21.4_无理方程(2)

21.4无理方程（5种题型基础练+提升练）题型一：无理方程的概念2.下列方程是无理方程的是（）．A ．20x -=B 9x=C 2=-D 45x +=【答案】D【解析】根据无理方程的概念，方程中含有根式，并且被开方数是含有未知数的代数式的方程叫做无理方程，可知D 是无理方程，故选D ．【总结】考查无理方程的概念，方程中根号内含有未知数即可．题型二：不解方程，判断方程是否有实数根2.下列哪个方程有实数解（）A 0+=B 30=C 2=D x=-【答案】D【解析】根据二次根式的双重非负性，对A 选项，1x ³³；对B330+³¹，可知方程无实数解；对C 选项，1040x x -³ìí--³î， x 无解，即方程无实数解；故选D ．【总结】考查对无理方程解的判断，根据二次根式双重非负性即可进行简单判定．题型三：解无理方程题型四：无理方程的根的讨论一、填空题二、解答题检验：当m ＝2时，左边＝右边；当m ＝3时，左边≠右边．∴m ＝2．【点评】本题考查了无理方程，把无理方程转化为整式方程是解题的关键，解无理方程最后要检验．题型五：无理方程的应用1.用一根56厘米的细铁丝弯折成一个直角三角形，使它的一条直角边长为7厘米，求这个直角三角形的另两条边的长度．【答案】24cm 和25cm ．【解析】设另外一条直角边长为xcm ，依题意可得756x ++=，解得：24x =，经检验，24x =是原方程的根且符合25cm =，即另两边长分别为24cm 和25cm ．【总结】考查直角三角形勾股定理的应用，用周长列式解题，注意应用题也要验根．2.建一块场地，用600块正方形的砖头铺成，如果把场地的面积扩大到原来面积的2倍还多0.6平方米，且正方形的砖头的边长增加10厘米，则需要铺540块方砖，求原场地的面积．【答案】224m ．【解析】设原场地的边长为xm ，100.1cm m =，则扩大后场边长为()0.1x m +，依题意得()225400.126000.6x x +=´+，整理得22754520x x --=，解得：115x =，2255x =-（舍），由此得原场地面积为2221600600245x m æö=´=ç÷èø．【总结】考查根据题意找准等量关系列方程解应用题，注意单位的统一．3.如果y 轴上一点P 到两点A （3，5）、B （-1，-2）的距离相等，求P 点的坐标．【答案】29014P æöç÷èø，．【解析】设点()0P x ，=， 平方得22103445x x x x -+=++，解得：2914x =，经检验，2914x =是原方程的根，即29014P æöç÷èø，．【总结】考查利用两点间距离公式确定点的位置问题．一、单选题1．（2022春·上海·八年级校考期中）下列方程中，有实数解的是（ ）A 10=B ．22111x x x =--C 1=D 2=故选：D ．【点睛】本题考查了解无理方程，解分式方程和二次根式有意义的条件等知识点，能把解无理方程转化成有理方程和能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．2．（2022春·上海·八年级上海市市西初级中学校考期中）在下列方程中，无实数根的方程有（ ）40=； 0=； x -；0=； ⑤2240x x -+=； ⑥2236111x x x +=+--．A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题3．（2023春·八年级单元测试）有两个正方形纸片，较大纸片的面积比较小纸片的面积大28，较大纸片的边长比较小纸片的边长大2，若设较大纸片的面积为x，按题意可列方程为______．【答案】x1=【分析】方程两边同时平方，得到一个一元二次方程，解出x的值，再进行检验即可得出结果．【详解】解：方程两边同时平方得：()2322x x -=-，∴2210x x -+=，即()210x -=，∴x 1=x 2=1，经检验，x=1是原方程的根，故答案为：x=1．【点睛】本题考查了无理方程求解，先平方得到一元二次方程求解再验证根，掌握基本概念和解法是解题的关键．三、解答题5．（2022春·上海徐汇·八年级统考期末）解方程：2x =．28200--=x x(x-10)(x-2)=0x1=10，x2=-2经检验x=10是原方程的解，∴原方程的解为x=10．【点睛】本题考查无理方程的解法，解题关键是将无理方程转化为有理方程．7．（2022春·上海·1=【答案】点P 在两道路交点上下方【分析】建立平面直角坐标系，直接根据勾股定理列出方程即可求解．【详解】解：以公路n 、m 分别为依题意得()10A ，，()123B ，或()23B -，，设()0P y ，，依题意可得()22212325y y +++-=或()22212325y y ++++=，整理得2112440y y -+=或2112440y y ++=，解得：12y =，2211y =，32y =-，4211y =-，经检验均是原方程的解，但32y =-，4211y =-不符合题意，故舍去，2。

21.4无理方程（1）教学目标：1．理解无理方程的概念，会识别无理方程，知道有理方程及代数方程的概念． 2．经历探索无理方程解法的过程，领会无理方程“有理化”的化归思想．3．知道解无理方程的一般步骤，知道解无理方程必须验根，并掌握验根的方法．教学重点及难点：无理方程的解法． 教学过程：教师活动学生活动设计意图 我们已经学习了整式方程、分式方程，还有没有其它类型的方程呢？一、问题引入已知平面直角坐标系内的A 、B 两点，其中点A 坐标()1,3，点B 是x 轴上的点，且A 、B 两点间的距离等于5，求点B 的坐标．问：方程()2195x -+=有什么特点？与前面所学的方程有什么不同？ （如果学生未说完整，用一个例子让学生加以区别，如：532x +=．）二、新课学习 1．无理方程 方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程． 例如：62x -=、3221x x +=+、1353x x ++=+等都是无理方程． 无理方程也叫根式方程．猜想：有的．答：由点B 在x 轴上，可设B点坐标为(),0x ． 由两点间距离公式，得∶()()221035x -+-=即：()2195x -+=答：方程中含有根号，且根号里含有未知数．引发学生的思考，带着困惑和好奇学习新知．通过实例引入，使学生感受到无理方程的存在和学习它的必要．课本中的问题1可根据学生的实际情况选择．引导学生观察所得方程的特点，再归纳无理方程的概念．要让学生知道，无理方程中不仅含有根式，而且根号内含有未知数．练习：判断下列关于x 的方程是不是无理方程．2(1)510x x ++=；2(2)510x x ++=； 3(3)170x +-=；(4)127a x -+=；1(5)2x x +=；1(6)332x x x+=+-； 2(7)130x x --+=；2(8)71x+=． 2．代数方程整式方程和分式方程统称为有理方程． 有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程．师：代数方程可以这样分类：3．无理方程的解法 知道了无理方程的概念，接下来我们一起来探究如何解无理方程． 怎样解方程34x x =+？ ①问1：这个方程是今天刚刚学习的无理方程，我们还不会求解．回忆一下之前我们是如何解分式方程的，是将分式方程转化为什么方程？如何转化？问2：是不是可以将无理方程转化已学习过的方程来求解呢，转化为什么方程？问3：如何转化？根据等式性质，若p q =，则22p q =以及2()a a =(0)a ≥的性质．通过方程两边同时平方，将方程转化为有理方程．（2）、（3）、（5）、（7）是无理方程，方程中有根式，且根号内含有未知数． （1）、（4）根号内不含未知数，是整式方程；（6）、（8）是分式方程．（1）、（4）、（6）、（8）是有理方程，8个都是代数方程．1：通过去分母，将分式方程转化为整式方程．2：有理方程．3：去根号．及时巩固新知，强化对无理方程概念的理解．感受知识的分类，帮助学生形成关于代数方程系统的整体认识．用问题引导学生进行探索，并联系解分式方程的基本思想方法，从而归纳出解无理方程的方法．让学生参与求解这个无理方程的分析过程，形成解题思三、巩固练习 1．课后练习32．解方程：2x x +=-．3.将方程2120x x --=化成有理方程．师：强调解形如这样的无理方程的关键是使二次根式单独在等式一边．四、课堂小结本节课主要学习了什么，有何收获？学生独立完成，两位学生板书，师生共同纠正 解： 两边平方，得22x x +=，整理，得220x x --=，解这个方程，得11x =-，22x =，检验：把1x =-分别代入原方程两边，左边=1，右边=1，由左边=右边，可知1x =-是原方程的根． 把2x =分别代入原方程两边，左边=2，右边=-2，由左边≠右边，可知2x =是增根，应舍去．∴ 原方程的根是1x =-．预设： 学生可能会两边直接平方，造成平方后依然含有根式． 解：移项，得212x x -=．两边同时平方，得2214x x -=．图进行表述．呈现一次平方的其他题型，移项后再平方，从而巩固解无理方程的基本思想方法．五、布置作业练习册21.4（1）1．理方程的概念．2．数方程的分类．3．理方程的解法：梳理知识点，培养学生归纳的能力．。

八年级数学下册21.4无理方程2教学设计沪教版五四制一. 教材分析八年级数学下册21.4无理方程2教学设计沪教版五四制，这一节内容是在学生已经掌握了无理数的概念、实数的概念以及一元二次方程的解法的基础上进行学习的。

无理方程是实数范围内的一类方程，它不能用传统的解法直接求解，需要采用特殊的方法。

本节内容主要介绍了求解无理方程的方法，包括换元法、有理化方法等，以及如何运用这些方法解决实际问题。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于无理数和一元二次方程的概念有一定的了解。

但是，对于无理方程的解法，大部分学生可能会感到困惑，因此需要通过实例讲解，让学生理解无理方程的解法，并能够运用到实际问题中。

三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握无理方程的解法，能够运用无理方程的解法解决实际问题。

2.过程与方法：通过实例讲解，培养学生解决无理方程的能力，提高学生的数学思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和自信心。

四. 说教学重难点1.教学重点：无理方程的解法，包括换元法、有理化方法等。

2.教学难点：如何运用无理方程的解法解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用实例讲解法、问题驱动法、合作交流法等。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考如何解决无理方程。

2.新课讲解：讲解无理方程的解法，包括换元法、有理化方法等，并通过实例进行讲解。

3.课堂练习：让学生进行课堂练习，巩固所学知识。

4.实际问题解决：让学生运用无理方程的解法解决实际问题。

5.总结：对本节课的内容进行总结，强调无理方程的解法和实际问题的解决方法。

七. 说板书设计板书设计如下：无理方程的解法设t = a + b√c ，则原方程可以转化为关于 t 的一元二次方程。

2.有理化方法将方程两边同时乘以共轭式，将无理方程转化为有理方程。

八. 说教学评价通过课堂练习和实际问题解决的情况，评价学生对无理方程解法的掌握程度。

第二十一章代数方程21.1 一元整式方程1、 （a 是正整数），x 是未知数，a 是用字母表示的已知数。

于是，在项ax 中，字母a 是项的系数，我们把a 叫做字母系数，我们把a 叫做字母系数，这个方程是含字母系数的一元一次方程元一次方程2、 如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，那么这个方程叫做一元整式方程方程 3、 如果经过整理的一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n （n 是正整数），那么这方程就叫做一元n 次方程；其中次数n 大于2的方程统称为一元高次方程，本章简称高次方程方程21.2 二项方程1、 如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程；一般形式为0n nax b +=（0,0a b ¹¹，n 是正整数）是正整数）2、 解一元n （n ＞2）次二项方程，可转化为求一个已知数的n 次方根次方根3、 对于二项方程0n ax b +=（0,0a b ¹¹）（1）当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根为奇数时，方程有且只有一个实数根（2）当n 为偶数时，如果ab ＜0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab ＞0，那么方程没有实数根，那么方程没有实数根 21.3可化为一元二次方程的分式方程1、 解分式方程，可以通过方程两边同乘以方程中各分式的最简公分母，可以通过方程两边同乘以方程中各分式的最简公分母，约去分母，约去分母，转化为正式方程来解正式方程来解2、 注意将所得的根带入最简公分母中检验是否为增根（也可带入方程中）注意将所得的根带入最简公分母中检验是否为增根（也可带入方程中）3、 换元法可将某些特殊的方程化繁为简，并且在解分式方程的过程中，避免了出现解高次方程的问题，起到降次的作用方程的问题，起到降次的作用21.4无理方程1、 方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程2、 整式方程和分式方程统称为有理方程整式方程和分式方程统称为有理方程3、 有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程4、 解简单的无理方程，可以通过去根号转化为有理方程来解，解简单无理方程的一般步骤解简单无理方程的一般步骤5、 注意无理方程的检验必须带入原方程中检验是否为增根注意无理方程的检验必须带入原方程中检验是否为增根21.5 二元二次方程和方程组1、 仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫二元二次方程叫二元二次方程2、关于x、y的二元二次方程的一般形式是：220 ax bxy cy dx ey f+++++=（a、b、c、d、e、f都是常数，且a、b、c中至少有一个不是零；当b为零时，a与d 以及c与e分别不全为零）分别不全为零）3、仅含有两个未知数，各方程是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2。

21.4无理方程（1）一、问题引入二、讲授新知1、无理方程的概念方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程。

小结：根号下含有未知数的方程，就是无理方程。

2代数方程整式方程和分式方程统称为有理方程。

有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程。

代数方程的共同特点是：其中对未知数所涉及的运算是加、减、乘、除、乘方、开方等基本运算。

3、解无理方程的步骤解无理方程的基本思路：将“无理方程”通过“去根号”转化为“有理方程”，再进行求解（需要检验）。

无理方程检验的主要方法：将解有理方程的根直接代入原方程，检验两边是否相等即可。

课后思考：不计算，判断0122=++=x x x 是不是的根？（提示：可以从根式的意义和结果来判断） 小结：①当方程中只有一个含未知数的二次根式时，可先把方程变形，使这个二次根式单独在一边，然后方程两边同时平方，将这个方程转化为有理方程；②由于这去根号一步骤必需且可能产生增根，因此必须验根； ③对方程变形时，尽量找整数系数方程。

三、归纳小结1、代数方程的共同特点是：其中对未知数所涉及的运算是加、减、乘、除、乘方、开方等基本运算；2、解无理方程的基本思路：将“无理方程”通过“去根号”转化为“有理方程”，再进行求解；3、解无理方程，验根是必不可少的。

补充练习：1：下列方程是哪些是关于x 的无理方程?（1）49=；（2）26250-=； （3）1211x -=；（41=；（5）27-=；（6）21x -2：解下列方程：（1x ；（23x =．（3）10x =-；（4）()30x +=；3：解下列方程：（11=+；（2）5x =．补充练习答案：1：下列方程是哪些是关于x 的无理方程?（1）49=；（2）26250-=； （3）1211x -=；（41=；（5）27-=；（6）21x -【答案】（1）、（2）、（3）、（4）、（6）是无理方程． 2：解下列方程：（2x ；（23x =．（3）10x =-；（4）()30x +=；【答案】（1）3x =；（2）5x =．（3）20x =；（4）1x =．3：解下列方程：（11=+；（2）5x =．【答案】（1）x =2）4x =．。