当前位置：文档之家 › 弦振动方程推导

弦振动方程推导

  • 格式：docx
  • 大小：3.64 KB
  • 文档页数：3

下载文档原格式

  / 3

合集下载

弦振动方程的导出与定解条件

弦振动方程的导出与定解条件

弦的一端的运动规律已知， 以
为例，若以
表示其运动规律，则边界条件可以表达为
特别的，若
非齐次边界 条件
端被固定，则相应的边界条件为
u |x0 0.
齐次边界条件
20
2、第二类边界条件（诺伊曼Neumann）
若弦的一端（例如
）在垂直于 x 轴的直线
上自由滑动，且不受到垂直方向的外力，这种边界
成为自由边界. 根据边界微元右端的张力沿垂直方
1、购买练习册（以小班为单位购买） 时间：本周三到周六早上8：00-12：00 下午2:00-5:30 地点：科技楼602(应用数学系办公室)
2、答疑：从第六周开始
3、综合成绩： 平时成绩:30%（考勤+作业） 卷面成绩：70%
典型的数学物理方程的导出
1.1 弦振动方程与定解条件 1.2 热传导方程与定解条件 1.3 拉普拉斯方程与定解条件
4
3.弦在某一平面内作微小横振动 即弦的位置始终在一直线段附近（平衡位 置），而弦上各点均在同一平面内垂直于该 直线的方向上作微小振动。（“微小”是指 弦振动的幅度及弦上任意点切线的倾角都很 小） 我们将在上述假定下来导出弦振动方程。 先讨论振动过程中不受外力作用时弦 振动的情形
5
为此，选择坐标系如下
2
lx
这个方程称为弦的自由横振动方程。
15
u
1
M1 M2
T0
2
T0
O x1 x2
lx
若还有外力作用到弦上，其方向垂直于
轴，
设其力密度为
由于弦段
其上各点处的外力近似相等，
很小，
因此作用在该段上的外力近似地等于
16
u
1
M1 M2

1方程导出01-弦振动方程

1方程导出01-弦振动方程

ρ
， f ( x, t ) =
f 0 ( x, t )
ρ
.
注意：由前面的推导，边界张力的垂直分量为：
∂u ( x, t ) Ta ⋅ i u = −T0 , ∂x x = a
u
∂u ( x, t ) Tb ⋅ i u = T0 . ∂x x =b
f0
Tax
A
Ta
Tay
αa
B
Tby
αb
Tbx
Tb
a
b
想的曲线。
∂u ( x, t ) < < 1 ,故 其 高 阶 项 可 近 似 看 着 为 0 。 微小的振动 ─ ∂x
外力── 线密度可设为 f0 ( N / m)；方向：f0 > 0向上，f0＜0向下。 拉紧——弦的张力随时间的变化可忽略不计。
4.受力分析及各物理量计算公式
①．受力分析： 如图：小段弦受外力、张力共同作用
问题的数学提法：
设 刻 ， 对 应 于 x点 处 的 位 移 为 u ( x , t ) ， 求 函 数 t 时 u = u ( x, t )
1
0.5 u 0.5 0
u 1
2
x 1 2 3 4 5 6
-0.5 -0.5 -1 -1 0
1.5 1
t
2 0.5 x 4 6 0
3．分析、假设
①．波动原因： 对 速度变化，当把小段弦视作质点时，这小段弦服从Newton 第二定律：F＝ma（外力的合力＝质量＊加速度）。 ②．术语及假设： 柔软── 抗拉伸，不抗弯曲，从而拉力与弦线相切。 均匀── 弦的线密度为常数，可设为ρ kg/m。 细弦── 弦的直径与长度之比远远小于1，弦可视为理
例
∂u ∂2u − 2 = u +1 ∂t ∂x

第八章 弦振动方程初值问题的达朗贝尔解

第八章 弦振动方程初值问题的达朗贝尔解

x at
(t x / a ) 1 2a
x at
x at x at

( )d
1 2a 1 2a 1 2a 1 2a

0
1 ( )d 2a 1 ( )d 2a
x at

0
( )d ( )d
x at

1 ( x) ( )d 2a
x
x x1
( x )
x
x1 x x2
x x2
1 1 ( )d 0d 2a 2a
x1
x
x
0
x
0 1 1 ( x ) ( )d 2a [ 0d 0 x 1d ] 2a ( x x1 ) 2a 1
u(0, t ) 0 ，作奇延拓：
( x ) ( x )
( x ) ( x ) ( x )
( x ) ( x )
( x 0) ( x 0)
( x ) ( x ) ( x )
( x 0) ( x 0)
1 1 u( x , t ) [( x at ) ( x at )] at ( )d 2 2a x
u 2u u ut u t ut a ( u u )
utt a 2 ( u 2u u )
2 代入方程 utt a uxx
得: u 0
u c( )
u( , ) c( )d f1 ( ) f 2 ( )
at x

0
c ( )d 2
固得：
u( x , t ) f 2 ( ( x at )) f 2 ( x at ) 1 1 [ (at x ) ( x at )] x ( )d 2 2a at

ft解弦振动方程

ft解弦振动方程

ft解弦振动方程FT解弦振动方程引言：弦振动是物理学中的一个重要问题，它涉及到弦的运动和振动特性。

弦振动方程是描述弦振动运动的数学模型，其中FT解是一种常见的解法。

本文将介绍FT解弦振动方程的原理和应用。

一、弦振动方程的基本原理弦振动方程是描述弦上各点位置随时间变化的方程。

它是基于弦上各点的受力分析得出的，并且满足弦上各点的受力平衡条件。

一维弦振动方程可以表示为：∂²y/∂t² = v²∂²y/∂x²其中，y是弦上各点的位移，t是时间，x是弦上各点的位置，v是波速。

二、FT解弦振动方程的原理FT解是一种常见的解弦振动方程的方法，它利用傅里叶变换将弦振动方程转化为频域中的解析问题。

FT解的基本思想是将弦上各点的位移函数进行傅里叶变换，将其表示为一系列正弦函数的叠加，从而得到弦振动的频谱。

具体而言，FT解将弦振动方程中的时间变量t转化为频域中的角频率ω，将位置变量x转化为频域中的波数k。

通过傅里叶变换，可以得到弦振动方程在频域中的解析形式。

然后再通过傅里叶逆变换将频域中的解析解转化为时域中的解析解，得到弦上各点的位移函数。

三、FT解弦振动方程的应用FT解弦振动方程在物理学和工程学中有着广泛的应用。

下面将介绍一些典型的应用场景。

1. 乐器制作乐器的音色和音质与弦的振动特性息息相关。

通过FT解弦振动方程，可以分析和优化弦乐器的共振频率和共振模态，从而改善乐器的音质和演奏性能。

2. 声学设计在音响系统和声学设计中，需要对声源和接收器之间的传输特性进行分析和优化。

通过FT解弦振动方程，可以计算和预测声波在弦上的传播特性，从而指导声学设计和优化。

3. 结构动力学在工程结构的设计和分析中，弦振动方程经常被用于描述结构的振动响应。

通过FT解弦振动方程，可以计算和预测结构的固有频率和振型，从而评估结构的稳定性和动力特性。

4. 信号处理弦振动方程是一种常见的信号处理问题，它涉及到信号的传输和变换。

第一章_波动方程

第一章_波动方程

u ( 3) 2 x 0 y x 2u 2u 2u ( 4) 2 2 2 sin x xy y x
( 5)
2u x
2
2
3u x y

假定有垂直于x轴方向的外力存在，并设其线密度为F(x,t)，则 弦段(x, x+Δx)上的外力为：

x x
x
F ( x ,t) dx
它在时间段(t, t+Δt)内的冲量为：

t x
t t x x
F ( x , t ) dx dt
数学物理方程
第一章 波动方程
于是有：
2 2 u ( x , t ) u ( x , t ) [ 2 T F ( x , t )] dx dt 0 2 t x t x t t x x
u T x
x a
k u x a
或
u u 0 x xa
数学物理方程
第一章 波动方程
§1.2 定解条件
同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边
界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即
个性。 初始条件：够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。 边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束 情况的条件。 其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。
y
M'
T'
u ( x, t ) sin tan x u ( x dx, t ) sin ' tan ' x
ds
'

T
M
gds
x x dx x
数学物理方程

弦振动方程

弦振动方程
弦振动方程是描述弦作微小横振动时的运动方程。在推导过程中，首先考虑了作用于弦小段上的横向合力为零的条件，以及仅考虑微小横振动时的夹角近似。通过牛顿第二定律和微分知识的应用，最终得到了弦振动方程的具体形式。该方程中包含了弦的张力为。此外，文档还讨论了两种特殊情况下的弦振动方程：一是当弦的重量远小于弦的张力时，可以忽略重力加速度项，得到一维弦振动方程（一维波动方程）；二是在弦的单位长度上还有横向外力作用时，需要引入力密度参数，得到弦的受迫振动方程。

弦振动频率计算公式推导

弦振动频率计算公式推导全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：弦振动频率是指弦在振动时产生的频率，它是弦的长度、材质、张力等因素共同作用的结果。

在物理学中，弦振动频率的计算是一个重要的问题，它可以帮助我们了解弦的振动特性以及音乐乐器的原理。

为了计算弦的振动频率，我们需要首先推导出弦振动频率的计算公式。

在这里，我们将通过弦的基本原理和波动方程来推导这个公式。

我们假设一根长度为L、质量为m的弦被拉紧，并在两端固定。

弦上的振动可以被描述为横波传播，其波速v可以用张力T和线密度μ来表示：v = √(T/μ)弦的振动频率f可以用波速v和波长λ来表示：f = v/λ我们知道波长λ与弦的长度L有关系：其中n为弦的振动模态数。

当n=1时，弦的整数倍分之一波长的振动称为基频振动，也称为第一次共振；当n=2时，弦的整数倍分之二波长的振动称为第二次共振，如此类推。

将λ带入频率计算公式中，得到：将波速v的公式代入，得到：f = (1/2L)√(T/μ) * n这就是弦振动频率的计算公式。

从这个公式可以看出，弦振动频率与弦的长度L、张力T、线密度μ以及振动模态数n有关。

当我们改变这些参数时，弦的振动频率也会相应改变。

通过这个公式，我们可以更好地理解弦的振动特性，并且可以应用于乐器的设计和制作中。

通过调节张力和长度，可以改变乐器的音调，使得音乐更加美妙动听。

弦振动频率的计算公式是一个重要的物理公式，它可以帮助我们理解弦的振动原理和音乐乐器的工作原理。

希望通过本文的介绍，读者能够更加深入地了解弦振动频率的计算方法，并且能够应用于实际问题中。

【这是我对于弦振动频率计算公式的一些理解，希望能够对您有所帮助。

】第二篇示例：弦振动是物理学中常见的一种现象，例如吉他、小提琴等乐器中的琴弦就是一种典型的弦振动系统。

在弦振动中，弦线上的每一个微小的部分都在进行横向振动，形成一系列波动。

而弦振动的频率则是指每秒钟弦线振动的次数，是描述弦振动特性的重要参数之一。

2.3.2弦振动方程的一般解

2.3.2弦振动⽅程的⼀般解（ 2-3-14 ）这⾥，是仅包含位置变量的函数；是仅包含时间变量的函数。

将（ 2-3-15 ）上式等号的左边仅与有关，右边仅与有关，⽽和都是独⽴变量，因⽽如果 (2-1-15) 式对任何的 x 与 t 都成⽴，则其等号两边应恒等于⼀个与，都⽆关的常数。

如果令这⼀常数为，并且，那么 (2-1-15) 式可写成（ 2-3-16 ）于是可以分别得到两个独⽴的⽅程（ 2-3-17 ）（ 2-3-18 ）经过上⾯分离变量后，就把⼀个偏微分⽅程分解成两个具有单⼀独⽴变量的常微分⽅程。

⽽这种形式的微分⽅程我们在第 1章中⼰遇到过，因此我们可以仿照⽅程 (1-2-4) 的求解结果，直接写出 (2-1-17) 与 (2-l-18) ⽅程的解为（ 2-3-19 ）（ 2-3-20 ）式中都是待定常数。

将上⾯⼆式代⼈（ 2-3-14 ）可得（ 2-3-21 ）其中仍是待定常数。

如果弦的两端固定，可以利⽤对任意时间都满⾜的边界条件（ 2-3-8 ）式。

将代⼈ (2-1-21) 式可以定得常数，再将代⼈ (2 － 1-21) 式可得如下关系（ 2-3-22 ）这时不能为零，否则和都为零，则整个弦不振动，这显然是没有意义的。

因此要得到⾮零解就必须令（ 2-3-23 ）要正弦函数等于零。

显然应该使其宗量满⾜如下关系（ 2-3-24 ）⽤⼀新的符号来代替，于是（ 2-3-24 ）式可写成（ 2-3-25 ）或（ 2-3-26 ）从 (2-1-21) 式可知弦的位移对时间是⼀简谐函数，因⽽应该代表振动的圆频率，⽽代表弦的振动频率。

从 (2-1-26) 式知，对于两端固定的弦，振动频率具有⼀系列持定的数值，即，并且仅同弦本⾝的固有⼒学参量有关，因⽽称为弦的固有频率。

但是它与第 1 章讨论的质点振动之间有⼀明显区别，⼀个单振⼦系统仅有⼀个固有频率，旧弦的固有频率不⽌⼀个，⽽有个，亦即⽆限多个。

并且固有频率的数值不是任意的，其变化也不是连续的，⽽是以等次序离散变化的。

弦振动偏微分方程的求解

弦振动偏微分方程的求解(郑州航空工业管理学院数理系 田硕 450015)摘要：本文列出了不同情况下的弦振动问题的定解方程及其成立条件，给出了不同情况下偏微分方程的求解方法，对于我们的生活和学习有一定的指导意义。

关键词：数学物理方程；偏微分方程；弦振动；拉普拉斯变换Method for solving partial differential equations of string vibration （Tianshuo Department of mathematics and physics, Zhengzhou Institute ofAeronautics Industry Management, henna zhengzhou 450015）Abstract : This article lists the definite solution of the equation of string vibration problems in different situations and the establishment of conditions, given the method for solving partial differential equations under different circumstances, for our lives and learning have a certain significance. Keywords : mathematical physics equations; partial differential equations; vibrating string; Laplace transform在数学物理方程中，根据常见物理模型，可以建立求解的偏微分方程。

如在很多物理实际问题中要遇到的拉普拉斯方程，泊松方程，波动方程，热传导方程等等。

弦的横振动方程

弦的横振动方程弦的横振动方程物理问题：有一个完全柔软的均匀弦，沿水平直线绷紧，而后以某种方法激发，使弦在同一个平面上作小振动，列出弦的横振动方程。

取弦的平衡位置为x轴，令其端点坐标为x = 0和x = l。

设u(x, t)是坐标为x的弦上一点在t时刻的横向位移，在线上隔离出长为dx的一小段弦元，弦元的弦长足够小，以至于可以把它看成是质点。

弦是完全柔软的：该质点只在弦的切线方向受到两端随时间与位置变化的力T(x, t)的作用，这个张力是切向应力。

我们忽略了法向应力和重力作用。

我们将T沿着水平方向与竖直方向分解，由于做横振动的弦在水平方向上没有运动，所以方程为小振动：x + dx与x两点间任意时刻横向位移之差u(x + dx, t) - u(x, t)与dx 相比是一个小量，也就是相邻两点位移之差比起两点之间的距离来讲是一个小量，即这个式子也是切线的斜率，所以所以，由水平方向的运动方程可以得到在x + dx和x处的拉力是相同的，即弦中各点张力与空间无关。

对于竖直方向上（位移u的方向上）的运动方程，我们有这里用了中值定理与极限。

最终我们导出了弦振动的方程：其中ρ是弦的线密度（单位长度的质量）。

进一步的，我们定义有通过考察量纲，我们可以发现a就是弦的振动传播速率。

其实在小振动近似（准确到一级项u / x）下，弦元的伸长是一个二阶无穷小量，我们将其忽略，所以弦元长度不随时间变化，张力T也不随时间变化。

当振动受到重力或者粘滞阻力，这些力一般沿着位移u的方向。

设单位长度受到的外力为f，我们的公式为因此，最终方程为新出现的非齐次项为单位质量所受外力。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

弦振动方程推导
弦振动方程是描述弦线上的振动现象的数学模型。

在物理学中，弦是一个细长而有弹性的物体，可以通过施加力或其他物理作用产生振动。

弦振动方程可以帮助我们理解弦线上的振动行为，并预测弦上不同位置的运动状态。

弦振动方程的推导可以从牛顿第二定律开始。

根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用在物体上的力成正比，与物体的质量成反比。

对于弦线上的一小段元素，可以将其看作是一个质点，根据牛顿第二定律可以得到以下关系式：
F = ma，
其中F表示作用在弦线元素上的力，m表示元素的质量，a表示元素的加速度。

由于弦线是有弹性的，所以弦线元素的加速度与该元素的位移成正比。

这个比例关系可以用一个常数k来表示，即a = -kx，其中x表示弦线元素的位移。

由于弦线是连续的，所以相邻元素之间的力平衡可以得到以下关系式：
T2 - T1 = ma，
其中T2和T1分别表示上方和下方的张力，m表示元素的质量，a表示元素的加速度。

根据弦线的特性，可以得到以下关系式：
T2 - T1 = -kx，
结合上述两个关系式，可以得到弦线元素的运动方程：
T2 - T1 = -kx，
该方程描述了弦线元素的振动行为。

从上面的方程可以看出，弦线元素的振动与其位移成正比，并且与张力的差值成反比。

这意味着当弦线元素偏离平衡位置时，张力的差值会产生一个恢复力，将元素拉回到平衡位置。

弦线元素的振动是由于该恢复力和弦线的质量共同作用的结果。

根据弦线元素的运动方程，可以进一步推导出弦的振动方程。

假设弦线的长度为L，线密度为μ，根据牛顿第二定律和弦线元素的运动方程，可以得到以下关系式：
T2 - T1 = -kx，
对于弦线上的任意一点，都可以将其看作是一个弦线元素的平衡位置。

所以可以得到以下关系式：
T(x+Δx) - T(x) = -kx，
其中Δx表示弦线上的任意一小段长度。

由于线密度的定义为μ = m/Δx，可以将上述关系式转化为以下形式：
(T(x+Δx) - T(x))/Δx = -kx/Δx，
当Δx趋近于0时，可以得到以下关系式：
d(T(x))/dx = -kx，
该方程即为弦的振动方程。

从该方程可以看出，弦的振动与弦上的张力和弦线的位置有关。

在弦线上的不同位置，由于张力和位置的不同，弦的振动行为也不相同。

弦振动方程的推导为我们理解弦线上的振动现象提供了一个数学模型。

通过该方程，我们可以预测弦线上不同位置的振动状态，进一步研究弦线上的声学和力学特性。

弦振动方程的应用不仅局限于物理学领域，还可以在工程学和音乐学等领域找到广泛的应用。

通过对弦振动方程的研究，我们可以更好地理解和利用弦线的振动行为。