九年级数学微课资料：二次函数图象与系数的关系课件

判断a,b,c符号
b2 4ac的符号呢？
变式：若二次函数 y ax2 bx ca 0图象对称轴为
直线x=1，与x轴的一个交点为（-1,0），与y轴的交 点在（0,2）与（0,3）之间.
问题1：你能判断4a+2b+c的符号吗？
5a+b+2c呢？ 2b-3c呢？
问题2：求a的范围
y ax2 bx ca 0
（-1,2），与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中2<x1<-1, 0<x2<1.
四人小组，请写一些 正确的命题
（2017绍兴中考模拟）若二次函数 y ax2 bx ca 0
图象经过点（-1,2），与x轴交点的横坐标分别为x1， x2，其中-2<x1<-1, 0<x2<1.下列结论正确的是 ________
若二次函数 y ax2 bx ca 0图象对称轴为直线
x=1 ，与x轴的交点为（-1,0），与y轴的交点为
（0,3），请你求出二次函数解析式.
“挖”基本信息，“解”自然而来
—二次函数图象与系数关系
蛟川书院数学组 翁丹枫
若二次函数 y ax2 bx ca 0图象对称轴为直线
x=1 ，与x轴的交点为（-1,0），与y轴的交点为 （0,3），请你求出二次函数解析式.
2b-3c、a+c<1 数
形
……
数缺形时少直观， 形少数时难入微
c0 a b 2c 0
(2017烟台)如图，若二次函数 y ax2 bx ca 0
图象对称轴为直线x=1，下列结论：①ab<0; ②b2>4ac; ③a+b+2c<0; ④3a+c<0.其中正确的是_________

1 y=x2−x+3
a=1＞0，开口向上 b=-1 ，a,b异号，对称轴在y轴右侧 C=3＞0，与y轴交点在y轴正半轴
Y
y=x2−x+3
O
X
2 y=-2x2−x-4
a=-2＜0，开口向下 b=-1 ，a,b同号，对称轴在y轴左侧 C=-4＜0，与y轴交点在y轴负半轴
Y
O
X
y=-2x2−x-4
（3） 4a+b=0；
x
（4）当y=–2时，x的值只能取0； –1 O
3
其中正确的是 （2） .
–2
直线x=1
3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1
是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③
a-b+c= -9a；④若（-3，y1）,（ 点，则y1>y2.其中正确的是（
1 y=-x2+x+2 2 y=2x2+x-4
（A） （C）
y=-x2+x+2
（B）
y=2x2+x-4
（D）
二次函数 y=-x2+x-1，不描点， 如何快速确定出该抛物线在平 面直角坐标系的大致位置？
y=-x2+x-1
当堂练习
1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
y
的图象如图所示，则下列结论：
y
A．①②③ C．①②④
B．①③④ D．②③④
O 2x x=-1
23，y2）是抛物线上两
）
y
A．①②③ C．①②④
B．①③④ D．②③④
O 2x x=-1

当堂检测
1．抛物线 y＝x2－6x＋5 的顶点坐标为 A．(3，－4) B．(3，4) C．(－3，－4) D．(－3，4)
(A )
解 析 配方：y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，所以顶点坐 标为(3，－4)，故选 A.
当堂检测
1．抛物线 y＝x2－6x＋5 的顶点坐标为 A．(3，－4) B．(3，4) C．(－3，－4) D．(－3，4)
抛物线有最低点，当 x 抛物线有最高点，当 x＝
最值 ＝－2ba时，y 有最小值， －2ba时，y 有最大值，
y 最小值＝4ac4－a b2.
y 最大值＝4ac4－a b2.
字母
关键点回顾
1.a>0 时，开口向上；2.a<0 时，开口向下. a
|a|越大，抛物线的开口程度___越__小___，|a|越小，抛物线的开口程度___越__大___.
y
1、点（1,a+b+c） a+b+c>0
2、点 (-1,a-b+c) a-b+c=0
●
-2 -1 o 1 2
x
3、点 (2,4a+2b+c) 4a+2b+c>0
4、点 (-2,4a-2b+c) 4a-2b+c<0
…………… ……………
已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
的图象如图所示，下列结论：
() A．1 B．2 C．3 D．4
C
由－12<0，得抛物线开口向下，①正确；关系 式写成了顶点形式，因此对称轴为直线 x＝－1，顶点坐标
为(－1，3)，②错误；③正确；由－12<0，当 x>1>－1 时， y 随 x 的增大而减小，④正确．故选 C.

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28
• 17.(烟台中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部 分图象如图所示，图象过点(-1，0)，对称轴 为直线x=2.下列结论：
• ①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0； ④当x＞-1时，y的值随x值的增大而增大.
• 其中正确的结论有(B)
• A.1个
B.2个 C.3个 D.4个
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范例研讨运用新知
例2 已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的
增大而减小，则实数b的取值范围是（ D ）
A．b≥－1
B．b≤－1
C．b≥1
D．b≤1
解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴
右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的
值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直 线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴 x b b ，
O 2x x=-1
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30
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7
例3 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下
列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④
(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是
( D)
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在 y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得 c＞0，则abc＞0，故①正确；
二次函数 图象与字母系数的关系
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1
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系
字母符号

上册 微专题四 二次函数图象的性质与系数的关系- 2020秋 人教版 九年级 数学全 一册课 件(共1 7张PPT )
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由图象知对称轴 x＝－2ba＞－1，得2ba＜1.由 a<0，结合不等式的性质可得 b>2a， 即 2a<b，故③错误；
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[2019·鄂州]二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图 4 所示，对称轴是直线 x＝1.下列结论：①abc＜0；②3a＋c＞0；③(a＋c)2－b2＜0；④a＋b≤m(am＋b)(m 为 实数)．其中正确结论的个数为( C )
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[2019·娄底]二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图 3 所示，下列结论中正
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③由于抛物线与 x 轴有两个交点， ∴Δ＝b2－4ac＞0，故③正确； ④由图象可知 x＝1 时，y＝a＋b＋c＜0，故④正确； ⑤当 x＞－2ba时，y 随着 x 的增大而增大，故⑤错误． 故选 C.
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y
•(0,c)
x
0
• x 0 (0,0)
• x 0 (0,c)
交点在x轴上方 c>0
经过坐标原点 交点在x轴下方
c=0
c<0
8
4.二次函数图象与x轴交点的个数和△的关系
y
y
• • 0
(x1,0)

(x2,0)
0
•x (x,0) 0
•
x
与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴无交点
b2-4ac>0
你真棒 29
谈收获
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1.(天津)已知二次函数y=ax2+bx+c，
且a＜0,a-b+c＞0,则一定有( A )
A.b2-4ac＞0
B. b2-4ac=0
C.b2-4ac＜0
D. b2-4ac≤0
2.(重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图
像如图所示，则点M（b,c/a)在( D )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
（1）a （2）b
y
（3）c
（4）2a+b （5）2a-b, （6）b2-4ac
-1 0
x 12
（7）a+b+c
（8）a-b+c
（9）4a+2b+c
（10）4a-2b+c
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快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
2020
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
y
y
O
x

其中正确的结论是（ ） （A）①② （B）②③ （C）②④ （D）③④
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感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
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y
x=1
( 1时 ， a + b + c 0
o
1
x 1时 ， a -b + c 0
x
(a b c)(a b c) 0
即 ( a + c )2 b 2 0
( a + c )2 b 2
1 2 . 抛物线y=ax2+bx+c的图角如图3，则下列 结论：①abc>0；②a+b+c=2； ③a> 1 ； ④b<1. 2
示则下列关于a、b、c间的关系判断正
确的是（ ） y
A）ab<0 B）bc<0
O
x
C）a+b+c>0
D）a－b+c<0
（图1）
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5
例4(青海)二次函数 yax2bxc 图象如图2所示
， A(b2 4ac， b)
则点
a 在第 y 象限．
O x
图2
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6
例6．已知 a 0 ， b 0 ， c 0 ，
那么抛物线 yax2bxc的顶点在（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
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7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示 ，判断下列各式的符号：
(1)a; (2)b; (3)c; (4)a+b+c; (5)a-b+c;

⑤、a-b+c>0,⑥、4a+2b+c<0,⑦、4a-2b+c<0.
小结：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数a，b，c，△与
抛物线的关系
数
形
a a决定开口方向：a＞０时开口向上，
a＜０时开口向下
a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧
b
a、b异号时对称轴在y轴右侧
b＝０时对称轴是y轴
由抛物线捕捉对称信息的方式有：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c的符号：
⑤、a-b+c>0,⑥、4a+2b+c<0,⑦、4a-2b+c<0.
3个
对称轴是y轴: b=0
三、随堂演练
1.根据图象判断a、b、c的符号
y
a _＞___0
y
b__＜__0
0
c__＜___0
0
x
a _＜___0
抛物线的关系
数
形
a决定开口方向：a＞０时开口向上，
a
a＜０时开口向下
a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧
b
a、b异号时对称轴在y轴右侧
b＝０时对称轴是y轴
c决定抛物线与y轴的交点：c＞０时抛物线交于y轴的正半轴
c
c＝０时抛物线过原点
c＜０时抛物线交于y轴的负半轴
△决定抛物线与x轴的交点：△＞０时抛物线与x轴有两个交点
y
2、当x=-1时， y=a-b+c
3、当x=2时，
y=4a+2b+c
4、当x=-2时， y=4a-2b+c

为直线 x＝1，有下列结论：
①abc＜0；②2a＋b ＝ 0；③b2－4ac<0； ④4a-2b+c<0；⑤ 9a+3b+c=0 ，其中正确的结论有 __________．
3．(2017安顺)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所 示，对称轴是直线x＝1，则下列四个结论错误的是( ) A．c＞0 B．2a＋b＝0 C．b2－4ac＞0 D．a－b＋c＞0
如上图2可知 a与b同号时(即ab＞0)
3、常数项系数c,决定抛物线与y轴的交 点.交点坐标为（0 , c）。
常数项c表示抛物线与y轴的交点,图像过（0 , c） 点，如果抛物线通过原点，则c = 0。
简单说成：c>0图像与y轴交于正半轴 ， c<0图像 与y轴交于负半轴。
例如：
c>0图像与y轴交于正半轴
一次项系数b不能单独判断,要与a 结合判断,有个口诀记法：左同右异
左右是指抛物线的对称轴在y轴的左右, 同异是指a、b的符号是同号还是异号
即：一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时(即ab＞0)，对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab＜0)，对称轴在y轴右。
例如：
如上图1可知 a与b异号时即ab＜0)
A、①② B、②④ C、①③ D、③④
3、（2017黔东南）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0） 有图象如图所示，对称轴为直线x=-1,给出以下四个结
论：①b2＝4ac；②abc＞0; ③a>c; ④4a-2b+c>0.
其中正确的个数有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
4.（2017遵义）抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶 点为D(－1,2)，与x轴的一个交点A在点(－3,0)和(－ 2,0)之间，其部分图象如图，则以下结论： ①b2－4ac＜0；②a＋b＋c＜0；③c－a＝2； ④方程ax2＋bx＋c－2＝0有两个相等的实数根．其 中正确的结论_________(填序号)．

口诀：左同右异
c的作用:
决定抛物线与y轴的交点 ：
c＞０时,抛物线交于y轴的正半轴
c＝０时,抛物线过原点
c＜０时,抛物线交于y轴的负半轴
b2-4ac的作用:
决定抛物线与x轴的交点： b2-4ac ＞０时,抛物线与x轴有两个交点 b2-4ac ＝０时,抛物线与x轴有一个交点 b2-4ac ＜０时,抛物线于x轴没有交点 b2-4ac ≥０时,抛物线于x轴总有交点
其中错误结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析 第一步：确定a、b、c的正负
由开：口方向知a<0，由对称轴在y轴左侧知a、b异号，即b<0,抛物线
左侧的交点到对称轴的距离大于1.5个单位长度，且小于2.5个单位
长度，根据抛物线的对称性知右侧的交点在原点和（1，0）之间，
从而知道抛物线与y轴交于正半轴，即c>0
抛物线上几个特殊点的坐标所决定的代 数式的正负
（1，a+b+c）, （-1，a-b+c）,
（2，4a+2b+c）, （-2，4a-2b+c）,
（3，9a+3b+c）, （-3，9a-3b+c）,
利用梳理的知识解决简单问题
已知如图是二次函数y＝ax＋2 bx
＋c的图象，判断以下各式的值 是正值还是负值．
，右侧的交点在原点和（1，0）之间，从而有当x=1时 ，a选+Ayb<+。0c,=即1 3ab++bb++cc<=0,34把ba+=c<0,b即代4入b+消31 3c元<0：,故④错误，答案
b2
(1)a <0 (2)b <(03)c >0