不等式难点强化训练及综合运用

第二章一元一次不等式和一元一次不等式组专项训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、设m为整数，若方程组3131x y mx y m+=-⎧⎨-=+⎩的解x、y满足175x y+>-，则m的最大值是（）A．4 B．5 C．6 D．72、一次函数y＝mx﹣n（m，n为常数）的图象如图所示，则不等式mx﹣n≥0的解集是（）A．x≥2B．x≤2C．x≥3D．x≤33、如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图像经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），一次函数y＝2x 的图像过点A，则不等式2x＜kx+b≤0的解集为（）A ．x ≤﹣2B ．﹣2≤x ＜﹣1C ．﹣2＜x ≤﹣1D ．﹣1＜x ≤04x 的取值范围是（ ） A ．x ≥2 B ．x >2 C ．x ≠2D ．x <2 5、下列四个说法：①若a ＝﹣b ，则a 2＝b 2；②若|m |+m ＝0，则m ＜0；③若﹣1＜m ＜0，则m 2＜﹣m ；④两个四次多项式的和一定是四次多项式．其中正确说法的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．16、若a ＞b ，则（ ）A ．a ﹣1≥bB ．b +1≥aC ．2a +1＞2b +1D ．a ﹣1＞b +17、若不等式﹣3x ＜1，两边同时除以﹣3，得（ ）A ．x ＞﹣13 B ．x ＜﹣13 C ．x ＞13 D ．x ＜138、如图，一次函数y kx b =+（,k b 为常数，且0k ≠）的图像经过点(3,2)-，则关于x 的不等式2kx b +<的解集为（ ）A ．3x >-B ．3x <-C ．2x >D ．2x <9、把不等式组123x x >-⎧⎨+≤⎩的解集在数轴上表示，正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．10、如果点P （m ，1﹣2m ）在第一象限，那么m 的取值范围是 （ ）A ．102m ＜＜ B ．102m -＜＜ C ．0m ＜ D ．12m ＞ 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，关于x 的不等式组在数轴上所表示的的解集是：______．2、a 、b 、c 表示的数在数轴上如图所示，试填入适当的＞”“＜”或“＝”．（1）3a +______3b +；（2）-a b ________0；（3）35a __________35b ；（4）2a -________2b -； （5）14a -________14b -；（6）ac ⋅_______b c ⋅；（7）a c -________b c -；（8）ab _______2b ．3、在某校班级篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得3分，负一场得1分，如果某班要在第一轮的28场比赛中至少得43分，那么这个班至少要胜___场．4、关于x 的正比例函数y =(m +2)x ，若y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是________．5、 “a 的25用不等式表示__________________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、（1）解不等式：3x ﹣2≤5x ，并把解集在数轴上表示出来．（2）解不等式组2(2)313123x x x x -≤-⎧⎪+-⎨>+⎪⎩，并写出它的最大整数解． 2、解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来 ()1317225231x x x x ⎧-≤-⎪⎨⎪->+⎩3、春节将至，小明家亲友团准备去某地旅游，甲旅行社的优惠办法是：买4张全票其余人按半价优惠；乙旅行社的优惠办法是：一律按原价的七五折优惠；已知这两家旅行社的原价均为4000元每人.（1）若亲友团有6人，甲、乙旅行社各需多少费用？（2）亲友团为多少人时，甲、乙旅行社的费用相同？（3）当亲友团人数满足什么条件时，甲旅行社的收费更优惠？当亲友团人数满足什么条件时，乙旅行社的收费更优惠？（直接写出结果，不需说明理由）4、三角形的三边长分别是2，x ，10，且正偶数x 满足不等式11145x x +-<-，求该三角形的周长． 5、某公司销售A 、B 两种型号教学设备，每台的销售成本和售价如表：已知每月销售两种型号设备共20台，设销售A 种型号设备x 台，A 、B 两种型号设备全部售完后获得毛利润y 万元（毛利润＝售价-成本）（1）求y 关于x 的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；（2）若销售两种型号设备的总成本不超过80万元，那么公司如何安排销售A 、B 两种型号设备，售完后毛利润最大？并求出最大毛利润．-参考答案-一、单选题1、B【分析】先把m 当做常数，解一元二次方程，然后根据175x y +>-得到关于m 的不等式，由此求解即可 【详解】解：3131x y m x y m +=-⎧⎨-=+⎩①② 把①×3得：9333x y m +=-③，用③+①得：1042x m =-，解得25m x -=，把25mx-=代入①得6315my m-+=-，解得125my--=，∵175x y+>-，∴21217555m m---+>-，即131755m->-，解得6m<，∵m为整数，∴m的最大值为5，故选B．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式和求不等式的整数解，解题的关键在于能够熟练掌握解二元一次方程组的方法．2、D【分析】观察直线位于x轴及x轴上方的图象所对应的自变量的值即可完成解答．【详解】由图象知：不等式的解集为x≤3故选：D【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，数形结合是解答本题的关键．3、B【分析】根据图象知正比例函数y=2x和一次函数y=kx+b的图象的交点，即可得出不等式2x＜kx+b的解集，根据一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标即可得出不等式kx+b≤0的解集是x≥-2，即可得出答案．【详解】解：∵由图象可知：正比例函数y=2x和一次函数y=kx+b的图象的交点是A（-1，-2），∴不等式2x＜kx+b的解集是x＜-1，∵一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标是B（-2，0），∴不等式kx+b≤0的解集是x≥-2，∴不等式2x＜kx+b≤0的解集是-2≤x＜-1，故选：B．【点睛】本题考查一次函数和一元一次不等式的应用，能利用数形结合，找到不等式与一次函数图像的关系是解答此题的关键．4、A【分析】根据二次根式有意义，被开方数为非负数，列一元一次不等式，解不等式即可得．【详解】x-≥，解：根据题意，得20x≥，∴2故选：A．【点睛】本题考查了二次根式有意义条件、一元一次不等式解法；解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键．5、C【分析】根据题意分别利用相反数的性质以及绝对值的代数意义和多项式的加法进行判断即可．【详解】解：①若a＝﹣b，则a2＝b2，说法正确；②若|m|+m＝0，则m 0，说法错误；③若﹣1＜m＜0，则m2＜﹣m，说法正确；④两个四次多项式的和不一定是四次多项式，说法错误；①③正确，共有2个.故选：C.【点睛】本题考查相反数的性质和不等式性质以及绝对值的代数意义和多项式的加法，熟练掌握相关的概念是解题的关键.6、C【分析】举出反例即可判断A、B、D，根据不等式的性质即可判断C．【详解】解：A、若a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a﹣1＜b，不符合题意；B、若a＝3，b＝1，a＞b，但是b+1＜a，不符合题意；C、∵a＞b，∴2a+1＞2b+1，符合题意；D、若a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a﹣1＜b+1，不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查不等式的性质，对性质的理解是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．7、A【分析】根据题意直接利用不等式的性质进行计算即可得出答案．【详解】解：不等式﹣3x ＜1，两边同时除以﹣3，得x ＞﹣13．故选：A ．【点睛】本题主要考查不等式的基本性质．解不等式依据不等式的性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．特别是在系数化为1这一个过程中要注意不等号的方向的变化．8、A【分析】根据图像的意义当x =-3时，kx +b =2，根据一次函数的性质求解即可．【详解】解：∵当x =-3时，kx +b =2，且y 随x 的增大而减小，∴不等式2kx b +<的解集3x >-，故选A ．【点睛】本题考查了一次函数与不等式的关系，一次函数图像的性质，灵活运用数形结合思想确定不等式的解集是解题的关键．9、D【分析】先求出不等式组的解集，再把不等式组的解集在数轴上表示出来，即可求解．【详解】解：123x x >-⎧⎨+≤⎩①②， 解不等式②，得：1x ≤ ，所以不等式组的解集为11x -<≤把不等式组的解集在数轴上表示出来为：故选：D【点睛】本题主要考查了解一元一次不等组，熟练掌握解一元一次不等组的步骤是解题的关键．10、A【分析】根据第一象限的横坐标为正、纵坐标为负，列出关于m 的不等式组解答即可．【详解】解：∵P （m ，1﹣2m ）在第一象限，∴0120m m ⎧⎨-⎩＞＞ ，解得：102m ＜＜ 故选A ．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组、平面直角坐标系等知识点，根据点在平面直角坐标系的象限列出关于m 的一元一次不等式组成为解答本题的关键．二、填空题1、21x -<≤【分析】根据图像特点向左是小于，向右是大于，即可得答案．【详解】∵从-2出发向右画出的折线中表示-2的点是空心，∴x ＞-2，∵从1出发向左画出的折线中表示1的点是实心，∴x ≤1，∴不等式的解集是：−2<x ≤1故答案为：−2<x ≤1．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，做题的关键是掌握空心和实心的区别．2、＞ ＞ ＞ ＜ ＜ ＞ ＞ ＞【分析】本题主要是根据不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等式的方向不改变；（2）不等式的两边同时乘或除以一个大于零的数或式子，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘或除以一个小于零的数或式子，不等号的方向改变．据此可以对不等号的方向进行判断．【详解】解：由数轴的定义得：a>0，b>0，c ＜0，a >b >c ，（1）不等式a >b 的两边同加上3，不改变不等号的方向，则3a +>3b +；（2）不等式a >b 的两边同减去b ，不改变不等号的方向，则a -b >b -b ，即a -b >0；（3）不等式a >b 的两边同乘以35，不改变不等号的方向，则35a >35b ； （4）不等式a >b 的两边同乘以-2，改变不等号的方向，则2a -<2b -；（5）不等式a >b 的两边同乘以-4，改变不等号的方向，则-4a <-4b ；不等式-4a <-4b 的两边同加上1，不改变不等号的方向，则14a -<14b -；（6）不等式a >b 的两边同乘以正数c ，不改变不等号的方向，则a c ⋅ > b c ⋅；（7）不等式a >b 的两边同减去c ，不改变不等号的方向，则a c ->b c -；（8）不等式a >b 的两边同乘以正数b ，不改变不等号的方向，则ab >2b ．【点睛】本题主要是考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的三个性质的应用是解本题的关键，同时不等式的性质（3）是类似题型中考查的重点及易错点．3、8【分析】设这个班要胜x 场，则负()28x -场，根据题意列出不等式求解，考虑场次为整数即可得出．【详解】解：设这个班要胜x 场，则负()28x -场，由题意得，()32843x x +-≥，解得：7.5x ≥，∵场次x 为正整数，∴8x ≥．答：这个班至少要胜8场．故答案为：8．【点睛】题目主要考查一元一次不等式的应用，理解题意，列出相应不等式求解是解题关键．4、m >-2【分析】先根据正比例函数的性质列出关于m 的不等式，求出m 的取值范围即可．【详解】解：∵正比例函数()2y m x =+中，y 随x 的增大而增大，∴2m +＞0，解得-2m ＞．故答案为；-2m ＞．【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，即正比例函数y =kx （k ≠0）中，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大．5、25a【分析】根据题意表示出a 的25即可．【详解】解：由题意可得：a 的25可表示为25a ．故填25-<a．【点睛】本题考查列一元一次不等式，掌握列一元一次不等式的基本方法成为解答本题的关键．三、解答题1、（1）x≥﹣1，数轴见解析；（2）733x-<≤，2【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，进而即可求解．【详解】解：（1）移项，得：3x﹣5x≤2，合并同类项，得：﹣2x≤2，系数化为1，得：x≥﹣1，将不等式的解集表示在数轴上如下：（2）解不等式2（x﹣2）≤3﹣x，得：x≤73，解不等式13123+->+x x，得：x＞﹣3，则不等式组的解集为﹣3＜x≤73，∴其最大整数解为2．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式以及不等式组，熟练掌握解不等式（组）的基本步骤是解题的关键．2、542x ≤＜图见解析【分析】先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可．【详解】 解：()1317225231x x x x ⎧-≤-⎪⎨⎪->+⎩①②解不等式①得：4x ≤， 解不等式②得：52＞x ， ∴不等式组的解集为：542x ≤＜，数轴上表示解集为：【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示不等式组的解集，解题的关键在于能够熟练掌握求不等式组的解集的方法．3、（1）甲旅行社费用20000元，乙旅行社费用18000元；（2）8人；（3）亲友团人数超过8人时，甲旅行社的收费更优惠，亲友团人数少于8人时，乙旅行社的收费更优惠.【分析】（1）由题意直接根据甲、乙旅行社的优惠办法列式进行计算即可；（2）根据题意设亲友团有x 人，进而依据甲、乙旅行社的费用相同建立方程求解即可；（3）由题意直接根据（2）的结论可知当亲友团人数满足什么条件时，甲、乙旅行社的收费更优惠.【详解】解：（1）甲旅行社费用=1400044000(64)200002⨯+⨯⨯-=元， 乙旅行社费用=0.754000618000⨯⨯=元；（2）设亲友团有x 人，甲旅行社费用=1400044000(4)200080002x x ⨯+⨯⨯-=+ 乙旅行社费用=0.7540003000x x ⨯=由20008000x +=3000x解得：x =8∴亲友团有8人，甲、乙旅行社的费用相同（3）由（2）可知当亲友团有8人，甲、乙旅行社的费用相同，则8x >，有200080003000x x +<，即亲友团人数超过8人时，甲旅行社的收费更优惠；则8x <，有200080003000x x +>，亲友团人数少于8人时，乙旅行社的收费更优惠.【点睛】本题考查一元一次方程的运用以及一元一次不等式的运用，读懂题意并根据题意列出方程和不等式求解是解题的关键.4、22【分析】先求出不等式的解集，再根据x 是符合条件的正整数判断出x 的可能值，再由三角形的三边关系求出x 的值即可．解：原不等式可化为5（x+1）＜20-4（1-x），解得x＜11，∵x是它的正整数解，∴根据三角形第三边的取值范围，得8＜x＜12，∵x是正偶数，∴x=10．∴第三边的长为10，∴这个三角形的周长为10+10+2=22．【点睛】本题综合考查了求不等式特殊解的方法及三角形的三边关系，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．5、（1）y=-2x+60；（2）公司生产A，B两种品牌设备各10台，售完后获利最大，最大毛利润为40万元．【分析】（1）设销售A种品牌设备x台，B种品牌设备（20-x）台，算出每台的利润乘对应的台数，再合并在一起即可求出总利润；（2）由“生产两种品牌设备的总成本不超过80万元”，列出不等式，再由（1）中的函数的性质得出答案．【详解】解：（1）设销售A种型号设备x台，则销售B种型号设备（20-x）台，依题意得：y=（4-3）x+（8-5）×（20-x），即y=-2x+60；（2）3x+5×（20-x）≤80，解得x≥10．∴当x=10时，y最大=40万元．故公司生产A，B两种品牌设备各10台，售完后获利最大，最大毛利润为40万元．【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，注意题目蕴含的数量关系，正确列式解决问题．。

利用基本不等式求最值强化训练新人教A 版必修第一册一、选择题1. 已知实数0,0>>b a ,11111=+++b a ,则b a 2+的最小值是 【 】（A ）23 （B ）22 （C ）3 （D ）2 2. 若正数b a ,满足111=+b a ,则1411-+-b a 的最小值为 【 】 （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 3. 设0>>b a ,则()b a a ab a -++112的最小值是 【 】 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44. 设y x ,都是正数,且()1=+-y x xy ,则 【 】 （A ）y x +≥()122+ （B ）xy ≤12+ （C ）y x +≤()212+ （D ）xy ≥()122+5. 若正数y x ,满足yx y x 9115+=++,且y x +≤1,则 【 】 （A ）x 为定值,但y 定值不确定 （B ）x 不为定值,但y 是定值 （C ）x ,y 均为定值 （D ）x ,y 定值均不确定 6. 已知0,0>>y x ,y yx x -=-812,则y x +2的最小值为 【 】 （A ）2 （B ）22 （C ）23 （D ）47. 若正数y x ,满足xy y x 53=+,当y x 43+取得最小值时,y x 2+的值为 【 】 （A ）524 （B ）2 （C ）528（D ）5二、填空题8. 已知正数y x ,满足22=+y x ,则xyyx 8+的最小值为_________. 9. 若实数2,1>>b a ,且满足062=-+b a ,则2211-+-b a 的最小值为_________. 10. 若∈b a ,R ,且13222=-+b ab a ,则22b a +的最小值为_________.三、解答题11. 已知正数b a ,满足4=+b a ,求3111+++b a 的最小值. 12.（1）设c b a >>,且c b b a -+-11≥ca m-恒成立,求m 的取值范围; （2）记()xy x a y x F 22+-+=,0,0>>y x ,若对任意的0,0>>y x ,恒有F ≥0,请求出a 的取值范围.利用基本不等式求最值强化训练答案解析新人教A 版必修第一册一、选择题1. 已知实数0,0>>b a ,11111=+++b a ,则b a 2+的最小值是 【 】（A ）23 （B ）22 （C ）3 （D ）2解析: ∵0,0>>b a ,11111=+++b a ∴()()()()[]12131212+++=-+++=+b a b a b a 31111-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++b a ()()1121132112111+++++=-+++++++=a b b a a b b a≥()22112112=++⋅++a b b a . 当且仅当()11211++=++a b b a ,即22,2==b a 时,等号成立. ∴b a 2+的最小值是22. ∴选择答案【 B 】.另解: ∵11111=+++b a ,∴()()11111=+++++b a a b . 整理得:1=ab . ∵0,0>>b a∴b a 2+≥2222=ab . 当且仅当b a 2=,即22,2==b a 时,等号成立. ∴b a 2+的最小值是22. ∴选择答案【 B 】.2. 若正数b a ,满足111=+b a ,则1411-+-b a 的最小值为 【 】 （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6解析: ∵111=+b a ,∴1-=a ab . ∵b a ,为正数,∴01>-a a,∴1>a .∴()1411114111411-+-=--+-=-+-a a a a a b a ≥()414112=-⋅-a a . 当且仅当()1114-=-a a ,即23=a 时,等号成立,此时3=b . ∴1411-+-b a 的最小值为4. ∴选择答案【 B 】.另解: ∵b a ,为正数,111=+ba . ∴ab b a b a =+>>,1,1. ∴1411-+-b a ≥()()()41141142=++-=--b a ab b a .当且仅当1411-=-b a ,即34-=a b ,23=a ,3=b 时取等号. ∴1411-+-b a 的最小值为4. ∴选择答案【 B 】. 3. 设0>>b a ,则()b a a ab a -++112的最小值是 【 】 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4解析: ∵0>>b a∴()()()()abab b a a b a a b a a ab ab ab a b a a ab a 11111122++-+-=-+++-=-++≥()()41212=⋅+-⋅-abab b a a b a a .当且仅当()()abab b a a b a a 1,1=-=-,即22,2==b a 时,等号成立.∴()b a a ab a -++112的最小值是4. ∴选择答案【 D 】.4. 设y x ,都是正数,且()1=+-y x xy ,则 【 】 （A ）y x +≥()122+ （B ）xy ≤12+ （C ）y x +≤()212+ （D ）xy ≥()122+解析: ∵y x ,都是正数,()1=+-y x xy∴xy y x =++1 ∵y x +≥xy 2 ∴1++y x ≥12+xy ∴xy ≥12+xy ,∴()122--xy xy ≥0.解之得:xy ≥12+. ∴xy ≥()223122+=+.（当且仅当y x =时取等号）∴选项（B ）、（D ）均错误.∵xy y x =++1,xy ≤()4222y x y x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+. ∴1++y x ≤()42y x +,∴()()442-+-+y x y x ≥0.∴y x +≥222+.（当且仅当y x =时取等号） ∴选择答案【 A 】.另解: ∵y x ,都是正数,()1=+-y x xy ,∴011>-+=y y x ,∴1>y . ∴11221112111-+-+=+-+-+-=+-+=+y y y y y y y y y x ≥()22211222+=-⋅-+y y .当且仅当112-=-y y ,即21+==y x 时,等号成立. ∴y x +的最小值为222+,即y x +≥222+.∵()()31211213111122+-+-=-+-+-=-+=⋅-+=y y y y y y y y y y y xy ≥()()21232231212+=+=+-⋅-y y .当且仅当112-=-y y ,即21+==y x 时,等号成立. ∴xy 的最小值为322+,即xy ≥()223122+=+.∴选择答案【 A 】.5. 若正数y x ,满足yx y x 9115+=++,且y x +≤1,则 【 】 （A ）x 为定值,但y 定值不确定 （B ）x 不为定值,但y 是定值 （C ）x ,y 均为定值 （D ）x ,y 定值均不确定解析: ∵正数y x ,满足yx y x 9115+=++ ∴()()()⎪⎭⎫⎝⎛++=+++y x y x y x y x 9115∴()()y x x y y x y x 910152++=+++≥169210=⋅+yx x y 当且仅当yxx y 9=,即x y 3=时,等号成立. ∴()()16152-+++y x y x ≥0 ∴()()151++-+y x y x ≥0∵0>+y x∴1-+y x ≥0,即y x +≥1. ∵y x +≤1∴1=+y x ,此时,x y 3=.解方程组⎩⎨⎧==+x y y x 31得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==4341y x . ∴选择答案【 C 】. 6. 已知0,0>>y x ,y yx x -=-812,则y x +2的最小值为 【 】 （A ）2 （B ）22 （C ）23 （D ）4解析: ∵y yx x -=-812 ∴yx y x 812+=+. ∵0,0>>y x∴()()y x x y x y y x y x y x y x 1610816281222++=+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+ ≥1816210=⋅+yxx y . 当且仅当yxx y 16=,即22,22==y x 时,等号成立. ∴()182min2=+y x .∴()()231822min2min ==+=+y x y x .∴选择答案【 C 】.7. 若正数y x ,满足xy y x 53=+,当y x 43+取得最小值时,y x 2+的值为 【 】 （A ）524 （B ）2 （C ）528（D ）5 解析: ∵xy y x 53=+∴113515351=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+y x x y . ∵y x ,为正数∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+y x x y y x y x y x 3125151343135143≥5312251513=⋅⨯+yxx y .当且仅当y x x y 312=,即21,1,2===y x y x 时,等号成立. 此时,221212=⨯+=+y x . ∴选择答案【 B 】.8. 已知正数y x ,满足22=+y x ,则xyyx 8+的最小值为_________. 解析: ∵正数y x ,满足22=+y x∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫⎝⎛++=+=+x y y x y x y x y x xy y x 1621518221188 ≥9162215=⋅⨯+xyy x .当且仅当x y y x 16=,即31,34==y x 时,等号成立. ∴xyyx 8+的最小值为9. 9. 若实数2,1>>b a ,且满足062=-+b a ,则2211-+-b a 的最小值为_________. 解析: ∵062=-+b a ,∴62=+b a .∴()()2212=-+-b a ,∴()1221=-+-b a . ∵2,1>>b a ,∴02,01>->-b a .∴()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=-+-2212211b a b a ()()112221212211+--+--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-a b b a b a ()()1222122--+--+=a b b a ≥()()412221222=--⋅--+a b b a . 当且仅当()()122212--=--a b b a ,即3,23,2===b a a b 时,等号成立. ∴2211-+-b a 的最小值为4. 另解: ∵2,1>>b a ,062=-+b a∴02,01>->-b a ,62=+b a .∴()()()04262221>-=+-=++-=--ab ab b a ab b a ∴4>ab .∵62=+b a ≥ab b a 2222=⋅ ∴ab 22≤6,解之得:ab ≤29.（当且仅当b a =2时,等号成立） ∴ab <4≤29. ∴()()()42211222211-=---+-=-+-ab b a a b b a ≤44292=-.（注意04>-ab ）当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧==292ab b a ,即⎪⎩⎪⎨⎧==323b a 时,等号成立. ∴2211-+-b a 的最小值为4. 10. 若∈b a ,R ,且13222=-+b ab a ,则22b a +的最小值为_________.解析: ∵13222=-+b ab a∴()()13=+-b a b a .设⎩⎨⎧=+=-y b a x b a 3,则1=xy ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=443xy b y x a .∴16421016241044322222222++=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛+=+y x y xy x x y y x b a 82522++=y x ≥41582528252+=+=+xy . 当且仅当x y 5=,即5,5522==y x 时,等号成立. ∴22b a +的最小值为415+. 11. 已知正数b a ,满足4=+b a ,求3111+++b a 的最小值. 解析: ∵4=+b a∴()()831=+++b a ∵b a ,为正数 ∴()()[]31813111+++=+++b a b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++113311813111a b b a b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=13318141a b b a ≥21133128141=++⋅++⨯+a b b a . 当且仅当1331++=++a b b a ,即1,3,2==+=b a b a 时,等号成立. ∴3111+++b a 的最小值为21. 另解: ∵b a ,为正数,且4=+b a∴04>-=b a ,∴40<<b . ∴()161815283151311122+--=++-=++-=+++b b b b b b a . 令01522>++-b b ,解之得:53<<-b . ∴当40<<b 时,01522>++-b b 恒成立. 且当1=b （此时3=a ）时,()[]16161max 2=+--b .∴()16182+--b ≥21168=,即3111+++b a ≥21.∴当1,3==b a 时,3111+++b a 的最小值为21. 12. （1）设c b a >>,且c b b a -+-11≥ca m -恒成立,求m 的取值范围; （2）记()xy x a y x F 22+-+=,0,0>>y x ,若对任意的0,0>>y x ,恒有F ≥0,请求出a 的取值范围.解析: ∵c b a >>,∴0,0,0>->->-c a c b b a . ∵c b b a -+-11≥c a m -恒成立 ∴c b c a b a c a --+--≥m 恒成立,只需m ≤min ⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--c b c a b a c a 即可. ∵cb b a b ac b c b c b b a b a c b b a c b c a b a c a --+--+=--+-+--+-=--+--2 ≥422=--⋅--+c b b a b a c b ∴当且仅当b c a 2=+时,等号成立,4min=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--c b c a b a c a . ∴m ≤4.∴m 的取值范围是(]4,∞-.（2）∵对任意的0,0>>y x ,()xy x a y x F 22+-+=≥0恒成立 ∴a ≤xy x yx 22++恒成立,只需a ≤min 22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++xy x y x 即可. ∵0,0>>y x ,∴y x 2+≥xy 22 ∴xy x yx 22++≥()()2122=++=+++y x y x y x x y x .（当且仅当y x 2=时,等号成立） ∴2122min=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++xy x y x . ∴a ≤21,即a 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,.或者:∵0,0>>y x ∴y x +21≥xy xy 2212=. ∴y x y x x +=++2121≥xy x 221+ ∴xy x y x 22++≥212222222221=++=++xy x xy x xy x xy x . 当且仅当y x =21,即y x 2=时,等号成立. ∴2122min =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++xy x y x . ∴a ≤21,即a 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,.。

不等式强化训练100题1、若函数y=2x-6. (1)当函数值y为正数时，求x的范围；(2)当自变量x取正数时，求函数值y 的范围.2、计算：(1)计算：；(2)解不等式组：.3、解不等式：，并把解集表示在数轴上.4、当时，点P(3m-2,m-1)在A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限8、某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示：甲乙进价(元/部) 4000 2500售价(元/部) 4300 3000该商场计划购进两种手机若干部，共需15.5万元，预计全部销售后可获毛利润共2.1万元．(毛利润=(售价-进价)×销售量)(1)该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部？(2)通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量．已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过16万元，该商场怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大？并求出最大毛利润．9、一列慢车以时速60km的速度从甲地驶往乙地，2h后，一列快车以时速为100km的速度也从甲地驶往乙地.分别列出慢车和快车行驶的路程ykm与时间xh之间的函数关系式，并画出图象，根据图象回答下列问题：(1)何时慢车在快车前面？(2)何时快车在慢车前面？(3)谁行驶的路程先达到240km？谁行驶的路程先达到360km？11、已知直线y=2x-b经过点(1，-1)，求关于x的不等式2x-b≥0的解集.12、解不等式组14、已知关于x，y的方程组的解满足x>y，求a的取值范围.15、北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台，北京厂可支援外地10台，上海厂可支援外地4台，现在决定给重庆8台，汉口6台.如果从北京运往汉口、重庆的运费分别是400元/台、800元/台，从上海运往汉口、重庆的运费分别是300元/台、500元/台.求：(1)若要求总运费不超过8200元，共有几种调运方案？(2)当老板的您，请设计出总运费最低的调运方案吧！并求出最低总运费是多少元？16、已知x=1是不等式组的解，求a的取值范围.18、2011年5月20日是第22个中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息(如图)．根据信息，解答下列问题．(1)求这份快餐中所含脂肪质量；(2)若碳水化合物占快餐总质量的40%，求这份快餐所含蛋白质的质量；(3)若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，求其中所含碳水化合物质量的最大值．19、我国东南沿海某地的风力资源丰富，一年内日平均风速不小于3m/s的时间共约160天，其中日平均风速不小于6m/s的时间约占60天.为了充分利用“风能”这种“绿色能源”，该地拟建一个小型风力发电厂，决定选用A、B两种型号的风力发电机.根据产品说明，这两种风力发电机在各种风速下的日发电量(即一天的发电量)如下表：根据上面的数据回答：(1)若这个发电厂购x台A型风力发电机，则预计这些A型风力发电机一年的发电总量至少为多少千瓦时；(2)已知A型风力发电机每台0.3万元，B型风力发电机每台0.2万元.该发电厂拟购置风力发电机共10台，希望购机的费用不超过2.6万元，而建成的风力发电厂每年的发电总量不少于102000kW*h，请你提供符合条件的购机方案.20、阅读材料：(1)对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：当a-b>0时，一定有a>b；当a-b=0时，一定有a=b；当a-b<0时，一定有a<b．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．(2)对于比较两个正数a、b的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：∵=(a+b)(a-b)，a+b>0∴与(a-b)的符号相同当时，a-b>0，得a>b当时，a-b=0，得a=b当时，a-b<0，得a<b解决下列实际问题：(1)课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，每张B5纸的面积为y，且x>y，张丽同学的用纸总面积为，李明同学的用纸总面积为．回答下列问题：①=_______________(用x、y的式子表示),=_______________(用x、y的式子表示)②请你分析谁用的纸面积最大．(2)如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B到l的距离分别是3km、4km(即AC=3km，BE=4km)，AB=xkm，现设计两种方案：方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度=AB+AP．方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度=AP+BP．①在方案一中，=_________km(用含x的式子表示)；②在方案二中，=_______________km(用含x的式子表示)；③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．21、已知3(5x+2)+5<4x-6(x+1)，化简|x+1|-|1-x|.23、国务院总理温家宝2011年11月16日主持召开国务院常务会议，会议决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区．现要把228吨物资从某地运往青海甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表：(1)求这两种货车各用多少辆？(2)如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式(写出自变量的取值范围)；(3)在(2)的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费．24、如图所示，小李决定星期日登A、B、C、D中的某山，打算上午9点由P地出发，尽可能去最远的山，登上山顶后休息1h，到下午3点以前回到P地.如果去时步行的平均速度为3km/h，返回时步行的平均速度为4km/h.试问小李能登上哪个山顶？(图中数字表示由P地到能登山顶的里程)25、某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒．(1)现有正方形纸板162张，长方形纸板340张．若要做两种纸盒共l00个，设做竖式纸盒x个．①根据题意，完成以下表格：②按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？(2)若有正方形纸板162张，长方形纸板a张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．已知290<a<306．则a的值是__________．(写出一个即可)27、“5．12”汶川特大地震灾害发生后，社会各界积极为灾区捐款捐物，某经销商在当月销售的甲种啤酒尚有2万元货款未收到的情况下，先将销售甲种啤酒全部应收货款的70%捐给了灾区，后又将该月销售乙种啤酒所得的全部货款的80%捐给了灾区．已知该月销售甲、乙两种啤酒共5000件，甲种啤酒每件售价为50元，乙种啤酒每件售价为35元，设该月销售甲种啤酒x件，共捐助救灾款y元．(1)该经销商先捐款_______元，后捐款_______元．(用含x的式子表示)(2)写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．(3)该经销商两次至少共捐助多少元？28、已知方程组的解是负数，试化简|a+3|-|5a-3|.二、计算题31、(1)计算：；(2)解不等式组：32、解不等式组：33、解不等式组：34、求不等式组的正整数解.35、解不等式组：.36、解不等式组：37、解不等式：．38、解不等式：，并把解集表示在数轴上.39、解下列不等式组：40、解不等式组：41、求自变量x的取值范围：.42、解不等式：4x-7<3x-1.43、解不等式组：44、解不等式组：45、解不等式组：46、解不等式组：47、解不等式3(x+1)>4x+2.48、解下列不等式2(x-3)-3(x+1)>0.49、解下列不等式：2x-5≤250、解不等式组：51、解不等式组52、解不等式组53、解不等式：3x≥x+2.54、解不等式组并把解集在数轴上表示出来.55、(1)计算；(2)解不等式组56、已知x,y满足，求.57、解不等式：.58、化简：().59、解不等式组并将其解集在数轴上表示出来.60、求不等式的解集.61、定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b=a(a-b)+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5=2(2-5)+1=2(-3)+1=-6+1=-5.(1)求(-2)⊕3的值.(2)若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在下图所示的数轴上表示出来.62、计算：(1)化简：；(2)解不等式：.63、解不等式组：64、解不等式组65、(1)计算：(2)解不等式组：.66、解一元一次不等式组，并把解在数轴上表示出来.67、某个体小服装准备在夏季来临前，购进甲、乙两种T恤，在夏季到来时进行销售．两种T 恤的相关信息如下表：品牌甲乙进价（元/件）35 70售价（元/件）65 110根据上述信息，该店决定用不少于6195元，但不超过6299元的资金购进这两种t恤共100件．请解答下列问题：(1)该店有哪几种进货方案？(2)该店按哪种方案进货所获利润最大，最大利润是多少？(3)两种T恤在夏季销售的过程中很快销售一空，该店决定再拿出385元全部用于购进这两种T 恤，在进价和售价不变的情况下，全部售出．请直接写出该店按哪种方案进货才能使所获利润最大．68、解不等式组．69、解不等式组：70、解不等式组并将解集在数轴上表示出来．71、解不等式：2[x-(x-1)+2]<1-x.72、解不等式组并把解集在数轴上表示出来.73、解不等式组：74、解不等式.75、解不等式.76、计算：(1)；(2)解不等式77、解不等式组：78、解不等式组.79、解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来.80、化简：，其中0<a<1.81、解不等式：82、求不等式组的正整数解.83、解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来：2(x+1)-3(x+2)<0.84、解不等式组85、解不等式：.86、(1)计算：. (2)解不等式组：.87、解不等式.88、解不等式组89、解不等式.90、解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来：.91、解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来：2[x-3(x-1)]≥5x.92、解不等式组：94、商场出售A型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B型节能冰箱每台售价比A 型冰箱高出10%，但每日耗电量为0.55度，现将A型冰箱打折出售，问商场至少打几折，消费者购买才合算.(按使用期为10年，每年365天，每度电0.40元计算)96、化简：.98、解不等式.100、计算：解不等式：.。

基本不等式a b +≥强化训练题型一、应用基本不等式求最值时,注意验证：一正 、二定 、三相等例1、判断下列式子成立的是 （ ）（A ）12;(0)x x x+≥≠； （B ）1lg 2(01)lg x x x x +≥>≠且 （C ）4sin 4, (0,)sin x x x π+≥∈ （D ）1|| 2;(0)x x x+≥≠ 分析：本题只要使用基本不等式，注重“一正 、二定 、三相等”三大条件即可得到答案D 。

其中（A ）（B ）不满足“正数”的条件，（C ）不满足“相等”的条件。

二、对不等式作适当的“增、删、改”变形后，应用验证：“一正 、二定 、三相等”。

1、使用均值不等式的过程中，注意“正数”这个条件。

例2、已知01x x >≠且，求函数 1lg lg y x x=+值域。

分析：本题常见错误是得到函数的最小值为2。

主要是在使用基本不等式时，忽略“正数”这个条件。

准确解法：当1x >时，lg 0x >，函数 1lg 2lg y x x=+≥ 当01x <<时，lg 0x <，函数 1lg ()2lg y x x -=-+-≥，所以，2y ≤- 所以当01x x >≠且时，函数 1lg lg y x x =+值域为(][),22,y ∈-∞-+∞。

2、用均值不等式求最值，必须满足“定值”这个条件．例3、已知3x >，求函数 13y x x =+-最小值。

分析：本题直接使用基本不等式时，显然不能得到最小值。

原因是满足不了“定值”这个条件。

这类题我们通常要对表达式作适当的“增、删、改”变形后，才能用用基本不等式求最值。

准确解法：因为3x >，所以30x ->，所以113(3)353(3)y x x x x =+=+-+≥+=-- 当且仅当133x x -=-，即 4 x =（因3x >）时，取“=”号； 即 4 x =时，函数 13y x x =+-最小值为5。

《不等式应用举例》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 知识与技能：理解不等式的概念，掌握不等式的性质，能够运用不等式解决实际问题。

2. 过程与方法：通过观察、比较、分析、推理等方式，提高思维能力。

3. 情感态度价值观：培养学生的数学应用意识和解决实际问题的能力。

二、教学重难点1. 教学重点：不等式的概念及性质，不等式在实际问题中的应用。

2. 教学难点：不等式的灵活运用，解决实际问题的思路和方法。

三、教学准备1. 准备教学用具：黑板、白板、笔、几何图形等。

2. 准备教学材料：不等式应用实例及实际问题情境。

3. 设计教学流程：引入课题、讲解知识、分析实例、小组讨论、总结评价。

4. 制定评价方案：对学生的学习成果进行评价，包括书面测试和口头表达能力等方面。

四、教学过程：（一）导入新课1. 回顾生活中的不等关系，如：温度、身高、比赛得分等。

2. 展示不等式的应用实例，如：人口控制、生产规划、投资收益等。

3. 引出本节课的主题——不等式应用举例，并简要介绍其教学目标。

（二）探究新知1. 小组讨论：不等式在日常生活、生产实践中的应用，以及如何利用不等式解决实际问题。

2. 教师根据学生讨论情况，进行总结和归纳，并举例说明不等式的应用范围和方法。

3. 针对本节课的重点和难点，教师进行针对性的讲解和说明。

（三）实践操作1. 教师提供一些与本节课相关的实际问题，如：投资收益、生产计划等。

2. 学生根据所学知识，尝试利用不等式解决这些问题，并进行讨论和交流。

3. 教师对学生的解题情况进行点评和指导，并给出一些改进意见和建议。

（四）课堂小结1. 学生进行课堂小结，总结本节课的重点和难点。

2. 教师进行点评和补充，强调不等式在日常生活、生产实践中的应用价值和方法。

3. 引导学生思考如何将所学知识应用到实际生活中，培养其问题解决能力和创新意识。

（五）布置作业1. 完成教材上的相关练习题。

2. 搜集一些不等式在日常生活、生产实践中的应用案例，并尝试分析其背后的数学原理。

专题32高等数学不等式大题强化训练1．已知a，b，c∈R，且3a2+3b2+4c2=60.(1)求a+b+c的最大值(2)若a，b∈(0，4)，c∈(0，6)，求的最小值【答案】(1)(2)5【解析】(1)由柯西不等式，知.∴.当且仅当，即时，等号成立.∴a+b+c的最大值为.(2)由a，b∈(0，4)，c∈(0，6)，知a，4－a，b，4－b，c，6－c均为正数，∴.∴.又当a=b=2，c=3时，满足a，b∈(0，4)，c∈(0，6)，3a2+3b2+4c2=60，且.∴的最小值为5.2．证明：(1)(k≥2，k∈N)；(2)分别以1，，……，，……为边长的正方形能互不重叠地全部放入一个边长为的正方形内．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】证明：(1)(2)由(1)知，故以边长为，…的正方形可以并排放入底为1，高为的矩形内，而不重叠．取k=2，3，4，…，即得底分别为，…，高分别为，……的一系列矩形，这些矩形的底小于1，高的和为因此，以1，，…，，…为边长的正方形中，除了边长为1，的正方形外，其余的正方形全部可以放入底为1，高为的矩形中．而边长为1，的三个正方形显然可以放入底为，高为1的矩形内．3．设．证明：．【答案】见解析【解析】证明：由递推式得所以从而得又得数列单调递增，所以．特别地由递推式可得．从而.由均值不等式及已证结论有．所以特别地故4．设.证明：.【答案】见解析【解析】由对称性不妨设，则.当时，即时，由切比雪夫不等式.由不等式知.且易知.故.当且仅当时，等号成立.当时，，显然有.综上所述，原不等式成立.5．设.证明：.【答案】见解析【解析】由对称性不妨设，则.当时，即时，由切比雪夫不等式.由不等式知.且易知.故.当且仅当时，等号成立.当时，，显然有.综上所述，原不等式成立.6．设.证明：.【答案】见解析【解析】由对称性不妨设，则.当时，即时，由切比雪夫不等式.由不等式知.且易知.故.当且仅当时，等号成立.当时，，显然有.综上所述，原不等式成立.7．⑴求证：对于任意实数x、y、z都有.⑵是否存在实数，使得对于任意实数x、y、z有恒成立？试证明你的结论.【答案】(1)见解析(2)见解析.【解析】⑴由均值不等式，可知.故有.⑵. 上式≥0恒成立，当且仅当.化简得.故存在满足要求.8．已知正数满足，求的最小值.【答案】【解析】由柯西不等式可得，，所以，①取等号的条件分别为，②③当时，有，结合②③得又，所以，整理得，故④记，则，所以上为增函数，故当时，于是，由④可得，从而代入②③求得代入①式，整理得，因此的最小值为.9．设x，y，z≥0，且至多有一个为0，求的最小值. 【答案】12【解析】不妨设.情形一：当时，因为；；.所以当且仅当，且时，取到12.情形二：当时，又，故，从而.故.综上，.10．若a、b、c为正数且a+6+c=3，证明：【答案】见解析【解析】因为，同理三式相加得所以故又，所以综上可得.11．设为正实数，求的最小值. 【答案】【解析】记，当时，有最小值下证：解法一当时，可取到等号.所以，的最小值为解法二：当时，可取到等号．所以，的最小值为．解法三：注意到．于是，故．当时，可取到等号．所以，的最小值为．12．设，且对任意实数b均有，求a的取值范围.【答案】【解析】解1：，对于，所以只要考虑.(1)当时，即，此时函数的最值在拋物线的左右端点取得，对任意有，所以，解得(2)当时，即，此时函数的最值在拋物线的顶点和右端点取得，而对b=0有.(3)当时，即时，此时函数的最值在拋物线的顶点和左端点取得，而对b=0有.(4)当时，即，此时函数的最值在拋物线的左右端点取得，对任意，所以,解得.综上或.解2：设，则有依题意，，或.13．已知实数、b、c满足，求的最大值和最小值.【答案】见解析【解析】由均值不等式和柯西不等式可得.当时取等号，故M的最大值为.要使M取最小值，只需考虑，且的情形.令，则，此时.由于当时取等号，令，若上的最大值，则为M的最小值.由于，则内取到最大值，因此在处取到，由于令，两边平方，整理可得此方程有根.又因为，且是增根，故的最大值点.因此，是M的最小值.14．已知在正整数n的各位数字中，共含有个1，个2，⋯，个n．证明：并确定使等号成立的条件．【答案】见解析【解析】对正整数n的位数使用数学归纳法．当是一位数，即时，所证式显然成立，这是因为，此时的十进制表达式中只有一位数字，即，其余，所以，左边==右边．假设当正整数不超过k位，即时，结论皆成立．现考虑位数，即时的情形．设的首位数字为r．则. ①若，则在数的各位数字中，，其余.显然，.若，记的各位数字中含有个1，个2，…，个r，…，个9．则的各位数字中，含有个r、个j.注意到，正整数不超过k位．由归纳法假设，对有②则当位数时，结论也成立．故由数学归纳法，知对一切正整数，结论皆成立．欲使等号成立，由证明过程，知要么为一位数；要么在的位数大于或等于2时，由式②，必须，此时，由式①得，即可表示为的形式.上述条件也是充分的，当能够表成以上形式时，有，其余.故15．一次竞赛共有n道判断题，统计八名考生的答题后发现：对于任意两道题，恰有两名考生答“T，T”；恰有两名考生答“F，F”；恰有两名考生答“T，F”；恰有两名考生答“F，T”.求n的最大值.【答案】7【解析】记“T”为1，“F”为0，从而，得到一个8行n列的数表.显然，交换同一列的0和1，此表的性质不改变.因此，不妨设数表第一行全为0.设第i行共有个0(i=1,2，…，8).则.下面考虑同一行中的“00”的对数，则.由柯西不等式，知.表1为n取最大值的情形.表1000000001111000110011000111110101011011010 1100110 1101001从而，n的最大值为7.16．正实数x、y、z满足，求的最大值。

2008高考数学专题复习不等式问题的题型与方法(理科）一、考点回顾1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a │+│b│。

2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识．3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰．4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。

在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求.二、 经典例题剖析1．有关不等式的性质此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起 例1．（2006年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 等价于（ ） A ．1b －<x <0或0<x <1a B.－1a <x <1b C.x <-1a 或x >1b D.x <1b －或x >1a解析：－b <1x <a 等价于－b <1x <0或0<1x <a 等价于x <1b －或x >1a答案：D点评：注意不等式ba b a 11>⇔<和适用条件是0>ab 例2.（2007年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ）Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2()2c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2答案：A点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。

一元一次不等式（组）强化训练一元一次不等式（组）强化训练一．选择题（共23小题）1．（2009•荆门）若不等式组有解，则a的取值范围是（）A．a＞﹣1 B．a≥﹣1 C．a≤1 D．a＜12．（2009•恩施州）如果一元一次不等式组的解集为x＞3．则a的取值范围是（）A．a＞3 B．a≥3 C．a≤3 D．a＜33．（2004•日照）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（）A．a≤﹣1 B．a≥2 C．﹣1＜a＜2 D．a＜﹣1，或a＞24．（2003•泰安）关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（）A．﹣＜a≤﹣B．﹣≤a＜﹣C．﹣≤a≤﹣D．﹣＜a＜﹣5．关于x的方程|x|=2x+a只有一个解而且这个解是负数，则a的取值范围（）A．a＜0 B．a＞0 C．a≥0 D．a≤06．若m＞n，则下列不等式中成立的是（）A．m+a＜n+b B．m a＜nb C．m a2＞na2D．a﹣m＜a﹣n7．下列不等式一定成立的是（）A．5a＞4a B．x+2＜x+3 C．﹣a＞﹣2a D．8．已知a＜b，下列四个不等式中不正确的是（）A．a（c2+1）＜b （c2+1）B．a﹣4＜b﹣4 C．a﹣b＜0 D．＜19．下列命题中：①若a＞b，c≠0，则ac＞bc；②若，则a＜0，b＞0；③若ac2＞bc2，则a＞b；④若a＜b＜0，则；⑤若，则a＞b．正确的有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个10．已知m，n为常数，若mx+n＞0的解集为x＜，则nx﹣m＜0的解集是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x＞﹣3 D．x＜﹣311．某项球类规则达标测验，规定满分100分，60分及格，模拟考试与正式考试形式相同，都是25道选择题，每题答对记4分，答错或不答记0分．并规定正式考试中要有80分的试题就是模拟考试中的原题．假设某人在模拟考试中答对的试题，在正式考试中仍能答对，某人欲在正式考试中确保及格，则他在模拟考试中，至少要得（ ） A ． 80分 B ． 76分 C ． 75分 D ． 64分12．（2010•黑河）现有球迷150人欲同时租用A ，B ，C 三种型号客车去观看世界杯足球赛，其中A ，B ，C 三种型号客车载容量分别为50人，30人，10人，要求每辆车必须满载，其中A 型客车最多租两辆，则球迷们一次性到达赛场的租车方案有（ ）A ． 3种B ． 4种C ． 5种D ． 6种13．（2009•临沂）若x ＞y ，则下列式子错误的是（ ）A ． x ﹣3＞y ﹣3B ． 3﹣x ＞3﹣yC ． x +3＞y+2D ．14．（2007•临沂）若a ＜b ＜0，则下列式子：①a+1＜b+2；②＞1；③a+b ＜ab ；④＜中，正确的有（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个15．（2006•宿迁）若关于x 的不等式x ﹣m ≥﹣1的解集如图所示，则m 等于（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 316．（2006•泰安）用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C 含量及购买这两种原料的价格如下表：甲种原料 乙种原料维生素C 含量（单位•千克）600 100 原料价格（元•千克）8 4 现配制这种饮料10kg ，要求至少含有4200单位的维生素C ，若所需甲种原料的质量为xkg ，则x 应满足的不等式为（ ）A ． 600x+100（10﹣x ）≥4200B ． 8x+4（100﹣x ）≤4200 C ． 600x+100（10﹣x ）≤4200D ． 8x+4（100﹣x ）≥4200 17．（2006•日照）已知方程组：的解x ，y 满足2x+y ≥0，则m 的取值范围是（ ） A ． m ≥﹣ B ． m ≥ C ． m ≥1 D ． ﹣≤m ≤118．（2005•马尾区）如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1g ，则物体A 的质量m （g ）的取值范围，在数轴上可表示为（ ）A．B．C．D．19．（2003•随州）若a＜0，关于x的不等式ax+1＞0的解集是（）A．B．C．D．x＞20．已知a＞0，b＜0，|a|＜|b|＜1，那么下列判断正确的是（）A．1﹣b＞﹣b＞1+a＞a B．1+a＞a＞1﹣b＞﹣bC．1﹣b＞1+a＞﹣b＞aD．1+a＞1﹣b＞a＞﹣b21．（2012•杭州）已知关于x，y的方程组，其中﹣3≤a≤1，给出下列结论：①是方程组的解；②当a=﹣2时，x，y的值互为相反数；③当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4﹣a的解；④若x≤1，则1≤y≤4．其中正确的是（）A．①②B．②③C．②③④D．①③④22．（2012•恩施州）某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其他费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（）A．40% B．33.4% C．33.3% D．30%23．（2011•菏泽）某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（）A．6折B．7折C．8折D．9折二．填空题（共1小题）24．（2009•孝感）关于x的不等式组的解集是x＞﹣1，则m=_________．三．解答题（共6小题）25．（2012•福州）某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分．（1）小明考了68分，那么小明答对了多少问题？（2）小亮获得二等奖（70分～90分），请你算算小亮答对了几道题？26．（2011•绍兴）筹建中的城南中学需720套单人课桌椅（如图），光明厂承担了这项生产任务．该厂生产桌子的必须5人一组．每组每天可生产12张；生产椅子的必须4人一组，每组每天可生产24把．已知学校筹建组要求光明厂6天完成这项生产任务．（1）问光明厂平均毎天要生产多少套单人课桌椅？（2）现学校筹建组要求至少提前1天完成这项生产任务．光明厂生产课桌椅的员工增加到84名，试给出一种分配生产桌子、椅子的员工数的方案．27．（2011•宁波）我市某林场计划购买甲、乙两种树苗共800株，甲种树苗每株24元，乙种树苗每株30元．相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%、90%．（1）若购买这两种树苗共用去21000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？（2）若要使这批树苗的总成活率不低于88%，则甲种树苗至多购买多少株？（3）在（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低？并求出最低费用．28．（2011•桂林）某校志愿者团队在重阳节购买了一批牛奶到“夕阳红”敬老院慰问孤寡老人，如果给每个老人分5盒，则剩下38盒，如果给每个老人分6盒，则最后一个老人不足5盒，但至少分得一盒．（1）设敬老院有x名老人，则这批牛奶共有多少盒？（用含x的代数式表示）．（2）该敬老院至少有多少名老人？最多有多少名老人？29．（2011•无锡）十一届全国人大常委会第二十次会议审议的个人所得税法修正案草案（简称“个税法草案”），拟将现行个人所得税的起征点由每月2000元提高到3000元，并将9级超额累进税率修改为7级，两种征税方法的1～5级税率情况见下表：税级现行征税方法草案征税方法月应纳税额x 税率速算扣除数月应纳税额x 税率速算扣除数1 x≤500 5% 0 x≤1500 5% 02 500＜x≤2000 10% 25 1500＜x≤4500 10% _________3 2000＜x≤5000 15% 125 4500＜x≤9000 20% _________4 5000＜x≤20000 20% 375 9000＜x≤35000 25% 9755 20000＜x≤40000 25% 1375 35000＜x≤55000 30% 2725注：“月应纳税额”为个人每月收入中超出起征点应该纳税部分的金额．“速算扣除数”是为快捷简便计算个人所得税而设定的一个数．例如：按现行个人所得税法的规定，某人今年3月的应纳税额为2600元，他应缴税款可以用下面两种方法之一来计算：方法一：按1～3级超额累进税率计算，即500×5%+1500×10%+600×15%=265（元）．方法二：用“月应纳税额x适用税率﹣速算扣除数”计算，即2600×15%﹣125=265（元）．（1）请把表中空缺的“速算扣除数”填写完整；（2）甲今年3月缴了个人所得税1060元，若按“个税法草案”计算，则他应缴税款多少元？（3）乙今年3月缴了个人所得税3千多元，若按“个税法草案”计算，他应缴的税款恰好不变，那么乙今年3月所缴税款的具体数额为多少元？30．（2011•温州）2011年5月20日是第22个中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息（如图）．根据信息，解答下列问题．（1）求这份快餐中所含脂肪质量；（2）若碳水化合物占快餐总质量的40%，求这份快餐所含蛋白质的质量；（3）若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，求其中所含碳水化合物质量的最大值．一元一次不等式（组）强化训练参考答案与试题解析一．选择题（共23小题）1．（2009•荆门）若不等式组有解，则a的取值范围是（）A．a＞﹣1 B．a≥﹣1 C．a≤1 D．a＜1考点：解一元一次不等式组．分析：先解出不等式组的解集，根据已知不等式组有解，即可求出a的取值范围．解答：解：由（1）得x≥﹣a，由（2）得x＜1，∴其解集为﹣a≤x＜1，∴﹣a＜1，即a＞﹣1，∴a的取值范围是a＞﹣1，故选A．点评：求不等式组的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知数处理，求出不等式组的解集并与已知解集比较，进而求得另一个未知数的取值范围．2．（2009•恩施州）如果一元一次不等式组的解集为x＞3．则a的取值范围是（）A．a＞3 B．a≥3 C．a≤3 D．a＜3考点：解一元一次不等式组．专题：计算题．分析：根据不等式组解的定义和同大取大的原则可得出a和3之间的关系式，解答即可．解答：解：不等式组的解集为x＞3，所以有a≤3，故选C．点评：主要考查了已知一元一次不等式解集求不等式中的字母的值，同样也是利用口诀求解，但是要注意当两数相等时，解集也是x＞2，不要漏掉相等这个关系．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．3．（2004•日照）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（）A．a≤﹣1 B．a≥2 C．﹣1＜a＜2 D．a＜﹣1，或a＞2考点：解一元一次不等式组．分析：先求出不等式组的解集，利用不等式组的解集是无解可知a＜x＜2，且x应该是大大小小找不到，所以可以判断出a≥2，不等式组是x＞2，x＜2时没有交集，所以也是无解，不要漏掉相等这个关系．解答：解：不等式组无解∴a≥2时，不等式组无解，故选B．点评：主要考查了已知一元一次不等式解集求不等式中的字母的值，同样也是利用口诀求解，注意：当符号方向不同，数字相同时（如：x＞a，x＜a），没有交集也是无解但是要注意当两数相等时，在解题过程中不要漏掉相等这个关系．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．4．（2003•泰安）关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（）A．﹣＜a≤﹣B．﹣≤a＜﹣C．﹣≤a≤﹣D．﹣＜a＜﹣考点：一元一次不等式组的整数解．专题：计算题．分析：先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求a的取值范围即可．解答：解：由（1）得x＞8；由（2）得x＜2﹣4a；其解集为8＜x＜2﹣4a，因不等式组有四个整数解，为9，10，11，12，则，解得﹣≤a＜﹣．故选B．点评：考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．5．关于x的方程|x|=2x+a只有一个解而且这个解是负数，则a的取值范围（）A．a＜0 B．a＞0 C．a≥0 D．a≤0考点：含绝对值符号的一元一次方程；解一元一次方程；解一元一次不等式．专题：计算题．分析：由方程的解为负数，得到x＜0时，原方程可以化为﹣x=2x+a，求出方程的解x=﹣，可得出﹣＜0，求出即可．解答：解：∵|x|=2x+a的解为负数，∴x＜0时，原方程可以化为：﹣x=2x+a，解得：x=﹣，∴﹣＜0，即a＞0．故选B．点评：本题考查了绝对值符号的一元一次方程和解一元一次不等式等知识点的应用，去掉绝对值符号是解此题的关键，注意x＜0这个条件的应用，题目较好，但是一道比较容易出错的题目．6．若m＞n，则下列不等式中成立的是（）A．m+a＜n+b B．m a＜nb C．m a2＞na2D．a﹣m＜a﹣n考点：不等式的性质．分析：看各不等式是加（减）什么数，或乘（除以）哪个数得到的，用不用变号．解答：解：A、不等式两边加的数不同，错误；B、不等式两边乘的数不同，错误；C、当a=0时，错误；D、不等式两边都乘﹣1，不等号的方向改变，都加a，不等号的方向不变，正确；故选D．点评：不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．7．下列不等式一定成立的是（）A．5a＞4a B．x+2＜x+3 C．﹣a＞﹣2a D．考点：不等式的性质．分析：根据不等式的性质分析判断．解答：解：A、因为5＞4，不等式两边同乘以a，而a≤0时，不等号方向改变，即5a≤4a，故错误；B、因为2＜3，不等式两边同时加上x，不等号方向不变，即x+2＜x+3正确；C、因为﹣1＞﹣2，不等式两边同乘以a，而a≤0时，不等号方向改变，即﹣a≤﹣2a，故错误；D、因为4＞2，不等式两边同除以a，而a≤0时，不等号方向改变，即，故错误．故选B．点评：主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．8．已知a＜b，下列四个不等式中不正确的是（）A．a（c2+1）＜b （c2+1）B．a﹣4＜b﹣4 C．a﹣b＜0 D．＜1考点：不等式的性质．专题：计算题．分析：a＜b，不等式两边同除以b，而b未确定正数，负数，0，因此不一定能得出＜1．解答：解：∵a＜b，∴根据不等式的基本性质可得：四个不等式中不正确的是：＜1；故本题选D．点评：解决本题的关键是认识到b未确定正数，负数，0，无法判断的大小．9．下列命题中：①若a＞b，c≠0，则ac＞bc；②若，则a＜0，b＞0；③若ac2＞bc2，则a＞b；④若a＜b＜0，则；⑤若，则a＞b．正确的有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个考点：不等式的性质．专题：计算题．分析：根据不等式的基本性质（①不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）对各项进行一一判断．解答：解：①当c＜0时，ac＜bc；故本选项错误；②若，则a、b异号，所以a＜0，b＞0；或a＞0，b＜0；故本选项错误；③∵ac2＞bc2，∴c2＞0，∴a＞b；故本选项正确；④若a＜b＜0，则不等式的两边同时除以b，不等号的方向发生改变，即；故本选项正确；⑤∵，∴c2＞0，∴原不等式的两边同时乘以c2，不等式仍然成立，即a＞b；故本选项正确．综上所述，正确的说法共有3个．故选C．点评：主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．10．已知m，n为常数，若mx+n＞0的解集为x＜，则nx﹣m＜0的解集是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x＞﹣3 D．x＜﹣3考点：解一元一次不等式．专题：计算题．分析：第一个不等式的方向改变，说明不等式两边除以的m小于0，由解集是x＜，可以继续判断n的符号；就可以得到第二个不等式的解集．解答：解：由mx+n＞0的解集为x＜，不等号方向改变，∴m＜0且﹣=，∴=﹣＜0，∵m＜0．∴n＞0；由nx﹣m＜0得x＜=﹣3，所以x＜﹣3；故选D．点评：当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向．同理，当不等号的方向改变后，也可以知道不等式两边除以的是一个负数．11．某项球类规则达标测验，规定满分100分，60分及格，模拟考试与正式考试形式相同，都是25道选择题，每题答对记4分，答错或不答记0分．并规定正式考试中要有80分的试题就是模拟考试中的原题．假设某人在模拟考试中答对的试题，在正式考试中仍能答对，某人欲在正式考试中确保及格，则他在模拟考试中，至少要得（）A．80分B．76分C．75分D．64分考点：一元一次不等式的应用．分析：假设模拟考试中至少要得x分，则在模拟考试中至少做对道题，做错或不会做的题至多是道题．在正式考试中要出现模拟考试中80分的试题，即道题．如果最坏的可能，即其余20分题（5道新题）某人全不会做，而且模拟考试中道失分的题又全出现在正式考试试题之中，并且该生在模拟考试后也没能复习纠错，仍按错误答案在正规考试中失分，知识该生只能从道题中取得及格分．解答：解：设在模拟考试中至少要得x分由题意列式解得x≥80．即某人欲在正式考试中确保及格，则他在模拟考试中至少要得80分．故选A．点评：要做好本题一定理清思路，做错题的临界值要考虑最坏可能（其余20分新题某人全不会做，而且模拟考试中失分的题又全出现在正式考试试题之中），只要找准了这个地方，本题也即可解决．12．（2010•黑河）现有球迷150人欲同时租用A，B，C三种型号客车去观看世界杯足球赛，其中A，B，C三种型号客车载容量分别为50人，30人，10人，要求每辆车必须满载，其中A型客车最多租两辆，则球迷们一次性到达赛场的租车方案有（）A．3种B．4种C．5种D．6种考点：一元一次不等式的应用．专题：方案型．分析：设B、C两种车分别租a辆、b辆．然后根据两种情况：A型号租1辆或2辆，列方程进行讨论．解答：解：设B、C两种车分别租a辆、b辆．①当A型号租用1辆时，则有30a+10b=150﹣50，3a+b=10．又a，b是整数，则a=1，b=7或a=2，b=4或a=3，b=1．③当A型号租用2辆时，则有30a+10b=150﹣50×2，3a+b=5．又a，b是整数，则a=1，b=2．综上所述，共有4种．故选B．点评：此题首先注意考虑A型号2种情况．能够根据题意列出二元一次方程，再进一步根据车辆数是整数进行分析．13．（2009•临沂）若x＞y，则下列式子错误的是（）A．x﹣3＞y﹣3 B．3﹣x＞3﹣y C．x+3＞y+2 D．考点：不等式的性质．分析：看各不等式是加（减）什么数，或乘（除以）哪个数得到的，用不用变号．解答：解：A、不等式两边都减3，不等号的方向不变，正确；B、减去一个大数小于减去一个小数，错误；C、大数加大数依然大，正确；D、不等式两边都除以3，不等号的方向不变，正确．故选B．点评：主要考查不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．14．（2007•临沂）若a＜b＜0，则下列式子：①a+1＜b+2；②＞1；③a+b＜ab；④＜中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：不等式的性质．分析：根据不等式的基本性质判断．解答：解：∵a＜b∴a+1＜b+1＜b+2因而①一定成立；a＜b＜0即a，b同号．并且|a|＞|b|因而②＞1一定成立；④＜一定不成立；∵a＜b＜0即a，b都是负数．∴ab＞0 a+b＜0∴③a+b＜ab一定成立．正确的有①②③共有3个式子成立．故选C．点评：本题比较简单的作法是用特殊值法，如令a=﹣3 b=﹣2代入各式看是否成立．15．（2006•宿迁）若关于x的不等式x﹣m≥﹣1的解集如图所示，则m等于（）A．0B．1C．2D．3考点：在数轴上表示不等式的解集．专题：图表型．分析：首先解得关于x的不等式x﹣m≥﹣1的解集即x≥m﹣1，然后观察数轴上表示的解集，求得m的值．解答：解：关于x的不等式x﹣m≥﹣1，得x≥m﹣1，由题目中的数轴表示可知：不等式的解集是：x≥2，因而可得到，m﹣1=2，解得，m=3．故选D．点评：本题解决的关键是正确解出关于x的不等式，把不等式问题转化为方程问题．16．（2006•泰安）用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C 含量及购买这两种原料的价格如下表：甲种原料 乙种原料维生素C 含量（单位•千克）600 100 原料价格（元•千克）8 4 现配制这种饮料10kg ，要求至少含有4200单位的维生素C ，若所需甲种原料的质量为xkg ，则x 应满足的不等式为（ ）A ． 600x+100（10﹣x ）≥4200B ． 8x+4（100﹣x ）≤4200 C ． 600x+100（10﹣x ）≤4200D ． 8x+4（100﹣x ）≥4200考点： 由实际问题抽象出一元一次不等式．专题： 图表型． 分析： 首先由甲种原料所需的质量和饮料的总质量，表示出乙种原料的质量，再结合表格中的数据，根据“至少含有4200单位的维生素C ”这一不等关系列不等式． 解答： 解：若所需甲种原料的质量为xkg ，则需乙种原料（10﹣x ）kg ．根据题意，得600x+100（10﹣x ）≥4200．故选A ．点评： 能够读懂表格，会把文字语言转换为数学语言．17．（2006•日照）已知方程组：的解x ，y 满足2x+y ≥0，则m 的取值范围是（ ） A ． m ≥﹣B ． m ≥C ． m ≥1D ． ﹣≤m ≤1考点：解一元一次不等式；解二元一次方程组． 专题：计算题． 分析：本题首先要解这个关于x 、y 的一元一次方程，求出方程组的解，根据题意，可以得到一个关于m 的不等式，就可以求出m 的范围．解答：解：， ②﹣①×2得，7x=﹣m+1，解得x=﹣﹣﹣③； 把③代入①得，y=﹣﹣﹣④； ∵2x+y ≥0，∴×2+≥0，解得m ≥﹣．故选A ．点评： 本题是一个方程组与不等式的综合题目．解关于m 的不等式是本题的一个难点．解答此题，需要对以下问题有一个深刻的认识：①使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解；②二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．18．（2005•马尾区）如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1g，则物体A的质量m（g）的取值范围，在数轴上可表示为（）A．B．C．D．考点：一元一次不等式的应用．专题：图表型．分析：根据图形就可以得到重物A，与砝码的关系，得到重物A的范围．解答：解：由图一可得m＞1，由图二可得m＜2，即1＜m＜2，在数轴上表示为：故选A．点评：在数轴上表示解集时，注意空心圆圈和失信圆点的区别．还要注意确定不等式组解集的规律：大小小大中间跑．19．（2003•随州）若a＜0，关于x的不等式ax+1＞0的解集是（）A．B．C．D．x＞考点：解一元一次不等式．分析：先移项，再把系数化为1，即可求出答案．解答：解：移项，得ax＞﹣1，因为a＜0，所以系数化为1，得x＜﹣．故选A．点评：要注意系数化为1时，因为a＜0，所以不等号的方向要改变．20．已知a＞0，b＜0，|a|＜|b|＜1，那么下列判断正确的是（）A．1﹣b＞﹣b＞1+a＞a B．1+a＞a＞1﹣b＞﹣bC．1﹣b＞1+a＞﹣b＞aD．1+a＞1﹣b＞a＞﹣b考点：不等式的性质；绝对值．分析：根据相反数、绝对值的定义及不等式的性质解题．解答：解：∵a＞0，b＜0，|a|＜|b|＜1，∴﹣b＞a，1+a＞﹣b，∴1﹣b＞1+a，∴1﹣b＞1+a＞﹣b＞a．故选C．点评：此题主要考查了相反数、绝对值的知识点，也考查了学生的推理能力．21．（2012•杭州）已知关于x，y的方程组，其中﹣3≤a≤1，给出下列结论：①是方程组的解；②当a=﹣2时，x，y的值互为相反数；③当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4﹣a的解；④若x≤1，则1≤y≤4．其中正确的是（）A．①②B．②③C．②③④D．①③④考点：二元一次方程组的解；解一元一次不等式组．分析：解方程组得出x、y的表达式，根据a的取值范围确定x、y的取值范围，逐一判断．解答：解：解方程组，得，∵﹣3≤a≤1，∴﹣5≤x≤3，0≤y≤4，①不符合﹣5≤x≤3，0≤y≤4，结论错误；②当a=﹣2时，x=1+2a=﹣3，y=1﹣a=3，x，y的值互为相反数，结论正确；③当a=1时，x+y=2+a=3，4﹣a=3，方程x+y=4﹣a两边相等，结论正确；④当x≤1时，1+2a≤1，解得a≤0，y=1﹣a≥1，已知0≤y≤4，故当x≤1时，1≤y≤4，结论正确，故选C．点评：本题考查了二元一次方程组的解，解一元一次不等式组．关键是根据条件，求出x、y的表达式及x、y的取值范围．22．（2012•恩施州）某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其他费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（）A．40% B．33.4% C．33.3% D．30%考点：一元一次不等式的应用．分析：缺少质量和进价，应设购进这种水果a千克，进价为y元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x，则售价为（1+x）y元/千克，根据题意得：购进这批水果用去ay元，但在售出时，大樱桃只剩下（1﹣10%）a千克，售货款为（1﹣10%）（1+x）y元，根据公式×100=利润率可列出不等式，解不等式即可．解答：解：设购进这种水果a千克，进价为y元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x，则售价为（1+x）y元/千克，由题意得：×100%≥20%，解得：x≥，∵超市要想至少获得20%的利润，∴这种水果的售价在进价的基础上应至少提高33.4%．故选：B．点评：此题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是弄清题意，设出必要的未知数，表示出售价，售货款，进货款，利润．注意再解出结果后，要考虑实际问题，利用收尾法，不能用四舍五入．23．（2011•菏泽）某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（）A．6折B．7折C．8折D．9折考点：一元一次不等式的应用．分析：本题可设打x折，根据保持利润率不低于5%，可列出不等式：1200x×0.1≥800（1+0.05），解出x的值即可得出打的折数．解答：解：设可打x折，则有1200x×0.1≥800（1+0.05）120x≥840x≥7故选B点评：本题考查的是一元一次不等式的应用，解此类题目时注意利润和折数，计算折数时要注意要乘以0.1．二．填空题（共1小题）24．（2009•孝感）关于x的不等式组的解集是x＞﹣1，则m=﹣3．考点：解一元一次不等式组．分析：易得m+2＞m﹣1．那么不等式组的解集为x＞m+2，根据所给的解集即可判断m的取值．解答：解：根据“同大取大”确定x的范围x＞m+2，∵解集是x＞﹣1，∴m+2=﹣1，m=﹣3．点评：求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．三．解答题（共6小题）25．（2012•福州）某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分．（1）小明考了68分，那么小明答对了多少问题？（2）小亮获得二等奖（70分～90分），请你算算小亮答对了几道题？考点：一元一次不等式组的应用；一元一次方程的应用．分析：（1）设小明答对了x道题，则有20﹣x道题答错或不答，根据答对题目的得分减去答错或不答题目的扣分是68分，即可得到一个关于x的方程，解方程即可求解；（2）小明答对了x道题，则有20﹣x道题答错或不答，根据答对题目的得分减去答错或不答题目的扣分，就是最后的得分，得分满足大于或等于70小于或等于90，据此即可得到关于x的不等式组，从而求得x的范围，再根据x是非负整数即可求解．解答：解：（1）设小明答对了x道题．依题意得5x﹣3（20﹣x）=68．解得x=16．答：小明答对了16道题．（2）设小亮答对了y道题．依题意得因此不等式组的解集为16≤y≤18．∵y是正整数，∴y=17或18．答：小亮答对了17道题或18道题．点评：本题考查了列方程解应用题，以及列一元一次不等式解决问题，正确列式表示出最后的得分是关键．26．（2011•绍兴）筹建中的城南中学需720套单人课桌椅（如图），光明厂承担了这项生产任务．该厂生产桌子的必须5人一组．每组每天可生产12张；生产椅子的必须4人一组，每组每天可生产24把．已知学校筹建组要求光明厂6天完成这项生产任务．（1）问光明厂平均毎天要生产多少套单人课桌椅？（2）现学校筹建组要求至少提前1天完成这项生产任务．光明厂生产课桌椅的员工增加到84名，试给出一种分配生产桌子、椅子的员工数的方案．考点：一元一次不等式组的应用．专题：优选方案问题．分析：（1）用720套单人课桌椅÷6天完成这项生产任务=毎天要生产单人课桌椅的套数，（2）找到关键描述语：①生产桌子的5人一组．每组每天可生产12张，②生产椅子的4人一组，每组每天可生产24把，③至少提前1天完成这项生产任务，进而找到所求的量的关系，列出不等式组求解．解答：解：（1）∵720÷6=120，∴光明厂平均毎天要生产120套单人课桌椅．（2）设x人生产桌子，则（84﹣x）人生产椅子，解得：x=60，∴84﹣x=24，∴60人生产桌子，则24人生产椅子．点评：此题主要考查了一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．27．（2011•宁波）我市某林场计划购买甲、乙两种树苗共800株，甲种树苗每株24元，乙种树苗每株30元．相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%、90%．（1）若购买这两种树苗共用去21000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？（2）若要使这批树苗的总成活率不低于88%，则甲种树苗至多购买多少株？（3）在（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低？并求出最低费用．考点：一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．专题：优选方案问题．分析：（1）根据关键描述语“购买甲、乙两种树苗共800株，”和“购买两种树苗共用21000元”，列出方程组求解．（2）先找到关键描述语“这批树苗的成活率不低于88%”，进而找到所求的量的等量关系，列出不等式求出甲种树苗的取值范围．（3）再根据题意列出购买两种树苗的费用之和与甲种树苗的函数关系式，根据一次函数的特征求出最低费用．解答：解：（1）设购买甲种树苗x株，则乙种树苗y株，由题意得：。