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电动力学期末复习Maxwell方程组介质对电磁场的影响简单介质的电磁性质电磁场的能量和动量电磁势电磁辐射的推迟势电磁场的边值关系静电场D E ε=G G2f,ρϕε∇=−分离变量法20ϕ∇=2222222111sin sin sin r r r r r r θ2θθθθ∂∂∂∂∂⎛⎞⎛⎞∇=++⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠φ 11,,(,,)(cos )cos (cos )sin n m nm nm nm nm n nm nn n n m n m b d r a r P m c r P r r m ϕθφθφθφ++⎛⎞⎛⎞=+++⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∑ ˆˆˆsin R e e e R R R φθθθφ∂∂∇=++∂∂∂∂镜像法2,,RQ R q b a a=−=电多极矩3001()111():446V Q p D x dV R x r RR ρϕπεπεR ⎡⎤′′⋅⎛⎞=⇒++∇∇⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦∫∫∫GG G G G()V x dV Q i ρ′′=∫∫∫G,()i Vx x dV ρp ′′′=∫∫∫G,()23()3()i j ij i j ij VVx .ij x x dV D x x r x dV ρδρ′′′′′′′′′=⇒=−∫∫∫∫∫∫G GE DW p =−⋅GG , , ()e F p E =⋅∇G G G e M p E =×G G G .磁多极矩03()()44VJ x dV m R A x r R μμππ′′×=⇒∫∫∫G GG G G G 1()2Vm x J x dV ′′′=×⇒∫∫∫G G G G GIS BW m =−⋅G G ， ， ()e F m B =⋅∇G G Ge M m B =×G G G时谐电磁波模简谐平面电磁波简谐平面电磁波的能量和动量0(,)cos()E x t E k x t ω=⋅−G G GG G0(,)cos()B x t B k x t ω=⋅−G G GG G简谐平面电磁波的反射和折射狭义相对论 光速不变原理22222222()()0ct x y z ct x y z ′′′′−−−=−−−=狭义相对性原理协变量 Einstein 约定 矩阵形式 标量U U ′=四维矢量 V a V μμνν′=V A V′=⋅二阶张量 F a a F μνμλντ′=λτ F AFA ′=3231211230000i 123B B E ci B B E c F F iB B E c i i i E E E cccμν⎡⎤−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎢⎥⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
库仑定律F 304'r QQ πε=r 电场强度E=304r Qπεr 电场强度磁通量的高斯定理⎰sE d s=0εQ 静电场的散度 ∆·E=ερ旋度 ∆×E=0 恒定电流时有∆·J =0 电荷守恒定律的微分形式（电流连续性方程）∆·J+t∂∂ρ=0 J 是电流密度 安培环路定律⎰LBdl =0μI⎰LBdl =0μ⎰sJ d s恒定磁场的一个基本微分方程∆×B=0μJ 恒定磁场的散度∆·B=0 电场的散度只存在于电荷分布的区域，没电荷分布的空间中散度为0 磁场的旋度只存在于有电流分布的导线内部，而周围空间是无旋的 磁场对电场作用的基本规律∆×E=-t ∂∂B 位移电流J D =0εt∂∂E 麦克斯韦方程组∆×E=-t ∂∂B ∆×B=0μJ+0μ0εt∂∂E ∆·E=0ερ ∆·B=0洛伦兹力公式F=q E+q v ×B 自由电荷密度f ρ 束缚电荷密度p ρ 电位移矢量D ：D=0εE+p ∆·D=f ρ 介质极化率e χ：p=e χ0εE 磁场强度H ：H=1μB-M ∆×H=J f +t∂∂D 磁化率m χ：M=m χH 介质中的麦克斯韦方程组∆×E=-t ∂∂B ∆×H=J+t∂∂D ∆·E=ρ ∆·B=0 介质中电磁性质方程D=εE B=μH J=σEεμσ分别为电容、磁导、电导率边值关系e n ×（E 2-E 1）=0 e n ×（H 2-H 1)=a e n ·（D 2-D 1)=σ e n ·(B 2-B 1)=0能量守恒定律微分形式∆·S+t∂∂w=-f ·v 能流密度S=E ×H 能量密度变化率t ∂∂w=E t ∂∂D+H t ∂∂B w=21(E ·D+H ·B )真空中S=1μE ×B w=21(0εE 2+01μB 2)静电势基本微分方程（泊松方程）∆2ϕ=-ερ边值关系21ρρ= σϕεϕε-=∂∂-∂∂nn 1122导体静电条件1内部不带静电荷，只能分布于表面，2导体内电场为0，3表面电场沿法线方向，表面为等势面，整体电势相等。
电磁场重要公式推导过程电动力学导论嘿，朋友！咱们今天来聊聊电磁场那些重要公式的推导过程，这就像是一场奇妙的探险之旅呢！你知道吗？电磁场就像是一个神秘的魔法世界，充满了各种奇妙的规律和公式。
比如说麦克斯韦方程组，那可真是电磁场领域的瑰宝啊！咱们先来说说电场强度的公式。
想象一下，电场就像是一群小精灵在空间中跳跃，而电场强度就是衡量这些小精灵跳跃活力的指标。
它的公式 E = F / q ，这里的 F 是电荷受到的力，q 是电荷量。
这不就好像是通过观察小精灵们推东西的力气大小，来判断它们有多活跃嘛！再看看磁场强度的公式B = F / (qv sinθ) ，这里的 F 是运动电荷受到的磁场力，q 是电荷量，v 是电荷运动速度，θ 是速度方向和磁场方向的夹角。
这是不是有点像在观察一群沿着不同方向奔跑的小精灵，受到的神秘力量的影响呢？接着就是高斯定理啦，那可是描述电场和电荷分布关系的重要法宝。
就好像是知道了一堆糖果在盒子里的摆放方式，就能算出盒子周围的甜味有多浓一样。
还有安培环路定理，它和电流与磁场的关系紧密相连。
这就好比是电流像一群小河流，而磁场就是小河流周围的微风，通过观察小河流的流动，就能知道微风的强弱和方向。
在推导这些公式的过程中，咱们得像侦探一样，仔细观察各种现象，不放过任何一个小细节。
比如说，为啥电场线不能相交？这就好比两条路不能在同一个点同时指向不同的方向，不然不就乱套了嘛！再想想，为啥磁场总是闭合的曲线？这就好像是一个调皮的小孩，无论怎么跑，最终都得回到家一样。
总之，电磁场的公式推导过程充满了趣味和挑战。
咱们得有耐心，有好奇心，才能真正揭开这个神秘世界的面纱。
朋友，你准备好和我一起在这个神奇的电磁场世界里继续探索了吗？我觉得啊，深入理解电磁场的公式推导过程，不仅能让我们在物理的海洋里畅游得更畅快，还能让我们感受到大自然的神奇和美妙，这难道不是一件超级棒的事情吗？。
电动力学公式总结电动力学是物理学中的一个重要分支，研究电荷在电场和磁场中的行为规律。
本文将对电动力学中常见的几个重要公式进行总结和介绍。
库仑定律库仑定律是电动力学中最基本的定律之一，描述了两个电荷之间的相互作用力的大小。
库仑定律公式如下：F=k⋅q1⋅q2 r2其中，F表示电荷间的作用力，q1和q2分别表示两个电荷的大小，r表示它们之间的距离，k是库仑常数。
电场强度电场强度描述了单位正电荷在电场中所受到的力，电场强度的大小与电场中的电荷量有关。
电场强度E与电场中的电荷q之间的关系可以用如下公式表示：E=F q其中，F为电荷所受力，q为电荷量。
高斯定律高斯定律是描述电场的一项基本定律，它规定了电场通过一个封闭曲面的电场通量与内部电荷量的比值。
高斯定律可以用如下公式表示：Φ=Q enc ε0其中，Φ表示电场通过曲面的电场通量，Q enc表示曲面内的电荷量，ε0是真空介电常数。
安培环路定理安培环路定理描述了电流在产生的磁场中所受的力。
根据安培环路定理，磁场力与电流及它们之间的关系可以用如下公式表示：F=B⋅l⋅I⋅sin(θ)其中，F表示力的大小，B表示磁场强度，l表示电流元长度，I表示电流强度，θ表示磁场与电流元之间的夹角。
洛伦兹力洛伦兹力是描述带电粒子在电场和磁场中所受合力的物理定律。
洛伦兹力F对带电粒子的加速度a描述如下：F=q(E+v×B)其中，q为电荷量，E为电场强度，v为带电粒子的速度，B为磁场强度。
以上就是电动力学中的几个重要公式的简要总结，这些公式在电场和磁场的研究中具有重要作用，有助于我们理解电荷之间、电流与磁场之间的相互作用规律。
电动力学公式总结电动力学是物理学中研究电荷间相互作用及其相关现象的分支学科。
电动力学公式是描述电场、电势、电流、电荷等电动力学量之间关系的数学表达式。
本文将总结常见的电动力学公式，并进行简要解释。
1. 库仑定律（Coulomb's Law）库仑定律用于描述两个电荷之间的相互作用力。
假设两个电荷分别为q1和q2，它们之间的作用力F由以下公式给出：F = k * (q1 * q2) / r^2其中，k为库仑常数，r为两个电荷间的距离。
2. 电场强度（Electric Field Strength）电场强度描述在给定点附近单位正电荷所受到的力的大小和方向。
电场强度E由以下公式给出：E =F / q其中，F为单位正电荷所受的力，q为正电荷的大小。
3. 电势差（Electric Potential Difference）电势差描述电场对电荷进行的功所引起的状态变化。
电势差V由以下公式给出：V = W / q其中，W为电场对电荷进行的功，q为电荷的大小。
4. 高斯定理（Gauss's Law）高斯定理是一个描写电场线分布和电荷分布之间关系的重要定理。
它表示电场的流出和流入电荷的总和等于电荷总量除以真空介电常数ε0。
该定理由以下公式给出：∮E · dA = (1 / ε0) * Q_enclosed其中，E为电场强度，dA为微元的面积矢量，Q_enclosed为电荷的总量。
5. 法拉第电磁感应定律（Faraday's Law of Electromagnetic Induction）法拉第电磁感应定律描述通过磁场的变化引起的电场变化。
它由以下公式给出：ε = -dΦ/dt其中，ε代表感应电动势，dΦ/dt为磁通量的变化率。
6. 奥姆定律（Ohm's Law）奥姆定律描述了电流、电压和电阻之间的关系。
根据奥姆定律，电流I等于电压V与电阻R的比值，即：I = V / R其中，I为电流，V为电压，R为电阻。
总 复 习一、 Maxwell 方程 (1)真空中的Maxwell 方程库仑定律：'304QQ rF rπε= -----------------------------------------------------------------------------------30''3041 ()4q q V QrE r r E x dV r περπε=→⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 030104qSq Q E dS r E dl dl r επε⎧⋅=⎪⎪→⎨⎪⋅=⋅=⎪⎩⎰⎰⎰⎰00q q E E ρε⎧∇⋅=⎪⎪→⎨⎪⎪∇⨯=⎩Biot-Savart 定律：03()4Idl rB x r μπ⨯=⎰-----------------------------------------------------------------------------------对于电流分布：''3()()4J x r B x dV r μπ⨯=⎰00B B Jμ∇⋅=→∇⨯=电磁感应定律：d dt φε=-dB dS dtε→=-⋅⎰ B dB E dt ∇⨯=→-位移电流(变化的电场激发磁场)：0D EJ tε∂=∂，则：f D J J J =+真空中的Maxwell 方程：00000E B B E E B J t tρεμμε⎧∇⋅=∇⋅=⎪⎪⎨∂∂⎪∇⨯=-∇⨯=+⎪∂∂⎩Lorentz 力：q F qE qv B =+⨯，J f E J B ρ=+⨯电荷守恒定律：0J tρ∂∇⋅+=∂(2)介质的电磁性质 A) 电极化：'''()i i iVp q x x x dVρ==∑⎰⎰⎰，dp P dV=()p pp VSSQ dV qn l S P S ρ==-⋅=-⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ P P ρ→∇⋅=-考虑介质极化后，为方便表示，引入电位移矢量：0D E P ε=+B) 介质磁化：m ia =，dm M dV=()M M M SI J dS in a dl M dl =⋅=⋅=⋅⎰⎰⎰⎰ MM J→∇⨯=考虑介质磁化后，为方便表示，引入磁场强度矢量：01H B M μ=-C) 极化电流：i i i p P q x P J v t Vtρ⎛⎫∂∂ ⎪=== ⎪∂∂⎝⎭∑ 介质中的总电流密度为：0f p M f E D J J J J M J t tε∂∂=+++=∇⨯++∂∂ (3) 介质中的Maxwell 方程：ff D B BD E H J t tρ⎧∇⋅=∇⋅=⎪⎨∂∂∇⨯=-∇⨯=+⎪∂∂⎩(4) 边值关系()()()()21212121,,00,,f f f f f D n D D B E n E E t B n B B D H J n H H t ρσσα⎧∇⋅=⋅-=⎪⎪∂∇⨯=-⨯-=⎪⎪∂⎨∇⋅=⋅-=⎪⎪∂⎪∇⨯=+⨯-=⎪∂⎩(5) 电磁场的能量密度w 及能流密度S能量守恒定律：f vdV wdV S dA t∂⋅+=-⋅∂⎰⎰⎰⎰电磁场的能量密度w 及能流密度S ：w D BE H t t t S E H ⎧∂∂∂=⋅+⋅⎪∂∂∂⎨⎪=⨯⎩对于线性介质：()2212w E H S E H εμ⎧=+⎪⎨⎪=⨯⎩要求：要完全掌握Maxwell 方程的导出过程以及相应的边值关系的导出过程，掌握电磁学中的基本物理量的物理含义。
最新电动力学重点知识总结电动力学是物理学的一个重要分支，研究带电粒子在电场和磁场中的运动规律及其相互作用。
以下是最新的电动力学重点知识总结：1.库仑定律：库仑定律描述了两个点电荷之间的电荷间相互作用力的大小和方向。
它以电荷的量及其相对距离为参数，公式为F=k*q1*q2/r^2，其中F是作用力，q1和q2分别是两个电荷的电量，r是两个电荷之间的距离，k是库仑常数。
2.电场强度：电场强度描述了空间中各点受电场力的大小和方向。
电场强度与点电荷的大小和距离成反比，可以用公式E=k*q/r^2表示，其中E是电场强度，q是点电荷的电量，r是点电荷与观察点之间的距离。
3. 电通量：电通量是电场线通过单位面积的数量。
如果一个闭合曲面上的电通量为零，那么在该曲面上没有净电荷。
电通量可以用公式Φ=E*A*cosθ表示，其中Φ是电通量，E是电场强度，A是曲面的面积，θ是电场线与曲面法线之间的夹角。
4.高斯定律：高斯定律是描述电场的一个基本定律，它表明电场的总通量与包围该电场的闭合曲面上的净电荷成正比。
数学表达式为Φ=Q/ε₀，其中Φ是闭合曲面上的电通量，Q是闭合曲面内的净电荷，ε₀是真空的介电常数。
5.电势能：电荷在电场中具有电势能。
电势能是一个量值，并且仅依赖于电荷和它在电场中的位置。
电势能可以用公式U=q*V表示，其中U是电势能，q是电荷的电量，V是电势。
6. 电势差：电势差是单位正电荷从一个点到另一个点的电势能的差值，也可以看作是电场力对单位正电荷所做的功。
电势差可以用公式ΔV=∫E·dl来计算，其中ΔV是电势差，∫E·dl是电场强度在路径上的线积分。
7.电容器：电容器是一种可以存储电荷的装置。
它由两个导体板和介质组成，其中导体板上的电荷存储在电场中。
电容器的电容可以用公式C=Q/V表示，其中C是电容，Q是电荷的量，V是电势差。
8.电流：电流是单位时间内通过导体横截面的电荷量。
电流可以用公式I=ΔQ/Δt表示，其中I是电流，ΔQ是通过导体横截面的电荷量，Δt是时间。
电动力学_知识点总结电动力学是物理学的一个重要分支，研究电荷、电场、电流、磁场等现象和它们之间的相互作用。
下面是电动力学的一些重要知识点的总结。
1.库仑定律：库仑定律描述了两个点电荷之间的力，它与它们之间的距离成反比，与它们的电荷量成正比。
该定律为电场的基础，用数学公式表示为F=k(q1*q2)/r^2，其中F是电荷之间的力，k是库仑常数，q1和q2是电荷量，r是两个电荷之间的距离。
2.电场：电场是指任何点周围的电荷所受到的力的效果。
电场可以通过电场线来表示，电场线从正电荷出发，指向负电荷。
电场线的密度表示了电场的强度，而电场线的形状表示了电场的方向。
3.电势能：电势能是指一个电荷在电场中具有的能量。
电荷在电场中移动时，会因电场做功而改变其势能。
电势能可以表示为U=qV，其中U是电势能，q是电荷量，V是电势。
4.电势：电势是一种描述电场中电场强度的物理量。
电势可以通过电势差来表示，电势差是指两个点之间的电势差异。
电势差可以表示为ΔV=W/q，其中ΔV是电势差，W是从一个点到另一个点所做的功，q是电荷量。
5.高斯定理：高斯定理是描述电场和电荷之间关系的一个重要定律。
它表明，穿过一个闭合曲面的电场通量等于该曲面内部的总电荷除以真空介电常数。
数学表达式为Φ=∮E*dA=Q/ε0，其中Φ是电场通量，E是电场强度，dA是曲面的微元面积，Q是曲面内的电荷，ε0是真空介电常数。
6. 安培定律：安培定律是描述电流和磁场之间关系的一个重要定律。
它表明，通过一个闭合回路的磁场强度等于该回路内部的总电流除以真空中的磁导率。
数学表达式为∮B * dl = μ0I，其中∮B * dl是磁通量，B是磁场强度，dl是回路的微元长度，I是回路内的电流，μ0是真空中的磁导率。
7. 法拉第定律：法拉第定律描述了电磁感应现象。
它表明，当一个导体中的磁通量发生变化时，该导体内产生的电动势与磁通量的变化率成正比。
数学表达式为ε = -dΦ/dt，其中ε是产生的电动势，dΦ是磁通量的变化量，dt是时间的微元。
上海市考研物理学复习资料电动力学与量子力学重要公式整理电动力学与量子力学是物理学中非常重要的两个分支领域，对于考研学生来说，掌握其中的重要公式是非常关键的。
为了帮助考生更好地复习电动力学与量子力学，下面将对一些重要的公式进行整理。
1. 电动力学重要公式：(1) 库仑定律：F = k * |q1 * q2| / r^2其中，F表示两个点电荷之间的电力，q1和q2分别表示两个电荷的大小，r表示两个电荷之间的距离，k表示电磁力常数。
(2) 电场强度公式：E = F / q其中，E表示电场强度，F表示电荷所受的电力，q表示电荷的大小。
(3) 电势差公式：V = W / q其中，V表示电势差，W表示电场力做的功，q表示电荷的大小。
(4) 电容公式：C = Q / V其中，C表示电容量，Q表示电荷的大小，V表示电势差。
(5) 安培环路定理：∮B·dl = μ0 * I其中，∮B·dl表示磁场沿环路的环路积分，μ0表示真空中的磁导率，I表示电流的大小。
2. 量子力学重要公式：(1) 德布罗意关系式：λ = h / p其中，λ表示波长，h表示普朗克常数，p表示物体的动量。
(2) 薛定谔方程：Hψ = Eψ其中，H表示哈密顿算符，ψ表示波函数，E表示能量。
(3) 算符期望值公式：<A> = ∫ψ*Aψ dV其中，<A>表示算符A的期望值，ψ表示波函数，A表示算符，dV表示体积元。
(4) 不确定度原理：ΔxΔp ≥ (h / 4π)其中，Δx表示粒子位置的不确定度，Δp表示粒子动量的不确定度，h表示普朗克常数。
(5) 波函数归一化条件：∫|ψ|^2 dV = 1其中，ψ表示波函数，dV表示体积元。
以上是电动力学与量子力学中一些重要的公式整理，深入理解和掌握这些公式对于考研物理学的学生来说至关重要。
希望考生们能够通过不断的复习和练习，熟练掌握这些公式，并能够灵活运用到解题中，取得优异的成绩。
电动力学重要公式推导过程电动力学导论嘿，朋友们！咱们今天来聊聊电动力学里那些重要公式的推导过程，这可真是一场奇妙的知识之旅。
你想想，电动力学就像是一个神秘的魔法世界，而那些公式就是打开这个世界大门的神奇钥匙。
比如说麦克斯韦方程组，那可是电动力学的核心法宝。
咱们先来说说高斯定律。
它就好像是一个大网，能把电场里的电荷都给兜住。
你看啊，想象一下一个封闭的空间，电荷在里面就像是调皮的孩子，而高斯定律就是那个能数清楚孩子个数的老师，不管这些孩子怎么蹦跶，老师都能准确知道有多少个。
这难道不神奇吗？再看看安培-麦克斯韦定律。
这就好比是一条无形的道路，电流和变化的电场在上面欢快地奔跑。
电流产生的磁场就像路上飞驰的汽车，而变化的电场就像是突然冒出来的一阵风，都会对磁场产生影响。
法拉第电磁感应定律呢，就像是一个会变身的小精灵。
当磁场变化时，它就能变出电场来。
这就好像是魔术师手里的魔术棒，轻轻一挥，就有了新的奇迹。
还有电场的散度和旋度，这俩就像是一对性格迥异的兄弟。
散度决定了电场的源，就像水源决定了河流的起点；旋度则决定了电场的旋转特性，像龙卷风一样有着独特的形态。
在推导这些公式的过程中，可不能马虎。
每一步都像是在搭积木，一块一块地，要稳稳当当。
稍有差错，这积木可就倒啦！比如说，在计算电场强度的时候，那各种积分、微分可不能搞错。
这就好比做菜放盐，多一点少一点味道就大不一样。
总之，电动力学的公式推导就像是一场精心编排的舞蹈，每一个动作都要精准到位，才能跳出美妙的旋律。
只有深入理解了这些推导过程，我们才能真正掌握电动力学的精髓，在这个神奇的领域里自由翱翔。
所以朋友们，别害怕这些复杂的推导，勇敢地去探索，你会发现其中的无限乐趣和惊喜！。
1. 电磁场能量守恒定律的推导应用麦克斯韦方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+=⨯∇=⋅∇∂∂-=⨯∇=⋅∇t DJ H B tB E D 0ρ和洛仑兹力公式B v E f ⨯+=ρρ及v Jρ=，结合公式E H H E H E ⋅⨯∇-⋅⨯∇=⨯⋅∇)()()(可给出电磁场对电荷系统所做的功率密度为E v v B v E v f ⋅=⋅⨯+=⋅ρρρ)(EtD HE J⋅∂∂-⨯∇=⋅=)( Et D E H ⋅∂∂-⋅⨯∇=)( []Et D H E H E⋅∂∂-⋅⨯∇+⨯⋅∇-=)()( Et D H t B H E⋅∂∂-⋅∂∂-⨯⋅-∇=)(令H E S⨯=H t B E t D t w⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂t wv f S ∂∂+⋅=⋅∇-对应的积分形式为⎰⎰⎰+⋅=⋅-∑V V wdV dt ddV v f d S σ注释:对于各向同性线性介质，H B E D με==,，由H t B E t D t w⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂给出能量密度为)(21B H D E w ⋅+⋅=而H E S⨯=为能流密度矢量，或称为坡印亭（Poynting ）矢量。
************************************************练习：将积分形式的麦克斯韦方程组分别应用于介质分界面两侧，试由两个高斯定理导出法向边值关系、两个安培定理导出切向边值关系。
2. 静电势ϕ满足泊松方程的推导对于各向同性线性介质，将E D ε=，ϕ-∇=E代入f D ρ=⋅∇ 得f E E E ρϕεϕεεεε=∇-∇⋅-∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇2)(即ερϕεεϕf -=∇⋅∇+∇12对于均匀介质, 有0=∇εερϕf -=∇2此即为静电势ϕ满足的泊松（poisson ）方程，其中f ρ为自由电荷体密度。
注释:当0=∇ε，或E⊥∇ε时，均有0=∇⋅∇ϕε，ϕ仍满足泊松方程。
3. 静电场能量公式的推导在线性介质中，电场总能量为⎰∞⋅=dVD E W 21 对于静电场，利用ρϕ=⋅∇-∇=D E,给出ρϕϕϕϕϕ+⋅-∇=⋅∇-⋅∇-=⋅-∇=⋅)(])([D D D D D E所以⎰⎰⎰⎰⎰∞∞∞∞∞+⋅-=+⋅∇-=⋅dV s d D dV dV D dV D E ρϕϕρϕϕ)( 又=⋅⎰∞s d D ϕ，故⎰∞=dVW ρϕ21注释:（1）电场能量分布于空间电场中。
在静电情形下，电场决定于电荷分布，场内没有独立的运动，因而静电场的总能量可以由电荷分布决定。
（2）ρϕ21不能视为静电场能量密度，上式只对静电场的总能量才有意义（因为静电能不是分布在电荷上）。
（3）静电相互作用能为⎰∞=dVW e i ρϕ，其中e ϕ为外电场的电势。
4. 静磁场矢势A满足微分方程的推导因为0=⋅∇B ，有A B⨯∇=。
对于各向同性线性介质，将μB H =及A B ⨯∇=代入静磁场方程J H=⨯∇，得)(1)(111)1(A A B B B ⨯∇⋅∇+⨯∇⋅∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇μμμμμJA A A =∇-⋅∇∇+⨯∇⋅∇=])([1)(12μμ运用库仑条件0=⋅∇A，经整理给出JA A μμμ-=⨯∇⋅∇-∇)(12对于均匀介质, 有1=∇μ,上式给出J A μ-=∇2)0(=⋅∇A此即为静磁场矢势A满足的微分方程，其中J 为传导电流体密度。
注释:当1=∇μ，或B⊥∇μ1时，均有0)(1=⨯∇⋅∇A μ，此时A 仍满足上述方程。
5. 静磁场能量公式的推导在线性介质中，磁场总能量为⎰∞⋅=dVH B W 21 对于静磁场，结合公式A H H A H A⋅⨯∇-⋅⨯∇=⨯⋅∇)()()(,应用磁场方程J H A B=⨯∇⨯∇=,可给出J A H A H A H A H A H B⋅+⨯⋅∇=⨯∇⋅+⨯⋅∇=⋅⨯∇=⋅)()()()(所以⎰⎰∞∞⋅+⨯⋅∇=dVJ A dV H A W21)(21⎰⎰∞∞⋅+⋅⨯=dV J A s d H A21)(21 又0)(=⋅⨯⎰∞s d H A，故⎰∞⋅=dVJ A W 21注释:（1）磁场能量分布于空间磁场中。
在静磁场情形下，磁场决定于稳恒电流的分布，因而静磁场的总能量可由电流分布决定。
（2）JA ⋅21不能看作为静磁场的能量密度，上式只对静磁场的总能量才有意义（因为磁能不是分布在电流上）。
（3）J 在外磁场e A 中的相互作用能为⎰⋅=dV A J W e i 。
6. 磁标势m ϕ满足的微分方程的推导在0=J 的区域内（且⎰=⋅L l d H 0），静磁场方程为⎩⎨⎧=⋅∇=⨯∇00B H对介质方程)(0M H B+=μ的两边取散度，得M H ⋅-∇=⋅∇令磁荷密度为0m M ρμ=-∇⋅ 代入静磁场方程给出（以H为基本量----磁荷观点）：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅∇=⨯∇）（）（2...........................1...................................00μρm H H由（1）式引入磁标势m ϕm H ϕ-∇=代入（2）式，则得磁标势m ϕ02μρϕm m -=∇7. 波动方程的推导以真空情况为例加以推导。
由无源)0,0(==J fρ麦克斯韦方程组出发⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂=⨯∇=⋅∇∂∂-=⨯∇=⋅∇)4(............................................................)3..(......................................................................0)2....(............................................................)1..(......................................................................000t EB E t B E Bεμ运用公式B B B E E E 22)()(,)()(∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇对(2)式取旋度，并应用第(3)、(4)式得2200)()(t EB t E ∂∂-=⨯∇∂∂-=⨯∇⨯∇ εμ则220020E E t με∂∇-=∂同理，对(4)式取旋度，并用第(1)、(2)式得()()200002BB E t t μεμε∂∂∇⨯∇⨯=∇⨯=-∂∂则220020B B t με∂∇-=∂令00c με=，则得波动方程如下⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-∇=∂∂-∇01012222222t Bc B t Ec E注释:在介质中，对于一定频率ω的电磁波，上述波动方程成为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-∇=∂∂-∇01012222222t Bv B t Ev E其中波速)()()()()(1)(ωωμωεωμωεωn c cv r r ===8. 亥姆霍兹方程的推导[方法一]对于一定频率的时谐电磁波，有H B E Dμε==,。
设电磁场量的形式为 )exp()(),(t i x E t x E ω-=)exp()(),(t i x B t x B ω-=则有代换关系ωi t -→∂∂，此时无源区域的麦克斯韦方程组成为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⨯∇=⋅∇=⨯∇=⋅∇)4(.....................)3(.................................0)2(...........................)1(.................................0E i B B B i E Eωμεω ①对（2）式两边取旋度，并利用（1）、（4）式得B i E⨯∇=⨯∇⨯∇ω)(E E E μεω22)(=∇-⋅∇∇022=+∇E E μεω即电场E满足的亥姆霍兹方程为)0(022=⋅∇=+∇E E k E其中波数λπωεμω2===vk 。
由此式解出E后，进一步便可由（2）式得到磁场：EiB ⨯∇-=ω。
② 同理，对（4）式两边取旋度，并利用（2）、（3）式，可得磁场B满足的亥姆霍兹方程为)0(022=⋅∇=+∇B B k B进一步由（4）式可给出：BiE ⨯∇=ωμε。
注释:（1）上述推导过程给出两种研究电磁波的途径；（2）0,0=⋅∇=⋅∇B E为横波条件。
--------------------------------------[方法二]对于一定频率的时谐电磁波，设电磁场量的时空变量分离形式为)exp()(),(t i x E t x E ω-=)exp()(),(t i x B t x B ω-=利用代换关系ωi t -→∂∂，由波动方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-∇=∂∂-∇01012222222t Bv B t Ev E可以直接给出⎪⎩⎪⎨⎧=+∇=+∇002222B k B E k E此即为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程。
9. 平面电磁波性质的推导对于平面波)](exp[),(0t x k i E t x E ω-⋅=有k i →∇，并且ωi t -→∂∂。
结合H B E D με==,，此时不含源的麦克斯韦方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂=⨯∇=⋅∇∂∂-=⨯∇=⋅∇t EB B t B E Eμε成为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⨯=⋅=⨯=⋅）（）（）（）（4..........................................3.....................................................02.................................................1......................................................0E B k B k B E k E kωμεω 其中（1）式、（3）式表明k B k E⊥⊥,；而由（2）式或（4）式给出或n B v E ⨯=，所以0)(1=⨯⋅=⋅E n E v B E。
由此给出平面波的性质为：①k B k E ⊥⊥、，即电磁波为横电磁（TEM ）波； ②B E ⊥，并且),,(k B E 三者组成右手系；③B E、同相位； ④B E、大小成比例，vB E =。
注释:（1）因为)](exp[)]}(exp[{),(00t x k i E t x k i E t x E ωω-⋅∇⋅=-⋅⋅∇=⋅∇),()(t x E k i x k i E ⋅=⋅∇⋅=；同样可得E k i E⨯=⨯∇，即相当于k i →∇（2）对于平面波，因为BvB E εμ1==，所以221B E με=，即电场能量密度等于磁场能量密度m e w B E w ===222121με；并且n vw S =，其中m e w w w +=。
