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2.3 恰当方程与积分因子方法(Exact differential equation and method ofintegrating factor )[教学内容] 1. 认识恰当方程，如何判定恰当方程; 2.介绍如何求解恰当方程; 3. 介绍什么叫积分因子; 4. 介绍如何寻找积分因子;5. 积分因子一些性质.[教学重难点] 重点是会判定和求解恰当方程，难点是如何寻找方程的积分因子 [教学方法] 自学1、4；讲授2、3 课堂练习 [考核目标]1. 熟练判定一个一阶方程是否为恰当方程;2. 会求解恰当方程;3. 知道积分因子的概念;4. 会寻找积分因子，并求解方程.1. 一阶微分形式的原函数存在性及其求法sin(3y)e y)u(x ,2x =的全微分为cos(3y)dy 3e sin(3y)dx 2e dy u dx u du 2x 2x y x +=+=，我们称u(x, y)为一阶微分形式cos(3y)dy 3e sin(3y)dx 2e 2x2x+的一个原函数，并不是任一微分形式都有原函数的，例如dy xy dx 2x +。
《数学分析》下册P228定理21.12给出了如何判定dy y)Q(x,dx y)P(x,+是否存在原函数充要条件，这里P(x, y), Q(x, y)在单连通区域D 内具有一阶连续偏导数.例33. 判定一阶微分形式y)dy cos (x y)dx sin (2x ++是否为某个函数u(x, y)的全微分，如果是，求出它的原函数u(x, y).解：记 y) cos (x y)Q(x, ,y)sin (2x y)P(x,=+=， 易见P(x, y)和Q(x, y)在单连通区域2R 内具有一阶连续偏导数，且0xPx Q =∂∂-∂∂，(格林公式：⎰⎰⎰-=+D y x L )dxdy P (Q Qdy Pdx =0即积分路径无关). 因此由定理21.12知，y)dy cos (x y)dx sin (2x ++恰是某个函数u(x, y)的全微分.求函数u(x, y)方法一、由y)P(x ,u x =知，C(y)y sin x x y)dx P(x,y)u(x,2++==⎰.再由y)Q(x ,u y =知，y cos x (y)' C y cos x y)(x ,u y =+=，即1C C(y) 0,(y)' C ==（常数）. 特别地，取0C 1=，得到一个原函数为 12C y sin x x y)u(x ,++=.求原函数方法二、由定理21.12知，y)dy cos (x y)dx sin (2x ++曲线积分与路径无关性且⎰+=t)(s,(0,0)y)dy Q(x,y)dx P(x, t)u(s,. 特别地，取折线段OA: y=0, s x 0≤≤；t y 0 s, x :AB ≤≤=，则t cos s s ydy cos s 2x dx Qdy Pdx Qdy Pdx t)u(s,2ts 0ABOA+=+=+++=⎰⎰⎰⎰.将自变量(s, t)换为(x, y)得到，y cos x x y)u(x ,2+=.练习28. 判定一阶微分形式)dy y -2x y -(x )dx y -2x y (x 2222++是否为某个函数u(x, y)的全微分，如果是，求出它的原函数u(x, y).2. 恰当方程(Exact equation)的概念及其解法 （1）设一阶方程为y)N(x ,y)M(x ,dx dy -=，其中M(x,y), N(x, y)在单连通区域内具有一阶连续偏导数，改写为对称形式（*）0y)dy N(x,y)dx M(x,=+. 如果y)dy N(x,y)dx M(x,+恰好为某个函数u(x, y)的全微分，则称方程（*）为恰当方程. （2）恰当方程y)dy N(x,y)dx M(x,+的解法：Step (a) 求出一阶微分形式一个原函数u(x, y)，则0Ndy Mdx y)du(x,=+=；Step(b) 由一个二元函数两个偏导数都为零知，该二元函数为常函数. 于是，有C y)u(x,=, 这就是恰当方程的通积分.例34. Use the method of exact equations to solve 1dxdyy cot 2x -=⋅⋅. Solution First, we rearrange the equation as 0dy y cot dx x2=+. Let y cot y)N(x, ,x2y)M(x,==, 在0x ≠的单连通区域内，000y M x N =-=∂∂-∂∂（Test for exactness ）, 因此0dy y cot dx x2=+为恰当方程.Assume that u(x, y) is a antiderivative(原函数) ofdy y cot dx x 2+, then N u M,u y x ==. (a) Integrating the first equality, we get ⎰+==C(y)2ln x dx x2y)u(x,.(b) Differentiating the above equality, we get ysin y cos dy dCy,cot (y)' C y)(x ,u y ===. (c) Integrating the above equality, we get⎰⎰=dy ysin ycos dC(y), |y sin |ln C(y)=. So u(x, y)=|y sin x |ln 2and general integral （通积分） of equation is 12C |y sin x |ln =. 例35. 求解下列方程02y)dy e (x dx e yy=++.Solution Let 2y x e y)N(x , ,e y)M(x ,yy +==. First, we apply the test for exactness （恰当方程判定方法）:0e e M N y y y x =-=-. So equation is exact equation.Assume u(x, y) is an antiderivative of M d x+ N d y ， then N u M,u y x ==. (a) Integrating the first equality: u(x, y)=C(y)e x dx e y y +=⎰.(b) Differentiating the above equality: 2y (y)' C 2y,xe (y)' C e u y y y =+=+=. (c) Integrating the 2ydy dC =, we get 2y C(y)=.So u(x, y) =2y y e x +, and general integral of equation is C ~y e x 2y =+.作业29. Determine which of the following equations is exact. Solve those that are exact. (a) 0)dy y (x )dx x (y 33=++-; (b) y)dx cos x cos (e )dy x e y sin (sin x yy+=-. 作业30. For each of the following equations, find the value of n for which the equation is exact. Then solve the equation for that value of n.(a) 0y)dy x (x y)dx n x (x y 2322=+++; (b) 0dy e n x )dx ey (x 2xy 2xy=++.3. 积分因子（Integrating Factor ）如果一个方程是恰当方程，则它的求解过程是程序化的. 但并不是任一个方程都是恰当的，那么能否通过某种操作或等价变换使得它化为恰当方程呢？ 尝试如下： 例36. 求解0x )dy y (x ydx 2=-+.解：记x )y (x y)N(x , y,y)M(x ,2-==，则验证0112x y M N y x ≠--=-. 即原方程不是恰当的. 但是在原方程两边乘以0x 1y)μ(x,2≠=，则新方程为0)dy x1(y dx x y 2=-+. 此时222x x )y (x y)(x ,N ~ ,x y y)(x ,M ~-==，有0x1x 1M ~N ~22y x =-=-. 新方程是恰当方程. 记u(x, y)为dy N ~dx M ~+一个原函数，则N ~u ,M ~u y x ==. (a) 对第一个等式两边积分得到：⎰+-==C(y)xydx x y y)u(x,2; (b) 对上式两边关于y 求导得到：y dydC y,(y)' C ,x 1y (y)C'x 1u y ==-=+-=. (c) 对ydy dC =两边积分得到：2y C(y)2=. 于是2y x y y)u(x ,2+-=.因此，原方程的通积分为12C 2y x y y)u(x ,=+-=. 注解37. 这里有几个问题需要回答：（1）方程0Ndy Mdx =+和乘以因子y)μ(x,后所得新方程0dy N ~dx M ~=+是否等解？如果不等解，那么问题出在哪？（2）如何寻找方程一个积分因子，使之成为恰当方程？关于问题（1）的回答是如果因子0y)μ(x,≠，则两方程等价；否则可能不等价.（上课听讲！） 关于问题（2）的回答：研究如果0Ndy Mdx =+两边乘以因子y)μ(x,所得方程0dy N ~μdx μM =+为恰当方程，则y)μ(x,需要满足什么条件？0)()(=∂∂-∂∂yM x N μμ，（**）y x y x M N M N μμμ+-=-)(，这是一个偏微分方程，由此确定出y)μ(x,难度不低于原常微分方程. 现作如下简化假定：情形一：y)μ(x,只是x 的函数，于是方程（**）简化为x y x N M N μμ-=-)(，反过来检验N )μM (N y x --是否只为变量x 的方程，若是，求解NM N dx d y x μμ)(--=，得到⎰=--dxNM N yx ey)μ(x,.情形二：y)μ(x,只是y 的函数，于是方程（**）简化为y y x M M N μμ=-)(，反过来检验M)μM (N y x -是否只为变量y 的方程，若是，求解M)μM (N dy d μy x -=，得到⎰=-dyMM N yx ey)μ(x,.例38. (1) 寻找方程0x )dy y (x ydx 2=-+的积分因子.(2) 寻找方程02x ydx )dy y (3x 22=--的积分因子，并求解该方程.解：记x y x y)N(x , y,y)M(x ,2-==，则1)-x (x y N 1),2(x y 112x y M N y x =-=--=-,于是，x2NM N yx -=--恰好为x 的函数，因此，所求积分因子为2dx x 2x 1e y)μ(x ,=⎰=-.由例36知，原方程通积分为原方程的通积分为12C 2y x y y)u(x ,=+-=.另一方面，注意到2x 1y)μ(x,=没有定义的点x=0，易验证，x=0也是方程的解. (上课听讲！) (2) 记22y -3x y)N(x , 2x y,y)M(x ,=-=,2x y M 8x ,2x 6x M N y x -==+=-,于是，y 4MM N yx -=-恰好为y 的函数，因此，所求积分因子为4dy y 4y1e y)μ(x,=⎰=-.0dy y)y (3x dx y 2x 0,dx y 2x y dy y )y (3x 42234422=-+-=--. 记u(x, y)为方程左端一个原函数，则C(y)yx dx y 2x y)u(x ,323+-=-=⎰； 24242y y 1y 3x (y)C'y x 3y)(x ,u -=+=，解得y 1C(y)=, 于是u(x, y)=y 1y x 32+-.所求通积分为132C y1y x y)u(x ,=+-=.另一方面，注意到4y1y)μ(x ,=没有定义的点y=0，易验证，y=0也是方程的解. (上课听讲！) 作业31. Solve each of the following differential equations by finding integrating factor. （1） 0x y)dy (x 1)dx (x y 2=-+-；（2） 0y)dy csc 2y y cot (e dx e xx=++； （3）教材P60 习题 2(1)、(9)4. 更多关于积分因子知识和方法（1）积分因子是二元函数情形：（a ）0dy x dx y =-，0|)yx|d(ln y x dy x dx y ==-；（b ）0dy x dx y =-，0)yxd(arctan y x dy x dx y 22==+-.（2）设齐次方程0y)dy N(x,y)dx M(x,=+，当0yN xM ≠+时，有积分因子yN x M 1μ+=，并运用之来求解yx yx dx dy -+=.解：（a ）回忆：若R t y),M(x ,t ty)M(tx ,k∈∀=，则称y)M(x,为k 次齐次函数. 若M(x,y)和N(x,y)都为k 次齐次函数，则称方程y)N(x ,y)M(x ,dx dy -=为齐次方程.假定M(x, y)满足连续可微条件对y)M(x ,t ty)M(tx ,k=关于t 求导得到，y)M(x,kt ty)(tx,yM ty)(tx,xM 1k y x -=+，令t=1得到恒等式y)M(x ,k y)(x ,yM y) (x ,x M y x =+，类似地，y)N(x ,k y)(x ,yN y) (x ,x N y x =+.（b ）考察0yN x M y)dy N(x ,y)dx M(x ,=++，经计算得到=+∂∂-+∂∂)yNx M y)M(x ,(y )yN x M y)N(x ,(x2y y y x x x yN)(x M )MyN N (x M yN)(x M M )N yN x M (M yN)(x M N +++++-++-+=0yN)(x M NM k M N k yN)(x M )NyM (x M )M yN x (N 22y x y x =+-=++-+=. 因此新方程为恰当方程.（c ）考察方程yx y x dx dy -+=，改写为0y)dy (x -y)dx (x =-+. 取22y x 1y)x y(y)x (x 1μ+=+-++=，则新方程为0y x y)dy(x -y)dx (x 22=+-+. 分组为0y x x )dy -ydx (ydy)(x dx 22=+++，0yx x )dy-ydx (y x ydy)(x dx 2222=++++， 即0y x x )dy -ydx ()y 2(x )y d(x 222222=++++，0)x y (arctan d )y ln(x d 2122=++.所求的通积分为x yarctan 22e C ~y x =+.另一方面22y x 1μ+=没有定义的只有(0, 0)点，因此原方程没有其他的解.（3）思考教材P61 习题10，并求解0y)dy (x x)dx (y =++-.(参见教材P38例7) 解：方程为恰当方程，因此由习题10结论知，C x 2x y y C,y)y(x x )x (y 22=-+=++-为方程的通积分.（4）思考教材P61习题9，自行阅读丁同仁、李承治《常微分方程教程》P47定理6和P48例题2，完成教材P61 习题2(11) .。
§2.3 恰当方程与积分因子1、恰当方程的定义 将一阶微分方程 (,)dyf x y dx= 写成微分的形式(,)0f x y dx dy -= 把,x y 平等看待，对称形式的一阶微分方程的一般式为(,)(,)0M x y dx N x y dy += （2.43）假设(,),(,)M x y N x y 在某区域G 内是,x y 的连续函数，而且具有连续的一阶偏导数. 如果存在可微函数(,)u x y ,使得(,)(,)du M x y dx N x y dy =+ (2.44)即 (,), (,)u u M x y N x y x y∂∂==∂∂ (2.45)则称方程(2.43)为恰当方程,或称全微分方程.在上述情形,方程(2.43)可写成(,)0du x y ≡,于是 (,)u x y C ≡就是方程(2.43)的隐式通解,这里C 是任意常数(应使函数有意义). 2、 恰当方程的判定准则定理1设(,),(,)M x y N x y 在某区域G 内连续可微,则方程(2.43)是恰当方程的充要条件是, (,)M Nx y G y x∂∂=∈∂∂ (2.46)而且当(2.46)成立时,相应的原函数可取为 00(,)(,)(,)xyx y u x y M s y ds N x t dt =+⎰⎰(2.47)或者也可取为0(,)(,)(,)yxy x u x y N x t dt M s y ds =+⎰⎰(2.48)其中00(,)x y G ∈是任意取定的一点.证明 先证必要性.因为(2.43)是恰当方程,则有可微函数(,)u x y 满足(2.45), 又知(,),(,)M x y N x y 是连续可微的,从而有22M u u Ny y x x y x∂∂∂∂===∂∂∂∂∂∂ 下面证明定理的充分性,即由条件(2.46),寻找函数(,)u x y ,使其适合方程(2.45).从(2.47)可知(,)uN x y y∂=∂ 000000(,)(,) =(,)(,) =(,)(,)(,)yy yx y y y y u M x y N x t dt x x M x y N x t dtM x y M x t dt M x y ∂∂=+∂∂++=⎰⎰⎰即(2.45)成立,同理也可从(2.48)推出(2.45).例1. 解方程21()02x xydx dy y++=(2.49)解 这里21, =()2x M xy N y=+,则y x M x N ==,所以(2.49)是恰当方程.因为N 于0y =处无意义,所以应分别在0y >和0y <区域上应用定理2.3,可按任意一条途径去求相应的原函数(,)u x y .先选取00(,)(0,1)x y =,代入公式(2.47)有 22011()ln 22xyx x u xdx dy y y y =++=+⎰⎰再选取00(,)(0,1)x y =-,代入公式(2.47)有22011()()ln()22xyx x u x dx dy y y y -=-++=+-⎰⎰可见不论0y >和0y <,都有2ln ||2x u y y =+ 故方程的通解为2ln ||2x y y C +=. 3、恰当方程的解法上述定理已给出恰当方程的解法,下面给出恰当方程的另两种常用解法. 解法1. 已经验证方程为恰当方程,从(,)x u M x y =出发,有2(,)(,)()()2x u x y M x y dx y y y φφ≡+=+⎰ (2.50)其中()y φ为待定函数,再利用(,)y u N x y =,有221()22x x y y φ'+=+ 从而1()y yφ'= 于是有 ()ln ||y y φ=只需要求出一个(,)u x y ,因而省略了积分常数.把它代入(2.50)便得方程的通解为2ln ||2x u y y C =+= 解法2. 分项组合的方法对(2.49)式重新组合变为21()02x xydx dy dy y++= 于是 2()ln ||02x d y d y += 从而得到方程的通解为 2ln ||2x y y C += 4、积分因子的定义及判别对于微分形式的微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=（2.43）如果方程（2.43）不是恰当方程，而存在连续可微的函数(,)0x y μμ=≠，使得(,)(,)0M x y dx N x y dy μμ+= (2.51)为一恰当方程，即存在函数(,)v x y ，使(,)(,)M x y dx N x y dy dv μμ+≡则称(,)x y μ是方程（2.43）的积分因子.此时(,)v x y C =是(2.51)的通解，因而也就是（2.43）的通解.如果函数(,),(,)M x y N x y 和(,)x y μ都是连续可微的,则由恰当方程的判别准则知道,(,)x y μ为(2.43)积分因子的充要条件是M Ny xμμ∂∂=∂∂ 即 ()M NNM x y y xμμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂ (2.52)5、积分因子的求法方程(2.52)的非零解总是存在的，但这是一个以μ为未知函数的一阶线性偏微分方程，求解很困难，我们只求某些特殊情形的积分因子. 定理2 设(,),(,)M M x y N N x y ==和(,)x y ϕϕ=在某区域内都是连续可微的，则方程（2.43） 有形如((,))x y μμϕ=的积分因子的充要条件是：函数(,)(,)(,)(,)(,)(,)y x x y M x y N x y N x y x y M x y x y ϕϕ--（2.53）仅是(,)x y φ的函数，此外，如果（2.53）仅是(,)x y φ的函数((,))f f x y ϕ=，而()()G u f u du =⎰，则函数((,))G x y e ϕμ=（2.54）就是方程（2.43）的积分因子.证明 因为如果方程（2.43）有积分因子()μμϕ=，则由（2.52）进一步知()()d M N N M d x y y xμϕϕμϕ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂ 即y x x yM N d d N M μϕμϕϕ-=- 由()μμϕ=可知左端是ϕ的函数，可见右端y x x yM N N M ϕϕ--也是ϕ的函数，即()y x x yM N f N M ϕϕϕ-=-，于是，有()d f d μϕϕμ=， 从而 ()()f d G e e ϕϕϕμ⎰==反之，如果（2.53）仅是ϕ的函数，即()y x x yM N f N M ϕϕϕ-=-，则函数（2.54）是方程（2.52）的解.事实上，因为()()()()G x y y x NM N M f e M N x yϕμμϕϕϕμ∂∂-=-=-∂∂ 因此函数（2.54）的确是方程（2.43）的积分因子.为了方便应用这个定理，我们就若干特殊情形列简表如下：例2.解22(31)()0y xy dx xy x dy -++-=解 这里2231,M y xy N xy x =-+=-,注意y x M N y x -=-所以方程不是恰当的,但是1y xM N Nx-=它仅是依赖与x ，因此有积分因子1dxx e x μ⎰≡=给方程两边乘以因子x μ=得到2223(3)()0xy x y x dx x y x dy -++-=从而可得到隐式通解22321122u x y x y x C ≡-+= 例3. 解方程2()(1)0xy y dx xy y dy ++++=解 这里2,1M xy y N xy y =+=++方程不是恰当的.但是1y xM N My-=-- 它有仅依赖于y 的积分因子11dyy eyμ-⎰≡=方程两边乘以积分因子1y μ=得到 1()(1)0x y dx x dy y++++= 从而可得到隐式通解21ln ||2u x xy y y C ≡+++= 另外，还有特解0y =.它是用积分因子乘方程时丢失的解.例4. 解方程 223(2)()0y x y d x x y x d y +++= 解 这里2232,M y x y N xy x =+=+，不是恰当方程.设想方程有积分因子()x y αβμμ=，其中α，β是待定实数.于是2112111()(2)y xM N y x x N y M x y y x x y x y αβαβαβαβαβαβ----⋅=⋅=--+-只须取3,2αβ==.由上述简表知原方程有积分因子32x y μ=从而容易求得其通解为：446313u x y x y C ≡+=六、积分因子的其他求法以例4为例，方程的积分因子也可以这样来求：把原方程改写为如下两组和的形式：223()(2)0y dx xydx x ydx x dy +++=前一组有积分因子11yμ=，并且 21()()y dx xydy d xy y+= 后一组有积分因子21xμ=，并且 2321(2)()x ydx x dy d x y x+= 设想原方程有积分因子211()()xy x y y xαβμ== 其中α，β是待定实数.容易看出只须3,2αβ==，上述函数确实是积分因子，其实就是上面找到一个.例5. 解方程 1212()()()()0M x M y dx N x N y dy += 其中1M ，2M ，1N ，2N 均为连续函数.解 这里12()()M M x M y =，12()()N N x N y =.写成微商形式就形式上方程是变量可分离方程，若有0y 使得20()0M y =，则0y y =是此方程的解；若有0x 使得10()0N x =，则0x x =是此方程的解；若21()()0M y N x ≠，则有积分因子211()()M y N x μ=并且通解为1212()()()()M x N y u dx dy N x M y ≡+⎰⎰例6、试用积分因子法解线性方程（2.28）.解 将（2.28）改写为微分方程[()()]0P x y Q x dx dy +-= （2.55）这里()(),1M P x y Q x N =+=-，而()M Ny xP x N∂∂-∂∂=- 则线性方程只有与x 有关的积分因子()P x dxe μ-⎰= 方程（2.55）两边乘以()P x dxe μ-⎰=，得()()()()()0P x dx P x dx P x dxxP x e ydx e dy Q x e dx ---⎰⎰⎰-+=（2.56）（2.56）为恰当方程，又分项分组法()()()()0P x dx P x dxd ye Q x e dx --⎰⎰-=因此方程的通解为()()()P x dx P x dxye Q x e dx c --⎰⎰-=⎰即()()[()]P x dxP x dxy e Q x e dx c -⎰⎰=+⎰与前面所求得的结果一样.注：积分因子一般不容易求得可以先从求特殊形状的积分因子开始，或者通过观察法进行“分项分组”法求得积分因子.。
