恰当方程与积分因子

常微分方程的解是千儿的首篇笔记啦(^_−)☆这一系列笔记大概是来梳理一下各种常微分方程的解法。

证明部分暂时不会作为重点。

这篇笔记将梳理常微分方程的基本解法。

笔记主要采用的教材是丁同仁老师的《常微分方程教程》。

〇、一些名词1、常微分方程凡是联系自变量 x ，这个自变量的未知函数 y = y(x)及其直到 n 阶导数在内的函数方程f(x,y,y',y'',...,y^{(n)}) = 0 叫做常微分方程，并称 n为常微分方程的阶。

如果在上式中， f 对 y,y',...,y^{(n)} 而言都是一次的，那么我们称该方程为线性常微分方程，否则称其为非线性的。

如果未知函数是多元的，那么称之为偏微分方程。

在学习常微分方程的过程中，需要辩证地看待常微分方程和偏微分方程的关系，并及时进行转换。

这样就可以灵活地求解常微分方程。

2、解和通解若函数 y = \varphi (x) 在区间 j 内连续，且存在直到n 阶的导数。

若把 \varphi (x) 及其对应的各阶导数代入原方程，得到关于 x 的恒等式，那么我们称 y = \varphi(x)是原方程在区间 j 上的一个解。

如果解 y = \varphi(x, c_1,c_2,...,c_n) 中包含 n 个独立的任意常数c_1,c_2,...,c_n ，那么我们称其为通解。

若解中不包含任意常数，那么我们称其为特解。

3、初等积分法初等积分法是用一些初等函数或它们的积分来表示微分方程的解的方法。

这也是我们在本节中讨论的方法。

一、恰当方程对于形如 p(x,y)\text dx + q(x,y)\text dy = 0 的方程，如果存在一个可微函数 \phi (x,y) 使得 \text d \phi (x,y) = p(x,y)\text dx = q(x,y) \text dy，那么我们称其为一个恰当方程，或全微分方程。

恰当方程有解的充要条件是 \frac {\partial p(x,y)} {\partial y} = \frac{ \partial q(x,y)}{\partial x} 。

第二章 初等积分法一．[内容简介]本章主要介绍几种能用初等积分法求解的方程类型及其求解的一般方法.虽然这些类型是很有限的，但是它们却反映了实际问题中出现的微分方程的相当部分，另一方面，掌握这些方法和技巧，也是学好本书的最重要的基本训练之一.二．[关键词] 恰当方程，变量分离的方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努里方程，积分因子 三．[目的与要求]1．会识别和求解恰当方程，变量分离的方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努里方程和黎卡提方程.2． 领会用变量代换求解微分方程的思想和技巧，逐渐掌握根据方程的特点去寻找适当的变量代换，从而把比较复杂的微分方程转化为已知求解方法的微分方程.3．掌握利用积分因子求解微分方程的方法. 四．[教学过程]§1 恰当方程微分方程的一个中心问题就是求解，计算不定积分就是解最简单的微分方程)(x f dxdy =，这是积分学中的问题，但是在解微分方程),(y x f d xd y=时，如果直接积分，得C dx y x f y +=⎰),(.一般说来，由此得不出任何结果，因为右端的积分号内包含有未知函数.因此解微分方程与求积分有不同之处，但是解微分方程是积分法的发展，二者是互相联系的.在求微分方程时，应去发现微分方程的求解问题与积分问题的联系，创造条件把某些微分方程的求解问题转化为积分问题，即求原函数的问题.这是解微分方程的一种方法，习惯上称为微分方程的初等积分法.把一阶微分方程写成对称形式0),(),(=+dy y x Q dx y x P)1.1(联想起二元函数微积分学中的全微分表达式：dy ydx xy x d ∂Φ∂+∂Φ∂=Φ),(，如果),(y x P x=∂Φ∂，),(y x Q y=∂Φ∂ )2.1(则)1.1(的左端恰好是函数),(y x Φ的全微分dy y x Q dx y x P y x d ),(),(),(+=Φ，那么不论其中的y 与x 是独立变量，还是存在着某种函数关系，我们总能对等式0),(=Φy x d积分，得到C y x =Φ),( )3.1(称)3.1(为)1.1(的一个通积分，此时称方程)1.1(为恰当方程，或全微分方程.例1 求解微分方程 032223=+dy y x dx xy .解 显然 dy y x dx xy y x d 2233232)(+=，所以上面的方程即0)(32=y x d ，故求得通积分C y x =32.对于例1这样一个简单的微分方程，我们可以通过观察法求解.在一般情况下，需要解决的问题是： （1） 对于一个方程)1.1(，如何判断它是或者不是恰当方程？（2） 若)1.1(是恰当方程，又如何求得相应全微分的原函数),(y x Φ？（3） 若)1.1(不是恰当方程，能不能想办法把它变成恰当方程？以上（1）、（2）两个问题，其实早在线积分的理论中就已解决了. 事实上，若)1.1(是恰当方程，则存在函数),(y x Φ，使得dy y x Q dx y x P y x d ),(),(),(+=Φ，从而得),(y x P x=∂Φ∂，),(y x Q y=∂Φ∂ )4.1(将)4.1(的第一式和第二式分别对y 和x 求偏导数，得到xy yP ∂∂Φ∂=∂∂2，yx xQ ∂∂Φ∂=∂∂2)5.1(假设),(),,(y x Q y x P 具有连续的一阶偏导数yP ∂∂与xQ ∂∂，则xy ∂∂Φ∂2和yx ∂∂Φ∂2是连续的，从而可得yx xy ∂∂Φ∂=∂∂Φ∂22，故xy x Q yy x P ∂∂=∂∂),(),( )6.1(反之，设),(),(y x Q y x P 和满足条件)6.1(，我们来寻找满足)4.1(的函数),(y x Φ.由)4.1(的第一式有)(),(),(0y dt y t P y x xx ψ+=Φ⎰)7.1(其中函数)(y ψ待定.先选取)(y ψ，使寻找的函数),(y x Φ也满足)4.1(的第二式),(),(y x Q yy x =∂Φ∂，即),()()),(('y x Q y dt y t P yxx =+∂∂⎰ψ再利用条件)6.1(，有),()(),('y x Q y dt ty t Q xx =+∂∂⎰ψ，即 ),()(0'y x Q y =ψ，故只要取 ⎰=y y dt t x Q y 0),()(0ψ，代入)7.1(，得到⎰⎰+=Φy y xx dt t x Q dt y t P y x 0),(),(),(0 )8.1()8.1(即为所要找的满足关系式)4.1(的函数),(y x Φ，从而)1.1(为恰当方程.类似地，如果在构造函数),(y x Φ时，先考虑)4.1(式的第二式成立，则可以用同样的方法得到满足)4.1(的另一函数⎰⎰+=Φy y xx dt t x Q dt y t P y x 0),(),(),(0~)9.1(如此，我们就得到了下面的定理1 设函数),(y x P 和),(y x Q 在区域δγβα<<<<y x D ,:上连续，且有连续的一阶偏导数yP ∂∂与xQ ∂∂，则微分方程)1.1(为恰当方程的充要条件为恒等式xy x Q yy x P ∂∂=∂∂),(),( )6.1(在D 内成立，且)6.1(成立时，方程)1.1(的通积分为 C dt t x Q dt y t P y y xx =+⎰⎰0),(),(0 )10.1(或者C dt t x Q dt y t P y y xx =+⎰⎰),(),(0 )11.1(其中),(00y x 是D 中任意取定的一点.例2 求解微分方程0)cos ()3sin 2(2232=++++dy y y x x dx y x y x )12.1(解 这里y x y x y x P 23sin 2),(+=，223cos ),(y y x x y x Q ++=，故23cos 2x y x yP +=∂∂，y x x xQ c o s 232+=∂∂，因此方程)12.1(是恰当方程.现在求),(y x Φ，使它同时满足如下两个方程y x y x x23sin 2+=∂Φ∂，223cos y y x x y++=∂Φ∂，将第一式对x 积分，得到)(sin 32y y x y x ψ++=Φ )13.1(再将它代入上面第二式，即得223'32cos )(cos y y x x y x y x ++=++ψ，于是2')(y y =ψ，积分后可得331)(y y =ψ.这里省略了积分常数.将331)(y y =ψ代入)13.1(，得到33231sin ),(y y x y x y x ++=Φ.因此，方程)12.1(的通积分为C yy x y x =++33231sin ，其中C 为任意常数.附注1：对于某些恰当方程，并不需要按照上述一般方法来求解，而是采用“分项组合”的办法，先把那些本身已构成全微分的项分出，再把剩下的项凑成全微分.例如，对于方程)12.1(，就可以采用“分项组合”的办法来求解.把方程的左端重新分项组合，得到dy y dy x ydx x ydy x ydx x 2322)3()cos sin 2(++++ dy y dy x x yd y d x x yd 23322])([)](sin )([sin ++++= )31()()sin (232y d y x d y x d ++=)31sin (232y y x y x d ++=，于是方程的通积分为C yy x y x =++23231sin .附注2：求解恰当方程的关键是找出全微分的原函数),(y x Φ，这实际上就是场论中的位势问题.在单连通区域D 上条件)6.1(保证了线积分⎰+=Φ),(),(00),(),(),(y x y x dy y x Q dx y x P y x )14.1(与积分的路径无关.因此)14.1(式确定了一个单值函数),(y x Φ.公式)10.1(与)11.1(所取的积分路径仅仅是两种简单且便于计算的特殊路径. 习题2—1判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解.（1） 0)2()2(=-++dy y x dx y x .解 因为xQ yP ∂∂==∂∂2，所以方程是恰当方程.将方程改写为0)22(=-++ydy xdy ydx xdx ，即 0)2()(2)2(22=-+yd xy d xd ，故方程的通积分为C yxy x=-+22222.（2） 0)()(=-+-dy cy bx dx by ax ， )0(≠b .解 因为b xQ b yP =∂∂-=∂∂,，且0≠b ，所以方程不是恰当方程.（3） 0)2()2(2=++++dy xy e dx y e ye x x x . 解 因为xQ y e yP x∂∂=+=∂∂2，所以方程是恰当方程.将方程改写为0)2()(22=++++xydy dx y dy e dx ye dx e x xx ，即 0)()()(22=++xy d ye d e d x x . 故方程的通积分为C xyye e x x =++22.（4） 0)(22=++c x y d y dx by ax ，（b a ,和c 为常数）. 解 因为cy xQ by yP =∂∂=∂∂,2，所以当b c 2≠时，方程不是恰当方程.所以当b c 2=时，方程是恰当方程.将方程改写为0)2(22=++bxydy dx by dx ax ，即 0)()3(23=+xy bd xad .故方程的通积分为C b x y a x =+2331.（5） 0)()(2222=+++dy y x yf dx y x xf ，其中)(⋅f 是连续的可微函数. 解 因为xQ y x xyf yP ∂∂=+=∂∂)(222，所以方程是恰当方程.将方程改写为0])()([21222222=+++dy y x f dxy x f ，即 0)()(2222=++y x d y x f . 故方程的通积分为C y x F =+)(22， 其中F 是f 的一个原函数.。

积分因子：恰当方程与微分方程的桥梁作者：某某电子科技大学英才实验学院摘要：本文通过总结并证明可分离变量方程、一阶线性微分方程、贝努利方程、一阶分式方程等常见微分方程的积分因子，寻求将一阶常微分方程转化为全微分方程的方法，从而为一阶常微分方程的求解提供一种新的途径,并且对各种一阶微分方程进行初步的统一。

关键词：积分因子；恰当方程；微分方程；一、引入：在实际工作中，常常出现一些有趣的问题。

比如：某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律等等。

物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是根据关系求解一个或者几个未知的函数。

而描述已知未知条件关系的方程，即为微分方程。

理论研究中，力学、天文学、物理学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程。

在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型……。

因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的。

种种事例也使得数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。

然而微分方程的求解却是一个巨大的难题，求出所有微分方程的通解基本是不可能的任务，即便是一阶常微分方程，初等解(化为积分形式)也被证明不可能，于是数学家们逐步放弃了这一奢望而转向定量方法（数值计算）、定性方法，而这首先要解决解的存在性、唯一性等理论上的问题。

，但是寻求统一却是人们从古至今孜孜以求的。

本文便用积分因子的方法对一些初级微分方程的求解做一个简单的统一。

二、引言引理1：对于一阶微分方程P( x,y)dx + Q( x,y)dy = 0 (1)若方程左端恰好是u( x,y) 的全微分，即，存在u(x,y),使得du(x,y)=P( x,y) dx + Q( x,y) dy则称方程( 1) 为全微分方程，其通解为u(x,y)= C，其中C是任意常数．并且，当P(x,y)，Q(x,y)在单连通区域G内具有一阶连续偏导数时方程( 1)成为全微方程的充分必要条件是ðP ðy =ðQ ðx在G内恒成立。

2.3 恰当方程与积分因子方法(Exact differential equation and method ofintegrating factor )[教学内容] 1. 认识恰当方程，如何判定恰当方程; 2.介绍如何求解恰当方程; 3. 介绍什么叫积分因子; 4. 介绍如何寻找积分因子;5. 积分因子一些性质.[教学重难点] 重点是会判定和求解恰当方程，难点是如何寻找方程的积分因子 [教学方法] 自学1、4；讲授2、3 课堂练习 [考核目标]1. 熟练判定一个一阶方程是否为恰当方程;2. 会求解恰当方程;3. 知道积分因子的概念;4. 会寻找积分因子，并求解方程.1. 一阶微分形式的原函数存在性及其求法sin(3y)e y)u(x ,2x =的全微分为cos(3y)dy 3e sin(3y)dx 2e dy u dx u du 2x 2x y x +=+=，我们称u(x, y)为一阶微分形式cos(3y)dy 3e sin(3y)dx 2e 2x2x+的一个原函数，并不是任一微分形式都有原函数的，例如dy xy dx 2x +。

《数学分析》下册P228定理21.12给出了如何判定dy y)Q(x,dx y)P(x,+是否存在原函数充要条件，这里P(x, y), Q(x, y)在单连通区域D 内具有一阶连续偏导数.例33. 判定一阶微分形式y)dy cos (x y)dx sin (2x ++是否为某个函数u(x, y)的全微分，如果是，求出它的原函数u(x, y).解：记 y) cos (x y)Q(x, ,y)sin (2x y)P(x,=+=， 易见P(x, y)和Q(x, y)在单连通区域2R 内具有一阶连续偏导数，且0xPx Q =∂∂-∂∂，(格林公式：⎰⎰⎰-=+D y x L )dxdy P (Q Qdy Pdx =0即积分路径无关). 因此由定理21.12知，y)dy cos (x y)dx sin (2x ++恰是某个函数u(x, y)的全微分.求函数u(x, y)方法一、由y)P(x ,u x =知，C(y)y sin x x y)dx P(x,y)u(x,2++==⎰.再由y)Q(x ,u y =知，y cos x (y)' C y cos x y)(x ,u y =+=，即1C C(y) 0,(y)' C ==（常数）. 特别地，取0C 1=，得到一个原函数为 12C y sin x x y)u(x ,++=.求原函数方法二、由定理21.12知，y)dy cos (x y)dx sin (2x ++曲线积分与路径无关性且⎰+=t)(s,(0,0)y)dy Q(x,y)dx P(x, t)u(s,. 特别地，取折线段OA: y=0, s x 0≤≤；t y 0 s, x :AB ≤≤=，则t cos s s ydy cos s 2x dx Qdy Pdx Qdy Pdx t)u(s,2ts 0ABOA+=+=+++=⎰⎰⎰⎰.将自变量(s, t)换为(x, y)得到，y cos x x y)u(x ,2+=.练习28. 判定一阶微分形式)dy y -2x y -(x )dx y -2x y (x 2222++是否为某个函数u(x, y)的全微分，如果是，求出它的原函数u(x, y).2. 恰当方程(Exact equation)的概念及其解法 （1）设一阶方程为y)N(x ,y)M(x ,dx dy -=，其中M(x,y), N(x, y)在单连通区域内具有一阶连续偏导数，改写为对称形式（*）0y)dy N(x,y)dx M(x,=+. 如果y)dy N(x,y)dx M(x,+恰好为某个函数u(x, y)的全微分，则称方程（*）为恰当方程. （2）恰当方程y)dy N(x,y)dx M(x,+的解法：Step (a) 求出一阶微分形式一个原函数u(x, y)，则0Ndy Mdx y)du(x,=+=；Step(b) 由一个二元函数两个偏导数都为零知，该二元函数为常函数. 于是，有C y)u(x,=, 这就是恰当方程的通积分.例34. Use the method of exact equations to solve 1dxdyy cot 2x -=⋅⋅. Solution First, we rearrange the equation as 0dy y cot dx x2=+. Let y cot y)N(x, ,x2y)M(x,==, 在0x ≠的单连通区域内，000y M x N =-=∂∂-∂∂（Test for exactness ）, 因此0dy y cot dx x2=+为恰当方程.Assume that u(x, y) is a antiderivative(原函数) ofdy y cot dx x 2+, then N u M,u y x ==. (a) Integrating the first equality, we get ⎰+==C(y)2ln x dx x2y)u(x,.(b) Differentiating the above equality, we get ysin y cos dy dCy,cot (y)' C y)(x ,u y ===. (c) Integrating the above equality, we get⎰⎰=dy ysin ycos dC(y), |y sin |ln C(y)=. So u(x, y)=|y sin x |ln 2and general integral （通积分） of equation is 12C |y sin x |ln =. 例35. 求解下列方程02y)dy e (x dx e yy=++.Solution Let 2y x e y)N(x , ,e y)M(x ,yy +==. First, we apply the test for exactness （恰当方程判定方法）:0e e M N y y y x =-=-. So equation is exact equation.Assume u(x, y) is an antiderivative of M d x+ N d y ， then N u M,u y x ==. (a) Integrating the first equality: u(x, y)=C(y)e x dx e y y +=⎰.(b) Differentiating the above equality: 2y (y)' C 2y,xe (y)' C e u y y y =+=+=. (c) Integrating the 2ydy dC =, we get 2y C(y)=.So u(x, y) =2y y e x +, and general integral of equation is C ~y e x 2y =+.作业29. Determine which of the following equations is exact. Solve those that are exact. (a) 0)dy y (x )dx x (y 33=++-; (b) y)dx cos x cos (e )dy x e y sin (sin x yy+=-. 作业30. For each of the following equations, find the value of n for which the equation is exact. Then solve the equation for that value of n.(a) 0y)dy x (x y)dx n x (x y 2322=+++; (b) 0dy e n x )dx ey (x 2xy 2xy=++.3. 积分因子（Integrating Factor ）如果一个方程是恰当方程，则它的求解过程是程序化的. 但并不是任一个方程都是恰当的，那么能否通过某种操作或等价变换使得它化为恰当方程呢？ 尝试如下： 例36. 求解0x )dy y (x ydx 2=-+.解：记x )y (x y)N(x , y,y)M(x ,2-==，则验证0112x y M N y x ≠--=-. 即原方程不是恰当的. 但是在原方程两边乘以0x 1y)μ(x,2≠=，则新方程为0)dy x1(y dx x y 2=-+. 此时222x x )y (x y)(x ,N ~ ,x y y)(x ,M ~-==，有0x1x 1M ~N ~22y x =-=-. 新方程是恰当方程. 记u(x, y)为dy N ~dx M ~+一个原函数，则N ~u ,M ~u y x ==. (a) 对第一个等式两边积分得到：⎰+-==C(y)xydx x y y)u(x,2; (b) 对上式两边关于y 求导得到：y dydC y,(y)' C ,x 1y (y)C'x 1u y ==-=+-=. (c) 对ydy dC =两边积分得到：2y C(y)2=. 于是2y x y y)u(x ,2+-=.因此，原方程的通积分为12C 2y x y y)u(x ,=+-=. 注解37. 这里有几个问题需要回答：（1）方程0Ndy Mdx =+和乘以因子y)μ(x,后所得新方程0dy N ~dx M ~=+是否等解？如果不等解，那么问题出在哪？（2）如何寻找方程一个积分因子，使之成为恰当方程？关于问题（1）的回答是如果因子0y)μ(x,≠，则两方程等价；否则可能不等价.（上课听讲！） 关于问题（2）的回答：研究如果0Ndy Mdx =+两边乘以因子y)μ(x,所得方程0dy N ~μdx μM =+为恰当方程，则y)μ(x,需要满足什么条件？0)()(=∂∂-∂∂yM x N μμ，（**）y x y x M N M N μμμ+-=-)(，这是一个偏微分方程，由此确定出y)μ(x,难度不低于原常微分方程. 现作如下简化假定：情形一：y)μ(x,只是x 的函数，于是方程（**）简化为x y x N M N μμ-=-)(，反过来检验N )μM (N y x --是否只为变量x 的方程，若是，求解NM N dx d y x μμ)(--=，得到⎰=--dxNM N yx ey)μ(x,.情形二：y)μ(x,只是y 的函数，于是方程（**）简化为y y x M M N μμ=-)(，反过来检验M)μM (N y x -是否只为变量y 的方程，若是，求解M)μM (N dy d μy x -=，得到⎰=-dyMM N yx ey)μ(x,.例38. (1) 寻找方程0x )dy y (x ydx 2=-+的积分因子.(2) 寻找方程02x ydx )dy y (3x 22=--的积分因子，并求解该方程.解：记x y x y)N(x , y,y)M(x ,2-==，则1)-x (x y N 1),2(x y 112x y M N y x =-=--=-,于是，x2NM N yx -=--恰好为x 的函数，因此，所求积分因子为2dx x 2x 1e y)μ(x ,=⎰=-.由例36知，原方程通积分为原方程的通积分为12C 2y x y y)u(x ,=+-=.另一方面，注意到2x 1y)μ(x,=没有定义的点x=0，易验证，x=0也是方程的解. (上课听讲！) (2) 记22y -3x y)N(x , 2x y,y)M(x ,=-=,2x y M 8x ,2x 6x M N y x -==+=-,于是，y 4MM N yx -=-恰好为y 的函数，因此，所求积分因子为4dy y 4y1e y)μ(x,=⎰=-.0dy y)y (3x dx y 2x 0,dx y 2x y dy y )y (3x 42234422=-+-=--. 记u(x, y)为方程左端一个原函数，则C(y)yx dx y 2x y)u(x ,323+-=-=⎰； 24242y y 1y 3x (y)C'y x 3y)(x ,u -=+=，解得y 1C(y)=, 于是u(x, y)=y 1y x 32+-.所求通积分为132C y1y x y)u(x ,=+-=.另一方面，注意到4y1y)μ(x ,=没有定义的点y=0，易验证，y=0也是方程的解. (上课听讲！) 作业31. Solve each of the following differential equations by finding integrating factor. （1） 0x y)dy (x 1)dx (x y 2=-+-；（2） 0y)dy csc 2y y cot (e dx e xx=++； （3）教材P60 习题 2(1)、(9)4. 更多关于积分因子知识和方法（1）积分因子是二元函数情形：（a ）0dy x dx y =-，0|)yx|d(ln y x dy x dx y ==-；（b ）0dy x dx y =-，0)yxd(arctan y x dy x dx y 22==+-.（2）设齐次方程0y)dy N(x,y)dx M(x,=+，当0yN xM ≠+时，有积分因子yN x M 1μ+=，并运用之来求解yx yx dx dy -+=.解：（a ）回忆：若R t y),M(x ,t ty)M(tx ,k∈∀=，则称y)M(x,为k 次齐次函数. 若M(x,y)和N(x,y)都为k 次齐次函数，则称方程y)N(x ,y)M(x ,dx dy -=为齐次方程.假定M(x, y)满足连续可微条件对y)M(x ,t ty)M(tx ,k=关于t 求导得到，y)M(x,kt ty)(tx,yM ty)(tx,xM 1k y x -=+，令t=1得到恒等式y)M(x ,k y)(x ,yM y) (x ,x M y x =+，类似地，y)N(x ,k y)(x ,yN y) (x ,x N y x =+.（b ）考察0yN x M y)dy N(x ,y)dx M(x ,=++，经计算得到=+∂∂-+∂∂)yNx M y)M(x ,(y )yN x M y)N(x ,(x2y y y x x x yN)(x M )MyN N (x M yN)(x M M )N yN x M (M yN)(x M N +++++-++-+=0yN)(x M NM k M N k yN)(x M )NyM (x M )M yN x (N 22y x y x =+-=++-+=. 因此新方程为恰当方程.（c ）考察方程yx y x dx dy -+=，改写为0y)dy (x -y)dx (x =-+. 取22y x 1y)x y(y)x (x 1μ+=+-++=，则新方程为0y x y)dy(x -y)dx (x 22=+-+. 分组为0y x x )dy -ydx (ydy)(x dx 22=+++，0yx x )dy-ydx (y x ydy)(x dx 2222=++++， 即0y x x )dy -ydx ()y 2(x )y d(x 222222=++++，0)x y (arctan d )y ln(x d 2122=++.所求的通积分为x yarctan 22e C ~y x =+.另一方面22y x 1μ+=没有定义的只有(0, 0)点，因此原方程没有其他的解.（3）思考教材P61 习题10，并求解0y)dy (x x)dx (y =++-.(参见教材P38例7) 解：方程为恰当方程，因此由习题10结论知，C x 2x y y C,y)y(x x )x (y 22=-+=++-为方程的通积分.（4）思考教材P61习题9，自行阅读丁同仁、李承治《常微分方程教程》P47定理6和P48例题2，完成教材P61 习题2(11) .。

§2.3 恰当方程与积分因子1、恰当方程的定义 将一阶微分方程 (,)dyf x y dx= 写成微分的形式(,)0f x y dx dy -= 把,x y 平等看待，对称形式的一阶微分方程的一般式为(,)(,)0M x y dx N x y dy += （2.43）假设(,),(,)M x y N x y 在某区域G 内是,x y 的连续函数，而且具有连续的一阶偏导数. 如果存在可微函数(,)u x y ,使得(,)(,)du M x y dx N x y dy =+ (2.44)即 (,), (,)u u M x y N x y x y∂∂==∂∂ (2.45)则称方程(2.43)为恰当方程,或称全微分方程.在上述情形,方程(2.43)可写成(,)0du x y ≡,于是 (,)u x y C ≡就是方程(2.43)的隐式通解,这里C 是任意常数(应使函数有意义). 2、 恰当方程的判定准则定理1设(,),(,)M x y N x y 在某区域G 内连续可微,则方程(2.43)是恰当方程的充要条件是, (,)M Nx y G y x∂∂=∈∂∂ (2.46)而且当(2.46)成立时,相应的原函数可取为 00(,)(,)(,)xyx y u x y M s y ds N x t dt =+⎰⎰(2.47)或者也可取为0(,)(,)(,)yxy x u x y N x t dt M s y ds =+⎰⎰(2.48)其中00(,)x y G ∈是任意取定的一点.证明 先证必要性.因为(2.43)是恰当方程,则有可微函数(,)u x y 满足(2.45), 又知(,),(,)M x y N x y 是连续可微的,从而有22M u u Ny y x x y x∂∂∂∂===∂∂∂∂∂∂ 下面证明定理的充分性,即由条件(2.46),寻找函数(,)u x y ,使其适合方程(2.45).从(2.47)可知(,)uN x y y∂=∂ 000000(,)(,) =(,)(,) =(,)(,)(,)yy yx y y y y u M x y N x t dt x x M x y N x t dtM x y M x t dt M x y ∂∂=+∂∂++=⎰⎰⎰即(2.45)成立,同理也可从(2.48)推出(2.45).例1. 解方程21()02x xydx dy y++=(2.49)解 这里21, =()2x M xy N y=+,则y x M x N ==,所以(2.49)是恰当方程.因为N 于0y =处无意义,所以应分别在0y >和0y <区域上应用定理2.3,可按任意一条途径去求相应的原函数(,)u x y .先选取00(,)(0,1)x y =,代入公式(2.47)有 22011()ln 22xyx x u xdx dy y y y =++=+⎰⎰再选取00(,)(0,1)x y =-,代入公式(2.47)有22011()()ln()22xyx x u x dx dy y y y -=-++=+-⎰⎰可见不论0y >和0y <,都有2ln ||2x u y y =+ 故方程的通解为2ln ||2x y y C +=. 3、恰当方程的解法上述定理已给出恰当方程的解法,下面给出恰当方程的另两种常用解法. 解法1. 已经验证方程为恰当方程,从(,)x u M x y =出发,有2(,)(,)()()2x u x y M x y dx y y y φφ≡+=+⎰ (2.50)其中()y φ为待定函数,再利用(,)y u N x y =,有221()22x x y y φ'+=+ 从而1()y yφ'= 于是有 ()ln ||y y φ=只需要求出一个(,)u x y ,因而省略了积分常数.把它代入(2.50)便得方程的通解为2ln ||2x u y y C =+= 解法2. 分项组合的方法对(2.49)式重新组合变为21()02x xydx dy dy y++= 于是 2()ln ||02x d y d y += 从而得到方程的通解为 2ln ||2x y y C += 4、积分因子的定义及判别对于微分形式的微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=（2.43）如果方程（2.43）不是恰当方程，而存在连续可微的函数(,)0x y μμ=≠，使得(,)(,)0M x y dx N x y dy μμ+= (2.51)为一恰当方程，即存在函数(,)v x y ，使(,)(,)M x y dx N x y dy dv μμ+≡则称(,)x y μ是方程（2.43）的积分因子.此时(,)v x y C =是(2.51)的通解，因而也就是（2.43）的通解.如果函数(,),(,)M x y N x y 和(,)x y μ都是连续可微的,则由恰当方程的判别准则知道,(,)x y μ为(2.43)积分因子的充要条件是M Ny xμμ∂∂=∂∂ 即 ()M NNM x y y xμμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂ (2.52)5、积分因子的求法方程(2.52)的非零解总是存在的，但这是一个以μ为未知函数的一阶线性偏微分方程，求解很困难，我们只求某些特殊情形的积分因子. 定理2 设(,),(,)M M x y N N x y ==和(,)x y ϕϕ=在某区域内都是连续可微的，则方程（2.43） 有形如((,))x y μμϕ=的积分因子的充要条件是：函数(,)(,)(,)(,)(,)(,)y x x y M x y N x y N x y x y M x y x y ϕϕ--（2.53）仅是(,)x y φ的函数，此外，如果（2.53）仅是(,)x y φ的函数((,))f f x y ϕ=，而()()G u f u du =⎰，则函数((,))G x y e ϕμ=（2.54）就是方程（2.43）的积分因子.证明 因为如果方程（2.43）有积分因子()μμϕ=，则由（2.52）进一步知()()d M N N M d x y y xμϕϕμϕ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂ 即y x x yM N d d N M μϕμϕϕ-=- 由()μμϕ=可知左端是ϕ的函数，可见右端y x x yM N N M ϕϕ--也是ϕ的函数，即()y x x yM N f N M ϕϕϕ-=-，于是，有()d f d μϕϕμ=， 从而 ()()f d G e e ϕϕϕμ⎰==反之，如果（2.53）仅是ϕ的函数，即()y x x yM N f N M ϕϕϕ-=-，则函数（2.54）是方程（2.52）的解.事实上，因为()()()()G x y y x NM N M f e M N x yϕμμϕϕϕμ∂∂-=-=-∂∂ 因此函数（2.54）的确是方程（2.43）的积分因子.为了方便应用这个定理，我们就若干特殊情形列简表如下：例2.解22(31)()0y xy dx xy x dy -++-=解 这里2231,M y xy N xy x =-+=-,注意y x M N y x -=-所以方程不是恰当的,但是1y xM N Nx-=它仅是依赖与x ，因此有积分因子1dxx e x μ⎰≡=给方程两边乘以因子x μ=得到2223(3)()0xy x y x dx x y x dy -++-=从而可得到隐式通解22321122u x y x y x C ≡-+= 例3. 解方程2()(1)0xy y dx xy y dy ++++=解 这里2,1M xy y N xy y =+=++方程不是恰当的.但是1y xM N My-=-- 它有仅依赖于y 的积分因子11dyy eyμ-⎰≡=方程两边乘以积分因子1y μ=得到 1()(1)0x y dx x dy y++++= 从而可得到隐式通解21ln ||2u x xy y y C ≡+++= 另外，还有特解0y =.它是用积分因子乘方程时丢失的解.例4. 解方程 223(2)()0y x y d x x y x d y +++= 解 这里2232,M y x y N xy x =+=+，不是恰当方程.设想方程有积分因子()x y αβμμ=，其中α，β是待定实数.于是2112111()(2)y xM N y x x N y M x y y x x y x y αβαβαβαβαβαβ----⋅=⋅=--+-只须取3,2αβ==.由上述简表知原方程有积分因子32x y μ=从而容易求得其通解为：446313u x y x y C ≡+=六、积分因子的其他求法以例4为例，方程的积分因子也可以这样来求：把原方程改写为如下两组和的形式：223()(2)0y dx xydx x ydx x dy +++=前一组有积分因子11yμ=，并且 21()()y dx xydy d xy y+= 后一组有积分因子21xμ=，并且 2321(2)()x ydx x dy d x y x+= 设想原方程有积分因子211()()xy x y y xαβμ== 其中α，β是待定实数.容易看出只须3,2αβ==，上述函数确实是积分因子，其实就是上面找到一个.例5. 解方程 1212()()()()0M x M y dx N x N y dy += 其中1M ，2M ，1N ，2N 均为连续函数.解 这里12()()M M x M y =，12()()N N x N y =.写成微商形式就形式上方程是变量可分离方程，若有0y 使得20()0M y =，则0y y =是此方程的解；若有0x 使得10()0N x =，则0x x =是此方程的解；若21()()0M y N x ≠，则有积分因子211()()M y N x μ=并且通解为1212()()()()M x N y u dx dy N x M y ≡+⎰⎰例6、试用积分因子法解线性方程（2.28）.解 将（2.28）改写为微分方程[()()]0P x y Q x dx dy +-= （2.55）这里()(),1M P x y Q x N =+=-，而()M Ny xP x N∂∂-∂∂=- 则线性方程只有与x 有关的积分因子()P x dxe μ-⎰= 方程（2.55）两边乘以()P x dxe μ-⎰=，得()()()()()0P x dx P x dx P x dxxP x e ydx e dy Q x e dx ---⎰⎰⎰-+=（2.56）（2.56）为恰当方程，又分项分组法()()()()0P x dx P x dxd ye Q x e dx --⎰⎰-=因此方程的通解为()()()P x dx P x dxye Q x e dx c --⎰⎰-=⎰即()()[()]P x dxP x dxy e Q x e dx c -⎰⎰=+⎰与前面所求得的结果一样.注：积分因子一般不容易求得可以先从求特殊形状的积分因子开始，或者通过观察法进行“分项分组”法求得积分因子.。

2.3恰当方程与积分因子方法(Exact differential equation and method ofintegrating factor )[教学内容]1.认识恰当方程，如何判定恰当方程;2.介绍如何求解恰当方程;3.介绍什么叫积分因子;4.介绍如何寻找积分因子;5.积分因子一些性质.[教学重难点]重点是会判定和求解恰当方程，难点是如何寻找方程的积分因子[教学方法]自学1、4；讲授2、3课堂练习[考核目标]1.熟练判定一个一阶方程是否为恰当方程;2.会求解恰当方程;3.知道积分因子的概念;4.会寻找积分因子，并求解方程.1.一阶微分形式的原函数存在性及其求法sin(3y)e y)u(x,2x =的全微分为cos(3y)dy 3e sin(3y)dx 2e dy u dx u du 2x 2x y x +=+=，我们称u(x,y)为一阶微分形式cos(3y)dy 3e sin(3y)dx 2e 2x2x +的一个原函数，并不是任一微分形式都有原函数的，例如dy xy dx 2x +。

《数学分析》下册P228定理21.12给出了如何判定dy y)Q(x,dx y)P(x,+是否存在原函数充要条件，这里P(x,y),Q(x,y)在单连通区域D 内具有一阶连续偏导数.例33.判定一阶微分形式y)dy cos (x y)dx sin (2x ++是否为某个函数u(x,y)的全微分，如果是，求出它的原函数u(x,y).解：记y) cos (x y)Q(x, ,y)sin (2x y)P(x,=+=，易见P(x,y)和Q(x,y)在单连通区域2R 内具有一阶连续偏导数，且0xPx Q =∂∂-∂∂，(格林公式：⎰⎰⎰-=+D y x L )dxdy P (Q Qdy Pdx =0即积分路径无关).因此由定理21.12知，y)dy cos (x y)dx sin (2x ++恰是某个函数u(x,y)的全微分.求函数u(x,y)方法一、由y)P(x,u x =知，C(y)y sin x xy)dx P(x,y)u(x,2++==⎰.再由y)Q(x,u y =知，y cos x (y)' C y cos x y)(x,u y =+=，即1C C(y) 0,(y)' C ==（常数）.特别地，取0C 1=，得到一个原函数为12C y sin x x y)u(x,++=.求原函数方法二、由定理21.12知，y)dy cos (x y)dx sin (2x ++曲线积分与路径无关性且⎰+=t)(s,(0,0)y)dy Q(x,y)dx P(x, t)u(s,.特别地，取折线段OA:y=0,s x 0≤≤；t y 0 s, x :AB ≤≤=，则t cos s s ydy cos s 2xdx Qdy Pdx Qdy Pdx t)u(s,2ts 0ABOA+=+=+++=⎰⎰⎰⎰.将自变量(s,t)换为(x,y)得到，y cos x x y)u(x,2+=.练习28.判定一阶微分形式)dy y -2xy -(x )dx y -2xy (x 2222++是否为某个函数u(x,y)的全微分，如果是，求出它的原函数u(x,y).2.恰当方程(Exact equation)的概念及其解法（1）设一阶方程为y)N(x,y)M(x,dx dy -=，其中M(x,y),N(x,y)在单连通区域内具有一阶连续偏导数，改写为对称形式（*）0y)dy N(x,y)dx M(x,=+.如果y)dy N(x,y)dx M(x,+恰好为某个函数u(x,y)的全微分，则称方程（*）为恰当方程.（2）恰当方程y)dy N(x,y)dx M(x,+的解法：Step (a)求出一阶微分形式一个原函数u(x,y)，则0Ndy Mdx y)du(x,=+=；Step(b)由一个二元函数两个偏导数都为零知，该二元函数为常函数.于是，有C y)u(x,=,这就是恰当方程的通积分.例e the method of exact equations to solve 1dxdyy cot 2x -=⋅⋅.SolutionFirst,we rearrange the equation as0dy y cot dx x2=+.Let y cot y)N(x, ,x 2y)M(x,==,在0x ≠的单连通区域内，000yM x N =-=∂∂-∂∂（Test for exactness ）,因此0dy y cot dx x2=+为恰当方程.Assume that u(x,y)is a antiderivative(原函数)of dy y cot dx x 2+,then N u M,u y x ==.(a)Integrating the first equality,we get⎰+==C(y)2ln x dx x2y)u(x,.(b)Differentiating the above equality,we get ysin ycos dy dCy,cot (y)' C y)(x,u y ===.(c)Integrating the above equality,we get⎰⎰=dy ysin ycos dC(y),|y sin |ln C(y)=.So u(x,y)=|y sin x |ln 2and general integral （通积分）of equation is 12C |y sin x |ln =.例35.求解下列方程02y)dy e (x dx e yy=++.Solution Let 2y xe y)N(x, ,e y)M(x,yy +==.First,we apply the test for exactness （恰当方程判定方法）:0e e M N y y y x =-=-.So equation is exact equation.Assume u(x,y)is an antiderivative of M d x+N d y ，then N u M,u y x ==.(a)Integrating the first equality:u(x,y)=C(y)e x dx e y y +=⎰.(b)Differentiating the above equality:2y (y)' C 2y,xe (y)' C e u yyy =+=+=.(c)Integrating the 2ydy dC =,we get 2y C(y)=.So u(x,y)=2yy e x +,and general integral of equation is C ~y e x 2y=+.作业29.Determine which of the following equations is exact.Solve those that are exact.(a)0)dy y (x )dx x (y 33=++-;(b)y)dx cos x cos (e )dy xe y sin (sin x yy +=-.作业30.For each of the following equations,find the value of n for which the equation is exact.Then solve the equation for that value of n.(a)0y)dy x (x y)dx n x (xy 2322=+++;(b)0dy e n x )dx ey (x 2xy 2xy=++.3.积分因子（Integrating Factor ）如果一个方程是恰当方程，则它的求解过程是程序化的.但并不是任一个方程都是恰当的，那么能否通过某种操作或等价变换使得它化为恰当方程呢？尝试如下：例36.求解0x)dy y (x ydx 2=-+.解：记x)y (x y)N(x, y,y)M(x,2-==，则验证0112xy M N y x ≠--=-.即原方程不是恰当的.但是在原方程两边乘以0x 1y)μ(x,2≠=，则新方程为0)dy x1(y dx x y 2=-+.此时222xx)y (x y)(x,N ~ ,x y y)(x,M ~-==，有0x 1x 1M ~N ~22y x =-=-.新方程是恰当方程.记u(x,y)为dy N ~dx M ~+一个原函数，则N ~u ,M ~u y x ==.(a)对第一个等式两边积分得到：⎰+-==C(y)xydx x y y)u(x,2;(b)对上式两边关于y 求导得到：y dydC y,(y)' C ,x 1y (y)C'x 1u y ==-=+-=.(c)对ydy dC =两边积分得到：2y C(y)2=.于是2y x y y)u(x,2+-=.因此，原方程的通积分为12C 2y x y y)u(x,=+-=.注解37.这里有几个问题需要回答：（1）方程0Ndy Mdx =+和乘以因子y)μ(x,后所得新方程0dy N ~dx M ~=+是否等解？如果不等解，那么问题出在哪？（2）如何寻找方程一个积分因子，使之成为恰当方程？关于问题（1）的回答是如果因子0y)μ(x,≠，则两方程等价；否则可能不等价.（上课听讲！）关于问题（2）的回答：研究如果0Ndy Mdx =+两边乘以因子y)μ(x,所得方程0dy N ~μdx μM =+为恰当方程，则y)μ(x,需要满足什么条件？0)()(=∂∂-∂∂yM x N μμ，（**）y x y x M N M N μμμ+-=-)(，这是一个偏微分方程，由此确定出y)μ(x,难度不低于原常微分方程.现作如下简化假定：情形一：y)μ(x,只是x 的函数，于是方程（**）简化为x y x N M N μμ-=-)(，反过来检验N )μM (N y x --是否只为变量x 的方程，若是，求解NM N dx d y x μμ)(--=，得到⎰=--dxNM N yx ey)μ(x,.情形二：y)μ(x,只是y 的函数，于是方程（**）简化为y y x M M N μμ=-)(，反过来检验M )μM (N y x -是否只为变量y 的方程，若是，求解M)μM (N dy dμy x -=，得到⎰=-dyMM N yx ey)μ(x,.例38.(1)寻找方程0x)dy y (x ydx 2=-+的积分因子.(2)寻找方程02xydx )dy y (3x 22=--的积分因子，并求解该方程.解：记x y x y)N(x, y,y)M(x,2-==，则1)-x(xy N 1),2(xy 112xy M N y x =-=--=-,于是，x 2NM N yx -=--恰好为x 的函数，因此，所求积分因子为2dx x 2x1e y)μ(x,=⎰=-.由例36知，原方程通积分为原方程的通积分为12C 2y x y y)u(x,=+-=.另一方面，注意到2x 1y)μ(x,=没有定义的点x=0，易验证，x=0也是方程的解.(上课听讲！)(2)记22y -3x y)N(x, 2xy,y)M(x,=-=,2xy M 8x,2x 6x M N y x -==+=-,于是，y4MM N yx -=-恰好为y 的函数，因此，所求积分因子为4dy y 4y 1ey)μ(x,=⎰=-.0dy y )y (3x dx y 2x 0,dx y 2xy dy y )y (3x 42234422=-+-=--.记u(x,y)为方程左端一个原函数，则C(y)yx dx y 2x y)u(x,323+-=-=⎰；24242y y 1y 3x (y)C'y x 3y)(x,u -=+=，解得y 1C(y)=,于是u(x,y)=y1y x 32+-.所求通积分为132C y1y x y)u(x,=+-=.另一方面，注意到4y1y)μ(x,=没有定义的点y=0，易验证，y=0也是方程的解.(上课听讲！)作业31.Solve each of the following differential equations by finding integrating factor.（1）0xy)dy (x 1)dx (xy 2=-+-；（2）0y)dy csc 2y y cot (e dx e xx=++；（3）教材P60习题2(1)、(9)4.更多关于积分因子知识和方法（1）积分因子是二元函数情形：（a ）0dy x dx y =-，0|)yx|d(ln y x dy x dx y ==-；（b ）0dy x dx y =-，0)yxd(arctan y x dy x dx y 22==+-.（2）设齐次方程0y)dy N(x,y)dx M(x,=+，当0yN xM ≠+时，有积分因子yN xM 1μ+=，并运用之来求解yx yx dx dy -+=.解：（a ）回忆：若R t y),M(x,t ty)M(tx,k∈∀=，则称y)M(x,为k 次齐次函数.若M(x,y)和N(x,y)都为k 次齐次函数，则称方程y)N(x,y)M(x,dx dy -=为齐次方程.假定M(x,y)满足连续可微条件对y)M(x,t ty)M(tx,k=关于t 求导得到，y)M(x,kt ty)(tx,yM ty)(tx,xM 1k y x -=+，令t=1得到恒等式y)M(x,k y)(x,yM y) (x,xM y x =+，类似地，y)N(x,k y)(x,yN y) (x,xN y x =+.（b ）考察0yN xM y)dy N(x,y)dx M(x,=++，经计算得到=+∂∂-+∂∂)yNxM y)M(x,(y )yN xM y)N(x,(x 2y y y x x x yN)(xM )MyN N (xM yN)(xM M )N yN xM (M yN)(xM N +++++-++-+=0yN)(xM NM k M N k yN)(xM )NyM (xM )M yN x (N 22y x y x =+-=++-+=.因此新方程为恰当方程.（c ）考察方程yx yx dx dy -+=，改写为0y)dy (x -y)dx (x =-+.取22y x 1y)x y(y)x(x 1μ+=+-++=，则新方程为0y x y)dy(x -y)dx (x 22=+-+.分组为0y x x)dy -ydx (ydy)(xdx 22=+++，0yx x)dy-ydx (y x ydy)(xdx 2222=++++，即0y x x)dy -ydx ()y 2(x )y d(x 222222=++++，0)x y (arctan d )y ln(x d 2122=++.所求的通积分为xyarctan 22e C ~y x =+.另一方面22y x 1μ+=没有定义的只有(0,0)点，因此原方程没有其他的解.（3）思考教材P61习题10，并求解0y)dy (x x)dx (y =++-.(参见教材P38例7)解：方程为恰当方程，因此由习题10结论知，C x 2xy y C,y)y(x x)x(y 22=-+=++-为方程的通积分.（4）思考教材P61习题9，自行阅读丁同仁、李承治《常微分方程教程》P47定理6和P48例题2，完成教材P61习题2(11).教材P61习题9提示：)(Ndy Mdx dU +=μ，)(~Ndy Mdx dV +=μ，下面考虑变量U,V 独立性问题。

v摘要本文首先介绍了恰当方程的定义及其充要条件, 然后对于非恰当方程引出积分因子的定义等基本概念和存在条件。

鉴于积分因子的不唯一性和解题过程中的复杂性, 我们总结出几种特殊形式的积分因子, 并分析了多种方法来求解微分方程的中积分因子, 然后通过实例验证这些方法的有效性，最后运用这些方法求出四种基本类型方程的积分因子。

关键词：恰当方程 积分因子 通解 微分方程AbstractThis paper firstly introduces the definition and the necessary and sufficient conditions of exact equation, and then introduce the definition of integral factor and the existence conditions for the exact equation.Considering the no uniqueness of exact equation and the complex of the process of solving, we summarized some special form of integral factor, and analyzes the various methods to solve integral factor of differential equations，then we shows the effectiveness of these methods through the example , finally we use these methods to work out integral factors of four basic types the equation.目录一、恰当方程的定义和充要条件 (1)二、积分因子的定义 (1)三、积分因子的存在条件 (2)四、积分因子的形式 (3)4.1只与x 有关的积分因子 (3)4.2只与y 有关的积分因子 (4)4.3形为)(y x u +的积分因子 (5)4.4形为)(by ax u +的积分因子 (7)4.5形为)(xy u 的积分因子 (9)4.6形为)(22y x u +的积分因子 (10)4.7形为)(b a ny mx u +的积分因子 (12)4.8形为)(βαy x u 的积分因子 (13)4.9形为))()((y g x f u 的积分因子 (15)4.10形为)()(s t by ax g y x f +βα的积分因子 (16)4.11形为)(βαny y mx lx u u t s ++=的积分因子 (20)4.12形为1)(),(-+=yN xM y x u 的积分因子 (23)4.13形为1)(),(--=yN xM y x u 的积分因子 (24)4.14形为()()⎰⎰=+dy y dx x e y x u ψϕ),(的积分因子 .................................................. 26 4.15形为⎰=ωωφd e y x u )(),(的积分因子 . (27)4.16形为)]()([y g x f u +的积分因子 (28)五、利用积分因子求解微分方程的一般方法 (29)5.1凑微分法求积分因子 (29)5.2分组法求积分因子 (31)六、四种类型方程的积分因子法 (32)6.1变量分离方程 (33)6.2齐次方程 (33)6.3一阶线性微分方程 (33)6.4伯努利方程 (34)七、结束语 ................................................................................................................... 34 附录 .. (37)一、英文原文 (37)二、中文译文 (48)一、恰当方程的定义和充要条件对于具有对称形式的一阶微分方程0 dy N ( x,y )dx M ( x, y) =+ ① 其求解方法是根据方程的不同类型确定的。

积分因子的求法及简单应用数学科学学院摘 要：积分因子是常微分方程中一个很基本但却又非常重要的概念，本文在介绍了恰当微分方程与积分因子的概念以及相关定理的基础上，归纳总结了求解微分方程积分因子的几种方法，并利用积分因子理论证明了初等数学体系中的对数公式与指数公式，提供了一种新的解决中学数学问题的途径,体现了积分因子的简单应用价值。

关键词：恰当微分方程;积分因子；对数公式；指数公式1. 恰当微分方程的概念及判定1.1 恰当微分方程的概念 我们可以将一阶方程(),dyf x y dx =写成微分形式(),0f x y dx dy -=或把x,y 平等看待，写成下面具有对称形式的一阶微分方程()(),,0M x y dx N x y dy += ⑴这里假设M(x,y ），N(x ，y ）在某矩形域内是x ，y 的连续函数，且具有连续的一阶偏导数,如果方程⑴的左端恰好是某个二元函数u （x,y ）的全微分. 即()()(),,,u uM x y dx N x y dy du x y dx dy x y ∂∂+==+∂∂则称方程⑴为恰当微分方程。

[]11.2 恰当微分方程的判定定理1[]2 假设函数M （x,y)和N （x,y ）在某矩形域内是x ，y 的连续函数且具有连续的一阶偏导数，则方程⑴是恰当微分方程的充分必要条件是在此区域内恒有M Nyx ∂∂=∂∂. 利用定理1我们就可以判定出一个微分方程是否是恰当微分方程。

2. 积分因子如果对于方程⑴在某矩形域内M Nyx ∂∂≠∂∂，此时方程⑴就称为非恰当微分方程。

对于非恰当微分方程,如果存在某个连续可微的函数u(x ，y ）≠0，使得()()()(),,,,0u x y M x y dx u x y N x y dy +=为恰当微分方程，则称u(x,y)为方程⑴的1个积分因子.注[]1 可以证明,只要方程有解存在，则必有积分因子存在，并且不是唯一的。

定理2[]2 函数u （x,y ）是方程⑴的积分因子的充要条件是u u M N NM u x y y x ⎛⎫∂∂∂∂-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭3. 积分因子求法举例3.1 观察法对于一些简单的微分方程，用观察法就可以得出积分因子 如：⑴ 0ydx xdy +=有积分因子1xy⑵ 0ydx xdy -=有积分因子21x -，21y ，1xy ，221x y +,221x y -例1 找出微分方程()()110xy ydx xy xdy ++-=的一个积分因子。

第二章目录内容提要及其它 (1)第二章一阶微分方程的初等解法（初等积分） (2)第一节变量分离方程与变量变换 (2)一、变量分离方程 (2)二、可化为变量分离方程的类型 (6)1、齐次方程 (6)2、可化为变量分离方程 (7)三、应用例题选讲 (10)第二节线性方程与常数变易法 (11)第三节恰当方程与积分因子 (15)一、恰当方程 (15)二、积分因子 (20)第四节一阶隐含方程与参数表示 (23)一、可以解出y（或x）的方程 (24)二、不显含y（或x）的方程 (25)本章小结及其它 (27)内容提要及其它授课题目（章、节）第二章：一阶微分方程的初等解法教材及主要参考书（注明页数）教材：常微分方程（第三版），王高雄等，高等教育出版社，2006年,p30-74主要参考书：[1]常微分方程，东北师范大学微分方程教研室编，高等教育出版社，2005，p1-70[2]常微分方程教程，丁同仁等编，高等教育出版社，1991，p1-20[3]偏微分方程数值解法（第2版），陆金甫关治，清华大学出版社，2004，p1-12[4]常微分方程习题解，庄万主编，山东科学技术出版社，2003，p28-169[5]微分方程模型与混沌，王树禾编著，中国科学技术大学出版社，1999，p15-158[6]差分方程和常微分方程，阮炯编著，复旦大学出版社，2002，p38-124目的与要求：掌握变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程和恰当方程的解法．理解变量变换思想方法和积分因子方法，并能应用于求解一些特殊的常微分方程．掌握四类典型的一阶隐方程的解法．能熟练求解变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程、恰当方程和四类典型的一阶隐方程．领会变量变换思想方法和积分因子方法，并能应用于求解一些特殊的常微分方程．教学内容与时间安排、教学方法、教学手段：教学内容：第1节变量分离方程与变量变换；第2节线性方程与常数变易法；第3节恰当方程与积分因子；第4节一阶隐方程与参数表示：可以解出（或y x）的方程、不显含（或y x）的方程．时间安排：8学时教学方法：讲解方法教学手段：传统教学方法与多媒体教学相结合。