.一般周期函数的傅里叶级数

k 1
k n时非零
0
an
co2snxdx
an
1
an f(x)co nd sx(n1 ,2,3, )
傅里叶(Fourier)级数
(2) 求bn.
f(x)a 2 0k 1(akco ks xbksikn)x
两边同 sin n 时 并 x 乘 从 到 以 逐项积分
f(x)sinnxdxa0
s(x)f(x)f(x)
2
,
若x为f(x)的
第一
类,
间
其中s(x)为f (x)的傅里叶级数的和. 函数
傅里叶(Fourier)级数
注 (1) 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成 幂级数的条件低得多;
(2) 周期函数的三角级数展开是唯一的, 就是 其傅里叶级数;
(3) 要注明傅氏级数的和函数与函数 f (x) 相等 的 x 的取值范围.
f (x)的图象
y 和函数的图象
3 2
2 3
•
O •
•
x
•
2
傅里叶(Fourier)级数
f ( x) 4(2coxssinx)
1 sin 2x
2
2
1
(32c
o3x s sin 3x) 3
1 4
sin 4
x
2
1
(52co5x s5si5 nx)
( x ;x , 3, ).
傅里叶(Fourier)级数
傅里叶(Fourier)级数
an
2 n 2
,
0 ,
n1,3,5,,
(1)n1
bn n2,4,6,;
n
.
故 f (x) 的傅里叶级数
f ( x)~4n 1 n 1 2 1( 1 )nco n s x ( 1 n )n 1sin n x

u(t)的(傅1)里连叶续级或数只收有敛有于限个 E第m 一Em类 间Em 断 (点Em ) 0,
(2)至多只有有限个极值2点
2
当t k时, u(t)的傅里叶级数收敛于u(t).
a0
1
u(t )dt 1
0
( Em )dt
1
0 Emdt
0
1
an
1
u(t)cos ntdt
0
( Em )cos ntdt
2
a0
u(t )dt
0
2
E sintdt
0
2E
[ cos t]0
4E ,ห้องสมุดไป่ตู้
an
2
2
u(t)cos ntdt
0
E sint cos ntdt
0
E
[sin(n 1)t sin(n 1)t]dt
0
(n 1)
E
cos(n 1)t n1
cos(n 1)t n 1 0
[(
bn
1
f ( x)sin nxdx,
(n 1,2,)
傅里叶级数的收敛性
若周期为 2 的函数 f ( x) 可积，则
f
(x)
a0 2
(an cos nx
n1
bn
sin nx)
问题:
a0
2
(an cos nx
n1
bn sin nx)
?
f
(x)
要满足什么条件？
狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)
三角函数系的正交性
三角函数系
1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x,
cos nx,sin nx,

FFT基于分治策略，将大问题分解为小问题，从而显著提高了计算效率。
FFT的出现极大地促进了数字信号处理领域的发展，尤其在实时信号处理 和大数据分析方面。
小波变换与傅里叶级数的关系
01
小波变换是一种时间和频率的局部化分析方法，用于多尺度信 号处理和分析。
02
小波变换与傅里叶级数都是信号的频域表示方法，但小波变换
频域处理
傅里叶变换将图像从空间域转换到频域，使得图 像的频率特征更加明显，便于进行滤波、增强等 操作。
图像压缩
通过分析图像的频谱，可以去除不重要的频率成 分，从而实现图像的压缩，节省存储和传输资源 。
图像去噪
傅里叶变换在图像去噪中发挥了重要作用，通过 滤除噪声对应的频率成分，可以有效去除图像中 的噪声。
傅里叶级数提供了一种将 复杂信号分解为简单正弦 波的方法，有助于理解和 处理信号。
频谱分析
通过傅里叶变换，可以分 析信号的频率成分，这在 通信、音频处理等领域有 广泛应用。
滤波器设计
利用傅里叶级数或其变换 形式，可以设计各种滤波 器，用于提取特定频率范 围的信号或抑制噪声。
图像处理中的应用
1 2 3
数值分析中的应用
求解微分方程
傅里叶级数在数值分析中常用于 求解初值问题和偏微分方程，通 过离散化和变换，将复杂问题转 化为易于处理的简单问题。
数值积分与微分
傅里叶级数在数值积分和微分中 也有应用，可以将复杂的积分或 微分运算转换为易于计算的离散 形式。
插值与拟合
傅里叶级数可以用于多项式插值 和函数拟合，通过选取适当的基 函数，可以构造出精度较高的插 值函数或拟合模型。
04
傅里叶级数的扩展知识
离散傅里叶变换
离散傅里叶变换（DFT）是连续傅里叶变换的离 散化形式，用于将时域信号转换为频域信号。

傅里叶级数与复变函数的关系
傅里叶级数可以看作是复数域中的三角函数，即复数域中的正弦和余弦。在复数域中，正弦和余弦函数表现为复指数函数的 形式。
复数的使用使得傅里叶级数的系数可以表示为实数，从而简化了计算。此外，复数的共轭也提供了相位信息，这在信号处理 中非常重要。
傅里叶级数与小波分析的关系
小波分析是傅里叶分析的进一步发展，它提供了更灵活的时频分析工具。小波变 换可以看作是傅里叶变换的一种扩展，它允许我们在不同的频率段使用不同的基 本函数。
三角函数形式
傅里叶级数的另一种表示形式，利用三角函数来表示周期信号。
傅里叶级数的三角函数形式
01
02
03
正弦形式
余弦形式
系数
傅里叶级数的正弦函数形式，用 于表示只包含正弦波的周期信号。
傅里叶级数的余弦函数形式，用 于表示只包含余弦波的周期信号。
在傅里叶级数中，每个正弦或余 弦函数都对应一个系数，表示该 函数在周期信号中的贡献程度。
03
傅里叶级数的性质
傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数在数学上具有收敛性，意味着它可以将一个 周期函数表示为无穷级数，每个项都是正弦或余弦函数。
收敛的速度取决于函数的特性，例如，对于具有快速衰 减的周期函数，傅里叶级数收敛得更快。
傅里叶级数的对称性
傅里叶级数的对称性质是指，对于一个周期函数，其傅里叶级数的正弦和余弦项具有对称性。 这意味着，对于一个给定的周期函数，其傅里叶级数的正弦和余弦项的系数是相同的。
周期信号的傅里叶级 数表
目录
• 傅里叶级数简介 • 周期信号的傅里叶级数表示 • 傅里叶级数的性质 • 傅里叶级数的应用实例 • 傅里叶级数与其他数学工具的关系
01

2 k12k 1
2
( x R，x 2m, m 0,1,2, )
a0 E, an 0 (n 1,2, )
二、定义在 [-l , l ]和[ 0, l ]区间上的函数 展成傅里叶级数
1. 将[–l , l ]上的函数展成傅里叶级数
思
周期延拓 F ( x) 傅里叶展开
想
T 2l
y y f (x)
例1 设f ( x) 的周期T 10，且当 5 x 5 时，
f ( x) x，将 f ( x) 展开成傅里叶级数.
y
解 l 5, f ( x) : 奇函数,
an 0 n 0,1,2,
5 o 5
x
bn
2 l
0l
f
xsin nπx d x
l
2 5
05
x
sin
nπx d 5
x
2 nπ
x
l l
l
(n 0,1,2, )
bn
1 l
l F ( x)sin nx d x,
l
l
(n 1,2, )
1 l f ( x)sin nx d x.
l l
l
例3 将f x e x在 π, π 上展成傅里叶级数
解 f ( x)在 π，π上连续,且满足狄利克雷条件.
(周期延拓
傅里叶展开
傅里叶级数之和函数：
S( xm )
f ( xm ) 2
f
(
xm
)
E. 2
l 2,
当x xm 时，f ( x)连续
f
(
x)
S(
x)
a0 2
(an
n1
cos
nx 2l
bn

2
f (t) a0
A e e n jn 1t n
j n1 t n
2 n1 2
§ 周期信号的傅立叶级数
又A-n
A（A 是n的偶函数）
n
n
n
（n n是n的奇函数）
b0 0，A0
a2 0
b02
a， 0
故
f (t)
1 2
Ane
n
j n1
t
n
1 2
Ane
n
j
n
e jn1 t
f t
Fne jn1t 用FS分析是对周期信号进行谐波分解，即
用谐n波 加权和来合成信号，因此，FS分析又称为谐波分析。
周期信号的对称性与付立叶系数的关系。
f (t)的对称条件
展开式中系数特点
f (t)
f (t)，纵轴对称（偶函数 ）
bn
0，an
4 T
t0
T 2
t0
f (t) cos n1tdt
nT
2
n
n
0
Sa( n1 ) 0
2
即 Fn>0
Sa( n1 ) 0 即 Fn<0
2
F e n
1 2
An
j n
§ 周期信号的傅立叶级数
此例中F n
A
T
Sa( n
2
)为一实数。幅度频谱与相位频谱可以合
画在一张图上。
c n
1 2
A n
-4
2
2
4 A
T
1 213141 51
101
第四步：讨论频谱结构与 、T 的关系
§ 周期信号的傅立叶级数
An

弦波叠加起来，合成复杂的周期信号。
信号分析
02
对于给定的周期信号，可以利用傅里叶级数进行频谱分析，得
到信号中各个频率分量的幅度和相位信息。
频谱特性
03
通过傅里叶级数展开，可以清晰地展示信号在频域上的特性，
如主频、谐波分量等。
信号调制与解调
01 02
调制
在通信系统中，常常需要将低频信号调制到高频载波上进行传输。利用 傅里叶级数，可以将低频信号表示为一系列正弦波的叠加，进而实现调 制过程。
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PART 01
傅里叶级数基本概念
周期信号与非周期信号
周期信号
具有固定时间周期的信号，即信 号在某个时间周期内重复出现。
非周期信号
不具有固定时间周期的信号，即 信号不会重复出现。
傅里叶级数定义及公式
傅里叶级数定义
将周期信号表示为一系列正弦波和余弦波的叠加，这些正弦波和余弦波具有不 同的频率和幅度。
数值计算与仿真实验
数值计算方法简介
01
离散傅里叶变换 （DFT）
将连续时间信号在时域上进行离 散化，并通过傅里叶变换得到频 域上的离散表示。
02
快速傅里叶变换 （FFT）
利用DFT中冗余计算的特点，采 用分治策略减少计算量，提高计 算效率。
03
迭代法
通过逐步逼近的方式求解傅里叶 系数，如雅可比迭代和高斯-赛 德尔迭代等。

2
(3) 若 f ( x) 只在 [0, l] 上有定义，且满足收敛 定理的条件，可将它展开成正弦级数和余弦
级数。
展开成正弦级数的方法： 首先，将 f ( x)进行奇延拓，将它拓广
为 [l, l] 上的奇函数 F ( x) ；然后，将 F ( x) 展开成傅氏级数(正弦级数)；最后，再将 x 限制在 [0, l] 上，就得到 f ( x) 的正弦级数 展开式。 即：
按(1)、(2)式求出 an , bn , 从而得到 f ( x)的
傅氏级数
a0 2
(an
n1
cos
nx
l
bn
sin
nx
l
)
在点 x (l, l) ，
x 是 f ( x)的连续点时，级数收敛于 f ( x)；
x 是 f ( x)的间断点时，级数收敛于 f ( x ) f ( x )
2
在端点 x l ， 级数收敛于 f (l ) f (l )
O l 可以验证：
F(t)是周期为 2 的周期函数
F(t 2 ) f [ l (t 2 )] f [ l t 2l]
f ( l t) F(t)
F(t)
的傅氏级数
a0 2
(an
n1
cos nt
bn
sinnt)
在 (,) 上收敛，且
a0 2
(an
n1
cos nt
bn
sinnt)
F(t)
首先，将 f ( x)进行偶延拓，将它拓广 为 [l, l] 上的偶函数 F ( x) ；然后，将 F ( x) 展开成傅氏级数(余弦级数)；最后，再将 x 限制在 [0, l] 上，就得到 f ( x) 的余弦级数 展开式。 即：

收敛于
6
例2. 把 (1) 正弦级数;
展开成 (2) 余弦级数. 在 x = 2 k 处级 数收敛于何值? 解: (1) 将 f (x) 作奇周期延拓, 则有 y
n x 2 2 dx bn x sin 2 2 0 2 n x 2 x cos n 2 n 4 cos n n
o
T 2 2
x
它的复数形式的傅里叶系数为
1 T c0 2 u( t ) d t T T 2
h T
16
1 T2 u(t ) e T
T 2
i
2 nt T
1 2 d t he T 2

i
2 nt T
dt
h T e T 2 n i
2 n t i T
h n sin n T
n i h 1 i nT 2 T e e n 2 i 2 ( n 1 , 2 , )

1 n i 2 nT t h h n sin T e u( t ) T n


( n 0 , 1 , 2 ,) ( n 1 , 2 , 3 ,)
1 F ( z ) sin nz dz bn


令z
x
l
1 l n x an f ( x ) cos d x ( n 0 , 1 , 2 ,) l l l 1 l n x bn f ( x ) sin d x ( n 1 , 2 , 3 ,) l l l

n0
17
内容小结
1. 周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式 a0 f ( x) 2 (x 间断点) 1 l n x l f ( x ) cos l d x (n 0 ,1,) l 其中 1 l n x f ( x ) sin d x ( n 1 , 2 ,) l l l 当f (x)为奇(偶) 函数时, 为正弦(余弦) 级数. 变换 2. 在任意有限区间上函数的傅里叶展开法 延拓 3. 傅里叶级数的复数形式 利用欧拉公式导出

FFT具有高效性、稳定性和易于实现 等优点，是数字信号处理领域的重要 算法之一。
FFT广泛应用于语音识别、图像处理 、频谱分析、雷达和声呐信号处理等 领域。
小波变换（Wavelet Transform）
定义
小波变换是一种时频分析方法， 它通过小波基函数的伸缩和平移 来分析信号在不同尺度上的变化 特性。小波变换能够提供信号在 不同频率和时间尺度上的信息， 具有多分辨率分析的特点。
周期函数的傅里叶级数展开可以通过傅里叶变换来实现，傅里叶变换将 时域信号转换为频域信号，提供了一种分析信号频率成分的有效方法。
非周期函数的展开
非周期函数的特性
非周期函数没有固定的重复模式，其波形不具有周期性。
非周期函数的近似展开
对于非周期函数，傅里叶级数展开式中的正弦和余弦函数具有连续的频率，这些频率覆盖了整个频域。通过选取一定 数量的频率分量，可以对非周期函数进行近似展开。
三角恒等式
正弦和余弦函数的线性组合
对于任意的实数$a$和$b$，有$sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b$和$cos(a+b) = cos a cos b - sin a sin b$。
三角恒等式的应用
在傅里叶级数展开中，三角恒等式用于将一个复杂的周期函数表示为正弦和余弦函数的线性组合。
其中，a0、an和bn为常数，n为整数 ，Σ表示求和符号，x为自变量。
傅里叶级数的一般形式为：f(x) = a0 + Σ[(an * cos(nx)) + (bn * sin(nx))]
傅里叶级数的历史背景
傅里叶级数的起源可以追溯到18世纪 初，法国数学家让-巴蒂斯特·约瑟夫· 傅里叶在研究热传导问题时提出了该 理论。