倍长中线法(经典例题)2

初中几何辅助线——“倍长中线法”倍长中线【方法说明】遇到一个中点的时候，通常会延长过该中点的线段．倍长中线指延长一边的中线至一点，使所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等．如图所示，点D为△ABC 边BC的中点．延长AD至点E，使得DE＝AD，并连接BE，则△ADC≌△EDB（SAS）．【方法归纳】1．如图，AD为△ABC边BC的中线．延长AD至点E，使得AD ＝DE．若连接BE，则△ADC≌△EDB（SAS）；若连接CE，则△ADB≌△EDC（SAS）．2．如图，点D为△ABC边BC的中点．延长ED至点F，使得DE ＝DF，并连接BF，则△EDC≌△FDB（SAS）．3．如图，AB∥CD，点E为线段AD的中点．延长CE交AB于点F，则△EDC≌△EAF（ASA）．【典型例题】1．（09莱芜）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG＝CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF 中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．【思路点拨】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG ＝EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF 的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG＝CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG＝NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG＝EG；最后证出CG＝EG．（3）结论依然成立．还知道EG⊥CG．【解题过程】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCF＝90°，在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG＝1/2FD，同理，在Rt△DEF中，EG＝1/2FD，∴CG＝EG．（2）（1）中结论仍然成立，即EG＝CG．【方法一】连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，∵AD＝CD，∠ADG＝∠CDG，DG＝DG，∴△DAG≌△DCG（SAS），∴AG＝CG；在△DMG与△FNG中，∵∠DGM＝∠FGN，FG＝DG，∠MDG＝∠NFG，∴△DMG≌△FNG （ASA），∴MG＝NG；∵∠EAM＝∠AEN＝∠AMN＝90°，∴四边形AENM 是矩形，在矩形AENM中，AM＝EN，在△AMG与△ENG中，∵AM＝EN，∠AMG＝∠ENG，MG＝NG，∴△AMG≌△ENG（SAS），∴AG＝EG，∴EG＝CG．【方法二】延长CG至M，使MG＝CG，连接MF，ME，EC，在△DCG与△FMG中，∵FG＝DG，∠MGF＝∠CGD，MG＝CG，∴△DCG≌△FMG．∴MF＝CD，∠FMG＝∠DCG，∴MF∥CD∥AB，∴EF⊥MF．在Rt△MFE与Rt△CBE中，∵MF＝CB，∠MFE＝∠EBC，EF＝BE，∴△MFE≌△CBE，∴∠MEF＝∠CEB．∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°，∴△MEC为直角三角形．∵MG＝CG，∴EG＝1/2MC，∴EG＝CG．（3）（1）中的结论仍然成立．理由如下：过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F 作FN垂直于AB于N．由于G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD＝FM，又因为BE＝EF，易证∠EFM＝∠EBC，则△EFM≌△EBC，∠FEM＝∠BEC，EM＝EC，∵∠FEC＋∠BEC＝90°，∴∠FEC＋∠FEM＝90°，即∠MEC＝90°，∴△MEC是等腰直角三角形，∵G为CM中点，∴EG＝CG，EG⊥CG．。

选择题在三角形ABC中，AD是中线，倍长AD至点E，连接BE，若要证明三角形ADC与三角形EDB 全等，需要添加的条件是？A. 角ADC = 角EDBB. AD = BDC. 角CAD = 角EBD（正确答案）D. AC = BE已知三角形ABC中，D是BC的中点，AD是中线，延长AD至E使得DE = AD，连接BE。

若角ADC = 角EDB，则下列哪一对三角形全等？A. 三角形ABD与三角形ECDB. 三角形ADC与三角形EDB（正确答案）C. 三角形ABC与三角形EBDD. 三角形ABD与三角形EBD在三角形ABC中，D为BC的中点，AD为中线。

延长AD到E，使得DE = AD，连接BE。

若AC平行于BE，则下列结论正确的是？A. 三角形ADC与三角形EDB不全等B. 三角形ADC与三角形EDB全等（正确答案）C. 三角形ABC与三角形EBD全等D. 无法判断三角形ADC与三角形EDB的全等关系在三角形ABC中，D是BC的中点，AD是中线。

延长AD到E，使得DE = AD，连接BE。

若要证明三角形ADC全等于三角形EDB，可依据的判定定理是？A. SSSB. ASAC. SAS（正确答案）D. AAA已知三角形ABC，D为BC的中点，AD为中线。

延长AD至E，使DE = AD，连接BE。

若角C = 角E，则下列哪一对三角形一定全等？A. 三角形ABD与三角形ECDB. 三角形ABC与三角形EBDC. 三角形ADC与三角形EDB（正确答案）D. 三角形ABC与三角形ADC在三角形ABC中，D是BC的中点，AD是中线。

延长AD到E，使得DE = AD，连接BE。

若三角形ADC与三角形EDB全等，则它们的对应角一定相等，即？A. 角ADC = 角EBD（正确答案）B. 角ADC = 角EDCC. 角CAD = 角CDED. 角BAC = 角E已知三角形ABC，D是BC的中点，AD是中线。

延长AD至E，使得DE = AD，连接BE。

【解题模型】倍长中线模型
初中数学解题思路
倍长中线模型
倍长中线：将三角形的中线（或类似中线）力日倍延长，构造全等三角形，实现角和线段的转化．【基本模型】
【典型例题1】
【思路分析】倍长线段ED ，构造全等三角形，将BE,CF 和EF 转移到同一个三角形中．
【答案解析】
【归纳总结】
1. 出现中点时，常考虑倍长与中点相关的线段，构造全等三角形，转换线段．
2. 出现垂直关系时，常考虑倍长直角边，构造等腰三角形.
【典型例题2】
【思路分析】倍长中线，将已知边和倍长后的边转化到同一三角形中，运用三边关系求范围．
【答案解析】
【归纳总结】
1. 三角形的三边关系是求线段范围的常用方法．
2. 出现中线时，常考虑倍长中线构造全等三角形，实现线段的转化．
【典型例题3】
【思路分析】
【答案解析】
【归纳总结】。

倍长中线法(经典例题)2倍长中线法（加倍法）知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。

经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F.求证：EF CF BE >+第 14 题图DF CBEAB例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE 。

2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.E DABCF EABCD3、已知：如图，在ABC∆中，ACAB≠，D、E在BC上，且DE=EC，过D作BADF//交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分BAC∠4、如图，CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：①CE=2CD．②CB平分∠DCE．ABFD E C5、如图已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证EF ＝2AD.4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.DA BCMTE倍长中线法（加倍法）知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。

专题02 倍长中线模型【基本模型】【例题精讲】V（2）如图2，AD是ABC=；AC BF（3）如图3，在四边形^，试猜想线段CE DE例2．（培优综合1）阅读（1）阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．中线AD的取值范围是________；（2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．例4．（培优综合3）在ABC V 中，点P 为BC 边中点，点M ．CN ^直线a 于点N ，连接PM ，PN ．（1）如图1，若点B ，P 在直线a 的异侧，延长（2）若直线a 绕点A 旋转到图7BMP CNP S S +=△△，1BM =（3）若过P 点作PG ^直线a 于点（2）如图2，若A O D 、、三点不在同一条直线上,AC 与BD AE BE OE 、、之间的数量关系，并给予证明；（3）如图3，在(2)的条件下作BC 的中点F ,连接OF ，直接写出【变式训练】1．如图所示，在ABC D 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为BAC Ð的平分线.2．阅读理解：（1）如图1，在ABC V 中，若10AB =，6AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E ，使得AD DE =，再连接BE ，把AB ，AC ，2AD 集中在ABE V 中，利用三角形三边关系即可判断中线AD 的取值范围是______．（2）解决问题：如图2，在ABC V 中，D 是BC 边上的中点，DE DF ^，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，求证：BE CF EF +>．（3）问题拓展：如图3，在ABC V 中，D 是BC 边上的中点，延长DA 至E ，使得AC BE =，求证：CAD BED Ð=Ð．4．如图，△ABC中，AB=AC，（1）求证：AD=AE；【课后训练】+<B．BE+A．BE CF EFA．50°B．603．在△ABC中，AB＝AC，点EF⊥AE，若点F在BD的垂直平分线上，示）4．请阅读下列材料：（1）如图1，①若AB AC =，请直接写出EAC BCD Ð-Ð=______；②连接DE ，若2AE DE =，求证：DEB AEC Ð=Ð；（2）如图2，连接FB ，若FB AC =，试探究线段CF 和DF 之间的数量关系，并说明理由．8．已知ABC V 中，（1）如图1，点E 为BC 的中点，连AE 并延长到点F ，使=FE EA ，则BF 与AC 的数量关系是________．（2）如图2，若AB AC =，点E 为边AC 一点，过点C 作BC 的垂线交BE 的延长线于点D ，连接AD ，若DAC ABD Ð=Ð，求证：AE EC =．（3）如图3，点D 在ABC V 内部，且满足AD BC =，BAD DCB Ð=Ð，点M 在DC 的延长线上，连AM 交BD 的延长线于点N ，若点N 为AM 的中点，求证：DM AB =．。

中国润滑油市场分析（一）产品概述：（1）基础油的定义：润滑油由基础油和添加剂调和而成。

典型的润滑油一般由75%￣85%的基础油和15%￣25%的添加剂组成。

基础油的好坏直接影响着润滑油的性能，润滑油一般指在各种发动机和机械设备上使用的液体润滑剂, 广泛用于机械、汽车、冶金、电力、国防等行业。

国外各大石油公司过去曾经根据原油的性质和加工工艺把基础油分为石蜡基基础油、中间基基础油、环烷基基础油等。

（2）物化性质：基础油的性能和作用可以归纳为:☆基础油粘度:直接影响低温性能，可以说基础油的粘度越低越好。

☆基础油的热氧化安定性:直接影响磨损，特别是油泥和酸性氧化物生成倾向，因此也影响油品的综合性能。

☆基础油的挥发性:与油品生成的残炭和沉积物有关。

也影响油品使用性能。

☆基础油的表面活性:影响油破乳和发泡倾向水平，间接影响抗磨损能力。

☆基础油的溶解能力:影响油品对密封件的适应性，同时对使用中抑制沉积物及对添加剂的相溶性有关。

上述这些基础油的作用和性能与其加工工艺及其组成有关。

醋类合成非烃基础油可改善对功能添加剂的溶解性，特别是其生物降解性高，可调配环保型润滑油。

随着基础油加工工艺的不断进步和合成醋的扩大采用，既增加了基础油在成品油中的成本比重，同时也使人们对基础油的作用有了进一步认识.基础油对提高润滑油质的贡献率将超过添加剂。

（3）产品分类：国外各大石油公司过去曾经根据原油的性质和加工工艺把基础油分为石蜡基基础油、中间基基础油、环烷基基础油等。

美国石油协会( API)于1993 年将基础油分为五类( API1509) , 并将其并入API 发动机油发照认证系统(EOLCS) 中。

API 基础油具体分类情况和我国润滑油基础油系列标准见表 1 和表 2表-1 API-1509基础油分类标准试验方法 ASTM D2007 ASTM D2270 ASTM D2622/D4294/D4927/D3120硫含量/%(质量分数)烃饱类别和含量黏度指数VI（/%）80—120 类 <90% >0.03 I80-120 II类≤0.03 ≥ 90%>120 90%类III ≤0.03 ≥聚α- IV类烯烃(PAO)所有非I类V 、II、III或IV类基础油一是通过基础油生产技术的改进来提高基:润滑油质量的改进主要从以下两个方面着手基础油是, 础油的品质, 二是通过润滑油配方技术的改进来提高产品的质量。

倍长中线法练习题本文通过多个例题展示了倍长中线法的实践应用。

倍长中线法是一种常用的几何分析方法，用于解决一些几何图形的问题。

它可以帮助我们找到图形的中线，从而得到一些有用的信息。

下面是一些练习题，帮助读者加深对倍长中线法的理解和应用能力。

例题1：矩形的对角线问题描述：一个矩形的长是6，宽是8，求其对角线的长度。

解答：根据倍长中线法，对角线等于两个边长的平方和的开平方。

所以，该矩形的对角线长度可表示为√(6^2+8^2)。

计算得出，该矩形的对角线长度约为10。

例题2：直角三角形的斜边长问题描述：一个直角三角形的一条直角边长为4，另一条直角边长为5，求其斜边的长度。

解答：根据倍长中线法，斜边等于两个直角边长的平方和的开平方。

所以，该直角三角形的斜边长可表示为√(4^2+5^2)。

计算得出，该直角三角形的斜边长约为6.403。

例题3：圆的直径问题描述：一个圆的半径为3，求其直径的长度。

解答：根据倍长中线法，圆的直径等于两倍的半径。

所以，该圆的直径长度可表示为2×3，即6。

例题4：等腰三角形的底边长问题描述：一个等腰三角形的边长为10，底角为45度，求其底边的长度。

解答：根据倍长中线法，等腰三角形的底边等于两倍的等腰边长乘以sin底角。

所以，该等腰三角形的底边长度可表示为2×10×sin45°。

计算得出，该等腰三角形的底边长约为14.142。

例题5：正方形的对角线问题描述：一个正方形的边长为7，求其对角线的长度。

解答：根据倍长中线法，正方形的对角线等于边长的平方根乘以√2。

所以，该正方形的对角线长度可表示为7×√2。

计算得出，该正方形的对角线长度约为9.899。

例题6：等边三角形的外接圆半径问题描述：一个等边三角形的边长为2，求其外接圆的半径。

解答：根据倍长中线法，等边三角形的外接圆半径等于边长的倍数。

所以，该等边三角形的外接圆半径长度可表示为2。

计算得出，该等边三角形的外接圆半径长度为2。

13.13专题11：--倍长中线法一．【知识要点】1.倍长中线法:通过将中线或类似于中线的线段向中点方向延长，使延长的部分线段与中线相等，俗称中线倍长.二．【经典例题】1．如图所示，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB=2，AC=4，则AD的取值范围是__________.2.如图,在△ABC中,点E为BC的中点,CF∥AB且∠BAE=∠EAF,求证:AF+CF=AB.3.如图,点D为BC的中点,DE⊥DF交AB于E,交AC于F,连EF,若BE=5,CF=3,求EF 的取值范围.4．如图，在△ABC中，CE为△ABC的角平分线，AD⊥CE交BC于点D，垂足为点F，且∠ACB ＝2∠B．（1）当∠B＝31°时，求∠BAD的度数；（2）求证：BE＝EC；（3）求证：AB＝2CF．5.如图,△ABC为等边三角形,EC=ED,∠CED=120°,P为BD的中点.求证:AE=2PE.三．【题库】【A】1. 如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是 .2.如图,△ABC中,D为BC的中点.(1)求证:AB+AC>2AD;(2)若AB=5,AC=3,求AD的取值范围.【B】1.已知,在△ABC中,AD为BC边上的中线,AC=5,AD=4,则AB的取值范围是( )A. 1<AB<9B. 3<AB<13C. 5<AB<13D. 9<AB<132.AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝12，AC＝8，则边BC的取值范围是____________；中线AD的取值范围是_________________．3.如图,AD是△ABC的中线,点E在BC的延长线上,CE=AB,∠BAC=∠BCA,求证:AE=2AD.【C】1.如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，过B点作直线分别交AC，AD于点E，F,当AE=EF 时，图中是否存在与AC相等的线段？若存在，请找出并加以证明，若不存在，说明理由。

倍长中线模型模型讲解【结论】如图所示，AD是△ABC的中线，延长AD至点A'，使得DA'=AD，连接CA'，则AB= A'C，AB∥A'C.【证明】在△ABD和△A'CD中，{DB=CD .∠BDA=∠CDA′，AD=A′D.∴△ABD ≌△A'CD(SAS).∴AB=A'C.∠ABD=∠A'CD，∴AB//A'C.模型拓展【模型1】(直接倍长）△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD 到点E，使DE=AD，连接BE.【模型2】(间接倍长)△ABC中，AD是BC边上的中线.(1)如图，作CF⊥AD于点F. 作BE⊥AD交AD的延长线于点E.(2)如图，点M（不与A，B重合)是AB上一点，连接MD并延长至点N，使DN=MD，连接CN.典型例题典例1如图，△ABC中，若AB=8，AC=6，则BC边上的中线AD长度的取值范围为（）.A. 6＜AD＜8B. 6≤AD≤8C. 1＜AD＜7D. 1≤AD≤7典例2如图，AD是△ABC的中线，E，F分别在边AB，AC上(E，F不与端点重合)，且DE⊥DF，则（）.A.BE+CF>EFB.BE+CF=EFC.BE+CF<EFD.BE+CF与EF的长短关系不确定典例3如图所示，E是BC 的中点，∠BAE=∠CDE.若AB=6.则CD=（）.A.6B.3C.12D.无法确定典例4已知AD是△ABC的边BC上的中线，AB=12，AC=8，则边BC及中线AD的取值范围分别是（）.A. 4<BC<20，2<AD<10B. 4<BC<20，4<AD<20C. 2<BC<10，2<AD<10D. 2<BC<10，4<AD<20初露锋芒1.如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，则中线AD长度的取值范围（）.A.1<AD<6B.2<AD<12C.5<AD<7D.无法确定2.阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明.已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE.求证；AB=CD.分折：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形成等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等.因此，要证AB=CD.必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形. 现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明.感受中考1.（2020山东德州中考真题）问题探究：小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=6.AC=4.AD是中线，求AD的取值范围.她的做法是：延长AD到E，使DE=AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决.请回答下列各题.（1）小红证明△BED≌△CAD的判定理由是____________________.（2）AD的取值范围是_______________________________________.方法运用：（3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连接BF并延长交AC于点E，使AE=EF，求证；BF=AC.（4）如图3.在矩形ABCD中,ABBC =12，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且FEBE =12，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG=CG.答案典例1【答案】C【解析】如图，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE，∵AD是BC边上的中线，∴由倍长中线模型可知BE=AC.∵AB-BE<AE<AB+BE，∴AB-AC<AE<AB+AC.∵AB=8，AC=6，∴8-6<AE<8+6，∴2<AE<14.∵AD=ED，∴AE=AD+ED=AD+AD=2AD，即2<2AD<14，1<AD<7.故选C.典例2【答案】A【解析】如图，延长ED至点G，使DG=ED.连接CG，FG.∵AD是BC边上的中线，∴由倍长中线的拓展模型可得CG=BE.又∵DE⊥DF，DG⊥ED，∴FD是EG的垂直平分线，∴FG=EF.∵GC+CF>FG ，∴BE+CF>EF. 故选A. 典例3 【答案】A【解折】如图，延长DE 至点G ，使得DE=EG ，连接 BG. 由模型知△GBE ≌△DCE. 所以∠BAE=∠CDE=∠BGE. 所以BG=AB=DC=6. 故选A. 典例4 【答案】A【解析】在△ABC 中.则AB-AC ＜BC ＜AB+AC. 即12-8＜BC ＜12+8，4＜BC ＜20, 延长AD 至点E ，使AD=DE ，连接BE ， ∵AD 是△ABC 的边BC 上的中线， ∴BD=CD.又∠ADC=∠BDE ，AD=DE ∴△ACD≌△EBD(SAS). ∴BE=AC.在△ABE 中，AB-BE ＜AE ＜AB+BE ，即AB-AC ＜AE ＜AB+AC.12-8＜AE＜12+8.即4＜AE＜20.∴2＜AD＜10.故选A.初露锋芒1.【答案】A【解折】如图，延长AD至点E，使AD=ED.连接CE.∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD.∴根据倍长中线模型结论可知△ABD≌△ECD.∴AB=EC.∵AC-EC<AE<AC+EC，∴AC-AB<AE<AC+AB.∵AC=7，AB=5,∴7-5＜AE＜7+5,∴2<AE<12.∵AD=ED.∴AE=AD+ED=AD+AD=2AD，∴2<2AD<12.∴1<AD<6.故选A.2. 【答案】D【解折】方法一；作BF⊥DE交DE的延长线于点F，作CG⊥DE于点G，∴∠F=∠CGE=90°.又∵∠BEF=∠CEG，BE=CE.∴△BFE≌△CGE(AAS).∴BF=CG.在△ABF和△DCG中，∵∠F=∠DGC=90°,∠BAE=∠CDE.BF=CG，∴△ABF≌△DCG(AAS).∴AB=CD.方法二：作CF∥AB.交DE的延长线于点F，则∠F=∠BAE.又∵∠BAE=∠D，∴∠F=∠D.∴CF=CD.∵∠F=∠BAE，∠AEB=∠FEC，BE=CE,∴△ABE≌△FCE(AAS)，∴АВ=СF.∴AB=CD.方法三：延长DE 至点F ，使EF=DE ，连接BF.∵BE=CE ，∠BEF=∠CED ，EF=DE.∴△BEF ≌△CED(SAS),∴BF=CD. ∠D=∠F.又∵∠BAE=∠D,∴∠BAE=∠F.∴AB=BF.∴AB=CD.感受中考1.【解折】（1）∵AD 是中线，∴BD=CD.在△HED 和△CAD 中，{ED =AD,∠EDB =∠ADC.BD =CD∴△BED ≌△CAD(SAS).故答案为SAS:（2）∵△BED ≌△CAD.∴AC=BE=4.又∵AB=6.∴2<AE<10.∵AE=2AD.∴1<AD<5.故答案为1<AD<5.（3）如图，延长AD至点A'.使A'D=AD.∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD.在△ADC 和△A'DB中.{AD=A′D.∠ADC=∠A′DBCD=BD∴△ADC≌△A'DB.∴∠CAD=∠A'，AC=A'B.又∵AE=EF.∴∠CAD=∠AFE.∴∠A'=∠AFE.又∵∠AFE=∠BFD.∴∠BFD=∠A'，∴BF=A'B.又∵A'B=AC.∴BF=AC.（4）如图，延长CG至点H，使HG=CG.连接HF，HE，CE.∵G为FD的中点，∴FG=DG，在△HGF 和△CGD中，{HG−CG，∠HGF=∠CGD FG=DG.∴△HGF≌△CGD.∴HF=CD，∠HFG=∠CDG.在Rt△BEF中，∵EFBE =12，∴tan∠EBF= 12.又在矩形ABCD中，ABBC =1 2.∴ABAD =1 2.∴tan∠ADB= 12.∴∠EBF=∠ADB.又AD//BC,∴∠ADB=∠DBC.∴∠EBF=∠ADB=∠DBC.∵∠EFD为△BEF的外角。

倍长中线模型已知:在三角形ABC 中,O 为BC 边中点,辅助线:延长AO 到点D 使AO=DO,结论:△AOB≌△DOC证明:延长AO 到点D 使AO=DO,由中点可知,OB=OC,在△AOB 和△DOC 中OA OD AOB DOC OB OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOB≌△DOC同理在下图中仍能得到△AOB≌△DOC①向中线做垂直,易证△BEO≌△CDO步骤:延长AO 到点D,过点B,C 分别向AD 作垂线,垂足为E,D,易证△BEO≌△CDO(AAS)②过中线做任意三角形证明全等,易证△BDO≌△CEO步骤:在AC 上任意选取一点E,连接EO 并延长到点D,使EO=DO,连接BD,易证△BDO≌△CEO(SAS)1．如图，在平行四边形ABCD 中，28CD AD ==，E 为AD 上一点，F 为DC 的中点，则下列结论中正确的是（）A．4BF =B．2ABC ABF∠>∠C．ED BC EB+=D．2DEBC EFB S S =V 四边形【答案】D2．如图，901,2,AB CD BCD AB BC CD E ∠=︒=== ，，为AD 上的中点，则BE＝______．【答案】3．如图，ABC ∆中，D 为BC 的中点，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于F ，BE AC =，且9BF =，6CF =，那么AF的长度为__．4．如图，平行四边形ABCD 中，CE AD ⊥于E ，点F 为边AB 中点，12AD CD =，40CEF ∠=︒，则AFE ∠=_________5．已知：如图所示，AD 平分∠ ﱀᐊ，M 是BC 的中点，MF//AD，分别交CA 延长线，AB 于F、E．求证：BE=CF．6．如图所示，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为BAC ∠的平分线.7．已知：如图所示，在ABC ∆中，AD 为中线，BF 交,AD AC 分别于,E F ，如果BE AC =，求证：AF EF =．8．如图所示，AD 为ABC ∆的角平分线，,E F 分别在,BD AD 上，DCDE =，若EF AB ∥．求证：EF AC =．9．如图所示，在ABC ∆中，AD 为中线，90,2BAD AB AD ∠== ，求DAC ∠的度数．10．已知：如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，D 为AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，且ED FD ⊥于D .求证：222AE BF EF +=.11．阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．经过讨论，同学们得到以下两种思路：思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE ＝∠BFG，从而证明结论．思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．完成下面问题：（1）①思路一的辅助线的作法是：；②思路二的辅助线的作法是：．（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．【答案】（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；②作BG＝BF交AD的延长线于点G；（2）详见解析12．阅读（1）阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．中线AD的取值范围是________；（2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．【答案】（1）2＜AD＜8；（2）证明见解析；（3）BE+DF=EF；理由见解析.13．如图，在△ABC中，AB=AC，D为线段BC的延长线上一点，且DB=DA，BE⊥AD于点E，取BE的中点F，连接AF．(1)若，求BE的长；(2)在（1）的条件下，如果∠D=45°，求△ABD的面积．(3)若∠BAC=∠DAF，求证：2AF=AD；【答案】（1）（2）9；（3）见详解14．阅读材料，解答下列问题．如图1，已知△ABC中，AD为中线．延长AD至点E，使DE=AD．在△ADC和△EDB中，AD=DE，∠ADC=∠EDB，BD=CD，所以，△ACD≌△EBD，进一步可得到AC=BE，AC//BE等结论．在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题．解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，点F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF．。