基础代数1

i 1 j1
. 这与 j 的取法矛盾,故 i 1 ,于是得到循环 （ 1 , 2 , , j1）
再在1, 2 , , j1 之外任取一元素重复以上讨论，又得一轮换。经 过 有
（1, 2 , , k 1） （ 1 , 2 , , k 1） … . 限次后，可得结果 （ 1 , 2 , , j1）
2 群的定义和简单性质
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4.对于群中任一元素 a 有唯一元素 b 使得 ab ba e .
证明:假设再有一个元素 c 也具有性质 ca ac e ,于是
c ce c ( ab) (ca )b eb b
对于元素 a 唯一的具有性质 ab ba e 的元素 b 称为 a 的逆元素,记为
i j
( x1 x2 ) ( x1 xn )( x2 x3 ) ( x2 xn ) ( xn 1 xn )
对于 S n ，我们定义
( D( x1 , x2 ,, xn )) D( x (1) , x (2) ,, x ( n ) ) ( x ( i ) x ( j ) )
两边用 b 右乘，得
ab ceb c(eb) cb e .
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2 群的定义和简单性质
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2.若对所有的 a G 有 ea a ，则对所有的 a G 也有 ae a .
证明: 取 b G 使 ba e .我们知道， ab e ，
于是
a ea ( ab) a a (ba ) ae .
例：1. R* 对于通常的乘法 2. Z 、 Q 、 R 、 C 对于通常的加法；
Z n 0,1,..., n 1 ，定义运算 ： a b a b(mod n)
3. 元素在数域 P 中全体 n 级可逆矩阵对于矩阵的乘法成一个群，这个群记为
GLn ( p ) ，称为 n 级一般线性群.
(1 2 m )
当 m 1时的轮换就是单位变换。
当 m 2 时， 的作用是 (1 ) 2 ， ( 2 ) 1 ，其余的数不变，这 样的轮换称为对换。
S n 中两个轮换 (1 2 m ) 与 ( 1 2 l ) 称为不相交的，如果
i j ,i 1, 2,, m, j 1, 2,, l
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3 群的例子---对称群
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例：
1 2 3 4 1 2 3 4 ， 3 1 2 4 ，求 2 4 1 3
(1243) ，
(132)
设 M 为一非空集合， M 到自身的可逆变换的全体，对于变换的乘法 成一个群，称为集合 M 的全变换群，记为 S ( M ) .
当 M 为一无限集合时， S ( M ) 显然是一个无限群. 当 M 为一有限非空集合时：
当 M 含有 n 个元素时，M 上的可逆变换称为 n 元置换，S ( M ) 称为 n 元对 称群，简记为 Sn .
由 (i ) ( (i )), i 1, 2,3, 4 ，有
3 1 2 4 1 2 4 3 2 4 1 3
1
2 3 4 1 2
3
4
1 2
3
4
(34)
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3 群的例子---对称群
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任何一个非单位的置换都能表示成一些不相交的轮换的乘积， 且表示 方法唯一。
两边左乘 a 1 ，即得 x1 x2 .
同样可证，在群 G 中方程 ya b 也有唯一解. 在群中，由 ab ac 或 ba ca 都可以推知 b c .
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2 群的定义和简单性质
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在群中可以定义幂运算.对于任意的正整数 n ，我们定义
an a a a
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3 群的例子---对称群
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若一个 n 元置换 将1, 2,, n 中某 m 个数1 ,, m 轮换，即
(1 ) 2 ， ( 2 ) 3 ，…, ( m 1 ) m , ( m ) 1
，简记为 而保持其余的数不变，则称 为一个轮换（循环）
n
约定
a0 e ，
a n ( a 1 ) n ， n 为正整数.
a G , n, m Z
a a na a n n m nm a a a ， na ma (n m)a n m nm ( a ) a m(na ) (mn)a
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将 M 中元素用1, 2,..., n 编号. S n 中的 可以表示为
1 2 3 ... n
其中 i (i ), i 1, 2,, n
1n
| S n | n!
i j
显然有
( D( x1 , x2 ,, xn )) D ( x1 , x2 ,, xn )
如果 ( D ) D ， 就称为偶置换；如果 ( D ) D ， 就称为奇置换. 全体偶置换组成 Sn 的一个子群，这个群称为 n 元交错群，记为 An .
1 An n!. 2
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2 群的定义和简单性质
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交换群（Abel 群） ：群 G 中的代数运算满足交换律 交换群中， (ab) n a nb n .
群的阶：群 G 中元素个数，记为 G .
G 有限， G 称为有限群； G 无限， G 称为无限群。
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2 群的定义和简单性质
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§3 群的例子——对称群
a 1 ( a ) .
由唯一性，易知 ( a 1 ) 1 a .
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2 群的定义和简单性质
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5. 对于群中的任意元素 a , b ，方程 ax b 在 G 中有唯一解。
证明:显然， x a 1b 是方程 ax b 的解，因而有解. 假设 x1 , x2 是方程的两个解，于是有 ax1 ax2 ，
例：1. Z Q R C
nZ Z
Q* R* C *
SLn( p ) GLn( p )
2. 群 G 的平凡子群：e ， G 其余的子群称为非平凡子群
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3. 设 x1 , x2 ,, xn 是 n 个文字，令
D ( x1 , x2 ,, xn ) ( xi x j )
GLn ( p ) 中全体行列式为 1 的矩阵对于矩阵乘法也成一个群，这个群记为 SLn ( p ) ，称为特殊线性群.
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2 群的定义和简单性质
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群的基本性质
1.如果 ba e ，则 ab e 。
证明:由定义 2-3 知,对于元素 b 有 c G 使 cb e
Βιβλιοθήκη Baidu于是
a ea cba c(ba) ce ,
1. 任意 a, b G , 都有 a (bc) ( ab)c “结合律”
2. G 中有一个元素 e ，对 G 中任意元素 a ，有 ea a 3. 任意 a G ，存在 b G 使得 ba e
“左单位元” “左逆元”
注：群的概念与代数运算所采用的表记方式无关！
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G a1H ar H ，
基础代数
知识 能力
第一章 代数基本概念
§1. §2. §3. §4. §5. §6.
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代数运算 群的定义和简单性质 群的例子 子群，陪集 群的同构 同态，正规子群
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第一章 代数基本概念
§ 7. § 8. § 9. § 10. § 11. § 12.
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商群 环，子环 各种特殊类型的环 环的同态，理想 商环 特征
不相交性
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唯一性
3 群的例子---对称群 17
例：
1 2 3 4 5 6 3 1 2 5 4 6 (132)(45)
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3 群的例子---对称群
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§4 子群，陪集
定义3：如果群G的非空子集H对G的运算也成一个群，那么H称为G的 子群，记为H < G
ah1 bh2 ，于是
a bh2 h11 bh3 ，其中 h3 H .
由 ah bh3h bH ， 可知 aH bH .同样可证 bH aH ， 即 aH bH .
因为 a aH ，所以 G aH .
aG
把其中重复出现的陪集去掉，即得 G a H ，其中当 时，
每个左（右）陪集与 H 有一样多的元素。
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4 子群，陪集
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定理 2：设 H 是群 G 的一个子群，H 的任意两个左（右）陪集或者相等， 或者无公共元素，群 G 也可以表示成若干不相交的左（右）陪 集之并。
证明： 设 aH ， 即有 h1 , h2 H 使 bH 是两个左陪集.假如它们有公共元素，
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§1 代数运算
定义1：设A是一个非空集合，任意一个 从A×A到A的映射，就称为定义 在A上的一个代数运算。
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§2 群的定义及简单性质
定义 2：设 G 是一个非空集合，如果在 G 上定义了一个代数运算，称为乘法， 记做 ab （或称加法，记做 a b ）若满足以下条件，则称 G 为一个群：
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定理 1：群 G 的非空子集 H 是群 G 的子群的充分必要条件是： 由 a, b H 推出 ab 1 H .
证明： ( ) 必要性是显然的.
( ) 我们来证充分性.
H 非空，所以 H 含有一个元素 a ，于是 aa 1 e H ；
由 e, a H 即得 ea 1 a 1 H ； 由 a, b H 可知 b 1 H ，从而 a (b 1 ) 1 ab H .
3. G 中有唯一元素 e ，具有性质 ea ae a ，对于所有的 a G .
证明:假设有 e1 , e2 G 满足条件,则
e2 e1e2 e1 .
群 G 中具有性质 ea ae a （对所有的 a G ）的唯一元素 e 称为群 G 的 单位元素.
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任意多个子群的交还是子群。
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4 子群，陪集
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设 H 是群 G 的一个子群，对于 G 中任一元素 a ，我们称集合
aH ah h H 为 H 的一个左陪集；
Ha ha h H 为 H 的一个右陪集.
a aH .
h ah 是子群 H 到左陪集 aH 的一个一一对应。
j i , i j ，
或
1 1 i （ 1） j （ 1） ， （1 i<j）
若 i 1 ，用 1 作用上式得 即
i 1 1 j1 1 （1） （1）
2 2 i （ 1） j（ 1）

有 a H a H .
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元素 a 称为左陪集 aH （右陪集 Ha ）的一个陪集代表. 若 b aH ，则 bH aH .
推论 1（拉格朗日定理）设 G 是一个有限群， H 为 G 的一个子群，则
H 是 G 的因子。
证明：设 G n ， H t .由定理 2，有
证明：设 是一个 n 元置换,在1, 2, , n 中任取一个元素1 ，用 连续作用得一序 列: (1 ) 2 ， ( 2 ) 3 ，… 由于 i 1, 2, ,n ， i 1, 2,, n. 所以序列中出现的元素必然会有相同的.
令 j 为该序列中第一个与它前面的某元素相同的元素,比如