01+绪论

第一章 数学建模概论§1.1数学与数学模型数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学.数和形是数学研究的最基本的对象，自然界无不可以用数和形以及它们的发展和变化形态及规律加以描述的，因此，数学是无时不在、无处不在的。

不回顾数学历史的辉煌，仅看当今，现代化的生产手段方便、快捷、高效，无一不包含数学的贡献，现代化的产品比比皆是、层出不穷，哪一件离得开数学的支撑? “科学技术是生产力”，而数学是生产力发展的基石和源泉.当今信息时代的一个重要特点是数学的应用向一切领域渗透，高科技与数学的关系日益密切，产生了许多与数学相接结合的新学科.如数学化学、数学生物学、数学地质学、数学社会学，等等.“信息时代高科技的竞争本质上是数学的竞争。

”“当今如此受到称颂的‘高科技’本质上是一种数学技术”.数学的产生和发展一直和数学模型（Mathematical Model ）紧密相联的.什么是数学模型呢？我们常见的模型有儿童玩具、人物塑像、作战沙盘、风洞中的飞机、地质图、地形图等等.模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物.数学模型是为了一个特定目的，根据一个现实对象的内在规律，做出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构.三千多年前创立的欧几里德几何就是一个很好的数学模型.近代牛顿创立的万有引力定律、开普靳三大定律、爱因斯坦的狭义相对论等都是在当今科学技术的很多领域发挥着巨大作用的数学模型.从科学、工程、经济、管理等角度看，数学模型就是用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立的能近似刻画并“解决”实际问题的一个强有力的数学工具.数学模型具有预测、判别、解释三大作用，其中预测功能是数学模型价值的最重要的体现.为了说明这三大作用，下面举例如下.例1 谷神星的发现1764年,瑞士波奈特哲学家出版了《自然观察》一书，德国人提丢斯在读了该书后,从中总结出一个级数,用于表示太阳与当时已发现的六颗行星的距离.后来波德修改为如下“提丢斯--波德”定则:)234(101n R ⨯+⨯= 当5,4,2,1,0,10-分别取值n 时,从上述公式可以计算出太阳与水星、金星、地球、火星、木星和土星的近似距离分别为0.400292968、0.7、1.0、1.6、5.2、10.0个天文单位.人们很自然地思考为什么3=n 时没有行星对应？1801年元旦之夜，意大利人皮亚齐用望远镜发现了一颗光线暗弱的新天体.当时许多正在寻找新行星的天文学家们获此消息后异常兴奋,因为从该天体的运行特点分析,它可能是一颗新行星.遗憾的是皮亚齐由于生病,不得不中断了已进行六个星期的观察,当他痊愈后却搜遍苍穹也不见这颗星的踪影.为了重新找到这颗星星,德国年轻数学家高斯应用皮亚齐的观察资料、提丢斯--波德”定则和基于万有引力定律的轨道计算法，算出了这颗星星的轨道及太阳与它的平均距离，它的轨道在火星与木星之间.1802年1月1日夜间,人们根据数学家高斯的计算结果和预言终于又找到了这颗曾经跟丢了的后来被命名为谷神星的星星. 继谷神星发现之后,数学家们应用数学模型又计算预测出了海王星、冥王星的存在和位置，接着天文工作者才在天空中找到它们.从这个例子可见,数学模型的预测功能就是用数学模型的知识和规律预测未来发展,为人们的行为提高指导.例2 跑步问题如果某人在任何一个5 min 的时间区间内均不跑500m,试问他能否恰好用10 min 跑完1000m?有人认为用5min 跑慢一点、而用5min 跑快一点，因此他可以恰好用10min 跑完1000m ；也有人直观上感到在题目的要求下不可能用10min 跑1000m.如何判断这两种答案哪个正确呢？我们可以建立数学模型来解决这一问题.设[]t ,0内跑过的距离为)(t s ,显然)(t s 是时间t 的广义单调增加的连续函数,且0)0(=s ,如果假设恰好用10min 跑完1000m,那么1000)10(=s .构造连续函数500)()5()(--+=t s t s t f ,易知)5(500)5(,500)5()0(s f s f -=-=,因此0))5(500()5()0(2≤--=⋅s f f .如果0)5()0(=⋅f f ,那么0)5(0)0(==f f 或,恒有500)5(=s ,这与条件“在任何一个5 min 的时间区间内均不跑500m ”矛盾. 如果0)5()0(<⋅f f ,根据连续函数的零点定理,必存在)5,0(0∈t ,使0)(0=t f ,即500)()5(00=-+t s t s ,这表明从时刻0t 开始到时刻50+t 为止的5min 内跑了500m,故仍然与题目中的条件相悖.所以, 在题目的要求下不可能用10min 跑1000m.从上述例子可知, 数学模型的判断功能就是用数学模型来判断原来知识、认识的可靠性.例3 随机事件的频率稳定性在概率论发展的早期，人们发现，虽然个别随机事件在某次试验中可以出现也可以不出现，但是在大量重复试验中却呈现出明显的规律性，即某个随机事件出现的频率在某个范围内摆动称之为“频率稳定性”.这是什么原因呢？曾经很长一段时期未得到理论上的解释.历史上，贝努里（Bernoulli ）第一个研究了这个问题.他提出了一种“在同样条件下进行重复试验或观察”的数学模型—-贝努里概型.在贝努里试验中，若以n μ记n 次试验中事件A 出现的次数，则n n μ便是A 出现的频率，所谓频率稳定性无非是指当n 增大时，频率n nμ接近于某个固定的常数.这个固定的常数就是事件A 在一次试验中发生的概率p .当时已经知道，n μ是随机变量，它服从二项分布{}n i p q q p C k P k n k k n n ,,1,0,1, =-===-μ其数学期望np E n =μ，方差npq D n =μ.这在一定程度上帮助贝努里进一步认识了频率n n μ的性质.但是他更需要认识的是n 非常大时n μ或n n μ的性质.显然，当n 很大时，n μ一般也会很大，故研究n μ不太方便，还是直接研究n n μ为宜.因为npq n D p n E nn==μμ,,所以当∞→n 时,频率的数学期望不变,而方差则趋于0.他知道方差为0的随机变量一定是常数,于是自然预期频率应该趋于常数p .但是频率n nμ是随机变量,关于它的极限又将如何提法呢?经过艰苦的努力, 贝努里在1713年发表的一篇论文中(这是概率论的第一篇论文!)提出并证明了贝努里大数定律:对任意的0>ε,都有1lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∞→εμp n P n n 这是一大类概率论极限定理—大数定律中的第一个.贝努里概型与贝努里大数定律从理论上完全解释了“频率稳定性”问题.该例说明了数学模型的解释功能就是用数学模型说明事物发生的原因.§1.2 数学建模实际问题的，因此,如何建立合理有效的这就是数学建模（Mathematical Modeling ）问题.下面先举一个简单的数学建模例子——“鸡兔同笼问题”.一户农家的鸡兔同笼，鸡兔的头共有8个，鸡兔的腿共有26只，问鸡、兔各有多少只?鸡兔同笼问题建立数学模型的基本步骤为:(1).做出假设:按正常情况考虑，鸡长1只头2条腿，兔长1只头4条腿.(2).用符号表示有关量:用x 表示鸡的个数，y 表示兔的个数.(3).用初等代数，列出数学式子（二元一次方程）:(4).求解得到数学解答:x =3, y =5.(5).回答原问题: 该农家的笼中有3只鸡、5只兔.一般来说，数学建模是指为了构建数学模型而进行的准备、假设、建立、求解、分析、检验和应用的全过程.显然，几乎一切科学研究都与数学建模紧密相联的，首先研究和建立模型，然后才在实际系统上实现。

P(A B) P(A)P(B)
➢ 例如，某地40岁以上人群中 2 型糖尿病患病（A）的概率为22.5%，患 有甲状腺结节（B）的概率为20.2%，则患有 2 型糖尿病同时患有甲状
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
定性数据（quanlitative data） 患者编号 年龄 性别 职业 治疗分组 收缩压（kpa） 舒张压（kpa） 心电图 疗效
观察单位(observed unit)：研究对象的基本单元，可以
是一个人、一个地点、一只动物、一份生物样品等。
例如：研究长沙市2017年7岁正常男童身高
变量为身高，长沙市2017年7岁正常男童即为同质。
同质基础：同地区、同年份、同年龄、同
为正常男童。
20
变异(variation)：性质相同的事物，如果观察同一指 标，各观察单位之间由于存在个体差异，也会使测 量结果不同。
在统计学上，统计推断结论都是基于一定概率得出的， 习惯上将 P 0.05 的事件称为小概率事件，表示在一次 试验中发生的可能性很小。 如果小概率事件在现实中出现，就要追究其原因。 湖南风采中奖概率大约为： 1/671万 交通事故发生概率为：1/20万
35
1. 概率的乘法法则
➢ 如果有两个事件A和B相互独立，即事件A的出现并不影响事件B出现 的机会，则两者同时出现的概率等于各自出现的概率乘积：
分析该新药的有效性和安全性
4
在这个“临床试验”中有诸多问题需要回答：
➢需要多少名患者参加试验？ ➢选择什么样的患者参加试验？ ➢如何将患者分为两个组？ ➢哪些措施可以保证两组患者除了接受不同药物治疗外， 其他影响疗效的因素在两组的分布是一致的？ ➢如果分布不一致，如何在诸多的影响因素中，分离出药 物因素的效应？

音乐感性材料的基本属性
一、非自然性——创造性（与自然声音
比较） 所谓创造性是对自然、现实存在基础上 的突破： 音乐的历史就是一部创造的历史； 乐音——单声部——复调——和声—— 曲式
音乐感性材料的基本属性
辨析
1、有些作曲家不费吹灰之力，莫扎特《费加
罗婚礼》仅用六周； 2、音乐中的自然因素也不能抹杀音乐的创造 性属性； 美国先锋派的音乐作品加进了大量的非自然的声 音。 结论：若孤立看这些声音，是自然音，但加进 作品，有了作曲家的主观创造性功能及意图。
所谓表情性指的是音乐是抒情的艺术，它主
要表现的是人类的情感，这种情感是现实生 活的反映： 音乐的情感有着丰富的内涵； 并且和人的其它心理活动有着密切的联系。 辨析：有学者提出音乐表现的是人类的全部 精神生活。
先得弄清楚对应性特征：
何谓对应性特征？

从广义上讲，世界上任何一种声音都具有一定的含 义：
一、音乐感性材料的模仿性
何谓模仿性？

指的是用音乐的音响模仿现实生活、自然界的声音， 也就是通过声音来表现声音：
音乐模仿性的特点： 1、只是针对声音而言，对于颜色、香味则无
法用音乐的声音去模仿； 2、抓住模仿对象的声音属性进行模仿；
闹红 杏 枝 头 春 意
对鸟叫的模一次使用“美学”：希腊词语“埃斯特惕卡” （Aesthetics）
[德]莱布尼兹
精神世界 知：逻辑学 情：？ 意：伦理学 情：美学 真 善 美
鲍姆嘉通
1750年，以“埃斯特惕卡”命名《美学》第一 卷 ——“美学”这一术语流行开来。
音乐美学学科的建构
• 第一个使用音乐美学这个概念的是德国 诗人、音乐家舒巴尔特《论音乐美学的 思想》，1806年出版； • 名副其实的音乐美学专著，却是从19世 纪后半叶逐渐问世，到1900年的里曼写 的《音乐美学的要义》，才可以说音乐 美学已经真正成为一门独立的学科。

加拿大特朗斯康谷仓的地基事故
4
比萨斜塔
目前：塔向南倾斜，南北两端沉降差达1.80m， 塔顶离中心线已达5.27m，倾斜5.5° 1360：再复工，至1370年竣工，全塔共8 层，高度为55m 1272：复工，经6年，至7层，高48m，再 停工 1178：至4层中，高约29m，因倾斜停工 1173：动工
工程地质学
Engineering Geology
浙
江
大
学
1
第1章
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10
绪
论
工程地质问题的提出 工程地质学的定义 岩土工程师的责任 工程地质学的研究对象 工程地质条件 工程地质学的研究内容和任务 工程地质学的分析方法 工程地质学的发展 工程地质学的教学要求 本课程对学生的学习要求
１９９１年初，以美国为首的联合国多国部队，充分利用先进的 科学技术的优势，打击伊拉克。这时，中国政协副主席，物理学 教授钱伟长先生，在报刊上发表了一篇文章，名为《海湾战争的 启示》。钱伟长先生在文章中谈了海湾战争和三峡大坝建设中的 人防安全的关系。 钱伟长先生文中指出了三峡水库溃坝的危害，将是长江下游六省 市将成泽国，几亿人将陷绝境。同时也指出，三峡大坝将成为外 部敌人威胁的目标。面对目前的导弹技术，三峡大坝的防御是不 可能的。因此，钱伟长先生建议，三峡工程是千万不应上马，否 则就是干自铸达摩克勒斯剑的蠢举。他的结论是：“我们绝不能 花了几百亿或几千亿人民币来修一个世界上最大的水坝，给我们 的子孙背上包袱，成为外部敌人敲榨勒索的筹码。这里启示我们， 在和平还没有保障的国际形势下，三峡工程是千万不应上马的。” 显然，这篇文章使他触了雷。可想而知他受到了压力，在文章发 表之后不久，钱先生收回本人从海湾战争中得到的启示，转而表 示坚决与党中央保持一致，坚决支持三峡工程上马。