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3—12 岩心钻探规程（地工[1982]558号）总则一、本规程主要是对固体矿产岩心钻探的各项生产活动作出的规定，不包括水文地质钻探、工程地质钻探以及油、气钻探等内容。
二、本规程主要以原国家计委地质局一九七二年颁发的《岩心钻探规程（试行）》、一九七七年国家地质总局颁发的《金刚石岩心钻探操作规程》和一九七九年颁发的《金刚石绳索取心钻进操作规程》为基础，并总结了近些年来在生产实践中的新经验、新方法和新技术，经补充、修订而成的。
三、本规程是岩心钻探设计、施工、管理、检验等项工作的重要依据和准则，各地质勘探的现场操作人员、科研设计人员和技术、行政管理人员都必须严格遵守和执行。
四、本规程各条款，是对岩心钻探作出的一般性和原则性的规定要求。
在惯彻执行本规程时，各局、队可因地制宜地制订实施细则和补充规定。
五、本规程规定的各项钻探工程质量指标，是一般情况下应达到的要求。
当工作矿区处于不同普查勘探阶段而需要有不同要求或因采用新技术、新方法而改变上述要求时，应根据需要与可能的原则，由地质和探矿部门共同商定，在地质设计（或合同）中提出具体要求，按部有关设计审批的规定报批，经批准后实施。
钻孔质量等级的划分按部计划司制订的“地质工作主要统计指标解释”中有关规定执行。
地质矿产部1982-10-17颁布实施·1005·第一章钻进方法、钻孔结构及钻探设备的合理选择第一节钻进方法的选择第一条按与钻进工艺有关的几个特性将岩石做如下分类1．按硬度的大小分为四类，按可钻性的高低分为十二级，其相应关系为：（1）软——可钻性1～3级；（2）中硬——可钻性4～6级；（3）硬——可钻性7～9级；（4）坚硬——可钻性10～12级。
2．按研磨性的强弱分为三类：弱研磨性、中研磨性、强研磨性。
3．按完整程度分为三类：完整、较完整、破碎。
第二条应根据岩石的可钻性、研磨性、完整程度，来选择磨料和钻进方法。
1．1～6级和部分7级岩石宜选用硬质合金、针状硬质合金或聚晶金刚石、复合片钻进。
2022-2023学年三年级上册期末重难点高频易错卷A3版亲爱的同学们，寒假即将结束，元宵过后就是新的学期，相信大家在寒假都经过了复习和预习，下面这套试卷是开学收心考试卷，相信同学们一定可以交出一份完美的答卷！一、选择题（每题2分，共16分）1．两座城市之间的距离一般用（）作单位比较合适。
A．米B．千米C．分米2．下面是用秒表记录四位同学跑200米的时间，跑得最快的是（）。
A．B．C．D．3．12＋57的得数等于（）A．29 B．39 C．42 D．694．一个数减去339，差是478，这个数是（）。
A．707 B．817 C．9175．美园小区有五栋楼房，每栋有120户人家，小区共有（）户人家．A．600 B．500 C．1256．李丽莎用同样的8个小正方形拼出了不同的图形，下面说法正确的是（）。
A．四个图形周长都相等B．四个图形周长都不相等C．②和④的周长相等D．①和③的周长相等7．下面图形中，涂色部分不是整体的14的是( )．A．B．C．D．8．手工课上，同学们交了26份折纸作品，18份泥塑作品，两份作品都交的有7名同学，这个班共有（）名同学交了作品。
A．51 B．44 C．37二、填空题（每题2分，共16分）9．老师和同学们一起参观科技馆，要求大家8：00到齐。
如图请看：( )迟到了，晚到的同学迟到了( )秒。
10．1吨－200千克＝( )千克；4000克＝( )千克。
11．58是( )个18，3个15是( )。
12．一块长方形花布，长90厘米，宽65厘米。
从这块花布上剪下一块最大的正方形花布。
正方形花布的边长是( )厘米，周长是( )厘米。
13．学校运动会，三年级有一部分同学参加跳绳、踢毽比赛，其中参加跳绳有10人，参加踢毽9人，既参加跳绳又参加踢毽的有4人。
三年级学生参加这两项比赛共有( )人。
14．一个三位数乘一位数，62×7的积一定是( )位数。
15．一本书有206页，剩下103页没有读，大约读了( )页。
第1-4单元解决问题易错专项攻略-数学三年级上册苏教版1．学校体育器材室有篮球28个，足球的个数是篮球的4倍。
（1）下面图中表示出了篮球的个数，请根据倍数关系画出表示足球个数的线段示意图。
足球：（2）根据上面信息，提出一个用两步或两步以上计算解决的问题，并解答。
问题：_________________________解答：2．妈妈打算在网上购买一套《中国百科大全》（共8本）送给小丽，两个店铺价格信息如表。
你认为小丽的妈妈应该怎样选择呢？列式计算说明理由。
3．小刚看一本书，前5天平均每天看23页，还剩下438页没看，这本书共有多少页？4．水果店运来400千克梨，运来的苹果质量比梨的3倍还多50千克。
水果店一共运来了多少千克苹果？5．红星小学的同学们进行视力检查，上午检查了4批同学，每批128人，下午又检查了234人，这一天一共有多少人进行了视力检查？6．三年级一共有多少人？7．学校绘画班有小朋友204人，书法班的人数比绘画班的3倍少12人，书法班和绘画班共多少人？8．水果店里运来367千克苹果，运来香蕉的重量是苹果的3倍，橘子的重量比香蕉还多52千克，水果店运来橘子多少千克？9．妈妈买了1只鸡，1只鸭和1只鹅，共重9千克，已知1只鸡和1只鸭共重5千克，1只鹅和1只鸭共重7千克，鸡、鸭、鹅各重多少千克？10．一桶油连油带桶共重200千克，倒出一半油以后，连桶重110千克，原来油重多少千克？11．爸爸买了3千克西瓜和4000克苹果，一共买了多少克水果？12．一群猴子一共采了64千克桃子，装在3个篮子和1个筐里，1个筐里装了25千克，平均每个篮子里装多少千克桃子？13．一盒饼干连盒重1100克，标签上印着净含量1千克，这个饼干盒重多少克？14．如图，一张边长为12cm的正方形纸。
（1）将这张正方形纸分成两个完全一样的小长方形，在图中画一画。
（2）这两个小长方形的周长总和比原来正方形的周长增加了（）cm。
三x的三次方减12x的因式分解首先，让我们来研究一道代数题目：三x的三次方减12x的因式分解。
这个问题看上去似乎有些复杂，但是只要我们按照一定的步骤逐一解决，就能得到准确的答案。
首先，让我们来分解三x的三次方。
这个数学表达式表示3乘以x 的三次方，也就是3乘以x乘以x乘以x。
我们可以将这个表达式简化为3x³。
接下来，我们来分解12x。
这个表达式表示12乘以x，即12x。
现在，我们需要将3x³减去12x，即3x³ - 12x。
为了实现这一步骤，我们需要找到这两个项的最大公因式，然后将其提取出来。
两个表达式3x³和12x的最大公因式是3x。
因此，我们可以将这个公因式提取出来，得到3x(x² - 4)。
现在，我们得到了3x(x² - 4)的因式分解。
但是我们还可以进一步简化这个表达式。
我们发现，x²减去4可以被进一步分解为(x + 2)(x - 2)。
因此，我们可以将3x(x² - 4)进一步分解为3x(x + 2)(x - 2)。
最终得到的因式分解表达式为3x(x + 2)(x - 2)。
这个问题的因式分解过程可能看起来有些复杂，但只要我们掌握了一些基本的代数思维和技巧，就能够轻松地解决类似的问题。
通过将问题分解为更小的部分，并找到最大公因式，我们可以有效地进行因式分解，并得到准确的答案。
因式分解在数学中有着广泛的应用，特别是在解决方程和简化复杂表达式的过程中。
通过理解因式分解的原理和方法，我们可以更好地应用代数知识，解决各种数学问题。
总之，通过本文的解析过程，我们详细介绍了如何进行三x的三次方减12x的因式分解。
我们通过逐步分解和寻找最大公因式的方法，得到了最终的因式分解表达式3x(x + 2)(x - 2)。
希望这篇文章能对你理解因式分解的过程和方法有所帮助，并提供指导意义。
《医院隔离技术标准》2023版课后习题[1]【单选题】【飞沫传播带有病原体的飞沫核在空气中短距离移动到易感人群的口、鼻黏膜或眼结膜等导致的传播。
短距离是()。
][2分】【标准答案：A]A、≤lmB、≤1.2mC、≤1.5mD>≤2m[2]【单选题】【空气传播是指由悬浮于空气中、能在空气中远距离传播,并长时间保持感染性的飞沫核导致的传播。
飞沫核是要()。
][2分】【标准答案：A]A、≤5μmB、≥10μmC、25μmD、≤10μm[3]【单选题】【进行呼吸道传染病诊治的病区中的患者通道、出入口应设在()一端。
】【2分】【标准答案：B]A、清洁区B、污染区C、潜在污染区D、缓冲间[4]【单选题】【进行呼吸道传染病诊治的病区中的医务人员通道、出入口应设在()一端。
】【2分】【标准答案：A]A、清洁区B、污染区C、潜在污染区D、缓冲间[5]【单选题】【负压隔离病区(室)是指用于隔离通过和可能通过空气传播的传染病患者或疑似患者的病区(病室),通过机械通风方式,使病区(病室)的空气按照由清洁区向污染区流动,使病区(病室)内的空气静压比周边相邻相通区域空气静压?()】【2分】【标准答案：BJ高低相A、B、C、D、无要求[6]【单选题】【根据患者获得感染危险性的程度,普通病区属于()。
]【2分】【标准答案：B]A、低度风险区域B、中度风险区域C、高度风险区域[7]【单选题】【根据患者获得感染危险性的程度,医院多功能会议室属于()。
][2分】【标准答案：A]A、低度风险区域B、中度风险区域C、高度风险区域[8]【单选题】【根据患者获得感染危险性的程度,感染疾病科属于()。
]【2分】【标准答案：C]A、低度风险区域B、中度风险区域C、高度风险区域[9]【单选题】【根据患者获得感染危险性的程度,重症监护病房属于()。
]【2分】【标准答案：C]A、低度风险区域B、中度风险区域C、高度风险区域[10]【单选题】【普通病区单排病床通道净宽应(),双排病床(床端)通道净宽应(),病床间距宜()。
㊀２０２３届云南三校高考备考实用性联考卷(八)数㊀学注意事项:１ 答题前ꎬ考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名㊁准考证号㊁考场号㊁座位号在答题卡上填写清楚.２ 每小题选出答案后ꎬ用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑ꎬ如需改动ꎬ用橡皮擦干净后ꎬ再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效３ 考试结束后ꎬ请将本试卷和答题卡一并交回 满分１５０分ꎬ考试用时１２０分钟一㊁单选题(本大题共８小题ꎬ每小题５分ꎬ共４０分ꎬ在每小题给出的选项中ꎬ只有一个选项是符合题目要求的)１.已知ｚ１ꎬｚ２是方程ｘ２－２ｘ＋２＝０的两个复根ꎬ则ｚ２１－ｚ２２＝Ａ.２Ｂ.４Ｃ.２ｉＤ.４ｉ２.已知集合Ａ＝{－１ꎬ０ꎬ１}ꎬＢ＝{ａꎬａ２－３ａ＋２}ꎬ若ＡɘＢ＝{０}ꎬ则ａ＝Ａ.０或１Ｂ.１或２Ｃ.０或２Ｄ.０或１或２３.有７个人排成前后两排照相ꎬ前排站３人后排站４人ꎬ其中甲同学站在前排ꎬ乙同学站在后排的概率为Ａ.１４２Ｂ.１１４Ｃ.２２１Ｄ.２７４.平面向量ａ与ｂ的夹角为２π３ꎬ已知ａ＝(６ꎬ－８)ꎬｂ＝１０ꎬ则向量ｂ在向量ａ上的投影向量的坐标为Ａ.(３ꎬ－４)Ｂ.(４ꎬ－３)Ｃ.(－４ꎬ３)Ｄ.(－３ꎬ４)５.已知椭圆Ｅ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的左㊁右焦点分别为Ｆ１ꎬＦ２(如图１)ꎬ过Ｆ２的直线交Ｅ于㊀图１ＰꎬＱ两点ꎬ且ＰＦ１ʅｘ轴ꎬＰＦ２＝９Ｆ２Ｑꎬ则Ｅ的离心率为Ａ.６３Ｂ.１２Ｃ.３３Ｄ.３２６.已知正四棱锥的高为ｈꎬ其顶点都在同一球面上ꎬ若该球的体积为３６πꎬ且３２ɤｈɤ９２ꎬ则当该正四棱锥体积最大时ꎬ高ｈ的值为Ａ.２Ｂ.３２Ｃ.４Ｄ.９２７.定义方程ｆ(ｘ)＝ｆᶄ(ｘ)的实数根ｘ叫做函数ｆ(ｘ)的 奋斗点 .若函数ｇ(ｘ)＝ｌｎｘꎬｈ(ｘ)＝ｘ３－２的 奋斗点 分别为ｍꎬｎꎬ则ｍꎬｎ的大小关系为Ａ.ｍȡｎＢ.ｍ>ｎＣ.ｍɤｎＤ.ｍ<ｎ８.若ｘꎬｙɪＲꎬ则(ｘ－ｙ)２＋(ｘｅｘ－ｙ＋１)２的最小值为Ａ.２２Ｂ.２Ｃ.１２Ｄ.２ｅ二㊁多选题(本大题共４小题ꎬ每小题５分ꎬ共２０分.在每小题给出的选项中ꎬ有多项是符合题目要求的.全部选对的得５分ꎬ部分选对的得２分ꎬ有选错的得０分)９.已知ｆ(ｘ)ꎬｇ(ｘ)都是定义在Ｒ上且不恒为０的函数ꎬ则Ａ.ｙ＝ｆ(ｘ) ｆ(－ｘ)为偶函数Ｂ.ｙ＝ｇ(ｘ)＋ｇ(－ｘ)为奇函数Ｃ.若ｇ(ｘ)为奇函数ꎬｆ(ｘ)为偶函数ꎬ则ｙ＝ｆ(ｇ(ｘ))为奇函数Ｄ.若ｆ(ｘ)为奇函数ꎬｇ(ｘ)为偶函数ꎬ则ｙ＝ｆ(ｘ)－ｇ(ｘ)为非奇非偶函数１０.已知αꎬβ是两个不同的平面ꎬｍꎬｎꎬｌ是三条不同的直线ꎬ则下列命题正确的是Ａ.若ｍʅαꎬｎʅαꎬ则ｍʊｎＢ.若ｍʊαꎬｎʊαꎬ则ｍʊｎＣ.若αʅβꎬαɘβ＝ｌꎬｍ⊂αꎬｍʅｌꎬ则ｍʅβＤ.若αɘβ＝ｌꎬｍʊαꎬｍʊβꎬ则ｍʊｌ１１.在如图２所示的平面直角坐标系中ꎬ锐角αꎬβ的终边分别与单位圆交于ＡꎬＢ两点.则㊀图２Ａ.若Ａ点的横坐标为１２１３ꎬＢ点的纵坐标为４５ꎬ则ｃｏｓ(α＋β)＝１６６５Ｂ.ｓｉｎ(α＋β)<ｓｉｎα＋ｓｉｎβＣ.ｓｉｎα>ｓｉｎ(α＋β)＋ｓｉｎβＤ.以ｓｉｎαꎬｓｉｎβꎬｓｉｎ(α＋β)为三边构成的三角形的外接圆的面积为π３１２.已知在长方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中ꎬＡＢ＝ＢＣ＝２ꎬＡＡ１＝２２ꎬ点Ｐ是四边形Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１内(包含边界)的一动点ꎬ设二面角Ｐ－ＡＤ－Ｂ的大小为αꎬ直线ＰＢ与平面ＡＢＣＤ所成的角为βꎬ若α＝βꎬ则Ａ.点Ｐ的轨迹为一条抛物线Ｂ.直线ＰＡ１与直线ＣＤ所成角的最大值为π４Ｃ.线段ＰＢ长的最小值为３Ｄ.三棱锥Ｐ－Ａ２三㊁填空题(本大题共４小题ꎬ每小题５分ꎬ共２０分)１３.在１ｘ＋ｘ２æèçöø÷６的展开式中常数项是㊀㊀㊀㊀.(用数字作答)１４.假设云南省４０万学生数学模拟考试的成绩Ｘ近似服从正态分布Ｎ(９８ꎬ１００)ꎬ已知某学生成绩排名进入全省前９１００名ꎬ那么该生的数学成绩不会低于㊀㊀㊀㊀分.(参考数据:Ｐ(μ－σ<Ｘ<μ＋σ)＝０ ６８２７ꎬＰ(μ－２σ<Ｘ<μ＋２σ)＝０ ９５４５)１５.已知抛物线Ｃ:ｘ２＝８ｙꎬ在直线ｙ＝－４上任取一点Ｐꎬ过点Ｐ作抛物线Ｃ的两条切线ꎬ切点分别为ＡꎬＢꎬ则原点到直线ＡＢ距离的最大值为㊀㊀㊀㊀.１６.定义ｘ表示与实数ｘ的距离最近的整数(当ｘ为两相邻整数的算术平均值时ꎬｘ取较大整数)ꎬ如４３＝１ꎬ５３＝２ꎬ２＝２ꎬ２ ５＝３ꎬ令函数Ｋ(ｘ)＝ｘꎬ数列{ａｎ}的通项公式为ａｎ＝１Ｋ(ｎ)ꎬ其前ｎ项和为Ｓｎꎬ则Ｓ６＝㊀㊀㊀㊀ꎻＳ２０２５＝㊀㊀㊀㊀.(第一空２分ꎬ第二空３分)四㊁解答题(共７０分.解答应写出文字说明ꎬ证明过程或演算步骤)１７.(本小题满分１０分)如图３ꎬ正әＡＢＣ是圆柱底面圆Ｏ的内接三角形ꎬ其边长为ａ.ＡＤ是圆Ｏ的直径ꎬＰＡ是圆柱的母线ꎬＥ是ＡＤ与ＢＣ的交点ꎬ圆柱的轴截面是正方形.㊀图３(１)记圆柱的体积为Ｖ１ꎬ三棱锥Ｐ－ＡＢＣ的体积为Ｖ２ꎬ求Ｖ１Ｖ２ꎻ(２)设Ｆ是线段ＰＥ上一点ꎬ且ＦＥ＝１２ＰＦꎬ求二面角Ａ－ＦＣ－Ｏ的余弦值.１８.(本小题满分１２分)已知函数ｆ(ｘ)＝４ｓｉｎωｘｓｉｎωｘ＋π６æèçöø÷－３的相邻两条对称轴之间的距离为π２.(１)求函数ｆ(ｘ)在区间π３ꎬ３π４éëêêùûúú上的值域ꎻ(２)在锐角әＡＢＣ中ꎬ角ＡꎬＢꎬＣ的对边分别为ａꎬｂꎬｃꎬ且ｆ(Ａ)＝３ꎬ２ａ＝３ｂꎬｃ＝６＋２ꎬ求әＡＢＣ的面积.１９.(本小题满分１２分)已知数列{ａｎ}的前ｎ项和为Ｓｎꎬａ１＝１ꎬＳｎ＋１＝２Ｓｎ＋２ｎ＋１ꎬｎɪＮ∗.(１)求数列{ａｎ}的通项公式ꎻ(２)设ｂｎ＝Ｓｎ３ｎꎬ{ｂｎ}的前ｎ项和为Ｔｎꎬ若对任意的正整数ｎꎬ不等式Ｔｎ>ｍ２－ｍ＋７２７恒成立ꎬ求实数ｍ的取值范围.２０.(本小题满分１２分)学习强国 学习平台是由中宣部主管ꎬ以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容ꎬ立足全体党员ꎬ面向全社会的优质平台ꎬ现日益成为老百姓了解国家动态ꎬ紧跟时代脉搏的热门ａｐｐ.为了了解全民对于 学习强国 使用的情况ꎬ现从某单位全体员工中随机抽取３人做问卷调查.已知某单位有Ｎ名员工ꎬ其中２５是男性ꎬ３５是女性.(１)当Ｎ＝２０时ꎬ求抽出３人中男性员工人数Ｘ的分布列和数学期望ꎻ(２)我们知道ꎬ当总量Ｎ足够大而抽出的个体足够小时ꎬ超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑.从Ｎ名员工(男女比例不变)中随机抽取３人ꎬ在超几何分布中男性员工恰有２人的概率记作Ｐ１ꎻ在二项分布中(即男性员工的人数Ｘ~Ｂ３ꎬ２５æèçöø÷)男性员工恰有２人的概率记作Ｐ２.那么当Ｎ至少为多少时ꎬ我们可以在误差不超过０ ００１(即Ｐ１－Ｐ２ɤ０ ００１)的前提下认为超几何分布近似为二项分布.(参考数据:５７８ʈ２４ ０４)２１.(本小题满分１２分)已知圆Ｃ:(ｘ＋５)２＋ｙ２＝４ꎬ定点Ｄ(５ꎬ０)ꎬ如图４所示ꎬ圆Ｃ上某一点Ｄ１恰好与点Ｄ关于直线ＰＱ对称ꎬ设直线ＰＱ与直线Ｄ１Ｃ的交点为Ｔ.(１)求证:ＴＣ－ＴＤ为定值ꎬ并求出点Ｔ的轨迹Ｅ方程ꎻ(２)设Ａ(－１ꎬ０)ꎬＭ为曲线Ｅ上一点ꎬＮ为圆ｘ２＋ｙ２＝１上一点(ＭꎬＮ均不在ｘ轴上).直线ＡＭꎬＡＮ的斜率分别记为ｋ１ꎬｋ２ꎬ且ｋ１＝－４ｋ２.求证:直线ＭＮ过定点ꎬ并求出此定点的坐标.㊀图４２２.(本小题满分１２分)已知函数ｆ(ｘ)＝ｌｎ(ｘ＋２)－ｘ＋２ꎬｇ(ｘ)＝ａｅｘ－ｘ＋ｌｎａ.(１)求函数ｆ(ｘ)的极值ꎻ(２)请在下列①②中选择一个作答(注意:若选两个分别作答则按选①给分).①若ｆ(ｘ)ɤｇ(ｘ)恒成立ꎬ求实数ａ的取值范围ꎻ②若关于ｘ的方程ｆ(ｘ)＝ｇ(ｘ)有两个实根ꎬ求实数ａ的取值范围.数学参考答案·第1页（共11页）2023届云南三校高考备考实用性联考卷（八）数学参考答案一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 56 7 8 答案 BCDDACDA【解析】 1．22i 1i 2z ±===±，所以121i 1i z z =+=-，，，22121212|||()()||22i |4z z z z z z -=+-=⨯=，故选B.2．由于{0}A B = ，则0B ∈. 当若0a =，则2322a a -+=，此时{02}B =，符合题意. 若2320a a -+=，则1a =或2. 1a =时，{01}B =，，此时={01}A B ，不合题意；当2a =时，{02}B =，符合题意，因此0a =或2，故选C.3．先计算总事件数，可以看成7人站一排有77A 种.现在考虑符合题意的情况，从余下5人中选2人与甲站在前排，乙站在后排有234534C A A 种，概率为23453477C A A 2A 7P ==，故选D. 4．向量b 在向量a 上的投影向量的坐标为50(68)(34)||||1010a b a a a --=⨯=-，，，故选D. 5．因为1PQF △为通径4a 体，且22||9||PF F Q =，故222291232b b a a b a a ++=⇒= ，即e =，故选A ．6．如图1，设高为h ，底边长为a ，则222=()R h R -+，又34π36π3V R ==球， 3R =∴，又3922h ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，213V a h = 21[182(3)]3h h =--321(212)3h h =-+，2(4)V h h '=--，故max 4643h V V===，min 32274V V ==，故选C ． 图1数学参考答案·第2页（共11页）7．函数()ln g x x =，得1()g x x '=由题意可得，()()g m g m '=，即1ln m m =，设1()ln H x x x=-，211()H x x x'=--，因为0x >，所以()0H x '<，易得()H x 在(0)+∞，上单调递减且(1)10H =>，1(2)02H ==<，故12m <<，由3()2h x x =-，2()3h x x '=，由题意得：32223323n n n n-==+>，，12m <<，所以m n <，故选D. 8．可以转化为：点(e )x P x x ，是函数()e x f x x =图象上的点，点(1)Q y y -，是直线1y x =-上的点，即为P Q ，||PQ =，(1())e x f x x '=+，设函数()e x f x x =在点00()M x y ，处的切线1l 与直线l 平行，则直线1l 的斜率为1，可得000()(1)e 1x f x x '=+=，整理得00e (1)10x x +-=，∵()e (1)1x g x x =+-在定义域内单调递增，且(0)0g =，∴方程00e (1)10x x +-=有且仅有一个解00x =，则(00)M ，，故||PQ 的最小值为点(00)M ，到直线l ：10x y --=的距离2d ==，故选A. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号 9 10 11 12 答案 ADACDABBCD【解析】9．设()()()h x f x f x =- ，因为()f x 是定义在R 上的函数，所以()h x 的定义域为R ，()()()()h x f x f x h x -=-= ，所以()h x 为偶函数，故A 正确；()()()t x x x g g +=-，因为()g x 是定义在R 上的函数，所以()t x 的定义域为R ，()()())(g g t x t x x x -=-+=，所以()t x 为偶函数，故B 错误；设()())(m x f g x =，因为()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，所以()m x 的定义域为R ，因为()g x 为奇函数，()f x 为偶函数，所以()(())(())m x f g x f g x -=-=- (())()f g x m x ==，所以()m x 为偶函数，故C 错误；设()()()n x f x g x =-，因为()f x ，()g x 都数学参考答案·第3页（共11页）是定义在R 上的函数，所以()n x 的定义域为R ，()()()()()()n x n x f x g x f x g x +-=-+--- ()()()()f x g x f x g x =---2()g x =-，因为()g x 是不恒为0的函数，所以()()0n x n x +-=不恒成立，所以()n x 不是奇函数，()()()()[()()]n x n x f x g x f x g x --=-----()()f x g x =- ()()2()f x g x f x ++=，因为()f x 是不恒为0的函数，所以()()n x n x =-不恒成立，所以()n x 不是偶函数，所以()n x 是非奇非偶函数，故D 正确，故选AD.10．对于A ，m α⊥∵，n α⊥，∴由线面垂直的性质可得//m n ，故A 正确；对于B ，//m α，//n α，则m 与n 可能异面或相交或平行，故B 错误；对于C ，αβ⊥，l αβ= ，m α⊂，m l ⊥，由面面垂直的性质定理知，m β⊥，故C 正确，对于D ，设a αδ= ，m δ⊂，//m α，则//m a ，设b βγ= ，m γ⊂，//m β，则//m b ，//a b ∴，又b β⊂，a β⊂/，则//a β，又a α⊂，l αβ= ，则//a l ，则//m l ，故D 正确，故选ACD ．11．对于A ，由已知得，124cos sin 135αβ==，，αβ，为锐角，则53sin cos 135αβ==，，则1235416cos()cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=，故A 正确；对于B ，α∵，π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，(0π)αβ+∈，cos (01)cos (01)αβ∈∈∴，，，，sin()sin cos sin αβαβα<+=∴ sin β+，故B 正确；对于C ，cos()(11)αβ+∈-∵，，sin sin[()]ααββ=+-∴ sin()cos αββ=+cos()sin αββ-+sin()sin αββ<++，故C 错误；对于D ，同理sin sin[()]βαβα=+-sin()cos cos()sin sin()sin αβααβααβα=+-+<++结合B 、C 可知sin sin αβ，，sin()αβ+，可以作为三角形的三边；设该三角形为B C A '''△，角A B C '''，，所对的边长分别为sin sin sin()αβαβ+，，，由余弦定理可得，222sin sin sin ()cos 2sin sin C αβαβαβ+-+'=222sin sin (sin cos cos sin )2sin sin αβαβαβαβ+-+=222222sin sin sin cos cos sin 2sin cos cos sin 2sin sin αβαβαβαβαβαβ+---=2222sin (1cos )sin (1cos )cos cos 2sin sin αββααβαβ-+-=-2222sin sin sin sin 2sin sin αββααβ+=cos cos αβ-222sin sin cos cos 2sin sin αβαβαβ=-sin sin cos cos αβαβ=-cos()αβ=-+，sin sin()C αβ'=+∴，设外接圆半径为R ，则由正弦定理可得，sin()21sin sin()A B R C αβαβ''+==='+，12R =∴，π4S =∴，故D 错误，故选AB.数学参考答案·第4页（共11页）12．对于A ，过P 点作PO 垂直于底面ABCD ，垂足为O ，过O 作OH AD ⊥，垂足为H ，连接OB ，PH ，PB ，则PHO α∠=，PBO β∠=，又αβ=，OH OB =∵，而O 为P 点在底面的投影，PH PB =∴，过P 作11PM A D ⊥，垂足点为M ，连接1PB ，则易得1PM PB =，∴点P的轨迹是以1B 为焦点，11A D 为准线的抛物线的一部分，如图2所 示，故A 错误；对于B ，1PA ∵与CD 所成的角即1PA 与11C D 所成 的角，∴当P 与1C 重合时，1PA 与11C D 所成的角最大为π4，故B 正确，对于C ，当P 点在11A B 的中点时，PB 最短，此时3PB =，故C 正确；对于D ，∵1111P A BC B PA C V V --=，∴当点P 在11A B 的中点时，点P 到11A C 的距离最大，三角形11PA C 的面积最大，三棱锥11P A BC -的体积最大，此时11111113223P A B C B PA C V V --===，故D 正确，故选BCD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号 13 14 15 16答案15 118 4 4；89【解析】13．62361661C ()C rr r r r r T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令360r -=，即2r =，∴常数项为26C 15=. 14．由题意，98μ=，10σ=，(22)(78118)0.9545P X P X μσμσ-<<+=<<=，(118)P X ≥0.5(10.9545)0.02275=⨯-=，从而数学成绩大于等于118分的人数恰好为4000000.022759100⨯=，因此要进入前9100名，成绩不会低于118分.15．设(4)P t -，，则AB ∶4(4)xt y =-，直线AB 恒过定点(04)，，所以原点到直线AB 的距离的最大值为4. 16．因为1234111111(1)2(2)2a aa a K K ======，，，512a =， 612a ==，所以6111442S =++⨯=；根据()K x x = ，当12n ≤≤时，1 1.5<，则1K =，1n a ==，当36n ≤≤时，1.5 2.5<，则2K =，图2数学参考答案·第5页（共11页）12na==，当712n≤≤时，2.5 3.5<，则3K=，13na==，当1320n≤≤时，3.5 4.5<<，则4K=，14na==，以此类推，将n a=重新分组如下，1111111111111(11)2222333333n n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，，，，第n组有2n个数，且每组中所有数之和为122nn⨯=，因为2025145a==，故2025a在第45组，前面共有44组，共1980项，所以20251244458945S=⨯+⨯=.四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）解：（1）已知正ABC△的边长为a，由正弦定理，2sin60ar=︒（r为圆柱底面圆的半径），从而3r OA a==，由题意，圆柱高23h r a==，………………………………（2分）所以231ππ9V r h a==，232111sin60326V a h a=⨯︒⨯=，因此12VV=. …………………………………………………………………………（5分）（2）如图3，过A作Ax⊥平面P AD，易知Ax，AD，AP两两垂直，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz-，设2AD=，则2AP=，1AO=.由于O为正ABC△的中心，则23AO AE=，于是32AE=，由（1）知正ABC△的边长a=，从而BC=.则(000)A，，，(010)O，，，3002E⎛⎫⎪⎝⎭，，，322C⎛⎫⎪⎪⎝⎭，，，(002)P，，，由题意，F为线段PE上靠近E的三等分点，则1131202033223EF EP⎛⎫⎛⎫==-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，于是2013F⎛⎫⎪⎝⎭，，，2013AF⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，图3数学参考答案·第6页（共11页）12223FC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，，，1022CO ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，………………………………………（7分） 平面AFC的法向量为1132n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，，…………………………………………（8分） 平面FCO的法向量为2(10)n =-，………………………………………………（9分） 所以二面角A FC O --的夹角为θ，1212cos 5||||n n n n θ==. ……………………（10分）18．（本小题满分12分）解：（1）π1()4sin sin 4sin cos 62f x x x x x x ωωωωω⎫⎛⎫=+-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22sin cos cos 2)sin 2x x x x x ωωωωω=+=-+πsin222sin 23x x x ωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，πππ1()2sin 2223T T f x x ω⎛⎫=⇒===- ⎪⎝⎭∵，，，………………………………………（3分）π3πππ7π234336x x -∵≤≤，≤≤ ∴当π7π236x -=时，min ()1f x =-，当ππ232x -=时，max ()2f x =， 即()f x 的值域为[12]-，.……………………………………………………………………………………………（6分） （2）由()f A =，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，可得π3A =，ππ024A B B B ⎛⎫=⇒=∈= ⎪⎝⎭，，，∴，sin sin()4C A B =+=∴，由sin sin a c a A C =⇒=1sin 32ABC S ac B ==△∴…………………………………………………………（12分） 19.（本小题满分12分）解：（1）由1122n n n S S ++=+，得11122n n n n S S ++=+，又111222S a ==，数学参考答案·第7页（共11页）所以数列2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，公差为1的等差数列，121(1)222n n S n n -=+-=∴，即1(21)2n n S n -=- ，……………………………………（2分） ∴当2n ≥时，1221(21)2(23)2(21)2n n n n n n a S S n n n ----=-=---=+ ，又11a =不满足上式，所以211(21)22n n n a n n -=⎧=⎨+⎩ ，，，≥．…………………………………（5分） （2）由（1）知1(21)2n n S n -=- ，1(21)212323nn n nn b n --⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴， 12123212+232323nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴，…①23121232123232323n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，…②①−②得：32111222123333323nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++--⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，……………………（7分）整理得25(25)3nn T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，……………………………………………………………（9分）又因为对任意的正整数n ，2727n m m T -+>恒成立，所以2min 7()27n m m T -+<， 1122221(25)(27)033333n n nn n T T n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=+> ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∵，n T ∴在(0)+∞，上单调递增，min 11()3n T T ==， 由271273m m -+<，可得12m -<<， 所以实数m 的取值范围是(12)-，. ……………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）当20N =时，男性员工有8人，女性员工有12人.X 服从超几何分布，0X =，1，2，3，312320C 22011(0)C 114057P X ====，12812320C C 52844(1)C 114095P X ====，21812320C C 33628(2)C 114095P X ====，38320C 5614(3)C 1140285P X ====，……………………………………………………………………………………………（4分）数学参考答案·第8页（共11页）∴X 的分布列为数学期望为114428146()01235795952855E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………………………………………………………………………………………（6分）（2）212355131232C C 111855551C 25(1)(2)(1)(2)6NNNN N N N N P N N N N N ⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===---- ， ……………………………………………………………………………………………（7分）22232336C 0.28855125P ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ，…………………………………………………………（8分）由于120.001P P -≤，则211850.2880.00125(1)(2)N N N N ⎛⎫- ⎪⎝⎭--- ≤， 即211828950.28925(1)(2)1000N N N N ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-- ≤， 即21289252895(1)(2)100018720N N N N ⎛⎫- ⎪⎝⎭⨯=--≤， 由题意易知(1)(2)0N N -->，从而27201289(1)(2)5N N N N ⎛⎫--- ⎪⎝⎭≤，化简得21475780N N -+≥， 又0N >，于是578147N N+≥.…………………………………………………………（10分） 由于函数578y x x=+在24.04x =≈处有极小值， 从而578y N N=+当25N ≥时单调递增， 又578142146.07147142+≈<，578143147.04147143+≈>.数学参考答案·第9页（共11页）因此当143N ≥时符合题意， …………………………………………………………（11分） 而又考虑到25N 和35N 都是整数，则N 一定是5的整数倍，于是145N =.即N 至少为145时，我们可以在误差不超过0.001（即120.001P P -≤）的前提下认为超几何分布近似为二项分布. ………………………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）证明：（1）由图，由点1D 与D 关于PQ 对称，则1||||TD TD =， 所以11||||||||||||||2TC TD TC TD CD -=-==，故为定值．由||||||2||TC TD CD -=<=，由双曲线定义知，点T的轨迹为以(C ，0)，D 0)为焦点，实轴长为2的双曲线，设双曲线E 方程为22221(00)x y a b a b-=>>，，所以1a =，c =，2224b c a =-=，所以双曲线E 的方程为2214y x -=.……………………………………………………（5分） （2）因为(10)A -，，如图4，令11()M x y ，，22()N x y ，，22112214(1)01y x ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩，，两式相减得：1111141y x x y -=+ ，……………（7分） 同理，2222221(1)01x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，，两式相减得：222211y x x y -=-+，………（9分） 124k k =-，即2112212121211114=414x x x y x y k k y y y y ⎛⎫--=⇒-⇒---=- ⎪⎝⎭，对比两点式方程，可得直线MN 恒过定点(10)，．……………………………………（12分） 另解：酌情给分（2）解：由已知得AM l ：1(1)y k x =+，AN l ：2(1)y k x =+， 联立直线方程与双曲线方程122(1)14y k x y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，，消去y 整理得2222111(4)240k x k x k ----=，由韦达定理得212144A M k x x k --=-，所以212144M k x k +=-，即11218(1)4M M k y k x k =+=-. 所以21122114844k k M k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，. 图4数学参考答案·第10页（共11页）联立直线方程与圆的方程222(1)1y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 整理得2222222(1)210k x k x k +++-=， 由韦达定理得222211A N k x x k -=+，所以222211N k x k -+=+，即22222(1)1N N k y k x k =+=+， 因为1=4AN AM k k -，即2114k k =-，所以21122111681616k k N k k ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭，， 若直线MN 过定点，则由对称性得定点在x 轴上，设定点(0)T t ，. 由三点共线得MT NT k k =，即1122222211111122112211884164(4)16(16)1416416k k k k k k t k k t t k k t t k k --+=⇒++-=-++⇒=+-+---+， 所以直线MN 过定点(10)T ，. 22.（本小题满分12分）解：（1）函数()f x 的定义域为{|2}x x >-， 11()1022x f x x x --'=-==++，解得1x =-， 当21x -<<-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当1x >-时，()f x 单调递减；所以()(1)3f x f =-=极大值，无极小值.…………………………………………………（4分） （2）若选①：由()()f x g x ≤恒成立，即e ln(2)ln 20x a x a -++-≥恒成立， 整理得：ln e ln ln(2)2x a x a x x ++++++≥，即ln ln(2)e ln ln(2)e x a x x a x ++++++≥， 设函数()e x h x x =+，则上式为(ln )(ln(2))h x a h x ++≥，……………………………（6分） 因为()e 10x h x '=+>恒成立，所以()h x 单调递增，所以ln ln(2)x a x ++≥，即ln ln(2)a x x +-≥，……………………………………………………………………（8分） 令()ln(2)m x x x =+-，(2)x ∈-+∞，，则11()122x m x x x +'=-=-++， 当(21)x ∈--，时，()0m x '>；当(1)x ∈-+∞，时，()0m x '<；………………………………………………………（10分） 所以()m x 在1x =-处取得极大值，()m x 的最大值为(1)1m -=，故ln 1a ≥，即e a ≥．数学参考答案·第11页（共11页）故当[e )a ∈+∞，时，()()f x g x ≤恒成立．…………………………………………（12分） 若选择②：由关于x 的方程()()f x g x =有两个实根， 得e ln(2)ln 20x a x a -++-=有两个实根， 整理得ln e ln ln(2)2x a x a x x +++=+++，即ln ln(2)e ln ln(2)e x a x x a x ++++=++，…………………………………………………（6分） 设函数()e x h x x =+，则上式为(ln )(ln(2))h x a h x +=+， 因为()e 10x h x '=+>恒成立，所以()h x 单调递增，所以ln ln(2)x a x +=+，即ln ln(2)a x x =+-，………………………………………（8分） 令()ln(2)m x x x =+-，(2)x ∈-+∞，， 则11()122x m x x x +'=-=-++， 当(21)x ∈--，时，()0m x '>；当(1)x ∈-+∞，时，()0m x '<；………………………………………………………（10分） 所以()m x 在1x =-处取得极大值，()m x 的最大值为(1)1m -=，要想ln ln(2)a x =+有两个根，只需要ln 1a <，即0e a <<，所以a 的取值范围为(0e)，．……………………………………………（12分）。
2.3 恰当方程与积分因子方法(Exact differential equation and method ofintegrating factor )[教学内容] 1. 认识恰当方程，如何判定恰当方程; 2.介绍如何求解恰当方程; 3. 介绍什么叫积分因子; 4. 介绍如何寻找积分因子;5. 积分因子一些性质.[教学重难点] 重点是会判定和求解恰当方程，难点是如何寻找方程的积分因子 [教学方法] 自学1、4；讲授2、3 课堂练习 [考核目标]1. 熟练判定一个一阶方程是否为恰当方程;2. 会求解恰当方程;3. 知道积分因子的概念;4. 会寻找积分因子，并求解方程.1. 一阶微分形式的原函数存在性及其求法sin(3y)e y)u(x,2x =的全微分为cos(3y)dy 3e sin(3y)dx 2e dy u dx u du 2x 2x y x +=+=， 我们称u(x, y)为一阶微分形式cos(3y)dy 3e sin(3y)dx 2e 2x 2x +的一个原函数，并不是任一微分形式都有原函数的，例如dy xy dx 2x +。
《数学分析》下册P228定理21.12给出了如何判定dy y)Q(x,dx y)P(x,+是否存在原函数充要条件，这里P(x, y), Q(x, y)在单连通区域D 内具有一阶连续偏导数.例33. 判定一阶微分形式y)dy cos (x y)dx sin (2x ++是否为某个函数u(x, y)的全微分，如果是，求出它的原函数u(x, y).解：记 y) cos (x y)Q(x, ,y)sin (2x y)P(x,=+=， 易见P(x, y)和Q(x, y)在单连通区域2R 内具有一阶连续偏导数，且0xPx Q =∂∂-∂∂，(格林公式：⎰⎰⎰-=+D y x L )dxdy P (Q Qdy Pdx =0即积分路径无关). 因此由定理21.12知，y)dy cos (x y)dx sin (2x ++恰是某个函数u(x, y)的全微分.求函数u(x, y)方法一、由y)P(x,u x =知，C(y)y sin x x y)dx P(x,y)u(x,2++==⎰.再由y)Q(x,u y =知，y cos x (y)' C y cos x y)(x,u y =+=，即1C C(y) 0,(y)' C ==（常数）. 特别地，取0C 1=，得到一个原函数为 12C y sin x x y)u(x,++=.求原函数方法二、由定理21.12知，y)dy cos (x y)dx sin (2x ++曲线积分与路径无关性且⎰+=t)(s,(0,0)y)dy Q(x,y)dx P(x, t)u(s,. 特别地，取折线段OA: y=0, s x 0≤≤；t y 0 s, x :AB ≤≤=，则t cos s s ydy cos s 2xdx Qdy Pdx Qdy Pdx t)u(s,2ts 0ABOA+=+=+++=⎰⎰⎰⎰.将自变量(s, t)换为(x, y)得到，y cos x x y)u(x,2+=.练习28. 判定一阶微分形式)dy y -2xy -(x )dx y -2xy (x 2222++是否为某个函数u(x, y)的全微分，如果是，求出它的原函数u(x, y).2. 恰当方程(Exact equation)的概念及其解法 （1）设一阶方程为y)N(x,y)M(x,dx dy -=，其中M(x,y), N(x, y)在单连通区域内具有一阶连续偏导数，改写为对称形式（*）0y)dy N(x,y)dx M(x,=+. 如果y)dy N(x,y)dx M(x,+恰好为某个函数u(x, y)的全微分，则称方程（*）为恰当方程. （2）恰当方程y)dy N(x,y)dx M(x,+的解法：Step (a) 求出一阶微分形式一个原函数u(x, y)，则0Ndy Mdx y)du(x,=+=；Step(b) 由一个二元函数两个偏导数都为零知，该二元函数为常函数. 于是，有C y)u(x,=, 这就是恰当方程的通积分.例34. Use the method of exact equations to solve 1dxdyy cot 2x -=⋅⋅. Solution First, we rearrange the equation as 0dy y cot dx x2=+. Let y cot y)N(x, ,x 2y)M(x,==, 在0x ≠的单连通区域内，000yM x N =-=∂∂-∂∂（Test for exactness ）, 因此0dy y cot dx x2=+为恰当方程.Assume that u(x, y) is a antiderivative(原函数) ofdy y cot dx x 2+, then N u M,u y x ==. (a) Integrating the first equality, we get ⎰+==C(y)2ln x dx x2y)u(x,.(b) Differentiating the above equality, we get ysin ycos dy dC y,cot(y)' C y)(x,u y ===. (c) Integrating the above equality, we get⎰⎰=dy ysin ycos dC(y), |y sin |ln C(y)=. So u(x, y)=|y sin x |ln 2and general integral （通积分） of equation is 12C |y sin x |ln =. 例35. 求解下列方程02y)dy e (x dx e yy=++.Solution Let 2y xe y)N(x, ,e y)M(x,y y +==. First, we apply the test for exactness （恰当方程判定方法）:0e e M N y y y x =-=-. So equation is exact equation.Assume u(x, y) is an antiderivative of M d x+ N d y ， then N u M,u y x ==. (a) Integrating the first equality: u(x, y)=C(y)e x dx e y y +=⎰.(b) Differentiating the above equality: 2y (y)' C 2y,xe (y)' C e u y y y =+=+=. (c) Integrating the 2ydy dC =, we get 2y C(y)=.So u(x, y) =2y y e x +, and general integral of equation is C ~y e x 2y =+.作业29. Determine which of the following equations is exact. Solve those that are exact. (a) 0)dy y (x )dx x (y 33=++-; (b) y)dx cos x cos (e )dy xe y sin (sin x y y +=-. 作业30. For each of the following equations, find the value of n for which the equation is exact. Then solve the equation for that value of n.(a) 0y)dy x (x y)dx n x (xy 2322=+++; (b) 0dy e n x )dx e y (x 2xy 2xy =++.3. 积分因子（Integrating Factor ）如果一个方程是恰当方程，则它的求解过程是程序化的. 但并不是任一个方程都是恰当的，那么能否通过某种操作或等价变换使得它化为恰当方程呢？ 尝试如下： 例36. 求解0x)dy y (x ydx 2=-+.解：记x)y (x y)N(x, y,y)M(x,2-==，则验证0112xy M N y x ≠--=-. 即原方程不是恰当的. 但是在原方程两边乘以0x 1y)μ(x,2≠=，则新方程为0)dy x1(y dx x y 2=-+. 此时222xx)y (x y)(x,N ~ ,x y y)(x,M ~-==，有0x 1x 1M ~N ~22y x =-=-. 新方程是恰当方程. 记u(x, y)为dy N ~dx M ~+一个原函数，则N ~u ,M ~u y x ==. (a) 对第一个等式两边积分得到：⎰+-==C(y)xydx x y y)u(x,2; (b) 对上式两边关于y 求导得到：y dydC y,(y)' C ,x 1y (y)C'x 1u y ==-=+-=. (c) 对ydy dC =两边积分得到：2y C(y)2=. 于是2y x y y)u(x,2+-=.因此，原方程的通积分为12C 2y x y y)u(x,=+-=.注解37. 这里有几个问题需要回答：（1）方程0Ndy Mdx =+和乘以因子y)μ(x,后所得新方程0dy N ~dx M ~=+是否等解？如果不等解，那么问题出在哪？（2）如何寻找方程一个积分因子，使之成为恰当方程？关于问题（1）的回答是如果因子0y)μ(x,≠，则两方程等价；否则可能不等价.（上课听讲！） 关于问题（2）的回答：研究如果0Ndy Mdx =+两边乘以因子y)μ(x,所得方程0dy N ~μdx μM =+为恰当方程，则y)μ(x,需要满足什么条件？0)()(=∂∂-∂∂yM x N μμ，（**）y x y x M N M N μμμ+-=-)(，这是一个偏微分方程，由此确定出y)μ(x,难度不低于原常微分方程. 现作如下简化假定：情形一：y)μ(x,只是x 的函数，于是方程（**）简化为x y x N M N μμ-=-)(，反过来检验N )μM (N y x --是否只为变量x 的方程，若是，求解NM N dx d y x μμ)(--=，得到⎰=--dxNM N yx ey)μ(x,.情形二：y)μ(x,只是y 的函数，于是方程（**）简化为y y x M M N μμ=-)(，反过来检验M)μM (N y x -是否只为变量y 的方程，若是，求解M)μM (N dy d μy x -=，得到⎰=-dyMM N yx ey)μ(x,.例38. (1) 寻找方程0x)dy y (x ydx 2=-+的积分因子.(2) 寻找方程02xydx )dy y (3x 22=--的积分因子，并求解该方程.解：记x y x y)N(x, y,y)M(x,2-==，则1)-x(xy N 1),2(xy 112xy M N y x =-=--=-,于是，x 2NM N yx -=--恰好为x 的函数，因此，所求积分因子为2dx x 2x1e y)μ(x,=⎰=-.由例36知，原方程通积分为原方程的通积分为12C 2y x y y)u(x,=+-=.另一方面，注意到2x 1y)μ(x,=没有定义的点x=0，易验证，x=0也是方程的解. (上课听讲！) (2) 记22y -3x y)N(x, 2xy,y)M(x,=-=,2xy M 8x,2x 6x M N y x -==+=-,于是，y 4MM N yx -=-恰好为y 的函数，因此，所求积分因子为4dy y 4y1e y)μ(x,=⎰=-.0dy y)y (3x dx y 2x 0,dx y 2xy dy y )y (3x 42234422=-+-=--. 记u(x, y)为方程左端一个原函数，则C(y)yx dx y 2x y)u(x,323+-=-=⎰； 24242y y1y 3x (y)C'y x 3y)(x,u -=+=，解得y 1C(y)=, 于是u(x, y)=y 1y x 32+-.所求通积分为132C y1y x y)u(x,=+-=.另一方面，注意到4y1y)μ(x,=没有定义的点y=0，易验证，y=0也是方程的解. (上课听讲！) 作业31. Solve each of the following differential equations by finding integrating factor. （1） 0xy)dy (x 1)dx (xy 2=-+-；（2） 0y)dy csc 2y y cot (e dx e xx=++； （3）教材P60 习题 2(1)、(9)4. 更多关于积分因子知识和方法（1）积分因子是二元函数情形：（a ）0dy x dx y =-，0|)yx|d(ln y x dy x dx y ==-；（b ）0dy x dx y =-，0)yxd(arctan y x dy x dx y 22==+-.（2）设齐次方程0y)dy N(x,y)dx M(x,=+，当0yN xM ≠+时，有积分因子yN xM 1μ+=，并运用之来求解yx yx dx dy -+=.解：（a ）回忆：若R t y),M(x,t ty)M(tx,k∈∀=，则称y)M(x,为k 次齐次函数. 若M(x,y)和N(x,y)都为k 次齐次函数，则称方程y)N(x,y)M(x,dx dy -=为齐次方程.假定M(x, y)满足连续可微条件对y)M(x,t ty)M(tx,k =关于t 求导得到，y)M(x,kt ty)(tx,yM ty)(tx,xM 1k y x -=+，令t=1得到恒等式y)M(x,k y)(x,yM y) (x,xM y x =+，类似地，y)N(x,k y)(x,yN y) (x,xN y x =+.（b ）考察0yN xM y)dy N(x,y)dx M(x,=++，经计算得到=+∂∂-+∂∂)yNxM y)M(x,(y )yN xM y)N(x,(x2y y y x x x yN)(xM )MyN N (xM yN)(xM M )N yN xM (M yN)(xM N +++++-++-+=0yN)(xM NM k M N k yN)(xM )NyM (xM )M yN x (N 22y x y x =+-=++-+=. 因此新方程为恰当方程.（c ）考察方程yx yx dx dy -+=，改写为0y)dy (x -y)dx (x =-+. 取22y x 1y)x y(y)x(x 1μ+=+-++=，则新方程为0y x y)dy(x -y)dx (x 22=+-+. 分组为0y x x)dy -ydx (ydy)(xdx 22=+++，0yx x)dy-ydx (y x ydy)(xdx 2222=++++， 即0yx x)dy -ydx ()y 2(x )y d(x 222222=++++，0)x y (arctan d )y ln(x d 2122=++. 所求的通积分为xyarctan 22e C ~y x =+.另一方面22y x 1μ+=没有定义的只有(0, 0)点，因此原方程没有其他的解.（3）思考教材P61 习题10，并求解0y)dy (x x)dx (y =++-.(参见教材P38例7) 解：方程为恰当方程，因此由习题10结论知，C x 2xy y C,y)y(x x)x(y 22=-+=++-为方程的通积分.（4）思考教材P61习题9，自行阅读丁同仁、李承治《常微分方程教程》P47定理6和P48例题2，完成教材P61 习题2(11) .。
