D．11.已知函数的定义域为，则实数的取值范围是__________．二、填空题1.已知函数.若命题：“，使”是真命题，则实数的取值范围是__________．2.若点在直线上，则_______________．3.已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点（为自然对数的底），则线段的长度的最小值为______．三、解答题1.设命题：实数满足，其中；命题：实数满足.（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.2.已知函数（，）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为.（1）当时，求的单调递减区间；（2）将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求函数的值域.3.在中，角所对的边分别为，且.（1）若，求；（2）若，的面积为，求.4.已知函数.（Ⅰ）判断函数在上的单调性；（Ⅱ）若恒成立, 求整数的最大值．甘肃高三高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.已知集合，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】集合..故选D.2.“”是“函数在区间上为增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要【答案】A【解析】函数的对称轴为，则在上函数递增，若函数在区间上为增函数，所以,得.所以“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件，故选A.3.已知，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】. 故选A.4.曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由得,所以曲线在的切线斜率为2；切线方程为：.整理得：故选A.5.定义域为上的奇函数满足，且，则（）A．2B．1C．-1D．-2【答案】C【解析】 ,因此，选C.6.已知函数，（为自然对数的底数），且,则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，则函数为偶函数且在上单调递增，，，即，两边平方得，解得或，故选C.7.在中，，若，则面积的最大值是（）A．B．4C．D．【答案】D【解析】∵，由，，得，∴．又，∵，∴，∴当时，取得最大值，∴面积的最大值为，故选D．8.已知函数，且，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以函数的单调递减函数，又因为，即，所以由函数的单调性可得：，应选答案D。

甘肃高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合，，若，则=（）A．0或B．1或C．0或3D．1或32.欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.下列四个对应中，哪个对应不是从到的映射？A．设，，对应关系：矩形和它的面积对应.B．，，对应关系：.C．，，对应关系：.D．，，：.4.是上的奇函数，当时，，则当时，（）A．B．C．D．5.已知命题对任意，总有；“”是“”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( ) A．B．C．D．6.若函数的定义域为，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．7.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，，依次输入的为2，2，5，则输出的＝( )A．7B．12C．17D．348.奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则的值为()A．2B．1C．－1D．－29.已知是函数的零点，若，则的值满足( )A．＜0B．=0C．＞0D．的符号不确定10.函数的图象可能为 ()．A．B．C．D．11.已知函数是奇函数，且在区间上满足任意的，都有，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．12.若满足，满足，函数，则关于的方程解的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题1.已知，求=_______________.2.已知函数，则的值是___________.3.若函数，则关于的不等式的解集是___________.4.已知函数是上的偶函数，对都有成立．当，单调递减，给出下列命题：①；②直线是函数图象的一条对称轴；③函数在上有四个零点；④区间是的一个单调递增区间.其中所有正确命题的序号为________．5.已知函数.（1）若曲线在和处的切线互相平行，求的值；（2）求的单调性.三、解答题1.设命题：关于的不等式的解集是；命题：.若为假命题，求实数的取值范围.2.已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）把的参数方程化为极坐标方程；（2）求与交点的极坐标（）．3.(本题满分12分）已知函数，.（1）求函数的值域；（2）求满足方程的的值.4.某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目选择，若投资甲项目一年后可获得的利润（万元）的概率分布列如下表所示：且的期望；若投资乙项目一年后可获得的利润（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为和.若乙项目产品价格一年内调整次数（次数）与的关系如下表所示：（1）求的值；（2）求的分布列；（3）若，则选择投资乙项目，求此时的取值范围.5.已知函数.（1）若的解集为，求不等式的解集；（2）若存在使得成立，求的取值范围.甘肃高三高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.已知集合，，若，则=（）A．0或B．1或C．0或3D．1或3【答案】C【解析】由得：，又因为，，故或，解得，或（舍去），故选C.2.欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】，∵，∴，，∴表示的复数在复平面中位于第二象限，故选B.3.下列四个对应中，哪个对应不是从到的映射？A．设，，对应关系：矩形和它的面积对应.B．，，对应关系：.C．，，对应关系：.D．，，：.【答案】C【解析】对于A，，，对应关系：矩形和它的面积对应，是唯一对应，是映射；对于B，，，对应关系：，时，时，是唯一对应，是映射；对于C，，，对应关系：，时，在B中没有对应的象，不能构成映射；对于D，，，是唯一对应，是映射，故选C.4.是上的奇函数，当时，，则当时，（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴，∴，又∵是上的奇函数，∴，∴.【考点】1.函数的奇偶性；2.函数解析式.5.已知命题对任意，总有；“”是“”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】因为命题p对任意x∈R,总有2x>0，根据指数函数的性质判断是真命题；命题q:“x>1”不能推出“x>2”；但是“x>2”能推出“x>1”所以：“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q是假命题；所以p∧￢q为真命题；本题选择D选项.6.若函数的定义域为，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知，对于任意，恒成立，则，解得，故选D.【考点】二次不等式恒成立7.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，，依次输入的为2，2，5，则输出的＝( )A．7B．12C．17D．34【答案】C【解析】∵输入的，，当输入的为2时，，，不满足退出循环的条件；当再次输入的为2时，，，不满足退出循环的条件；当输入的为5时，，，满足退出循环的条件；故输出的值为17，故选C.点睛：本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答；根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案.8.奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则的值为()A．2B．1C．－1D．－2【答案】A【解析】∵为偶函数，是奇函数，∴设，则，即，∵是奇函数，∴，即，，则，，∴，故选A.9.已知是函数的零点，若，则的值满足( )A．＜0B．=0C．＞0D．的符号不确定【答案】A.【解析】因为函数在上是增函数，是函数的零点，即，所以当时，，故应选A.【考点】函数的零点；函数的零点与方程根的关系.10.函数的图象可能为 ()．A．B．C．D．【答案】A【解析】当时，，故排除C，D，当时，，，∴，故排除B，故选A.点睛：本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括等.11.已知函数是奇函数，且在区间上满足任意的，都有，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，则，∴，∵为奇函数，∴（），∴，∴在，上单调递减，在上单调递增，∵若函数在区间上满足任意的，都有，即在区间上单调递增，∴，∴，故选B.12.若满足，满足，函数，则关于的方程解的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】∵满足，满足，∴，分别为函数与函数，图象交点的横坐标，由于与图象交点的横坐标为2，函数，的图象关于对称，∴，∴函数，当时，关于的方程，即，即，∴或，满足题意，当时，关于的方程，即，满足题意，∴关于的方程的解的个数是3，故选C.点睛：本题考查函数与方程的联系，考查根的个数的研究，解题的关键是求出分段函数的解析式，有一定的综合性；满足，满足，进而可分类求出关于的方程的解，从而确定关于的方程的解的个数.二、填空题1.已知，求=_______________.【答案】【解析】当时，，故答案为.2.已知函数，则的值是___________.【答案】【解析】∵，∴，，故答案为.3.若函数，则关于的不等式的解集是___________.【答案】【解析】由，求得，故函数的定义域为，再根据函数满足，可得函数为奇函数，故关于的不等式，即，再由函数、在的定义域上单调递增，可得函数在其定义域上单调递增，可得，解得，故答案为．4.已知函数是上的偶函数，对都有成立．当，单调递减，给出下列命题：①；②直线是函数图象的一条对称轴；③函数在上有四个零点；④区间是的一个单调递增区间.其中所有正确命题的序号为________．【答案】①②【解析】∵对任意，都有成立，当，可得，又∵函数是上的偶函数，∴，故（1）正确；由，知，故周期为4，又函数在区间单调递减，由函数是偶函数，知函数在上单调递增，再由函数的周期为4，得到函数的示意图如下图所示：由图可知：①正确，②正确，③函数在上有四个零点；不正确；④区间是的一个单调递减区间，④不正确，故答案为①②．点睛：本题考查的知识点是函数的图象，函数的奇偶性，函数的周期性，函数的零点，解答的关键是根据已知，判断函数是周期为4的偶函数，且在区间单调递减，并画出函数的草图，结合草图分析题目中相关结论的正误.5.已知函数.（1）若曲线在和处的切线互相平行，求的值；（2）求的单调性.【答案】.解：. ………………3分（Ⅰ），解得. ………………5分（Ⅱ）. ………………6分①当时，，，在区间上，；在区间上，故的单调递增区间是，单调递减区间是.②当时，，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.③当时，，故的单调递增区间是.④当时，，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是. ……12分【解析】略三、解答题1.设命题：关于的不等式的解集是；命题：.若为假命题，求实数的取值范围.【答案】【解析】由复合命题的真假得命题为真命题，命题为假命题，由为真命题得，由为假命题得，求其交集即可.试题解析：由为假命题，得：命题为真命题，命题为假命题.由命题为真命题，得，；由命题为假命题，得：为真命题，，解得：；因此，所求实数的取值范围是.2.已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）把的参数方程化为极坐标方程；（2）求与交点的极坐标（）．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）先得到的普通方程，进而得到极坐标方程；（2）先联立求出交点坐标，进而求出极坐标．试题解析：（1）将消去参数，化为普通方程5，即．将代入得，所以的极坐标方程为．（2）的普通方程为．由，解得或，所以与交点的极坐标分别为，．【考点】1、参数方程与普通方程的互化；2、极坐标方程与直角坐标方程的互化．3.(本题满分12分）已知函数，.（1）求函数的值域；（2）求满足方程的的值.【答案】（1）;（2）【解析】（1）因为,再结合指数函数的单调性可得的范围,从而可得函数的值域.（2）得.讨论的符号去绝对值.解关于的一元二次方程可得的值.根据指数对数互化可得的值.试题解析：解：（1），因为，所以，即，故的值域是.（2）由得，当时，，显然不满足方程；当时，整理得，得.因为，所以，即.【考点】1指数函数的值域,单调性;2指数对数的互化.4.某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目选择，若投资甲项目一年后可获得的利润（万元）的概率分布列如下表所示：且的期望；若投资乙项目一年后可获得的利润（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为和.若乙项目产品价格一年内调整次数（次数）与的关系如下表所示：（1）求的值；（2）求的分布列；（3）若，则选择投资乙项目，求此时的取值范围.【答案】（1）；（2）分布列见解析；（3）.【解析】（1）由分布列的性质和期望公式列方程组即可解得；（2）根据题意可得随机变量可取值为、、，分别求出概率，再利用期望公式求解；（3）由，得，解得：.试题解析：（1）由题意得，解得 .（2）的可能取值为、、，所以的分布列为：（3）由（2）可得：，由，得：，解得：，即当选择投资乙项目时，的取值范围是．【考点】1、离散型随机变量的分布列；2、离散型随机变量的期望.5.已知函数.（1）若的解集为，求不等式的解集；（2）若存在使得成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由于，将化为，利用一元二次不等式的解集求出的值，代入不等式后解之；（2）法一：由于将转化为，再构造函数求其最小值，即可得的取值范围；法二：将转化为，构造函数，问题转化，再利用分类讨论思想求在上的最小值即可．试题解析：（1），不等式的解集为，是方程的根，且m<0，．不等式的解集为⑵法一：．存在使得成立，即存在使得成立，令，则，令，则，，当且仅当即时等号成立.，.法二：，，令，存在使得成立，即存在成立，即成立，当时，在上单调递增，，显然不存在；当时，在上单调递减，在上单调递增，，由可得，综上，【考点】1、一元二次不等式；2、函数最值．【方法点睛】（２）中法一采用了分离变量法．不等式存在解等价于．分离变量法是通过将两个变量构成的不等式（方程）变形到不等号（等号）两端，使两端变量各自相同，解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法，两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知．本题考查了一元二次不等式的解法，考查了转化思想、分类讨论思想的应用，综合性较强，属于中档题．。

甘肃高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.函数的定义域为（）A．B．C．D．2.函数y=的最小正周期是（）A．B．C．2D．43.已知向量，，，则= （）A．B．C．5D．254.设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（）A．4B．11C．12D．145.设函数的最小正周期为，且，则（）A．在单调递减B．在单调递减C．在单调递增D．在单调递增6.已知数列{}满足，且，则的值是（）A．B．C．D．7.若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则( ) A．64B．32C．16D．88.等差数列的前n项和为，已知，,则 ( )A．38B．20C．10D．99.已知函数满足：x≥4,则＝；当x＜4时＝，则＝A．B．C．D．10.已知，为互相垂直的单位向量，向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．11.下列命题中，真命题的个数为( )（1）在中，若，则；（2）已知，则在上的投影为；（3）已知，，则“”为假命题；（4）已知函数的导函数的最大值为，则函数的图象关于对称．A．1B．2C．3D．412.函数为定义在上的减函数，函数的图像关于点（1,0）对称，满足不等式，，为坐标原点，则当时，的取值范围为( ) A．B．C．D．二、填空题1.已知数列{}的首项＝2，，数列{}通项公式为．2.已知（其中，O是坐标原点）,若A、B、C三点共线，则的最小值为 .3.已知数列满足则数列的前项和= .4.已知函数恒成立，则k的取值范围为。

三、解答题1.（本小题满分12分）设．（Ⅰ）求的最大值及最小正周期；（Ⅱ）若锐角满足，求的值．2.（本小题满分12分）在数列中，，，．（Ⅰ）证明数列是等比数列；（II）求数列的前项和．（Ⅲ）证明对任意，不等式成立．3.(本小题满分12分) 在中，角所对的三边分别为成等比数列，且．（1）求的值； （2）设，求的值．4.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点在直线上.数列{b n }满足，前9项和为153.（Ⅰ）求数列{a n }、{b n }的通项公式； （Ⅱ）设，数列{c n }的前n 和为T n ，求使不等式对一切都成立的最大正整数k 的值.5.(本小题满分12分)函数，．（Ⅰ）求的单调区间和最小值； （Ⅱ）讨论与的大小关系； （Ⅲ）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．6.选修4－4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线的极坐标方程为：,点，参数．（Ⅰ）求点轨迹的直角坐标方程； （Ⅱ）求点到直线距离的最大值．7.选修4－5：不等式选讲（本小题满分10分） 设函数,其中。

2024-2025学年度高三10月月考数学试题参考答案一、选择题题号1234567891011答案DDBCCABDABDBCDABD二、填空题12.5013.2433ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，14.（1）1327；（2）13425153n -⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭三、解答题15、解：（1）由题3sin 21==∆θbc S ABC ，可得θsin 6=bc ，又36cos 0≤=⋅≤θbc AC AB ，所以36sin cos 60≤≤θθ，得到33tan ≥θ或2πθ=因为()πθ,0∈，所以,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦6分（2）()2cos sin cos34f πθθθθ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，化简得()21sin 2cos 4f θθθ=进一步计算得()1sin 223f πθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故22033ππθ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故可得()102f θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，13分16、解：（1）过点P 作PO 垂直于平面ABCD ，垂足为O ，连接BO 交AD 于E ，连接PE ，则有AD PB AD PO ⊥⊥,，又P PB PO =⋂，所以POB AD 平面⊥，因为POB PE 平面⊂，所以PE AD ⊥，又PD P A =，所以E 为AD 得中点依题侧面P AD 与底面ABCD 所成的二面角为120°，即有32π=∠PEB ，所以3π=∠PEO ，因为侧面P AD 为正三角形，所以323sin 4=⋅=πPE ，则323323sin =⋅=⋅=πPE PO ，所以38323443131=⋅⋅⋅⋅==-PO S V ABCD ABCD P 7分（2）如图，在平面ABCD 内过点O 作OB 得垂线Ox ，依题可得Ox OB OP ,,两两垂直，以Ox OB OP ,,为轴轴，轴，x y z 建立空间直角坐标系可得()0,3,2A ，()0,0,0P ，()0,33,0B ，取PB 得中点为N ，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,233,0N 因为AB AP =，所以PB AN ⊥，由（1)POB AD 平面⊥，AD BC //，知POB BC 平面⊥所以PB BC ⊥，可得NA BC ,所成角即为二面角A PB C --的平面角，求得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,23,2AN ，()0,0,2=BC，则72724-=-==BC NA则21sin 7A PBC --=15分17、解：（1）当a e =时，1()e lnx e f x x -=+，0(1)e ln 2f e =+=，11()e ,(1)0x f x f x-''=-=所求切线方程为：)1(02-=-x y ，即2y =5分（2）()2≥x f 转化为ln 2e ln ln 2a x a x +-+-≥，可得ln 2e ln +2ln 0a x a x x x x +-+-≥+>，构造函数()e x g x x =+，易得()g x 在R 单调递增所以有()(ln 2)ln g a x g x +-≥，由()g x 在R 单调递增,故可得ln 2ln a x x +-≥，即有ln ln 2a x x ≥-+在()∞+，0恒成立令()2ln +-=x x x h ，()011=-='xx h ，得到1=x ，可得()10，∈x 时，()0>'x h ；()∞+∈，1x 时，()0<'x h ，所以()x h 在1=x 时取最大值所以()ln 11a h ≥=，得到ea ≥15分18、解：（1）∵椭圆E 经过点A 52,3⎛⎫⎪⎝⎭，23e =∴222222549123a b a b c c e a ⎧⎪+=⎪⎪⎨=+⎪⎪==⎪⎩，解得32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩E ：22195x y +=；4分（2）由（1）可知，1(2,0)F -，2(2,0)F 思路一：由题意，1:512100AF l x y -+=，2:2AF l x =设角平分线上任意一点为(),P x y ，则51210213x y x -+=-得9680x y --=或2390x y +-=∵斜率为正，∴21AF F ∠的角平分线所在直线为9680x y --=思路二：椭圆在点A 52,3⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为2319x y +=，23k =-切根据椭圆的光学性质，21AF F∠的角平分线所在直线l 的斜率为32l k =，∴，21AF F ∠的角平分线所在直线34:23l y x =-即9680x y --=10分（3）思路一：假设存在关于直线l 对称的相异两点()()1122,,,B x y C x y ，设2:3BC l y x m =-+，∴2222195912945023x y x mx m y x m ⎧+=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪=-+⎪⎩∴线段BC 中点为25,39m mM ⎛⎫⎪⎝⎭在21AF F ∠的角平分线上，即106803m m --=得3m =∴52,3M ⎛⎫⎪⎝⎭与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．思路二：假设存在关于直线l 对称的相异两点()()1122,,,B x y C x y ，线段BC 中点()00,Mx y ，由点差法，2211222212122222195095195x y x x y y x y ⎧+=⎪⎪⇒+=⎨⎪+=⎪--⎩，∴0121212120552993BC x y y x x k x x y y y -+==-=-=--+，∴0065OM y k x ==，:968052,63:5AM OM l x y M l y x --=⎧⎪⎛⎫⇒⎨⎪=⎝⎭⎪⎩与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．17分19、解：（1）①()()()222121()111b f x x bx x x x x +=-=-+'++，∵1x >，()()2101h x x x =>+恒成立，∴函数()f x 具有性质()P b ；3分②设()()211u x x bx x =-+>，(i)当0b -≥即0b ≤时，()0u x >，()0f x '>，故此时()f x 在区间()1,+∞上递增；(ii)当0b >时当240b ∆=-≤即02b <≤时，()0u x >，()0f x '>，故此时()f x 在区间()1,+∞上递增；当240b ∆=->即2b >时，12441122b b x x +===，，∴x ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x <，()0f x '<，此时()f x在1,2b ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上递减；4,2b x ∞⎛⎫+∈+ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x >，()0f x '<，此时()f x在∞⎫+⎪⎪⎝⎭上递增.综上所述，当2b ≤时，()f x 在()1,+∞上递增；当2b >时，()f x在⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上递减，在∞⎫+⎪⎪⎝⎭上递增.9分（2）由题意，()()22()()21()1g x h x x x h x x =-+=-'，又()h x 对任意的()1,x ∈+∞都有()0h x >，所以对任意的()1,x ∈+∞都有()0g x '>，()g x 在()1,+∞上递增.10分∵12(1)mx m x α=+-，12(1)m x mx β=-+，∴()()1212,21x x m x x αβαβ+=+-=--1先考虑12x x αβ-<-的情况即()()121221m x x x x --<-，得01m <<，此时1122(1)x mx m x x α<=+-<，1122(1)x m x mx x β<=-+<∴1212()()(),()()()g x g g x g x g g x αβ<<<<∴12()()()()g g g x g x αβ-<-满足题意13分2当1m ≥时，11112(1)(1)mx m x mx m x x α--≤==++，12222(1)(1)m x mx m x mx x β=--+≥=+，∴12x x αβ≤<≤∴12()()()()g g x g x g αβ≤<≤，∴12()()()()g g g x g x αβ-≥-，不满足题意，舍去16分综上所述，01m <<17分。

甘肃高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.复数的共轭复数是()A．B．C．D．2.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是()A．B．C．D．3.执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是()A．120B．720C．1440D．50404.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A．B．C．D．5.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=()A．B．C．D．6.下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β7.设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A ,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()A．B．C．2D．38.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为()A．-40B．-20C．20D．409.由直线x=,x=2,曲线及x轴所围图形的面积为()A．B．C．D．2ln210.已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题其中的真命题是()A．B．C．D．11.设函数的最小正周期为，且，则()A．在单调递减B．在单调递减C．在单调递增D．在单调递增12.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为（为参数）M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2(Ⅰ)求C2的方程(Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.二、填空题1.函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于() A．2B．4C．6D．82.若变量满足约束条件则的最小值为 .3.在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为.过的直线L交C于的周长为16，那么的方程为 .两点，且△ABF24.已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为 .5.在△ABC中，，则的最大值为 .三、解答题1.（本小题满分12分）已知等比数列中，，公比．（I）为的前n项和，证明：（II）设，求数列的通项公式2.(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明：PA⊥BD；(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值.3.（本小题满分12分）某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以使确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料，若4杯都选对，则月工资定为3500元，若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．（1）求X的分布列；（2）求此员工月工资的期望.4.（本题满分为12分）已知椭圆中心在原点，焦点在y轴上，焦距为4，离心率为．（I）求椭圆方程；（II）设椭圆在y轴的正半轴上的焦点为M，又点A和点B在椭圆上，且M分有向线段所成的比为2，求线段AB所在直线的方程．5.（本题满分为12分）已知函数的图像过坐标原点，且在点处的切线的斜率是．（1）求实数的值；（2）求在区间上的最大值；6.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设函数,其中.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式的解集为，求a的值.甘肃高三高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.复数的共轭复数是()A．B．C．D．【答案】C【解析】,所以其共轭复数为-i.2.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是()A．B．C．D．【答案】B【解析】因为函数y=|x|+1为偶函数,并且当x>0时,y=x+1在单调递增,所以应选B.3.执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是()A．120B．720C．1440D．5040【答案】B【解析】因为退出循环体时k=6,所以.4.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A．B．C．D．【答案】A【解析】.5.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=()A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知.6.下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β【答案】D【解析】如果平面α⊥平面β,那么只有在平面α内垂直交线的直线才垂直于平面β.并不是所有的直线都垂直于平面β.7.设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A ,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()A．B．C．2D．3【答案】B【解析】由题意得.8.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为()A．-40B．-20C．20D．40【答案】A【解析】令x=1则，,所以当r=3时展开式的项为常数项，常数项为.9.由直线x=,x=2,曲线及x轴所围图形的面积为()A．B．C．D．2ln2【答案】D【解析】.10.已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题其中的真命题是()A．B．C．D．【答案】A【解析】p:因为,正确.1:,故正确的有.P411.设函数的最小正周期为，且，则() A．在单调递减B．在单调递减C．在单调递增D．在单调递增【答案】A【解析】,又因为f(x)为偶函数，所以,又因为,所以,由f(x)的周期可知,因为当时，,所以在单调递减.12.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足,P 点的轨迹为曲线C 2(Ⅰ)求C 2的方程(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求.【答案】（I ）（为参数）； （Ⅱ）.【解析】(I)本小题属于相关点法求P 点的轨迹方程.设P(x ，y)，则由条件知M().由于M 点在C 1上，可得到点P 的轨迹方程.(II)解本小题的关键是先确定的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．然后根据求值即可.解：（I ）设P(x ，y)，则由条件知M().由于M 点在C 1上，所以即从而的参数方程为（为参数）……………… 5分 （Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．射线与的交点的极径为，射线与的交点的极径为．所以.……………… 10分二、填空题1.函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D【解析】函数的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象如图 当时，y 1＜0;而函数y 2在（1，4）上出现1.5个周期的图象， 在和上是减函数;在和上是增函数.函数y 2在(1,4)上函数值为负数，且与y 1的图像有四个交点E 、F 、G 、H ，相应地，y 2在(-2,1)上函数值为正数，且与y 1的图像有四个交点A 、B 、C 、D ，且,故所求的横坐标之和为8. 2.若变量满足约束条件则的最小值为 .【答案】 【解析】当直线经过直线2x+y=3和x-y=9的交点M(4,-5)时，z 最小，最小值为.3.在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为.过的直线L交C于两点，且△ABF的周长为16，那么的方程为 .2【答案】【解析】由椭圆的定义可知椭圆C的方程为.4.已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为 .【答案】【解析】设AC的中点为M，则AC=，.5.在△ABC中，，则的最大值为 .【答案】【解析】由得,当时，取得最大值.三、解答题1.（本小题满分12分）已知等比数列中，，公比．（I）为的前n项和，证明：（II）设，求数列的通项公式【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）。

甘肃高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设，，则（）A．B．C．D．2.若，则（）A．B．C．D．3.已知平面，分别在两个不同的平面，内，则“直线和直线相交”是“平面和平面相交”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.已知，，，则（）A．B．C．D．5.《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A．尺B．尺C．尺D．尺6.观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特点，按此规律，则第项为（）A．10B．14C．13D．1007.若不等式组表示的平面区域经过所有四个象限，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．8.正方体中为棱的中点（如图），用过点，，的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）9.函数的图象如下图所示，为了得到的图象，可以将的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度10.设，则的最小值是（）A．1B．2C．3D．411.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数称为狄利克雷函数，则关于函数有以下四个命题：①；②函数是偶函数；③任意一个非零有理数，对任意恒成立；④存在三个点，，，使得为等边三角形．其中真命题的个数是（）A．4B．3C．2D．1二、填空题1.在正项等比数列中，已知，，则．2.如图，直三棱柱的六个顶点都在半径为1的半球面上，，侧面是半球底面圆的内接正方形，则侧面的面积为．3.已知中，过中线的中点任作一条直线分别交边，于，两点，设，（），则的最小值．三、解答题1.在中，．（1）求的大小；（2）求的最大值．2.如图，在斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，，．（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值．3.已知直线：，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方．（1）求圆的方程；（2）若直线过点且与圆交于，两点（在轴上方，在轴下方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．4.设函数（，，，）的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数．若函数满足下列条件：①；②对一切实数，不等式恒成立．（1）求函数的表达式；（2）设函数（）的两个极值点，（）恰为的零点，当时，求的最小值．5.4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标．6.选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）设函数．当时，，求的取值范围．甘肃高三高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.设，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】,,故选C.【考点】集合的基本运算.【易错点晴】本题主要考查集合的基本运算，属于较易题型，但容易犯错.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.2.若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】,故选D.【考点】复数及其运算.3.已知平面，分别在两个不同的平面，内，则“直线和直线相交”是“平面和平面相交”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若“直线和直线相交”则“平面和平面相交”是真命题，其逆命题是假命题，故答案是充分不必要条件,故选A.【考点】充分必要条件.4.已知，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】,故选A.【考点】实数的大小比较.5.《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A．尺B．尺C．尺D．尺【答案】B【解析】设增量为，故选B.【考点】等差数列及其性质.6.观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特点，按此规律，则第项为（）A．10B．14C．13D．100【答案】B【解析】令第项为.【考点】数列及其通项.7.若不等式组表示的平面区域经过所有四个象限，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由下图可得,故选D.【考点】可行域.8.正方体中为棱的中点（如图），用过点，，的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）【答案】C【解析】由已知可得剩余几何体的左视图应是选项C.【考点】1、组合体；2、几何体的三视图.【方法点晴】本题主要考查组合体和几何体的三视图，属于中等题型.应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正）,主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐）,左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等）,若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称.解决本题需要较强的空间想象能力.9.函数的图象如下图所示，为了得到的图象，可以将的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】B【解析】由已知可得：将的图象向左平移将的图象向右平移，故选B.【考点】1、函数的图象；2、图像的变换.10.设，则的最小值是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】(当且仅当和，即时取等号),故选D.【考点】基本不等式.【方法点晴】本题主要考查的基本不等式，属于容易题.但是本题比较容易犯错，使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图象，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.11.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数称为狄利克雷函数，则关于函数有以下四个命题：①；②函数是偶函数；③任意一个非零有理数，对任意恒成立；④存在三个点，，，使得为等边三角形．其中真命题的个数是（）A．4B．3C．2D．1【答案】A【解析】由是有理数，故命题①正确；易得是偶函数，故②正确；易得是偶函数，故③正确；取，可得为等边三角形，故④正确，综上真命题的个数有个.【考点】函数的图象与性质.二、填空题1.在正项等比数列中，已知，，则．【答案】【解析】由.【考点】等比数列及其性质.2.如图，直三棱柱的六个顶点都在半径为1的半球面上，，侧面是半球底面圆的内接正方形，则侧面的面积为．【答案】【解析】由图可得.【考点】1、组合体；2、球的性质；3、侧面积.【方法点晴】本题考查组合体、球的性质、侧面积，涉及数形结合思想和转化化归思想，考查空间想象能力、逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先观察图像可得，从而求得.解决本题的关键是要求考生具有较强的空间想象能力和逻辑推理能力.3.已知中，过中线的中点任作一条直线分别交边，于，两点，设，（），则的最小值．【答案】【解析】由已知可得,由.【考点】1、向量的基本运算；2、基本不等式.【方法点晴】本题主要考查向量的基本运算和基本不等式，属于较难题型，使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图象，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.本题还有一个难点是通过向量的几何运算求出.三、解答题1.在中，．（1）求的大小；（2）求的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由余弦定理及题设得；（2）由（1）知当时，取得最大值．试题解析：（1）由余弦定理及题设得，又∵，∴；（2）由（1）知，，因为，所以当时，取得最大值．【考点】1、解三角形；2、函数的最值.2.如图，在斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，，．（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：由和皆为正三角形，平面；（2）由，又建立空间直角坐标系设面的法向量和面的法向量二面角的余弦值为．试题解析：（1）证明：连，，则和皆为正三角形．取中点，连，，则，，则平面，则．（2）解：由（1）知，，又，所以．如图所示，分别以，，为正方向建立空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为，因为，，所以取面的法向量取，则，因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．【考点】1、线面垂直；2、二面角.3.已知直线：，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方．（1）求圆的方程；（2）若直线过点且与圆交于，两点（在轴上方，在轴下方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）圆；（2）当点时，能使得总成立.【解析】（1）设圆心或（舍）圆；（2）当直线轴时，轴平分，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由，，若轴平分，点时，能使得总成立.试题解析：（1）设圆心，则或（舍），所以圆. （2）当直线轴时，轴平分，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，由得：，∴，，若轴平分，则，所以当点时，能使得总成立.【考点】直线与圆.4.设函数（，，，）的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数．若函数满足下列条件：①；②对一切实数，不等式恒成立．（1）求函数的表达式；（2）设函数（）的两个极值点，（）恰为的零点，当时，求的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知可得，由为偶函数．又，又恒成立恒成立；（2）由（1）得，由题意得，由，（），又，设（），（）记为，利用导数工具求得的最小值为．试题解析：（1）由已知可得，∵函数为偶函数，∴，即恒成立，所以．又，∴，，又∵对一切实数，不等式恒成立，∴恒成立，∴∴，∴．（2）由（1）得，，∴（），，由题意得又，∴，解得，∵，（）为的零点，∴，，两式相减得，，又，从而，设（），则（）记为，，∴在上单调递减，∴，故的最小值为．【考点】1、函数的解析式；2、函数的导数；3、函数的奇偶性；4、函数的极值；5、函数的最值；6、函数的零点.【方法点晴】本题考查函数的解析式、函数的导数、函数的奇偶性、函数的极值、函数的最值和函数的零点，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.5.4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标．【答案】（1），；（2）最小值为，此时.【解析】（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.试题解析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为.（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.【考点】坐标系与参数方程.【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．6.选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）设函数．当时，，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，；（2）由等价于，解之得.试题解析：（1）当时，.解不等式，得.因此，的解集为.（2）当时，，当时等号成立，所以当时，等价于. ①当时，①等价于，无解.当时，①等价于，解得.所以的取值范围是.【考点】不等式选讲.。