广安友谊中学高二6月月考试题数学答题(最终稿)

四川省广安市友谊中学2021-2022学年高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 甲、乙两位同学本学期几次数学考试的平均成绩很接近，为了判断甲、乙两名同学成绩哪个稳定，需要知道这两个人的（）A．中位数B．众数C．方差D．频率分布参考答案：C【考点】众数、中位数、平均数．【分析】利用中位数、众数、方差、频率分布的概念直接求解．【解答】解：在A 中，中位数像一条分界线，将数据分成前半部分和后半部分，因此用来代表一组数据的“中等水平”．故A不成立；在B中，众数反映了出现次数最多的数据，用来代表一组数据的“多数水平”，故B不成立；在C中，方差是样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数，方差是衡量一个样本波动大小的量，故C成立；在D中，频率分布反映数据在整体上的分布情况，故D不成立．故选：C．2. 在中，，且CA=CB=3，点M满足，则等于（）A．2 B．3 C．4D．6参考答案：B3. 已知，且，则的值为（）A. -1B. -2C. 1D. 2参考答案：B【分析】将函数的解析式变形可得，求出其导数，进而可得，问题得解．【详解】解：根据题意，，其导数，因为，所以，解得：；故选：B．【点睛】本题主要考查了导数的计算及方程思想，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．4. 直线l过点且与双曲线x2﹣y2=2仅有一个公共点，这样的直线有（）A．4条B．3条C．2条D．1条参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】讨论直线的斜率，当直线的斜率不存在时，直线过双曲线x2﹣y2=2的右顶点，方程为x=，满足条件，当直线的斜率存在时，若直线与两渐近线平行，也能满足满足条件．【解答】解：当直线的斜率不存在时，直线过双曲线x2﹣y2=2的右顶点，方程为x=，满足条件；当直线的斜率存在时，若直线与两渐近线平行，也能满足与双曲线x2﹣y2=2有且仅有一个公共点，综上，满足条件的直线共有3条．故选：B．5. 已知数列,3,,…,,那么9是数列的 ( )A.第12项B.第13项C.第14项D.第15项参考答案：C6. 下列表示图中的阴影部分的是( )A．（A∪C）∩（B∪C）B．（A∪B）∩（A∪C）C．（A∪B）∩（B∪C）D．（A∪B）∩C参考答案：A【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】数形结合．【分析】由韦恩图分析阴影部分表示的集合，关键是要分析阴影部分的性质，先用自然语言将其描述出来，再根据集合运算的定义，将共转化为集合语言，再去利用集合运算的方法，对其进行变形和化简．【解答】解：图中阴影部分表示元素满足：是C中的元素，或者是A与B的公共元素故可以表示为C∪（A∩B）也可以表示为：（A∪C）∩（B∪C）故选A．【点评】韦恩图是分析集合关系时，最常借助的工具，其特点是直观，要分析韦恩图分析阴影部分表示的集合，要先分析阴影部分的性质，先用自然语言将其描述出来，再根据集合运算的定义，将共转化为集合语言，再去利用集合运算的方法，对其进行变形和化简．7. 已知数列{a n}中，a1=1，前n项和为S n，且点P(a n，a n+1)(n∈N*)在直线x－y+1=0上，则A. B. C. D.参考答案：C解：由点P(a n，a n+1)(n∈N*)在直线x－y+1=0上，则a n+1= a n+1，公差d=1，且a1=1，所以，，，故选择C.8. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】余弦定理；等比数列．【专题】计算题．【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c=2a，则b=a，=，故选B．【点评】本题考查余弦定理的运用，要牢记余弦定理的两种形式，并能熟练应用．9. 复数的模是（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】先将复数化成形式，再求模。

2021-2021学年(xuénián)第二学期6月考高二文科数学考试时间是是120分钟 ，满分是150分。

第I 卷 选择题〔一共60分〕一、选择题(本大题一一共12小题,每一小题5分,一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

)满足，那么A. B. C.D.2.使“a ＞b 〞成立的一个充分不必要条件是〔 〕 A ．B ．C ．D ．3.某商品销售量〔件〕与销售价格〔元/件〕负相关，那么其回归方程可能是〔 〕 A. B.C.D.“＞0，≤0”的否认是〔 〕A 、＞0，x x -2≤0 B 、x ∃＞0，x x -2＞0C 、x ∀＞0，x x -2＞0 D 、x ∀≤0，x x -2＞0的导数是〔 〕A. B. C. D.6.以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的?详解九章算术?一书中的“杨辉三角形〞．该表由假设干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上〞两数之和，表中最后(zuìhòu)一行仅有一个数，那么这个数为〔〕A. B.C. D.7.对于a，b∈〔0，＋∞〕，a＋b≥2〔大前提〕，〔小前提〕，所以〔结论〕。

以上推理过程中的错误为〔〕A. 大前提B. 小前提C. 结论D. 无错误8.函数的图像如下图，的导函数，那么以下数值排序正确的选项是〔〕A.B.C.D.9.函数(hánshù)〔〕的最大值是〔〕A. 1B. 2C. 0D. -110.函数，那么〔〕A. B. C.-1 D. 111.设是函数的导函数，的图象如右图所示，那么的图象最有可能的是A. B. C. D.12.函数的零点个数为〔〕A. 0B. 1C. 2D. 3第II卷非选择题〔一共(yīgòng)90分〕二、填空题(本大题一一共4小题,每一小题5分,一共20分)13.复数的一共轭复数__________．14.命题p：m∈R且m＋1≤0；命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．假设p∧q为假命题，那么m的取值范围是．15.对大于或者等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：；根据上述分解规律，假设的分解中最小的正整数是21，那么___________.16.设曲线在点〔0,1〕处的切线与曲线上点处的切线垂直，那么 的坐标为_____．三、解答题(本大题一一共6小题,一共70分。

2015-2016学年四川省广安市友谊中学高二（下)6月月考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．）1．直线3x+2=0的倾斜角为（）A．90°B．0°C．180°D．不存在2．已知i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=2i，则z=( ）A．1+i B．﹣1﹣i C．1﹣i D．﹣1+i3．已知f（x）=3lnx，则f'(e）=（）A．B． C．3e D．04．若直线的参数方程为（t为参数），则直线的斜率为（）A．B．﹣ C． D．﹣5．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设（）A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°6．双曲线3x2﹣y2=3的渐近线方程是（）A．y=±3x B．y=±x C．y=±x D．y=±x7．极坐标方程ρcos2θ=0表示的曲线为（)A．极点B．极轴C．一条直线 D．两条相交直线8．下列命题中正确的个数是（）（1）过点（2，3）斜率为4的直线方程是=4;（2）极点O（0，0）不在曲线ρ=4cosθ上；(3）对于函数y=f（x），在区间[a,b］上，若f′（x）≥0，则f(x）在［a，b］上为增函数；(4）对于函数y=f（x）,若f′（x0）=0，则x0为其极值点；（5）命题“若x=2，则x2=4"的否定是“若x≠2,则x2≠4"．A．0 B．1 C．2 D．49．已知函数f(x）=x3﹣ax2﹣3x,若f(x）在［1，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是( ）A．a≤1 B．a≤0 C．a＞0或a≤﹣1 D．a＞2 10．已知x、y的取值如下表从所得的散点图分析,y与x 线性相关，且=0。

广安市友实学校2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题（考试时间120分钟，总分150分）一、单选题1. 已知函数，若，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用导数的定义，求得，列出方程，即可求解.【详解】由函数，则，所以，解得.故选：B.2. 在等差数列中，，，则的值是（ ）A. 13 B. 14C. 16D. 17【答案】B 【解析】【分析】利用等差公式下标和性质即可得解.【详解】因为是等差数列，，，所以，即，解得.故选：B.3. 已知数列满足，（），则（ ）A. B. C.D. 2【答案】A()22f x ax x=-0(1)(1)lim2x f x f x ∆→+∆-=∆a 121-2-0(1)(1)lim22x f x f a x∆→+∆-=-∆()22f x ax x =-2000(1)(1)22lim lim lim (22)22x x x f x f a x a x x a x a a x x∆→∆→∆→+∆-∆+∆-∆==∆+-=-∆∆222a -=2a ={}n a 7916+=a a 42a =12a {}n a 7916+=a a 42a =79412a a a a +=+12162a =+1214a ={}n a 12a =111n n n a a a +-=+*n ∈N 2024a =3-12-13【解析】【分析】列举出数列的前几项，即可找到规律，从而得解.【详解】因为，，所以，，，，，又，所以故选：A4. 设分别是椭圆的左，右焦点，过的直线交椭圆于两点，则的最大值为( )A.B.C.D. 6【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆定义可知周长为定值4a ，从而可得当最小时，最大，再根据椭圆焦点弦最小为通径即可求解．【详解】由椭圆的定义知∴的周长为，∴当最小时，最大．当轴，即AB 为通径时，最小，此时，∴的最大值为．故选：B ．12a =111n n n a a a +-=+1211113a a a -==+2321112a a a -==-+343131a a a -==-+454121a a a -==+ 20244506=⨯202443a a ==-12,F F 22194x y +=1F l ,A B 22AF BF +293283832ABF △AB 22AF BF +12123,2,26,26a b AF AF a BF BF a ==+==+==2ABF △22121212AF AB BF AF AF BF BF ++=+++=AB 22AF BF +AB x ⊥AB 2283b AB a ==22AF BF +8281233-=5. 函数的导数仍是x 的函数，通常把导函数的导数叫做函数的二阶导数，记作，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数……．一般地，阶导数的导数叫做n 阶导数，函数的n 阶导数记为，例如的n 阶导数．若，则（ ）A. B. 50 C. 49D. 【答案】A 【解析】【分析】根据条件，列举的前几项，根据规律，写出，代入，即可求解.【详解】由，，，，依此类推，，所以.故选：A6. 已知直线与直线相交于点M ，若恰有3个不同的点M 到直线的距离为1，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】根据直线垂直确定轨迹为圆，再由圆上存在三点到直线距离相等转化为圆心到直线距离为1求解.【详解】由可得，()y f x =()y f x '=()y f x '=()y f x ''=n 1-()y f x =()()n y f x =e x y =()()e e n xx =()e cos 2x f x x x =+()()500f =50502-49492+()()n y f x =()()50f x 0x =()()11e 2sin 2x fx x x =+-()()222e 2cos 2x f x x x =+-()()333e 2sin 2x f x x x =++()()444e 2cos 2x f x x x =++()()()505050e 2cos 2x f x x x =+-()()()50050500050e 2cos 0502f=+-=-1:10()l kx y k -+-=∈R 2:0()l x ky k k +++=∈R :0l x y b -+=b =1±2±M 1:10()l kx y k -+=∈R (10k x y --+=即过定点，由可得，即过定点，又，所以的轨迹是以为直径的圆（不含点），其中圆心为，半径为，所以圆上恰有3个不同的点M 到直线的距离为1，只需圆心到直线的距离等于1，即，解得，此时到直线的距离不为1，故符合.故选：B7. 过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（ ）A. B. C. 1 D. 2【答案】B 【解析】【分析】求出导函数，设出切点坐标，利用导数几何意义建立斜率方程，利用韦达定理化简计算即可.【详解】由题意得，过点作曲线的两条切线，设切点坐标为，则，即，由于，故，，由题意可知，为的两个解，则，，故.故选：B8. 已知，则的大小顺序为（ ）A. B. 1l A 2:0()l x ky k k +=∈R (1)0x k y +++=2l (1)B -12l l ⊥M AB )1-(0,0)2r OA ==:0l x y b -+=1d b =)0x y b -+=b =()2,0()e xf x x =()()11,x f x ()()22,x f x 1211x x +=2-1-()()1e xf x x '=+()2,0()e xf x x =()00,ex x x ()00000e 1e 2x x x x x +=-()020022e 0x x x --=0e 0x >200220x x --=120∆=>1x 2x 200220x x --=122x x +=122x x =-121212111x x x x x x ++==-0.10.1,0.11,sin0.1a e b c ===,,a b c c b a<<a c b<<C. D. 【答案】A 【解析】【分析】构造可以比较，构造可以比较.【详解】设，则，即在上单调递增，故，即，故，即；设，则，即在上单调递减，故，故，即.于是.故选：A二、多选题9. 已知向量，则（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则向量在向量上的投影向量【答案】ACD 【解析】【分析】代入的值，得到向量的坐标，利用向量的坐标运算，判断向量的平行垂直，求向量夹角的余弦和投影向量的坐标.【详解】向量若，则，，所以，A 选项正确；若，，，不满足则，B 选项错误；b<c<a c a b<<()e 1(0)x h x x x =-->,a b ()sin (0)g x x x x =->,b c ()e 1(0)x h x x x =-->()e 10(0)x h x x '=->>()h x (0,)+∞0.10(0.1)e 0.11(0)e 010h h =-->=--=0.1e 1.1>0.10.1e 0.11>a b >()sin (0)g x x x x =->()cos 10(0)g x x x '=-≤>()g x (0,)+∞(0.1)sin 0.10.1(0)sin 000g g =-<=-=sin 0.10.10.11<<b c >a b c >>()()2,1,1,1,,2a x b y ==-1,24x y ==-//a b r r 1,1x y ==a b ⊥1,12x y ==cos ,a b = 1,12x y ==a b 112,,333c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x y ,a b()()2,1,1,1,,2a x b y ==-1,24x y ==-()1,1,1,1,2,22a b ⎛⎫== ⎪⎝⎭2b a = //a b r r 1,1x y ==()()2,1,1,1,1,2a b ==- 2120a b ⋅=-+≠ a b ⊥若，，则C 选项正确；若，，则向量在向量上的投影向量:，D 选项正确.故选：ACD10. 已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，结合单调性逐项判断即可.【详解】构造函数，其中，则，所以，函数在上为减函数，对于AB 选项，，即，可得，A 错B 对；对于CD 选项，，即，D 对，C 无法判断.故选：BD.11. 在平面直角坐标系中，已知点是一个动点，则下列说法正确的是（ ）A. 若，则点的轨迹为椭圆B. 若，则点的轨迹为双曲线1,12x y ==()()1,1,1,1,1,2a b ==- cos ,a b a b a b ⋅===1,12x y ==()()1,1,1,1,1,2a b ==-a b 112cos ,,,333b c a a b b⎛⎫=⋅==- ⎪⎝⎭()f x '()f x 0x >()()0f x xf x '->11224f f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11224f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1212f f ⎛⎫>⎪⎝⎭()1212f f ⎛⎫>⎪⎝⎭()()f xg x x=0x >()g x ()0,∞+()()f xg x x =0x >()()()20xf x f x g x x '-'=<()g x ()0,∞+1124g g ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112424f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11224f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()112g g ⎛⎫> ⎪⎝⎭()1212f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭xOy ()()2,0,2,0,A B P -4PA PB +=P 2PA PB -=PC. 若，则点的轨迹为一条直线D. 若，则点的轨迹为圆【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意结合圆、双曲线以及直接法求轨迹方程逐项分析判断.【详解】对于选项A：，则点的轨迹为线段，故A 错误；对于选项B ：，则点的轨迹是双曲线，故B 正确；对于选项：设，由，可得，化简得，表示一条直线，故C 正确；对于选项D ：由，可得，则点的轨迹是以为直径的圆，故D 正确.故选：BCD.12. 函数的图像可能是（ ）A. B.C. D.【答案】ABC 【解析】【分析】分类讨论函数的单调性及极值点判断各个选项即可.【详解】，当时, ,A 选项正确；22||||4PA PB -=P ||||PA PB PA PB +=-P 4PA PB AB +==P AB 24PA PB AB -=<=P C (),P x y 22||||4PA PB -=2222(2)(2)4x y x y ++---=12x =||||PA PB PA PB +=- 0PA PB ⋅=P AB ()21e xy kx =+()2()1e xf x kx =+0k =()x f x e =，，时, 有两个根,且时,根据极值点判断，故C 选项正确,D 选项错误；当时, 有两个根,且此时,故B 选项正确.故选：ABC ．三、填空题13. 函数在区间上的最大值为________．【答案】【解析】【分析】利用导数求得的单调区间，由此求得在区间上的最大值.【详解】因为，当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减，所以当时，取得极大值也是最大值．故答案为：14. 写出经过坐标原点，且被圆截得的弦长为的直线的方程__________.【答案】或【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系及点到直线的距离公式、弦长公式计算即可.,()2()21e x f x kx kx '=++244001k k k ∆=-≤⇒≤≤()2()21e 0x f x kx kx '=+≥+()2()1e xf x kx =+1k >()2()21e 0xf x kx kx'=+=+12,x x 12121,2x x x x k=+=-120,0x x <<0k <()2()21e 0xf x kx kx '=+=+12x x <12121,2,x x x x k=+=-120,0x x <>()ln 2f x x x =-(0,e)1ln 12-()f x ()f x (0,e)112()2x f x x x-'=-=1(0,)2x ∈()0f x '>1(,e)2x ∈()0f x '<()f x 1(0,)21(,e)212x =()f x 11ln 122f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1ln12-22:(1)(2)4C x y -+-=l 0x =340x y -=【详解】由题意可知圆心，半径，显然横轴与圆相切，不妨设，由点到直线的距离公式可知C 到l 的距离为或，所以方程为：或.故答案为：或.15. 已知数列中且，则______.【答案】【解析】【分析】由构造法得到公比，再由基本量法得出等比数列的通项即可.【详解】因为，所以，又因为,所以，所以数列是以为首项，以4为公比的等比数列，所以，故答案为：.16. 一个圆锥的顶点和底面圆都在半径为2的球体表面上，当圆锥的体积最大时，其侧面积为______．【解析】【分析】设圆锥高为，底面半径为，推出，求出体积的表达式，利用导数判断单调性求解函数的最值，即可根据侧面积公式得到结果．【详解】设圆锥高为，底面半径为，则，，，，令得或（舍去），当时，，函数是增函数；当时，．函数是减函数，的()1,2C 2r =:l x ky =10d k =⇒=43k =l 0x =340x y -=0x =340x y -={}n a 15a =146n n a a +=+n a =1742n -⨯-146n n a a +=+()124842n n n a a a ++=+=+125270a +=+=≠1242n n a a ++=+{}2n a +711274742n n n n a a --+=⨯⇒=⨯-1742n n a -=⨯-h r 224r h h =-(04)h h <<r 2222(2)h r =-+224r h h ∴=-22231π4ππ(4)π3333V r h h h h h h ∴==-=-28ππ3V h h '∴=-0V '=83h =0h =803h <<0V '>V 843h <<0V '<V因此当，时函数取得极大值也最大值，此时圆锥体积最大．故侧面积为．四、解答题17. 已知函数.（1）若，求实数的值;（2）求函数的单调区间.【答案】（1）（2）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.【解析】【分析】（1）借助导数运算即可求解；（2）求导，判断导数符号，令导数大于0，求单调递增区间；令导数小于0，求单调递减区间.【小问1详解】，因为，所以.【小问2详解】函数的定义域为.，当时，恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，令解得，的解集为，的83h =r =ππ==()()ln R af x x a x=+∈()12f '=-a ()f x 30a ≤()f x ()0,∞+0a >()f x (),a +∞()0,a ()221a x af x x x x -'=-+=()11121af a -'==-=-3a =()f x ()0,∞+()221a x a f x x x x-'=-+=0a ≤()0f x ¢>()f x ()0,∞+0a >()0f x '=x a =()0f x ¢>{}|x x a >的解集为，所以的单调递增区间为，单调递减区间为.综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.18. 设正项数列前项和为，，，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）若，且数列的前项和，求的值.【答案】（1）（2）99【解析】【分析】（1）由等式，得到，证明了数列是等比数列，求出公比，写出数列的通项公式即可；（2）首先将数列的通项公式代入，求出数列的通项公式，裂项相消法求其前项和即可.【小问1详解】由，及，得，则，故正项数列为等比数列，由于，，则，则或（舍去）故公比，所以；【小问2详解】的()0f x '<{}|0x x a <<()f x (),a +∞()0,a 0a ≤()f x ()0,∞+0a >()f x (),a +∞()0,a {}n a n S 11a =34a =()112lg lg lg 2,*n n n a a a n n +-=+≥∈N {}n a ()211(log 1)n n b n a =++{}n b n 99100n T =n 1(*)2n n a n -=∈N ()11lg lg lg 2,*n n n a a a n n +-=+≥∈N 211n n n a a a -+={}n a {}n a {}n a ()211(log 1)n n b n a =++{}n bn ()112lg lg lg 2,*n n n a a a n n +-=+≥∈N 0n a >211lg lg()n n n a a a +-=211n n n a a a -+={}n a 11a =34a =22134a a a ==22a =22a =-21221a q a ===11122(*)n n n a n --=⨯=∈N由（1）得：，所以，又，得，解得.19. 如图，在四棱台中，底而为平行四边形，侧棱平面，，，.（1）证明：；（2）若四棱台，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出，再利用线面垂直判定与性质即可证明；（2）利用台体体积公式求出，再建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量法求出面面角余弦值即可.【小问1详解】底面为平行四边形，，.，，由余弦定理可得：，则，，侧棱平面，平面，，的()211(log 1)n n b n a =++()11n n =+111n n =-+1111111122311n T n n n =-+-++-=-++ 99100n T =19911100n -=+99n =1111ABCD A B C D -ABCD 1DD ⊥ABCD 114DA A B ==8AB =120ADC ∠=︒1BD A A ⊥1111ABCD A B C D -11ADD A 11BCC B DB =11DD =ABCD 120ADC ∠=︒ 60DAB ∴∠=︒4DA = 8AB =2222cos 6048DB AB AD AB AD =+-⨯︒=DB ∴=222DA DB AB +=DA DB ∴⊥1DD ⊥ABCD DB ⊂ABCD 1DD DB ∴⊥又平面，平面，且，平面，又平面，.【小问2详解】四棱台中，，.如图，以点为原点，，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图的空间直角坐标系，则，，，，，，设平面的法向量为，则有，所以平面的法向量为，设平面与平面所成锐二面角为，则DA ⊂ 11ADD A 1DD ⊂11ADD A 1DA DD D = DB ∴⊥11ADD A 1AA ⊂ 11ADD A 1DB AA ∴⊥1111ABCD A B C D -(111113ABCD A B C D V S S ∴=++(1111113DD AD DB A D D B =⋅⋅⋅+⋅+113DD =⋅⋅11DD =D DA DB 1DD x y z ()4,0,0A ()0,B ()4,C -()10,B ()4,0,0BC ∴=-()10,BB =- 11BCC B (),,n x y z =140n BC x n BB z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ (0,1,n = 11ADD A ()0,1,0m =11ADD A 11BCC B θcos cos ,m nm n m n θ⋅====20. 记函数的导函数为，的导函数为，设是的定义域的子集，若在区间上，则称在上是“凸函数”.已知函数.（1）若在上为“凸函数”，求的取值范围；（2）若，判断在区间上的零点个数.【答案】（1） （2）1个【解析】【分析】（1）根据“凸函数”定义对函数求导，由不等式在恒成立即可求得的取值范围；（2）易知，由导函数求得其在上的单调性，利用零点存在定理可知零点个数为1个.【小问1详解】由可得其定义域为，且，所以，若在上为“凸函数”可得在恒成立，当时，显然符合题意；当时，需满足，可得；综上可得的取值范围为；【小问2详解】若，可得，所以，令，则；易知在区间上恒成立，因此可得在上单调递减；显然，；()f x ()f x '()f x '()f x ''D ()f x D ()0f x ''≤()f x D ()2sin f x a x x =-()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦a 2a =()()1g x f x =+()0,π[)2,-+∞sin 20a x --≤π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦a ()21sin 2x x g x =-+()0,π()2sin f x a x x =-R ()cos 2f x a x x '=-()sin 2f x a x ''=--()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()sin 20f x a x ''=--≤π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦0a ≥a<0πsin202a --≤20a -≤<a [)2,-+∞2a =()21sin 2x x g x =-+()o 22c s x x g x =-'()o 22c s x x h x =-()22sin x h x '--=()02sin 2x h x '-=<-()0,π()()22cos x x h x g x '==-()0,πππππ2cos 026663g -⨯'⎛⎫==->⎪⎝⎭ππππ2cos 024442g -⨯'⎛⎫==-< ⎪⎝⎭根据零点存在定理可得存在使得，因此可知当时，，即在上为单调递增；当时，，即在上为单调递减；又，显然在上不存在零点；而，结合单调性可得在上存在一个零点；综上可知，在区间上仅有1个零点.21. 在直角坐标系中，设为抛物线的焦点，为上位于第一象限内一点．当时，的面积为1．（1）求的方程；（2）当时，如果直线与抛物线交于两点，直线的斜率满足． 证明：直线过定点．【答案】（1） （2）证明见详解【解析】【分析】（1）根据题意可得，设，代入抛物线方程求得，由，求得的值，得解；（2）由已知条件求出点的坐标为，设，，，与抛物线联立可得，，结合化简可得，进而即得.【小问1详解】由，所以，设，，则，可得，解得，所以抛物线的方程为.0ππ,64x ⎛⎫∈⎪⎝⎭()00002cos 2x g x x '-==()00,x x ∈()0g x '>()g x ()00,x ()0,πx x ∈()0g x '<()g x ()0,πx ()21sin 00210g -=+=()00,x ()g x ()22sin 0π2ππ11πg =+--<=()0,πx ()g x ()()1g x f x =+()0,πxOy F 2:2(0)C y px p =>M C 0MF OF ⋅=OFM △C 3MF OF ⋅=-l C ,A B ,MA MB 2⋅=-MA MB k k l 24y x =MF OF ⊥0,2p M y ⎛⎫⎪⎝⎭0y 1OFM S =△p M ()4,4:l x my t =+()11,A x y ()22,B x y 124y y m +=124y y t =-2⋅=-MA MB k k 46t m =+0MF OF ⋅=MF OF ⊥0,2p M y ⎛⎫⎪⎝⎭00y>0y p ==1122OFM pS p =⨯⨯=△2p =C 24y x =【小问2详解】如图，设，，则，，可得，解得，所以点的坐标为.由题意直线的斜率不为0，设，，，联立方程，消去整理得，则，，，因为，所以，即，整理得，将，代入上式得，整理得，满足，所以直线为，恒过定点.【点睛】关键点睛：第二问，由题意直线的斜率不为0，关键是设直线方程为，再与抛物线联立求解，这种设法有利于简化运算.22. 已知函数．2,4n M n ⎛⎫⎪⎝⎭0n >21,4n MF n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ()1,0OF =2134n -=-4n =M ()4,4l :l x my t =+()11,A x y ()22,B x y 24x my t y x=+⎧⎨=⎩x 2440y my t --=124y y m +=124y y t =-()2Δ160m t =+>2⋅=-MA MB k k 121244244y y x x --⨯=---1222124424444y y y y --⨯=---()1212424y y y y ++=-124y y m +=124y y t =-41624t m -+=-46t m =+0∆>l ()46x m y =++()6,4-l l x my t =+()e 2xf x ax =--（1）若在区间存在极值，求的取值范围；（2）若，，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）对分类讨论研究单调性后，结合极值的定义计算即可得；（2）设，原问题即为在时恒成立，多次求导后，对时及时分类讨论，结合零点的存在性定理与函数的单调性即可得解.【小问1详解】由，得，当时，，则单调递增，不存在极值，当时，令，则，若，则，单调递减；若，则，单调递增，所以是的极小值点，因为在区间存在极值，则，即，所以，在区间存在极值时，的取值范围是；【小问2详解】由在时恒成立，即在时恒成立，设，则在时恒成立，则，令，则，令，则，()f x ()0,1a ()0,x ∈+∞()sin cos f x x x x >--a ()1,e (],1-∞a ()()e cos sin 12xg x x x a x =++-+-()0g x >()0,x ∞∈+1a ≤1a >()e 2xf x ax =--()e xf x a '=-0a ≤()0f x '>()f x ()f x 0a >()0f x '=ln x a =ln x a <()0f x '<()f x ln x a >()0f x '>()f x ln x a =()f x ()f x ()0,10ln 1a <<1e a <<()f x ()0,1a ()1,e ()sin cos f x x x x >--()0,x ∞∈+()e cos sin 120xx x a x ++-+->()0,x ∞∈+()()e cos sin 12xg x x x a x =++-+-()0g x >()0,x ∞∈+()()e sin cos 1xg x x x a +'=--+()()()e sin cos 1xm x g x x x a '==-+-+()e cos sin xm x x x =-'-()()e cos sin xn x m x x x ==--'()e sin cos xn x x x =-'+时，，则，时，，则，所以时，，则即单调递增，所以，则即单调递增，所以，①当时，，故，，则单调递增，所以，所以在时恒成立，②当时，，，故在区间上函数存在零点，即，由于函数在上单调递增，则时，，故函数在区间上单调递减，所以，当时，函数，不合题意，综上所述，的取值范围为.【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于多次求导后，得到，从而通过对及进行分类讨论.()0,1x ∈e sin 1x x +>()e sin cos 0x n x x x =+->'[)1,x ∞∈+e e x ≥()0n x '>()0,x ∞∈+()0n x '>()n x ()m x '()()00m x m ''>=()m x ()g x '()()01g x g a ''>=-1a ≤()010g a ='-≥()0,x ∞∈+()0g x '>()g x ()()00g x g >=()sin cos f x x x x >--()0,x ∞∈+1a >()010g a ='-<()()()()ln 33sin ln 3cos ln 31g a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+-+'++-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦()2ln 304a π⎡⎤=+->⎢⎥⎣⎦()()0,ln 3a +()g x '0x ()00g x '=()g x '()0,∞+()00,x x ∈()()00g x g x ''<=()g x ()00,x ()00,x x ∈()()00g x g <=(],1-∞()()01g x g a ''>=-1a ≤1a >。

四川省广安市中心中学2014-2015学年高二（下）6月月考数学试卷（文科）一、单选题（每题5分，共12题）1．已知全集U=R，A={x|x≤﹣2}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．{x|﹣2＜x＜1} B．{x|x≤1}C．{x|﹣2≤x≤1} D．{x|x≥﹣2}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出A与B的并集，根据全集U=R，求出并集的补集即可．解答：解：∵A={x|x≤﹣2}，B={x|x≥1}，∴A∪B={x|x≤﹣2或x≥1}，∵全集U=R，∴∁U（A∪B）={x|﹣2＜x＜1}．故选：A．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．已知复数z=x+yi（x，y∈R），且有，是z的共轭复数，那么的值为（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：先由求出实数x、y的值，得到复数z，则可求，然后运用复数的除法运算可求得的值．解答：解：因为∴x+xi=2+2yi∴x=2y=2，∴x=2，y=1，∴z=2+i∴∴．故选B．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了两个复数相等的条件，复数相等当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，复数的除法采用分子分母同乘以分母的共轭复数，是基础题．3．函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（）A．（﹣，+∞）B．（﹣，1）C．（﹣，）D．（﹣∞，﹣）考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：依题意可知要使函数有意义需要1﹣x＞0且3x+1＞0，进而可求得x的范围．解答：解：要使函数有意义需，解得﹣＜x＜1．故选B．点评：本题主要考查了对数函数的定义域．属基础题．4．用反证法证明命题：“若整数系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠o）有有理根，那么 a，b，c中至少有一个是偶数”时，应假设（）A．a，b，c中至多一个是偶数 B． a，b，c中至少一个是奇数C．a，b，c中全是奇数D． a，b，c中恰有一个偶数考点：反证法与放缩法．专题：函数的性质及应用．分析：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，求得命题：“a，b，c中至少有一个是偶数”的否定，即可得到结论．解答：解：由于用反证法证明数学命题时，应先把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面．而命题：“a，b，c中至少有一个是偶数”的否定为：“a，b，c中全是奇数”，故选C．点评：本题主要考查用命题的否定，用反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于中档题．5．已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，x2＞0，则（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧（￢q）是真命题D．命题p∨（￢q）是假命题考点：全称命题；复合命题的真假．专题：常规题型．分析：先判断出命题p与q的真假，再由复合命题真假性的判断法则，即可得到正确结论．解答：解：由于x=10时，x﹣2=8，lgx=lg10=1，故命题p为真命题，令x=0，则x2=0，故命题q为假命题，依据复合命题真假性的判断法则，得到命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，￢q是真命题，进而得到命题p∧（￢q）是真命题，命题p∨（￢q）是真命题．故答案为C．点评：本题考查复合命题的真假，属于基础题．6．已知y=f（x）是定义在R上的函数，且f（1）=1，f′（x）＞1，则f（x）＞x的解集是（）A．（0，1）B．（﹣1，0）∪（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）考点：函数的单调性与导数的关系；其他不等式的解法．专题：计算题．分析：由f'（x）＞1，f（x）＞x可抽象出一个新函数g（x），利用新函数的性质（单调性）解决问题，即可得到答案．解答：解：设g（x）=f（x）﹣x，因为f（1）=1，f'（x）＞1，所以g（1）=f（1）﹣1=0，g′（x）=f′（x）﹣1＞0所以g（x）在R上是增函数，且g（1）=0．所以f（x）＞x的解集即是g（x）＞0的解集（1，+∞）．故选C．点评：解决此类问题的关键是灵活由于已知条件推倒出函数的有关性质，然后利用这些性质求解相关问题即可．7．设函数f（x）=ax3+3x，其图象在点（1，f（1））处的切线l与直线x﹣6y﹣7=0垂直，则直线l与坐标轴围成的三角形的面积为（）A． 1 B． 3 C．9 D．12考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出原函数的导函数，得到f′（1）=3a+3，由3a+3=﹣6求得a的值，代入原函数解析式，求出f（1），由直线方程的点斜式得到l的方程，求出其在两坐标轴上的截距，由三角形的面积公式得答案．解答：解：由f（x）=ax3+3x，得f′（x）=3ax2+3，f′（1）=3a+3．∵函数f（x）=ax3+3x在点（1，f（1））处的切线l与直线x﹣6y﹣7=0垂直，∴3a+3=﹣6，解得a=﹣3．∴f（x）=﹣3x3+3x，则f（1）=﹣3+3=0．∴切线方程为y=﹣6（x﹣1），即6x+y﹣6=0．取x=0，得y=6，取y=0，得x=1．∴直线l与坐标轴围成的三角形的面积为．故选：B．点评：本题考查了利用导数研究函数在某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．8．f（x）=是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（）A．（1，+∞）B．，则函数F（x）=1﹣2f（x+3）的值域是．考点：函数的值域．专题：计算题．分析：由函数f（x）的值域与f（x+3）相同，代入函数F（x）中，容易求得F（x）的值域．解答：解：∵1≤f（x）≤3，∴1≤f（x+3）≤3，∴﹣6≤﹣2f（x+3）≤﹣2，∴﹣5≤1﹣2f（x+3）≤﹣1，即F（x）的值域为．故答案为：点评：本题是抽象函数的值域问题，明白f（x）与f（x+3）的值域相同是关键，属于基础题．14．若函数y=log a（x2﹣ax+2）在区间（﹣∞，1]上为减函数，则a的取值范围是上增函数．最后取这两种情形的并集即可．解答：解：令g（x）=x2﹣ax+2（a＞0，且a≠1），①当a＞1时，g（x）在（﹣∞，1]上为减函数，∴∴2≤a＜3；②当0＜a＜1时，g（x）在（﹣∞，1]上为减函数，此时不成立．综上所述：2≤a＜3．故答案为：，满足0≤f（x）≤1，∴该函数在区间，满足﹣1≤f（x）≤1，∴该函数在区间，满足0≤f（x）≤1，∴该函数在区间．点评：本题考查了复合命题的真假，考查了集合之间的关系，是一道基础题．18．已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程6x﹣y+7=0．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=x2﹣9x+a+2与y=f（x）的图象有三个交点，求a的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．专题：导数的综合应用．分析：（1）由图象过点P（0，2）求出d的值，再代入求出导数，再由切线方程求出f（﹣1）、f′（﹣1），分别代入求出b和c的值；（2）将条件转化为=a有三个根，再转化为的图象与y=a图象有三个交点，再求出h（x）的导数、临界点、单调区间和极值，再求出a的范围即可．解答：解：（1）由f（x）的图象经过点P（0，2），得d=2．∴f′（x）=3x2+2bx+c，由在M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是6x﹣y+7=0，∴﹣6﹣f（﹣1）+7=0，得f（﹣1）=1，且f′（﹣1）=6．∴，即，解得b=c=﹣3．故所求的解析式是f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2．（2）∵函数g（x）与f（x）的图象有三个交点，∴方程x3﹣3x2﹣3x+2=x2﹣9x+a+2有三个根，即=a有三个根，令，则h（x）的图象与y=a图象有三个交点．接下来求h（x）的极大值与极小值，∴h′（x）=3x2﹣9x+6，令h′（x）=0，解得x=1或2，当x＜1或x＞2时，h′（x）＞0；当1＜x＜2时，h′（x）＜0，∴h（x）的增区间是（﹣∞，1），（2，+∞）；减区间是（1，2），∴h（x）的极大值为h（1）=，h（x）的极小值为h（2）=2因此2＜a＜．点评：本题导数的几何意义、切点坐标的应用，导数研究函数的性质：单调性和极值等，涉及了函数图象的交点与方程之间的转化问题，待定系数法求解析式．19．设函数（1）若函数f（x）在x=﹣1处取得极值﹣2，求a，b的值．（2）若函数f（x）在区间（﹣1，1）内单调递增，求b的取值范围．考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）对f（x）进行求导，根据已知条件函数f（x）在x=﹣1处取得极值﹣2，可得f′（﹣1）=0，和f（﹣1）=2，分别解出a，b的值；（2）需要对b进行讨论：b≤0和b＞0两种情况，利用导数研究函数的单调性，根据f′（x）＞0在区间（﹣1，1）内大于0，求出b的范围；解答：（1）∵函数函数f（x）在x=﹣1处取得极值﹣2，依题意：…（6分）（2），∵a＞0，∴当b≤0时f'（x）≤0，函数f（x）在（﹣1，1）内不可能增，舍去；当b＞0，时若时f'（x）＞0，f（x）递增，∴∴，故所求范围为上的最值；（2）若f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）求导数，确定函数f（x）在上的单调性，即可求函数f（x）在上的最值；（2）函数f（x）既有极大值，又有极小值，f′（x）==0在（0，+∞）内有两个不等实根，可得2x2﹣x+a=0在（0，+∞）内有两个不等实根，即可求实数a的取值范围；解答：解：（1）a=﹣6，f（x）=x2﹣x+alnx，∴f′（x）=，x＞0∴x∈，f′（x）≤0，x∈，f′（x）≥0，∴f（x）min=f（2）=2﹣6ln2，f（x）max=max{f（1），f（4）}，∵f（1）=0，f（4）=12﹣12ln2＞0，∴f（x）max=12﹣12ln2；（2）∵函数f（x）既有极大值，又有极小值，∴f′（x）==0在（0，+∞）内有两个不等实根，∴2x2﹣x+a=0在（0，+∞）内有两个不等实根，令g（x）=2x2﹣x+a，则，解得0＜a＜．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的极值与最值，考查不等式的证明，难度中等．21．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈，所以g（x）max=2 由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调性，掌握不等式恒成立时所满足的条件，是一道中档题．22．已知f（x）=．（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=x2﹣2x+k有实数解，求实数k的取值范围；（Ⅲ）当n∈N*，n≥2时，求证：nf（n）＜2+++…+．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求出f′（x）=﹣，从而得函数f（x）在区间（0，1）上为增函数；在区间（1，+∞）为减函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）的极大值为f（1）=1，令g（x）=x2﹣2x+k，得函数 g（x）取得最小值g（1）=k﹣1，由g（x）=x2﹣2x+k有实数解，k﹣1≤1，进而得实数k的取值范围．（Ⅲ）由f（1+）＜f（1）=1，得1+ln（1+）＜1+，从而lnn=ln2﹣ln1+ln3﹣ln2+…+lnn=ln （n﹣1）＜1+++…+，即1+lnn＜2+++…+，问题得以解决．解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=﹣，∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，f′x）＜0；∴函数f（x）在区间（0，1）上为增函数；在区间（1，+∞）为减函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）的极大值为f（1）=1，令g（x）=x2﹣2x+k，所以当x=1时，函数 g（x）取得最小值g（1）=k﹣1，又因为方程g（x）=x2﹣2x+k有实数解，那么k﹣1≤1，即k≤2，所以实数k的取值范围是：k≤2．（Ⅲ）∵函数f（x）在区间（1，+∞）为减函数，而1+＞1，（n∈N*，n≥2），∴f（1+）＜f（1）=1，∴1+ln（1+）＜1+，即ln（n+1）﹣lnn＜，∴lnn=ln2﹣ln1+ln3﹣ln2+…+lnn﹣ln（n﹣1）＜1+++…+，即1+lnn＜2+++…+，而n•f（n）=1+lnn，∴nf（n）＜2+++…+结论成立．点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，不等式的证明，是一道综合题．。

2023-2024学年四川省广安二中高二（下）第二次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列两个变量之间的关系是相关关系的是( )A. 正方形的边长a与对角线长lB. 球的体积v与表面积sC. 一个人的身高ℎ与学习成绩fD. 平均学习时间t与学习成绩f2.已知函数f(x)=1x3，则f′(3)=( )A. 13B. −13C. 19D. −193.(2x+1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a2+a4=( )A. 41B. 40C. −41D. −404.某校开展“迎奥运阳光体育”活动，共设踢毽、跳绳、拔河、推火车、多人多足五个集体比赛项目，各比赛项目逐一进行.为了增强比赛的趣味性，在安排比赛顺序时，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，则不同的安排方案种数为( )A. 3B. 18C. 21D. 245.已知f(x)=14x2+cosx−1,f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的大致图象是( )A. B.C. D.6.已知生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，且该家庭有女孩，则三个小孩都是女孩的概率为( )A. 18B. 17C. 16D. 147.设随机变量ξ的分布列如下：ξ12345 P a1a2a3a4a5则下列说法中不正确的是( )A. P(ξ≤2)=1−P(ξ≥3)B. 当a n =12n (n =1,2,3,4)时，a 5=124C. 若{a n }为等差数列，则a 3=15D. {a n }的通项公式可能为a n =1n(n +1)8.已知f(x)是定义在(0,+∞)上的函数，且f(1)=1，导函数f′(x)满足f′(x)>f(x)恒成立，则不等式f(x)<e x−1的解集为( )A. (1,+∞)B. [0,12]C. [12,1]D. (0,1)二、多选题：本题共3小题，共18分。

2023-2024学年四川省广安市高二上册第三次月考数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线l 过()1,1A -、()1,3B -两点,则直线l 的倾斜角的大小为（）A.不存在B.π3 C.π2 D.3π4【正确答案】C【分析】根据两点,求出l 的直线方程,进而可求倾斜角大小.【详解】解:由题知直线l 过()1,1A -、()1,3B -两点,所以直线l 的方程为=1x -,故倾斜角为π2.故选:C2.在空间直角坐标系中，已知点()()4,3,5,2,1,7A B ---，则线段AB 的中点坐标是（）A.()2,2,2-- B.()1,1,1--C.()1,1,1 D.()2,2,2【正确答案】B【分析】利用中点坐标公式即可求解.【详解】在空间直角坐标系中，点()4,3,5-A ，()2,1,7--B ，则线段AB 的中点坐标是243157,,222---⎛⎫⎪⎝⎭，即()1,11--.故选：B.3.已知数据12,,,n x x x 是某市*(3,)n n n N ≥∈个普通职工的年收入，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（）A.年收入的平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变；B.年收入的平均数增加，中位数可能不变，方差变大；C.年收入的平均数增加，中位数可能不变，方差也不变；D.年收入的平均数增加，中位数一定变大，方差可能不变.【正确答案】B【分析】根据平均数的意义，中位数的定义，及方差的意义，分析由于加入x n+1后，数据的变化特征，易得年收入平均数会增大，中位数可能不变，方差会变大．【详解】因为数据x1，x2，x3，…，x n是普通职工n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，而x n+1为世界首富的年收入则x n+1会远大于x1，x2，x3，…，x n，故这n+1个数据中，年收入平均数增大，中位数可能不变，也可能稍微变大，由于数据的集中程度也受到x n+1比较大的影响，而更加离散，则方差变大.故选：B．4.如图是一个程序框图，若输入的a，b分别为8，4，则输出的n等于（）A.2B.3C.4D.5【正确答案】B【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【详解】8,4a b ==，当1n =时，8412,8a b =+==；当2n =时，12618,16a b =+==；当3n =时，18927,32a b =+==，此时a b <，满足条件，所以输出的n 等于3，故选：B.5.与圆22:(2)(2)1C x y ++-=关于直线10x y -+=对称的圆的方程为（）A.22(1)(1)1x y -++=B.22(1)(1)1x y +++=C.22(1)(1)1x y -+-=D.22(1)(1)1x y ++-=【正确答案】A【分析】设所求圆的圆心坐标为(,)a b ，列出方程组，求得圆心(2,2)C -关于10x y -+=的对称点，即可求解所求圆的方程.【详解】由题意，圆22:(2)(2)1C x y ++-=的圆心坐标(2,2)C -，设所求圆的圆心坐标为(,)a b ，则圆心(2,2)C -关于10x y -+=的对称点，满足2112221022b a a b -⎧⋅=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得1,1a b ==-，即所求圆的圆心坐标为(1,1)C '-，且半径与圆C 相等，所以所求圆的方程为22(1)(1)1x y -++=，故选A.本题主要考查了圆的方程的求解，其中解答中熟记圆的方程，以及准确求解点关于直线的对称点的坐标是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.已知两个变量x 和y 之间存在线性相关关系，某兴趣小组收集了一组x ，y 的样本数据如下表所示：x12345y0.50.611.41.5根据表中数据利用最小二乘法得到的回归方程是（）A.0.210.53y x =+B.0.250.21y x =+C.0.280.16y x =+D.0.310.11y x =+【正确答案】C【分析】求出x ，y ，由回归直线必过样本中心，将点x y 依次代入各项检验是否成立可得结果.【详解】∵1(12345)35x =⨯++++=，1(0.50.61 1.4 1.5)15y =⨯++++=∴回归直线必过样本中心（3,1），而A 、B 、D 项中的回归直线方程不过点（3,1），C 项的回归直线方程过点（3,1），故选：C.7.在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为（）A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线【正确答案】A【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.【详解】设()20AB a a =>，以AB 中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则：()(),0,,0A a B a -，设(),C x y ，可得：()(),,,AC x a y BC x a y →→=+=-，从而：()()2AC BC x a x a y →→⋅=+-+，结合题意可得：()()21x a x a y +-+=，整理可得：2221x y a +=+，即点C 的轨迹是以AB 中点为圆心，为半径的圆.故选：A.本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.下列叙述中正确的是（）.A.若a 、b 、R c ∈，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”B.集合{}20,x ax bx c x R ++=∈的元素个数有两种可能性C.陈述句“1x =或2y >”的否定是“1x ≠且2y ≤”D.若a 、b 、R c ∈，则“不等式20ax bx c ++≥对一切实数x 都成立”的充分条件是“240b ac -≤”【正确答案】C【分析】利用充分条件、必要条件的定义可判断A 选项的正误；利用方程根的个数可判断B 选项的正误；利用陈述句的否定可判断C 选项的正误；取1a =-，2b =-，3c =-可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，充分性：若22ab cb >，则20b >，由不等式的性质可得a c >，必要性成立，必要性：若a c >且0b =，则22ab cb =，充分性不成立.所以，“22ab cb >”的充要条件为“a c >”错误，A 错；对于B 选项，若0a ≠，方程20ax bx c ++=的根的个数可能为0、1、2，若0a =，方程0bx c +=的根的个数可能为0、1，故集合{}20,x ax bx c x R ++=∈的元素个数有三种可能性，B 错；对于C 选项，陈述句“1x =或2y >”的否定是“1x ≠且2y ≤”，C 对；对于D 选项，若240b ac -≤，不妨取1a =-，2b =-，3c =-，则()22223140ax bx c x x x ++=---=-+-<对一切实数x 恒成立，D 错.故选：C.9.设1F 、2F 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF ∆是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为A.12B.23C.34D.45【正确答案】C【详解】试题分析：如下图所示，21F PF ∆是底角为30 的等腰三角形，则有1221221,30F F PF PF F F PF =∠=∠=所以2260,30PF A F PA ∠=∠=，所以22322322PF AF a c a c ⎛⎫==-=-⎪⎝⎭又因为122F F c =，所以，232c a c =-，所以34c e a ==所以答案选C.考点：椭圆的简单几何性质.10.已知O 为坐标原点，1,F 2F 分别是双曲线22143x y -=的左、右焦点，点P 为双曲线左支上任一点（不同于双曲线的顶点）．在线段2PF 上取一点Q ，使1PQ PF =，作12F PF ∠的平分线，交线段1FQ 于点M ，则||OM =（）A.12B.2C.4D.1【正确答案】B【分析】由等腰三角形三线合一可知点M 为1FQ 的中点，利用双曲线的定理可知2QF ，再在12QF F 中，由中位线定理可知212OM QF =，即可求得答案.【详解】在双曲线22143x y -=中，2a =因为1PQ PF =，作12F PF ∠的平分线，交线段1FQ 于点M ，由等腰三角形三线合一可知点M 为1FQ 的中点因为点P 为双曲线左支上一点，所以212PF PF a -=，即2224PF PQ QF a -===又因为点O 为12F F 的中点，那么在12QF F 中，由中位线定理可知2122OM QF ==故选：B本题考查双曲线的焦点三角形问题，多利用双曲线定义构建方程求得长度，属于较难题.11.在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，在边CD 上随机取一点P ，则使APB △的最大边是AB 的概率是（）A.44B.4C.8D.722-【正确答案】D【分析】由对称性知当4BE AF AB ===时，E 、F 是P 的临界位置，再根据几何概型的公式计算即可．【详解】解：由图形的对称性和题意知，当4BE AF ==，即(4244EF =-=，点P 应在E ，F 之间时，APB △的最大边是AB ．由几何概型可知，在边CD 上随机取一点P ，则使APB △的最大边是AB 的概率为22EF p CD -==，故选：D ．12.设拋物线2:2(0)C y px p =>的焦点是F ，直线l 与抛物线C 相交于,P Q 两点，且2π3PFQ ∠=，线段PQ 的中点A 到拋物线C 的准线的距离为d ，则2PQ d ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最小值为（）A.B.33C.3D.13【正确答案】C【分析】设出线段,FP FQ 的长度，用余弦定理求得PQ 的长度，利用抛物线的定义以及梯形的中位线长度的计算，从而2PQ d ⎛⎫⎪⎝⎭转化为,m n 的关系式，再结合不等式即可求得其最小值.【详解】设PF m =，QF n =，过点P ，Q 分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为P '，Q '，如下所示：则PP m '=，QQ n '=，因为点A 为线段PQ 的中点，根据梯形中位线定理可得，点A 到抛物线C 的准线的距离为22PP QQ m nd '++='=，因为2π3PFQ ∠=，所以在PFQ △中，由余弦定理得222222π2cos 3PQ m n mn m n mn =+-=++，所以()()()()()2222222224441m n mn m n mn PQ PQ mn d d m n m n m n ⎡⎤+-⎡⎤+⎥=+⎛⎫⎣⎦===-⎢⎥ ⎪+++⎢⎝⎭⎣⎦，又因为()24m n mn +≥，所以()214mnm n ≤+，当且仅当m n =时，等号成立，（,m n 显然存在），所以214134PQ d ⎛⎫⎛⎫≥-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2PQ d ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最小值为3.故选：C.关键点睛：本题考查抛物线中的最值问题，处理问题的关键是充分利用抛物线的定义，还要注意到不等式的应用。

四川省广安市友谊中学实验学校高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列命题正确的个数是（）（1）命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题为：“若方程x2+x﹣m=0无实根，则m≤0”（2）对于命题p：“?x∈R，使得x2+x+1＜0”，则?p：“?x∈R，均有x2+x+1≥0”（3）“x≠1”是“x2﹣3x+2≠0”的充分不必要条件（4）若p∧q为假命题，则p，q均为假命题．A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：C【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】（1）根据逆否命题的定义进行判断，（2）根据含有量词的命题的否定进行判断，（3）根据充分条件和必要条件的定义进行判断，（4）根据复合命题真假关系进行判断．【解答】解：（1）命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题为：“若方程x2+x﹣m=0无实根，则m≤0”，正确，（2）对于命题p：“?x∈R，使得x2+x+1＜0”，则￢p：“?x∈R，均有x2+x+1≥0”，正确，（3）由x2﹣3x+2≠0得x≠1且x≠2，则必要性成立，当x=2时，满足x≠1，但x2﹣3x+2=0，即充分性不成立，即“x≠1”是“x2﹣3x+2≠0”的必要不充分条件，故（3）错误，（4）若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题．故（4）错误，故选：C2. 下列命题中正确的是 ( )A．当 B．当，C．当，的最小值为 D．当无最大值参考答案：B3. 如图所示，图中有5组数据，去掉组数据后（填字母代号），剩下的4组数据的线性相关性最大（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：A略4. 若命题“存在，使”是假命题，则实数m的取值范围是( )A. (-∞，-1)B. (-∞,2)C. [-1,1]D. (-∞,0)参考答案：C【分析】根据命题真假列出不等式，解得结果。

四川省广安友谊中学2022-2023学年高二下学期5月月考文
科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、填空题
13．已知平面向量()()()1,2,2,1,2,a b c t ==-=r r r
，若()
a b c +⊥r r r ，则t =__________.
14．某研究所收集、整理数据后得到如下列表：
三、解答题
17．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且23439a a a ++=，54323a a a =+. (1)求{}n a 的通项公式；
(2)数列{}n b 满足n n b n a =+，求{}n b 的前n 项和n T .
18．经调查某市三个地区存在严重的环境污染，严重影响本地区人员的生活．相关部门立即要求务必加强环境治理，通过三个地区所有人员的努力，在一年后，环境污染问题得到了明显改善．为了解市民对城市环保的满意程度，开展了一次问卷调查，并对三个地区进行分层抽样，共抽取40名市民进行询问打分，将最终得分按
[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90]分段，并得到如图所示的频率分布直方图．。

2024-2025学年广安市二中高二数学上学期第一次月考试卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第一部分（选择题共58分）一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知复数()i 17i z =-，则z =（）A.7i -+B.7i-- C.7i+ D.7i-【答案】D 【解析】【分析】根据复数乘法运算和共轭复数概念可得.【详解】因为()i 17i 7i z =-=+，所以7i z =-.故选：D 2.直线3:13l y x =-的倾斜角为（）A.30oB.60oC.120D.150【答案】A 【解析】【分析】由题意可知直线的斜率，根据直线的斜率求解倾斜角即可.【详解】设直线l 的倾斜角为θ，0180θ≤< ，由题意可知，直线l 的斜率为3，所以tan 3θ=，即30θ= .故选：A .3.孝感市某高中有学生1200人，其中高一年级有学生400人，高二年级有学生600人，现采用分层随机抽样的方法抽取120人进行问卷调查，则被抽到的高二年级学生人数比高一年级学生人数多（）A .20B.30C.40D.50【答案】A 【解析】【分析】根据题意先求抽样比，进而求高一，高二被抽到的学生生人数即可求解.【详解】抽样比等于1201120010=，于是，高一被抽到的学生人数为14004010⨯=，高二被抽到的学生人数为16006010⨯=，所以高二年级学生人数比高一年级学生人数多604020-=.故选：A.4.已知直线l 的一个方向向量()2,1,3m =-，且直线l 过点()0,,3A a 和()1,2,B b -两点，则a b +=（）A.0B.1C.32D.3【答案】D 【解析】【分析】首先求出AB，依题意//AB m ，则AB m λ= ，根据空间向量共线的坐标表示计算可得.【详解】因为直线l 过点()0,,3A a 和()1,2,B b -两点，所以()1,2,3AB a b =---，又直线l 的一个方向向量()2,1,3m =- ，所以//AB m ，所以AB m λ=，所以()()1,2,32,,3a b λλλ---=-，所以21233a b λλλ=-⎧⎪-=-⎨⎪=-⎩，解得123232a b λ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以3a b +=.故选：D5.空间内有三点()()()3,1,4,2,1,1,1,2,2P E F -，则点P 到直线EF 的距离为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】求出()1,1,1EF =-，得到直线EF 的一个单位方向向量，利用点到直线距离公式得到答案.【详解】因为()1,1,1EF =- ，所以直线EF 的一个单位方向向量为()1,1,13u =- ．因为()1,0,5PE =- ，所以点P 到直线EF =．故选：A6.在ABC V 中，60,2BAC BC AB ∠=︒==，且有12AM AB =，则线段CM 的长为（）A.2B.2C.D.1【答案】D 【解析】【分析】先由余弦定理求出1AC =，可得ABC V 为直角三角形，由12AM AB = 可得M 为AB 的中点，进而由斜边上的中线等于斜边一半可得CM 的长.【详解】在ABC V 中，由余弦定理可得2222cos BC AC AB AB AC BAC =+-⋅∠，则2214222AC AC =+-⨯⨯，即2210AC AC -+=，解得1AC =.则由22212+=即222AB AC BC =+，可得CA CB ⊥，又12AM AB =，可知M 是AB 的中点，故CM 即为斜边AB 上的中线，则112CM AB ==.故选：D.7.已知直线l 的倾斜角为α，并且0120α≤<︒︒，直线l 的斜率k 的范围是（）A.0k <≤B.k >C.0k ≥或k <D.0k ≥或3k <-【答案】C【解析】【分析】根据倾斜角与斜率的关系可求得斜率的取值范围.【详解】因为斜率tan k α=，且0120α≤<︒︒，其中90α=︒时直线l 无斜率，当090α︒≤<︒时，得0k ≥；当90120α︒<<︒时，得k <；故选：C.8.已知四棱锥16,3A BCDE V CD -==，4BC =，CE 平分BCD ∠，点P 在AC 上且满足3AC AP =，则三棱锥A DEP -的体积为（）A.87B.167C.85D.165【答案】B 【解析】【分析】根据题意，设点A 到平面BCDE 的距离为d ，P 到平面ADE 的距离为h ，则有()111633A BCDE BCE CDE BCDE V d S d S S -=⨯=⨯+= 四边形，利用三角形面积公式可得A CDE V -，又由点P 在AC 上且满足3AC AP =，可得P 到平面AED 的距离，结合三棱锥体积公式计算可得答案．【详解】根据题意，设点A 到平面BCDE 的距离为d ，P 到平面ADE 的距离为h ，则有()111633A BCDE BCE CDE BCDE V d S S S -=⨯=⨯+= 四边形，而1sin 2BCE S BC CE BCE =⨯⨯⨯∠ ，1sin 2CDE S CD CE DCE =⨯⨯⨯∠ ，又由3CD =，4BC =，CE 平分BCD ∠，则43BCE CDE S S =，则13134837377A CDE CDE A BCDE BCDE V d S d S V --⎛⎫=⨯=⨯⨯=⨯= ⎪⎝⎭ 四边形；故487C ADE A CDE V V --==，而13C ADE ADE V h S -=⨯ ，则有14837ADE h S ⨯= ，又由点P 在AC 上且满足3AC AP =，故P 到平面AED 的距离为3h，则有11637P ADE C ADE V V --==，故11637A DEP P ADE C ADE V V V ---===．故选：B ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（）A.任意一条直线都有倾斜角B.直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大C.若一条直线的倾斜角为α，则该直线的斜率为tan αD.斜率相等的两直线平行【答案】BCD 【解析】【分析】根据直线的倾斜角和斜率的定义一一判断即可.【详解】任何一条直线都存在倾斜角，A 正确；钝角大于锐角，但是钝角对应的斜率小于锐角对应的斜率，B 错误；若一条直线的倾斜角90α= ，则斜率不存在，C 错误；斜率相等的两条直线可能是重合或平行，D 错误；故选:BCD.10.已知甲､乙两位同学在高一年级六次考试中的数学成绩的统计如图所示，下列说法正确的是（）A.若甲､乙两组数据的平均数分别为12,x x ，则12x x >B.若甲､乙两组数据的方差分别为2212,s s ，则2212s s >C.甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数D.甲成绩的极差小于乙成绩的极差【答案】ACD 【解析】【分析】对四个选项一一判断：根据散点图直接判断选项A 、B 、D ；分析甲、乙的中位数特点，即可判断C.【详解】由散点图的点的分布可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学,其他次考试成绩都高于乙同学,所以12x x >，故选项A 正确；由散点图点的分步变化趋势可知,甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定,由方差的意义可得2212s s <.故选项B错误；因为统计了6次数学成绩，故将一组数据从小到大排序后，第三个和第四个数据的平均数为该组数据的中位数，由散点图知，甲同学成绩排序后的第三次和第四次成绩均在90以上，而乙同学成绩排序后的第三次和第四次成绩均在90以下，故甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数.故选项C 正确；因为极差为数据样本的最大值与最小值的差,所以甲同学成绩的极差小于乙同学成绩的极差,故选项D 正确.故选：ACD.11.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，动点P 在体对角线1BD 上（含端点），则下列结论正确的有（）A.当P 为1BD 中点时，APC ∠为锐角B.存在点P ，使得1BD ⊥平面APCC.AP PC +的最小值3D.顶点B 到平面APC的最大距离为6【答案】ABC 【解析】【分析】依题意建立空间直角坐标系，设()101BP BD λλ=≤≤，当P 为1BD 中点时，根据cos PA PC APC PA PC ⋅∠=⋅ 判断cos APC ∠得符号即可判断A ；当1BD ⊥平面APC ，则有110BD AP BD CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，从而求出λ可判断B ；当11,BD AP BD CP ⊥⊥时，AP PC +取得最小值，结合B 即可判断C ；利用向量法求出点B 到平面APC 的距离，分析即可判断D.【详解】如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，则()()()()11,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,2A B C D ，设()101BP BD λλ=≤≤，则()11,1,2BD =-- ，故()1,,2BP BD λλλλ==--，则()()()0,1,0,,2,1,2AP AB BP λλλλλλ=+=+--=--，()()()1,0,0,,21,,2CP CB BP λλλλλλ=+=+--=--，对于A ，当P 为1BD 中点时，12λ=，则11,,122AP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，11,,122CP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，则11,,122PA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，11,,122PC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以1cos 03PA PC APC PA PC⋅∠==>⋅ ，所以APC ∠为锐角，故A 正确；当1BD ⊥平面APC ，因为,AP CP ⊂平面APC ，所以11,BD AP BD CP ⊥⊥，则11140140BD AP BD CP λλλλλλ⎧⋅=+-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，解得16λ=，故存在点P ，使得1BD ⊥平面APC ，故B 正确；对于C ，当11,BD AP BD CP ⊥⊥时，AP PC +取得最小值，由B 得，此时16λ=，则151,,663AP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，511,,663CP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以6AP CP == ，即AP PC +的最小值为303，故C 正确；对于D ，()()0,1,0,1,1,0AB AC =- ，(),1,2AP λλλ=--，设平面APC 的法向量(),,n x y z =，则()0120n AC x y n AP x y z λλλ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+-+=⎪⎩ ，可取()2,2,21n λλλ=- ，则点B 到平面APC的距离为AB n n ⋅= 当0λ=时，点B 到平面APC 的距离为0，当01λ<≤2==，当且仅当12λ=时，取等号，所以点B 到平面APC的最大距离为2，故D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是建立空间直角坐标系，求得(),1,2AP λλλ=--，()1,,2CP λλλ=--，从而利用空间向量法逐一分析判断各选项即可.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共三小题，每小题5分，共15分.12.已知向量(2,,4),(1,4,2)a m b =-=- ，且a b ⊥ ，则实数m =______.【答案】52##2.5【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示可直接构造方程求得结果.【详解】因为a b ⊥ ，所以·2480a b m =-+-= ，解得52m =.故答案为：52.13.已知,,,A B C D 四点共面且任意三点不共线，平面ABCD 外一点P ，满足2(,PD AB PB PC μλλμ=++ 均大于0)，则11λμ+的最小值________.【答案】4【解析】【分析】根据向量的线性表示，结合共面的性质，可得1μλ+=，即可利用基本不等式求解.【详解】由2PD AB PB PC μλ=++可得()()222PD PB PA PB PC PA PB PC μλμλ=-++=-+++ ,,,,A B C D 四点共面且任意三点不共线，所以221μλ-+++=，故1μλ+=，由于,λμ均为正数，所以()11224μλμλλμλμ⎛⎫++=++≥+⎪⎝⎭，当且仅当μλλμ=，即12μλ==等号成立，故答案为：414.如图，在四面体ABCD 中，ABD △与BCD △均是边长为的等边三角形，二面角A BD C --的大小为90︒，则四面体ABCD 的外接球表面积为______.【答案】20π【解析】【分析】设1O 为BCD △的中心，O 为四面体ABCD 的外接球的球心，过O 作OG AM ⊥，然后在Rt AGO △中，由222GA GO OA +=求出外接球的半径，再由球的表面积公式计算可得.【详解】如图所示：设1O 为BCD △的中心，O 为四面体ABCD 的外接球的球心，则1OO ⊥平面BDC ．因为二面角A BD C --的大小为90︒，即平面ABD ⊥平面BCD ，设M 为线段BD 的中点，外接球的半径为R ，连接,,AM CM OA ，过O 作OG AM ⊥于点G ，易知G 为ABD △的中心，则11OO OG MO MG ===，因为3332MA =⨯=，故1313MG OG ==⨯=，2GA =，在Rt AGO △中，222GA GO OA +=，故22212R +=，则5R =所以外接球的表面积为24π20πS R ==，故答案为：20π.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.111ππ1,2,23AB AD AA BAD BAA DAA ===∠=∠=∠=．（1）用向量1,,AB AD AA 表示向量1BD ，并求1BD；（2）求1cos ,BD AC ．【答案】（1）11BD AD AA AB =+-（2）3【解析】【分析】（1）借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得；（2）结合题意，借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得.【小问1详解】111A BD D AB AD AA AB =-=+-，则2222211111()222BD AD AA AB AD AA AB AD AA AD AB AB AA =+-=+++⋅-⋅-⋅111412120221622=+++⨯⨯⨯--⨯⨯⨯=，所以1BD =【小问2详解】由空间向量的运算法则，可得AC AB AD =+ ，因为11,2AB AD AA ===且11ππ,23BAD BAA DAA ∠=∠=∠=，所以AC====，11()()BD AC AD AA AB AB AD⋅=+-⋅+2211AD AB AD AA AB AA AD AB AD AB=⋅++⋅+⋅--⋅22ππππ11cos121cos21cos111cos22332=⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯--⨯⨯=，则1113cos,3BD ACBD ACBD AC⋅==⋅.16.已知(1,2),(5,0),(3,4)A B C.（1）若,,,A B C D四点可以构成平行四边形，求点D的坐标；（2）在（1）的条件下若点D在第四象限的情况下，判断,,,A B C D构成的平行四边形是否为菱形.【答案】（1）(1,6)-或(7,2)或(3,2)-（2）不是菱形【解析】【分析】（1）分四边形ABCD、ABDC、ACBD是平行四边形三种情况讨论，分别利用对边的斜率相等求解即可；（2）分别验证对角线是否垂直，即对角线斜率乘积是否为1-即可.【小问1详解】由题意得021512ABk-==--，42131ACk-==-，40235BCk-==--，设(),D a b，若四边形ABCD是平行四边形，则CD ABk k=，AD BCk k=，即4132221baba-⎧=-⎪⎪-⎨-⎪=-⎪-⎩，解得16ab=-⎧⎨=⎩，即()1,6D-.若四边形ABDC是平行四边形，则CD ABk k=，BD ACk k=，即4122015b a b a -⎧=-⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，解得72a b =⎧⎨=⎩，即()7,2D .若四边形ACBD 是平行四边形，则BD AC k k =，AD BC k k =，即015221b a b a -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=-⎪-⎩，解得32a b =⎧⎨=-⎩，即()3,2D -.综上所述，点D 的坐标为()1,6-或()7,2或()3,2-.【小问2详解】若D 的坐标为()3,2-，因为12AB k =-，直线CD 的斜率不存在，所以平行四边形ACBD 不是菱形.17.四棱锥M CDEF -中，平面MCD ⊥平面CDEF ，//DE CF ，24DE CF ==，CF EF CD ==，MCD △是正三角形，点N 是ME的中点．（1）求证：//FN 平面MCD ；（2）求点D 到平面MCE 的距离．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）记点H 是MD 的中点，连接,HN CH ，利用线线平行证明线面平行；（2）连接CE ，过点C 作CP DE ⊥于点P ，可证平面MCD ⊥平面MCE ，作DQ CM ⊥于点Q ，点Q 到平面MCE 的距离为DQ .【小问1详解】证明：记点H 是MD 的中点，连接,HN CH ，点N 是ME 的中点，∴//NH DE ，且12NH DE =，//CF DE ，且12CF DE =，∴//NH CF ，且NH CF =，∴四边形CFNH 为平行四边形，∴//CH FN ，CH ⊂平面,MCD FN ⊄平面MCD ，∴//FN 平面MCD ．【小问2详解】解：连接CE ，过点C 作CP DE ⊥于点P ，由题知，11()(42)122DP DE CF =-=⨯-=，∴3CDP π∠=，∴CE ===，∴222CD CE DE +=，∴CE CD ⊥，∴平面MCD ⊥平面CDEF ，平面MCD 平面CDEF CD =，∴CE ⊥平面MCD ，又CE ⊂平面CME ，∴平面MCD ⊥平面MCE ，作DQ CM ⊥于点Q ，又平面MCD 平面MCE CM =，则DQ ⊥平面MCE ，即点Q 到平面MCE 的距离为DQ ．由MCD △是正三角形，且2CD =得3DQ =∴点D 到平面MCE 318.某高校承办了成都世乒赛志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.（1）求,a b 的值；（2）估计这100名候选者面试成绩的众数､平均数和60%分位数（分位数精确到0.1）；（3）在第四､第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.【答案】（1）0.005a =，0.025b =（2）众数为70，平均数为69.5，60%分位数为71.7（3）25【解析】【分析】（1）由第三､四､五组的频率之和为0.7，所有组频率之和为1，列方程求,a b 的值；（2）由频率分布直方图中众数､平均数和百分位数的定义公式计算；（3）根据分层抽样确定的人数，解决古典概型概率问题.【小问1详解】因为第三､四､五组的频率之和为0.7，所以()0.0450.020100.7a ++⨯=，解得0.005a =，所以前两组的频率之和为10.70.3-=，即()100.3a b +⨯=，所以0.025b =.【小问2详解】众数为70,平均数为500.05600.25700.45800.2900.0569.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，所以60%分位数在第三组，且为0.60.3651071.70.45-+⨯≈.【小问3详解】第四､第五两组志愿者分别有20人，5人，采用分层抽样的方法从中抽取5人，则第四组抽4人，记为a b c d ,,,，第五组抽1人，记为A ，则从这5人中选出2人，有()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a A b c b d b A c d c A d A 共10种结果，两人来自不同组有()()()(),,,,,,,a A b A c A d A 共4种结果，所以两人来自不同组的概率为42105P ==.19.在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3BC =，6AC =，,D E 分别是,AC AB 上的点，满足DE BC ∥且DE 经过ABC V 的重心，将ADE V 沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A C CD ⊥，M 是1A D 的中点，如图所示.（1）求证：1A C ⊥平面BCDE ；（2）求CM 与平面1A BE 所成角的大小；（3）在线段1AC 上是否存在点N ，使平面CBM 与平面BMN 成角余弦值为34？若存在，求出CN 的长度；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）π4（3或【解析】【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系；（2）以CD 为x 轴，CB 为y 轴，1CA 为z 轴，建立空间直角坐标系.用向量法求CM 与平面1A BE 所成角的大小；（3）假设存在点N ，使平面CBM 与平面BMN 成角余弦值为34，设1CN CA λ= ，分别求解两平面的法向量，用λ表示余弦值解方程可得.【小问1详解】因为在Rt ABC △中，90C ∠=︒，DE BC ∥，且BC CD ⊥，所以DE CD ⊥，DE AD ⊥，则折叠后，1DE A D ⊥，又11,,A D CD D A D CD =⊂ 平面1A CD ，所以DE ⊥平面1A CD ，1A C ⊂平面1A CD ，所以1DE A C ⊥，又已知1A C CD ⊥，CD DE D = 且都在面BCDE 内，所以1A C ⊥平面BCDE ；【小问2详解】由（1），以CD 为x 轴，CB 为y 轴，1CA 为z 轴，建立空间直角坐标系-C xyz .因为2AD CD =，故223DE BC ==，由几何关系可知，2CD =，14A D =，1AC =，故()0,0,0C ，()2,0,0D ，()2,2,0E ，()0,3,0B，(10,0,A，(M，(CM =，(10,3,A B =-，(12,2,A E =- ，设平面1A BE 的法向量为(),,n x y z =r ，则1100n A B n A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即30220y x y ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，不妨令2y =，则z =，1x =，(1,n = .设CM 与平面1A BE 所成角的大小为θ，则有sin cos ,2CM n CM n CM n θ⋅===，设θ为CM 与平面1A BE 所成角，故π4θ=，即CM 与平面1A BE 所成角的大小为π4；【小问3详解】假设在线段1AC 上存在点N ，使平面CBM 与平面BMN成角余弦值为4.在空间直角坐标系中，(1,BM =-，CM =，1(0,0,CA =，设1CN CA λ=，则(0,0,)CN =，(0,3,0)(0,0,)(0,3,)BN BC CN =+=-+=-，设平面BMN 的法向量为()2222,,n x y z = ，则有2200n BM n BN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222223030x y y z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，不妨令2z =，则22y λ=，263x λ=-，所以(263,2n λλ=-，设平面CBM 的法向量为()3333,,n x y z = ，则有3300n BM n CM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3333330x y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，不妨令3z =，则33x =-，30=y，所以(3n =-，若平面CBM 与平面BMN成角余弦值为4.则满足232323cos,4n nn nn n⋅==，化简得22310λλ-+=，解得1λ=或12，即1CN CA=或112CN CA=，故在线段1AC上存在这样的点N，使平面CBM与平面BMN 成角余弦值为34.此时CN的长度为或。