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人教版数学九年级上册22.3.2《实际问题与一元二次方程》教学设计2一. 教材分析《实际问题与一元二次方程》是人教版数学九年级上册第22章第三节的内容。
这部分内容是在学生学习了函数、方程、不等式的基础上，进一步引导学生运用一元二次方程解决实际问题。
通过这部分的学习，让学生体会数学与生活的紧密联系，培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元二次方程的概念、解法等有一定的了解。
但解决实际问题的能力还不够强，需要通过实例分析、小组合作等方式，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能理解实际问题中的一元二次方程，并能运用一元二次方程解决实际问题。
2.过程与方法：通过实例分析，培养学生从实际问题中提出数学模型的能力，提高学生解决实际问题的能力。
3.情感态度价值观：学生能体会到数学与生活的紧密联系，增强学习数学的兴趣和信心。
四. 教学重难点1.重点：学生能理解实际问题中的一元二次方程，并能运用一元二次方程解决实际问题。
2.难点：如何引导学生从实际问题中提出数学模型，并运用一元二次方程进行解答。
五. 教学方法1.实例分析法：通过具体的实际问题，引导学生理解一元二次方程在实际问题中的应用。
2.小组合作法：学生分组讨论，共同分析实际问题，提出解决方案。
3.引导发现法：教师引导学生从实际问题中发现一元二次方程的模型，并运用方程进行解答。
六. 教学准备1.教学课件：制作相关的教学课件，帮助学生直观地理解实际问题中的一元二次方程。
2.实际问题素材：准备一些实际问题，作为教学案例。
3.学生活动材料：为学生提供一些实际问题，让学生分组讨论、解答。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个简单的实际问题，引导学生思考如何用数学模型来解决这个问题。
例如，一个长方形的面积是24平方厘米，长是6厘米，求宽是多少厘米？2.呈现（15分钟）教师呈现更多的实际问题，让学生观察这些问题是否可以用一元二次方程来解决。
人教版数学九年级上册22.3.2《实际问题与一元二次方程》说课稿2一. 教材分析《人教版数学九年级上册》第22.3.2节《实际问题与一元二次方程》是整个九年级数学上册的一个重要部分。
这一节主要通过实例引入一元二次方程，使学生能够理解一元二次方程的实际意义，掌握一元二次方程的解法，并能够运用一元二次方程解决实际问题。
教材通过丰富的实例，让学生感受数学与生活的紧密联系，培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对一元一次方程有了一定的理解。
但一元二次方程与一元一次方程在形式和求解方法上有很大的不同，需要学生能够克服思维定势，接受新的知识。
同时，学生需要能够将实际问题转化为数学问题，理解一元二次方程在实际问题中的应用。
三. 说教学目标1.知识与技能：理解一元二次方程的实际意义，掌握一元二次方程的解法，能够运用一元二次方程解决实际问题。
2.过程与方法：通过实例引入一元二次方程，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。
3.情感态度与价值观：感受数学与生活的紧密联系，培养学生的数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣。
四. 说教学重难点1.重点：一元二次方程的实际意义，一元二次方程的解法，以及运用一元二次方程解决实际问题。
2.难点：将实际问题转化为数学问题，理解一元二次方程在实际问题中的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法，通过实例引导学生探索一元二次方程的解法，并运用到实际问题中。
2.教学手段：利用多媒体课件，展示实例，引导学生进行思考和讨论。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考如何用数学模型来解决这个问题，从而引入一元二次方程。
2.新课导入：介绍一元二次方程的一般形式，引导学生理解一元二次方程的实际意义。
3.解法讲解：讲解一元二次方程的解法，包括因式分解法、配方法、求根公式法等。
4.实例分析：通过实例，让学生理解如何将实际问题转化为一元二次方程，并运用一元二次方程解决问题。
人教版数学九年级上册22.3.4《实际问题与一元二次方程》教案一. 教材分析人教版数学九年级上册第22章《实际问题与一元二次方程》是学生在学习了二元一次方程组、一元二次方程等知识的基础上，对实际问题进行数学建模、求解的过程。
通过本节课的学习，学生能够理解一元二次方程在实际问题中的应用，提高解决实际问题的能力。
教材通过丰富的例题和练习题，引导学生掌握一元二次方程的解法，并能够将其应用于实际问题的解决。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元二次方程的知识有了一定的了解。
但是，学生在解决实际问题时，往往不能将数学知识与实际问题有效地结合起来，对于一些复杂的一元二次方程，学生的解法还不够熟练。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将所学知识与实际问题相联系，提高学生解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.理解一元二次方程在实际问题中的应用。
2.掌握一元二次方程的解法，并能够将其应用于实际问题的解决。
3.培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程在实际问题中的应用，一元二次方程的解法。
2.难点：如何将实际问题转化为数学模型，如何引导学生运用一元二次方程解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、分析、归纳、推理等数学思维方法，探索一元二次方程在实际问题中的应用。
同时，运用小组合作学习的方式，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，如购物问题、面积问题等。
2.准备一元二次方程的解法教案和PPT。
3.准备练习题和测试题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个简单的实际问题，如购物问题，引导学生思考如何用数学模型来解决这个问题。
学生可以自由发表意见，教师总结并引出一元二次方程的概念。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示几个实际问题，让学生尝试用一元二次方程来解决。
学生在解决问题的过程中，教师给予引导和指导，帮助学生掌握一元二次方程的解法。
新人教版九年级数学上册《22.3实际问题与一元二次方程（第2课时）》教案第一篇：新人教版九年级数学上册《22.3实际问题与一元二次方程(第2课时)》教案新人教版九年级数学上册《22.3实际问题与一元二次方程（第2课时）》教案一、出示学习目标：1.继续感受用一元二次方程解决实际问题的过程；2.通过自学探究掌握裁边分割问题。
二、自学指导：（阅读课本P47页，思考下列问题）1.阅读探究3并进行填空；2.完成P48的思考并掌握裁边分割问题的特点；3.在理解的基础上完成P48-49第8、9题（不精确，只留根号即可）。
探究3：要设计一本书的封面，封面长27cm,宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？分析：封面的长宽之比为27﹕21=9﹕7，中央矩形的长宽之比也应是9﹕7，则上下边衬与左右边衬的宽度之比是。
9﹕7 设上、下边衬的宽均为9xcm,左、右边衬的宽均为7xcm,则：由中下层学生口答书中填空，老师再给予补充。
思考:如果换一种设法，是否可以更简单? 设正中央的长方形长为9acm，宽为7acm，依题意得9a·7a=（可让上层学生在自学时，先上来板演）第 1 页 2.P48-49第8、9题中下层学生在自学完之后先板演效果检测时，由同座的同学给予点评与纠正9.如图，要设计一幅宽20m，长30m的图案，两横两竖宽度之比为3∶2，若使彩条面积是图案面积的四分之一，应怎样设计彩条的宽带？（讨论用多种方法列方程比较）注意点：要善于利用图形的平移把问题简单化！四、当堂训练：1.如图,在一幅长90cm,宽40cm的风景画四周镶上一条宽度相同的金色纸边,制成一幅挂画.如果要求风景画的面积是整个挂画面积的72%,那么金边的宽应是多少?(只要求设元、列方程)2.要设计一个等腰梯形的花坛，上底长100m，下底长180m。
《 22.3 实际问题与一元二次方程》学习目标：能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，并根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．经历将实际问题抽象为数学问题的过程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．一、自主学习列方程解应用题：有一张长方形的桌子，桌面长100cm，宽 60cm，有一块台布的面积是桌面面积的 2 倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?三、达标巩固1.如图所示，李萍要在一幅长 9 0cm、宽 40cm的风景画的四周外围，镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，使风景画的面积占整个挂图面积的54%，设金色纸边的宽为xcm，根据题意可列方程（）A．（ 90+x）（ 40+x）× 54%=90× 40B．（ 90+2x）（ 40+2x）× 54%=90× 40C．（ 90+x）（ 40+2x ）× 54%=90× 40D．（ 90+2x）（ 40+x ）× 54%=90× 402．张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15 立方米的无盖长方体运输箱，且此长方体运输箱底面的长比宽多 2 米， ?现已知购买这种铁皮每平方米需20 元钱，问四、学后记五、课时训练基础过关1．三角形一边的长是该边上高的 2 倍，且面积是32，则该边的长是（）A．8 B．4C．42D．822．将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为4cm 的小正方形，做成一个无盖的盒子，盒子的容积是3，求原铁皮的边长．400cm3．如图所示，要用防护网围成长方形花坛，其中一面利用现有的一段墙，且在与墙平行的一边开一个 2 米宽的门，现有防护网的长度为 91 米，花坛的面积需要 1080 平方米，若墙长 50 米，求花坛的长和宽．（1）一变：若墙长 46 米，求花坛的长和宽．（2）二变：若墙长 40 米，求花坛的长和宽．（3）通过对上面三题的讨论，你觉得墙长对题目有何影响？4．一条长 64cm的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形，若两个正方形的面积和等于160cm2，求两个正方形的边长．5．如图，在长32 米，宽 20 米的矩形草坪上建有两条等宽的弯曲小路，?若草坪实际面积为540平方米，求中路的平均宽度．6．如图，在 Rt △ ABC 中∠ B=90°， AB=8m ，BC=6m ，点 M 、点 N 同时由 A 、 C?两点出发分别沿AB 、 CB 方向向点 B 匀速移动，它们的速度都是 1m/s ，几秒后，△ MBN?的面积为 Rt △ABC 的 面积的 1？3聚焦中考G 7. 如图，矩形 ABCD 的周长是 20cm ，以 AB ，AD 为边向外作正方H FD形 ABEF 和正方形 ADGH ， 若正方形 ABEF 和 ADGH 的面积之 A和为 68cm 2 ，那么矩形 ABCD 的面积是（ ）A ． 21cm 2B ． 16cm 2C ． 24cm 2EBCD ． 9cm 28. 在长为 a m ，宽为 b m 的一块草坪上修了一条 1m 宽的笔直小路，则余下草坪的面积可表 示为m 2 ；现为了增加美感，把这条小路改为宽恒为1m 的弯曲小路（如图6），则此时余下草坪的面积为m 2 ．9. 某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为 2 :1．在温室内，沿前侧内墙保留3m 宽的空地，其它三前侧 蔬菜种植区域侧内墙各保留 1m 宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少空288m 2 ？时，蔬菜种植区域的面积是地10. 如图所示，在长和宽分别是 a 、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x 的正方形．(1)用 a ，b， x 表示纸片剩余部分的面积；(2)当 a =6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．《 22.3 实际问题与一元二次方程》学习目标：能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，并根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．经历将实际问题抽象为数学问题的过程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．一、自主学习（一）温故知新列方程解应用题的基本步骤有哪些？（二）探索新知列方程解应用题：一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72 张，则这个小组共多少人？分析：设这个小组有x 人，那么每个人要送给除了他自己以外的人，共送张贺卡，由此可列方程：二、学习过程列方程解应用题：有一人患了流感，经过两轮传染后，有121 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则第一轮传染后有人患了流感，第二轮传染后有人患了流感 .于是可列方程：思考：如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？三、达标巩固1．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x 名同学，那么根据题意列出的方程是（）A． x（ x+1） =182 B．x（x-1）=182C． 2x（ x+1） =182 D．x（1-x）=182× 22．参加足球联赛的每两队之间都进行了两次比赛（双循环比赛），共要比赛90 场，共有多少个队参加了比赛？四、学后记五、课时训练 1．一个多边形有70 条对角线，则这个 多边形有 ________条边．2．九年级（ 3）班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书， 每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本， 全组共互赠了 240 本图书，如果设全组共有x 名同学，依题意， 可列出的方程是（ ）A ． x （ x+1） =240B ． x （ x-1 ） =240C ． 2x （ x+1） =240D． 1x （x+1） =24023．有一人患了流感，经过两轮传染后共有 100 人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A ．8 人B ．9 人C ．10 人D ．11 人6．学校组织了一次篮球单循环比赛， 共进行了 15 场比赛，那么有几个球队参加了这次比赛？7．某商店将甲、乙两种糖果混合运算， ?并按以下公式确定混合糖果的单价 ：单价＝a 1m 1 a 2m 2 （元／千克），其中 m ，m 分别为甲、乙两种糖果的重量（千克） ， a ， a2m 1 m 2121分别为甲、乙两种糖果的单价（元／千克） ．已知 a =20 元／千克， a =16 元／千克，现将1210 千克乙种糖果和一箱甲种糖果混合（搅拌均匀）销售，售出 5 千克后， ?又在 混合糖果中加入 5 千克乙种糖果，再出售时混合糖果的单价为17.5 元／千克，问这箱甲种糖果有多少千克？22.3 实际问题与一元二次方程教学目：1.通学生自学探究感受用一元二次方程解决的程；2.在的程中，掌握的型（利）。
人教版数学九年级上册21.3《实际问题与一元二次方程（2）》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册21.3《实际问题与一元二次方程（2）》这一节内容，是在学生已经掌握了一元二次方程的解法、定义等基础知识的基础上进行讲解的。
这部分内容主要是培养学生运用一元二次方程解决实际问题的能力，让学生通过解决实际问题，进一步理解和掌握一元二次方程的知识。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于一元二次方程的知识也有了一定的了解。
但是，学生在解决实际问题时，往往会因为不能正确地将实际问题转化为数学问题，或者在列方程时出现错误，导致解题的失败。
因此，在教学过程中，需要引导学生正确地将实际问题转化为数学问题，并熟练地运用一元二次方程进行解答。
三. 教学目标1.让学生掌握将实际问题转化为数学问题的方法。
2.使学生能够熟练地运用一元二次方程解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：将实际问题转化为数学问题的方法，一元二次方程的解法。
2.难点：如何将实际问题正确地转化为数学问题，并运用一元二次方程进行解答。
五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生通过自主探究、合作交流的方式，解决实际问题。
同时，运用讲解法、示范法等，为学生提供解题的思路和方法。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生进行思考和解答。
2.准备PPT，用于展示和解题过程的演示。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实际问题，引导学生思考如何将实际问题转化为数学问题，并激发学生解决问题的兴趣。
2.呈现（10分钟）呈现一系列的实际问题，让学生尝试解决。
在学生解答过程中，教师进行讲解和指导，引导学生掌握将实际问题转化为数学问题的方法，并熟练地运用一元二次方程进行解答。
3.操练（10分钟）让学生分组进行合作交流，共同解决一些实际问题。
教师在旁边进行指导和讲解，帮助学生巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生独立进行解答，巩固所学知识。
人教版九年级数学上册21.3.3《实际问题与一元二次方程(第2课时)》教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册21.3.3《实际问题与一元二次方程(第2课时)》这一节主要讲述了如何将实际问题转化为一元二次方程，并通过求解方程得到实际问题的解答。
教材通过具体的例子引导学生理解一元二次方程在实际问题中的应用，培养学生运用数学解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了一元二次方程的理论知识，对于如何列方程、解方程已经有了一定的了解。
但是，将实际问题转化为一元二次方程的能力还需要加强。
此外，学生对于实际问题的解决方法还不够灵活，需要通过实例引导学生学会用数学的眼光去发现问题、解决问题。
三. 教学目标1.理解一元二次方程在实际问题中的应用。
2.学会将实际问题转化为一元二次方程，并求解方程得到实际问题的解答。
3.培养学生的数学思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程在实际问题中的应用，将实际问题转化为一元二次方程的方法。
2.教学难点：如何引导学生发现实际问题中的等量关系，并将等量关系转化为数学方程。
五. 教学方法采用案例教学法，通过具体的实例引导学生理解一元二次方程在实际问题中的应用，培养学生的数学思维能力。
同时，采用小组讨论法，让学生在小组内共同探讨实际问题的解决方法，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例。
2.准备PPT，用于展示案例和引导学生思考。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实际问题引出一元二次方程的应用，激发学生的学习兴趣。
例如：小明买了一本书，原价是20元，书店搞活动满100元减30元，小明最后实付了50元，问小明买了多少本书？2.呈现（10分钟）呈现准备好的案例，引导学生观察、分析案例中的等量关系。
例如：某车间生产一批产品，每小时生产30个，生产4小时后，因机器故障停工，停工后修机器花了2小时，修好机器后，车间又接着生产，最终完成了原定的生产任务。
实际问题与一元二次方程教学内容本节课主要学习根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类几何图形问题。
教学目标知识技能1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．数学思考经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。
解决问题通过解决封面设计与草坪规划的实际问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．情感态度通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．重难点、关键重点：列一元二次方程解有关问题的应用题难点：发现问题中的等量关系关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型教学准备教师准备：制作课件，精选习题学生准备：复习有关知识，预习本节课内容教学过程一、复习引入【问题】1．直角三角形的面积公式是什么？•一般三角形的面积公式是什么呢？2．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？3．梯形的面积公式是什么？4．菱形的面积公式是什么？5．平行四边形的面积公式是什么？6．圆的面积公式是什么？【活动方略】教师演示课件，给出题目．学生口答，老师点评。
【设计意图】复习一些简单几何图形的面积公式，为继续学习建立一元二次方程的数学模型并解决几何图形问题作好铺垫．二、探索新知【问题情境】要设计一本书的封面，封面长27 cm ,宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1 cm）.【分析】（1）本题中有哪些数量关系？（2）如何理解“正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形”？（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？（4）解方程并得出结论，对比几种方法各有什么特点？【解答】依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，•由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm，•则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm．因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的，则中央矩形的面积是封面面积的．所以（27-18x）（21-14x）=×27×21整理，得：16x2-48x+9=0解方程，得：x=， x1≈2.8cm，x2≈0.2所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm．【活动方略】教师提出问题学生分组，分别按问题（3）中所列的方程来解答，选代表展示解答过程，并讲解解题过程和应注意问题．在活动中，教师应注意：（1）学生对几何图形的分析能力；（2）学生在未知数的选择上，能否根据情况，灵活处理；（3）在讨论中能否互相合作；（4）解答一元二次方程的能力；（5）学生回答问题时的语言表达是否准确．【设计意图】使学生通过多种方法解几何图形问题，验证多种方法的正确性；通过解题过程的对比，体会对已知数量关系的适当变形对解题的影响，丰富解题经验．三、反馈练习1．某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，•上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？2．有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?（精确到0．1尺）【活动方略】学生独立思考、独立解题．教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）【设计意图】检查学生对所学知识的掌握情况.四、应用拓展例1：如图，某中学为方便师生活动，准备在长30 m，宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？【分析】（1）本题中有哪些数量关系？（2）由这些数量关系还能得到什么新的结论？你想如何利用这些数量关系？为什么？如何列方程？（3）对比下列两个图形，它们有什么联系与区别？【活动方略】学生分组讨论，画图，上台演示．教师与学生一起评价，总结图形变换的基本原则．例2：如图（a）、（b）所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A•开始沿AB边向点B以1cms的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cms的速度运动．（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使S△PBQ=8cm2．（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C•后又继续在CA边上前进，经过几秒钟，使△PCQ的面积等于12.6cm2．（友情提示：过点Q•作DQ⊥CB，垂足为D，则：）分析：（1）设经过x秒钟，使S△PBQ=8cm2，那么AP=x，PB=6-x，QB=2x，由面积公式便可得到一元二次方程的数学模型．（2）设经过y秒钟，这里的y>6使△PCQ的面积等于12.6cm2．因为AB=6，BC=8，由勾股定理得：AC=10，又由于PA=y，CP=（14-y），CQ=（2y-8），又由友情提示，便可得到DQ，那么根据三角形的面积公式即可建模．解：（1）设x秒，点P在AB上，点Q在BC上，且使△PBQ的面积为8cm2．则：（6-x）·2x=8整理，得：x2-6x+8=0解得：x1=2，x2=4∴经过2秒，点P到离A点1×2=2cm处，点Q离B点2×2=4cm处，经过4秒，点P 到离A点1×4=4cm处，点Q离B点2×4=8cm处，所以它们都符合要求．（2）设y秒后点P移到BC上，且有CP=（14-y）cm，点Q在CA上移动，且使CQ=（2y-8）cm，过点Q作DQ⊥CB，垂足为D，则有∵AB=6，BC=8∴由勾股定理，得：AC==10∴DQ=则：（14-y）·=12.6整理，得：y2-18y+77=0解得：y1=7，y2=11即经过7秒，点P在BC上距C点7cm处（CP=14-y=7），点Q在CA上距C点6cm处（CQ=•2y-8=6），使△PCD的面积为12.6cm2．经过11秒，点P在BC上距C点3cm处，点Q在CA上距C点14cm>10，∴点Q已超过CA的范围，即此解不存在．∴本小题只有一解y1=7．【活动方略】教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论．学生活动：合作交流，讨论解答。
22.3 实际问题与一元二次方程(2)教学内容建立一元二次方程的数学模型，解决如何全面地比较几个对象的变化状况． 教学目标掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．复习一种对象变化状况的解题过程，引入两种或两种以上对象的变化状况的解题方法．重难点关键1．重点：如何全面地比较几个对象的变化状况．2．难点与关键：某些量的变化状况，不能衡量另外一些量的变化状况．教具、学具准备小黑板教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下面的题目．问题：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，•商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?老师点评：总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x 元，•则每件平均利润应是（0.3-x ）元，总件数应是（500+0.1x ×100） 解：设每张贺年卡应降价x 元则（0.3-x ）（500+1000.1x ）=120 解得：x=0.1答：每张贺年卡应降价0.1元．二、探索新知刚才，我们分析了一种贺年卡原来平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了减少库存降价销售，并知每降价0.1元，便可多售出100元，为了达到某个目的，每张贺年卡应降价多少元?如果本题中有两种贺年卡或者两种其它东西，量与量之间又有怎样的关系呢?即绝对量与相对量之间的关系．例1．某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，•那么商场平均每天可多售出34•张．•如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大．分析：原来，两种贺年卡平均每天的盈利一样多，都是150元；0.30.751000.10.2534=≈，从这些数目看，•好象两种贺年卡每张降价的绝对量一样大，下面我们就通过解题来说明这个问题．解：（1）从“复习引入”中，我们可知，商场要想平均每天盈利120元，甲种贺年卡应降价0.1元．（2）乙种贺年卡：设每张乙种贺年卡应降价y 元，则：（0.75-y ）（200+0.25y ×34）=120 即（34-y ）（200+136y ）=120 整理：得68y 2+49y-15=0y=49268-⨯ ∴y ≈-0.98（不符题意，应舍去）y ≈0.23元答：乙种贺年卡每张降价的绝对量大．因此，我们从以上一些绝对量的比较，不能说明其它绝对量或者相对量也有同样的变化规律．（学生活动）例2．两年前生产1t 甲种药品的成本是5000元，生产1t•乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t 甲种药品的成本是3000元，生产1t•乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?老师点评：绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000元，•乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3000）÷2=1200元，显然，•乙种药品成本的年平均下降额较大． 相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题．解：设甲种药品成本的年平均下降率为x ，则一年后甲种药品成本为5000（1-x ）元，两年后甲种药品成本为5000（1-x ）元． 依题意，得5000（1-x ）2=3000解得：x 1≈0.225，x 2≈1.775（不合题意，舍去）设乙种药品成本的平均下降率为y ．则：6000（1-y ）2=3600整理，得：（1-y ）2=0.6解得：y ≈0.225答：两种药品成本的年平均下降率一样大．因此，虽然绝对量相差很多，但其相对量也可能相等．三、巩固练习新华商场销售甲、乙两种冰箱，甲种冰箱每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．乙种冰箱每台进货价为2000元，市场调研表明：当销售价为2500元时，•平均每天能售出8台；而当销售价每降低45元时，平均每天就能多售出4台，•商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，那么两种冰箱的定价应各是多少?四、应用拓展例3．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，•据市场分析，•若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?分析：（1）销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元，因此，销售量就减少5×10kg．（2）销售利润y=（销售单价x-销售成本40）×销售量[500-10（x-50）]（3）月销售成本不超过10000元，那么销售量就不超过1000040=250kg，在这个提前下，•求月销售利润达到8000元，销售单价应为多少．解：（1）销售量：500-5×10=450（kg）；销售利润：450×（55-40）=450×15=6750元（2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x2+1400x-40000（3）由于水产品不超过10000÷40=250kg，定价为x元，则（x-400）[500-10（x-50）]=8000解得：x1=80，x2=60当x1=80时，进货500-10（80-50）=200kg<250kg，满足题意．当x2=60时，进货500-10（60-50）=400kg>250kg，（舍去）．五、归纳小结本节课应掌握：建立多种一元二次方程的数学建模以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．六、布置作业1．教材P53复习巩固2 综合运用7、9．2．选用作业设计：一、选择题1．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（）．A．12人 B．18人 C．9人 D．10人2．某一商人进货价便宜8%，而售价不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前x增加到（x+10%），则x 是（ ）．A ．12%B ．15%C ．30%D ．50%3．育才中学为迎接香港回归，从1994年到1997年四年内师生共植树1997棵，已知该校1994年植树342棵，1995年植树500棵，如果1996年和1997年植树的年增长率相同，那么该校1997年植树的棵数为（ ）．A ．600B ．604C ．595D ．605二、填空题1．一个产品原价为a 元，受市场经济影响，先提价20%后又降价15%，现价比原价多_______%．2．甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利10%，乙而后又将这手股票返卖给甲，但乙损失了10%，•最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖出，在上述股票交易中，甲盈了_________元．3．一个容器盛满纯药液63L ，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，•第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L ，设每次倒出液体xL ，•则列出的方程是________．三、综合提高题1．上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大?2．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，•现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，•如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树?3．某玩具厂有4个车间，某周是质量检查周，现每个车间都原有a （a>0）个成品，且每个车间每天都生产b （b>0）个成品，质量科派出若干名检验员周一、•周二检验其中两个车间原有的和这两天生产的所有成品，然后，周三到周五检验另外两个车间原有的和本周生产的所有成品，假定每名检验员每天检验的成品数相同．（1）这若干名检验员1天共检验多少个成品?（用含a 、b 的代数式表示）（2）若一名检验员1天能检验45b 个成品，则质量科至少要派出多少名检验员?答案：一、1．C 2．B 3．D二、1．2 2．1 3．（1-63x ）2=2863三、1．甲：设上升率为x，则100（1+x）2=121，x=10%乙：设上升率为y，则200（1+y）2=288，y=20%，那么乙商场年均利润的上升率大．2．设多种x棵树，则（100+x）（1000-2x）=100×1000×（1+15.2%）•，• 整理，•得：•x2-400x+7600=0，（x-20）（x-380）=0，解得x1=20，x2=3803．（1）2222a b+⨯=a+2b或2253a b+⨯（2）因为假定每名检验员每天检验的成品数相同．所以a+2b=2103a b+，解得：a=4b所以（a+2b）÷45b=6b÷45b=304=7.5（人）所以至少要派8名检验员．。
