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1 / 21数值分析实验二：插值法1 多项式插值的震荡现象1.1 问题描述考虑一个固定的区间上用插值逼近一个函数。
显然拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。
我们自然关心插值多项式的次数增加时， 是否也更加靠近被逼近的函数。
龙格（Runge ）给出一个例子是极著名并富有启发性的。
设区间[-1,1]上函数21()125f x x=+ (1)考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为n i nix i ,,2,1,0,21 =+-= 则拉格朗日插值多项式为201()()125nn ii iL x l x x ==+∑(2)其中的(),0,1,2,,i l x i n =是n 次拉格朗日插值基函数。
实验要求：(1) 选择不断增大的分点数目n=2, 3 …. ，画出原函数f(x)及插值多项式函数()n L x 在[-1，1]上的图像，比较并分析实验结果。
(2) 选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数x x g xxx h arctan )(,1)(4=+=重复上述的实验看其结果如何。
(3) 区间[a,b]上切比雪夫点的定义为 (21)cos ,1,2,,1222(1)k b a b ak x k n n π⎛⎫+--=+=+ ⎪+⎝⎭(3)以121,,n x x x +为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果,试分析2 / 21原因。
1.2 算法设计使用Matlab 函数进行实验, 在理解了插值法的基础上，根据拉格朗日插值多项式编写Matlab 脚本，其中把拉格朗日插值部分单独编写为f_lagrange.m 函数，方便调用。
1.3 实验结果1.3.1 f(x)在[-1,1]上的拉格朗日插值函数依次取n=2、3、4、5、6、7、10、15、20，画出原函数和拉格朗日插值函数的图像，如图1所示。
Matlab 脚本文件为Experiment2_1_1fx.m 。
可以看出，当n 较小时，拉格朗日多项式插值的函数图像随着次数n 的增加而更加接近于f(x)，即插值效果越来越好。
数值分析上机实验理学院11级统计01班41108030125鲁庆实验报告一一．实验名称误差与误差估计二．实验目的掌握数值运算的误差估计方法三．数学原理 1.绝对误差(*)e x设某一量的准确值为x ，近似值为x*，则x*与x 之差叫做近似值x*的绝对误差(简称误差)，记为*(*)*e e x x x ==- 2.绝对误差限适当小的正数，使|(*)||*|*e x x x ε=-≤则称*ε为近似值 x * 的绝对误差限。
(有时用*x x ε*=±表示近似值x *的精度或准确值的所在范围。
3.相对误差(*)r e x绝对误差与准确值之比*(*)*(*),0r r e x x xe e x x x x-===≠称为x *的相对 误差。
4.相对误差限(*)r x ε若指定一个适当小的正数 (*)r x ε，使|(*)||(*)|(*)||r r e x e x x x ε=≤则称(*)r x ε为近似值 x *的相对误差限。
5.有效数字若近似值x*的绝对误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字一共有n 位，则称近似值x*有n 位有效数字，或说x*精确到该位。
6.绝对误差的运算：)()()(2121x x x x εεε+=± )()()(122121x x x x x x εεε+≈22122121+=x x x x x x x )()()(εεε (f(x))()(x)f x εε'≈四．实验内容1. 计算I n=e 1-⎰10nxe x 2dx (n=0,1,...)并估计误差。
解： >> I0 = exp(-1)*quad('(x.^0).*exp(x.^2)',0,1,10^(-10));>> vpa(I0,10) ans =.5380795069>> I1= exp(-1)*quad('(x.^1).*exp(x.^2)',0,1,10^(-10)); >> vpa(I1,10) ans =.3160602794>> I2 = exp(-1)*quad('(x.^2).*exp(x.^2)',0,1,10^(-10)); >> vpa(I2,10) ans =.2309602465>> I3 = exp(-1)*quad('(x.^3).*exp(x.^2)',0,1,10^(-10)); >> vpa(I3,10) ans =.1839397206>> I4 = exp(-1)*quad('(x.^4).*exp(x.^2)',0,1,10^(-10)); >> vpa(I4,10) ans =.1535596302>> I5 = exp(-1)*quad('(x.^5).*exp(x.^2)',0,1,10^(-10)); >> vpa(I5,10) ans =.1321205588>> I6 = exp(-1)*quad('(x.^6).*exp(x.^2)',0,1,10^(-10)); >> vpa(I6,10) ans =.1161009245>> I7 = exp(-1)*quad('(x.^7).*exp(x.^2)',0,1,10^(-10)); >> vpa(I7,10) ans =.1036383235>> I8 = exp(-1)*quad('(x.^8).*exp(x.^2)',0,1,10^(-10)); >> vpa(I8,10) ans =.9364676413e-1>> I9 = exp(-1)*quad('(x.^9).*exp(x.^2)',0,1,10^(-10)); >> vpa(I9,10) ans =.8544670595e-1 2.计算x255的值。
三、四阶Runge-Kutta 法求解常微分方程一、龙格库塔法的思想根据第九章的知识可知道，Euler 方法的局部截断误差是2()O h ，而当用Euler 方法估计出1,()(1)n n n n y y hf x y +=+ 再用梯形公式111[(,)(,)](2)2n n n n n n h y y f x y f x y +++=++进行校正，即采用改进Euler 方法得出数值解的截断误差为3()O h 。
由Lagrange 微分中值定理'11()()()()()(,())(3)n n n n n y x y x y x x y x hf y ξξξ++=+-=+ 记*(,())k hf y ξξ=，得到*1()()(4)n n y x y x k +=+这样只要给出一种计算*k 的算法，就能得到相应的计算公式。
用这种观点的来分析Euler 方法和改进Euler 方法，Euler 方法的迭代公式可改写为111(,)n n n n y y k k hf x y +=+=改进Euler 方法的预报-校正公式可改写为 1121211()2(,),(,)n n n n n n y y k k k hf x y k hf x h y k +=++==++ Euler 方法实际上是用一个点处的值1k 近似*k ，而改进Euler 方法是用两个点处的值1k ，和2k ，做算术平均值近似*k 自然改进Euler 方法要优于Euler 方法。
因此，可以想到假如在1[,]n n x x +内多预报几个点值i k ，并用他们的加权平均值作为*k 的近似值，则有可能构造出具有更高精度的计算公式，这就是Runge-Kutta 法的基本思想。
二、四阶龙格库塔法由Runge-Kutta 的基本思想，构造四阶Runge-Kutta 法是利用1234,,k k k k 和的加权平均值来近似*k ，因此令1112233441211132211243312213(,)(,)(5)(,)(,)n n n n n n n n n n y y w K w K w K w K K hf x y K hf x h y K K hf x h y K K K hf x h y K K K αβαβγαβγη+=++++⎧⎪=⎪⎪=++⎨⎪=+++⎪⎪=++++⎩使得511()()n n y x y O h ++-=即其总体截断误差为4()O h 。
南昌航空大学实验报告2012年4月22日课程程名称：计算方法 实验名称：Lagrange 和Newton 插值多项式 班级： ____ 姓名：______一、实验目的理解插值的基本原理, 掌握Lagrange 、Newton 插值算法的定义与异同, 观察Lagrange 插值的龙格现象。
二、实验原理1）插值原理已知数据：0011(,),(,),,(,)n n x y x y x y , 根据插值基本定理：n +1个互异的数据点, 可以唯一确定一个满足插值条件的n 次插值多项式。
最简单的两种插值多项式是Lagrange 插值多项式与Newton 插值多项式。
2）Lagrange 插值多项式公式为：()()nn i ii L x l x y ==∑, 其中0()()()nj i j i j j ix x l x x x =≠-=-∏；牛顿插值多项式是拉格朗日插值多项式的另一种等价表示方式, 与Lagrange 插值多项式相比, 当节点数增加时,能充分利用已有的计算数据, 且总计算量小的特点。
它的公式为：00100120101011()()[,]()[,,]()()[,,,]()()()n n n N x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x -=+-+--+++--- 其中01[,]f x x 、012[,,]f x x x 、 、01[,,,]n f x x x 依次为一阶、二阶、 、n 阶差商。
（3）相关说明：poly 函数 求多项式的系数（由已知根求多项式的系数） 调用格式：Y = poly (V) X1=[1,2]; l1=poly(X1), l1=[ 1 -3 2]poly2sym 函数 将多项式系数向量转为解析式形式 调用格式：poly2sym (C) poly2sym(l1) ans =x^2 - 3*x + 2polyval 函数 给定多项式系数向量，求某点的值 调用格式：Y = polyval(P ,X) polyval(l1,2) ans = 0conv 函数 求多项式相乘后的多项式系数。
山东师范大学数学科学学院实验报告x 0.1 0.5 1 1.5 2 2.5 3y 0.95 0.84 0.86 1.06 1.5 0.72 1.9y' 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4求质点在时刻1.8时的速度，并画出插值多项式的图像。
1)运用Hermite插值法画出图像，如图4-1，并求质点在时刻1.8时的速度。
>>clear>>clc>>X=[0.1 0.5 1 1.5 2 2.5 3;0.95 0.84 0.86 1.06 1.5 0.72 1.9;1 1.5 2 2.5 3 3.5 4];>> x=0.1:0.01:3;>> H=Hermite1(X,x);>> plot(x,H)>> hold on>> plot(X(1,:),X(2,:),'r*')>> H1_8=Hermite(X,1.8);>> plot(1.8,H1_8,'go')>> legend('插值图像','原始点','目标点');图4-1二、验证高次插值的Runge现象问题分析和算法设计（一）Language插值代码function [Ln] =Lagrange(X,x)%请输入2*n+1矩阵X，X中第一行每个元素都是插值节点，X中第二行每个元素都是插值节点对应的函数值；%第二章P24例一拉格朗日插值n=size(X,2);d=0;for m=1:1:nif x==X(1,m);d=m;breakendend运行结果和总结 运行结果 例：给定函数55,11)(2≤≤-+=x xx f ； （1） 验证表2-10的误差结果（高次插值的Runge 现象）；（2） 以0.1为步长分别进行Language 插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值，画出三种插值函数以及f(x)的图像，比较三种插值结果。
汕 头 大 学 实 验 报 告学院: 工学院 系: 计算机系 专业: 计算机科学与技术 年级: 2010 姓名: 林金正 学号: 2010101032 完成实验时间: 5月24日一．实验名称：拉格朗日插值的龙格现象二．实验目的：通过matlab 处理,观察拉格朗日插值的龙格现象.三．实验内容：（1）学习matlab 的使用（2）以实验的方式，理解高阶插值的病态性，观察拉格朗日插值的龙格现象。
四．实验时间、地点，设备：实验时间：5月24日实验地点： 宿舍 实验设备：笔记本电脑五,实验任务在区间[－5，5]上取节点数n=11，等距离h=1的节点为插值点，对于函数25()1f x x =+进行拉格朗日插值，把f(x)与插值多项式的曲线花在同一张图上。
六.实验过程拉格朗日插值函数定义:对某个多项式函数，已知有给定的k + 1个取值点：其中对应著自变数的位置，而对应著函数在这个位置的取值。
假设任意两个不同的xj 都互不相同，那麼应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：其中每个为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：[3] 拉格朗日基本多项式的特点是在 上取值为1，在其它的点 上取值为0。
1.使用matlab,新建function.m 文件,使用老师所给代码,构建拉格朗日函数.%lagrange.mfunction y=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);for i=1:mz=x(i);s=0;for k=1:nL=1;for j=1:nif j~=kL=L*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=s+L*y0(k);endy(i)=s;endy;程序解释:(x0,y0):已知点坐标x:所求点的横坐标,y:由(x0,y0)所产生的插值函数,以x 为参数,所的到的值2.再一次新建function.m 文件.构建自定义函数: 25()1f x x=+ %f.mfunction y = f(x)y = 5/(1+x*x);end3.在脚本窗口中输入:>>a = [-10:0.2:10]>>for I = 1:length(a)b(i) = f(a(i))end ;%画出原函数(a,b)>>>>for i = 1:length( c)d(i) = f(c(i))end ;%获取插值坐标(c,d)>>e = [-5:0.2:5]>>z = largange(c,d,e);%获取插值坐标函数(e,z) >>plot(a,b,’r-‘,e,z);%画图过程及插图七:实验所得:这次实验是我初步学会Matlab的使用，学会新建function函数，在matlab命令窗口敲入一些基础的命令，同时更深刻地了解了拉格朗日插值的龙格现象。
实验报告：牛顿差值多项式&三次样条问题：在区间[-1,1]上分别取n=10、20用两组等距节点对龙格函数21()25f x x作多项式插值及三次样条插值，对每个n 值，分别画出插值函数及()f x 的图形。
实验目的：通过编程实现牛顿插值方法和三次样条方法，加深对多项式插值的理解。
应用所编程序解决实际算例。
实验要求：1． 认真分析问题，深刻理解相关理论知识并能熟练应用； 2． 编写相关程序并进行实验； 3． 调试程序，得到最终结果； 4． 分析解释实验结果； 5． 按照要求完成实验报告。
实验原理：详见《数值分析 第5版》第二章相关内容。
实验内容：（1）牛顿插值多项式1.1 当n=10时：在Matlab 下编写代码完成计算和画图。
结果如下：代码：clear allclcx1=-1:0.2:1;y1=1./(1+25.*x1.^2);n=length(x1);f=y1(:);for j=2:nfor i=n:-1:jf(i)=(f(i)-f(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1));endendsyms F x p;F(1)=1;p(1)=y1(1);for i=2:nF(i)=F(i-1)*(x-x1(i-1));p(i)=f(i)*F(i);endsyms PP=sum(p);P10=vpa(expand(P),5);x0=-1:0.001:1;y0=subs(P,x,x0);y2=subs(1/(1+25*x^2),x,x0);plot(x0,y0,x0,y2)grid onxlabel('x')ylabel('y')P10即我们所求的牛顿插值多项式，其结果为：P10（x）=-220.94*x^10+494.91*x^8-9.5065e-14*x^7-381.43*x^6-8.504e-14*x^5+123.36* x^4+2.0202e-14*x^3-16.855*x^2-6.6594e-16*x+1.0并且这里也能得到该牛顿插值多项式的在[-1，1]上的图形，并和原函数进行对比（见Fig.1）。
数值分析实验报告数值分析实验报告姓名：张献鹏学号：173511038专业：冶金工程班级：重冶二班目录1拉格朗日插值 (1)11.1问题背景.....................................................................................................11.2数学模型.....................................................................................................1.3计算方法1.....................................................................................................21.4数值分析.....................................................................................................2复化辛普森求积公式 (2)2.1问题背景2.....................................................................................................32.2数学模型.....................................................................................................32.3计算方法.....................................................................................................2.4数值分析5.....................................................................................................3矩阵的 LU 分解 (6)63.1问题背景.....................................................................................................3.2数学模型6.....................................................................................................3.2.1理论基础 (6)3.2.2实例 (7)73.3计算方法.....................................................................................................3.4小组元的误差 (8)4二分法求方程的根 (9)94.1问题背景.....................................................................................................94.2数学模型.....................................................................................................4.3计算方法9.....................................................................................................4.4二分法的收敛性 (11)5雅可比迭代求解方程组 (11)115.1问题背景...................................................................................................5.2数学模型11...................................................................................................5.2.1理论基础 (11)5.2.2实例 (12)5.3计算方法 (12)5.4收敛性分析 (13)6Romberg 求积法 (14)6.1问题背景 (14)6.2数学模型： (14)6.2.1理论基础 (14)6.2.2实例 (14)6.3计算方法 (15)6.4误差分析 (16)7幂法 (16)7.1问题背景 (16)7.2数学模型 (16)7.2.1理论基础 (16)7.2.2实例 (17)7.3计算方法 (17)7.4误差分析 (18)8改进欧拉法 (18)8.1问题背景 (18)8.2数学模型 (19)8.2.1理论基础 (19)8.2.2实例 (19)8.3数学模型 (19)8.4误差分析 (21)1拉格朗日插值1.1问题背景1f ( x)2, 5 x 5 求拉格朗日插值。
数值分析实验报告实验一、解线性方程组的直接方法——梯形电阻电路问题利用追赶法求解三对角方程组的方法，解决梯形电阻电路问题：电路中的各个电流{1i ，2i ，…，8i }须满足下列线性方程组：R V i i =- 22 210 252321=-+-i i i 0 252 432=-+-i i i 0 252 543=-+-i i i 0 252 654=-+-i i i 0 252 765=-+-i i i 0 252 876=-+-i i i 052 87=+-i i设V 220=V ，Ω=27R ，运用追赶法，求各段电路的电流量。
问题分析：上述方程组可用矩阵表示为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------------00000001481.8522520000002520000002520000002520000002520000002520000002287654321i i i i i i i i问题转化为求解A x b =，8阶方阵A 满足顺序主子式(1,2...7)0i A i =≠，因此矩阵A存在唯一的Doolittle 分解，可以采用解三对角矩阵的追赶法！追赶法a=[0 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2]; b=[2 5 5 5 5 5 5 5]；c=[-2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 0]; d=[220/27 0 0 0 0 0 0 0];Matlab 程序function x= zhuiganfa( a,b,c,d )%追赶法实现要求：|b1|>|C1|>0,|bi|>=|ai|+|ci| n=length(b); u=ones(1,n); L=ones(1,n); y=ones(1,n); u(1)=b(1); y(1)=d(1); for i=2:nL(i)=a(i)/u(i-1);u(i)=b(i)-c(i-1)*L(i); y(i)=d(i)-y(i-1)*L(i); endx(n)=y(n)/u(n); for k=n-1:-1:1x(k)=(y(k)-c(k)*x(k+1))/u(k); end endMATLAB 命令窗口输入：a=[0 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2]; b=[2 5 5 5 5 5 5 5];c=[-2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 0] d=[220/27 0 0 0 0 0 0 0];x= zhuiganfa(a,b,c,d )运行结果为：x =8.1478 4.0737 2.0365 1.0175 0.5073 0.2506 0.1194 0.0477存在问题根据电路分析中的所讲到的回路电流法，可以列出8个以回路电流为独立变量的方程，课本上给出的第八个回路电流方程存在问题，正确的应该是78240i i -+=；或者可以根据电路并联分流的知识，同样可以确定78240i i -+=。
深圳大学实验报告
实验课程名称：计算机数值方法
实验项目名称：龙格现象的发生、防止和插值效果的比较学院：计算机与软件专业：计算机科学与技术报告人：学号：班级：
指导教师：李炎然
实验时间：2010.7.1
实验报告提交时间：2010.7.10
教务处制
实验报告包含内容
一、实验要求
对区间[a，b]作等距划分：x i =a+ih，（i=0，…，n）,h=（b-a）/n
对下列任一函数按给定方案进行插值，计算其在点u i= (x i+1+ x i)/2上的值，并给出插值函数的图形。
其中：
1) y = 1 / (1+x2)，x∈ [-5，5]
2) y = x / (1+x) ； x∈ [-5，5]
方案I 分别取n=10，20作Lagrange（拉格朗日）插值
方案II 分别取n=10，20作分段线性插值
方案III分别取n=10，20作I型三次Spline（样条）插值
将计算结果参考表1的形式排列。
对照函数的准确值，观察同一方案、不同的n
的计算结果的变化状态，不同方案结果的精度比较，有无Runge（龙格）现象发生。
取6位小数计算。
表1
二、实验结果
y = 1 / (1+x2) n=10
y = 1 / (1+x2) n=20
n=10
n=20
三、实验结论
本次实验，我了解到为什么龙格现象会发生、如何防止龙格现象的以及不同插值方法效果的。
注：1、报告内的项目或内容设置，可根据实际情况加以调整和补充。
2、教师批改学生实验报告时间应在学生提交实验报告时间后10日内。
实验实验题一实验题1 水手、猴子和椰子问题：五个水手带了一只猴子来到南太平洋的一个荒岛上，发现那里有一大堆椰子。
由于旅途的颠簸，大家都很疲倦，很快就入睡了。
第一个水手醒来后，把椰子平分成五堆，将多余的一只给了猴子，他私藏了一堆后便又去睡了。
第二、第三、第四、第五个水手也陆续起来，和第一个水手一样，把椰子分成五堆，恰好一只给猴子，私藏一堆，再去入睡。
天亮以后，大家把余下的椰子重新等分成五堆，每人分一堆，正好余一只再给猴子。
试问原来共有几只椰子？试分析椰子数目的变化规律，利用逆向递推的方法求解这一问题。
实验题2 设，。
（1）从I0尽可能精确的近似值出发，利用递推公式：计算从I1到I20的近似值：（2）从I30较粗糙的估计值出发，用递推公式：计算从I1到I20的近似值：（3）分析所得结果的可靠性以及出现这种现象的原因。
实验题3 递推计算的稳定性计算积分其中a为参数，分别对a =0.05及a =15按下列两种方案计算，列出其可靠性进行分析比较，说明原因。
方案I 用递推公式递推初值可由积分直接得。
方案II 用递推公式根据估计式或取递推初值为或计算中取n =13开始。
实验课题4 三种求ln2的算法比较按下列三种方案构造逼近ln2的数列，用以求出ln2的近似值，要求精度。
观察和比较三种计算方案的收敛速度。
方案I 利用级数设则可取。
方案II 对方案I中的数据，按下列公式生成新数列。
称为数列的埃特金(Aitken)外推数列。
可以证明。
因此可取。
方案III 利用级数设则可取。
实验课题5 值的计算下面给出了三种求的近似值的计算方案，试比较它们的收敛速度和精度。
方案I 利用逼近单位圆半周长的方法。
单位圆半周长的值为，图1所示为一单位半圆，设为将半圆弧分成等份得以的角，其对应的弦线长度是。
则这样的弦线之和为(1-5)P n就是单位圆半周长的一个近似值由三角公式知（1-6）记，则由式（1-5）,（1-6）可建立如下迭代公式（1-7）（1-8）则P n就是的逼近值。
实验报告：牛顿差值多项式&三次样条... . (1)问题：在区间［-1,1］上分别取n=10、20用两组等距节点对龙格函数f (x)---作多项式插25 x 2值及三次样条插值对每个n值，分别画出插值函数矽(x)的图形。
实验目的：通过编程实现牛顿插值方法和三次样条方法，加深对多项式插值的理解。
应用所编程序解决实际算例。
实验要求：1.认真分析问题，深刻理解相关理论知识并能熟练应用；2.编写相关程序并进行实验；3.调试程序，得到最终结果；4.分析解释实验结果；5.按照要求完成实验报告。
实验原理：详见《数值分析第5版》第二章相关容。
实验容：(1)牛顿插值多项式1.1 当 n=10 时：在Matlab下编写代码完成计算和画图。
结果如下：代码：clear allclcx1=-1:0.2:1;y1=1./(1+25.*x1.八2);n=length(x1);f=y1(：);for j=2:nfor i=n:-1:jf(i) = (f(i)-f(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1));endendsyms F x p;F(1)=1;p(1)=y1(1);for i=2:nF(i)=F(i-1)*(x-x1(i-1));p(i)=f(i)*F(i);endsyms PP=sum(p);P10=vpa(expand(P),5);x0=-1:0.001:1;y0=subs(P,x,x0);y2=subs(1/(1+25火x八2),x,x0);plot(x0,y0,x0,y2)grid onxlabel('x')ylabel('y')P10即我们所求的牛顿插值多项式，其结果为：P10（x ）=-220.94*x A10+494.91*x A8-9.5065e-14*x A7-381.43*x A6-8.504e-14*x A5+123.36*x A4+2.0202e-14*x A3-16.855*x A2-6.6594e-16*x+1.0并且这里也能得到该牛顿插值多项式的在［-1，1］上的图形，并和原函数进行对比（见Fig.1）。
差值里的龙格现象实验临床八年1004张馨予2204100412 一．实验任务：由书上例子2.2和2.3表明适当的提高多项式的次数，有可能提高插值的精度，但是绝对不可能由此认为插值多项的次数越高越好。
此次试验的任务便是验证差值多项式里的龙格现象。
二．算法设计：对函数f(x)=1/(1+25*x*x),(-1<=x<=1).先以xi=-1+2/5i(i=0,1,2,…,5)为节点做五次插值多项式P5(x)，再以xi=-1+1/5i(i=0,1,…,10)为节点做十次插值多项式P10(x)，并将曲线f(x)=1/(1+25*x*x),y=P5(x),y=P10(x)，在区间[-1,1]上，描绘在同一个坐标系。
程序设计，对于插值法，首先计算lagrange差值基本函数lk(x)。
再写出满足差值条件的n次插值多项式Ln(x)=yl(x)的总和。
三．计算机程序：1．求5个点对应y值的m文件function y=flongge2x=-1:0.4:1for i=1:length(x)y(i)=1/(1+25*x(i)*x(i));enddisp(y)2.求10个点对应y值的函数文件function y=flongge2x=-1:0.2:1for i=1:length(x)y(i)=1/(1+25*x(i)*x(i));enddisp(y)3. 差值里的龙格现象function f=Language(x,y,x0)syms t;if(length(x)==length(y))n=length(x);elsedisp('xand y are not of the same demision');return;endf=0.0;for(i=1:n)l=y(i);for(j=1:i-1)l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));end;for(j=i+1:n)l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));end;f=f+l;f=simplify(f);if(i==n)if(nargin==3)f=subs(f,'t',x0)elsef=collect(f);f=vpa(f,6);endendend并在命令编辑器里输入x y 矩阵，以及f=Language(x,y)4.龙格总图的m文件functiontu=longgezongtufplot('-220.940*t^10+494.907*t^8-381.433*t^6+123.360*t^4-16.8552*t^2+1.',[-1,1] ),holdon;fplot('1/(1+25*x*x)',[-1,1]), hold on;fplot('1.20199*t^4-1.73079*t^2+.567309',[-1,1],1e-4),grid四．调试以及运行结果1.在命令编辑器里输入flongge2，得到十个点的对应y值：（截的图）2.输入f，得到五个点对应的y值：3.在命令编辑器里输入x矩阵，和y矩阵，以及f=Language(x,y)，就会得到对应的两个差值公式:y=-220.940*t^10+494.907*t^8-381.433*t^6+123.360*t^4-16.8552*t^2+1.y=1.20199*t^4-1.73079*t^2+.567309根据这两个公式编出可以输出图的程序。
