2019浙教九年级数学上第4章 相似三角形检测卷语文

九年级上册第4章《相似三角形》测试卷满分100分，考试时间90分钟一、选择题（每小题3分，共30分）1．已知四条线段错误!未找到引用源。

是成比例线段，即dcb a =，下列说法错误的是（ ） A ．错误!未找到引用源。

B ．b a d bc a =++ C ．dbc bd a -=-D ．2222dc b a =2．若875cb a ==，且3a －2b +c =3，则2a +4b －3c 的值是（ ） A ．14B ．42C ．7D ．314 3．若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是（ ） A ．75° B ．60° C ．87°D ．120°第3题图4．已知两个相似多边形的面积比是9︰16，其中较小多边形的周长为36 cm ，则较大多边形的周长为（ ） A ．48 cm B ．54 cm C ．56 cm D ．64 cm 5．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是BC 中点，AE ⊥AD 交CB 延长线于点E ，则结论正确的是（ ） A ．△AED ∽△ACB B ．△AEB ∽△ACD C ．△BAE ∽△ACE D ．△AEC ∽△DAC第5题图6．如图，若∠1=∠2=∠3，则图中相似三角形有（ ） A ．2 对 B ．3 对 C ．4 对D ．5 对第6题图7．如图，在平行四边形ABCD 中，EF //AB ，DE : EA =2 : 3，EF =4，则CD 的长为（ ） A ．163B ．8C ．10D ．16第7题图8．“标准对数视力表”对我们来说并不陌生，如图是视力表的一部分，其中最上面较大的“E”与下面四个较小“E”中的哪一个是位似图形（）A．左上B．左下C．右上D．右下第8题图9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于点D，则△BCD与△ABC的周长之比为（）A．1︰2 B．1︰3 C．1︰4 D．1︰5第9题图10．已知：如图，△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP·AB；④AB·CP＝AP·CB．能满足△APC和△ACB相似的条件是（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③二、填空题（每小题3分，共30分）11．在比例尺为1：2000的地图上测得A、B两地间的图上距离为5cm，则A、B两地间的实际距离为m．12．如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大的三角形的周长为．13．若582=+bba，则baba-+= ．14．己知：线段MN的长为20cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段MP的长是cm．15．已知两个正五边形的边长之比为1：2，如果较小的正五边形的面积是4cm2，那么较大的正五边形的面积是cm2．16．如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为．第10题图第16题图17．如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h 为 ．第17题图18．如图，已知AD ∥BE ∥CF ，它们依次交直线l 1、l 2于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，如果DE ：EF =3：5，AC =24，则BC = ．第18题图19．在△ABC 和△A ′B ′C ′中，有下列条件：①;AB BC A B B C =''''②BC ACB C A C =''''；③∠A =∠A ′；④∠B =∠B ′；如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC 的△A 'B 'C '的共有 组．20．如图，正方形ABCD 和正方形OEFG 中，点A 和点F 的坐标分别为（3，2），（－1，－1），则两个正方形的位似中心的坐标是 ．第20题图三、解答题（共40分） 21．（6分）如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O 和△ABC 的顶点均在小正方形的顶点．(1)以O 为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC 位似，且位似比为12； (2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C 的周长（结果保留根号）．22．（6分）网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A，B，C，D，E，F都是格点，试说明△ABC∽△DEF．23．（6分）阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．24．（6分）如图，等腰三角形ABC中，若∠A=∠B=∠DPE．(1)求证：△APD∽△BEP；(2)若31,2,2AP PB BE===，试求出AD的长．25．（8分）如图，在正△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 在BC 上，且CE BC ＝13． (1)求证：△ABE ∽△DCE ； (2)263DCE S cm ∆=，求ABC S ∆．26．（8分）如图，已知一次函数22y x =+的图象与y 轴交于点B ，与反比例函数1k y x=的图象的一个交点为A (1，m )，过点B 作AB 的垂线BD ，与y 轴交于点B ，与反比例函数2k y x=的图象交于点D (n ，－2)． (1)求k 1，k 2的值；(2)若直线AB ，BD 分别交x 轴于点C ，E ，试问在y 轴上是否存在一点F ，使得ΔBDF ∽ΔACE ．若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．九年级上册第4章《相似三角形》答案解析1．C 2．D 3．C 4．D 5．C 6．C 7．C 8．C 9．A 10．D 11．100 12．90 13．37-14．－1015．16 16．7 17．1.5米 18．15 19．3 20．（1，0），（－5，－2） 21．(1)图略；(2)四边形错误!未找到引用源。

2019年浙教新版九年级上册数学《第4章相似三角形》单元测试卷一．选择题（共10小题）1．已知2x＝3y，则下列比例式成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝2．已知A，B两地的实际距离AB＝5km，画在图上的距离为CD＝2cm，则该图的比例尺为（）A．2：5B．1：250000C．250000：1D．1：25003．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AC＝AB＝2，将△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△DBE，使点E在边AC上，DE交AB于点F，则△AFE与△DBF的面积之比等于（）A．B．C．D．4．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，根据下列给定的条件，不能判断DE与BC 平行的是（）A．AD＝6，BD＝4，AE＝2.4，CE＝1.6，B．DB＝2，AB＝6，CE＝1，AC＝3C．AD＝4，AB＝6，AE＝2，AC＝3D．AD＝4，AB＝6，DE＝2，BC＝35．如果两个相似多边形的面积比为4：9，那么它们的周长比为（）A．4：9B．2：3C．：D．16：816．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（）A．2B．3C．4D．57．已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC上一点，∠ABD＝∠C，直线EF过点D，与BA的延长线相交于F，且EF⊥BC，垂足为E．则图中所有与△ABD相似的三角形有多少个（）A．3B．4C．5D．68．如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比为（）A．1：2B．1：4C．2：1D．4：19．中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF．观测者的眼睛（图中用点C表示）与BF在同一水平线上，则下列结论中，正确的是（）A．B．C．D．10．△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，若△DEF的面积是2，则△ABC的面积是（）A．2B．4C．6D．8二．填空题（共8小题）11．已知＝，则＝．12．如果在比例尺为1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离是5.8cm，那么A、B两地的实际距离是km．13．若线段AB＝6cm，点C是线段AB的一个黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为cm （结果保留根号）．14．如图，已知：l1∥l2∥l3，AB＝6，DE＝5，EF＝7.5，则AC＝．15．在长8cm，宽6cm的矩形中，截去一个矩形，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积是cm2．16．当两个相似三角形的相似比为时，这两个相似三角形的面积比是1：2．17．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在AB边上，且AM＝3，过点M 作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN＝．18．如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知BC＝6，△ABC的面积为9，则正方形DEFG的面积为．三．解答题（共8小题）19．已知线段a、b、c满足，且a+2b+c＝26．（1）求a、b、c的值；（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x．20．如图，A、B两地隔着湖水，从C地测得CA＝50m，CB＝60m，∠ACB＝145°，用1厘米代表10米（就是1：1000的比例尺）画出如图的图形．量出AB的长（精确到1毫米），再换算出A、B间的实际距离．21．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CE平分∠ACB交AB于点E，（1）试说明点E为线段AB的黄金分割点；（2）若AB＝4，求BC的长．22．如图，l1∥l2∥l3，AB＝3，AD＝2，DE＝4，EF＝7.5．求BC、BE的长．23．学生会举办一个校园摄影艺术展览会，小华和小刚准备将矩形的作品四周镶上一圈等宽的纸边，如图所示．两人在设计时发生了争执：小华要使内外两个矩形相似，感到这样视觉效果较好；小刚试了几次不能办到，表示这是不可能的．小红和小莉了解情况后，小红说这一要求只有当矩形是黄金矩形时才能做到，小莉则坚持只有当矩形是正方形时才能做到．请你动手试一试，说一说你的看法．24．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE ＝9，DE＝2，求EF的长．25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，（1）图1中共有对相似三角形，写出来分别为（不需证明）；（2）已知AB＝10，AC＝8，请你求出CD的长；（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q 出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．26．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，点E在AD边上，且AE＝8，EF⊥BE交CD于点F．（1）求证：△ABE∽△DEF．（2）求CF的长．2019年浙教新版九年级上册数学《第4章相似三角形》单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．已知2x＝3y，则下列比例式成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】把各个选项依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，已知的比例式可以转化为等积式2x＝3y，即可判断．【解答】解：A、变成等积式是：xy＝6，故错误；B、变成等积式是：3x＝2y，故错误；C、变成等积式是：2x＝3y，故正确；D、变成等积式是：3x＝2y，故错误．故选：C．【点评】本题主要考查了判断两个比例式是否能够互化的方法，即转化为等积式，判断是否相同即可．2．已知A，B两地的实际距离AB＝5km，画在图上的距离为CD＝2cm，则该图的比例尺为（）A．2：5B．1：250000C．250000：1D．1：2500【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，列出比例式直接计算即可．【解答】解：根据比例尺＝图上距离：实际距离．5km＝500000cm，得比例尺＝2：500000＝1：250000，故选：B．【点评】理解比例尺的概念，注意单位要统一．3．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AC＝AB＝2，将△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△DBE，使点E在边AC上，DE交AB于点F，则△AFE与△DBF的面积之比等于（）A．B．C．D．【分析】首先证明BD∥AE，可得△AEF∽△BDF，推出＝（）2，想办法求出即可解决问题；【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BC＝BE，∴∠C＝∠BEC＝72°，∴∠EBC＝36°，∴∠ABE＝∠A＝36°，∵∠DBE＝72°，∴∠ABD＝∠A＝36°，∴BD∥AE，∴△AEF∽△BDF，∴＝（）2，设BC＝BE＝AE＝x，CE＝2﹣x，∵∠C＝∠C，∠CBE＝∠A，∴△CBE∽△CAB，∴＝，∴BC2＝CE•CA，∴x2＝（2﹣x）2，∴x2+2x﹣4＝0，∴x＝﹣1+，或x＝﹣1﹣（舍），∴＝（）2＝故选：C．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，以及旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．4．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，根据下列给定的条件，不能判断DE与BC 平行的是（）A．AD＝6，BD＝4，AE＝2.4，CE＝1.6，B．DB＝2，AB＝6，CE＝1，AC＝3C．AD＝4，AB＝6，AE＝2，AC＝3D．AD＝4，AB＝6，DE＝2，BC＝3【分析】根据平行线分线段成比例定理，分别求得各对应线段的比，比相等，即可判定DE与BC平行．注意排除法在解选择题中的应用．【解答】解：A、由AD＝6，BD＝4，可以得出，AE＝2.4，CE＝1.6，得出，就有，可以得出DE∥BC；B、由DB＝2，AB＝6，可以得出，CE＝1，AC＝3得出，就有，可以得出DE∥BC；C、由AD＝4，AB＝6，可以得出，AE＝2，AC＝3得出，就有，可以得出DE∥BC；D、由AD＝4，AB＝6，可以得出，DE＝2，BC＝3得出＝，但是DE与BC不是被截线，故平行结论不成立．故选：D．【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，注意比例线段的对应关系．5．如果两个相似多边形的面积比为4：9，那么它们的周长比为（）A．4：9B．2：3C．：D．16：81【分析】直接根据相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行解答即可．【解答】解：∵两个相似多边形面积的比为4：9，∴两个相似多边形周长的比等于2：3，∴这两个相似多边形周长的比是2：3．故选：B．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．6．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（）A．2B．3C．4D．5【分析】直接利用相似三角形的性质得出对应边之间的关系进而得出答案．【解答】解：∵△ABO∽△CDO，∴＝，∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，∴＝，解得：AB＝4．故选：C．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边之间关系是解题关键．7．已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC上一点，∠ABD＝∠C，直线EF过点D，与BA的延长线相交于F，且EF⊥BC，垂足为E．则图中所有与△ABD相似的三角形有多少个（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据两角对应相等，两三角形相似判断．【解答】解：∵∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴∠BAC＝∠BAD＝∠CDE＝90°，∵∠ABD＝∠C，∴△ABD∽△ACB，△ABD∽△EDC（两角对应相等，两三角形相似）∴∠ADB＝∠ABC，∴△ABD∽△EFB，且△ABD∽△AFD故选：B．【点评】此题主要考查相似三角形的判定：两角对应相等，两三角形相似．8．如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比为（）A．1：2B．1：4C．2：1D．4：1【分析】结合已知条件可以推出两三角形相似，以及它们的相似比，根据相似三角形的性质，即可得出面积比．【解答】解：∵D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴S △ADE ：S △ABC ＝（）2，∵＝， ∴S △ADE ：S △ABC ＝（）2＝1：4．故选：B ． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，关键在于求证三角形相似，根据已知推出相似比．9．中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离AB 的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF ．观测者的眼睛（图中用点C 表示）与BF 在同一水平线上，则下列结论中，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】由平行得相似，由相似得比例，即可作出判断．【解答】解：∵EF ∥AB ，∴△CEF ∽△CAB ，∴＝＝，故选：B ．【点评】此题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．10．△DEF 和△ABC 是位似图形，点O 是位似中心，点D ，E ，F 分别是OA ，OB ，OC 的中点，若△DEF 的面积是2，则△ABC 的面积是（ ）A．2B．4C．6D．8【分析】根据点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点知＝，由位似图形性质得＝（）2，即＝，据此可得答案．【解答】解：∵点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，∴＝，∴△DEF与△ABC的相似比是1：2，∴＝（）2，即＝，＝8，解得：S△ABC故选：D．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理、位似的定义及性质，掌握面积的比等于相似比的平方是解题的关键．二．填空题（共8小题）11．已知＝，则＝．【分析】根据＝，可得＝，再根据比例的性质即可求解．【解答】解：∵＝，∴＝，∴﹣＝，＝．故答案为：．【点评】此题考查了比例的性质，关键是将＝变形为＝．12．如果在比例尺为1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离是5.8cm，那么A、B两地的实际距离是58km．【分析】实际距离＝图上距离：比例尺，根据题意代入数据可直接得出实际距离．【解答】解：根据题意，5.8÷＝5800000厘米＝58千米．即实际距离是58千米．故答案为：58．【点评】本题考查了比例线段的知识，注意掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用，同时要注意单位的转换．13．若线段AB＝6cm，点C是线段AB的一个黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为3（﹣1）cm（结果保留根号）．【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．【解答】解：根据黄金分割点的概念和AC＞BC，得：AC＝AB＝3（﹣1）．故本题答案为：3（﹣1）．【点评】此题考查了黄金分割点的概念，要熟记黄金比的值．14．如图，已知：l1∥l2∥l3，AB＝6，DE＝5，EF＝7.5，则AC＝15．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出BC的值，即可得出答案．【解答】解：∵：l1∥l2∥l3，∴＝，∵AB＝6，DE＝5，EF＝7.5，∴BC＝9，∴AC＝AB+BC＝15，故答案为：15．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能根据定理得出正确的比例式是解此题的关键．15．在长8cm，宽6cm的矩形中，截去一个矩形，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积是27cm2．【分析】由题意，在长为8cm宽6cm的矩形中，截去一个矩形使留下的矩形与原矩形相似，根据相似形的对应边长比例关系，就可以求解．【解答】解：设宽为x，∵留下的矩形与原矩形相似，∴＝，解得x＝．∴截去的矩形的面积为×6＝21cm2，∴留下的矩形的面积为48﹣21＝27cm2，故答案为：27．【点评】此题主要考查多边形相似的性质：对应边长成比例，相似比的平方等于面积比，学生对此性质要熟练掌握．16．当两个相似三角形的相似比为1：时，这两个相似三角形的面积比是1：2．【分析】直接利用相似三角形的性质分析得出答案．【解答】解：∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，∴两个相似三角形的面积比是1：2时，两个相似三角形的相似比为：1：．故答案为：1：．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相似三角形面积比与相似比的关系是解题关键．17．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在AB边上，且AM＝3，过点M 作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN＝4或6．【分析】分别利用，当MN∥BC时，以及当∠ANM＝∠B时，分别得出相似三角形，再利用相似三角形的性质得出答案．【解答】解：如图1，当MN∥BC时，则△AMN∽△ABC，故＝＝，则＝，解得：MN＝4，如图2所示：当∠ANM＝∠B时，又∵∠A＝∠A，∴△ANM∽△ABC，∴＝，即＝，解得：MN＝6，故答案为：4或6．【点评】此题主要考查了相似三角形判定，正确利用分类讨论得出是解题关键．18．如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知BC＝6，△ABC的面积为9，则正方形DEFG的面积为4．【分析】由DG∥BC得△ADG∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解．【解答】解：作AH⊥BC于H，交DG于P，如图所示：∵△ABC的面积＝BC•AH＝9，BC＝6，∴AH＝3，设正方形DEFG的边长为x．由正方形DEFG得，DG∥EF，即DG∥BC，∵AH⊥BC，∴AP⊥DG．由DG∥BC得△ADG∽△ABC∴．∵PH⊥BC，DE⊥BC∴PH＝ED，AP＝AH﹣PH，即，由BC＝6，AH＝3，DE＝DG＝x，得，解得x＝2．故正方形DEFG的面积＝22＝4；故答案为：4．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程．三．解答题（共8小题）19．已知线段a、b、c满足，且a+2b+c＝26．（1）求a、b、c的值；（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x．【分析】（1）设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求解得到k，然后求解即可；（2）根据比例中项的定义列式求解即可．【解答】解：（1）设＝＝＝k，则a＝3k，b＝2k，c＝6k，所以，3k+2×2k+6k＝26，解得k＝2，所以，a＝3×2＝6，b＝2×2＝4，c＝6×2＝12；（2）∵线段x是线段a、b的比例中项，∴x2＝ab＝6×4＝24，∴线段x＝2．【点评】本题考查了比例的性质，比例线段，利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便．20．如图，A、B两地隔着湖水，从C地测得CA＝50m，CB＝60m，∠ACB＝145°，用1厘米代表10米（就是1：1000的比例尺）画出如图的图形．量出AB的长（精确到1毫米），再换算出A、B间的实际距离．【分析】根据比例尺的定义，1厘米代表10米，把CA＝50m，CB＝60m，转化为CA＝5cm，CB＝6cm，结合题意画图，再测量AB的长，最后换算出A、B间的实际距离．【解答】解：如图，测得AB长约10.5cm，换算成实际距离约为10.5×1000＝10500cm＝105m．即A、B间的实际距离是105m．【点评】本题考查了比例问题以及两点之间的距离是连接两点的线段的长度．21．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CE平分∠ACB交AB于点E，（1）试说明点E为线段AB的黄金分割点；（2）若AB＝4，求BC的长．【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等求出∠ACB＝72°，再根据角平分线的定义求出∠BCE＝36°，从而得到∠BCE＝∠A，然后判定△ABC和△CBE相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式整理，并根据黄金分割点的定义即可得证；（2）根据等角对等边的性质可得AE＝CE＝BC，再根据黄金分割求解即可．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACB＝×72°＝36°，∴∠BCE＝∠A＝36°，∴AE＝BC，又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBE，∴＝，∴BC2＝AB•BE，即AE2＝AB•BE，∴E为线段AB的黄金分割点；（2）∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°，∴∠BEC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴BC＝CE，由（1）已证AE＝CE，∴AE＝CE＝BC，∴BC＝•AB＝×4＝2﹣2．【点评】本题考查了黄金分割点的定义，相似三角形的判定与性质，理解黄金分割点的定义：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比是解题的关键．22．如图，l1∥l2∥l3，AB＝3，AD＝2，DE＝4，EF＝7.5．求BC、BE的长．【分析】根据平行线分线段成比例定理得＝＝，则可计算出BC＝6，BF＝BE，然后利用BE+BE＝7.5求BE．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝＝，即＝＝，∴BC＝6，BF＝BE，∴BE+BE＝7.5，∴BE＝5．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．23．学生会举办一个校园摄影艺术展览会，小华和小刚准备将矩形的作品四周镶上一圈等宽的纸边，如图所示．两人在设计时发生了争执：小华要使内外两个矩形相似，感到这样视觉效果较好；小刚试了几次不能办到，表示这是不可能的．小红和小莉了解情况后，小红说这一要求只有当矩形是黄金矩形时才能做到，小莉则坚持只有当矩形是正方形时才能做到．请你动手试一试，说一说你的看法．【分析】可先假设矩形成立，根据相似列式计算，最后求得矩形的长和宽相等，则只能是正方形．【解答】解：只有正方形才能做到，理由：设矩形的一边为a，另一边为b，等宽的纸边宽c，如果要两矩形相似，则a：b＝（a﹣2c）：（b﹣2c），解得a＝b，∴只能是正方形了．【点评】本题考查相似多边形的性质．根据题意设未知数并列式是关键．24．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE ＝9，DE＝2，求EF的长．【分析】先根据相似三角形的性质求出DF的长，再由勾股定理即可得出结论．【解答】解：∵△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，∴＝，即＝，解得DF＝3，∴EF＝＝＝．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，（1）图1中共有3对相似三角形，写出来分别为△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD（不需证明）；（2）已知AB＝10，AC＝8，请你求出CD的长；（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q 出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD；（2）先在△ABC中由勾股定理求出BC的长，再根据△ABC的面积不变得到AB•CD＝AC•BC，即可求出CD的长；（3）由于∠B公共，所以以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，分两种情况进行讨论：①△PQB∽△ACB；②△QPB∽△ACB．【解答】解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．故答案为3，△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD；（2）如图1，在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝6．∵△ABC的面积＝AB•CD＝AC•BC，∴CD＝＝＝4.8；（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：在△BOC中，∵∠COB＝90°，BC＝6，OC＝4.8，∴OB＝＝3.6．分两种情况：①当∠BQP＝90°时，如图2①，此时△PQB∽△ACB，∴＝，∴＝，解得t＝2.25，即BQ＝CP＝2.25，∴BP＝BC﹣CP＝6﹣2.25＝3.75．在△BPQ中，由勾股定理，得PQ＝＝＝3，∴点P的坐标为（1.35，3）；②当∠BPQ＝90°时，如图2②，此时△QPB∽△ACB，∴＝，∴＝，解得t＝3.75，即BQ＝CP＝3.75，BP＝BC﹣CP＝6﹣3.75＝2.25．过点P作PE⊥x轴于点E．∵△QPB∽△ACB，∴＝，即＝，∴PE＝1.8．在△BPE中，BE＝＝＝1.35，∴OE＝OB﹣BE＝3.6﹣1.35＝2.25，∴点P的坐标为（2.25，1.8）．综上可得，点P的坐标为（1.35，3）或（2.25，1.8）．【点评】本题结合动点问题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，难度适中．利用数形结合、分类讨论是解题的关键．26．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，点E在AD边上，且AE＝8，EF⊥BE交CD于点F．（1）求证：△ABE∽△DEF．（2）求CF的长．【分析】（1）由同角的余角相等可得出∠DEF＝∠ABE，结合∠A＝∠D＝90°，即可证出△ABE∽△DEF；（2）由AD、AE的长度可得出DE的长度，根据相似三角形的性质可求出DF的长度，将其代入CF＝CD﹣DF即可求出CF的长．【解答】（1）证明：∵EF⊥BE，∴∠EFB＝90°，∴∠DEF+∠AEB＝90°．∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠AEB+∠ABE＝90°，∴∠DEF＝∠ABE，∴△ABE∽△DEF．（2）解：∵AD＝12，AE＝8，∴DE＝4．∵△ABE∽△DEF，∴＝，∴DF＝，∴CF＝CD﹣DF＝6﹣＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质，解题的关键是：（1）利用同角的余角相等找出∠DEF＝∠ABE；（2）利用相似三角形的性质求出DF的长度．。

浙教版九年级数学上册第4章 相似三角形 测试题一、选择题(每题4分，共28分)1．以下四条线段成比例的是( )A ．a ＝2，b ＝5，c ＝2 3，d ＝15B ．a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝3C ．a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10D ．a ＝2，b ＝8，c ＝15，d ＝112．△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，且△ABC 与△A ′B ′C ′的位似比是1∶2，△ABC 的面积是3，那么△A ′B ′C ′的面积是( )A ．3B ．6C ．9D ．123．如图4－Z －1，在△ABC 中，假定D 是AB 上一点，AB >AC ，那么以下条件中不一定能使△ABC ∽△ACD 的是( )A ．∠ACD ＝∠B B ．∠ADC ＝∠ACBC.AC AB ＝CD BCD.AC AB ＝AD AC4－Z －14－Z －24．如图4－Z －2所示，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，将△ABC 沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的C ′处，并且C ′D ∥BC ，那么CD 的长是( )A.409B.509C.154D.2545．如图4－Z －3，在△ABC 中，DE ∥BC ，DB ＝2AD ，△ADE 的面积为1，那么四边形DBCE 的面积为( )A ．3B ．5C ．6D ．84－Z －34－Z －46．如图4－Z －4，在△ABC 中，E 是BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，EF ∥AD 交AC 于点F .假定AB ＝11，AC ＝15，那么FC 的长为( )A ．11B ．12C ．13D ．14图4－Z －57．如图4－Z －5，在▱ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连结AE 并延伸交DC 于点F ，那么S △DEF ∶S △AOB 的值为( )A.13B.15C.16D.111二、填空题(每题4分，共28分)8．六边形ABCDEF ∽六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1，且AB ＝3，B 1C 1＝4，BC ＝6，那么它们的相似比等于________．9．如图4－Z －6所示，∠1＝∠2，假定再添加一个条件就能使结论〝AB ·DE ＝AD ·BC 〞成立，那么这个条件可以是______________(只需写出一个即可)．4－Z －64－Z －710．如图4－Z －7，点D ，E 区分在AB ，AC 上，且∠ABC ＝∠AED .假定DE ＝4，AE＝5，BC ＝8，那么AB 的长为________．11．假定△ABC 与△DEF 相似且面积之比为25∶16，那么△ABC 与△DEF 的周长之比为________．12．如图4－Z －8，小东经过设计两个直角来测量河宽DE ，他量得AD ＝2 m ，BD ＝3 m ，CE ＝9 m ，那么河宽DE 为________m.4－Z －84－Z －913．如图4－Z －9所示，把△ABC 沿AB 边平移到△A ′B ′C ′的位置，使得它们堆叠局部(即图中阴影局部)的面积是△ABC 面积的一半，假定AB ＝2，那么此三角形移动的距离AA ′是________．图4－Z －1014．如图4－Z －10，△ABC ，△DCE ，△FEG ，△HGI 是4个全等的等腰三角形，底边BC ，CE ，EG ，GI 在同一条直线上，且AB ＝2，BC ＝1.连结AI ，交FG 于点Q ，那么QI ＝________.三、解答题(共44分)15．(10分)如图4－Z －11所示，△ABC 内接于⊙O ，过点C 作CD ∥AB 与⊙O 相交于点D ，E 是CD ︵上一点，且满足AD ＝DE ，连结BD 与AE 相交于点F .求证：△ADF ∽△ACB .图4－Z －1116．(10分)一天早晨，李明和张龙应用灯光下的影子来测量一路灯D 的高度，如图4－Z －12，当李明走到点A 处时，张龙测得李明直立时的身高AM 与其影子长AE 正好相等，接着李明沿AC 方向继续向前走，走到点B 处时，李明直立时的身高BN 的影子恰恰是线段AB ，并测得AB ＝1.25 m ，李明直立时的身高为1.75 m ，求路灯的高CD .(结果准确到0.1 m)图4－Z －1217．(12分)如图4－Z －13所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC 与△A ′B ′C ′是以点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．(1)画出位似中心点O ；(2)直接写出△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比；(3)以位似中心O 为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴树立平面直角坐标系，画出△A ′B ′C ′关于点O 成中心对称的△A ″B ″C ″，并直接写出△A ″B ″C ″各顶点的坐标．图4－Z －1318．(12分)如图4－Z －14，△ABC 是等边三角形，CE 是△ABC 外角的平分线，点D 在AC 上，连结BD 并延伸与CE 交于点E .(1)求证：△ABD ∽△CED ；(2)假定AB ＝6，AD ＝2CD ，求BE 的长．图4－Z －141．A [解析] 由于25＝2 315，所以选项A 中的四条线段成比例，而其他选项中的四条线段不成比例．2．D 3.C4．A [解析] ∵∠B ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝10.设C ′D ＝CD ＝x ，那么AD ＝10－x .∵C ′D ∥BC ，∴△AC ′D ∽△ABC ，∴C ′D BC ＝AD AC ，即x 8＝10－x 10，解得x ＝409.应选A. 5．D6．C [解析] ∵AD 是∠BAC 的平分线，AB ＝11，AC ＝15，∴AB AC ＝BD DC ＝1115. ∵E 是BC 的中点，∴CE ＝12BC .∵EF ∥AD ，∴CE CD ＝FC CA ，即1315＝FC 15，解得FC ＝13. 7．C [解析] ∵O 为平行四边形ABCD 对角线的交点，∴OD ＝OB .又∵E 为OD 的中点，∴DE ＝14DB ， ∴DE ∶EB ＝1∶3.又∵AB ∥DC ，∴△DFE ∽△BAE ，∴S △DEF S △BAE ＝⎝⎛⎭⎫132＝19， ∴S △DEF ＝19S △BAE . ∵S △AOB S △BAE ＝OB BE ＝23， ∴S △AOB ＝23S △BAE ， ∴S △DEF ∶S △AOB ＝19S △BAE 23S △BAE ＝16. 应选C.8．3∶29．答案不独一，如∠B ＝∠D 或∠C ＝∠AED 或AD AB ＝AE AC[解析] ∵∠1＝∠2，∴∠BAC ＝∠DAE ，要使等式成立，只需使△ABC 与△ADE 相似即可．10．10 [解析] 在△ABC 和△AED 中，∵∠ABC ＝∠AED ，∠BAC ＝∠EAD ，∴△ABC ∽△AED ，∴AB AE ＝BC ED. 又∵DE ＝4，AE ＝5，BC ＝8，∴AB ＝10.11．5∶412．4 [解析] 依题意得BD ∥CE ，∴AD AE ＝BD CE， ∴2AE ＝39， ∴AE ＝6，∴DE ＝AE －AD ＝6－2＝4(m)． 13.2－1 [解析] 由题意得△A ′BD ∽△ABC ，∴S △A ′BD S △ABC ＝⎝⎛⎭⎫A ′B AB 2， ∴12＝⎝⎛⎭⎫A ′B 22， ∴A ′B ＝1，∴AA ′＝2－1.14.43[解析] 过点A 作AM ⊥BC . 依据等腰三角形的性质，得MC ＝12BC ＝12，∴MI ＝MC ＋CE ＋EG ＋GI ＝72. 在Rt △AMC 中，AM 2＝AC 2－MC 2＝22－(12)2＝154， 故AI ＝AM 2＋MI 2＝154＋〔72〕2＝4. 易证AC ∥GQ ，那么△IQG ∽△IAC ，∴QI AI ＝GI CI ，即QI 4＝13，∴QI ＝43. 15．证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD .在△ADE 中，AD ＝DE ，∴∠DAE ＝∠AED .∴∠DAE ＝∠AED ＝∠ACD ＝∠BAC .在△ADF 和△ACB 中，∵∠ADF ＝∠ACB ，∠DAF ＝∠BAC ，16．解：∵AM ⊥EC ，CD ⊥EC ，BN ⊥EC ，∴MA ∥CD ∥BN ，∴△EAM ∽△ECD ，△ABN ∽△ACD ，∴EA EC ＝MA DC ，BN CD ＝AB AC. ∵EA ＝MA ，∴EC ＝DC .设CD 的长为x m ，那么由BN CD ＝AB AC， 可得1.75x ＝ 1.25x －1.75， 解得x ＝6.125≈6.1.答：路灯的高CD 约为6.1 m.17. 解：(1)点O 如下图．(2)△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为2∶1.(3)△A ″B ″C ″如下图．A ″(6，0)，B ″(3，－2)，C ″(4，－4)．18．解：(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC ＝∠ACB ＝60°，∠ACF ＝120°.∵CE 是△ABC 外角的平分线，∴∠ACE ＝60°，∴∠BAC ＝∠ACE .又∵∠ADB ＝∠CDE ，∴△ABD ∽△CED .(2)过点B 作BM ⊥AC 于点M ，∵AC ＝AB ＝6，∴AM ＝CM ＝3，BM ＝62－32＝3 3.∵AD＝2CD，∴CD＝2，AD＝4，∴MD＝1.在Rt△BDM中，BD＝BM2＋MD2＝2 7.由(1)知△ABD∽△CED，∴BDED＝ADCD，∴2 7ED＝2，∴ED＝7，∴BE＝BD＋ED＝3 7.。

4.3相似三角形》同步练习浙教新版数学九年级上学期《12小题）一．选择题（共ACA′BCB′=30°1ACBA′CB′则∠△∠∽△，，．如图所示，）的度数为（40°D30°C35°A20°B．．．．322）．两三角形的相似比是，则其面积之比是（：2789DB23AC4：．．．：：：．A′B′C′ABC15cm3ABCA′B′C′的周长为且．若△的周长为∽△，△，则△）（D20CA18B．．．．DEFABC164ABCDEF2的面积为．已知△的面积为∽△，且△，相似比为，则△）（164DB8CA32．．．．5cm5，．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为2.5cm6cm9cm），另一个三角形的最短边长为和，则它的最长边为（5cmD4cmC4.5cmA3cmB．．．．lABCB=80°C=40°6平行于中，∠．如图，在△，直线，∠ABCl逆时针旋转，所得直线分别交边绕点．现将直线ABCNAMNABACM相似，则旋转，若△、和与△于点）角为（80°60°D20°B40°CA．．．．DCABCDEFAD7上，△中，点分别在边、．如图，在矩形、EFAB=6AE=9DE=2DEFABE），的长是（，，则∽△，D4AB5C．．．．CA13ABCBC8ABCAB的面积：．已知△与△与△，则△相似，且相似比为111111）比为（91CB1316D1A1：：．．：．：．2DAABC9DEFBEABDE=1，那么下列等式．如果△∽△，、分别对应、，且：：页 1 第一定成立的是（）ABCDE=12：：．BABCDEF=12：的面积：△．△的面积CAD=12：的度数：∠．∠的度数DABCDEF=12：的周长：△．△的周长C=β2A=αOCDOAOC=310OAB，，，∠∽△：，∠．如图，△：OCDSOABOABOCDS 的与△，△的面积分别是与△和△21CC），则下列等式一定成立的是（周长分别是和21CBA．．．D．48cm3cm115cm，那．两个相似三角形的最短边分别为，它们的周长之和为和）么小三角形的周长为（24cmCB18cmA12cm．．．30cmD．AEAD=4ADE12ACBAB=10AC=8的∽△，则，若．如图，已知△，，）长是（3.2D5C20A4B．．．．6小题）二．填空题（共ABCABC13∽△的等边三角形，△．如图，已知△是面积为DFAB=2ADADEBAD=45°ACDE到，与，∠，则点，相交于点AB ．线段的距离等于（结果保留根号）14的正方形．如图，在平面直角坐标系中，边长为BODBDBABCDAxOD、△在、的顶点轴上，连接，OEIBFADE，若的外心交于点在中线上，与，连接OEDBFBMDM 相似，且△点与△是直线上的一动点，M ．则点的坐标页 2 第158 cm其中一个等腰三角形的腰长和底边长分别为已知两个等腰三角形相似，．6 cm4 cm cm．，则它的腰长为，若另一个等腰三角形的底边长为和BC=4AC=3ABCC=90°16Rt．翻中，∠△，．如图，在，EFDCC（点使点处，落在斜边上某一点折∠折痕为，ABCCEFACBCEF相似，、与△、上）．若△分别在边AD ．的长为则BDA17ABCAB=6cmAC=12cm点出发到．如图，在钝角三角形从中，，动点，DCAE运动的速点出发到从点止，动点点止．点2cm/E1cm/秒．如果两运动的速度为秒，点度为EDA为顶点的三角形、点同时运动，那么当以点、ABC ．与△相似时，运动的时间是ABC18是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若．如图，△PABCPAB的坐标、为顶点的三角形与△以格点、相似但不全等，则格点．是4小题）三．解答题（共PDBABPCDACP19CD．上，△在线段．如图，点∽△、是等边三角形，且△APB1的大小．（）求∠BDACCD2之间的数量关系．、）说明线段、（AB=6DEFABEEFADDC20ABCD，、，分别在边点△、∽△．如图，在矩形上，中，EFDE=2AE=8的长．，求，DEFCAFABBCD21ABCE上的动点，若△分别是边，，，．定义：在△中，点，ABCBCDEFDABCEFA的、∽△（点、、是△、），则称△的对应点分别为点子三角形，如图．CABCAB1ABCDEF1，，△是等边三角形，点，（）已知：如图，分别是边，AD=BE=CF．上动点，且ABCDEF的子三角形．求证：△是△BE=A=90°ABC22DEFAB=AC，若∠（）已知：如图，△是△，的子三角形，且，ADCF的长．和求BACB=90°Rt22ABCAC=5cmBAC=60°M出．如图，在△中，∠，，∠，动点从点页3 第BA2cmANC出发，在匀速运动，边上以每秒同时动点的速度向点从点发，cmBt0tCB5），秒在（的速度向点边上以每秒≤匀速运动，设运动时间为≤MN．连接tBM=BN1的值；）若（，求t2MBNABC的值．）若△相似，求与△（参考答案一．选择题1B．．2C．．3B．．4C．．5C．．6B．．7C．．8D．．9D．．10D．．11B．．12B．．二．填空题13．．1114，﹣，）．）或（﹣．（15．．16或．．1734.8秒．秒或．181434）．）或（．（，，三．解答题191PCD是等边三角形，．解：（）∵△页 4 第PCD=60°，∴∠AAPC=60°，∴∠∠+ACPPDB，∵△∽△APC=PBD，∴∠∠AB=60°，∴∠∠+APB=120°；∴∠2ACPPDB，）∵△（∽△2=AC?BDCD．∴20ABCD是矩形，．解：∵四边形BAE=90°，∴∠AB=6AE=8，∵，=BE==10，∴ABEDEF，∽△∵△EF===．，即，解得∴2111中，）证明：如图．（ABC是等边三角形，∵△AB=BC=ACA=B=C=60°，∠∴∠，∠AD=BE=CF，∵AF=BD=CE，∴DAFEBDFCE，≌△∴△≌△DE=EF=DF，∴DEF是等边三角形，∴△DEF=EDF=B=A=60°，∠∠∴∠∠DEFABC．∴△∽△DEFABC的子三角形．∴△是△22EHABH．中，作于⊥（）如图AB=ACBAC=90°，∵，∠B=C=45°，∠∴∠DEFABC的子三角形，∵△是△页 5 第DEFABC，∽△∴△DE=DFEDF=90°，∴，∠ADFAFD=90°ADFEDH=90°，，∠∴∠∠+∠+EDH=AFD，∴∠∠DHE=A=90°，∵∠∠DEHDFA，∴△≌△AD=HE，∴BEH是等腰直角三角形，∵△=1HE=，∴×AD=1，∴DEC=DEFFEC=BBDE，++∠∵∠∠∠∠B=DEF=45°，∠∵∠BDECEF，∽△∴△CF=2．∴221RtABCACB=90°AC=5BAC=60°，．解：（中，∠）∵在，△，∠B=30°，∴∠BC=5AB=2AC=10．∴，CN=BM=2tt，由题意知：，tBN=5，∴﹣BM=BN，∵t2t=5，﹣∴=1015t=．解得：﹣2MBNABC时，）分两种情况：①当△∽△（==，，即则t=．解得：NBMABC时，②当△∽△==，则，即页 6 第t=．解得：t=ABCMBNt=或综上所述：当时，△与△相似．页 7 第。

【九年级】九年级上册第4章相似三角形单元试题（浙教版带答案）M第4章相似三角形检测题（本试卷满分120分，时间：120分钟）一、（每小题3分，共30分）1.已知四条线段是成比例线段，即，下列说法错误的是（）A．B.C.D．2.若，且，则的值是（）A.14B.42C.7D.3.下列四组图形中，不是相似图形的是（）4.已知两个相似多边形的面积比是9?16，其中较小多边形的周长为36 cm，则较大多边形的周长为( )A.48 cmB.54 cmC.56 cmD.64 cm5.如图，在△ 中，点分别是的中点，则下列结论：① ；②△ ∽△ ；③ .其中正确的有（）A.3个B.2个C.1个D.0个6.如图，已知 // ， // ，分别交于点，则图中共有相似三角形（）A.4对B.5对C. 6对D.7对7.如图，在△ 中，∠ 的垂直平分线交的延长线于点，则的长为（）A. B. C. D.8.已知△ 如图所示，则下列4个三角形中，与△ 相似的是（）9.（2021•四川中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于点D．则△BCD与△ABC的周长之比为（）A. 1?2B. 1?3C. 1?4D. 1?510.手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装裱手工画.下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形和矩形花边，其中每个图案花边的宽度都相同，那么每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（）二、题（每小题3分，共24分）11.如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大的三角形的周长为_______，面积为________．1 2.已知，且，则 _______.13.将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC ＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是．14. 若，则 .15.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，，且测得，，，那么该古城墙的高度是_____ .16.已知五边形∽五边形，17.如图，在△中，分别是边上的点， , 则 _______．18.如图，△ 三个顶点的坐标分别为，以原点为位似中心，将△ 缩小，位似比为，则线段的中点变换后对应点的坐标为_________.三、解答题（共66分）19.（8分）已知：如图，是上一点，∥ ，，分别交于点，∠1=∠2，探索线段之间的关系，并说明理由.20.(8分)已知：如图所示，正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥A B于点F，EG⊥AD于点G，AB=6，AE∶EC=2∶1，求S四边形AFEG．21.(8分)试判断如图所示的两个矩形是否相似.22.（8分）如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均在小正方形的顶点.（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1 2；（2）连接（1）中的AA′,求四边形AA′C′C的周长（结果保留根号）.23.（8分）已知：如图，在△ 中，∥ ，点在边上，与相交于点，且∠ ．求证：（1）△ ∽△ ；（2）24．（8分）如图，在正方形中，分别是边上的点，连结并延长交的延长线于点（1）求证：；（2）若正方形的边长为4，求的长．25.(8分)下面的短文，并解答下列问题：我们把相似形的概念推广到空间:如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似的，它们的一切对应线段之比都等于相似比a∶b．设S甲、S乙分别表示这两个正方体的表面积，则．又设Ｖ甲、Ｖ乙分别表示这两个正方体的体积，则．（1）下列几何体中，一定是相似体的是（）A．两个球体 B．两个圆锥体C．两个圆柱体D．两个长方体（2）请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于______；②相似体的表面积的比等于______；③相似体的体积的比等于_______．（3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一个人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为18千克，到了八年级时，身高为1.65米，问他的体重是多少？（不考虑不同时期人体平均密度的变化）26.（10分）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.原题：如图①，在 ABCD中，点E是BC边的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G.若 =3,求的值.（1）尝试探究在图①中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是，CG和EH的数量关系是，的值是 .（2）类比延伸如图②，在原题的条件下，若 =m(m＞0）,则的值是 (用含m的代数式表示），试写出解答过程.（3）拓展迁移如图③，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上一点，AE和BD相交于点F.若=a, =b (a＞0，b＞0)，则的值是 (用含a、b的代数式表示）.第4章相似三角形检测题参考答案一、1.C 解析：由比例的基本性质知A、B、D项都正确，C项不正确.2.D 解析：设，则所以所以 .3.D 解析：根据相似图形的定义知，A、B、C项都为相似图形，D项中一个是等边三角形，一个是直角三角形，不是相似图形.4.A 解析：两个相似多边形的面积比是9?16，则相似比为3?4，所以两图形的周长比为3?4，即36?48，故选A.5.A 解析：因为点分别是的中点，所以是△ 的中位线.由中位线的性质可推出①②③全部正确.6.C 解析：△ ∽△ ∽△ ∽△ .7. B 解析：在△ 中，∠ 由勾股定理得因为所以 .又因为所以△ ∽△ 所以，所以，所以 .8.C 解析：由对照四个选项知，C项中的三角形与△ 相似.9.A 解析:易证△BCD与△BAC相似，而周长比等于相似比，相似比等于对应边的比,△BCD与△BAC的相似比＝，且∠BCD ＝∠A=30°，由30°角所对的直角边等于斜边的一半,可得＝ .10.D 解析：选项A中，将里面的三角形任意一条边向两边延长与外面三角形的两边相交，利用平行线的性质可以得到内、外两三角形两个角对应相等，因此两三角形相似；B中，由于任意两个等边三角形相似，因此B中两三角形相似；同理C中两正方形相似；D 中内、外两矩形对应边不成比例，故两矩形不相似.二、题11.90，270 解析：设另一三角形的其他两边长分别为由题意得，所以又因为所以三角形是直角三角形，所以周长为12.4 解析：因为，所以设，所以所以13. 或2 解析：设，由折叠的性质知，当△ ∽△ 时，，∴ ，解得 .当△ ∽△ 时, ，∴ ，解得.∴ 的长度是或2.14. 解析：设，则，，，∴ .15.8 解析：由反射角等于入射角知∠ ∠ ，所以△ ∽△ 所以，所以，所以16. 解析：因为五边形∽五边形所以 .又因为五边形的内角和为所以 .17. 解析：在△ 和△ 中，∵ , ,∴ △ ∽△ .∴ ∴ ∴ .18. 或解析：∵ （2，2），（6，4），∴ 其中点坐标为（4，3），又以原点为位似中心，将△ 缩小，位似比为，∴ 线段的中点变换后对应点的坐标为或 .三、解答题19.解： . 理由如下：∵ ∠ ∠ ，∴ .又∵ ∴ △ ∽△ ，∴ ，即 .20.分析：通过观察可以知道四边形是正方形，的值与的值相等，从而可以求出的长；根据相似多边形的面积比等于相似比的平方可以求出四边形的面积.解:已知正方形ABCD，且EF⊥AB，EG⊥AD,∴ EF∥CB，EG∥DC.∴ 四边形AFEG是平行四边形.∵ ∠1 ∠2 45°,∴ .又∵ ∠ ，∴ 四边形AFEG是正方形，∴ 正方形ABCD∽正方形AFEG，∴ S正方形ABCD∶S正方形AFEG=AB2∶AF2（相似多边形的面积比等于相似比的平方）.在△ABC中，EF∥CB ,∴ AE∶EC=AF∶FB=2∶1.又,∴ .∴ S正方形ABCD∶S正方形AFEG=36∶16，∴ .21.分析：要判定两个多边形相似，必须对应角相等，对应边成比例，因矩形的四个角都是直角，符合对应角相等，只要证明对应边成比例即可.解：因为两个图形都是矩形，显然它们的四个角都分别相等.从图中数据观察可知小矩形的长为20，宽为10，于是两个矩形的长之比为 = ,宽之比为 ,符合对应边成比例，对应角相等，故这两个矩形是相似的.22.解：（1）如图.（2）四边形的周长=4+6 .23.证明：（1）∵ ，∴ ∠ ．∵ ∥ ，∴ ，．∴ ．∵ ，∴ △ ∽△ ．（2）由△ ∽△ ，得．∴ ．由△ ∽△ ，得．又∵ ∠ ∠ ，∴ △ ∽△ ．∴ ．∴ ．∴ ．24.（1）证明：在正方形中，， .∵ ∴ ，∴ ，∴ .（2）解：∵ ∴ ，由(1)得，∴ ，∴ .由∥ ，得，∴ △ ∽△ ，∴ ，∴ .25.分析：本题是相似图形的推广，理解相似正方体的概念和性质，由此类比，从而得出相似体的性质.解：（1）A（2）①相似比②相似比的平方③相似比的立方（3）可由相似体的特征，直接列方程求解．设他的体重为千克，则．解得（千克）．答：他的体重为60.75千克.26.分析：（1）∵ EH∥AB,∴ ∠BAF=∠HEF,∠ABF=∠EHF,∴ △ABF∽△EHF.∴ = =3,∴ AB=3EH.∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD.又EH∥AB，∴ EH∥CD.∴ △BEH∽△BCG,∴ = =2,即CG＝2EH.∴ ＝＝＝ .（2）作EH∥AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB,△BEH∽△BCG,∴ 可证AB＝mEH，CG ＝2EH，从而＝＝ .（3）过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则△BCD∽△BEH,△ABF∽△EHF，∴ = , = .∴ EH= , = =ab.解：（1）AB＝3EH；CG＝2EH； .（2） .解答过程如下：作EH∥AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB.∴ = =m,∴ AB=mEH.∵ AB=CD,∴ CD=mEH.∵ EH∥AB∥CD,∴ △BEH∽△BCG.∴ ＝＝2，∴ CG＝2EH.∴ = = .(3)ab.5 Y感谢您的阅读，祝您生活愉快。

浙教版九年级数学上册第四章相似三角形单元检测试题一、单选题（共10题；共30分）1.身高为1.8m的墨墨站在离路灯底部6m处时发现自己的影长恰好为2m ，如图所示，则该路灯的高度是（）.A. 5.4mB. 6mC. 7.2mD. 8m2.在平面直角坐标系中，已知点A（-3，6）、B（-9，-3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO 缩小，则点A的对应点A′的坐标是( )A. （-1，2）B. （-9，18）C. （-9，18）或（9，―18）D. （-1，2）或（1，-2）3.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）A.∠AED=∠BB.∠ADE=∠CC.D.4.雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2米远一块小积水处，他看到旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40米，该生的眼部高度是1.5米，那么旗杆的高度是（）A. 30米B. 40米C. 25米D. 35米5.在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为2，把△EFO 缩小，则点E的对应点E′的坐标是（）A. (-2,1)B. (-8,4)C. (-8,4)或(8,-4)D. (-2,1)或(2,-1)6.两个相似三角形，他们的周长分别是36和12.周长较大的三角形的最大边为15，周长较小的三角形的最小边为3，则周长较大的三角形的面积是（）A. 52B. 54C. 56D. 58．7.△ABC的三边长分别为、、2，△A′B′C′的两边长分别为1和，如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边的长应等于( )A. B. 2 C. D. 28.如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（）A. AB2=BC•BDB. AB2=AC•BDC. AB•AD=BC•BDD. AB•AC=AD•BC9.如图，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则S△EDC：S△ABC=（）A. 1：2B. 1：4C. 1：3D. 2：310.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD的中点，BF与CE相交于点H，直线EN交CB的延长线于点N，作CM⊥EN于点M，交BF于点G，且CM=CD，有以下结论：①BF⊥CE；②ED=EM；③tan∠ENC= ；④S四边形DEHF=4S△CHF，其中正确结论的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（共10题；共33分）11.线段a、b的长度分别是2cm和8cm，则a、b的比例中项长为________ cm．12.已知△ABC与△DEF相似，且△ABC与△DEF的相似比为2：3，若△DEF 的面积为36，则△ABC的面积等于________．13.若两个相似多边形面积比为4：9，则它们的周长比是________．14.△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的面积的比为________．15.已知等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点D在直线AC上，且CD=2，连接BD，作BD的垂直平分线交三角形的两边于E、F，则EF的长为________ ．16.选择-1,A,2,4这四个数构成比例式，则A等于________或________．（只要求写出两个值）17.如图，点P是平行四边形ABCD中边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，若，则△=________△18.如图所示，D，E分别在△ABC的边AB、AC上，DE与BC不平行，当满足________条件时，有△ABC∽△AED．19.如图，△ABC和△ECD均为等边三角形，B、C、D三点在一直线上，AD、BE相交于点F，DF=3，AF=4，则线段FE的长为________．20.如图1，有一张矩形纸片ABCD，已知AB=10，AD=12，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕BF进行折叠，使点A落在BC边上的点E处，点F在AD上（如图2）；然后将纸片沿折痕DH进行第二次折叠，使点C落在第一次的折痕BF上的点G处，点H在BC上（如图3），给出四个结论：①AF的长为10；②△BGH的周长为18；③ = ；④GH的长为5，其中正确的结论有________．（写出所有正确结论的番号）三、解答题（共7题；共57分）21.如图所示．在△ABC中，EF∥BC，且AE：EB=m，求证：AF：FC=m．22.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P ，在近岸取点Q和S ，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T ，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R ．如果测得QS=45m ，ST=90m ，QR=60m ，求河的宽度PQ ．23.如图所示，现有边长为1，a（a＞1）的一张矩形纸片ABCD，把这个矩形按要求分割，画出分割线，并在相应的位置上写出a的值．（1）把这个矩形分成两个全等的小矩形，且分成的两个矩形与原矩形相似．（2）把这个和矩形分成三个矩形，且每一个矩形都与原矩形相似，给出两种不同的分割．24.数学课上，老师要求同学们在扇形纸片OAB上画出一个正方形，使得正方形的四个顶点分别落在扇形半径OA、OB和弧AB上．有一部分同学是这样画的：如图1，先在扇形OAB内画出正方形CDEF，使得C、D在OA上，F在OB上，连结OE并延长交弧AB与G点，过点G，作GJ⊥OA于点J，作GH⊥GJ交OB 于点H，再作HI⊥OA于点I．25.如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，点E是BC上一动点（不与B、C重合），且DF⊥AE，垂足为F. 设AE=xcm，DF=ycm.（1）求证：△DFA∽△ABE；（2）试求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.26.如图，在四边形ABCD中，AD、BD相交于点F，点E在BD上，且．（1）∠1与∠2相等吗？为什么？（2）判断△ABE与△ACD是否相似？并说明理由．27.如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？答案解析部分一、单选题1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】D4.【答案】A5.【答案】D6.【答案】B7.【答案】C8.【答案】A9.【答案】B10.【答案】D二、填空题11.【答案】412.【答案】1613.【答案】2：314.【答案】9：1615.【答案】16.【答案】﹣2；﹣817.【答案】18.【答案】∠ADE=∠C或∠AED=∠B或=19.【答案】120.【答案】①③④三、解答题21.【答案】证明：∵EF∥BC，∴AF：FC=AE：EB，∵AE：EB=m，AF：FC=m22.【答案】解答：根据题意得出：QR∥ST ，则△PQR∽△PST ，故= ，∵QS=45m，ST=90m，QR=60m，∴= ，解得：PQ=90（m），∴河的宽度为90米．23.【答案】解：（1）∵是自相似2分割，∴BF=FC=BC，根据相似矩形对应边成比例，∴a•a=1，解得a=；（2）如图所示：24.【答案】解：（1）四边形GHIJ是正方形．证明如下：如图1，∵GJ⊥OA，GH⊥GJ，HI⊥OA，∴∠GJO=∠JIH=∠JGH=90°，∴四边形GHIJ是矩形，∵四边形CDEF是正方形，CD边与矩形GHIJ的IJ边在同一条直线上∴FC∥HI，EF∥GH，∴△FOC∽△HOI，△EFO∽△GHO．∴，．∴．又∵FC=EF，∴HI=GH．∴四边形GHIJ是正方形；（2）如图2，正方形MNGH为所作．25.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∠ABE=90°．∴∠DAF=∠AEB．又∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°∴∠ABE=∠DFA∴△ABE∽△DFA。

浙教版九年级上册数学第4章相似三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，则下列结论成立的是（）A.△PAB∽△PCAB.△PAB∽△PDAC.△ABC∽△DBAD.△ABC∽△DCA2、如图，点O是边长为4 的等边△ABC的内心，将△OBC绕点O逆时针旋转30°得到△OB1C1， B1C1交BC于点D，B1C1交AC于点E，则DE＝（）A.2B.4C.2D.6﹣23、如图，已知BC∥DE，则下列说法中不正确的是（）A.两个三角形是位似图形B.点A是两个三角形的位似中心C.AE︰AD是位似比D. 点B与点E、点C与点D是对应位似点4、将一副直角三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于（）．A. B. C. D.5、如图，以O为位似中心将四边形ABCD放大后得到四边形A′B′C′D′，若OA=4，OA′=8，则四边形ABCD和四边形A′B′C′D′的周长的比为（）A.1：2B.1：4C.2：1D.4：16、浙江省庆元县与著名的武夷山风景区之间的直线距离约为105公里，在一张比例尺为1：2000000的旅游图上，它们之间的距离大约相当于（）.A.一根火柴的长度B.一支钢笔的长度C.一支铅笔的长度D.一根筷子的长度7、如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，E，F在AD上，BE与CF 相交于点G，若AB=7，BC=10，则△EFG与△BCG的面积之比为（）A.4：25B.49：100C.7：10D.2：58、如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm，宽为8dm，上下边框的宽度都为xdm，左右边框的宽度都为ydm．则符合下列条件的x，y的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为（）A.x=yB.3x=2yC.x=1，y=2D.x=3，y=29、如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD:AB=1:3，则△ADE与△ABC的面积之比是( )A.1:3B.1:4C.1:9D.1:1610、如图，△ABC中，DE∥AB，则下列式子中错误的是（）A. B. C. D.11、若3x＝2y（xy≠0），则下列比例式成立的是（）A. B. C. D.12、△ABC与△DEF相似，且相似比是，则△DEF与△ABC的相似比是（）A. B. C. D.13、如果两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个三角形的面积比为（）A.2：3B. ：C.4：9D.9：414、如图，△ABC中，∠A=70°，AB=4，AC= 6，将△ABC沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A. B. C.D.15、如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B 向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米 , CA=1米, 则树的高度为（）A.4.5米B.6米C.3米D.4米二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，CE是▱ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E．连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②∠ACD＝∠BAE；③AF：BE＝2：3；④S四边形AFOE：S△COD＝2：3．其中正确的结论有________．（填写所有正确结论的序号）17、已知正方形ABCD的面积为9cm2，正方形EFGH的面积为16cm2，则两个正方形边长的相似比为________18、如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且线段CD与AD之比为1：2，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE，交AB于点F，那么线段EF与EB之比等于________。

期末专题复习：浙教版九年级数学上册第四章相似三角形单元检测试卷一、单选题（共10题；共30分）1.如图，△ABC中，AD⊥BC于D ，下列条件：①∠B+∠DAC=90°；②∠B=∠DAC；③ = ；④AB2=BD•BC ．其中一定能够判定△ABC是直角三角形的有（）A. 1B. 2C. 3D. 42.已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（）A. 32B. 8C. 4D. 163.在某幅地图上，AB两地距离8.5cm，实际距离为170m，则比例尺为（）A. 120B. 1：20000C. 1：200000D. 1：20000004.如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB：：3，则下列结论正确的是( )A. B. C. ∠∠ D. ∠∠5.如图▱ABCD，E是BC上一点，BE：EC=2：3，AE交BD于F，则BF：FD等于（）A. 5：7B. 3：5C. 2：3D. 2：56.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，且DE∥BC，若= ，则的值等于（）A.B.3C.D.7.已知，直角坐标系中，点E（-4，2），F（-1，-1），以O为位似中心，按比例尺2：1把△EFO缩小，则点E的对应点的坐标为（）A. （2，-1）或（-2，1）B. （8，-4）或（-8，4）C. （2，-1）D. （8，-4）8.如图，已知BC∥DE，则下列说法中不正确的是（）A. 两个三角形是位似图形B. 点A是两个三角形的位似中心C. AE︰AD是位似比D. 点B与点E、点C与点D是对应位似点9.如图，▱ABCD中，AE∶ED=1∶2，S△AEF=6 cm2，则S△CBF等于( )A. 12 cm2B. 24 cm2C. 54 cm2D. 15 cm210.如图，已知矩形ABCD，AB=6，BC=8，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE相交于I，与BD相交于H，则四边形BEIH的面积为（）A. B. C. D.二、填空题（共10题；共30分）11.两个相似三角形的周长的比为，它们的面积的比为________．12.如图，点在的边上，请你添加一个条件，使得∽,这个条件可以是________.13.如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则BD=________ ．14.如图，点为△的边上一点，，.若∠∠，则________.15.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若，则________．16.如图，△AOB中，∠O=90°，AO=8cm，BO=6cm，点C从A点出发，在边AO上以4cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以3cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了________ s时，以C点为圆心，2cm为半径的圆与直线EF相切．17.如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么=________ ．18.已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB="3" , BF⊥BP，垂足是点B, 若在射线BF上找一点M，使以点B, M, C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM为________ .19.如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF∶CF＝________ ．20.如图，在一块直角三角板ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，将另一个含30°角的△EDF的30°角的顶点D放在AB边上，E，F分别在AC，BC上，当点D在AB边上移动时，DE始终与AB垂直，若△CEF与△DEF相似，则AD=________．三、解答题（共8题；共60分）21.如图，在△ABC和△ADE中，已知∠B=∠D ，∠BAD=∠CAE ，求证：△ABC∽△ADE ．22.如图所示的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，B（﹣1，﹣1），C（5，﹣1）（1）把△ABC绕点C按顺时针旋转90°后得到△A1B1C1，请画出这个三角形并写出点B1的坐标；（2）以点A为位似中心放大△ABC，得到△A2B2C2，使放大前后的面积之比为1：4，请在下面网格内出△A2B2C2．23.如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E、F.求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．24.如图，在△ABC中，AC=8cm，BC=16cm，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC和△ABC 相似？25.如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE.①试说明BE·AD＝CD·AE；②根据图形特点，猜想可能等于哪两条线段的比?并证明你的猜想，（只须写出有线段的一组即可）26.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D 作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．27.如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连接OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若DE=2BC，求AD：OC的值．28.如图，在Rt△ABC中，AB=AC=4．一动点P从点B出发，沿BC方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C即停止．在整个运动过程中，过点P作PD⊥BC与Rt△ABC的直角边相交于点D，延长PD 至点Q，使得PD=QD，以PQ为斜边在PQ左侧作等腰直角三角形PQE．设运动时间为t秒（t＞0）．（1）在整个运动过程中，设△ABC与△PQE重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及相应的自变量t的取值范围；（2）当点D在线段AB上时，连接AQ、AP，是否存在这样的t，使得△APQ成为等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由；（3）当t=4秒时，以PQ为斜边在PQ右侧作等腰直角三角形PQF，将四边形PEQF绕点P旋转，PE与线段AB相交于点M，PF与线段AC相交于点N．试判断在这一旋转过程中，四边形PMAN的面积是否发生变化？若发生变化，求出四边形PMAN的面积y与PM的长之间的函数关系式以及相应的自变量的取值范围；若不发生变化，求出此定值．答案解析部分一、单选题1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】D4.【答案】B5.【答案】D6.【答案】D7.【答案】A8.【答案】C9.【答案】C10.【答案】C二、填空题11.【答案】4：912.【答案】∠C=∠ABP（答案不唯一）13.【答案】14.【答案】15.【答案】116.【答案】17.【答案】18.【答案】3或19.【答案】20.【答案】或三、解答题21.【答案】解答：如图，∵∠BAD=∠CAE ，∴∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE ，即∠DAE=∠BAC ．又∵∠B=∠D ，∴△ABC∽△ADE ．22.【答案】（1）解：如图所示：△A1B1C1，即为所求，点B1的坐标为：（5，5）（2）解：如图所示：△A2B2C223.【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠DAC＝∠BAC＝45°.又∵GE⊥AD，GF⊥AB，∴EG＝FG，且AE＝EG，AF＝FG.∴AE＝EG＝FG＝AF，即四边形AFGE为正方形．∴＝＝＝，且∠EAF＝∠DAB，∠AFG＝∠ABC，∠FGE＝∠BCD，∠AEG＝∠ADC. ∴四边形AFGE与四边形ABCD相似24.【答案】解：设经过秒，两三角形相似，则CP=AC-AP=8-，CQ=2，①当CP与CA是对应边时，，即，解=4秒；②当CP与BC是对应边时，，即，解= 秒；故经过4或秒，两个三角形相似25.【答案】解：①∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，即∠DAC=∠BAE，∵∠AEB=∠ADB+∠DAE，∠ADC=∠ADB+∠BDC，又∵∠DAE=∠BDC，∴∠AEB=∠ADC，∴△BEA∽△CDA，∴= ，即BE·AD=CD·AE；②猜想= 或（），由△BEA∽△CDA可知，= ，即= ，又∵∠DAE=∠BAC，∴△BAC∽△EAD，∴= 或（）26.【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB= =5．∵AD=5t，CE=3t，∴当AD=AB时，5t=5，即t=1；∴AE=AC+CE=3+3t=6，DE=6﹣5=1．（2）∵EF=BC=4，G是EF的中点，∴GE=2．当AD＜AE（即t＜）时，DE=AE﹣AD=3+3t﹣5t=3﹣2t，若△DEG与△ACB相似，则或，∴=或=，∴t=或t= ；当AD＞AE（即t＞）时，DE=AD﹣AE=5t﹣（3+3t）=2t﹣3，若△DEG与△ACB相似，则或，∴=或=，解得t=或t=；综上所述，当t=或或或时，△DEG与△ACB相似．27.【答案】（1）证明：连接OD，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∵AD∥OC，∴∠OAD=∠COD，∠ODA=∠COD，∴∠COD=∠BOC，在△COD和△BOC中：∠∠，∴△COD≌△BOC，∴∠ODC=∠OBC=90°，∴CD为圆O的切线；（2）解：∵△COD≌△COB，∴BC=CD，∵DE=2BC，∴DE=2CD，∵AD∥OC，∴△DAE∽△COE，∴AD：OC=ED：AC=2：3．28.【答案】解：（1）当0＜t≤4时，S=t2，当4＜t≤时，S=-t2+8t-16，当＜t＜8时，S=t2-12t+48；（2）存在，理由：当点D在线段AB上时，∵AB=AC，∴∠B=∠C=（180°-∠BAC）=45°．∵PD⊥BC，∴∠BPD=90°，∴∠BDP=45°，∴PD=BP=t，∴QD=PD=t，∴PQ=QD+PD=2t．过点A作AH⊥BC于点H，∵AB=AC，∴BH=CH=BC=4，AH=BH=4，∴PH=BH-BP=4-t，在Rt△APH中，AP==；（ⅰ）若AP=PQ，则有=2t．解得：=，=（不合题意，舍去）；（ⅱ）若AQ=PQ，过点Q作QG⊥AP于点G，如图（1），∵∠BPQ=∠BHA=90°，∴PQ∥AH．∴∠APQ=∠PAH．∵QG⊥AP，∴∠PGQ=90°，∴∠PGQ=∠AHP=90°，∴△PGQ∽△AHP，∴=，即=，∴PG=，若AQ=PQ，由于QG⊥AP，则有AG=PG，即PG=AP，即=．解得：t1=12-4，t2=12+4（不合题意，舍去）；（ⅲ）若AP=AQ，过点A作AT⊥PQ于点T，如图（2），易知四边形AHPT是矩形，故PT=AH=4．若AP=AQ，由于AT⊥PQ，则有QT=PT，即PT=PQ，即4=×2t．解得t=4．当t=4时，A、P、Q三点共线，△APQ不存在，故t=4舍去．综上所述，存在这样的t，使得△APQ成为等腰三角形，即=秒或t2=（12-4）秒；（3）四边形PMAN的面积不发生变化．理由如下：∵等腰直角三角形PQE，∴∠EPQ=45°，∵等腰直角三角形PQF，∴∠FPQ=45°．∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=45°+45°=90°，连接AP，如图（3），∵此时t=4秒，∴BP=4×1=4=BC，∴点P为BC的中点．∵△ABC是等腰直角三角形，∴AP⊥BC，AP=BC=CP=BP=4，∠BAP=∠CAP=∠BAC=45°，∴∠APC=90°，∠C=45°，∴∠C=∠BAP=45°，∵∠APC=∠CPN+∠APN=90°，∠EPF=∠APM+∠APN=90°，∴∠CPN=∠APM，∴△CPN≌△APM，∴S△CPN=S△APM，∴S=S△APM+S△APN=S△CPN+S△APN=S△ACP=×CP×AP=×4×4=8．四边形PMAN∴四边形PMAN的面积不发生变化，此定值为8．。

浙教版九年级数学上册第四章相似三角形单元检测试卷一、单选题（共10题；共30分）1. 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，下列条件：①∠B+∠DAC=90°；②∠B=∠DAC；③=；④AB2=BD•BC．其中一定能够判定△ABC是直角三角形的有（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据已知对各个条件进行分析，从而得到答案．【详解】解：（1）不能，∵AD⊥BC，∴∠B+∠BAD=90°，∵∠B+∠DAC=90°，∴∠BAD=∠DAC，∴无法证明△ABC是直角三角形；（2）能，∵∠B=∠DAC，则∠BAD=∠C，∴∠B+∠BAD=∠C+∠DAC=180°÷2=90°；（3）能,∵CD：AD=AC：AB，∠ADB=∠ADC=90°，∴Rt△ABD∽Rt△CAD（直角三角形相似的判定定理），∴∠ABD=∠CAD；∠BAD=∠ACD,∵∠ABD+∠BAD=90°,∴∠CAD+∠BAD=90°,∵∠BAC=∠CAD+∠BAD,∴∠BAC=90°；（4）能，∵能说明△CBA∽△ABD，∴△ABC一定是直角三角形．共有3个．故选C．【点睛】通过计算角相等和边成比例，判断出两个三角形是否相似，进而判断出是否为直角．2. 已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（）A. 32B. 8C. 4D. 16【答案】C【解析】分析：由△ABC∽△DEF，相似比为2，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可得△ABC与△DEF 的面积比为4，又由△ABC的面积为16，即可求得△DEF的面积．详解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2，∴△ABC与△DEF的面积比为4，∵△ABC的面积为16，∴△DEF的面积为：16×14=4．故选C．点睛：此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方的性质的应用．3. 在某幅地图上，AB两地距离8.5cm，实际距离为170km，则比例尺为（）A. 1:20B. 1：20000C. 1：200000D. 1：2000000【答案】D【解析】【分析】比例尺=图上距离：实际距离,注意单位要统一.【详解】解：∵比例尺=图上距离：实际距离, ∴比例尺=8.5:17000000= 1：2000000 故选D. 【点睛】本题考查了比例尺的求法,属于简单题,熟悉比例尺的概念是解题关键.4. 如图，正五边形FGHMN与正五边形ABCDE相似，若:2:3AB FG=，则下列结论正确的是（）A. 23DE MN= B. 32DE MN= C. 32A F∠=∠ D. 23A F∠=∠【答案】B【解析】【分析】根据相似多边形的定义：各边对应成比例,各角对应相等的多边形叫做相似多边形，逐一分析即可．【详解】解：因为相似多边形的对应角相等，对应边成比例，所以,:2:3A F DE MN ∠=∠=，故可排除C 和D所以32DE MN =．故排除A故选B ．【点睛】此题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的定义是解决此题的关键．5. 如图▱ABCD ，E 是BC 上一点，BE ：EC=2：3，AE 交BD 于F ，则BF ：FD 等于（ ）A. 5：7B. 3：5C. 2：3D. 2：5 【答案】D【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD//BC，AD=BC ，∵BE+EC=BC，BE ：EC=2：3，∴BE：AD=2：5，∵AD//BC，∴△BEF∽△DAF，∴BF：FD= BE ：AD=2：5，故选D .6.如图，在ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，且DE BC ∥，若32AD DB =，则AE AC 的值等于（ ）A. 32B. 3C.23D.35【答案】D【解析】试题解析：∵DE∥BC，∴AD：DB=AE：EC，而32 AD DB=∴32 AE EC=∴35 AEAC=．故选D．7. 在平面直角坐标系中，点E（﹣4，2），点F（﹣1，﹣1），以点O为位似中心，按比例1：2把△EFO缩小，则点E的对应点E的坐标为（）A. （2，﹣1）或（﹣2，1）B. （8，﹣4）或（﹣8，4）C. （2，﹣1）D. （8，﹣4）【答案】A【解析】【分析】利用位似比为1：2，可求得点E的对应点E′的坐标为（2，-1）或（-2，1），注意分两种情况计算．【详解】∵E（-4，2），位似比1：2，∴点E的对应点E′的坐标为（2，-1）或（-2，1）．故选A．【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比．注意位似的两种位置关系．8. 如图，已知BC∥DE，则下列说法中不正确的是（）A. 两个三角形是位似图形B. 点A是两个三角形的位似中心C. AE︰AD是位似比D. 点B与点E、点C与点D是对应位似点【答案】C【解析】【分析】【详解】∵BC∥DE，且CD与BE相交于点A，∴A、两个三角形是位似图形，正确，不合题意；B、点A是两个三角形的位似中心，正确，不合题意；C、AE：AC是位似比，故此选项错误，符合题意；D、点B与点E，点C与点D是对应位似点，正确，不合题意，故选C．9. 如图，ABCD中，AE∶ED=1∶2，S△AEF="6" cm2，则S△CBF等于( )A.12 cm2B. 24 cm2C. 54 cm2D. 15 cm2【答案】C 【解析】试题分析：由AE∶ED=1∶2可得AE∶AD=1∶3，根据平行四边形的性质可得AD=BC，AD∥BC，即可证得，再根据相似三角形的性质即可求得结果.∵AE∶ED=1∶2∴AE∶AD=1∶3∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC，AD∥BC∴AE∶BC=1∶3，△AEF∽△CBF∴S△AEF∶S△CBF=1∶9∵S△AEF="6" cm2∴S△CBF="54" cm2故选C.考点：平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质点评：平行四边形的性质的应用是初中数学的重点，也是难点，是中考常见题，因而熟练掌握平行四边形的性质极为重要.10. 如图，已知矩形ABCD，AB=6，BC=8，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE相交于I，与BD相交于H，则四边形BEIH的面积为（）A. 385B.2813C.285D.4813【答案】C【解析】【分析】延长AF交DC于Q点，由矩形的性质得出CD=AB=6，AB∥CD，AD∥BC，得出CQ AB ＝CFBF=1，△AEI∽△QDE，因此CQ=AB=CD=6，△AEI的面积：△QDI的面积=3：12=1：4，∵AD=8，求出△AEI的面积=125，△ABF的面积=12，△BFH的面积=4，四边形BEIH的面积=△ABF的面积-△AEI的面积-△BFH的面积，即可得出结果．【详解】解：延长AF交DC于Q点，如图所示：∵E，F分别是AB，BC的中点，∴AE=12AB=3，BF=CF=12BC=4，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=6，AB∥CD，AD∥BC，∴CQAB＝CFBF=1，△AEI∽△QDE，∴CQ=AB=CD=6，△AEI的面积：△QDI的面积=3：12=1：4，∵AD=8，∴△AEI中AE边上的高=85，∴△AEI的面积=12×3×85=125，∵△ABF的面积=12×4×6=12，∵AD∥BC，∴△BFH∽△DAH，∴BHDH=BFAD=12，∴△BFH的面积=12×2×4=4，∴四边形BEIH的面积=△ABF的面积-△AEI的面积-△BFH的面积=12-125-4=285．故选C．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．二、填空题（共10题；共30分）11. 若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是_________.【答案】4∶9【解析】试题解析：∵两个相似三角形的周长比为2：3，∴这两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们的面积比是4：9．考点：相似三角形的性质．12. 如图，点P在△ABC的边AC上，请你添加一个条件，使得△ABP∽△ACB，这个条件可以是________．【答案】∠ABP=∠C（答案不唯一）【解析】由相似三角形的判定可知：对应角相等，对应边成比例或两对角相等，题中∠A为公共角，再有一对对应角相等即可.【详解】在△ABP与△ACB中，∠A为两三角形的公共角，只需再有一对对应角相等，即∠ABP＝∠C，便可使△ABP∽△ACB，所以答案为：∠ABP＝∠C（答案不唯一）.【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键.13. 如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF=_____【答案】143．【解析】【分析】【详解】解：令AE=4x，BE=3x，∴AB=7x.∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD=AB=7x，CD∥AB，∴△BEF∽△DCF.∴3377BF BE x DF CD x===，∴DF=143【点睛】本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，掌握定理正确推理论证是本题的解题关键.14. 如图，点D为△ABC的AB边上一点，AD=2，DB=3．若∠B=∠ACD，则AC=_____．10．【解析】由∠B=∠ACD、∠A=∠A，可证出△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出ACAB=ADAC，代入数据即可求出AC的值．【详解】解：∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴ACAB=ADAC，即23AC+=2AC，∴AC=10或AC=-10（不合题意，舍去）．故答案为10．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质找出关于AC的方程是解题的关键．15. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若3DECS∆=，则BCFS∆=________．【答案】4【解析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，和△DEF∽△BCF，由已知条件求出△DEF的面积，根据相似三角形的面积比是相似比的平方得到答案.解：因为E为AD中点，AD∥BC，所以，△DFE∽△BFC，所以，12EF DEFC BC==，12DEFDCFS EFS FC∆∆==，所以，13DEF DECS S∆∆=＝1，又14DEFBCFSS∆∆=，所以，BCFS∆=4．“点睛”本题考查的是平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质；掌握三角形相似的判定和性质定理是解题的关键，注意：相似三角形的面积比是相似比的平方.16. 如图，△AOB中，∠O=90°，AO=8cm，BO=6cm，点C从A点出发，在边AO上以4cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以3cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了________ s时，以C点为圆心，2cm为半径的圆与直线EF相切．【答案】3 4【解析】【分析】当以点C为圆心，2cm为半径的圆与直线EF相切时，即CF=2cm，又因为∠EFC=∠O=90°，所以△EFC∽△DOC，利用对应边的比相等即可求出EF的长度，再利用勾股定理列出方程即可求出t的值，要注意t的取值范围为0≤t≤2．【详解】当以点C为圆心，2cm为半径的圆与直线EF相切时，此时，CF=2，由题意得：AC=4t，BD=3t∴OC=8-4t，OD=6-3t，∵点E是OC的中点，∴CE=12OC=4-2t，∵∠EFC=∠O=90°，∠FCE=∠DCO，∴△EFC∽△DOC，∴EF FC OD OC=，∴EF=()2633 822tt-=-，由勾股定理可知：CE2=CF2+EF2，∴（4-2t）2=2 2+（32）2，解得：t=34或t=134，∵0≤t≤2，∴t=34．故答案为34．【点睛】本题考查圆的切线性质，主要涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，切线的性质等知识，题目综合程度较高，很好地考查学生综合运用知识的能力．17. 如图，△ABC 的两条中线AD 和BE 相交于点G ，过点E 作EF ∥BC 交AD 于点F ，那么FG AG ＝________．【答案】14【解析】【分析】 根据重心的性质得到AG=2DG ，BG=2GE ，根据平行线分线段成比例定理计算即可．【详解】解：∵△ABC 的两条中线AD 和BE 相交于点G ，∴点G 是△ABC 的重心，∴AG=2DG ，BG=2GE ，∵EF ∥BC ，∴FG GD ＝EG BG =12． 故答案为12． 【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质、平行线分线段成比例定理的应用，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．18. 如图，已知点P 是边长为4的正方形ABCD 内一点，且3PB ＝，BF BP ⊥，垂足是点B ，若在射线BF 上找一点M ，使以点B ，M ，C 为顶点的三角形与ABP ∆相似，则BM 的长为_________.【答案】3或163． 【解析】 试题分析：∵∠ABC=∠FBP=90°∴∠ABP=∠CBF当△ABP ∽△MBC 时，BM ：AB=BC ：BP ，得BM=4×4÷3=163；当△ABP∽△CBM时，BM：BP=CB：AB，得BM=4×3÷4=3．故答案是3或163．考点：1.相似三角形的性质2.正方形的性质．19. 如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF：CF＝_______．【答案】13．【解析】试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴△AEF∽△BCF，∴AE AF BC CF=，∵点E为AD的中点，∴1=2 AE AFBC CF=，∴1=3 AFAC．故答案是13．考点：1.相似三角形的判定与性质，2.平行四边形的性质．20. 如图，在一块直角三角板ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，将另一个含30°角的△EDF的30°角的顶点D放在AB边上，E、F分别在AC、BC上，当点D在AB边上移动时，DE始终与AB垂直，若△CEF 与△DEF相似，则AD= ．【答案】或【解析】试题分析：由于∠EDF=30°，且DE总垂直于AB，因此∠FDB=60°，此时发现△FDB是等边三角形，那么BD=BF，2﹣AD=1﹣CF，即AD=CF+1．由于∠C是直角，当△CEF与△DEF相似时，△DEF必为直角三角形，那么可分两种情况讨论：①∠DEF=90°，此时，△CEF∽△DEF；②∠DFE=90°，此时△CEF∽△FED；可根据各相似三角形得到的比例线段求出CF的值，进而可求得AD的值．解：∵∠EDF=30°，ED⊥AB于D，∴∠FDB=∠B=60°，∴△BDF是等边三角形；∵BC=1，∴AB=2；∵BD=BF，∴2﹣AD=1﹣CF；∴AD=CF+1．①如图1，∠FED=90°，△CEF∽△EDF，∴=，即=，解得，CF=；∴AD=+1=；②如图2，∠EFD=90°，△CEF∽△FED，∴=，即=；解得，CF=；∴AD=+1=．故答案为或．考点：相似三角形的性质．三、解答题（共8题；共60分）21. 如图，在△ABC和△ADE中，已知∠B=∠D，∠BAD=∠CAE，求证：△ABC∽△ADE．【答案】证明见解析【解析】试题分析：利用“两角对应相等的两三角形相似”来证：△ABC∽△ADE.试题解析：如图，∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE，即∠DAE=∠BAC．又∵∠B=∠D，∴△ABC∽△ADE．22. 如图所示的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，B（﹣1，﹣1），C（5，﹣1）（1）把△ABC绕点C按顺时针旋转90°后得到△A1B1C1，请画出这个三角形并写出点B1的坐标；（2）以点A为位似中心放大△ABC，得到△A2B2C2，使放大前后的面积之比为1：4，请在下面网格内出△A2B2C2．【答案】（1）图见解析；B1（5，5）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质进而得出对应点位置即可得出答案．【详解】（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，点B1的坐标为：（5，5）；（2）如图所示：△A2B2C2．【点睛】本题考查了位似变换和旋转变换，正确得出对应点位置是解题的关键．23. 如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E、F.求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．【答案】证明见解析.【解析】【分析】由正方形的性质可知；AC平分∠DAB，然后由角平分线的性质可知GE=GF，从而可证明四边形EGFA为正方形，故此四边形AFGE与四边形ABCD相似；【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠DAC＝∠BAC＝45°.又∵GE⊥AD，GF⊥AB，∴EG＝FG，且AE＝EG，AF＝FG.∴AE＝EG＝FG＝AF，∴四边形AFGE为正方形．∴AFAB＝FGBC＝GECD＝AEAD，且∠EAF＝∠DAB，∠AFG＝∠ABC，∠FGE＝∠BCD，∠AEG＝∠ADC.∴四边形AFGE与四边形ABCD相似．24. 如图，在△ABC中，AC＝8厘米，BC＝16厘米，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC 和△ABC相似？【答案】4或85 【解析】 【分析】 本题中，可设经过x 秒△PQC 和△ABC 相似，先求出CP=8-x ，CQ=2x ，再利用相似三角形性质对应边成比例列式求解即可得到答案，因为对应边不明确，答案要分两种情况①当CP 与CA 是对应边时，②当CP 与BC 是对应边时.【详解】解：设经过x 秒，两三角形相似，则CP =AC -AP =8-x ，CQ =2x ，①当CP 与CA 是对应边时，CP CQ AC BC= ，即82816x x -= ，解得x =4秒； ②当CP 与BC 是对应边时，CP CQ BC AC = ，即 82168x x -= ，解得x = 85秒； 故经过4或 85 秒，两个三角形相似． 【点睛】本题主要考查了利用相似三角形的性质对应边成比例求解，但发现对应边不明确，需要分两种情况解决是本题的关键.25. 如图，点E 是四边形ABCD 的对角线ＢＤ上一点，且∠BAC ＝∠BDC ＝∠DAE.①试说明BE·AD ＝CD·AE ； ②根据图形特点，猜想BC DE可能等于哪两条线段的比?并证明你的猜想，（只须写出有线段的一组即可）【答案】（1）证明见解析；（2）猜想BC DE =AC AD 或（AB AE 理由见解析 【解析】试题分析：（1）由已知条件易证∠BAE=∠CAD ，∠AEB=∠ADC ，从而可得△AEB ∽△ADC ，由此可得AE BE AD DC=，这样就可得到BE·AD=DC·AE ；（2）由（1）中所得△AEB∽△ADC可得ABAC=AEAD，结合∠DAE=∠BAC可得△BAC∽△EAD，从而可得：BCDE=ACAD或（ABAE）.试题解析：①∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，即∠DAC=∠BAE，∵∠AEB=∠ADB+∠DAE，∠ADC=∠ADB+∠BDC，又∵∠DAE=∠BDC，∴∠AEB=∠ADC，∴△BEA∽△CDA，∴BECD=AEAD，即BE·AD=CD·AE；②猜想BCDE=ACAD或（ABAE），由△BEA∽△CDA可知，ABAC=AEAD，即ABAE=ACAD，又∵∠DAE=∠BAC，∴△BAC∽△EAD，∴BCDE=ACAD或（ABAE）.26. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD＝AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．【答案】（1）当t=1时，AD=AB，AE=1；（2）当t=34或16或94或176时，△DEG与△ACB相似.【解析】试题分析：（1）根据勾股定理得出AB=5,要使AD=AB=5，∵动点D每秒5个单位的速度运动，∴t=1；（2）当△DEG与△ACB相似时，要分两种情况讨论，根据相似三角形的性质，列出比例式，求出DE的表达式时，要分AD＜AE和AD＞AE两种情况讨论.试题解析：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴2234+．∵AD=5t，CE=3t，∴当AD=AB时，5t=5，即t=1；∴AE=AC+CE=3+3t=6，DE=6﹣5=1．（2）∵EF=BC=4，G是EF的中点，∴GE=2．当AD＜AE（即t＜32）时，DE=AE﹣AD=3+3t﹣5t=3﹣2t，若△DEG与△ACB相似，则DE ACEG BC=或DE BCEG AC=，∴32324t-=或32423t-=，∴t=34或t=16；当AD＞AE（即t＞32）时，DE=AD﹣AE=5t﹣（3+3t）=2t﹣3，若△DEG与△ACB相似，则DE ACEG BC=或DE BCEG AC=，∴23324t-=或23423t-=，解得t=94或t=176；综上所述，当t=34或16或94或176时，△DEG与△ACB相似．点睛：本题第一问比较简单，第二问的讨论较多，关键是要理清头绪，相似三角形的讨论，和线段的大小的选择，做题时要分清，分细.27. 如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E,（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若DE=2BC，求AD：OC的值．【答案】（1）见解析（2）2：3【解析】【分析】（1）连接OD，易证得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO=90°，即可证得直线CD是⊙O的切线．（2）由△COD≌△COB．可得CD=CB，即可得DE=2CD，易证得△EDA∽△ECO，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AD：OC的值．【详解】解：（1）证明：连接DO，∵AD∥OC，∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．又∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO．∴∠COD=∠COB．在△COD和△COB中，CO CO{COD COB OD OB=∠=∠=，∴△COD≌△COB（SAS）．∴∠CDO=∠CBO=90°.又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线.（2）∵△COD≌△COB．∴CD=CB．∵DE=2BC，∴ED=2CD．∵AD∥OC，∴△EDA∽△ECO．∴AD：OC=DE：CE=2：3．28. 如图，在Rt△ABC中，AB=AC=42．一动点P从点B出发，沿BC方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C即停止．在整个运动过程中，过点P作PD⊥BC与Rt△ABC的直角边相交于点D，延长PD至点Q，使得PD=QD，以PQ为斜边在PQ左侧作等腰直角三角形PQE．设运动时间为t秒（t＞0）．(1)在整个运动过程中，设△ABC与△PQE重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及相应的自变量t的取值范围；(2)当点D在线段AB上时，连接AQ、AP，是否存在这样的t，使得△APQ成为等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由；(3)当t=4秒时，以PQ为斜边在PQ右侧作等腰直角三角形PQF，将四边形PEQF绕点P旋转，PE与线段AB相交于点M，PF与线段AC相交于点N．试判断在这一旋转过程中，四边形PMAN的面积是否发生变化？若发生变化，求出四边形PMAN的面积y与PM的长x之间的函数关系式以及相应的自变量x的取值范围；若不发生变化，求出此定值．【答案】（1）当0＜t≤4时，S=14t2，当4＜t≤163时，S=-34t2+8t-16，当163＜t＜8时，S=34t2-12t+48；（2）1474t-=t2=（7）秒；（3）8.【解析】试题分析：（1）当PQ过A时求出t=4，当E在AB上时求出t=163，当P到C点时t=8，即分为三种情况：根据三角形面积公式求出当0＜t≤4时，S=14t2，当4＜t≤163时，S=-34t2+8t-16，当163＜t＜8时，S=34t2-12t+48；（2）存在，当点D在线段AB上时，求出QD=PD=t，PD=2t，过点A作AH⊥BC于点H，PH=BH-BP=4-t，在Rt△APH中求出222=832AH PH t t+-+（ⅰ）若AP=PQ2832=2tt t-+，（ⅱ）若AQ=PQ ，过点Q 作QG ⊥AP 于点G ，根据△PGQ ∽△AHP 求出，若AQ=PQ ，= （ⅲ）若AP=AQ ，过点A 作AT ⊥PQ 于点T ，得出4=12×2t ，求出方程的解即可； （3）四边形PMAN 的面积不发生变化，连接AP ，此时t=4秒，求出S 四边形PMAN =S △APM +S △APN =S △CPN +S △APN =S △ACP =12×CP×AP=8． 试题解析：（1）当0＜t≤4时，S=14t 2，当4＜t≤163时，S=-34t 2+8t-16，当163＜t ＜8时，S=34t 2-12t+48；（2）存在，理由如下：当点D 在线段AB 上时，∵AB=AC ，∴∠B=∠C=12（180°-∠BAC ）=45°． ∵PD ⊥BC ，∴∠BPD=90°，∴∠BDP=45°，∴PD=BP=t ，∴QD=PD=t ，∴PQ=QD+PD=2t ．过点A 作AH ⊥BC 于点H ，∵AB=AC ，∴BH=CH=12BC=4，AH=BH=4， ∴PH=BH-BP=4-t ，在Rt △APH 中，AP=AP =；（ⅰ）若AP=PQ ．解得：1t =2t =（不合题意，舍去）； （ⅱ）若AQ=PQ ，过点Q 作QG ⊥AP 于点G ，如图（1），∵∠BPQ=∠BHA=90°，∴PQ ∥AH ．∴∠APQ=∠PAH ．∵QG ⊥AP ，∴∠PGQ=90°，∴∠PGQ=∠AHP=90°，∴△PGQ ∽△AHP ， ∴PG PQ AH AP =，即24832PG t t =-+， ∴2832PG t t =-+，若AQ=PQ ，由于QG ⊥AP ，则有AG=PG ，即PG=12AP ， 即2218322832t t t t =-+-+． 解得：t 1=12-47，t 2=12+47（不合题意，舍去）；（ⅲ）若AP=AQ ，过点A 作AT ⊥PQ 于点T ，如图（2），易知四边形AHPT 是矩形，故PT=AH=4．若AP=AQ ，由于AT ⊥PQ ，则有QT=PT ，即PT=12PQ ， 即4=12×2t ．解得t=4．当t=4时，A、P、Q三点共线，△APQ不存在，故t=4舍去．综上所述，存在这样的t，使得△APQ成为等腰三角形，即14743t-=秒或t2=（12-47）秒；（3）四边形PMAN的面积不发生变化．理由如下：∵等腰直角三角形PQE，∴∠EPQ=45°，∵等腰直角三角形PQF，∴∠FPQ=45°．∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=45°+45°=90°，连接AP，如图（3），∵此时t=4秒，∴BP=4×1=4=12 BC，∴点P为BC的中点．∵△ABC是等腰直角三角形，∴AP⊥BC，AP=12BC=CP=BP=4，∠BAP=∠CAP=12∠BAC=45°，∴∠APC=90°，∠C=45°，∴∠C=∠BAP=45°，∵∠APC=∠CPN+∠APN=90°，∠EPF=∠APM+∠APN=90°，∴∠CPN=∠APM，∴△CPN≌△APM，∴S△CPN=S△APM，∴S四边形PMAN =S△APM+S△APN=S△CPN+S△APN=S△ACP=12×CP×AP=12×4×4=8．∴四边形PMAN的面积不发生变化，此定值为8．考点: 相似形综合题.。