第二章一微波动方程的分离变量法

波动方程与解法波动方程是描述波动现象的一种数学模型，广泛应用于物理学、工程学等领域。

本文将介绍波动方程的基本概念和常见的解法。

一、波动方程的基本概念波动方程是一种偏微分方程，描述了波动过程中的空间和时间变化。

一维波动方程可表示为：∂²u/∂t² = v²∂²u/∂x²其中，u表示波函数，t表示时间，x表示空间位置，v表示波速。

二、波动方程的解法1. 分离变量法分离变量法是一种常见的解波动方程的方法。

它基于假设波函数u可以被表示为时间因子T(t)和空间因子X(x)的乘积形式：u(x, t) = X(x)T(t)将波动方程代入上式后，将方程两边的变量分离，得到两个常微分方程，分别是关于时间的方程和关于空间的方程。

通过求解这两个方程，可以得到波函数的具体形式。

2. 超级位置法超级位置法是另一种常用的解波动方程的方法。

它基于假设波函数u可以表示为两个函数之和的形式：u(x, t) = φ(x - vt) + ψ(x + vt)其中，φ和ψ是任意两个函数。

这种波函数形式常用于描述传播方向相反的两个波包或两个波的干涉。

3. 叠加原理叠加原理是波动方程解法中的重要原理。

根据叠加原理，可将多个波动方程的解叠加在一起，得到新的波函数。

利用叠加原理，可以描述出复杂的波动现象，如波的干涉和衍射。

三、波动方程的应用波动方程在物理学和工程学中有广泛的应用。

以下是几个例子：1. 机械波方程机械波的传播可以通过波动方程进行描述。

例如，弦上传播的横波和纵波可以用波动方程解析求解，从而了解波的传播速度和波形。

2. 电磁波方程电磁波的传播和干涉也可以通过波动方程进行描述。

例如，光的传播可以使用电磁波方程进行解析求解，从而了解光的折射、反射和衍射等现象。

3. 地震波方程地震波在地球内部的传播可以通过波动方程进行建模。

利用波动方程可以分析地震波的传播路径、速度和震级等特征，对地震进行研究和预测具有重要意义。

分离变量法分离变量法又称Fourier 级数方法，而在波动方程情形也称为驻波法。

它是解决数学物理方程定解问题中的一种基本方法，这个方法建立在叠加原理的基础上，其基本出发点是物理学中的机械振动或电磁振动总可分解为一些简谐振动的叠加。

思想：把偏微分方程的求解问题转化为常微分方程的求解。

常微分方程求解：()()()()()P x dx P x dx P x dx y x Ce e Q x e dx−−∫∫∫=+∫一阶非齐次的常微分方程：()(),dy P x y Q x dx+=它的通解为二阶非齐次的常微分方程：()()()y P x y Q x y f x ′′′++=它的通解为21112212()y f y f y x C y C y y dx y dx W W=+−+∫∫其中1212,0.,y y W y y =≠′′12()()0.y P x y y Q x y y ′′′++=两个线性是无关的解和并且常系数齐次的常微分方程：0y py qy ′′′++=它的特征方程20r pr q ++=，假设特征方程的根为12.r r ，(1)特征方程有两个不等的实根:齐次方程通解为：12.r x r xy Ae Be =+(2)特征方程有两个相等的实根:(3)特征方程有一对共轭的复根:12,,r i r i αβαβ=+=−齐次方程通解为()(cos sin ).xy x e A x B x αββ=+1().r xy A Bx e =+第一节有界弦的自由振动22222,(0,),0(,0)(),(,0)(),[0,](0,)(,)0,0t u u a x l t t x u x x u x x x l u t u l t t ϕψ⎧∂∂=∈>⎪∂∂⎪⎪==∈⎨⎪==≥⎪⎪⎩一根长为l 的弦，两端固定，给定初始位移和速度，在没有强迫外力作用下的振动.物理解释：•求解的基本步骤2XT a X T′′′′=第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的解(,)()()u x t X x T t =把分离形式的解代入方程可得即2()()()()T t X x a T t X x ′′′′=以及上述等式左端是t 的函数，右端是x 的函数，由此可得两端只能是常数，记为()()0(0)()0X x X x X X l λ′′+=⎧⎨==⎩X (x ):2()()0T t a T t λ′′+=T (t ):固有值问题(0)()()()0X T t X l T t ==.λ−从而有情形(A)下对λ的三种情况讨论固有值问题：0λ<(),x x X x AeBe λλ−−−=+0,A B +=其通解为代入边界条件可得0l l Ae Be λλ−−−+=0A B ==只有零解。

数学物理方法Mathematical Method in Physics西北师范大学物理与电子工程学院豆福全第二章一维波动方程的分离变量法引言上一章学习的求解数理方程的方法:行波法。

其基本思路是借助常微分方程的求解方法等求解通解，再利用初始条件确定通解中的任意常数，确定数理方程中的特解。

求通解前作一维波动变换，代入泛定方程。

然能用行波法求解的问题很少，适用于求解如无界弦的自由横振动问题。

为此，对数理方程的求解还须进一步探索新的方法。

其中分离变量法就是求解数理方程的一种最常用的方法。

2.1 齐次方程混合问题的Fourier解2 .1 .1定解问题考虑长为，两端固定的弦的自由振动其中，为已知函数。

分析:方程是齐次方程，边界条件是齐次边界条件，初始条件是非齐次的。

求解：通过这道例题来体会分离变量法的精神思想。

第一步：分离变量分离变量（变量分离）如波函数实现了变量分离。

于是我们希望求得的一微波动方程的特解只有分离变量的形式，即首先：将代入齐次方程，得。

所求特解应为非零解，于是，不解为零。

两边同除以，有等式左端只是的函数（与无关），等式右端只是的函数（和无关），于是左右两端要相等，就必须共同等于一个既与无关，又与无关的常数。

设为，有，能分离变量的关键：方程是齐次方程。

其次：将代入边界条件：，这时必须有，能分离变量的原因：边界条件是齐次边界条件。

最后：就完成了用分离变量法求解泛定方程（数理方程）的第一步。

总结：分离变量①目标：分离变量形式的非零解②结果：函数满足的常微分方程和边界条件以及满足的常微分方程。

，，③条件：泛定方程和边界条件都是齐次的。

第二步：求解本征值问题分析：关于的常微分方程的定解问题特点：微分方程中含有特定常数，定解条件是一对齐次边界条件。

并非对于任何值，都有既满足齐次常微分方程，又满足齐次边界条件的非零解；只有当取某些特定值时,才有既满足齐次,又满足齐次边界条件的非零解。

定义：的这些特定值称为本征值，相应的非零解称为本征函数。

分离变量法常数变易法、行波法和积分变换法达朗贝尔设w=u+iV及z=x+iy分别是两个复平面上的点，复函数w=f(z)确定了这两个复平面之间的一个映射，当w=f(z))是一个目数不为零的解析函数时，所对应的映射称为保角映射。

保角映射这种映射必定是一对一的，且具有:(l)伸缩率的不变性，即在某一点Z0上沿不同的方向的曲线微元ds与映射后所得的象ds′的比值都是f′(z0);(2)旋转角的不变性并且保持角的定向，即若把z平面与w平面迭放在一起，且使ZO与W0=f(z0)重合，则过Z0的任一条曲线C到它的象C′的转角为定值。

如果X轴与U轴及y轴与V轴方向相同，这个转角就是Argf'(z0)，因此交手Z0的任意两条曲线C1，C2的夹角与它们的象C1，C2的夹角相等且转向不变。

保角变换方法(conformaltransformationmethod)保角变换是利用复变量解析函数实部和虚部都满足拉普拉斯(Laplace)方程的特点，及通过复平面变换以简化求解二维拉普拉斯方程边值问题的一种方法。

由于在没有电荷分布的空间中静电势满足拉普拉斯方程，故此法可用来求解二维的静电势问题。

通过一适当的解析复变函数f(z)，将复变数平面z=x+iy变换成另一复变数平面z′=f(z)=x′+iy′或z=g(z′)将z平面上位形复杂的边值问题，变换至z′平面上位形简单的相应边值问题，以便容易求出静电势的解φ′(x′,y′)。

由此在z′平面中构成解析的复变函数W′(z′)=φ′+i Ψ′。

最后再由z′平面换回z平面W(z)=W′(f(z))=φ(x,y)+iΨ(x,y)，从而得到欲求的二维拉普拉斯方程边值问题的解。

由于通过解析函数变换时，分别在二复平面中任意二曲线元之间的夹角不变，故此种变换称为保角变换。

保角映射英文术语名:conformaltransformation【保角映射的定义】设f(z)是区域D到G的双射(既是单射又是满射)，且在D内的每一点都具有保角性质，则称f(z)是区域D到G的保角映射，也称为保角变换或者共形映射。

第二篇数学物理方程—物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法 Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程一偏微分方程； 2、给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件 (自然条件，连接条件)，从而与数理方程一起构成定解问题； 3、方程齐次化； 4、数理方程的线性导致解的叠加。

一、数理方程的来源和分类(状态描述、变化规律)1、来源 I .质点力学：牛顿第二定律F =mr 连续体力学 II.麦克斯韦方程弹性体力学<(弹性定律)'弦 杆振动：出血力— a 2V 2 u (r , t ) = 0 (波动方程); 膜 0t 2 流体力学：质量守恒律:皿不V ・(p y ) = 0£ d t热力学物态方程：过+ (y -V )y ="p + f = 0 (Euler eq.).d t p JJ D .d c=fffp d i nV- D = p ; J E -d l =JJB -d s nVx E = B ;力B - d c= 0 nV- B = 0; J H - d l DjJ(j + D ) - d s nVx H = j + D . E = -V u , B = Vx A ,u ,A 满足波动方程。

、Lorenz 力公式n 力学方程;制axwell eqsT 电导定律n 电报方程。

IIL 热力学统计物理 热传导方程:以一 k V 2T = 0；特别：稳态(生= 0): V 23 = 0 (Laplace equation). < 八 01 扩散方程:0P - D V 2 p = 0. 、 01 IV.量子力学的薛定谔方程： i 方迦=—疟 V 2 u + Vu .0 01 2 m二、数理方程的导出推导泛定方程的原则性步骤：（1）定变量：找出表征物理过程的物理量作为未知数（特征量），并确定影响未知函数的自变量。

（2）立假设：抓主要因素，舍弃次要因素，将问题“理想化”--- “无理取闹”（物理趣乐）。