第十四章 图的基本概念

图论--图的基本概念1.图：1.1⽆向图的定义：⼀个⽆向图G是⼀个有序的⼆元组<V,E>，其中V是⼀个⾮空有穷集，称作顶点集，其元素称作顶点或结点。

E是⽆序积V&V的有穷多重⼦集，称作边集，其元素称作⽆向边，简称边。

注意：元素可以重复出现的集合称作多重集合。

某元素重复出现的次数称作该元素的重复度。

例如，在多重集合{a,a,b,b,b,c,d}中，a,b,c,d的重复度分别为2，3，1，1。

从多重集合的⾓度考虑，⽆元素重复出现的集合是各元素重复度均为1的多重集。

1.2有向图的定义：⼀个有向图G是⼀个有序的⼆元组<V,E>，其中V是⼀个⾮空有穷集，称作顶点集，其元素称作顶点或结点。

E是笛卡尔积V✖V的有穷多重⼦集，称作边集，其元素为有向边，简称为边。

通常⽤图形来表⽰⽆向图和有向图：⽤⼩圆圈（或实⼼点）表⽰顶点，⽤顶点之间的连线表⽰⽆向边，⽤带箭头的连线表⽰有向边。

与1.1，1.2有关的⼀些概念和定义：（1）⽆向图和有向图统称为图，但有时也把⽆向图简称作图。

通常⽤G表⽰⽆向图，D表⽰有向图，有时也⽤G泛指图（⽆向的或有向的）。

⽤V(G),E(G)分别表⽰G的顶点集和边集，|V(G)|,|E(G)|分别是G的顶点数和边数，有向图也有类似的符号。

（2）顶点数称作图的阶，n个顶点的图称作n阶图。

（3）⼀条边也没有的图称作零图，n阶零图记作N n。

1阶零图N1称作平凡图。

平凡图只有⼀个顶点，没有边。

（4）在图的定义中规定顶点集V为⾮空集，但在图的运算中可能产⽣顶点集为空集的运算结果，为此规定顶点集为空集的图为空图，并将空图记作Ø。

（5）当⽤图形表⽰图时，如果给每⼀个顶点和每⼀条边指定⼀个符号（字母或数字，当然字母还可以带下标），则称这样的图为标定图，否则称作⾮标定图。

（6）将有向图的各条有向边改成⽆向边后所得到的⽆向图称作这个有向图的基图。

（7）若两个顶点v i与v j之间有⼀条边连接，则称这两个顶点相邻。

图论（1）--图的基本概念有向图和⽆向图的建⽴以及赋权图引⼊Q：什么是图论？A：图论是数学的⼀个分⽀。

它以图为研究对象。

图论中的图是由若⼲给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常⽤来描述某些事物之间的某种特定关系，⽤点代表事物，⽤连接两点的线表⽰相应两个事物间具有这种关系。

现在我们来探讨⽆向图和有向图的概念以及如何去建⽴最基本的图的模型什么是图对于初⼊图论的⼈来说，复杂的定义可能会直接劝退他们，现在我来举⼀个⾮常简单的例⼦。

这就是最常见的图，由于它没有指向，即没有明确的⽅向，它被称为⽆向图。

图是由顶点和边组成的，你应该很容易就知道那些元素是顶点，那些是边。

下⾯的具有⽅向的便是有向图：若有的边有向，有的边⽆向，则称为混合图。

接下来我们将引⼊更多的概念：若两个顶点有边相连，则称两个顶点相相邻，两个点称为起点/终点或端点如1指向2，则这两个顶点相邻，这两个顶点被称为断点，⽽1被称为起点，2被称为终点。

仅含⼀个顶点的边称为⾃环在⽆向图中，包含顶点v的边的个数，称为顶点的度。

在有向图中，以v为起点的边的个数，称为点的出度，以v为终点的边的个数，称为顶点的⼊度。

⽆向图的建⽴建⽴简单⽆向图，我们使⽤Matlab，版本为R2017a。

% 函数graph(s,t)：可在 s 和 t 中的对应节点之间创建边，并⽣成⼀个图% s 和 t 都必须具有相同的元素数；这些节点必须都是从1开始的正整数，或都是字符串元胞数组。

s1 = [1,2,3,4]; %s为顶点，必须保证连续且从1开始的正整数t1 = [2,3,1,1]; %边 s与t之间是⼀⼀对应的G1 = graph(s1, t1);plot(G1) %画出效果图效果图：带汉字的⽆向图：% 注意字符串元胞数组是⽤⼤括号包起来的哦s2 = {'学校','电影院','⽹吧','酒店'};t2 = {'电影院','酒店','酒店','KTV'};G2 = graph(s2, t2);plot(G2, 'linewidth', 2) % 设置线的宽度% 下⾯的命令是在画图后不显⽰坐标set( gca, 'XTick', [], 'YTick', [] );效果图：有向图的建⽴：% ⽆权图 digraph(s,t)s = [1,2,3,4,1];t = [2,3,1,1,4];G = digraph(s, t);plot(G)set( gca, 'XTick', [], 'YTick', [] );注意边的顺序和⽅向，依次为1指向2,2指向3,3指向1,4指向1和1指向4效果图：赋权图的建⽴：赋权图，每条边都有⼀个⾮负实数对应的图。

图论导引参考答案图论导引参考答案图论是数学中的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。

图由节点和边组成，节点表示对象，边表示对象之间的连接关系。

图论在计算机科学、网络分析、社交网络等领域有着广泛的应用。

本文将介绍图论的基本概念和常见算法，并提供一些参考答案来帮助读者更好地理解和应用图论。

一、图的基本概念1.1 有向图和无向图图可以分为有向图和无向图两种类型。

有向图中，边有方向，表示节点之间的单向关系；而无向图中，边没有方向，表示节点之间的双向关系。

1.2 路径和环路径是指图中一系列节点和边的连续序列，路径的长度为路径中边的数量。

如果路径的起点和终点相同，则称之为环。

1.3 连通图和连通分量在无向图中，如果任意两个节点之间都存在路径，则称该图为连通图。

连通图中的极大连通子图称为连通分量。

1.4 强连通图和强连通分量在有向图中，如果任意两个节点之间都存在路径，则称该图为强连通图。

强连通图中的极大强连通子图称为强连通分量。

二、图的存储方式2.1 邻接矩阵邻接矩阵是一种常见的图的存储方式，使用一个二维矩阵来表示图中节点之间的连接关系。

矩阵的行和列分别表示节点，矩阵中的元素表示节点之间是否存在边。

2.2 邻接表邻接表是另一种常见的图的存储方式，使用一个数组和链表的结构来表示图中节点之间的连接关系。

数组中的每个元素表示一个节点，链表中的每个节点表示与该节点相连的边。

三、常见图算法3.1 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种用于遍历图的算法。

从图中的一个节点开始，沿着一条路径一直深入直到无法继续为止，然后回溯到上一个节点，继续深入其他路径。

DFS可以用于判断图的连通性、寻找路径等问题。

3.2 广度优先搜索（BFS）广度优先搜索也是一种用于遍历图的算法。

从图中的一个节点开始，先访问其所有相邻节点，然后再依次访问这些节点的相邻节点，以此类推。

BFS可以用于计算最短路径、寻找连通分量等问题。

3.3 最小生成树算法最小生成树算法用于求解一个连通图的最小生成树，即包含图中所有节点且边的权重之和最小的子图。

计算机中图的名词解释在计算机领域中，图（Graph）是一种常见的数据结构，用于描述对象之间的关系和相互作用。

图的概念最早由数学家欧拉提出，并且在计算机科学中得到广泛运用。

本文将从图的基本概念和操作开始，逐步介绍计算机中图的相关术语和应用。

1. 图的基本概念图由节点（Node）和边（Edge）组成。

节点表示对象或实体，边表示节点之间的连接关系。

图可以分为有向图（Directed Graph）和无向图（Undirected Graph）。

在有向图中，边具有方向性，表示从一个节点流向另一个节点；而在无向图中，边没有方向性，表示两个节点之间的相互关系。

2. 图的存储方式为了在计算机中表示和处理图，常见的存储方式有邻接矩阵（Adjacency Matrix）和邻接表（Adjacency List）。

邻接矩阵是一个二维数组，其中行和列表示节点，矩阵的值表示节点之间是否有边相连。

邻接表则使用链表的形式来表示节点之间的连接关系，每个节点对应一个链表，链表中存储了与该节点相连的其他节点。

3. 图的遍历图的遍历是指沿着图中的路径，依次访问所有节点的过程。

常见的图遍历算法有深度优先搜索（Depth-First Search）和广度优先搜索（Breadth-First Search）。

深度优先搜索先选择一个起始节点，沿着路径一直深入直到无法继续，然后回溯到其他未访问的节点，继续深入；而广度优先搜索则是从起始节点开始，并逐层扩展，逐层访问。

4. 最短路径算法最短路径算法用于计算两个节点之间的最短路径，即路径上边的权值之和最小。

其中，最常用的最短路径算法是狄克斯特拉算法（Dijkstra Algorithm）。

该算法通过逐步更新节点到其他节点的距离，找到起始节点到目标节点的最短路径。

5. 拓扑排序拓扑排序（Topological Sorting）是一种对有向无环图进行排序的算法。

在有向图中，如果节点 A 的边指向节点 B，那么 B 必须在 A 之后才能出现在排序结果中。

离散数学中的图论代表知识点介绍离散数学是数学的一个分支，它主要研究离散对象以及其离散性质和离散结构。

图论作为离散数学的重要组成部分，以图为研究对象，研究了图的基本概念、图的表示方法以及图的性质和应用。

本文将介绍离散数学中的图论代表知识点。

1. 图的基本概念图是由顶点集合和边集合组成的离散结构，用V表示顶点集合，E表示边集合。

图可以分为有向图和无向图两种类型。

有向图中的边是有方向的，而无向图中的边是无方向的。

图中的顶点可以表示为V={v1, v2, v3, ...}，边可以表示为E={(vi, vj)}。

在图中，两个顶点之间有边相连时，称这两个顶点是相邻的。

2. 图的表示方法图可以用多种方式来表示。

常见的表示方法有邻接矩阵和邻接表。

邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示两个顶点之间是否存在边。

邻接表则是通过链表的方式来表示图的结构，每个顶点都对应一个链表，链表中存储着与该顶点相邻的顶点。

3. 图的性质图论研究了图的许多性质和特性。

其中一些重要的性质包括连通性、路径、回路、度数、树和连通分量等。

连通性是指图中任意两个顶点之间是否存在路径。

如果图中任意两个顶点都存在路径相连，则图被称为连通图。

反之，如果存在无法通过路径相连的顶点对，则图为非连通图。

连通图中的任意两个顶点之间至少存在一条路径。

路径是指从一个顶点到另一个顶点的顶点序列。

路径的长度是指路径上边的数量。

最短路径是指两个顶点之间边的数量最少的路径。

回路是指路径起点和终点相同的路径。

如果回路中除起点和终点以外的顶点不重复出现，则称为简单回路。

度数是指图中顶点的边的数量。

对于有向图来说，度数分为入度和出度，分别表示指向该顶点的边和从该顶点指出的边的数量。

树是一种无回路的连通图，它具有n个顶点和n-1条边。

树是图论中一个重要的概念，它有广泛的应用。

连通分量是指图中的极大连通子图，即在该子图中的任意两个顶点都是连通的，且该子图不能再加入其他顶点使其连通。

数据结构——图图是一种重要的数据结构，它以顶点和边的方式来表示数据之间的关系。

在计算机科学和信息技术领域，图被广泛应用于解决各种问题，如网络路由、社交网络分析和数据挖掘等。

本文将介绍图的基本概念、表示方法和常见算法，以及图在实际应用中的一些案例。

一、图的基本概念图是由顶点集合和边集合组成的有序对，用G=(V,E)表示，其中V表示顶点集合，E表示边集合。

图可以分为有向图和无向图两种类型，有向图的边具有方向性，无向图的边没有方向性。

1. 顶点（Vertex）：图中的一个元素，可以用来表示某个实体。

2. 边（Edge）：顶点之间的连接关系，可以用来表示实体之间的关联。

3. 路径（Path）：在图中顶点之间经过的一系列边和顶点构成的序列。

4. 环（Cycle）：在图中由一个顶点开始经过若干边后再回到该顶点的路径。

5. 连通图（Connected Graph）：图中任意两个顶点之间存在路径。

二、图的表示方法图可以使用邻接矩阵和邻接表两种方式进行表示。

1. 邻接矩阵：邻接矩阵是一个二维数组，其中数组元素表示顶点之间的边，若两个顶点之间存在边，则对应元素为1或权重值，否则为0或无穷大。

2. 邻接表：邻接表由一个顶点数组和一个边链表组成，顶点数组存储顶点的信息，边链表存储每个顶点的邻接顶点。

三、常见图算法图的常见算法包括深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）、最短路径算法（Dijkstra算法和Floyd算法）以及最小生成树算法（Prim算法和Kruskal算法）等。

1. 深度优先搜索（DFS）：从图的一个顶点出发，沿着一条路径一直深入直到没有未访问过的邻接顶点，然后返回并查找其他路径。

DFS 可以用于查找连通图中的所有顶点以及判断图中是否存在环等。

2. 广度优先搜索（BFS）：从图的一个顶点出发，首先访问其所有邻接顶点，然后按照相同的方式访问每个邻接顶点的邻接顶点，直到所有顶点都被访问。

BFS可以用于查找最短路径、拓扑排序以及解决迷宫等问题。

什么是图的基本概念和特征图是一种数学结构，用于表示多个对象之间的关系。

图由节点（vertex）和边（edge）组成，节点表示对象，边表示节点之间的关系。

图的基本概念和特征包括节点的度、路径、连通性、连通分量等。

1. 节点的度：节点的度是指与该节点相连的边的数量。

对于有向图来说，节点的度分为入度和出度，分别表示指向该节点的边的数量和由该节点指出的边的数量。

节点的度可以用来描述节点的重要性和连接的紧密程度。

2. 路径：路径是指由边连接的一系列节点的序列。

路径的长度是指路径中包含的边的数量。

最短路径是指连接两个节点之间具有最少边数的路径。

路径可以用来描述节点之间的关系和节点之间的可达性。

3. 连通性：图的连通性表示图中任意两个节点之间是否存在路径。

如果图中任意两个节点之间都存在路径，那么图被称为连通图；如果存在某些节点之间不存在路径，那么图被称为非连通图。

连通性可以用来描述图的整体连接情况。

4. 连通分量：连通分量是指图中的最大连通子图。

一个连通分量包含一组相互可达的节点，并且在该连通分量内部的任意两个节点之间都存在路径，而与该连通分量外的节点之间不存在路径。

图可以由多个连通分量组成。

图有以下几种常见的特征：1. 有向图和无向图：根据边的有向性，图可以分为有向图和无向图。

在无向图中，边没有方向，表示节点之间的双向关系；而在有向图中，边有方向，表示节点之间的单向关系。

2. 权重：图的边可以带有权重，用来表示节点之间的距离、成本等。

带权重的图被称为带权图，而不带权重的图被称为无权图。

3. 稀疏图和稠密图：如果图中的边数接近节点数的平方，那么图被称为稠密图；如果图中的边数相对较少，那么图被称为稀疏图。

稠密图和稀疏图在算法设计和空间复杂度上有不同的考虑。

4. 循环和非循环图：如果图中存在一个节点可以通过一系列边回到自身，那么图被称为循环图；如果图中不存在这样的节点，那么图被称为非循环图（也称为无环图）。

5. 连通图和非连通图：根据连通性，图可以分为连通图和非连通图。