新教材高中数学二章一元二次函数、方程和不等式2.2.2利用基本不等式求最值随堂巩固验收新人教A版必修第一册

第2课时 利用基本不等式求最值1．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 2．能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．基本不等式与最值 已知x ，y 都是正数，(1)如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ； (2)如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x 、y >0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a >0，b >0，且a ＋b ＝16，则ab ≤64.( ) (2)若ab ＝2，则a ＋b 的最小值为2 2.( ) (3)当x >1时，函数y ＝x ＋1x －1≥2x x －1，所以函数y 的最小值是2xx －1.( )(4)若x ∈R ，则x 2＋2＋1x 2＋2≥2.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×题型一利用基本不等式求最值【典例1】 (1)若x >0，求y ＝4x ＋9x的最小值；(2)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(3)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值； (4)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．[思路导引] 利用基本不等式求最值，当积或和不是定值时，通过变形使其和或积为定值，再利用基本不等式求解．[解] (1)∵x >0， ∴由基本不等式得y ＝4x ＋9x≥24x ·9x＝236＝12，当且仅当4x ＝9x ，即x ＝32时，y ＝4x ＋9x 取最小值12.(2)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )] ≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(3－2x )22＝92.当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取“＝”．∴y 的最大值为92.(3)∵x >2，∴x －2>0， ∴x ＋4x －2＝(x －2)＋4x －2＋2 ≥2(x －2)·4x －2＋2＝6. 当且仅当x －2＝4x －2， 即x ＝4时，x ＋4x －2取最小值6. (4)∵x >0，y >0，1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y≥10＋29＝16.当且仅当y x ＝9x y 且1x ＋9y＝1时等号成立， 即x ＝4，y ＝12时等号成立．∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 有最小值16.[变式] (1)本例(3)中，把“x >2”改为“x <2”，则x ＋4x －2的最值又如何？ (2)本例(3)中，条件不变，改为求x 2－2x ＋4x －2的最小值．[解] (1)∵x <2，∴2－x >0， ∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2－x )＋42－x ＋2≤－2 (2－x )·42－x＋2＝－2.当且仅当2－x ＝42－x，即x ＝0时，x ＋4x －2取最大值－2. (2)x 2－2x ＋4x －2＝(x －2)2＋2(x －2)＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2 (x －2)·4x －2＋2＝6 当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，原式有最小值6.(1)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．(2)若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同． [针对训练]1．已知x ，y >0，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为________．[解析] ∵x ，y >0， ∴x 3＋y 4＝1≥2 xy12， 得xy ≤3，当且仅当x 3＝y 4即x ＝32，y ＝2时，取“＝”号，∴xy 的最大值为3.[答案] 32．已知x ，y >0，且x ＋y ＝4，则1x ＋3y的最小值为________．[解析] ∵x ，y >0，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x＋3x y ≥4＋23，当且仅当y x ＝3xy， 即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号， 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32. [答案] 1＋323．若x <3，则实数f (x )＝4x －3＋x 的最大值为________． [解析] ∵x <3，∴x －3<0， ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取“＝”号．∴f (x )的最大值为－1. [答案] －1题型二利用基本不等式解决实际问题【典例2】 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围 36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？[思路导引] 设每间虎笼长x m ，宽y m ，则问题是在4x ＋6y ＝36的前提下求xy 的最大值．[解] (1)设每间虎笼长x m ，宽为y m ，则由条件知4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18. 设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .解法一：由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ， ∴26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3.故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大． 解法二：∵2x ＋3y ＝18，∴S ＝xy ＝16·(2x )·(3y )≤16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝816＝272.(以下同解法一)(2)由条件知S ＝xy ＝24.设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y . ∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24，∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ，xy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．解决实际问题时，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．[针对训练]4．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000 m 2的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)[解] 设将楼房建为x 层，则每平方米的平均购地费用为2160×1042000 x ＝10800x .于是每平方米的平均综合费用y ＝560＋48x ＋10800x＝560＋48⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋225x (x ≥10)，当x ＋225x取最小时，y 有最小值．∵x >0，∴x ＋225x≥2x ·225x＝30，当且仅当x ＝225x，即x ＝15时，上式等号成立．∴当x ＝15时，y 有最小值2000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最小．课堂归纳小结1．利用基本不等式求最大值或最小值时应注意： (1)x ，y 一定要都是正数；(2)求积xy 最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 最小值时，应看积xy 是否为定值；(3)等号是否能够成立．以上三点可简记为“一正、二定、三相等”.2.利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用．3．求解应用题的方法与步骤(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.1．已知y ＝x ＋1x－2(x >0)，则y 有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最小值为－2D ．最小值为2[答案] B2．已知0<x <1，则当x (1－x )取最大值时，x 的值为( )A.13B.12C.14D.23[解析] ∵0<x <1，∴1－x >0.∴x (1－x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝14，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，等号成立．[答案] B3．已知p ，q ∈R ，pq ＝100，则p 2＋q 2的最小值是________． [答案] 2004．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.[解析] 由基本不等式，得4x ＋a x≥24x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝a x，即x ＝a2时，等号成立，即a2＝3，a ＝36.[答案] 365．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80000，该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？[解] 由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80000x－200≥212x ·80000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80000x，即x ＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．课后作业(十二)复习巩固一、选择题1．当x >0时，y ＝12x＋4x 的最小值为( )A ．4B ．8C ．8 3D ．16 [解析] ∵x >0，∴12x >0,4x >0.∴y ＝12x ＋4x ≥212x ·4x ＝8 3.当且仅当12x＝4x ，即x ＝3时取最小值83，∴当x >0时，y 的最小值为8 3.[答案] C2．设x ，y 为正数，则(x ＋y )⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋4y的最小值为( ) A ．6 B ．9 C ．12D ．15[解析] (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝x ·1x ＋4x y ＋y x ＋y ·4y ＝1＋4＋4x y ＋y x ≥5＋24x y ·yx＝9.[答案] B3．若x >0，y >0，且2x ＋8y＝1，则xy 有( )A ．最大值64B ．最小值164C ．最小值12D ．最小值64[解析] 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.[答案] D4．已知p >0，q >0，p ＋q ＝1，且x ＝p ＋1p ，y ＝q ＋1q，则x ＋y 的最小值为( )A ．6B ．5C ．4D ．3[解析] 由p ＋q ＝1，∴x ＋y ＝p ＋1p ＋q ＋1q ＝1＋1p ＋1q＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1p ＋1q (p ＋q )＝1＋2＋q p ＋p q ≥3＋2q p ·pq＝5，当且仅当q p ＝p q 即p ＝q ＝12时取等号，所以B 选项是正确的． [答案] B 5．若a <1，则a ＋1a －1有最________(填“大”或“小”)值，为________． [解析] ∵a <1， ∴a －1<0， ∴－⎝⎛⎭⎪⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a≥2， ∴a －1＋1a －1≤－2， ∴a ＋1a －1≤－1. 当且仅当a ＝0时取等号． [答案] 大 －1 二、填空题6．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________．[解析] 由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3－3x 22＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．[答案] 127．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________．[解析] ∵x ，y 为正数，且x ＋2y ＝1， ∴1x ＋1y＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝3＋2y x ＋x y≥3＋22，当且仅当2y x ＝x y ，即当x ＝2－1，y ＝1－22时等号成立．∴1x ＋1y的最小值为3＋2 2.[答案] 3＋2 28．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．[解析] 每年购买次数为400x次．∴总费用＝400x·4＋4x ≥26400＝160，当且仅当1600x＝4x ，即x ＝20时等号成立．[答案] 20 三、解答题9．已知a ，b ，x ，y >0，x ，y 为变量，a ，b 为常数，且a ＋b ＝10，a x ＋by＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b .[解] x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎪⎫a x ＋by＝a ＋b ＋bx y ＋ay x≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2， 当且仅当bx y ＝ayx时取等号． 故(x ＋y )min ＝(a ＋b )2＝18， 即a ＋b ＋2ab ＝18，① 又a ＋b ＝10，②由①②可得{ a ＝2，b ＝8或{ a ＝8，b ＝2. 10．(1)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值； (2)设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值． [解] (1)∵x <3，∴x －3<0. ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋x －3＋3 ＝－⎝⎛⎭⎪⎫43－x ＋3－x ＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号，∴f (x )的最大值为－1.(2)解法一：由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x ，∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8， ∴x ＋y ＝x ＋2x x －8＝x ＋(2x －16)＋16x －8 ＝(x －8)＋16x －8＋10 ≥2(x －8)×16x －8＋10 ＝18. 当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立． ∴x ＋y 的最小值是18.解法二：由2x ＋8y －xy ＝0及x >0，y >0，得8x ＋2y＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ＝8y x ＋2x y ＋10≥2 8y x ·2x y＋10 ＝18.当且仅当8y x ＝2x y，即x ＝2y ＝12时等号成立， ∴x ＋y 的最小值是18.综合运用11．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( ) A.72 B ．4 C.92D ．5 [解析] ∵a ＋b ＝2，∴a ＋b2＝1，∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋b 2a ≥52＋22a b ·b 2a ＝92(当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a 时，“＝”成立)，故y ＝1a ＋4b 的最小值为92. [答案] C12．若xy 是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是( ) A ．3 B.72 C ．4 D.92[解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2 ＝x 2＋y 2＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1y 2＋x y ＋y x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2＋14y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥1＋1＋2＝4.当且仅当x ＝y ＝22或x ＝y ＝－22时取等号． [答案] C13．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． [解析] 因为x >0，所以x ＋1x≥2， 当且仅当x ＝1时取等号，所以有x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. [答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 14．设x >－1，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值是________． [解析] ∵x >－1，∴x ＋1>0，设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有y ＝(t ＋4)(t ＋1)t ＝t 2＋5t ＋4t＝t ＋4t ＋5≥2t ·4t ＋5＝9， 当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取等号，此时x ＝1， ∴当x ＝1时，函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1取得最小值9.[答案] 915．阳光蔬菜生产基地计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？[解] 设矩形温室的一边长为x m ，则另一边长为800xm(2<x <200)．依题意得种植面积：S ＝(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫800x －4＝800－1600x －4x ＋8 ＝808－⎝ ⎛⎭⎪⎫1600x ＋4x ≤808－21600x ·4x ＝648， 当且仅当1600x ＝4x ，即x ＝20时，等号成立．即当矩形温室的一边长为20 m ，另一边长为40 m 时种植面积最大，最大种植面积是648 m 2.。

第2课时 基本不等式的应用课 标 解 读课标要求 核心素养1.进一步熟练掌握基本不等式,能够利用基本不等式求最值.(重点)2.能够利用基本不等式解决实际问题.(难点)1.通过学习利用基本不等式求代数式的最值,提升学生的数学运算素养.2.在利用基本不等式解决实际问题的过程中,提升学生的数学建模素养.基本不等式与最大(小)值两个正数的和为常数时,它们的积有最大值;两个正数的积为常数时,它们的和有最小值. (1)x,y 都是正数,如果和x+y 等于定值S,那么当①x=y 时,积xy 有最大值②14S 2. (2)x,y 都是正数,如果积xy 等于定值P,那么当③x=y 时,和x+y 有最小值④2√P . 思考1:x+1P 的最小值是2吗?提示 不是.只有当x>0时,x+1P 的最小值才是2.思考2:x,y 为正数,且1P +4P=1,求x+y 的最小值.下面是某位同学的解题过程: 解:因为x>0,y>0,所以1=1P +4P ≥2×√PP=√PP,所以√PP ≥4,从而x+y≥2√PP ≥2×4=8.故x+y的最小值为8.请判断这位同学的解法是否正确,并说明理由. 提示 这位同学的解法是错误的.理由如下:解题过程中连续两次使用基本不等式,但这两个不等式中的等号不能同时成立.第一个不等式当且仅当1P =4P =12,即x=2,y=8时,等号成立;第二个不等式当且仅当x=y 时,等号成立,因此x+y 的最小值不能等于8.正确解法:∵x>0,y>0,1P +4P =1,∴x+y=(x+y)(1P +4P )=1+P P +4P P +4=P P +4P P +5≥2·√P P ·4PP+5=9,当且仅当{1P +4P =1,P P=4PP ,即x=3,y=6时,等号成立.故x+y 的最小值为9.探究一 利用基本不等式求最值例1 (1)m,n>0,且m+n=16,求mn 的最大值;(2)x>3,求x+4P -3的最小值.解析 (1)∵m,n>0,且m+n=16, ∴由基本不等式可得mn≤(P +P 2)2=(162)2=64,当且仅当m=n=8时,等号成立,∴mn 的最大值为64. (2)∵x>3,∴x -3>0,4P -3>0,于是x+4P -3=x-3+4P -3+3≥2√(P -3)·4P -3+3=7, 当且仅当x-3=4P -3,即x=5时,等号成立,故x+4P -3的最小值为7.思维突破1.利用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等〞的原那么求解.(1)一正:符合基本不等式P +P 2≥√PP 成立的前提条件:a>0,b>0.(2)二定:不等式的一边转换为定值.(3)三相等:必须存在取等号的条件,即等号成立. 以上三点缺一不可.2.假设是求和式的最小值,通常化(或利用)积为定值;假设是求积的最大值,通常化(或利用)和为定值,其解答技巧是恰当变形,合理拆分项或配凑因式.1.(1)假设x<0,求12P +3x 的最大值; (2)假设x>2,求1P -2+x 的最小值;(3)0<x<12,求12x(1-2x)的最大值.解析 (1)因为x<0,所以12P +3x=-[(-12P )+(-3x)]≤-2√-12P ·(-3x)=-12,当且仅当-12P =-3x,即x=-2时等号成立,所以12P +3x 的最大值为-12.(2)因为x>2,所以x-2>0,1P -2+x=1P -2+x-2+2≥2√(P -2)·1P -2+2=4,当且仅当x-2=1P -2,即x=3时等号成立,所以1P -2+x 的最小值为4.(3)因为0<x<12,所以1-2x>0,12x(1-2x)=14×2x(1-2x)≤14[2P +(1-2P )2]2=116,当且仅当2x=1-2x,即x=14时等号成立,所以12x(1-2x)的最大值为116.探究二 利用基本不等式解决实际问题例2 某汽车公司购买了4辆大客车,每辆200万元,用于长途客运,预计每辆车每年收入约100万元,每辆车第一年的各种费用约为16万元,且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元.(1)写出4辆车运营的总利润y(万元)与运营年数x(x∈N *)的函数关系式; (2)这4辆车运营多少年可使年平均运营利润最大?(注:1+2+3+…+n=12n (n +1),n ∈N *)解析 (1)依题意,每辆车运营x 年的总收入为100x 万元,总支出为200+16×(1+2+…+x)=200+12x(x+1)·16万元,∴y=4[100P -200-12x(x +1)·16]=16(-2x 2+23x-50). (2)年平均运营利润为P P =16(23-2P -50P )=16×[23-2(P +25P)].∵x∈N *,∴x+25P ≥2√P ·25P=10,当且仅当x=5时,等号成立,此时PP ≤16×(23-20)=48.∴运营5年可使年平均运营利润最大,最大运营利润为48万元. 思维突破在应用基本不等式解决实际问题时,应注意的思路和方法:(1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为因变量;(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题;(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值; (4)根据实际背景写出答案.2.2016年11月3日20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射,它被公认为是我国从航天大国向航天强国迈进的重要标志.长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新产品,甲工厂承担了某种产品的生产,当其以x 千克/时的速度匀速生产时(为保证质量要求1≤x≤10),每小时可消耗A 材料(kx 2+9)千克,每小时生产1千克该产品时,消耗A 材料10千克.如果消耗A 材料的总重量为y 千克,那么要使生产1 000千克该产品消耗A 材料最少,工厂应选取何种生产速度?并求出此时消耗的A 材料的重量的最小值.解析 由题意,得k+9=10,即k=1, 生产1 000千克该产品需要的时间是1000P,所以生产1 000千克该产品消耗的A 材料的重量y=1000P(x 2+9)=1 000(P +9P )≥1 000×2√9=6 000,1≤x≤10,当且仅当x=9P ,即x=3时,等号成立,故工厂应选取3千克/时的生产速度,此时消耗的A 材料最少,为6 000千克.探究三 基本不等式的综合应用例3 (1)设x>0,y>0,且1P +1P =1,求2x+y 的最小值;(2)a>0,b>0,假设不等式2P +1P≥P2P +P恒成立,求实数m 的最大值.解析 (1)∵x>0,y>0,1P +1P=1,∴2x+y=(1P +1P )(2x+y)=3+P P +2P P ≥3+2√P P ·2PP=3+2√2,当且仅当P P =2PP ,即y=√2x 时,等号成立, ∴2x+y 的最小值为3+2√2.(2)因为a>0,b>0,所以2a+b>0,所以要使2P +1P≥P2P +P恒成立,只需m≤(2a+b)·(2P +1P)恒成立,因为(2a+b)·(2P +1P )=4+2P P +2PP +1≥5+4=9,当且仅当a=b 时,等号成立,所以m≤9.故实数m 的最大值为9. 思维突破(1)应根据条件适当进行“拆〞“拼〞“凑〞“合〞“变形〞,创造应用基本不等式及使等号成立的条件.当连续应用基本不等式时,要注意各不等式取等号时的条件一致,否那么不能求出最值.特别注意“1〞的代换.(2)假设是不等式,那么需将字母参数分离出来,转换为求函数式的最值.求函数式的最值时,可能用到基本不等式.3.(1)(变条件)把例3(1)中的条件变为x>0,y>0,且2x+8y=xy,求2x+y 的最小值;(2)(变条件)把例3(2)中的条件变为a>b>c,且1P -P +1P -P ≥PP -P 恒成立,求实数m 的最大值. 解析 (1)由2x+8y=xy 及x>0,y>0,得8P +2P =1, ∴2x+y=(2x+y)(8P +2P )=8P P +4PP +18≥2√8PP ·4P P+18=8√2+18,当且仅当8P P =4PP ,即x=√2y 时等号成立. ∴2x+y 的最小值是18+8√2. (2)由a>b>c 知a-b>0,b-c>0,a-c>0, 原不等式等价于P -P P -P +P -PP -P ≥m, 要使不等式恒成立,只需P -P P -P +P -PP -P的最小值不小于m 即可.∵P -P P -P +P -P P -P =(P -P )+(P -P )P -P +(P -P )+(P -P )P -P =2+P -P P -P +P -P P -P ≥2+2√P -P P -P ·P -P P -P =4,当且仅当P -P P -P =P -PP -P,即2b=a+c 时,等号成立. ∴m≤4,即m 的最大值为4.1.假设正实数a 、b 满足a+b=2,那么ab 的最大值为( ) A.1B.2√2C.2D.4答案 A 因为a,b 为正实数,a+b=2,所以由基本不等式得,ab≤(P +P 2)2=1,当且仅当a=b 时,等号成立.2.设x>0,那么3-3x-1P 的最大值是( ) A.3B.3-2√2C.-1D.3-2√3答案 D ∵x>0,∴3x+1P ≥2√3P ·1P =2√3,当且仅当x=√33时取等号,∴-(3P +1P )≤-2√3,那么3-3x-1P≤3-2√3,那么3-3x-1P的最大值是3-2√3.应选D.3.以下等式中最小值为4的是( ) A.y=x+4PB.y=2t+1PC.y=4t+1P (t>0)D.y=t+1P答案 C A 中,当x=-1时,y=-5<4;B 中,当t=-1时,y=-3<4;C 中,∵t>0,∴y=4t+1P≥2√4P ·1P=4,当且仅当t=12时等号成立;D 中,t=-1时,y=-2<4.应选C. 4.a>0,b>0,a+b=2,那么y=1P +4P 的最小值是( )A.72B.4C.92D.5答案 C ∵a+b=2,∴P +P 2=1.又a>0,b>0, ∴1P +4P =(1P +4P)·P +P 2=52+(2PP+P 2P )≥52+2√2P P ·P 2P =92当且仅当2P P =P2P,a+b=2,即a=23,b=43时,等号成立.故y=1P +4P 的最小值为92. 5.x>0,求y=2PP 2+1的最大值.解析 y=2PP 2+1=2P +1P.∵x>0,∴x+1P ≥2√P ·1P =2,∴y≤22=1,当且仅当x=1P,即x=1时等号成立.故y=2PP 2+1的最大值为1.逻辑推理——利用基本不等式求最值问题在1=1□+9□等号右侧两个分数的分母方框处,各填上一个正整数,并且使这两个正整数的和最小,试求这两个正整数.素养探究:解决探究性试题要根据题设条件,恰当地联系相关知识(如利用基本不等式求最值时应构造应用基本不等式的条件),多方位进行探究,探索,寻求解题的思路,解题过程中表达逻辑推理核心素养.解析 设1P +9P =1,a,b∈N *,那么a+b=(a+b)·1=(a+b)(1P +9P )=1+9+P P +9P P ≥10+2√P P ·9PP=10+2×3=16,当且仅当P P =9PP,即b=3a 时等号成立.又1P +9P =1,∴1P +93P =1,∴a=4,b=12. ∴这两个数分别是4,12.正数x,y 满足x+y=1,那么x-y 的取值范围是 ,1P +PP 的最小值为 .答案 -1<x-y<1;3解析 ∵正数x,y 满足x+y=1,∴y=1-x,0<x<1,∴x -y=2x-1,又0<x<1,∴0<2x<2,∴-1<2x-1<1,即x-y 的取值范围是-1<x-y<1. 1P +P P=P +P P+PP =1+P P +P P ≥1+2√P P ·P P =1+2=3,当且仅当x=y=12时取“=〞,∴1P +PP的最小值为3.1.(多选)假设x>0,y>0且x+y=4,那么以下不等式中恒成立的是 ( ) A.1P +P >14 B.1P +1P ≥1 C.√PP ≤2D.1PP ≥11.答案 BC 假设x>0,y>0,由x+y=4,得1P +P =14,故A 错误; 1P +1P =14(x+y)(1P +1P )=14(2+P P +P P )≥14×(2+2)=1, 当且仅当x=y=2时,等号成立,故B 正确;因为x>0,y>0,x+y=4,且x+y≥2√PP ,所以√PP ≤2,故C 正确;∵√PP ≤2,∴xy≤4, ∴1PP ≥14,当且仅当x=y=2时,等号成立,∴D 错误.2.假设实数a,b 满足1P +2P =√PP ,那么ab 的最小值为( ) A.√2 B.2C.2√2D.42.答案 C 由题意,得a>0,b>0.∵√PP =1P +2P ≥2√2PP =2√2√PP,当且仅当1P =2P 时,等号成立, ∴ab≥2√2.3.m>0,n>0,m+n=1且x=m+1P ,y=n+1P ,那么x+y 的最小值是( ) A.4 B.5C.8D.103.答案 B 依题意有x+y=m+n+1P +1P=1+P +P P +P +PP=3 +P P +PP ≥3+2=5,当且仅当m=n=12时,取等号.应选B. 4.假设-4<x<1,那么P 2-2x +22P -2( )A.有最小值1B.有最大值1C.有最小值-1D.有最大值-1 4.答案 DP 2-2x +22P -2=12[(P -1)+1P -1]. ∵-4<x<1,∴x -1<0.∴-(x-1)>0. ∴P 2-2x +22P -2=-12[-(P -1)+1-(P -1)]≤-12×2=-1, 当且仅当x-1=1P -1,即x=0时等号成立.5.a>0,b>0,2P +1P =16,假设不等式2a+b≥9m 恒成立,那么m 的最大值为( ) A.8 B.7C.6D.55.答案 C 由,可得6(2P +1P )=1, ∴2a+b=6(2P +1P )×(2a+b)=6(5+2PP+2PP)≥6×(5+4)=54,当且仅当2P P =2P P ,即a=b=18时等号成立,∴9m≤54,即m≤6,应选C. 6.x,y 都是正数.(1)如果xy=15,那么x+y 的最小值是 ; (2)如果x+y=15,那么xy 的最大值是 . 6.答案 (1)2√15 (2)2254解析 (1)x+y≥2√PP =2√15,即x+y 的最小值是2√15,当且仅当x=y=√15时,取最小值. (2)xy≤(P +P 2)2=(152)2=2254,即xy 的最大值是2254,当且仅当x=y=152时,xy 取最大值.7.在如下图的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),那么其边长x= m.7.答案 20解析 设矩形花园的宽为y m,那么P 40=40-P40,即y=40-x,矩形花园的面积S=x(40-x)≤(P +40-P 2)2=400,当且仅当x=20时,取等号,即当x=20时,面积最大. 8.a>0,b>0,那么1P +1P +2√PP 的最小值是 .8.答案 4解析 ∵a>0,b>0,∴1P +1P+2√PP ≥2√1PP +2√PP ≥4√1√PP·√PP =4,当且仅当a=b=1时,等号成立. 9.(1)设x,y 都是正数,且1P +2P =3,求2x+y 的最小值; (2)设x>-1,求y=(P +5)(P +2)P +1的最小值.9.解析 (1)2x+y=13(1P +2P )(2x+y)=13(PP +4PP+4)≥13(2√4+4)=83.当且仅当P P =4PP,即y 2=4x 2时等号成立,∴y=2x.又∵1P +2P=3,得x=23,y=43.∴当x=23,y=43时,2x+y 取得最小值,为83. (2)∵x>-1,∴x+1>0. 设x+1=t>0,那么x=t-1,于是有y=(P +4)(P +1)P =P 2+5t +4P=t+4P+5≥2√P ·4P+5=9,当且仅当t=4P ,即t=2时取等号,此时x=1. ∴当x=1时,函数y=(P +5)(P +2)P +1取得最小值9.10.设0<x<1,那么4P +11-P 的最小值为( ) A.10 B.9C.8D.27210.答案 B ∵0<x<1,∴1-x>0, 4P +11-P =[x+(1-x)]·(4P +11-P ) =4+4(1-P )P+P1-P +1≥5+2√4(1-P )P·P1-P =5+2×2=9,当且仅当4(1-P )P=P 1-P ,即x=23时,等号成立,∴4P +11-P 的最小值为9.11.x>0,y>0,且2P +1P =1,假设x+2y>m 2恒成立,那么实数m 的取值范围是( ) A.m≤-2√2或m≥2√2 B.m≤-4或m≥2 C.-2<m<4D.-2√2<m<2√211.答案 D ∵x>0,y>0且2P +1P=1,∴x+2y=(x+2y)(2P +1P )=4+4P P +P P ≥4+2√4P P ·P P =8,当且仅当4P P =PP ,即x=4,y=2时取等号,∴(x+2y)min =8,要使x+2y>m 2恒成立, 只需(x+2y)min >m 2恒成立,即8>m 2,解得-2√2<m<2√2.12.假设实数x 、y 满足x 2+y 2+xy=1,那么x+y 的最大值是 . 12.答案2√33解析 x 2+y 2+xy=(x+y)2-xy=1,∴(x+y)2=xy+1≤(P +P 2)2+1.∴34(x+y)2≤1.∴x+y≤2√33,当且仅当x=y=√33时,等号成立.13.不等式2x+m+8P -1>0对任意的x>1恒成立,那么实数m 的取值范围是 .13.答案 {m|m>-10}解析 ∵2x+m+8P -1>0对任意的x>1恒成立, ∴m>-2x-8P -1=-2(P +4P -1)=-2(P -1+4P -1+1), 又∵x>1,∴x -1>0, ∴x -1+4P -1+1≥2√(P -1)·4P -1+1=5,当且仅当x-1=4P -1,即x=3时,等号成立, ∴-2(P -1+4P -1+1)≤-2×5=-10.∴m>-10,∴实数m 的取值范围是{m|m>-10}.14.某人准备租一辆车从孝感出发去武汉,从出发点到目的地的距离为100 km,按交通法规定:这段公路车速限制在40~100(单位:km/h)之间.假设目前油价为7.2元/L,汽车的耗油率为(3+P 2360) L /h,其中x(单位:km/h)为汽车的行驶速度,耗油率指汽车每小时的耗油量.租车需付给司机每小时的工资为76.4元,不考虑其他费用,这次租车的总费用最少是多少?此时的车速x 是多少?(注:租车总费用=耗油费+司机的工资)14.解析 设总费用为y 元 .由题意,得y=76.4×100P +7.2×100P ×(3+P 2360)=9800P+2x(40≤x≤100).因为y=9800P+2x≥2√19600=280. 当且仅当9800P=2x,即x=70时取等号.所以这次租车的总费用最少是280元,此时的车速为70 km/h.15.设自变量x 对应的因变量为y,在满足对任意的x,不等式y≤M 都成立的所有常数M 中,将M 的最小值叫做y 的上确界.假设a,b 为正实数,且a+b=1,那么-12P -2P 的上确界为( ) A.-92B.92C.14D.-415.答案 A 因为a,b 为正实数,且a+b=1,所以12P +2P=(12P +2P )×(a+b)=52+(P 2P+2PP)≥52+2√P 2P ·2P P =92,当且仅当b=2a,即a=13,b=23时等号成立,因此有-12P -2P ≤-92,即-12P -2P 的上确界为-92.16.(多选)一个矩形的周长为l,面积为S,那么如下四组数对中,可作为数对(S,l)的是( ) A.(1,4) B.(6,8) C.(7,12)D.(3,12)16.答案 AC 设矩形的长和宽分别为x,y,那么x+y=12l,S=xy. 对于(1,4),x+y=2,xy=1,根据基本不等式满足xy≤(P +P 2)2,符合题意; 对于(6,8),x+y=4,xy=6,根据基本不等式不满足xy≤(P +P 2)2,不符合题意;对于(7,12),那么x+y=6,xy=7,根据基本不等式满足xy≤(P +P 2)2,符合题意;对于(3,12),那么x+y=14,xy=3,根据基本不等式不满足xy≤(P +P 2)2,不符合题意.综上可知,可作为数对(S,l)的是AC.滚动提升练(二)一、选择题1.命题“∃x∈R,x 3-x 2+1≤0〞的否定是( ) A.∃x∈R,x 3-x 2+1<0 B.∃x∈R,x 3-x 2+1≥0 C.∀x∈R,x 3-x 2+1>0D.∀x∈R,x 3-x 2+1≤01.答案 C 由存在量词命题的否定是全称量词命题可得,所给命题的否定为“∀x∈R,x 3-x 2+1>0〞.应选C.2.全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},那么集合∁U (A∪B)=( ) A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}2.答案 D 由题意可知,A∪B={x|x≤0或x≥1},所以∁U (A∪B)={x|0<x<1}.3.设全集为U,在以下条件中,是B ⊆A 的充要条件的有( ) ①A∪B=A,②(∁U A)∩B=⌀,③∁U A ⊆∁U B,④A∪∁U B=UA.1个B.2个C.3个D.4个3.答案 D 如图,借助Venn 图,可以判断出A∪B=A ⇔B ⊆A,(∁U A)∩B=⌀⇔B ⊆A, ∁U A ⊆∁U B ⇔B ⊆A,A∪∁U B=U ⇔B ⊆A,故①②③④均正确. 应选D.4.(多选)假设a>b>0,那么以下不等式中一定不成立的是( ) A.P P >P +1P +1B.a+1P>b+1PC.a+1P>b+1PD.2P +P P +2P >PP4.答案 AD ∵a>b>0,那么P P -P +1P +1=P (P +1)-P (P +1)P (P +1)=P -P P (P +1)<0,∴P P >P +1P +1一定不成立;a+1P -b-1P=(a-b)·(1-1PP),当ab>1时,a+1P -b-1P >0,故a+1P >b+1P 可能成立;a+1P -b-1P =(a-b)(1+1PP )>0,故a+1P >b+1P 恒成立;2P +P P +2P -PP =P 2-P 2P (P +2P )<0,故2P +P P +2P >PP 一定不成立.应选AD.5.对于实数x 和y,定义运算⊗:x ⊗y=x(1-y),假设对任意x>1,不等式(x-m)⊗x≤1都成立,那么实数m 的取值范围是( ) A.-1≤m≤3B.m≤3C.m≤-1或m≥3D.m≥35.答案 B 由运算规那么可知(x-m)⊗x≤1⇒(x-m)(1-x)≤1⇒m≤x+1P -1,当x>1时,x+1P -1=(x-1)+1P -1+1≥3,当且仅当x=2时取等号,那么m≤3,应选B. 二、填空题6.集合A={1,3},B={1,2,m},假设A∩B={1,3},那么m= ;A∪B= . 6.答案 3;{1,2,3}解析 ∵A∩B={1,3},∴3∈B,∴m=3,∴B={1,2,3},∴A∪B={1,2,3}.7.△ABC 和△A 1B 1C 1的对应角相等是△ABC≌△A 1B 1C 1的 条件.(填“充分不必要〞“必要不充分〞“充要〞或“既不充分也不必要〞) 7.答案 必要不充分解析 由△ABC 和△A 1B 1C 1的对应角相等⇒/ △ABC≌△A 1B 1C 1;反之由△ABC≌△A 1B 1C 1⇒∠A=∠A 1,∠B=∠B 1,∠C=∠C 1.8.设A={x|1<x<2},B={x|x<a},假设A ⫋B,那么实数a 的取值范围是 . 8.答案 {a|a≥2}解析 如图,因为A ⫋B,所以a≥2,即a 的取值范围是{a|a≥2}.9.设x,y∈R,且xy≠0,那么(P 2+1P 2)(1P 2+4P 2)的最小值为 . 9.答案 9解析 (P 2+1P 2)(1P 2+4P 2)=5+1P 2P 2+4x 2y 2≥5+2√1P 2P 2·4P 2P 2=9,当且仅当x 2y 2=12时“=〞成立.10.x,y 为正数,当x+y=1时,xy 的最大值为 ;当x+y-xy=0时,x+2y 的最小值为 . 10.答案 14;3+2√2 解析 ∵x+y=1≥2√PP ,∴0<xy≤14,当且仅当x=y=12时,等号成立.∴xy 的最大值为14.x+y-xy=0,故1P +1P =1,那么(x+2y)·(1P +1P )=3+2P P +PP ≥3+2√2PP ·P P =3+2√2,当且仅当P P =2PP ,即x=√2+1,y=√22+1时取等号, ∴最小值为3+2√2.三、解答题11.全集U=R,集合A={x|x≤-a-1},B={x|x>a+2},C={x|x<0或x≥4}都是U 的子集.假设∁U (A∪B)⊆C,问这样的实数a 是否存在?假设存在,求出a 的取值范围;假设不存在,请说明理由. 11.解析 因为∁U (A∪B)⊆C 成立,所以应分两种情况. ①假设∁U (A∪B)=⌀,那么A∪B=R,因此a+2≤-a-1,即a≤-32.②假设∁U(A∪B)≠⌀,那么a+2>-a-1,即a>-32.因为A={x|x≤-a-1},B={x|x>a+2},所以A∪B={x|x≤-a-1或x>a+2},所以∁U(A∪B)={x|-a-1<x≤a+2}.又∁U(A∪B)⊆C,所以a+2<0或-a-1≥4,即a<-2或a≤-5,那么有a<-2,由于a>-32,故此时a不存在.综上所述,存在这样的实数a,且a的取值范围是{P|P≤-32}.12.如图,动物园要围成面积相同的四间长方形虎笼,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成.现有36 m长的钢筋网材料,那么每间虎笼的长、宽分别为多少时,可使每间虎笼面积最大?12.解析设每间虎笼长x m,宽y m,那么由条件知,4x+6y=36,即2x+3y=18.设每间虎笼面积为S,那么S=xy.解法一:由于2x+3y≥2√2P·3P=2√6PP,所以2√6PP≤18,得xy≤272,即S max=272,当且仅当2x=3y,即x=4.5,y=3时,等号成立.故每间虎笼的长为4.5 m,宽为3 m时,可使每间虎笼面积最大.解法二:由2x+3y=18,得x=9-32y.∵x>0,∴0<y<6,S=xy=y(9-32y)=32y·(6-y).∵0<y<6,∴6-y>0.∴S≤32[P+(6-P)2]2=272.当且仅当6-y=y,即y=3时,等号成立,此时x=4.5.故每间虎笼的长为4.5 m,宽为3 m时,可使每间虎笼面积最大.。