2019届高考数学人教A版理科第一轮复习题：高考大题专项练二Word版含答案

高考大题专项练五高考中的解析几何1.设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.2.已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足||=·()+2.(1)求曲线C的方程;(2)点Q(x0,y0)(-2<x0<2)是曲线C上动点,曲线C在点Q处的切线为l,点P的坐标是(0,-1),l与PA,PB 分别交于点D,E,求△QAB与△PDE的面积之比.3.已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.4.(2017北京,理18)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A为线段BM的中点.5.已知动点C是椭圆Ω:+y2=1(a>1)上的任意一点,AB是圆G:x2+(y-2)2=的一条直径(A,B是端点),的最大值是.(1)求椭圆Ω的方程;(2)已知椭圆Ω的左、右焦点分别为点F1,F2,过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆Ω于P,Q两点.在线段OF2上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.6.(2017黑龙江大庆三模)已知中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆,离心率e=,且椭圆过点.(1)求椭圆的方程;(2)椭圆左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,则△F1AB的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.7.如图,已知椭圆=1的左焦点为F,过点F的直线交椭圆于A,B两点,线段AB的中点为G,AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D,E两点.(1)若点G的横坐标为-,求直线AB的斜率;(2)记△GFD的面积为S1,△OED(O为原点)的面积为S2.试问:是否存在直线AB,使得S1=S2?说明理由.8.设椭圆=1(a>)的右焦点为F,右顶点为A.已知,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直线l的斜率的取值范围.答案：1.解(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由得x0=x,y0=y.因为M(x0,y0)在C上,所以=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由=1得-3m-m2+tn-n2=1.又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以=0,即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.2.解(1)=(-2-x,1-y),=(2-x,1-y),=(x,y),=(0,2),∵||=·()+2,∴-=2y+2,∴x2=4y.∴曲线C的方程为x2=4y.(2)设Q,则S△QAB=2-,∵y=,∴y'=x,∴k l=x0,∴切线l的方程为y-x0(x-x0)与y轴交点M-,|PM|=1-.直线PA的方程为y=-x-1,直线PB的方程为y=x-1,由---得x D=-,由--得x E=,∴S△PDE=|x D-x E|·|PM|=1-,∴△QAB与△PDE的面积之比为2.3.解由题知F.设直线l1:y=a,直线l2:y=b,则ab≠0,且A,B,P-,Q-,R-.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(1)证明:由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=----=-b=k2.所以AR∥FQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1,0), 则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|-,S△PQF=-.由题设可得|b-a|--,所以x1=0(舍去),x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由k AB=k DE可得,-(x≠1).而=y,所以y2=x-1(x≠1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.4.(1)解由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p=.所以抛物线C的方程为y2=x.抛物线C的焦点坐标为,准线方程为x=-.(2)证明由题意,设直线l的方程为y=kx+(k≠0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).由得4k2x2+(4k-4)x+1=0.则x1+x2=-,x1x2=.因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1),直线ON的方程为y=x,点B的坐标为.因为y1+-2x1=-=-=-=--=0,所以y1+=2x1.故A为线段BM的中点.5.解(1)设点C的坐标为(x,y),则+y2=1.连接CG,由,又G(0,2),可得=x2+(y-2)2-=a(1-y2)+(y-2)2-=-(a-1)y2-4y+a+,其中y∈[-1,1].因为a>1,所以当y=-≤-1,即1<a≤3时,取y=-1,得有最大值-(a-1)+4+a+,与条件矛盾;当y=->-1,即a>3时,的最大值是---,由条件得---,即a2-7a+10=0,解得a=5或a=2(舍去).综上所述,椭圆Ω的方程是+y2=1.(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点坐标为(x0,y0), 则满足=1,=1,两式相减,整理,得--=-=-,从而直线PQ的方程为y-y0=-(x-x0),又右焦点F2的坐标是(2,0),将点F2的坐标代入PQ的方程得-y0=-(2-x0), 因为直线l与x轴不垂直,所以2x0-=5>0,从而0<x0<2.假设在线段OF2上存在点M(m,0)(0<m<2),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形,则线段PQ的垂直平分线必过点M,而线段PQ的垂直平分线方程是y-y0=(x-x0),将点M(m,0)代入得-y0=(m-x0),得m=x0,从而m∈.6.解(1)由题意可设椭圆方程为=1(a>b>0).则解得a2=4,b2=3.∴椭圆方程为=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨令y1>0,y2<0,设△F1AB的内切圆的半径为R,则△F1AB的周长=4a=8,△ (|AB|+|F1A|+|F1B|)R=4R,因此△ 最大,R就最大,由题知,直线l的斜率不为零,可设直线l的方程为x=my+1,由得(3m2+4)y2+6my-9=0,y1+y2=-,y1y2=-.则△ |F1F2|(y1-y2)=.令=t,则m2=t2-1,∴△ .令f(t)=3t+,则f'(t)=3-,当t≥1时,f'(t)≥0,f(t)在[1,+∞)内单调递增,有f(t)≥f(1)=4,△ ≤3,即当t=1,m=0时,△ ≤3,由△ =4R,得R max=,这时所求内切圆面积的最大值为.故直线l的方程为x=1,△F1AB内切圆面积的最大值为.7.解(1)依题意可知,直线AB的斜率存在,设其方程为y=k(x+1),将其代入=1,整理得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=-.故点G的横坐标为-=-,解得k=±.(2)假设存在直线AB,使得S1=S2,显然直线AB不能与x轴或y轴垂直.由(1)可得G-.设点D坐标为(x D,0).因为DG⊥AB,所以×k=-1,解得x D=-,即D-.--因为△GFD∽△OED,且S1=S2,所以|GD|=|OD|.所以=-,整理得8k2+9=0.因为此方程无解,所以不存在直线AB,使得S1=S2., 8.解(1)设F(c,0),由,即-可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.所以,椭圆的方程为=1.(2)设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(x B,y B),由方程组-消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2或x=-,由题意得x B=-,从而y B=-.由(1)知,F(1,0),设H(0,y H),有=(-1,y H),-.由BF⊥HF,得=0,所以-=0,解得y H=-.因此直线MH的方程为y=-x+-.设M(x M,y M),由方程组---消去y,解得x M=.在△MAO中,∠MOA≤∠MAO⇔|MA|≤|MO|,即(x M-2)2+,化简,得x M≥1,即≥1,解得k≤-或k≥.所以,直线l的斜率的取值范围为--.。

第10节导数的概念及计算【选题明细表】知识点、方法题号导数的概念与运算1,2,3,13导数的几何意义4,5, 7,8,9,11导数运算及几何意义综合6,10,12,14,15基础巩固(时间:30分钟)1.(2017·黑龙江省伊春市期中)函数y=的导数为( D )(A) (B)(C)- (D)解析:因为y=,所以y′==.故选D.2.函数y=ln(2x2+1)的导数是( B )(A) (B)(C)(D)解析:因为y=ln(2x2+1),所以y′=·(2x2+1)′=.故选B.3.(2017·山西怀仁县期中)已知f(x)=x2+3xf′(1),则f′(2)等于( A )(A)1 (B)2 (C)4 (D)8解析:f′(x)=2x+3f′(1),令x=1,得f′(1)=2+3f′(1),f′(1)=-1,所以f′(x)=2x-3.所以f′(2)=1.故选A.4.(2017·湖南怀化一模)如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)等于( A )(A)2 (B)1(C) (D)0解析:根据图象知,点P为切点,f(5)=-5+8=3,f′(5)为函数y=f(x)的图象在点P处的切线的斜率,所以f′(5)=-1,所以f(5)+f′(5)=2.故选A.5.函数f(x)=e x ln x在x=1处的切线方程是( C )(A)y=2e(x-1) (B)y=ex-1(C)y=e(x-1) (D)y=x-e解析:函数f(x)=e x ln x的导数为f′(x)=e x ln x+e x·,所以切线的斜率k=f′(1)=e,令f(x)=e x ln x中x=1,得f(1)=0,所以切点坐标为(1,0),所以切线方程为y-0=e(x-1),即y=e(x-1).故选C.6.(2017·湖南邵阳二模)已知a>0,曲线f(x)=2ax2-在点(1,f(1))处的切线的斜率为k,则当k取最小值时a的值为( A )(A) (B) (C)1 (D)2解析:f(x)=2ax2-的导数为f′(x)=4ax+,可得在点(1,f(1))处的切线的斜率为k=4a+,由a>0,可得4a+≥2=4,当且仅当4a=,即a=时,k取最小值.故选A.7.导学号 38486054(2017·河南许昌二模)已知函数y=x+1+ln x在点A(1,2)处的切线l,若l与二次函数y=ax+(a+2)x+1的图象也相切,则实数a的取值为( D )(A)12 (B)8 (C)0 (D)4解析:y=x+1+ln x的导数为y′=1+,曲线y=x+1+ln x在x=1处的切线斜率为k=2,则曲线y=x+1+ln x在x=1处的切线方程为y-2=2x-2,即y=2x.由于切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,y=ax2+(a+2)x+1可联立y=2x,得ax2+ax+1=0,又a≠0,两线相切有一切点,所以有Δ=a2-4a=0,解得a=4.故选D.8.(2017·天津卷)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l 在y轴上的截距为.解析:因为f′(x)=a-,所以f′(1)=a-1.又因为f(1)=a,所以切线l的斜率为a-1,且过点(1,a),所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1).令x=0,得y=1,故l在y轴上的截距为1.答案:19.(2017·云南一模)已知函数f(x)=axln x+b(a,b∈R),若f(x)的图象在x=1处的切线方程为2x-y=0,则a+b= .解析:f(x)=axln x+b的导数为f′(x)=a(1+ln x),由f(x)的图象在x=1处的切线方程为2x-y=0,易知f(1)=2,即b=2,f′(1)=2,即a=2,则a+b=4.答案:4能力提升(时间:15分钟)10.导学号 38486055已知函数f(x)在R上可导,且f(x)=x2+2xf′(2),则函数f(x)的解析式为( B )(A)f(x)=x2+8x (B)f(x)=x2-8x(C)f(x)=x2+2x (D)f(x)=x2-2x解析:因为f(x)=x2+2xf′(2),所以f′(x)=2x+2f′(2),所以f′(2)=2×2+2f′(2),解得f′(2)=-4,所以f(x)=x2-8x,故选B.11.(2017·广州一模)设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为( D )(A)(0,0) (B)(1,-1)(C)(-1,1) (D)(1,-1)或(-1,1)解析:因为f(x)=x3+ax2,所以f′(x)=3x2+2ax,因为函数在点(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,所以3+2ax0=-1,因为x0++a=0,解得x0=±1.当x0=1时,f(x0)=-1,当x0=-1时,f(x0)=1.故选D.。

滚动测试卷二(第一~五章)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知集合A=,集合B={y|y=x2,x∈A},则A∩B=()A. B.{2} C.{1} D.⌀2.复数=()A.1-2iB.1+2iC.-1+2iD.-1-2i3.下列结论正确的是()A.若命题p:∀x>0,都有x2>0,则p:∃x0≤0,使得≤0B.若命题p和p∨q都是真命题,则命题q也是真命题C.在△ABC中,a,b,c是内角A,B,C所对的边,则a<b的充要条件是cos A>cos BD.命题“若x2+x-2=0,则x=-2或x=1”的逆否命题是“x≠-2或x≠1,则x2+x-2≠0”4.命题“存在x∈[0,2],x2-x-a≤0为真命题”的一个充分不必要条件是()A.a≤0B.a≥-1C.a≥-D.a≥35.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,f(x)=-log2(-2x),则f(32)=()A.-32B.-6C.6D.646.先把函数f(x)=sin的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),再把新得到的图象向右平移个单位,得到y=g(x)的图象.当x∈时,函数g(x)的值域为()A. B. C. D.[-1,0)7.设x0是函数f(x)=-log2x的零点.若0<a<x0,则f(a)的值满足()A.f(a)=0B.f(a)<0C.f(a)>0D.f(a)的符号不确定8.在四边形ABCD中,AC⊥BD,且AC=2,BD=3,则的最小值为()A. B.- C. D.-9.若不等式≤a≤在t∈(0,2]上恒成立,则a的取值范围是()A. B. C. D.10.已知函数y=sin(πx+φ)-2cos(πx+φ)(0<φ<π)的图象关于直线x=1对称,则sin 2φ=()A.-B.-C.D.11.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若cos B==2,且S△ABC=,则b=()A.4B.3C.2D.112.(2017山东,文10)若函数e x f(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是()A.f(x)=2-xB.f(x)=x2C.f(x)=3-xD.f(x)=cos x二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知|a|=,|b|=2,若(a+b)⊥a,则a与b的夹角是.14.(2017全国Ⅲ,文16)设函数f(x)=则满足f(x)+f>1的x的取值范围是.15.已知非零向量a,b的夹角为60°,且|a-b|=1,则|a+b|的最大值是.16.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若=1,则c=.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)设向量a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos β),c=(cos β,-4sin β).(1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值;(2)求|b+c|的最大值;(3)若tan αtan β=16,求证:a∥b.18.(12分)请你设计一个包装盒,如图所示,四边形ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上,且E,F是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S(单位:cm2)最大,试问x应取何值?(2)若广告商要求包装盒容积V(单位:cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.19.(12分)函数f(x)=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示.(1)求f(x)的解析式;(2)设g(x)=,求函数g(x)在x∈上的最大值,并确定此时x的值.20.(12分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足2a cos B=2c-b.(1)求角A;(2)若△ABC的面积为,且a=,请判断△ABC的形状,并说明理由.21.(12分)已知函数f(x)=x3+ax2-x+c,且a=f'.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)设函数g(x)=(f(x)-x3)·e x,若函数g(x)在x∈[-3,2]上单调递增,求实数c的取值范围.22.(12分)已知函数f(x)=x2-a ln x(a∈R).(1)若函数f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b,求a,b的值;(2)若函数f(x)在(1,+∞)内为增函数,求a的取值范围;(3)讨论方程f(x)=0的解的个数,并说明理由.答案：1.C解析:当x=1时,y=1;当x=2时,y=4;当x=时,y=;故B=,因此A∩B={1}.故选C.2.A解析:=1-2i,故选A.3.C解析:若命题p:∀x>0,都有x2>0,则p:∃x0>0,使得≤0.故A项错误;若命题p和p∨q都是真命题,则命题q可能是真命题,也可能是假命题.故B项错误;在△ABC中,由a<b可知0<A<B<π,而y=cos x在(0,π)内单调递减,故cos A>cos B,C项正确;命题“若x2+x-2=0,则x=-2或x=1”的逆否命题是“x≠-2且x≠1,则x2+x-2≠0”.故D项错误.故选C.4.D解析:∵存在x∈[0,2],x2-x-a≤0为真命题,∴a≥(x2-x)min==-.因此上述命题的一个充分不必要条件是a≥3.故选D.5.B解析:因为当x<0时,f(x)=-log2(-2x),且函数f(x)是R上的偶函数,所以f(32)=f(-32)=-log264=-6,故选B.6.A解析:依题意,得g(x)=sin=sin,当x∈时,2x-,sin,此时g(x)的值域是.选A.7.C解析:f(x)=-log2x为减函数,f(x0)=-log2x0=0,由0<a<x0,可知f(a)>f(x0)=0.8.B解析:设AC与BD相交于点O,以O为原点,AC,BD为坐标轴建立平面直角坐标系,设C(a,0),D(0,b),则A(a-2,0),B(0,b-3),故=(2-a,b-3),=(-a,b).∴=a(a-2)+b(b-3)=(a-1)2+.∴当a=1,b=时,取得最小值-.9.B解析:∵函数y=在t∈(0,2]上为减函数,∴当t=2时,y=的最小值为1.令f(t)=,则f'(t)=.当t∈(0,2]时,f'(t)>0,故f(t)在区间(0,2]上为增函数,故当t=2时,f(t)=的最大值为.故由题意知≤a≤,即≤a≤1.10.A解析:y=sin(πx+φ)-2cos(πx+φ)=sin(πx+φ-α),其中sin α=,cos α=.∵函数y的图象关于直线x=1对称,∴π+φ-α=+kπ,k∈Z,即φ=α-+kπ,k∈Z.∴sin 2φ=sin 2=sin(2α-π+2kπ)=sin(2α-π)=-sin 2α=-2sin αcos α=-2×=-,故选A.11.C解析:由cos B=,0<B<π,得sin B=.又=2,得=2,即c=2a.由S△ABC=ac sin B=a2·,得a=1.所以c=2.由b2=a2+c2-2ac cos B=1+4-2×1×2×=4,得b=2.12.A解析:A项,令g(x)=e x·2-x,则g(x)=,因为>1,所以g(x)在R上单调递增,具有M性质;B项,令g(x)=e x·x2,则g'(x)=e x(x2+2x)=x(x+2)·e x,令g'(x)=0,得x1=0,x2=-2,g(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增,在(-2,0)上单调递减,不具有M性质;C项,令g(x)=e x·3-x,则g(x)=,因为0<<1,所以g(x)在R上单调递减,不具有M性质;D项,令g(x)=e x cos x,则g'(x)=e x(cos x-sin x),令g'(x)=0,得tan x=1.所以x=kπ+,k∈Z,故g(x)在R上不单调递增,不具有M性质.13.150°解析:因为(a+b)⊥a,所以(a+b)·a=0⇔a2+b·a=0⇔3+b·a=0,所以b·a=-3,可知a与b的夹角的余弦值为=-.则a与b的夹角为150°.14.解析:由题意得当x>时,2x+>1恒成立,即x>;当0<x≤时,2x+x-+1>1恒成立,即0<x≤;当x≤0时,x+1+x-+1>1,解得x>-,即-<x≤0.综上,x的取值范围是.15.解析:∵|a-b|=1,∴a2+b2-2|a||b|cos 60°=1,即a2+b2=1+|a||b|≥2|a||b|.∴|a||b|≤1,当且仅当|a|=|b|=1时等号成立.∴|a+b|=.∴2|a||b|+1≤3.∴|a+b|的最大值是.16.解析:由内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,可知AB=c,AC=b,BC=a.由,得cb cos A=ca cos B.故由正弦定理,得sin B cos A=cos B sin A,即sin(B-A)=0.因为-π<B-A<π,所以B=A,从而b=a.由已知=1,得ac cos B=1.故由余弦定理知ac·=1,即a2+c2-b2=2,故c=.17.(1)解:因为a与b-2c垂直,所以a·(b-2c)=4cos αsin β-8cos αcos β+4sin αcos β+8sin αsin β=4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,因此tan(α+β)=2.(2)解:由b+c=(sin β+cos β,4cos β-4sin β),得|b+c|==≤4.又当β=kπ-(k∈Z)时,等号成立,所以|b+c|的最大值为4.(3)证明:由tan αtan β=16,得16cos αcos β=sin αsin β,故a∥b.18.解:设包装盒的高为h cm,底面边长为a cm,则a=x,h=(30-x),0<x<30.(1)由题意,知S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800,故当x=15时,S取最大值.(2)由题意,知V=a2h=2(-x3+30x2),则V'=6x(20-x).由V'=0,得x=20(x=0舍去).当x∈(0,20)时,V'>0;当x∈(20,30)时,V'<0;故当x=20时,包装盒容积V最大,此时,即此时包装盒的高与底面边长的比值是.19.解:(1)由题图,知A=2,,则=4×,即ω=.又f=2sin=2sin=0,∴sin=0,∵0<φ<,-<φ-,∴φ-=0,即φ=,∴f(x)的解析式为f(x)=2sin.(2)由(1)可得f=2sin=2sin,g(x)==4×=2-2cos,∵x∈,∴-≤3x+,∴当3x+=π,即x=时,g(x)max=4.20.解:(1)∵2a cos B=2c-b,∴2sin A cos B=2sin C-sin B.又sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B,∴2cos A sin B=sin B.在△ABC中,sin B≠0,故cos A=.∵0<A<π,∴A=.(2)△ABC是等边三角形,理由如下:由(1)可知A=,则sin A=,故S△ABC=bc sin A=,即bc=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A,可得b2+c2=6,解得c=,b=,故△ABC是等边三角形.21.解:(1)由f(x)=x3+ax2-x+c,得f'(x)=3x2+2ax-1.当x=时,得a=f'=3×+2a×-1,解得a=-1.(2)由(1)可知,f(x)=x3-x2-x+c,则f'(x)=3x2-2x-1=3(x-1),由f'(x)>0,得x<-或x>1;由f'(x)<0,得-<x<1.所以f(x)的单调递增区间是和(1,+∞),f(x)的单调递减区间是.(3)函数g(x)=(f(x)-x3)·e x=(-x2-x+c)·e x,有g'(x)=(-2x-1)e x+(-x2-x+c)e x=(-x2-3x+c-1)e x,因为函数g(x)在x∈[-3,2]上单调递增,所以h(x)=-x2-3x+c-1≥0在x∈[-3,2]上恒成立.故只要h(x)在[-3,2]上的最小值h(2)≥0即可,解得c≥11,所以c的取值范围是[11,+∞).22.解:(1)因为f'(x)=x-(x>0),又f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b,所以解得a=2,b=-2ln 2.(2)若函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,则f'(x)=x-≥0在(1,+∞)上恒成立,即a≤x2在(1,+∞)上恒成立,所以a≤1.(3)当a=0时,f(x)在定义域(0,+∞)上恒大于0,此时方程无解.当a<0时,f'(x)=x->0在(0,+∞)上恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上为增函数.因为f(1)=>0,f()=-1<0,所以方程有唯一解.当a>0时,f'(x)=x-.因为当x∈(0,)时,f'(x)<0,则f(x)在(0,)上为减函数;当x∈(,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在(,+∞)上为增函数.所以当x=时,f(x)有极小值,即最小值为f()=a-a ln a(1-ln a).当a∈(0,e)时,f()=a(1-ln a)>0,方程无解;当a=e时,f()=a(1-ln a)=0,此方程有唯一解x=.当a∈(e,+∞)时,f()=a(1-ln a)<0,因为f>0,且>1,所以方程f(x)=0在区间(0,)上有唯一解.因为当x>1时,(x-ln x)'>0,所以x-ln x>1,所以x>ln x.所以f(x)=x2-a ln x>x2-ax.因为2a>>1,所以f(2a)>(2a)2-2a2=0,所以方程f(x)=0在区间(,+∞)上有唯一解.所以方程f(x)=0在区间(e,+∞)上有两解.综上,当a∈[0,e)时,方程无解;当a<0或a=e时,方程有唯一解;当a>e时,方程有两解.。

综合测试卷(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若集合A={x|log2(2x+1)<1},集合B={x|1<2x<4},则A∩B=()A. B. C.(0,2) D.2.(2017安徽安庆二模)设i为虚数单位,复数z满足=1-i,则复数z=()A.2iB.-2iC.iD.-i3.若椭圆=1(a>b>0)的离心率为,则双曲线=1的离心率是()A.2B.C.D.34.设直线y=x+b是曲线y=ln x的一条切线,则b的值为()A.ln 2-1B.ln 2-2C.2ln 2-1D.2ln 2-25.设a∈R,则“a=1”是“f(x)=ln为奇函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.(2017湖南岳阳一模)一程序框图如图所示,如果输出的函数值在区间[1,2]上,那么输入实数x 的取值范围是()A.(-∞,0)B.[-1,0]C.[1,+∞)D.[0,1]7.已知各项均为正数的等比数列{a n},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A.5B.7C.6D.48.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积等于()A.10 cm3B.20 cm3C.30 cm3D.40 cm39.已知等差数列的前n项和为S n,且S1 006>S1 008>S1 007,则满足S n S n-1<0的正整数n为()A.2 015B.2 013C.2 014D.2 01610.已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上,且cos A=,BC=1,AC=3,三棱锥O-ABC的体积为,则球O的表面积为()A.36πB.16πC.12πD.11.在△ABC中,AB=3,AC=4,∠BAC=60°,若P是△ABC所在平面内一点,且AP=2,则的最大值为()A.10B.12C.10+2D.812.已知函数f(x)的导函数为f'(x),对任意x∈R都有f'(x)>f(x)成立,则()A.3f(ln 2)>2f(ln 3)B.3f(ln 2)=2f(ln 3)C.3f(ln 2)<2f(ln 3)D.3f(ln 2)与2f(ln 3)的大小不确定二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.用系统抽样的方法从300名学生中抽取容量为20的样本,将300名学生从1~300编号,按编号顺序平均分成20组,若第16组抽出的号码为231,则第1组中用抽签法确定的号码是.14.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种.则该网店(1)第一天售出但第二天未售出的商品有种;(2)这三天售出的商品最少有种.15.若实数x,y满足条件则2x+y的最大值为.16.已知点A(0,3),若圆C:(x-a)2+(x-2a+4)2=1上存在点M,使|MA|=2|MO|,则圆心C的横坐标a 的取值范围为.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(12分)已知a=(sin 2x,2cos2x-1),b=(sin θ,cos θ)(0<θ<π),函数f(x)=a·b的图象经过点.(1)求θ及f(x)的最小正周期;(2)当x∈时,求f(x)的最大值和最小值.18.(12分)某班同学利用国庆节进行社会实践,对年龄在区间[25,55]上的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:组数分组低碳族的人占本组的频(1)补全频率分布直方图并求n,a,p的值;(2)从年龄段[40,50)的“低碳族”中采用分层抽样的方法抽取6人参加户外低碳体验活动,其中选取2人作为领队,求选取的2名领队中恰有1人年龄在年龄段[40,45)的概率.19.(12分)如图,四边形BCDE为矩形,平面ABC⊥平面BCDE,AC⊥BC,AC=CD=BC=2,F是AD的中点.(1)求证:AB∥平面CEF;(2)求点A到平面CEF的距离.20.(12分)设椭圆C:=1(a>b>0)的离心率e=,右焦点到直线=1的距离d=,O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程;(2)过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C分别交于A,B两点,证明:点O到直线AB的距离为定值,并求弦AB长度的最小值.21.(12分)设函数f(x)=-2x2+ax-ln x(a∈R),g(x)=+3.(1)若函数f(x)在定义域内单调递减,求实数a的取值范围;(2)若对任意x∈(0,e),都有唯一的x0∈[e-4,e],使得g(x)=f(x0)+2成立,求实数a的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4—4:坐标系与参数方程]22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,过点P作倾斜角为α的直线l与曲线C:(x-1)2+(y-2)2=1相交于不同的两点M,N.(1)写出直线l的参数方程与曲线C的极坐标方程;(2)求的取值范围.[选修4—5:不等式选讲]23.(10分)已知函数f(x)=|x-2|+2|x+a|(a>0).(1)当a=1时,求不等式f(x)>8的解集;(2)若不等式f(x)≥3在区间(-∞,+∞)内恒成立,求实数a的取值范围.答案：1.A解析:∵A={x|log2(2x+1)<1}=,B={x|1<2x<4}={x|0<x<2},∴A∩B=,故选A.2.C解析:∵=1-i,∴z==i.故选C.3.C解析:∵,a2=b2+c2,∴,即.在双曲线=1中,由,即,可得,故所求的离心率e=.故选C.4.A解析:设切点为(m,n),则n=ln m.函数y=ln x的导数为y'=,可得切线的斜率为,则,解得m=2,则n=ln 2,故b=n-m=ln 2-1.故选A.5.C解析:若a=1,则f(x)=ln=ln.故函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),关于原点对称.又f(-x)+f(x)=ln+ln=ln=ln 1=0,∴函数f(x)是奇函数,即充分性成立.若f(x)=ln为奇函数,则f(-x)+f(x)=ln+ln=0,化为(a-1)[(a+1)(x2-1)+4]=0,此式对于定义域内的任意x都成立,故a=1, 即必要性成立.故“a=1”是“f(x)=ln为奇函数”的充要条件.故选C.6.D解析:根据题意,得当x∈[-2,2]时,f(x)=2x,∴1≤2x≤2,∴0≤x≤1;当x∉[-2,2]时,f(x)=3,不符合题意,∴x的取值范围是[0,1].7.A解析:∵a1a2a3=5,∴=5.∵a7a8a9=10,∴=10.又=a2a8,∴=50.∴a4a5a6==5,故选A.8.B解析:由三视图可知该几何体为三棱柱ABC-DEF削去一个三棱锥A-BCD,如图.因为棱柱的高为5,底面为直角三角形,且直角三角形的两直角边长分别为3,4, 所以几何体的体积V=×3×4×5-×3×4×5=20(cm3).故选B.9.A解析:由题意可得S1 008-S1 007>0,即a1 008>0.由S1 006>S1 008,得S1 008-S1 006<0,即a1 007+a1 008<0.故S2 015===2 015a1 008>0,S2 014==<0,因此满足S n<0的正整数n=2 015,故选A.10.B解析:由余弦定理得cos A=,解得AB=2.故AB2+BC2=AC2,即AB⊥BC.因此AC是平面ABC与球的截面圆的直径.作OD⊥平面ABC,则D为AC的中点.所以V O-ABC=S△ABC·OD=×2×1×OD=,所以OD=.所以OA==2.所以S球O=4π·OA2=16π.故选B.11.C解析:以点A为原点,边AC所在直线为x轴,建立如图所示平面直角坐标系,则A(0,0),B,C(4,0).设P(2cos θ,2sin θ),θ∈R,可得,=(4-2cos θ,-2sin θ),故(4-2cos θ)-2sin θ=-11cos θ-3sin θ+10=-2sin(θ+α)+10.其中α为锐角,且tan α=,θ∈R.故当sin(θ+α)=-1时,取最大值10+2.故选C.12.C解析:令g(x)=,则g'(x)=.因为对任意x∈R都有f'(x)>f(x),所以g'(x)>0,即g(x)在R上单调递增.又ln 2<ln 3,所以g(ln 2)<g(ln 3),即.所以,即3f(ln 2)<2f(ln 3),故选C.13.6解析:不妨设第1组抽到的号码为x.由于300名学生平均分成20组,故每组15人,则在第16组中应抽出的号码为15×15+x.即225+x=231,故x=6.14.(1)16(2)29解析:(1)由于前两天都售出的商品有3种,因此第一天售出但第二天未售出的商品有19-3=16种.(2)同理可知第三天售出但第二天未售出的商品有18-4=14种.当前两天都售出的3种商品与后两天都售出的4种商品有3种是一样的,剩下的1种商品在第一天未售出;且第三天售出但第二天未售出的14种商品都在第一天售出的商品中,此时商品总数最少,为29种.如图,分别用A,B,C表示第一、二、三天售出的商品种数.15.4解析:满足约束条件的平面区域如图阴影部分.由图可知,当x=1,y=2时,2x+y取到最大值4.16.解析:由圆C:(x-a)2+(x-2a+4)2=1,可知圆心C(a,2a-4).设M(x,y),∵|MA|=2|MO|,∴=2,得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4.∴点M在以D(0,-1)为圆心,以2为半径的圆D上.∵圆C与圆D有公共点,∴2-1≤CD≤2+1,即1≤≤3,即解得0≤a≤.17.解:(1)∵f(x)=a·b=sin 2x sin θ+cos 2x cos θ=cos(2x-θ),∴f(x)的最小正周期为T=π.∵y=f(x)的图象经过点,∴cos=1.又0<θ<π,∴θ=.(2)由(1)得f(x)=cos.∵-≤x≤,∴-≤2x-.当2x-=0,即x=时,f(x)取得最大值1.当2x-=-,即x=-时,f(x)取得最小值-.18.解:(1)因为第二组的频率为1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3,所以第二组的=0.06.补全频率分布直方图如下.因为第一组的人数为=200,频率为0.04×5=0.2,所以n==1 000.又因为第二组的频率为0.3,所以第二组的人数为1 000×0.3=300,所以p==0.65.又第四组的频率为0.03×5=0.15,所以第四组的人数为1 000×0.15=150,所以a=150×0.4=60.(2)因为年龄段[40,45)的“低碳族”与年龄段[45,50)的“低碳族”的比值为60∶30=2∶1,所以采用分层抽样的方法抽取6人,年龄段[40,45)中有4人,年龄段[45,50)中有2人.设年龄段[40,45)中的4人为a,b,c,d,年龄段[45,50)中的2人为m,n,则选取2人作为领队的有(a,b),(a,c),(a,d),(a,m),(a,n),(b,c),(b,d),(b,m),(b,n),(c,d),(c,m),(c,n),(d,m),(d,n),(m,n),共15种;其中恰有1人年龄在年龄段[40,45)的有(a,m),(a,n),(b,m),(b,n),(c,m),(c,n),(d,m),(d,n),共8种.故选取的2名领队中恰有1人年龄在年龄段[40,45)的概率为.19.(1)证明:如图,连接BD,交CE于点H,连接FH.∵四边形BCDE为矩形,∴H是线段BD的中点.又点F是线段AD的中点,∴FH是△ABD的中位线.∴FH∥AB.又FH⊂平面CEF,AB⊄平面CEF,∴AB∥平面CEF.(2)解:设A到平面CEF的距离为d,则V A-CEF=dS△CEF=|DE|·S△ACF.由题意可知CF=,CE=2,EF=3,则CF⊥EF,故S△CEF=×3=3,则d=,即点A到平面CEF的距离是.20.解:(1)由e=,即a=2c,故b=c.由右焦点到直线=1的距离为d=,得,解得a=2,b=.所以椭圆C的方程为=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+m,联立直线AB:y=kx+m与椭圆=1,消去y得3x2+4(k2x2+2kmx+m2)-12=0,化简得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.则x1+x2=-,x1x2=.∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0.∴x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0,即(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,∴(k2+1)+m2=0,整理得7m2=12(k2+1).∴点O到直线AB的距离d=为定值.∵OA⊥OB,∴OA2+OB2=AB2≥2OA·OB.当且仅当OA=OB时取“=”号.由d·AB=OA·OB得d·AB=OA·OB≤,∴AB≥2d=,即弦AB的长度的最小值是.21.解:(1)∵f'(x)=,且f(x)在定义域内单调递减,∴f'(x)≤0在(0,+∞)内恒成立,即4x2-ax+1≥0在(0,+∞)内恒成立.∴Δ=a2-4×4×1≤0,即-4≤a≤4;或即a<-4.综上可知,a≤4.(2)∵g'(x)=e1-x(1-x),∴g(x)在(0,1)内单调递增,在[1,e)内单调递减.又g(0)=3,g(1)=4,g(e)=e2-e+3>3,∴g(x)的值域为(3,4].记h(x)=f(x)+2x2=ax-ln x,m=g(x),原问题等价于∀m∈(3,4],存在唯一的x0∈[e-4,e],使得h(x0)=m成立.∵h'(x)=a-,x∈[e-4,e].①当a≤时,h'(x)≤0恒成立,h(x)单调递减,由h(x)max=h(e-4)=a e-4+4≥4,h(x)min=h(e)=a e-1≤3,解得0≤a≤;②当a≥e4时,h'(x)≥0恒成立,h(x)单调递增,h(x)min=h(e-4)=a e-4+4>4,不符合题意,舍去;③当<a<e4时,h(x)在上单调递减,在上单调递增,且h(e-4)=a e-4+4>4,h(e)=a e-1,要满足条件,则a e-1≤3,故<a≤.综上所述,a的取值范围是.22.解:(1)由题意可知,直线l的参数方程为(t为参数).由(x-1)2+(y-2)2=1得,x2+y2-2x-4y+4=0.将y=ρsin θ,x=ρcos θ,ρ2=x2+y2代入得,ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.(2)把直线l的参数方程(t为参数)代入x2+y2-2x-4y+4=0,得t2+(2cos α-sin α)t+=0.由Δ>0,得|2cos α-sin α|>1.故=4|2cos α-sin α|∈(4,4].23.解:(1)当a=1时,f(x)=|x-2|+2|x+1|,①当x≤-1时,f(x)=2-x-2(x+1)=-3x.由f(x)>8,得-3x>8,解得x<-;②当-1<x≤2时,f(x)=2-x+2(x+1)=x+4.由f(x)>8,得x>4,此时不等式无解;③当x>2时,f(x)=x-2+2(x+1)=3x.由f(x)>8,得3x>8,解得x>.综上,不等式f(x)>8的解集为.(2)∵a>0,∴-a<0<2.∴f(x)=|x-2|+2|x+a|=∴f(x)min=f(-a)=a+2.∴a+2≥3,解得a≥1.∴实数a的取值范围是[1,+∞).。

高考大题专项练六高考中的概率与统计1.为了研究某学科成绩是否与学生性别有关,采用分层抽样的方法,从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩,得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图,规定80分以上为优分(含80分).(1)①请根据图示,将2×2列联表补充完整;②据此列联表判断,能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“该学科成绩与性别有关”?(2)将频率视作概率,从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩,求至少2名学生的成绩为优分的概率.附:K2=-.2.为了了解某地区某种农产品的年产量x(单位:吨)对价格y(单位:千元/吨)和利润z的影响,对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表:(1)求y关于x的线性回归方程x+;(2)若每吨该农产品的成本为2千元,假设该农产品可全部卖出,预测当年产量为多少时,年利润z取到最大值?(保留两位小数)参考公式:-----.3.(2017江苏,23)已知一个口袋中有m个白球,n个黑球(m,n∈N*,n≥2),这些球除颜色外完全相同.现将口袋中的球随机地逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n的抽屉内,其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k=1,2,3,…,m+n).123…m+n(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明:E(X)<-.4.某制药厂对A,B两种型号的产品进行质量检测,从检测的数据中随机抽取10 次,记录如表(数值越大表示产品质量越好):(1)画出A,B两种型号的产品数据的茎叶图;若要从A,B两种型号的产品中选一种型号产品投入生产,从统计学角度考虑,你认为生产哪种型号产品合适?简单说明理由;(2)若将频率视为概率,对A种型号产品今后的三次检测数据进行预测,记这三次数据中不低于8.5 的次数为ξ,求ξ的分布列及均值E(ξ).5.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费x i和年销售量y i(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.表中w i=w i.(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题:①当年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?②当年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(u n,v n),其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为--.-6.(2017全国Ⅰ,理19)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:经计算得x i =9.97,s=--≈0.212,其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸,i=1,2, (16)用样本平均数 作为μ的估计值 ,用样本标准差s 作为σ的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除( -3 +3)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01). 附:若随机变量Z 服从正态分布N (μ,σ2),则P (μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.997 4. 0.997 416≈0.959 2, ≈0.09. 答案：1.解 (1)①根据图示,将2×2列联表补充完整如下:②K 2的观测值k= -= -=3.125,因为3.125>2.706,所以能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“该学科成绩与性别有关”;(2)将男女生成绩的优分频率f==0.4视作概率,设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中,优分人数为X ,则X 服从二项分布B (3,0.4),故所求概率为P (X=2)+P (X=3)= ×0.42×0.6+×0.43=0.352.2.解 (1) =3, =5,x i =15,y i =25,x i y i =62.7,=55,∴=-1.23,=8.69.∴y 关于x 的线性回归方程为=8.69-1.23x.(2)∵z=x (8.69-1.23x )-2x=-1.23x 2+6.69x.∴当x ≈2.72时,年利润z 最大.3.解 (1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为:p=- -.(2)随机变量X 的概率分布为:随机变量X 的期望为:E (X )=- --- -.所以E (X ) <-- -= --- -=-(1+ - -- +…+ - -)=-- -- --+…+ - -)=---+…+ - -)=…=-- -- -)=- - --,即E (X )<-.4.解 (1)A,B 两种型号的产品数据的茎叶图如图,∵(7.8+7.9+8.3+8.3+8.4+8.5+8.5+8.9+9.0+9.4)=8.5,(7.5+8.0+8.1+8.2+8.5+8.5+8.5+9.0+9.2+9.5)=8.5,[(-0.7)2+(-0.6)2+(-0.2)2+(-0.2)2+(-0.1)2+0+0+0.42+0.52+0.92]=0.216,[(-1)2+(-0.5)2+(-0.4)2+(-0.3)2+0+0+0+0.52+0.72+1]=0.324, ∵,∴从统计学角度考虑,生产A种型号的产品合适.(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.A种型号的产品不低于8.5 的频率为,若将频率视为概率,则ξ~B.∴P(ξ=k)=--,k=0,1,2,3.∴ξ的分布列为:∴E(ξ)=0×+1×+2×+3×或5.解(1)由散点图可以判断,y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.(2)令w=,先建立y关于w的线性回归方程.因为---==68,=563-68×6.8=100.6,所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w,因此y关于x的回归方程为=100.6+68.(3)①由(2)知,当x=49时,年销售量y的预报值=100.6+68=576.6,年利润z的预报值=576.6×0.2-49=66.32.②根据(2)的结果知,年利润z的预报值=0.2(100.6+68)-x=-x+13.6+20.12.所以当=6.8,即x=46.24时,取得最大值.故当年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.6.解(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为0.997 4,从而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为0.002 6,故X~B(16,0.002 6).因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997 416≈0.040 8.X的数学期望为EX=16×0.002 6=0.041 6.(2)(ⅰ)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.002 6,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.040 8,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ⅱ)由=9.97,s≈0.212,得μ的估计值为=9.97,σ的估计值为=0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(-3+3)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.剔除(-3+3)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为(16×9.97-9.22)=10.02,因此μ的估计值为10.02.=16×0.2122+16×9.972≈1 591.134,剔除(-3+3)之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为(1 591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,因此σ的估计值为≈0.09.。

单元质检二函数(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知函数f(x)=则f(f(1))=()A.2B.0C.-4D.-62.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)内单调递增的是()A.y=-B.y=-x2C.y=e-x+e xD.y=|x+1|3.(2017福建名校模拟)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0]上f(x)是减函数.若f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是()A.(-∞,2)B.(-2,2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(2,+∞)4.已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>时,f=f,则f(6)=()A.-2B.-1C.0D.25.设a=log32,b=ln 2,c=,则()A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a6.若方程lo(a-2x)=2+x有解,则a的最小值为()A.2B.1C.D.7.已知函数f(x)=-sin x,则f(x)在[0,2π]上的零点个数为()A.1B.2C.3D.48.已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x+1)=f(1-x),且当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),则f(31)=()A.0B.1C.-1D.29.(2017山东潍坊一模)已知函数f(x)=log a x(0<a<1),则函数y=f(|x|+1)的图象大致为()10.(2017全国Ⅰ,文9)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则()A.f(x)在区间(0,2)内单调递增B.f(x)在区间(0,2)内单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称11.某公司租地建仓库,已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比.据测算,如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1,y2分别是2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站()A.5千米处B.4千米处C.3千米处D.2千米处12.(2017天津,文8)已知函数f(x)=设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立,则a的取值范围是()A.[-2,2]B.[-2,2]C.[-2,2]D.[-2,2]二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知p:函数f(x)=|x+a|在区间(-∞,-1)内是单调函数,q:函数g(x)=log a(x+1)(a>0,且a≠1)在区间(-1,+∞)内是增函数,则p是q的.(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)14.已知奇函数f(x)满足对任意x∈R都有f(x+6)=f(x)成立,且f(1)=1,则f(2 015)+f(2 016)=.15.已知函数f(x)=的图象关于原点对称,g(x)=lg(10x+1)+bx是偶函数,则a+b=.16.已知直线y=mx与函数f(x)=的图象恰好有三个不同的公共点,则实数m的取值范围是.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知函数f(x)=m+log a x(a>0,且a≠1)的图象过点(8,2)和(1,-1).(1)求函数f(x)的解析式;(2)令g(x)=2f(x)-f(x-1),求g(x)的最小值及取得最小值时x的值.18.(12分)已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设f(x)=.(1)求a,b的值;(2)若当x∈[-1,1]时,不等式f(2x)-k·2x≥0有解,求实数k的取值范围.19.(12分)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x(x∈N*)千件,需另投入成本为C(x)万元,当年产量不足80千件时,C(x)=x2+10x(万元);当年产量不少于80千件时,C(x)=51x+-1 450(万元).通过市场分析,当每件售价为500元时,该厂年内生产的商品能全部销售完.(1)写出年利润L(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?20.(12分)已知二次函数y=f(x)在x=处取得最小值-(t≠0),且f(1)=0.(1)求y=f(x)的表达式;(2)若函数y=f(x)在区间上的最小值为-5,求此时t的值.21.(12分)已知函数f(x)=lg,其中x>0,a>0.(1)求函数f(x)的定义域;(2)若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围.22.(12分)已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)<0,且f(1)=-2.(1)判断f(x)的奇偶性;(2)求f(x)在区间[-3,3]上的最大值;(3)解关于x的不等式f(ax2)-2f(x)<f(ax)+4.答案：1.C解析:函数f(x)=则f(f(1))=f(2-4)=f(-2)=-4.故选C.2.C解析:选项A中函数是奇函数,不合题意;选项B中函数在区间(0,+∞)内单调递减,不合题意;选项D中函数为非奇非偶函数,不合题意;故选C.3.B解析:由题意知f(-2)=f(2)=0,当x∈(-2,0]时,f(x)<f(-2)=0.由对称性知,当x∈[0,2)时,f(x)为增函数,f(x)<f(2)=0,故x∈(-2,2)时,f(x)<0,故选B. 4.D解析:由题意可知,当-1≤x≤1时,f(x)为奇函数;当x>时,由f=f可得f(x+1)=f(x).所以f(6)=f(5×1+1)=f(1).而f(1)=-f(-1)=-[(-1)3-1]=2.所以f(6)=2.故选D.5.C解析:因为a=log32=,b=ln 2=,又log23>log2e>1,所以a<b.又c=>2=log24>log23,所以c<a.综上c<a<b,故选C.6.B解析:若方程lo(a-2x)=2+x有解,则=a-2x有解,即+2x=a有解.又+2x≥1,当且仅当=2x,即x=-1时,等号成立,故a的最小值为1,故选B.7.B解析:函数f(x)=-sin x在[0,2π]上的零点个数为函数y=的图象与函数y=sin x的图象在[0,2π]上的交点个数,在同一坐标系内画出两个函数的部分图象如图所示,由图象可知,两个函数的图象在区间[0,2π]上有两个不同的交点,故选B.8.C解析:∵函数f(x)的定义域为R,且f(-x)=-f(x),∴函数f(x)是奇函数.∴f(x+1)=f(1-x)=-f(x-1),即f(x+2)=-f(x).∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即函数f(x)是周期为4的函数.∵当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),∴f(31)=f(32-1)=f(-1)=-f(1)=-log22=-1,故选C.9.A解析:由题意知,当x=0时,y=f(1)=0,排除C,D;当x=1时,y=f(2)<0,排除B,故选A.10.C解析:f(x)=ln x+ln(2-x)=ln(-x2+2x),x∈(0,2).当x∈(0,1)时,x增大,-x2+2x增大,ln(-x2+2x)增大,当x∈(1,2)时,x增大,-x2+2x减小,ln(-x2+2x)减小,即f(x)在(0,1)单调递增,在(1,2)单调递减,故排除选项A,B;因为f(2-x)=ln(2-x)+ln[2-(2-x)]=ln(2-x)+ln x=f(x),所以y=f(x)的图象关于直线x=1对称,故排除选项D.故选C.11.A解析:设仓库到车站的距离为x km,由题意,得y1=,y2=k2x,其中x>0.由当x=10时,两项费用y1,y2分别是2万元和8万元,可得k1=20,k2=,故y1+y2=x≥2=8,当且仅当x,即x=5时取等号,故选A.12.A解析:由f(x)=得f(x)>0在R上恒成立,∵关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立,∴关于x的不等式-f(x)≤+a≤f(x)在R上恒成立,即关于x的不等式--f(x)≤a≤f(x)-在R上恒成立.令p(x)=--f(x),则p(x)=当x<0时,p(x)<-2,当0≤x<1时,-<p(x)≤-2,当x≥1时,p(x)≤-2,当且仅当x=时取等号.综上所述,p(x)max=-2.令t(x)=f(x)-,则t(x)=当x<0时,t(x)>2,当0≤x<1时,2≤t(x)<,当x≥1时,t(x)≥2,当且仅当x=2时取等号.综上所述,t(x)min=2.∵关于x的不等式--f(x)≤a≤f(x)-在R上恒成立,∴-2≤a≤2.故选A.13.充要条件解析:由p成立,得a≤1,由q成立,得a>1,故p成立时a>1,即p是q的充要条件.14.-1解析:由f(x+6)=f(x),知函数f(x)是周期为6的函数.又函数f(x)是奇函数,所以f(2 015)=f(6×336-1)=f(-1)=-f(1)=-1,f(2 016)=f(6×336+0)=f(0)=0,所以f(2 015)+f(2 016)=-1.15.解析:∵f(x)=的图象关于原点对称,∴函数f(x)是奇函数,∴f(0)=0,得a=1.∵g(x)=lg(10x+1)+bx是偶函数,∴g(-x)=g(x)对任意的x都成立,∴lg(10-x+1)-bx=lg(10x+1)+bx,∴lg=lg(10x+1)+2bx,∴-x=2bx对一切x恒成立,∴b=-,∴a+b=.16.(,+∞)解析:作出函数f(x)=的图象,如图所示.直线y=mx的图象是绕坐标原点旋转的动直线,当斜率m≤0时,直线y=mx与函数f(x)的图象只有一个公共点;当m>0时,直线y=mx始终与函数y=2-(x≤0)的图象有一个公共点,故要使直线y=mx与函数f(x)的图象有三个公共点,必须使直线y=mx与函数y=x2+1(x>0)的图象有两个公共点,即方程mx=x2+1在x>0时有两个不相等的实数根,即方程x2-2mx+2=0的判别式Δ=4m2-4×2>0,且2m>0,解得m>.故所求实数m的取值范围是(,+∞).17.解:(1)由解得故函数解析式为f(x)=-1+log2x.(2)g(x)=2f(x)-f(x-1)=2(-1+log2x)-[-1+log2(x-1)]=log2-1(x>1).因为=(x-1)++2≥2+2=4,当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立,函数y=log2x在(0,+∞)内单调递增,所以log2-1≥log24-1=1,故当x=2时,函数g(x)取得最小值1.18.解:(1)g(x)=a(x-1)2+1+b-a.因为a>0,所以g(x)在区间[2,3]上是增函数,故解得(2)由已知可得f(x)=x+-2,所以f(2x)-k·2x≥0可化为2x+-2≥k·2x,可化为1+-2·≥k.令t=,则k≤t2-2t+1.因为x∈[-1,1],所以t∈.记h(t)=t2-2t+1,因为t∈,所以h(t)max=1.所以k≤1,即实数k的取值范围是(-∞,1].19.解:(1)当0<x<80,x∈N*时,L(x)=x2-10x-250=-x2+40x-250;当x≥80,x∈N*时,L(x)=-51x-+1 450-250=1 200-,∴L(x)=(2)当0<x<80,x∈N*时,L(x)=-(x-60)2+950,∴当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=950.当x≥80,x∈N*时,L(x)=1 200-≤1 200-2=1 200-200=1 000,∴当x=,即x=100时,L(x)取得最大值L(100)=1 000>950.综上所述,当x=100时,L(x)取得最大值1 000,即年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.20.解:(1)设f(x)=a(a>0).因为f(1)=0,所以(a-1)=0.又因为t≠0,所以a=1,所以f(x)=(t≠0).(2)因为f(x)=(t≠0),所以当<-1,即t<-4时,f(x)在上的最小值f(x)min=f(-1)==-5,所以t=-;当-1≤,即-4≤t≤-1时,f(x)在上的最小值f(x)min=f=-=-5,所以t=±2(舍去);当,即t>-1时,f(x)在上的最小值f(x)min=f=-5,所以t=-(舍去).综上,得t=-.21.解:(1)由x+-2>0,得>0.因为x>0,所以x2-2x+a>0.当a>1时,x2-2x+a>0恒成立,定义域为(0,+∞);当a=1时,定义域为{x|x>0,且x≠1};当0<a<1时,定义域为{x|0<x<1-或x>1+}.(2)对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,即x+-2>1对x∈[2,+∞)恒成立,故a>3x-x2对x∈[2,+∞)恒成立.而h(x)=3x-x2=-在x∈[2,+∞)内是减函数,于是h(x)max=h(2)=2.故a>2,即a的取值范围是{a|a>2}.22.解:(1)取x=y=0,则f(0+0)=2f(0),即f(0)=0.取y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x)对任意x∈R恒成立,故函数f(x)为奇函数.(2)任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2,则x2-x1>0.∴f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,∴f(x2)<-f(-x1).又f(x)为奇函数,∴f(x1)>f(x2).∴f(x)在(-∞,+∞)内是减函数.∴对任意x∈[-3,3],恒有f(x)≤f(-3).∵f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-2×3=-6,∴f(-3)=-f(3)=6,∴f(x)在[-3,3]上的最大值为6.(3)∵f(x)为奇函数,∴整理原不等式得f(ax2)+2f(-x)<f(ax)+f(-2).∴f(ax2-2x)<f(ax-2).∵f(x)在(-∞,+∞)内是减函数,∴ax2-2x>ax-2,即(ax-2)(x-1)>0.∴当a=0时,x∈(-∞,1);当a=2时,x∈{x|x≠1,且x∈R};当a<0时,x∈;当0<a<2时,x∈;当a>2时,x∈.综上所述,当a=0时,原不等式的解集为(-∞,1); 当a=2时,原不等式的解集为{x|x≠1,且x∈R}; 当a<0时,原不等式的解集为;当0<a<2时,原不等式的解集为;当a>2时,原不等式的解集为.。

高考大题专项练三高考中的数列1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公差d≠0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列. (1)求数列{a n}的通项公式;是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{b n}的前n项和T n.(2)设b na n2.(2017江西宜春中学3月模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a3=5,S5=3S3-2.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=2a n,求数列{b n}的前n项和T n.3.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,等比数列{b n}的公比为1,满足S3=15,a1+2b1=3,a2+4b2=6.2(1)求数列{a n},{b n}的通项公式a n,b n;(2)求数列{a n·b n}的前n项和T n.4.已知数列{a n }的首项a 1=23,a n+1=2a na n +1(n ∈N *). (1)求证:数列 1a n-1 是等比数列;(2)求数列 nn的前n 项和S n .5.(2017江苏,19)对于给定的正整数k,若数列{a n}满足:a n-k+a n-k+1+…+a n-1+a n+1+…+a n+k-1+a n+k=2ka n 对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{a n}是“P(k)数列”.(1)证明:等差数列{a n}是“P(3)数列”;(2)若数列{a n}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明{a n}是等差数列.6.设S n为等差数列{a n}的前n项和,已知S3=a7,a8-2a3=3.(1)求a n;(2)设b n=1S n ,数列{b n}的前n项和为T n,求证:T n>34−1n+1(n∈N*).7.已知正项数列{a n}的首项a1=1,前n项和S n满足a n=n+S n-1(n≥2).(1)求证:{S n}为等差数列,并求数列{a n}的通项公式;的前n项和为T n,若对任意的n∈N*,不等式4T n<a2-a恒成立,求实数a的取值范围.(2)记数列1n n+1的等比数列,其前n项和为S n,且1-a2是a1与1+a3的等比中项,数列{b n}是8.已知数列{a n}是公比为12等差数列,其前n项和T n满足T n=nλ·b n+1(λ为常数,且λ≠1),其中b1=8.1(1)求数列{a n }的通项公式及λ的值; (2)比较11+12+13+…+1n 与1S n 的大小.答案：1.解 (1)依题意得,3a 1+3×22d +5a 1+4×52d =50,(a 1+3d )2=a 1(a 1+12d ),解得 a 1=3,d =2.故a n =a 1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,即a n =2n+1. (2)由题意可知,bn a n=3n-1, 则b n =a n ·3n-1=(2n+1)·3n-1.故T n =3+5×3+7×32+…+(2n+1)·3n-1,① 3T n =3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)·3n-1+(2n+1)·3n ,②①-②得-2T n =3+2×3+2×32+…+2·3n-1-(2n+1)3n=3+2·3(1-3n -1)1-3-(2n+1)3n=-2n·3n , 因此,T n =n·3n .2.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ,∵a 3=5,S 5=3S 3-2. ∴a 3=a 1+2d =5,5a 1+10d =3(3a 1+3d )-2,1∴a 1=1,d =2,∴a n =2n-1.(2)∵b n =2a n =22n-1,∴b n +1n=22(n +1)-122n -1=22n +122n -1=22=4,b 1=2.∴数列{b n }是等比数列,公比为4,首项为2.∴T n =2(1-4n )1-4=23(4n -1).3.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ,所以 3a 1+3d =15,a 1+2b 1=3,a 1+d +2b 1=6,解得a 1=2,d=3,b 1=12,所以a n =3n-1,b n = 12 n.(2)由(1)知T n =2×1+5× 1 2+8× 1 3+…+(3n-4) 1 n -1+(3n-1) 1 n,①①×12,得12T n =2× 12 2+5× 12 3+…+(3n-4) 12 n +(3n-1)· 12n +1,②①-②,得1T n =2×1+3× 1 2+ 1 3+…+ 1 n -(3n-1)· 1n +1=1+3×14 1- 12n -1 1-12-(3n-1)· 1n +1, 整理,得T n =-(3n+5) 12n+5.4.(1)证明 ∵a n+1=2a nan +1, ∴1an +1=a n +12a n=12+12·1a n.1∴1n +1-1=1 1n-1 .又a 1=2,∴11-1=1.∴数列 1a n-1 是以12为首项,以12为公比的等比数列.(2)解 由(1)知1a n-1=12·12n -1=12n ,则1a n=12n+1. 故n n=nn +n.设T n =12+222+323+…+n2n ,①则12T n =122+223+…+n -12n +n 2n +1, ②由①-②,得1T n =1+122+…+1n −n 2n +1=12 1-12n 1-12−n 2n +1=1-1n −n 2n +1, ∴T n =2-12n -1−n2n . 又1+2+3+…+n=n (n +1)2, ∴数列 na n的前n 项和S n =2-2+n 2n +n (n +1)2=n 2+n +42−n +22n. 5.证明 (1)因为{a n }是等差数列,设其公差为d ,则a n =a 1+(n-1)d ,从而,当n ≥4时,a n-k +a n+k =a 1+(n-k-1)d+a 1+(n+k-1)d=2a 1+2(n-1)d=2a n ,k=1,2,3, 所以a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n ,1 因此等差数列{a n}是“P(3)数列”.(2)数列{a n}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,因此,当n≥3时,a n-2+a n-1+a n+1+a n+2=4a n,①当n≥4时,a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n.②由①知,a n-3+a n-2=4a n-1-(a n+a n+1),③a n+2+a n+3=4a n+1-(a n-1+a n).④将③④代入②,得a n-1+a n+1=2a n,其中n≥4,所以a3,a4,a5,…是等差数列,设其公差为d'.在①中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2=a3-d',在①中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=a3-2d',所以数列{a n}是等差数列.6.(1)解设等差数列{a n}的公差为d,由题意,得3a1+3d=a1+6d,(a1+7d)-2(a1+2d)=3,解得a1=3, d=2.故a n=a1+(n-1)d=2n+1.(2)证明∵a1=3,d=2,∴S n=na1+n(n-1)2d=n(n+2).∴b n=1=11-1.∴T n=b1+b2+…+b n-1+b n=1 21-13+12-14+…+11 n-1-1n+1+1n-1n+2=1 21+12-1n+1-1n+2>1 21+12-1n+1-1n+1=3 4−1n+1,故T n>34−1n+1.7.解(1)因为a n=S n+S n-1,所以S n-S n-1=S n+S n-1,即S n−S n-1=1,所以数列{S n}是首项为S1=a1=1,公差为1的等差数列,得S n=n,所以a n=S n+S n-1=n+(n-1)=2n-1(n≥2),当n=1时,a1=1也适合,所以a n=2n-1.(2)因为1n n+1=1(2n-1)(2n+1)=112n-1-1,所以T n=121-13+13−15+…+12n-1−12n+1=121-12n+1.所以T n<12.要使不等式4T n<a2-a恒成立,只需2≤a2-a恒成立,解得a≤-1或a≥2,故实数a的取值范围是(-∞,-1]∪[2,+∞).8.解(1)由题意,得(1-a2)2=a1(a3+1),即1-12a12=a114a1+1,1 解得a 1=12.故a n = 12 n.设等差数列{b n }的公差为d , 又 T 1=λb2,T 2=2λb 3,即 8=λ(8+d ),16+d =2λ(8+2d ),解得 λ=12,d =8或 λ=1,d =0(舍去), 故λ=12.(2)由(1)知S n =1- 12 n,则12S n =12− 12 n +1≥14.①由(1)知T n =12nb n+1,当n=1时,T 1=b 1=12b 2,即b 2=2b 1=16, 故公差d=b 2-b 1=8, 则b n =8n ,又T n =n λ·b n+1, 故T n =4n 2+4n , 即1T n =14n (n +1)=14 1n -1n +1 . 因此,1T 1+1T 2+…+1T n1=1 41-12+12-13+…+1 n -1n+1=141-1n+1<14.②由①②可知1T1+1T2+…+1T n<12S n.。

绝密 ★ 启用前2019年高考（理科）数学总复习综合试题（二）总分：150分，时间：120分钟注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分． 1．i 是虚数单位，复数21－i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则a ＋b ＝( )A ．0B ．2C ．1D ．－22．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪x 24＋y 216＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．13．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2＜α＜0，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3等于( ) A ．－45B ．－35C ．45D ．354．为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为( )A ．150B ．180此卷只装订不密封级 姓名 准考证号 考场号 座位号C ．200D ．2805．执行如图所示的程序框图，若输出的S 值为－4，则条件框内应填写( )A ．i ＞3?B ．i ＜5?C ．i ＞4?D ．i ＜4?6．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面是正三角形，三棱柱的高为3，若P 是△A 1B 1C 1的中心，且三棱柱的体积为94，则P A 与平面ABC 所成的角大小是( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π37．函数f (x )＝2sin(πx )－11－x ，x ∈[－2,4]的所有零点之和为( )A ．2B ．4C ．6D ．88．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为( )A ．4 3B ．4 2C ．6D ．2 59．已知对任意平面向量AB →＝(x ，y )，把AB →绕其起点沿逆时针旋转θ角得到向量AP →＝(x cos θ－y sin θ，x sin θ＋y cos θ)，叫做把点B 绕点A 逆时针方向旋转角θ得到点P ，设平面内曲线C 上的每一点绕原点逆时针方向旋转π4后得到点的轨迹是曲线x 2－y 2＝2，则原来曲线C的方程是( )A ．xy ＝－1B ．xy ＝1C ．y 2－x 2＝2D ．y 2－x 2＝110．已知F 1、F 2分别为双曲线C ：x 24－y 25＝1的左、右焦点，P 为双曲线C 右支上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则△PF 1F 2外接圆的面积为( )A ．4π15B ．16π15C ．64π15D ．256π1511．如图．在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 、F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是( )A ．4B ．8C ．78D ．3412．《数学统综》有如下记载：“有凹线，取三数，小小大，存三角”．意思是说“在凹(或凸)函数(函数值为正)图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和大于最大的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”．现已知凹函数f (x )＝x 2－2x ＋2，在⎣⎡⎦⎤13，m 2－m ＋2上任取三个不同的点(a ，f (a ))，(b ，f (b ))，(c ，f (c ))，均存在以f (a )，f (b )，f (c )为三边长的三角形，则实数m 的取值范围为( )A ．[0,1]B ．⎣⎡⎭⎫0，22 C ．⎝⎛⎦⎤0，22 D ．⎣⎡⎦⎤22，2 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分． 13.⎝⎛⎭⎫x －2x 26展开式中第三项为________． 14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ＞0－2x －1，x ≤0，D 是由x 轴和曲线y ＝f (x )及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则z ＝x 2＋y 2＋2x ＋2y 在D 上的最小值为________．15．已知a n ＝⎠⎛0n (2x ＋1)d x ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，数列{b n }的通项公式为b n ＝n －8，则b n S n 的最小值为________．16．已知函数f (x )＝log 1e ⎝⎛⎭⎫x 2＋1e －⎪⎪⎪⎪x e ，则使得f (x ＋1)＜f (2x －1)成立x 的范围是________． 三、解答题：17．(12分)已知向量m ＝(sin x ，－1)，向量n ＝⎝⎛⎭⎫3cos x ，－12，函数f (x )＝(m ＋n )·m ． (1)求f (x )的最小正周期T ；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a ＝23，c ＝4，且f (A )恰是f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值，求A 和b ．18．(12分)《最强大脑》是大型科学竞技类真人秀节目，是专注传播脑科学知识和脑力竞技的节目．某机构为了了解大学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关，对某校的100名大学生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这100人中随机抽取1人抽到不喜欢《最强大脑》的大学生的概率为0.4 (1)请将上述列联表补充完整；判断是否有99.9%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关，并说明理由；(2)已知在被调查的大学生中有5名是大一学生，其中3名喜欢《最强大脑》，现从这5名大一学生中随机抽取2人，抽到喜欢《最强大脑》的人数为X，求X的分布列及数学期望．下面的临界值表仅参考：(参考公式：K2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d)19．(12分)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，平面AED⊥平面ABCD，AB＝2EA＝2ED，EF∥BD．(1)证明：AE⊥CD；(2)在棱ED上是否存在点M，使得直线AM与平面EFBD所成角的正弦值为63？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．20．(12分)如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M、N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1、C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点纵坐标从大到小依次为A、B、C、D．(1)设e ＝12，求|BC |与|AD |的比值；(2)若存在直线l ，使得BO ∥AN ，求椭圆离心率e 的取值范围．21．(12分)已知函数f (x )＝(ax ＋2)ln x －(x 2＋ax －a －1)(a ∈R )． (1)若函数f (x )的图象在x ＝e 处的切线的斜率为2e －2e ，求f (x )的极值；(2)当x ＞1时，f (x )的图象恒在x 轴下方，求实数a 的取值范围．以下两题请任选一题：选修4－4：坐标系与参数方程选讲22．(10分)在极坐标中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．选修4－5：不等式选讲23．(10分)(1)如果关于x的不等式|x＋3|＋|x－2|＜a的解集不是空集，求参数a的取值范围；(2)已知正实数a，b，且h＝min{a，ba2＋b2}，求证：0＜h≤22．2019年高考（理科）数学总复习综合试题（二）答案及解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分． 1．i 是虚数单位，复数21－i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则a ＋b ＝( )A ．0B ．2C ．1D ．－2解析：21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2(1＋i )2＝1＋i ，∵21－i＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∴a ＝b ＝1，∴a ＋b ＝2.故选B ． 答案：B2．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪x 24＋y 216＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：∵集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|x 24＋y 216＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，∴A ∩B 为椭圆：x 24＋y216＝1和指数函数y ＝3x 图象的交点构成的集合，如图可知其有两个不同交点，记为A 1、A 2，则A ∩B 的子集应为∅，{A 1}，{A 2}，{A 1，A 2}共四种，故选A ．答案：A3．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2＜α＜0，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3等于( ) A ．－45B ．－35C ．45D ．35解析：∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－435， ∴32sin α＋32cos α＝－435，∴32sin α＋12cos α＝－45， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝－45，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫α－π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝45.故选C ． 答案：C4．为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为( )A ．150B ．180C ．200D ．280解析：人数分配上有两种方式即1,2,2与1,1,3． 若是1,1,3，则有C 35×A 33＝60种；若是1,2,2，则有C 25C 23A 22×A 33＝90种，所以共有150种不同的方法．故选A ．答案：A5．执行如图所示的程序框图，若输出的S 值为－4，则条件框内应填写( )A ．i ＞3?B ．i ＜5?C ．i ＞4?D ．i ＜4?解析：模拟执行程序，可得i ＝1，S ＝10，满足判断框内的条件，第1次执行循环体，S ＝10－21＝8，i ＝2， 满足判断框内的条件，第2次执行循环体，S ＝8－22＝4，i ＝3， 满足判断框内的条件，第3次执行循环体，S ＝4－23＝－4，i ＝4，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出的S 值为－4，则条件框内应填写：i ＜4？，故选D ．答案：D6．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面是正三角形，三棱柱的高为3，若P 是△A 1B 1C 1的中心，且三棱柱的体积为94，则P A 与平面ABC 所成的角大小是( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π3解析：由题意设底面正△ABC 的边长为a ，过P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，则点O 为底面△ABC 的中心，故∠P AO 即为P A 与平面ABC 所成角，∵|OA |＝23×32a ＝33a ，|OP |＝3，又∵直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中体积为94，∴由直棱柱体积公式得V ＝34×a 2×3＝94，解得a ＝3，∴tan ∠P AO ＝333a ＝3，∴∠P AO ＝π3，∴P A 与平面ABC 所成的角为π3.故选C ．答案：C7．函数f (x )＝2sin(πx )－11－x ，x ∈[－2,4]的所有零点之和为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：令f (x )＝0得2sin(πx )＝11－x， 作出y ＝2sin πx 与y ＝11－x的函数图象，如图所示：由图象可知两图象在[－2,4]上共有8个交点，∴f (x )共有8个零点，又两图象都关于点(1,0)对称，∴8个交点两两关于点(1,0)对称，∴8个零点之和为4×2＝8.故选D ．答案：D8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为( )A ．4 3B ．4 2C ．6D ．2 5解析：利用“三线交汇得顶点”的方法，该几何体为三棱锥P -ABC ，如图所示，其中，正方体棱长为4，点P 是正方体其中一条棱的中点，则：AB ＝AC ＝4，PC ＝42＋22＝25，BC ＝42，AP ＝BP ＝42＋42＋22＝6， 所以最长棱为6.故选C ． 答案：C9．已知对任意平面向量AB →＝(x ，y )，把AB →绕其起点沿逆时针旋转θ角得到向量AP →＝(x cos θ－y sin θ，x sin θ＋y cos θ)，叫做把点B 绕点A 逆时针方向旋转角θ得到点P ，设平面内曲线C 上的每一点绕原点逆时针方向旋转π4后得到点的轨迹是曲线x 2－y 2＝2，则原来曲线C的方程是( )A ．xy ＝－1B ．xy ＝1C ．y 2－x 2＝2D ．y 2－x 2＝1解析：设平面内曲线C 上的点P (x ，y )，则其绕原点沿逆时针方向旋转π4后得到点P ′⎝⎛⎭⎫22(x －y )，22(x ＋y )，∵点P ′在曲线x 2－y 2＝2上，∴⎣⎡⎦⎤22(x －y )2－⎣⎡⎦⎤22(x ＋y )2＝2，整理得xy ＝－1.故选A ． 答案：A10．已知F 1、F 2分别为双曲线C ：x 24－y 25＝1的左、右焦点，P 为双曲线C 右支上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则△PF 1F 2外接圆的面积为( )A ．4π15B ．16π15C ．64π15D ．256π15解析：双曲线C ：x 24－y 25＝1的两个焦点F 1(－3,0)，F 2(3,0)，|F 1F 2|＝6，a ＝2，由|PF 1|＝2|PF 2|，设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝2x ，由双曲线的性质知，2x －x ＝4，解得x ＝4．∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝4，∵|F 1F 2|＝6，∴p ＝4＋6＋82＝9，∴△PF 1F 2的面积S ＝9(9－4)(9－6)(9－8)＝315.在△PF 1F 2中，由余弦定理可知：cos ∠PF 1F 2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－|PF 2|22|PF 1||F 1F 2|＝78，由0＜∠PF 1F 2＜π，则sin ∠PF 1F 2＝158，|PF 2|sin ∠PF 1F 2＝2R ，R 为△PF 1F 2外接圆的半径，则R ＝1615，∴△PF 1F 2外接圆的面积S ＝πR 2＝256π15，故选D ．答案：D11．如图．在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 、F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是( )A ．4B ．8C ．78D ．34解析：∵D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，∴BF →＝BD →＋DF →，CF →＝－BD →＋DF →，BA →＝BD →＋3DF →，CA →＝－BD →＋3DF →，∴BF →·CF →＝DF →2－BD →2＝－1，BA →·CA →＝9DF →2－BD→2＝4，∴DF →2＝58，BD →2＝138，又∵BE →＝BD →＋2DF →，CE →＝－BD →＋2DF →，∴BE →·CE →＝4DF →2－BD →2＝78，故选C ．答案：C12．《数学统综》有如下记载：“有凹线，取三数，小小大，存三角”．意思是说“在凹(或凸)函数(函数值为正)图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和大于最大的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”．现已知凹函数f (x )＝x 2－2x ＋2，在⎣⎡⎦⎤13，m 2－m ＋2上任取三个不同的点(a ，f (a ))，(b ，f (b ))，(c ，f (c ))，均存在以f (a )，f (b )，f (c )为三边长的三角形，则实数m 的取值范围为( )A ．[0,1]B ．⎣⎡⎭⎫0，22 C ．⎝⎛⎦⎤0，22 D ．⎣⎡⎦⎤22，2 解析：由题意，三点的纵坐标中两个较小数之和小于等于2，∵f (x )＝x 2－2x ＋2＝2，∴x ＝0或2，∴m 2－m ＋2≤2，∴0≤m ≤1，故选A ．答案：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分． 13.⎝⎛⎭⎫x －2x 26展开式中第三项为________． 解析：展开式的通项公式为： T r ＋1＝C r 6×x 6－r×⎝⎛⎭⎫－2x 2r ， 令r ＝2，可得T 2＋1＝C 26×x 4×⎝⎛⎭⎫－2x 22＝15×4＝60． 答案：6014．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ＞0－2x －1，x ≤0，D 是由x 轴和曲线y ＝f (x )及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则z ＝x 2＋y 2＋2x ＋2y 在D 上的最小值为________．解析：当x ＞0时，f ′(x )＝1x ，则f ′(1)＝1，所以曲线y ＝f (x )及该曲线在点(1,0)处的切线为y ＝x －1，D 是由x 轴和曲线y ＝f (x )及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域如下图阴影部分．而z ＝x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2－2，表示以(－1，－1)为圆心，以(－1，－1)与阴影部分内的点为半径的平方再减2，显然(－1，－1)到直线AC 的距离最小，由C ⎝⎛⎭⎫－12，0，A (0，－1)得AC 的方程是：2x ＋y ＋1＝0，此时，r ＝d ＝|－2－1＋1|5＝255，r 2＝45，故z 的最小值是45－2＝－65．答案：－6515．已知a n ＝⎠⎛0n (2x ＋1)d x ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，数列{b n }的通项公式为b n ＝n －8，则b n S n 的最小值为________．解析：a n ＝⎠⎛0n (2x ＋1)d x ＝(x 2＋x )|n 0＝n 2＋n ，∴1a n ＝1n 2＋n ＝1n －1n ＋1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1，又b n ＝n －8，n∈N *，则b n S n ＝n n ＋1×(n －8)＝n ＋1＋9n ＋1－10≥29－10＝－4，等号当且仅当n ＋1＝9n ＋1，即n ＝2时成立，故b n S n 的最小值为－4．答案：－416．已知函数f (x )＝log 1e ⎝⎛⎭⎫x 2＋1e －⎪⎪⎪⎪x e ，则使得f (x ＋1)＜f (2x －1)成立x 的范围是________． 解析：∵f (x )＝log 1e ⎝⎛⎭⎫x 2＋1e －⎪⎪⎪⎪x e ，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数，x ＞0时，f (x )＝log 1e⎝⎛⎭⎫x 2＋1e －x e ，∴f (x )为减函数，∴当x ＜0时，f (x )为增函数若f (x ＋1)＜f (2x －1)，则|x ＋1|＞|2x －1|，解得：0＜x ＜2． 答案：(0,2) 三、解答题：17．(12分)已知向量m ＝(sin x ，－1)，向量n ＝⎝⎛⎭⎫3cos x ，－12，函数f (x )＝(m ＋n )·m ． (1)求f (x )的最小正周期T ；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a ＝23，c ＝4，且f (A )恰是f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值，求A 和b ． 解：(1)∵向量m ＝(sin x ，－1)，向量n ＝⎝⎛⎭⎫3cos x ，－12， ∴f (x )＝(m ＋n )·m ＝sin 2x ＋1＋3sin x cos x ＋12＝1－cos 2x 2＋1＋32sin 2x ＋12＝32sin 2x －12cos 2x ＋2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2， ∵ω＝2，∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π； (2)由(1)知：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6， ∴当2x －π6＝π2时，f (x )取得最大值3，此时x ＝π3，∴由f (A )＝3得：A ＝π3，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴12＝b 2＋1 6－4b ，即(b －2)2＝0， ∴b ＝2．18．(12分)《最强大脑》是大型科学竞技类真人秀节目，是专注传播脑科学知识和脑力竞技的节目．某机构为了了解大学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关，对某校的100名大学生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这100人中随机抽取1人抽到不喜欢《最强大脑》的大学生的概率为0.4 (1)请将上述列联表补充完整；判断是否有99.9%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关，并说明理由；(2)已知在被调查的大学生中有5名是大一学生，其中3名喜欢《最强大脑》，现从这5名大一学生中随机抽取2人，抽到喜欢《最强大脑》的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．下面的临界值表仅参考：(参考公式：K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )解：(1)由题意知列联表为：K 2＝100(45×25－15×15)260×40×60×40≈14.063＞10.828，∴有99.9%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关． (2)X 的可能取值为0,1,2，P (X ＝0)＝C 22C 25＝110，P (X ＝1)＝C 12C 13C 25＝35，P (X ＝2)＝C 23C 25＝310，∴X 的分布列为：E (X )＝0×110＋1×35＋2×310＝65．19．(12分)如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形，平面AED ⊥平面ABCD ，AB ＝2EA ＝2ED ，EF ∥BD ．(1)证明：AE ⊥CD ；(2)在棱ED 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面EFBD 所成角的正弦值为63？若存在，确定点M 的位置；若不存在，请说明理由．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴CD ⊥AD ，又平面AED ⊥平面ABCD ，平面AED ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴CD ⊥平面AED ，∵AE ⊂平面AED ， ∴AE ⊥CD ．(2)解：取AD 的中点O ，过O 作ON ∥AB 交BC 于N ，连接EO ，∵EA ＝ED ，∴OE ⊥AD ，又平面AED ⊥平面ABCD ，平面AED ∩平面ABCD ＝AD ，OE ⊂平面AED ，∴OE ⊥平面ABCD ，以O 为原点建立空间直角坐标系O -xyz ，如图所示：设正方形ABCD 的边长为2，EMED＝λ，则A (1,0,0)，B (1,2,0)，D (－1,0,0)，E (0,0,1)，M (－λ，0，λ) ∴AM →＝(－λ－1,0，λ)，DE →＝(1,0,1)，DB →＝(2,2,0)， 设平面BDEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0n ·DE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0x ＋z ＝0，令x ＝1得n ＝(1，－1，－1)，∴cos 〈AM →，n 〉＝AM →·n |AM →||n |＝－2λ－13×2λ2＋2λ＋1， 令⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2λ－13×2λ2＋2λ＋1＝63，方程无解， ∴棱ED 上不存在点M ，使得直线AM 与平面EFBD 所成角的正弦值为63． 20．(12分)如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M 、N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1、C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点纵坐标从大到小依次为A 、B 、C 、D ．(1)设e ＝12，求|BC |与|AD |的比值；(2)若存在直线l ，使得BO ∥AN ，求椭圆离心率e 的取值范围．解：(1)因为C 1、C 2的离心率相同，故依题意可设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 2：b 2y 2a 4＋x 2a 2＝1，(a ＞b ＞0)．设直线l ：x ＝t (|t |＜a )分别和C 1、C 2的方程联立， 求得A (t ，aba 2－t 2)，B (t ，baa 2－t 2)．当e ＝12时，b ＝32a ，分别用y A 、y B 表示A 、B 的纵坐标，∴|BC ||AD |＝2|y B |2|y A |＝b 2a 2＝34． |BC |与|AD |的比值34；(2)t ＝0时的l 不符合题意，t ≠0时，BO ∥AN ，当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即b aa 2－t 2t ＝ab a 2－t 2t －a ，解得t ＝－ab 2a 2－b2＝－1－e 2e 2·a ． 因为|t |＜a ，又0＜e ＜1， 所以1－e 2e 2＜1，解得22＜e ＜1．∴当22＜e ＜1时，存在直线l ，使得BO ∥AN ，即离心率e 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1， ∴椭圆离心率e 的取值范围⎝⎛⎭⎫22，1．21．(12分)已知函数f (x )＝(ax ＋2)ln x －(x 2＋ax －a －1)(a ∈R )． (1)若函数f (x )的图象在x ＝e 处的切线的斜率为2e －2e ，求f (x )的极值；(2)当x ＞1时，f (x )的图象恒在x 轴下方，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵f ′(x )＝ax ＋2x ＋a ln x －(2x ＋a )＝a ln x －2x ＋2x ，x ＞0，∴f ′(e)＝a －2e ＋2e ＝2e －2e ，∴a ＝0，∴f (x )＝2ln x －x 2＋1，∴f ′(x )＝2x －2x ＝2－2x 2x ＝－2(x ＋1)(x －1)x ，令f ′(x )＞0，解得0＜x ＜1，函数f (x )递增， 令f ′(x )＜0，解得x ＞1，函数f (x )递减， ∴f (x )极大值＝f (1)＝0，无极小值，(2)由(1)可知f ′(x )＝a ln x －2x ＋2x，x ＞0，令g (x )＝a ln x －2x ＋2x，∴g ′(x )＝a x －2－2x 2＝1x ⎝⎛⎭⎫a －2x －2x ， 当x ＞1时，x ＋1x ＞2，有a －2x －2x＜a －4，①若a －4≤0，即a ≤4时，g ′(x )＜0，故g (x )在区间(1，＋∞)上单调递减， 则当x ＞1时，g (x )＜g (1)＝0，即f ′(x )＜0，故f (x )在区间(1，＋∞)上单调递减， 故当x ＞1时，f (x )＜f (1)＝0，故当a ≤4，x ＞1时，f (x )的图象恒在x 轴的下方，②若a －4＞0，即a ＞4时，令g ′(x )＞0，可得1＜x ＜a ＋a 2－164，故g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ＋ a 2－164上单调递减，故当1＜x ＜a ＋a 2－164时，g (x )＞g (1)＝0，故f (x )在区间⎝ ⎛⎪⎫1，a ＋a 2－164上单调递增，故当1＜x ＜a ＋a 2－164时，f (x )＞f (1)＝0，故当a ＞4，x ＞1时，函数f (x )的图象不可恒在x 轴下方， 综上可知，a 的取值范围是(－∞，4]．以下两题请任选一题：选修4－4：坐标系与参数方程选讲22．(10分)在极坐标中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：∵点P ⎝⎛⎭⎫2，π4， ∴x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1，∴点P (1,1)．∵直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32，展开为 12ρsin θ－32ρcos θ＝－32， ∴y －3x ＝－3，令y ＝0，则x ＝1，∴直线与x 轴的交点为C (1,0)．∴圆C 的半径r ＝|PC |＝(1－1)2＋(1－0)2＝1．∴圆C 的方程为：(x －1)2＋y 2＝1，展开为：x 2－2x ＋1＋y 2＝1，化为极坐标方程：ρ2－2ρcos θ＝0，即ρ＝2cos θ．∴圆C 的极坐标方程为：ρ＝2cos θ． 选修4－5：不等式选讲23．(10分)(1)如果关于x 的不等式|x ＋3|＋|x －2|＜a 的解集不是空集，求参数a 的取值范围；(2)已知正实数a ，b ，且h ＝min{a ，b a 2＋b 2}，求证：0＜h ≤22．(1)解：∵|x ＋3|＋|x －2|≥|(x ＋3)－(x －2)|＝5，当且仅当－3≤x ≤2时，等号成立，故|x ＋3|＋|x －2|的最小值为5， 如果关于x 的不等式|x ＋3|＋|x －2|＜a 的解集不是空集，则a ＞5． (2)证明：∵已知正实数a ，b ，且h ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a 2＋b 2，∴0＜h ≤a,0＜h ≤ba 2＋b2，∴0＜h 2≤ab a 2＋b 2≤ab 2ab ＝12，∴0＜h ≤22．。

规范答题强化练(一)函数与导数(45分钟48分)1.(12分)已知函数f(x)=e x+x2-x, g(x)=x2+ax+b,a,b∈R.(1)当a=1时,求函数F(x)=f(x)-g(x)的单调区间.(2)若曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线l与曲线y=g(x)切于点(1,c),求a,b,c的值.(3)若f(x)≥g(x)恒成立,求a+b的最大值.【解析】(1) F(x)=e x-2x-b,则F′(x)=e x-2.(1分)令F′(x)=e x-2>0,得x>ln 2,所以F(x)在(ln 2,+∞)上单调递增.令F′(x)=e x-2<0,得x<ln 2,所以F(x)在(-∞,ln 2)上单调递减. (4分)(2)因为f′(x)=e x+2x-1,所以f′(0)=0,所以l的方程为y=1.依题意,g′(x)=2x+a,g′(1)=2+a=0,所以-=1, c=1.于是l与抛物线g(x)=x2-2x+b切于点(1,1),由12-2+b=1得b=2.所以a=-2,b=2,c=1.(3)设h(x)=f(x)-g(x)=e x-(a+1)x-b,则h(x)≥0恒成立.易得h′(x) =e x-(a+1).(6分)①当a+1≤0时,因为h′(x)>0,所以此时h(x)在(-∞,+∞)上单调递增.若a+1=0,则当b≤0时满足条件,此时a+b≤-1;(7分)若a+1<0,取x0<0且x0<,此时h(x0)=-(a+1)x0-b<1-(a+1)-b=0,所以h(x)≥0不恒成立.不满足条件;(8分)②当a+1>0时,令h′(x)=0,得x=ln (a+1).由h′(x)>0,得x>ln (a+1);由h′(x)<0,得x<ln (a+1).所以h(x)在(-∞,ln (a+1))上单调递减,在(ln (a+1),+∞)上单调递增.(10分)要使得“h(x)=e x-(a+1)x-b≥0恒成立”,必须有“当x=ln (a+1)时, h(x)min=(a+1)-(a+1)ln (a+1)-b≥0”成立.所以b≤(a+1)-(a+1)ln (a+1).则a+b≤2(a+1)-(a+1)ln (a+1)-1.令G(x)=2x-xln x-1,x>0,则G′(x)=1-ln x.令G′(x)=0,得x=e.由G′(x)>0,得0<x<e;由G′(x)<0,得x>e.所以G(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以,当x=e时, G(x)max=e-1.从而,当a=e-1,b=0时,a+b的最大值为e-1.综上, a+b的最大值为e-1.(12分)2.(12分)已知函数f(x)=a x+x2-xln a-b(a, b∈R, a>1),e是自然对数的底数.(1)当a=e, b=4时,求函数f(x)的零点个数.(2)若b=1,求f(x)在[-1,1]上的最大值.【解析】 (1)f(x)=e x+x2-x-4,所以f′(x)=e x+2x-1,所以f′(0)=0,(1分)当x>0时, e x>1,所以f′(x)>0,故f(x)是(0,+∞)上的增函数,(2分) 当x<0时, e x<1,所以f′(x)<0,故f(x)是(-∞,0)上的减函数,(3分) f(1)=e-4<0, f(2)= e2-2>0,所以存在x1∈(1,2)是f(x)在(0,+∞)上的唯一零点;(4分)f(-2)=+2>0, f(-1)=-2<0,所以存在x2∈(-2,-1)是f(x)在(-∞,0)上的唯一零点,所以f(x)的零点个数为2.(6分)(2)f′(x)=a x ln a+2x-ln a =2x+(a x-1)ln a,(7分)当x>0时,由a>1,可知a x-1>0, ln a>0,所以f′(x)>0,当x<0时,由a>1,可知a x-1<0, ln a>0,所以f′(x)<0,当x=0时, f′(x)=0,所以f(x)是[-1,0]上的减函数, [0,1]上的增函数,所以当x∈[-1,1]时, f(x)min=f(0), f(x)max为f(-1)和f(1)中的较大者.而f(1)-f(-1)=a--2ln a,设g(x)=x--2ln x(x>1),因为g′(x)=1+- =≥0(当且仅当x=1时等号成立),(8分)所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,而g(1)=0,(10分)所以当x>1时, g(x)>0,即a>1时, a--2ln a>0,所以f(1)>f(-1).所以f(x)在[-1,1]上的最大值为f(1)=a-ln a.(12分)3.(12分)已知函数f(x)=ln x+,其中常数k>0.(1)讨论f(x)在(0,2)上的单调性.(2)当k∈[4,+∞)时,若曲线y=f(x)上总存在相异两点M(x1,y1),N(x2,y2),使曲线y=f(x)在M,N两点处的切线互相平行,试求x1+x2的取值范围.【解析】(1)由已知得, f(x)的定义域为(0,+∞),且f′(x)=--1=-=-(k>0),(2分)①当0<k<2时, >k>0,且>2,所以x∈(0,k)时, f′(x)<0; x∈(k,2)时, f′(x)>0.所以,函数f(x)在(0,k)上是减函数,在(k,2)上是增函数;(3分)②当k=2时, =k=2, f′(x)<0在区间(0,2)内恒成立,所以f(x)在(0,2)上是减函数;(4分)③当k>2时, 0<<2,k<,所以x∈时, f′(x)<0; x∈时,f′(x)>0,所以函数在上是减函数,在上是增函数.(6分)(2)由题意,可得f′(x1)=f′(x2), x1x2>0且x1≠x2,即--1 =--1,化简得, 4(x1+x2)=x1x2,(8分)由x1x2<,得4(x1+x2)<,即x1+x2>对k∈[4,+∞)恒成立,(10分)令g(k)=k+,则g′(k)=1-=>0对k∈[4,+∞)恒成立,所以g(k)在[4,+∞)上单调递增,则g(k)≥g(4)=5,所以≤,所以x1+x2>,故x1+x2的取值范围为.(12分)4.(12分) 设函数f(x)=ln x.(1)令F(x)=f(x)+(0<x≤3),若F(x)的图象上任意一点P (x0,y0)处切线的斜率k≤恒成立,求实数a的取值范围.(2)当a>0时,设函数g(x)=(x2-2x)f(x)+ax2-x,且函数g(x)有且仅有一个零点,若e-2<x<e,g(x)≤m,求m的取值范围.【解析】(1)F(x)=f(x)+=ln x+,x∈(0,3],则有F′(x0)=≤在x0∈(0,3]上恒成立,(2分)所以a≥,(4分)x0∈(0,3],当x0=1时,-+x0取得最大值,所以a≥. (6分) (2)因为x∈(0,+∞),令g(x)=(x2-2x)f(x)+ax2-x=0,则(x2-2x)ln x+ax2=x,即a=,(7分)令h(x)=,则h′(x)=--+=,(8分)令t(x)=1-x-2ln x,t′(x)=-1-=,因为t′(x)<0,所以t(x)在(0,+∞)上是减函数,又因为t(1)=h′(1)=0,所以当0<x<1时,h′(x)>0,当x>1时,h′(x)<0,所以h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以h(x)max=h(1)=1,因为a>0,所以当函数g(x)有且仅有一个零点时,a=1.(10分)当a=1时,g(x)=(x2-2x)f(x)+x2-x,若e-2<x<e,g(x)≤m,则g(x)max≤m,g′(x)=(x-1)(3+2ln x),令g′(x)=0得x=1或x=,又因为e-2<x<e,所以函数g(x)在(e-2,)上单调递增,在(,1)上单调递减,在(1,e)上单调递增,又g()=-e-3+2,g(e)=2e2-3e,因为g()<g(e),所以g(x)max=g(e)=2e2-3e,所以m≥2e2-3e.(12分)规范答题强化练(二)三角(45分钟48分)1.(12分)已知函数f(x)=4cos ωx·sin (ωx+)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值.(2)讨论f(x)在区间上的单调性.【解析】 (1)f(x)=4cos ωx·sin=2sin ωx·cos ωx+2cos 2ωx=(sin 2ωx+cos 2ωx)+=2sin+.(2分)因为f(x)的最小正周期为π,且ω>0,从而有=π,故ω=1.(4分)(2)由(1)知,f(x)=2sin +.若0≤x≤,则≤2x+≤.当≤2x+≤,即0≤x≤时,f(x)单调递增; (8分)当<2x+≤,即<x≤时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减. (12分)2.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos 2cos B-sin (A-B)sin B+cos (A+C)=-.(1)求cos A的值.(2)若a=4,b=5,求向量在方向上的投影.【解析】 (1)由2cos 2cos B-sin (A-B)·sin B+cos (A+C)=-,得[cos (A-B)+1]cos B-sin (A-B)sin B-cos B=-,(2分)即cos (A-B)cos B-sin (A-B)sin B=-,则cos (A-B+B)=-,即cos A=-. (4分)(2)由cos A=-,0<A<π,得sin A=.(6分)由正弦定理,有=,所以sin B==.(8分)由题意知a>b,则A>B,故B=.根据余弦定理,有(4)2=52+c2-2×5×c×,解得c=1或c=-7(舍去).故向量在方向上的投影为||cos B=.(12分)3.(12分)设函数f(x)=cos +2cos 2x.(1)求f(x)的最大值,并写出使f(x)取最大值时x的集合.(2)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(B+C)=,b+c=2,求a的最小值.【解析】 (1)因为f(x)=cos +2cos 2x=cos +1,所以f(x)的最大值为2.(3分)f(x)取最大值时,cos =1,2x+=2kπ(k∈Z),故x的集合为{x|x=kπ-,k∈Z}. (5分)(2)由f(B+C)=cos +1=,可得cos =,由A∈(0,π),可得A=.(8分)在△ABC中,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos =(b+c)2-3bc,由b+c=2知bc≤=1,当b=c=1时bc取最大值,此时a取最小值1. (12分)4.(12分)设函数f(x)=-sin 2ωx-sin ωxcos ωx(ω>0),且y=f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.(1)求ω的值.(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.【解析】(1)f(x)=-sin 2ωx-sin ωxcos ωx=-·-sin 2ωx=cos 2ωx-sin 2ωx=-sin .(4分)因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为,又ω>0,所以=4×.因此ω=1.(6分)(2)由(1)知f(x)=-sin .当π≤x≤时,≤2x-≤.所以-≤sin ≤1.(10分)因此-1≤f(x)≤.故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为,-1. (12分)规范答题强化练（三）数列(45分钟48分)1.(12分)已知正项等比数列{a n}满足a1,2a2,a3+6成等差数列,且=9a1a5.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设b n=·a n,求数列{b n}的前n项和T n.【解析】(1)设正项等比数列{a n}的公比为q(q>0),由= 9a1 a5 = 9,(2分)故q2 = = 9,(3分)解得q=±3,因为q>0,所以q=3.又因为a1, 2a2, a3+6成等差数列,所以a1+(a3+6)-4a2=0,解得a1=3,(4分)所以数列{a n}的通项公式为a n=3n .(6分)(2)依题意得b n=(2n+1)·3n,则T n=3·31+5·32+7·33+…+(2n+1)·3n,①(7分)3T n=3·32+5·33+7·34+…+(2n-1)·3n+(2n+1)·3n+1,②由②-①得2T n=(2n+1)·3n+1-2·(32+33+…+3n)-32 =(2n+1)·3n+1-2·-32=2n·3n+1,(10分)所以数列{b n}的前n项和T n=n·3n+1.(12分)2.(12分)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=2a n+3,n∈N*(1)求证:数列{a n+3}是等比数列.(2)求数列{na n}的前n项和S n.【解析】(1)==2,(n∈N*),因此数列{a n+3}是等比数列,且公比为2. (4分)(2)由(1)及题设可知,数列{a n+3}是首项为4,公比为2的等比数列,因此a n+3=4×2n-1=2n+1,于是a n=2n+1-3;所以n·a n=n·2n+1-3n.(6分)设b n=n·2n+1,c n=-3n,并设它们的前n项和分别为T n,R n.则T n=1×22+2×23+3×24+…+n·2n+1,①(8分)所以2T n=1×23+2×24+…+(n-1)·2n+1+n·2n+2②②-①得T n=-22-23-24-…-2n+1+n·2n+2=n·2n+2-4·=(n-1)·2n+2+4,(10分)又R n=·n=-n2-n,故S n=T n+R n=(n-1)·2n+2-n2-n+4.(12分) 3.(12分)设数列{a n}的前n项和为S n,已知S n=2a n-1(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式.(2)若对任意的n∈N*,不等式k(S n+1)≥2n-9恒成立,求实数k的取值范围.【解析】 (1)令n=1,S1=2a1-1=a1,解得a1=1.(2分)由S n=2a n-1,有S n-1=2a n-1-1, 两式相减得a n=2a n-2a n-1,化简得a n=2a n-1(n≥2),所以数列{a n}是以首项为1,公比为2 的等比数列,所以数列{a n}的通项公式a n=2n-1.(4分)(2)由k(S n+1)≥2n-9,整理得k≥,令b n=,则b n+1-b n=-=, n=1,2,3,4,5时,b n+1-b n=>0,所以b1<b2<b3<b4<b5. n=6,7,8,…时,b n+1-b n=<0,(8分)即b6>b7>b8>….因为b5=<b6=, 所以b n的最大值是b6=.所以实数k的取值范围是.(12分)4.(12分)数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n-a1,且a1,a3+1,a4成等差数列.世纪金榜导学号12560596(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设b n=log2a1+log2a2+…+log2a n,求使(n-8)b n≥nk对任意n∈N*恒成立的实数k的取值范围.【解析】 (1)由题意,S n=2a n-a1,则当n≥2时,S n-1=2a n-1-a1,两式相减得a n=2a n-1(n≥2),所以a2=2a1,a3=2a2=4a1,a4=2a3=8a1,又a1,a3+1,a4成等差数列,所以2(4a1+1)=a1+8a1,解得a1=2,(4分)所以数列{a n}是以2为首项,2为公比的等比数列,所以a n=2n.(6分) (2)b n=log2a1+log2a2+…+log2a n=1+2+3+…+n=,由(n-8)b n≥nk对任意n∈N*恒成立,知≥k对n∈N*恒成立,(8分)设c n=(n-8)(n+1)=(n2-7n-8),则当n=3或4时,c n取得最小值,为-10,所以k≤-10.(12分)规范答题强化练(四)立体几何(45分钟48分)1.(12分)如图,多面体ABCDEF中,四边形ABCD为平行四边形,其中∠BAD=,AD=,AB=1,等边△ADE所在平面与平面ABCD垂直,FC⊥平面ABCD,且FC=.(1)点P在棱AE上,且=2,Q为△EBC的重心,求证:PQ∥平面EDC.(2)求平面DEF与平面EAB所成锐二面角的余弦值.【解析】(1)如图,在棱BE上取点M,使得BM=2ME;连接BQ并延长,交CE于点N.则在△ABE中,又AP=2PE,所以PM∥AB,(2分)又四边形ABCD为平行四边形,所以AB∥CD,所以PM∥CD. 在△BCE 中,Q为重心,所以BQ=2QN,又BM=2ME,(3分)所以MQ∥EC.又因为PM∩MQ=M,CD∩EC=C,所以平面MPQ∥平面DEC.又PQ⊂平面MPQ,所以PQ∥平面EDC.(4分)(2)在△ABD中,∠BAD=,AD=,AB=1,由余弦定理可得.BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD=12+()2-2×1×cos=1.所以BD=1.(6分)取AD的中点O,连接EO,OB.在△EAD中,EA=ED=AD=,所以EO⊥AD,且EO=AD=.又因为平面EAD⊥平面ABCD,平面EAD∩平面ABCD=AD,所以EO⊥平面ABCD.又在△ABD中,AB=BD=1,AD=,所以OB⊥AD,且OB=.如图,以O为坐标原点,分别以OA,OB,OE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.(8分)则A,D,B,E,C,F.则=,=,=,=.设平面ABE的法向量为m=(x1,y1,z1),则由可得整理得令z1=1,则x1=,y1=3.所以m=(,3,1)为平面ABE的一个法向量.设平面DEF的法向量为n=(x2,y2,z2),则由可得整理得令z2=-1,则x2=,y2=6.所以n=(,6,-1)为平面DEF的一个法向量. (10分)所以cos<m,n>===,设平面DEF与平面EAB所成锐二面角为θ,则cos θ=cos<m,n>=. (12分)2.(12分)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥平面BCC1B1,∠BCC1=,AB=BC=2,BB1=4,点D在棱CC1上,且CD=λCC1(0<λ<1).建立如图所示的空间直角坐标系.(1)当λ=时,求异面直线AB1与A1D的夹角的余弦值.(2)若二面角A-B1D-A1的平面角为,求λ的值.【解析】(1)易知A(0,0,2),B1(0,4,0),A1(0,4,2).因为BC=CD=2,∠BCC1=,所以C(,-1,0),当λ=时,D(,1,0).所以=(0,4,-2),=(,-3,-2).(3分)所以cos<,>===.(5分)故异面直线AB1与A1D的夹角的余弦值为. (6分)(2)由CD=λCC1可知,D(,4λ-1,0) ,所以=(-,5-4λ,0),由(1)知,=(0,4,-2).设平面AB1D的法向量为m=(x,y,z),则即令y=1,解得x=,z=2,所以平面AB1D的一个法向量为m=.(7分)设平面A1B1D的法向量为n=(x′,y′,z′),则即令y′=1,解得x′=,z′=0,所以平面A1B1D的一个法向量为n=. (8分)因为二面角A-B1D-A1的平面角为,所以|cos<m,n>|===,即(5-4λ)2=9,解得λ=或λ=2(舍),故λ的值为.(12分)3.(12分)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=,四边形ACFE为矩形,且CF⊥平面ABCD,AD=CD=BC=CF=1.(1)求证:EF⊥平面BCF.(2)点M在线段EF(含端点)上运动,当点M在什么位置时,平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大,并求此时二面角的余弦值.【解析】(1)在梯形ABCD中,因为AB∥CD,AD=CD=BC=1,又因为∠BCD=,所以AB=2,(2分)所以AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos 60°=3.所以AB2=AC2+BC2.所以BC⊥AC.因为CF⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以AC⊥CF,(4分)而CF∩BC=C,所以AC⊥平面BCF,因为EF∥AC,所以EF⊥平面BCF. (6分)(2)由(1)可建立分别以直线CA,CB,CF为x轴,y轴,z轴的空间直角坐标系如图所示,(8分)AD=CD=BC=CF=1,令FM=λ(0≤λ≤),则C(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),M(λ,0,1),所以=(-,1,0),=(λ,-1,1),设n1=(x,y,z)为平面MAB的一个法向量,由得取x=1,则n1=(1,,-λ),因为n2=(1,0,0)是平面FCB的一个法向量,(9分)所以cos θ===,(10分)因为0≤λ≤,所以当λ=0时,cos θ有最小值,所以点M与点F 重合时,平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大,此时二面角的余弦值为.(12分)4.(12分)在如图所示的几何体中,平面ADNM⊥平面ABCD,四边形ABCD 是菱形,四边形ADNM是矩形,∠DAB=,AB=2,AM=1,E是AB的中点.(1)求证:DE⊥平面ABM.(2)在线段AM上是否存在点P,使二面角P-EC-D的大小为?若存在,求出AP的长;若不存在,请说明理由.【解析】(1)连接BD,因为四边形ABCD是菱形,∠DAB=,E是AB的中点,所以DE⊥AB,(2分)因为四边形ADNM是矩形,平面ADNM⊥平面ABCD且交线为AD,所以MA ⊥平面ABCD,又DE⊂平面ABCD,所以DE⊥AM,又AM∩AB=A,所以DE⊥平面ABM.(4分)(2)由DE⊥AB,AB∥CD,可得DE⊥CD,因为四边形ADNM是矩形,平面ADNM⊥平面ABCD且交线为AD,ND⊥AD,所以ND⊥平面ABCD,以D为原点,DE为x轴建立如图所示的空间直角坐标系,(6分)则D(0,0,0),E(,0,0),C(0,2,0),N(0,0,1),设P(,-1,m)(0≤m ≤1),则=(-,2,0),=(0,-1,m),因为ND⊥平面ABCD,平面ECD 的一个法向量为=(0,0,1),(7分)设平面PEC的法向量为n=(x,y,z),n·=n·=0,即取z=1,可得n=,(8分)假设在线段AM上存在点P,使二面角P-EC-D的大小为,则cos==,解得m=,(11分)所以在线段AM上,符合题意的点P存在,此时AP=. (12分)规范答题强化练(五)解析几何(45分钟48分)1.(12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点,左右焦点分别为F1,F2,坐标原点O与直线x+y+b=0上的点的距离最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程.(2)设Q是椭圆C上不在x轴上的一个动点,过点F2作OQ的平行线交椭圆C于M,N两个不同的点,的值是否为一个常数?若是,求出这个常数;若不是,请说明理由.【解析】(1)原点O与直线x+y+b=0上的点的距离最小值为1,则=1,所以b=.因为点在椭圆上,所以+=1,所以a=,所以椭圆C的标准方程为+=1. (3分)(2)设Q(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),OQ的方程为x=my,则MN的方程为x=my+1,由得即所以|OQ|=|y0|=, (6分)由得(2m2+3)y2+4my-4=0.所以y1+y2=-,y1y2=-, (8分)|MN|=|y1-y2|=·=·=. (10分)所以==.所以的值是常数. (12分)2.(12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点(2,0).(1)求椭圆C的方程.(2)过点M(1,0)任作一条直线与椭圆C相交于P,Q两点,试问在x轴上是否存在定点N,使得直线PN与直线QN关于x轴对称?若存在,求出点N的坐标;若不存在,说明理由.【解析】(1)由题意得b=2,a2=8,故椭圆C的方程为+=1.(4分) (2)假设存在点N(m,0)满足题设条件.当直线PQ与x轴不垂直时,设PQ的方程为y=k(x-1),代入椭圆方程化简得:(2+k2)x2-2k2x+k2-8=0,(6分)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,所以k PN+k QN=+=+==,(8分)因为2x1x2-(1+m)(x1+x2)+2m=-+2m=,(10分) 所以当m=4时,k PN+k QN=0,直线PN与直线QN关于x轴对称,当PQ⊥x轴时,由椭圆的对称性可知恒有直线PN与直线QN关于x轴对称,综上可得,在x轴上存在定点N(4,0),使得直线PN与直线QN关于x轴对称.(12分)3.(12分)已知F1,F2是椭圆Ω:+=1(b>0)的左,右焦点.(1)当b=1时,若P是椭圆Ω上在第一象限内的一点,且·=-,求点P的坐标.(2)当椭圆Ω的焦点在x轴上且焦距为2时,若直线l:y=kx+m与椭圆Ω相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且3x1x2+4y1y2=0,求证:△AOB的面积为定值.【解析】(1)当b=1时,椭圆方程为+y2=1,则F1(-,0),F2(,0)(1分).设P(x,y)(x>0,y>0),则=(--x,-y),=(-x,-y),(2分)由·=-,得x2+y2=,(3分)与椭圆方程联立解得x=1,y=,即点P的坐标为.(4分) (2)当椭圆Ω的焦距为2时,c=1.则b2=a2-c2=3,所以椭圆Ω的方程为+=1.由得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.(6分)因为Δ=64k2m2-16(3+4k2)(m2-3)=48(3+4k2-m2)>0,所以3+4k2-m2>0, 所以x1+x2=-,x1x2=.所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=.由3x1x2+4y1y2=0,得3·+4·=0.(8分)所以2m2=3+4k2.因为|AB|=·|x1-x2|=·=·=·=·.(10分)又点O到直线AB的距离d==,所以S△AOB=·|AB|·d=···=.即△AOB的面积为定值.(12分)4.(12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上位于第一象限的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D.(1)若当点A的横坐标为3,且△ADF为以F为顶点的等腰三角形,求C 的方程.(2)对于(1)中求出的抛物线C,若点D(x0,0),记点B关于x 轴的对称点为E,AE交x轴于点P,且AP⊥BP,求证:点P的坐标为,并求点P到直线AB的距离d的取值范围.【解析】(1)由题知F,=3+,(2分)则D(3+p,0),FD的中点坐标为,(3分)则+=3,解得p=2,故C的方程为y2=4x.(4分)(2)依题可设直线AB的方程为x=my+x0(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则E(x2,-y2),由消去x,得y2-4my-4x0=0,因为x0≥.所以Δ=16m2+16x0>0,y1+y2=4m,y1y2=-4x0,(6分)设P的坐标为(x P,0),则=(x2-x P,-y2),=(x1-x P,y1),由题知∥,所以(x2-x P)y1+y2(x1-x P)=0,即x2y1+y2x1=(y1+y2)x P==,显然y1+y2=4m≠0,所以x P==-x0,即证x P(-x0,0),由题知△EPB为等腰直角三角形,所以k AP=1,即=1,也即=1,(8分)所以y1-y2=4,所以(y1+y2)2-4y1y2=16,即16m2+16x0=16,m2=1-x0,x0<1,又因为x0≥,所以≤x0<1,d===,令=t∈,x0=2-t2,d==-2t,(10分)易知f(t)=-2t在上是减函数,所以d∈.(12分)规范答题强化练（六）概率与统计(45分钟50分)1.(12分)某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计,绘制了频率分布直方图(如图所示),规定80分及以上者晋级成功,否则晋级失败(满分为100分).(1)求图中a的值.(2)估计该次考试的平均分(同一组中的数据用该组的区间中点值代表).(3)根据已知条件完成2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“晋级成功”与性别有关?(参考公式:K2=,其中n=a+b+c+d)【解析】(1)由频率分布直方图各小长方形面积总和为1,可知(2a+0.020+0.030+0.040)×10=1,故a=0.005.(2)由频率分布直方图知各小组依次是[50,60),[60,70),[70,80),[80,90), [90,100],其中点分别为55,65,75,85,95,对应的频率分别为0.05,0.30,0.40, 0.20,0.05,故可估计平均分=55×0.05+65×0.3+75×0.4+85×0.2+95×0.05=74(分).(3)由频率分布直方图知,晋级成功的频率为0.20+0.05=0.25,故晋级成功的人数为100×0.25=25(人),列联表如下(10分)假设“晋级成功”与性别无关,根据上表数据代入公式可得K2的观测值k=≈2.613>2.072,所以在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“晋级成功”与性别有关.(12分)2.(12分)在一次全国高中五省大联考中, 有90万名学生参加, 考后对所有学生成绩统计发现, 英语成绩服从正态分布N(μ,σ2).用茎叶图列举了20名学生的英语成绩, 巧合的是这20个数据的平均数和方差恰好比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9,且这20个数据的方差为49.9.世纪金榜导学号12560836(1)求μ,σ.(2)给出正态分布的数据:P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4①若从这90万名学生中随机抽取1名, 求该生英语成绩在(82.1,103.1)的概率;②若从这90万名学生中随机抽取1万名, 记X为这1万名学生中英语成绩在(82.1,103.1)的人数, 求X的数学期望.【解析】(1)因为通过计算可得这20个数据的平均数为=90,所以由题可得μ=90-0.9=89.1,σ==7. (3分)(2)①因为μ=89.1,σ=7,所以(82.1,103.1)=(μ-σ,μ+2σ),所以该生英语成绩在(82.1,103.1)的概率为=0.818 5. (6分)②由题可得X服从二项分布B(10 000,0.8185),所以E(X)=10 000×0.818 5=818 5. (12分)3.(13分)观察研究某种植物的生长速度与温度的关系,经过统计,得到生长速度(单位:毫米/月)与月平均气温的对比表如下:(1)求生长速度y关于温度t的线性回归方程.(斜率和截距均保留为三位有效数字).(2)利用(1)中的线性回归方程,分析气温从-5℃至20℃时生长速度的变化情况,如果某月的平均气温是2℃时,预测这月大约能生长多少. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:【解析】(1)由题可知于是生长速度y关于温度t的线性回归方程为:=3.560+0.305t.(8分)(2)利用(1)的线性回归方程可以发现,月平均气温从-5℃至20℃时该植物生长速度逐渐增加,如果某月的平均气温是2℃时,预测这月大约能生长3.560+0.305×2=4.17 mm.(13分)4.(13分)近年来,微信越来越受欢迎,许多人通过微信表达自己、交流思想和传递信息.微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.而微信支付为用户带来了全新的支付体验,支付环节由此变得简便而快捷.某商场随机对商场购物的100名顾客进行统计,其中40岁以下占,采用微信支付的占,40岁以上采用微信支付的占.(1)请完成下面2×2列联表:并由列联表中所得数据判断在犯错误的概率不超过多少的前提下认为“使用微信支付与年龄有关”?(2)若以频率代替概率,采用随机抽样的方法从“40岁以下”的人中抽取2人,从“40岁以上”的人中抽取1人,了解使用微信支付的情况,问至少有一人使用微信支付的概率为多少?参考公式:K2=,n=a+b+c+d.参考数据:【解析】(1)由已知可得,40岁以下的有100×=60人,使用微信支付的有60×=40人,40岁以上使用微信支付的有40×=10人.(2分)所以2×2列联表为:(4分)由列联表中的数据计算可得K2的观测值为k==,(6分)由于>10.828,所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用微信支付与年龄有关”.(8分)(2)若以频率代替概率,采用随机抽样的方法从“40岁以下”的人中抽取2人,这两人使用微信支付分别记为A,B,则P(A)=P(B)=,从“40岁以上”的人中抽取1人,这个人使用微信支付记为C,则P(C)=,显然A,B,C相互独立,则至少有一人使用微信支付的概率为1-P()=1-××=,故至少有一人使用微信支付的概率为.(13分)。

课堂达标(七) 指数、指数函数[A 基础巩固练]1．化简4a 23·b －13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a －13b 23的结果为( )A ．－2a3bB ．－8abC ．－6abD ．－6ab[解析] 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a 23－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13b －13－23＝－6ab －1＝－6a b ，故选C.[答案] C2．已知a ＝40.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.8，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a[解析] 由0.2＜0.8，底数0.4＜1知，y ＝0.4x在R 上为减函数，所以0.40.2＞0.40.8，即b ＞c .又a ＝40.2＞40＝1，b ＝0.40.2＜1，所以a ＞b .综上，a ＞b ＞c .[答案] A3．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x 的值域是( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(2，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ [解析] ∵－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ≥12，故选D.[答案] D4．函数y ＝xa x|x |(0＜a ＜1)图象的大致形状是( )[解析] 函数定义域为{x |x ∈R ，x ≠0}，且y ＝xa x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >0－a x，x <0.当x >0时，函数是一个指数函数，因为0<a <1，所以函数在(0，＋∞)上是减函数；当x <0时，函数图象与指数函数y ＝a x(x <0,0<a <1)的图象关于x 轴对称，在(－∞，0)上是增函数．[答案] D5．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x， x ＞1，－3a x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤23，34D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ [解析] 依题意，a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，2－3a ＜0，－3a ＋1≥a 1，解得23＜a ≤34.[答案] C6．(2018·安徽阜阳第二次质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x，x ＜0log 2x ＋＋2，x ≥0(e 为自然对数的底数)，则不等式f (x )＞4的解集为( )A ．(－ln 2,0)∪(3，＋∞)B ．(－ln 2，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－ln 2,0)[解析] 当x ＜0时，2e x＞4，解得：x ＞ln 2，不合题意； 当x ≥0时，log 2(x ＋1)＋2＞4，解得：x ＞3，综上可得：不等式的解集为：(3，＋∞)．本题选择C 选项． [答案] C7．(2018·合肥质检)不等式2－x 2＋2x ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4的解集为 ________ .[解析] 原不等式等价为2－x 2＋2x ＞2－x －4，又函数y ＝2x为增函数，∴－x 2＋2x ＞－x －4， 即x 2－3x －4＜0，∴－1＜x ＜4. [答案] (－1,4)8．(2018·衡水模拟)若曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是______．[解析] 曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可知：如果|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．[答案] [－1,1]9．设a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x＋2a x－1在[－1,1]上的最大值是14，则a 的值为 ________ .[解析] 令t ＝a x(a ＞0且a ≠1)， 则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2(t ＞0)．①当0＜a ＜1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上为增函数．所以f (t )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝⎛⎭⎪⎫1a＋12－2＝14.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12＝16，所以a ＝－15或a ＝13.又因为a ＞0，所以a ＝13.②当a ＞1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，a 上是增函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14， 解得a ＝3(a ＝－5舍去)．综上得a ＝13或3.[答案] 13或310．(2018·上海松江区期末)已知函数f (x )＝a |x ＋b |(a ＞0，b ∈R )．(1)若f (x )为偶函数，求b 的值；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a ，b 应满足的条件． [解析] (1)∵f (x )为偶函数， ∴对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )． 即a|x ＋b |＝a|－x ＋b |，|x ＋b |＝|－x ＋b |，解得b ＝0.(2)记h (x )＝|x ＋b |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b ，x ≥－b ，－x －b ，x ＜－b .①当a ＞1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数． 即h (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，∴－b ≤2，b ≥－2. ②当0＜a ＜1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数．即h (x )在区间[2，＋∞)上是减函数但h (x )在区间[－b ，＋∞)上是增函数， 故不存在a ，b 的值，使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数时，a ，b 应满足的条件为a ＞1且b ≥－2.[B 能力提升练]1．(2018·丽水模拟)当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x＜0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－4,3)C ．(－1,2)D ．(－3,4)[解析] 原不等式变形为m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立，等价于m 2－m ＜2，解得－1＜m ＜2. [答案] C2．(2018·安徽合肥一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ＜0⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x 2－2x ＋1，x ≥0.方程f 2(x )－af (x )＋b ＝0(b ≠0)有六个不同的实数解，则3a ＋b 的取值范围是( )A ．[6,11]B ．[3,11]C ．(6,11)D ．(3,11)[解析] 令t ＝f (x )，则方程f 2(x )－af (x )＋b ＝0(b ≠0)可化为t 2－at ＋b ＝0(b ≠0)，作出函数y ＝f (x )的图象如图，结合图象可以看出：方程t 2－at ＋b ＝0(b ≠0)在区间(0,1)，(1,2)内各有一个解时，方程f 2(x )－af (x )＋b ＝0(b ≠0)有六个实数根，所以问题转化为函数h (t )＝t 2－at ＋b 在区间(0,1)，(1,2)内各有一个零点，由此可得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧b ＞01－a ＋b ＜04－2a ＋b ＞0，在平面直角坐标系中，画出其表示的区域如图，结合图象可以看出：当动直线u ＝3a ＋b 经过点A (1,0)，B (3,2)时，u 分别取得最小值u min ＝3·和最大值u max ＝11，即3＜u ＜11，应选答案D.[答案] D3．(2018·日照模拟)已知函数y ＝b ＋ax 2＋2x (a ，b 为常数，且a ＞0，a ≠1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0上有最大值3，最小值52，则a ，b 的值分别为 ________ . [解析] 令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0，∴t ∈[－1,0]．①若a ＞1，函数f (x )＝a t在[－1,0]上为增函数，∴a t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，1，b ＋ax 2＋2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋1a，b ＋1，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.②若0＜a ＜1，函数f (x )在a t在[－1,0]上为减函数， ∴a t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a ，则b ＋ax 2＋2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋1，b ＋1a ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a＝3，b ＋1＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.综上①②，所求a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.[答案] 2,2或23，324．(2018·北京朝阳4月模拟)记x 2－x 1为区间[x 1，x 2]的长度，已知函数y ＝2|x |，x ∈[－2，a ](a ≥0)，其值域为[m ，n ]，则区间[m ，n ]的长度的最小值是______．[解析] 令f (x )＝y ＝2|x |，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx ≤a ，2－x－2≤x ＜(1)当a ＝0时，f (x )＝2－x在[－2,0]上为减函数，值域为[1,4]． (2)当a ＞0时，f (x )在[－2,0)上递减，在[0，a ]上递增， ①当0＜a ≤2时，f (x )max ＝f (－2)＝4，值域为[1,4]； ②当a ＞2时，f (x )max ＝f (a )＝2a＞4，值域为[1,2a]． 结合(1)(2)，可知[m ，n ]的长度的最小值为3. [答案] 3 5．已知f (x )＝aa 2－1(a x －a －x)(a >0，且a ≠1)．(1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围． [解] (1)函数f (x )的定义域为R .又f (－x )＝aa 2－1(a －x －a x)＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(2)当a >1时，a 2－1>0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x为增函数．所以f (x )为增函数．当0<a <1时，a 2－1<0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x －a －x为减函数． 所以f (x )为增函数．故当a >0且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增． (3)由(2)知f (x )在R 上是增函数， 所以在区间[－1,1]上为增函数． 所以f (－1)≤f (x )≤f (1)． 所以f (x )min ＝f (－1)＝aa 2－1(a －1－a )＝aa 2－1·1－a2a＝－1.所以要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，只需b ≤－1. 故b 的取值范围是(－∞，－1]．[C 尖子生专练]已知函数f (x )＝3x－13|x |. (1)若f (x )＝2，求x 的值； (2)判断x ＞0时，f (x )的单调性；(3)若3tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1恒成立，求m 的取值范围．[解] (1)当x ≤0时，f (x )＝3x －3x ＝0，∴f (x )＝2无解．当x ＞0时，f (x )＝3x－13x ，令3x－13x ＝2.∴(3x )2－2·3x －1＝0，解得3x＝1± 2. ∵3x ＞0，∴3x＝1＋ 2.∴x ＝log 3(1＋2)．(2)∵y ＝3x 在(0，＋∞)上单调递增，y ＝13x 在(0，＋∞)上单调递减，∴f (x )＝3x－13x 在(0，＋∞)上单调递增．(3)∵t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∴f (t )＝3t－13t ＞0.∴3t f (2t )＋mf (t )≥0化为3t ⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －132t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t －13t ≥0，即(32t －1)(32t＋1＋m )≥0，∵32t－1＞0，∴32t＋1＋m ≥0，即m ≥－32t－1.令g (t )＝－32t－1，则g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上递减，∴g (x )max ＝－4.∴所求实数m 的取值范围是[－4，＋∞)．。