2014二项式系数的性质

§10.3 二项式定理2014高考会这样考 1.利用二项式定理求二项展开式的特定项或系数、二项式系数、系数和等；2.考查二项式定理的应用．复习备考要这样做 1.熟练掌握二项展开式的通项公式；2.注意二项式定理在解决有关组合数问题中的应用；3.理解二项式系数的性质．1．二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)．这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式，其中的系数C r n (r ＝0,1,2，…，n )叫做二项式系数．式中的C r n an －r b r 叫做二项展开式的通项，用T r ＋1表示，即展开式的第r ＋1项；T r ＋1＝C r n an －r b r . 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C n n .3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n ＝C n －m n. (2)增减性与最大值：二项式系数C r n ，当r <n －12时，C r n <C r ＋1n ；当r >n －12时，C r ＋1n <C rn . 当n 是偶数时，中间的一项C n2n 取得最大值．当n 是奇数时，中间两项C n －12n 和C n ＋12n相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和(a ＋b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于2n ，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n. 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1. [难点正本 疑点清源] 1．二项式的项数与项(1)二项式的展开式共有n ＋1项，C r n a n －r b r 是第r ＋1项．即r ＋1是项数，C r n a n －r b r 是项． (2)通项是T r ＋1＝C r n an －r b r (r ＝0,1,2，…，n )．其中含有T r ＋1，a ，b ，n ，r 五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．2．二项式系数与展开式项的系数的异同在T r ＋1＝C r n a n －r b r中，C r n 就是该项的二项式系数，它与a ，b 的值无关；而T r ＋1项的系数是指化简后字母外的数． 3．二项式定理的应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等．1．(2011·广东)x ⎝⎛⎭⎫x －2x 7的展开式中，x 4的系数是______．(用数字作答) 答案 84解析 x ⎝⎛⎭⎫x －2x 7的展开式的通项是T r ＋1＝x C r 7x 7－r ·⎝⎛⎭⎫－2x r ＝C r 7(－2)r x 8－2r .令8－2r ＝4，得r ＝2，故x 4的系数是C 27·4＝84. 2．(2012·陕西)(a ＋x )5展开式中x 2的系数为10，则实数a 的值为________． 答案 1解析 (a ＋x )5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5a5－r x r. 当r ＝2时，由题意知C 25a 3＝10，∴a 3＝1，∴a ＝1.3．(2012·安徽改编)(x 2＋2)⎝⎛⎭⎫1x 2－15的展开式的常数项是________． 答案 3解析 二项式⎝⎛⎭⎫1x 2－15展开式的通项为： T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫1x 25－r ·(－1)r ＝C r 5·x 2r －10·(－1)r . 当2r －10＝－2，即r ＝4时，有x 2·C 45x －2·(－1)4＝C 45×(－1)4＝5； 当2r －10＝0，即r ＝5时，有2·C 55x 0·(－1)5＝－2. ∴展开式中的常数项为5－2＝3.4．若⎝⎛⎭⎫3x －1x n 展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x 3的项的系数为________． 答案 －405解析 根据已知，令x ＝1，得2n ＝32，即n ＝5. 二项展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 5(3x )5－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r 35－r C r 5x 5－2r ， 令5－2r ＝3，r ＝1，此时的系数是－34×5＝－405.5．若⎝⎛⎭⎫x －12n 的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为________． 答案 164解析 由题意知C 2n ＝n (n －1)2＝15，所以n ＝6，故⎝⎛⎭⎫x －12n ＝⎝⎛⎭⎫x －126，令x ＝1得所有项系数之和为⎝⎛⎭⎫126＝164.题型一 求二项展开式的指定项或指定项系数例1 已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．思维启迪：先根据第6项为常数项利用通项公式求出n ，然后再求指定项． 解 (1)通项公式为 T k ＋1＝C k n xn －k 3⎝⎛⎭⎫－12k x －k 3＝C k n ⎝⎛⎭⎫－12k x n －2k 3. 因为第6项为常数项，所以k ＝5时，n －2×53＝0，即n ＝10.(2)令10－2k 3＝2，得k ＝2，故含x 2的项的系数是C 210⎝⎛⎭⎫－122＝454. (3)根据通项公式，由题意⎩⎪⎨⎪⎧10－2k 3∈Z0≤k ≤10k ∈N，令10－2k 3＝r (r ∈Z )，则10－2k ＝3r ，k ＝5－32r ，∵k ∈N ，∴r 应为偶数．∴r 可取2,0，－2，即k 可取2,5,8，∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C 210⎝⎛⎭⎫－122x 2，C 510⎝⎛⎭⎫－125，C 810⎝⎛⎭⎫－128x －2.探究提高 求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项公式即可．(1)(2012·重庆改编)⎝⎛⎭⎫x ＋12x 8的展开式中常数项为________．答案 358 解析T r ＋1＝C r 8(x )8－r⎝⎛⎭⎫12x r ＝12r C r 8x 4－r 2－r 2＝12r C r 8x 4－r.令4－r ＝0，则r ＝4， ∴常数项为T 5＝124C 48＝116×70＝358. (2)(2012·上海)在⎝⎛⎭⎫x －2x 6的二项展开式中，常数项等于________． 答案 －160解析 方法一 利用计数原理及排列、组合知识求解． 常数项为C 36x 3⎝⎛⎭⎫－2x 3＝20x 3⎝⎛⎭⎫－8x 3＝－160. 方法二 利用二项展开式的通项求解． T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫－2x r ＝(－2)r C r 6x 6－2r ， 令6－2r ＝0，得r ＝3.所以常数项为T 4＝(－2)3C 36＝－160. 题型二 求最大系数或系数最大的项例2 已知(3x 2＋3x 2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求该展开式中的二项式系数最大的项； (2)求该展开式中的系数最大的项．思维启迪：可先根据条件列方程求n ，然后根据二项式系数的性质及系数的大小关系求二项式系数最大的项、系数最大的项．解 令x ＝1，得各项的系数之和为(1＋3)n ＝4n ，而二项式系数之和为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n .根据题意，4n ＝2n ＋992，得2n ＝32或2n ＝－31(舍去)，所以n ＝5.(1)二项式系数最大的项为第3项和第4项， T 3＝C 25(3x 2)3(3x 2)2＝90x 6， T 4＝C 35(3x 2)2(3x 2)3＝270x 223. (2)设第r ＋1项系数最大，则⎩⎪⎨⎪⎧C r 5·3r ≥C r ＋15·3r ＋1，C r 5·3r ≥C r －15·3r －1，即⎩⎪⎨⎪⎧15－r ≥3r ＋1，3r ≥16－r，解得72≤r ≤92.又r ∈N ，得r ＝4，所以系数最大的项为T 5＝405x 263.探究提高 展开式的系数和与展开式的二项式系数和是不同的概念，二项式系数最大的项与系数最大的项也是不同的概念，解题时要注意辨别．第(2)小题解不等式时可将组合数展开为阶乘形式．已知f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋2x )n (m ，n ∈N *)的展开式中x 的系数为11.(1)求x 2的系数取最小值时n 的值；(2)当x 2的系数取得最小值时，求f (x )展开式中x 的奇次幂项的系数之和．解 (1)由已知C 1m ＋2C 1n ＝11，∴m ＋2n ＝11，x 2的系数为C 2m ＋22C 2n ＝m (m －1)2＋2n (n －1) ＝m 2－m 2＋(11－m )⎝ ⎛⎭⎪⎫11－m 2－1＝⎝⎛⎭⎫m －2142＋35116. ∵m ∈N *，∴m ＝5时，x 2的系数取得最小值22，此时n ＝3. (2)由(1)知，当x 2的系数取得最小值时，m ＝5，n ＝3， ∴f (x )＝(1＋x )5＋(1＋2x )3. 设这时f (x )的展开式为f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25＋33， 令x ＝－1，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝－1， 两式相减得2(a 1＋a 3＋a 5)＝60，故展开式中x 的奇次幂项的系数之和为30. 题型三 二项式定理的应用例3 (1)已知2n ＋2·3n ＋5n －a 能被25整除，求正整数a 的最小值；(2)求1.028的近似值．(精确到小数点后三位)思维启迪：(1)将已知式子按二项式定理展开，注意转化时和25的联系；(2)近似值计算只要看展开式中的项的大小即可．解 (1)原式＝4·6n ＋5n －a ＝4(5＋1)n ＋5n －a＝4(C 0n 5n ＋C 1n 5n －1＋…＋C n －2n 52＋C n －1n 5＋C n n )＋5n －a ＝4(C 0n 5n ＋C 1n 5n －1＋…＋C n －2n52)＋25n ＋4－a ， 显然正整数a 的最小值为4.(2)1.028＝(1＋0.02)8≈C 08＋C 18·0.02＋C 28·0.022＋C 38·0.023≈1.172. 探究提高 (1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项．(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式．求证：(1)32n ＋2－8n －9能被64整除(n ∈N *)；(2)3n >(n ＋2)·2n －1 (n ∈N *，n >2)．证明 (1)∵32n ＋2－8n －9＝32·32n －8n －9 ＝9·9n －8n －9＝9(8＋1)n －8n －9＝9(C 0n 8n ＋C 1n 8n －1＋…＋C n －1n ·8＋C n n ·1)－8n －9 ＝9(8n ＋C 1n 8n －1＋…＋C n －2n 82)＋9·8n ＋9－8n －9 ＝9×82(8n －2＋C 1n ·8n －3＋…＋C n －2n )＋64n ＝64[9(8n －2＋C 1n 8n －3＋…＋C n －2n)＋n ]， 显然括号内是正整数，∴原式能被64整除． (2)因为n ∈N *，且n >2，所以3n ＝(2＋1)n 展开后至少有4项．(2＋1)n ＝2n ＋C 1n ·2n －1＋…＋C n －1n·2＋1≥2n ＋n ·2n －1＋2n ＋1>2n ＋n ·2n －1＝(n ＋2)·2n －1， 故3n >(n ＋2)·2n －1 (n ∈N *，n >2)．混淆二项展开式的系数与二项式系数致误典例：(14分)已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x －1)n 的展开式的二项式系数和大992.求在⎝⎛⎭⎫2x －1x 2n 的展开式中， (1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项．易错分析 本题易将二项式系数和系数混淆，利用赋值来求二项式系数的和导致错误；另外，也要注意项与项的系数，系数的绝对值与系数的区别． 规范解答解 由题意知，22n －2n ＝992，即(2n －32)(2n ＋31)＝0，∴2n ＝32，解得n ＝5.[2分] (1)由二项式系数的性质知，⎝⎛⎭⎫2x －1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大，即C 510＝252.∴二项式系数最大的项为T 6＝C 510(2x )5⎝⎛⎭⎫－1x 5＝－8 064.[6分] (2)设第r ＋1项的系数的绝对值最大，∴T r ＋1＝C r 10·(2x )10－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r C r 10·210－r ·x 10－2r ，[8分]∴⎩⎪⎨⎪⎧C r 10·210－r ≥C r －110·210－r ＋1C r 10·210－r ≥C r ＋110·210－r －1，得⎩⎪⎨⎪⎧ C r 10≥2C r －1102C r 10≥C r ＋110，即⎩⎪⎨⎪⎧11－r ≥2r 2(r ＋1)≥10－r， 解得83≤r ≤113，[12分]∵r ∈Z ，∴r ＝3.故系数的绝对值最大的项是第4项， T 4＝－C 310·27·x 4＝－15 360x 4.[14分] 温馨提醒 (1)本题重点考查了二项式的通项公式，二项式系数、项的系数以及项数和项的有关概念．(2)解题时要注意区别二项式系数和项的系数的不同；项数和项的不同． (3)本题的易错点是混淆项与项数，二项式系数和项的系数的区别.方法与技巧1．二项展开式的通项T r ＋1＝C r n an －r b r是展开式的第r ＋1项，这是解决二项式定理有关问题的基础．2．求指定项或指定项的系数要根据通项公式讨论对r 的限制．3．性质1是组合数公式C r n ＝C n －r n 的再现，性质3是从函数的角度研究二项式系数的单调性，性质4是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和．4．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．5．二项式定理的应用主要是对二项展开式正用、逆用，要充分利用二项展开式的特点和式子间的联系． 失误与防范1．要把“二项式系数的和”与“各项系数和”，“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来．2．求通项公式时常用到根式与幂指数的互化，易出错．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：62分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．(2012·天津改编)在⎝⎛⎭⎫2x 2－1x 5的二项展开式中，x 的系数为________．解析 因为T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r ⎝⎛⎭⎫－1x r＝C r 525－r x 10－2r (－1)r x －r ＝C r 525－r(－1)r x 10－3r ， 所以10－3r ＝1，所以r ＝3，所以x 的系数为C 3525－3(－1)3＝－40. 2．(2011·重庆改编)(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝________. 答案 7解析 (1＋3x )n 的展开式中含x 5的项为C 5n (3x )5＝C 5n 35x 5，展开式中含x 6的项为C 6n 36x 6，由两项的系数相等得C 5n ·35＝C 6n ·36，解得n ＝7. 3．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13x n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________．答案 7解析 只有第5项的二项式系数最大，则展开式共9项，即n ＝8，T r ＋1＝C r 8⎝⎛⎭⎫x 28－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x r ＝C r 8(－1)r ·⎝⎛⎭⎫128－r ·x 8－43r ，当r ＝6时为常数项，T 7＝7. 4．(2011·陕西改编)(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是________．答案 15解析 设展开式的常数项是第r ＋1项，则T r ＋1＝C r 6·(4x )6－r ·(－2－x )r ＝C r 6·(－1)r ·212x －2rx ·2－rx ＝C r 6·(－1)r ·212x －3rx ，∴12x －3rx ＝0恒成立．∴r ＝4，∴T 5＝C 46·(－1)4＝15. 5．(2012·浙江)若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________. 答案 10解析 f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5，它的通项为T r ＋1＝C r 5(1＋x )5－r·(－1)r ， T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10.6．(2011·浙江)设二项式⎝⎛⎭⎫x －ax 6 (a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则a 的值是________． 答案 2解析 A ＝C 26(－a )2，B ＝C 46(－a )4，由B ＝4A 知，4C 26(－a )2＝C 46(－a )4，解得a ＝±2.∵a >0，∴a ＝2. 7．(2012·大纲全国)若⎝⎛⎭⎫x ＋1x n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x 2的系数为________．解析 由题意知，C 2n ＝C 6n ，∴n ＝8.∴T r ＋1＝C r 8·x 8－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r8·x 8－2r ， 当8－2r ＝－2时，r ＝5， ∴1x 2的系数为C 58＝C 38＝56. 二、解答题(共27分)8．(13分)已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7. 求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.解 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1. ① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.②(1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2. (2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093.(4)方法一 ∵(1－2x )7展开式中，a 0、a 2、a 4、a 6大于零，而a 1、a 3、a 5、a 7小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.方法二 |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|，即(1＋2x )7展开式中各项的系数和，令x ＝1，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝37＝2 187.9．(14分)(1)求⎝⎛⎭⎫x 2－12x 9的展开式中的常数项； (2)已知⎝⎛⎭⎫a x － x 29的展开式中x 3的系数为94，求常数a 的值；(3)求(x 2＋3x ＋2)5的展开式中含x 的项． 解 (1)设第r ＋1项为常数项，则T r ＋1＝C r 9(x 2)9－r ·⎝⎛⎭⎫－12x r ＝⎝⎛⎭⎫－12r C r 9x 18－3r . 令18－3r ＝0，得r ＝6，即第7项为常数项．T 7＝⎝⎛⎭⎫－126C 69＝2116.∴常数项为2116.(2)设第r ＋1项是含x 3的项，则有 C r 9⎝⎛⎭⎫a x 9－r ⎝⎛⎭⎫－x 2r ＝94x 3，得x r －9x r 2＝x 3， 故32r －9＝3，即r ＝8. ∴C 89a ⎝⎛⎭⎫－ 128＝94， ∴a ＝4.(3)∵(x 2＋3x ＋2)5＝(x ＋1)5(x ＋2)5，(x 2＋3x ＋2)5的展开式中含x 的项是(x ＋1)5展开式中的一次项与(x ＋2)5展开式中的常数项之积，(x ＋1)5展开式中的常数项与(x ＋2)5展开式中的一次项之积的代数和． ∴含x 的项为C 45·x ·C 55·25＋C 55·1·C 45·x ·24＝240x . B 组 专项能力提升 (时间：35分钟，满分：58分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2011·天津改编)在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为________．答案 －38解析 该二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 6⎝⎛⎭⎫x 26－r ·⎝⎛⎭⎫－2x r ＝(－1)r C r 6·126－2r ·x 3－r.令3－r ＝2，得r ＝1.∴T 2＝－6×124x 2＝－38x 2.2．(2012·湖北改编)设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整除，则a 的值为________． 答案 12解析 化51为52－1，用二项式定理展开．512 012＋a ＝(52－1)2 012＋a ＝C 02 012522 012－C 12 012522 011＋…＋C 2 0112 012×52×(－1)2 011＋C 2 0122 012×(－1)2 012＋a . 因为52能被13整除，所以只需C 2 0122 012×(－1)2 012＋a 能被13整除， 即a ＋1能被13整除，因为0≤a <13，所以a ＝12.3．(2011·课标全国改编)(x ＋a x )(2x －1x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为________． 答案 40解析 令x ＝1得(1＋a )(2－1)5＝1＋a ＝2，所以a ＝1.因此(x ＋1x )(2x －1x )5展开式中的常数项即为(2x －1x )5展开式中1x的系数与x 的系数的和．(2x－1x)5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ·(－1)r ·x －r ＝C r 525－r x 5－2r ·(－1)r . 令5－2r ＝1，得2r ＝4，即r ＝2，因此(2x －1x)5展开式中x 的系数为C 2525－2(－1)2＝80.令5－2r ＝－1，得2r ＝6，即r ＝3，因此(2x －1x )5展开式中1x的系数为C 3525－3·(－1)3＝－40.所以(x ＋1x )(2x －1x)5展开式中的常数项为80－40＝40. 4．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是________． 答案 －121解析 展开式中含x 3项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 38(－1)3＝－121.5．已知(1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎫x ＋1x 3n 的展开式中没有常数项，n ∈N *，且2≤n ≤8，则n ＝________. 答案 5解析 ⎝⎛⎭⎫x ＋1x 3n 展开式中的通项为 T r ＋1＝C r n x n －r ⎝⎛⎭⎫1x 3r ＝C r n x n －4r (r ＝0,1,2，…，n )， 将n ＝2,3,4,5,6,7,8逐个检验可知n ＝5.6．1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数是________．答案 1解析 原式＝(1－90)10＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1，因为前10项均能被88整除，故余数为1.二、解答题(共28分)7．(14分)已知⎝⎛⎭⎫12＋2x n ， (1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解 (1)∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，∴n 2－21n ＋98＝0.∴n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5.∴T 4的系数为C 37⎝⎛⎭⎫12423＝352， T 5的系数为C 47⎝⎛⎭⎫12324＝70， 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8.∴T 8的系数为C 714⎝⎛⎭⎫12727＝3 432. (2)∵C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，∴n 2＋n －156＝0.∴n ＝12或n ＝－13(舍去)．设T k ＋1项的系数最大，∵⎝⎛⎭⎫12＋2x 12＝⎝⎛⎭⎫1212(1＋4x )12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧C k 124k ≥C k －1124k －1，C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1. ∴9.4≤k ≤10.4，∴k ＝10. ∴展开式中系数最大的项为T 11，T 11＝C 1012·⎝⎛⎭⎫122·210·x 10＝16 896x 10.8．(14分)已知等式(x 2＋2x ＋2)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10，其中a i (i ＝0,1,2，…，10)为实常数． 求：(1)∑10n ＝1a n 的值；(2)∑10n ＝1na n 的值． 解 (1)∵(x 2＋2x ＋2)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10， ∴令x ＝0，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝25＝32；令 x ＝－1，则a 0＝1，即∑10n ＝1a n ＝31. (2)∵(x 2＋2x ＋2)5＝[1＋(x ＋1)2]5＝C 05×15＋C 15(x ＋1)2＋C 25(x ＋1)4＋C 35(x ＋1)6＋C 45(x ＋1)8＋C 55(x ＋1)10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 10(x ＋1)10，∴a 0＝C 05，a 1＝a 3＝a 5＝a 7＝a 9＝0，a 2＝C 15，a 4＝C 25，a 6＝C 35，a 8＝C 45，a 10＝C 55.∴∑10n ＝1na n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋10a 10 ＝2C 15＋4C 25＋6C 35＋8C 45＋10C 55＝10C 15＋10C 25＋10C 55＝50＋100＋10＝160.。

二项式系数性质与应用二项式系数是组合数学中的一种重要概念，它在代数、概率、统计等领域中有着广泛的应用。

本文将介绍二项式系数的性质，并探讨其在实际问题中的应用。

一、二项式系数的基本性质1.1 二项式系数的定义二项式系数表示为C(n,k)，其中n和k为非负整数，且0 ≤ k ≤ n。

其计算方法为C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)，其中“!”表示阶乘运算。

1.2 二项式系数的对称性二项式系数具有对称性，即C(n,k) = C(n,n-k)。

这是由于在组合中，选取k个元素与选取n-k个元素是等价的。

1.3 二项式系数的递推关系二项式系数有递推关系：C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1)。

这一关系可以用来计算任意二项式系数，而无需重新计算阶乘。

1.4 二项式定理二项式定理是二项式系数的一个重要性质，表示为(a+b)^n = ΣC(n,k) * a^(n-k) * b^k，其中Σ表示求和运算，k的取值范围为0到n。

二、二项式系数的应用2.1 代数中的应用在代数中，二项式系数被广泛应用于多项式展开和系数计算。

通过二项式定理，我们可以展开任意次多项式，从而计算多项式的各项系数。

2.2 概率与统计中的应用在概率与统计中，二项式系数与二项分布密切相关。

二项分布用于描述一组独立重复试验中成功（或失败）的次数的概率分布。

二项分布的概率质量函数可以用二项式系数来表示。

2.3 组合数学中的应用二项式系数是组合数学的基础概念，它与排列、组合、二项式定理等紧密相关。

在组合数学中，可以利用二项式系数解决一些计数问题，如排列组合问题、子集问题等。

2.4 离散数学中的应用离散数学中的一些问题可以转化为二项式系数的计算问题，如定理证明、图论、递归关系等。

二项式系数的递推关系和性质在解决这些问题时起到了重要的作用。

2.5 应用于经济学和金融学二项式系数在经济学和金融学中也有一定的应用，例如二项式期权定价模型和二项式资产定价模型。

二项式系数有哪些特殊性质二项式系数是组合数学中的重要概念，具有许多特殊性质。

本文将详细介绍二项式系数的特性，并进行逐一讨论。

一、二项式系数的定义及基本性质二项式系数是指二次幂的展开式中，各项的系数。

设a和b为任意实数，则二次幂的展开式可表示为(a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b+ ··· + C(n,n)b^n，其中C(n,k)表示从n个元素中取k个元素的组合数。

二项式系数具有以下基本性质：1. 对称性：C(n,k) = C(n,n-k)，即二项式系数在列数上具有对称性质。

2. 递推关系：C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)，即每一个二项式系数都可以由前一个系数递推得到。

3. 边界条件：C(n,0) = C(n,n) = 1，即从n个元素中取0个或n个元素的组合数都为1。

二、二项式系数的特殊性质除了以上的基本性质外，二项式系数还具有许多特殊性质，包括：1. 杨辉三角形的构建二项式系数可以通过杨辉三角形的构建方法得到。

杨辉三角形的第n行第k个数即为C(n,k)，通过构建杨辉三角形，可以直观地观察到二项式系数的对称性和递推关系。

2. 定理1：二项式系数的性质二项式系数满足定理1：C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)。

这一性质可以通过排列组合的原理得到，即从n个元素中取k个元素的组合数等于从n-1个元素中取k-1个元素的组合数再加上从n-1个元素中取k个元素的组合数。

3. 定理2：二项式系数的性质二项式系数满足定理2：C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k+1)，其中k满足1<=k<=n-1。

这一性质可以通过将C(n,k)的递推关系重写为C(n-1,k) = C(n,k) - C(n-1,k-1)得到。

4. 定理3：二项式系数的性质二项式系数满足定理3：C(n+1,k+1) = (n+1)/(k+1) * C(n,k)，其中n 和k满足1<=k<=n。