因式分解(分组分解法)最新版
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因式分解——分组分解法一、分组分解法分解因式的意义我们把被分解的多项式分成若干组,分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解,然后,综合起来,再从总体上按“基本方法”继续进行分解,直到分解出最后结果。
这种分解因式的方法叫做分组分解法。
二、学习指导:如果一个多项式适当分组,使分组后各组之间有公因式或可应用公式,那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。
分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法,公式法和十字相乘法的多项式。
分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。
通过对多项式进行适当的分组,把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式,使之具有公因式,或者符合公式的特点等,从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的三、例题分析例1、分解因式:(1)2x2+2xy-3x-3y (2)a2-b2+4a-4b (3)4x2-9y2-24yz-16z2(4)x3-x2-x+1 分析:首先注意前两项的公因式2x和后两项的公因式-3,此题也可以考虑含有y的项分在一组。
解法1:解法2:说明:解法1和解法2虽然是不同的分组方式,但却有着相同的内在联系,即两组中的对应项系数成比例,分别为1:1和2:(-3)。
这也是分组中必须遵循的规律之一。
(2)分析:若将此题按上题中法2分组将含有a的项分在一组即a2+4a=a(a+4),含有b的项一组,即-b2-4b=-b(b+4),那a(a+4)与-b(b+4)再没有公因式可提,不可再分解下去。
可先将a2-b2一组应用平方差公式,再提出因式。
解:(3)若将此题应用(2)题方法分组将4x2-9y2一组应用平方差公式,或者将4x2-16z2一组应用平方差公式后再没有公因式可提,分组失败。
观察题中特点,后三项符合完全平方公式,将此题二、三、四项分组先用完全平方公式,再用平方差公式完成分解。
解:(4)分析:此题按照系数比为1或者为-1,可以有不同的分组方法。
解法1:解法2:原式=例2、分解因式:(1)m2+n2-2mn+n-m分析:此题还是一个五项式,其中m2-2mn +n2是完全平方公式,且与-m+n=-(m-n)之间有公因式可提取,因而可采用三项、二项分组。
因式分解 (分组分解法)【知识要点】1、定义:分组分解法,适用于四项以上的多项式,例如22a b a b -+-没有公因式,又不能直接利用分式法分解,但是如果将前两项和后两项分别结合,把原多项式分成两组。
再提公因式,即可达到分解因式的目的。
例如:22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++, 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
2、原则:分组后可直接提取公因式或可直接运用公式,但必须使各组之间能继续分解。
3、有些多项式在用分组分解法时,分解方法并不唯一,无论怎样分组,只要能将多项式正确分解即可。
【典型例题】例1 把下列各式分解因式(1)2914x x ++= (2)212x x --=(3)2812x x ++= (4)2710x x -+=(5)228x x --= (6)2922x x --=(7)2295x x +-= (8)2376x x --=(9)28103x x ++= (10)210275x x ++= 例2 把下列各式分解因式(1)bc ac ab a -+-2 (2)bx by ay ax -+-5102(3)n mn m m 552+-- (4)bx ay by ax 3443+++(5)22144a ab b --- (6)223443ax ay bx cy cx by +-++- 例3 把下列各式分解因式(1)22421x xy y --; (2)()()267a b a b +-+-; (3)()()22524x x -+-+ (4)()()()()22310a b a b a b a b -+-+-+;(5)()()2224221x y x y y y +-+- (6)222()14()24x x x x +-++ 例4 把下列各式分解因式(1)()()z y y z x x +-+ (2)()()b a x ab x 34322-+- (3)()()cd b a dc ab 2222--- (4)()()y a bx by b y ax 2233+++ 【思考题】分解因式()()()()2222d b d c c a b a +-+-+++。
3 分组分解整式ax by bx ay --+的四项没有公因式可以提取,也无法直接应用公式,这样的式子需要分组分解.3.1 三步曲我们用上面的整式来说明如何分组分解.例1 分解因式:ax by bx ay --+.解 ax by bx ay --+=()()ax bx ay by -+- [分为两组]=()()x a b y a b -+- [“提”]=()()x y a b +- [再“提”]一般地,分组分解大致分为三步:1.将原式的项适当分组;2.对每一组进行适当分组;3.将经过处理后的每一组当作一项,再采用“提”或“代”进行分解.一位高明的棋手,在下棋时,决不会只看一步,同样,在进行分组时,不仅要看到第二步,而且要看到三步.一个整式的项有许多种分组的方法,初学者往往需要经过尝试才能找到适当的分组方法,但是只要努力实践,多加练习,就会成为有经验,多加练习,就会成为有经验的“行家”.3.2 殊途同归分组的方法并不是唯一的,对于上面的整式ax by bx ay --+,也可以采用下面的做法: ax by bx ay --+=()()ax ay ax by +-+=()()a x y b x y +-+=()()x y a b +-.两种做法的效果是一样的,殊途同归!可以说,一种是按照x 与y 来分组(含x 的项在一组,含y 的项在另一组);另一种是按a 与b 来分组.例2 分解因式:221x ax x ax a +++--.解法一 按字母x 的幂来分组.221x ax x ax a +++--=()()()221x ax x ax a +++-+=()()()2111x a x a a +++-+=()()211a x x ++-解法二 按字母a 的幂来分组.221x ax x ax a +++--=()()221ax ax a x x +-++-=()()2211a x x x x +-++-=()()211a x x ++-.3.3 平均分配在例2中,原式的6项是平均分配的,或都要分成三组,每组两项;或者分成两组,每组三项.如果分组的目的是使第二步与第三步都有公因式可提,那么就必须平均分配. 例3 分解因式:3254222x x x x x --++-.解 6项可以分成三组,每组两项.我们把幂次相近的项放在一起,即3254222x x x x x --++-=()()()5432222x x x x x -+---=()()()42222x x x x x x -+---=()()4221x x x -+-.本例也可以将6项分为两组,每组三项,即将系数为1的放在一组,系数为-2的放在另一组,详细过程请读者自己完成.例4 分解因式:2222ac bd ad bc +--.解 2222ac bd ad bc +--整式ax by bx ay --+的四项没有公因式可以提取,也无法直接应用公式,这样的式子需要分组分解.3.4瞄准公式如果在第二步或第三步中需要应用乘法公式,那么各组中的项数不一定相等,应当根据公式的特点来确定。
分组分解法因式分解四项英文回答:Grouping and factoring are two methods used in algebrato simplify expressions and solve equations. These techniques are particularly useful when dealing with polynomials, which are expressions with multiple terms.Grouping involves rearranging the terms in anexpression in order to identify common factors. By grouping terms together, we can factor out the common factor and simplify the expression. Let's take an example:Consider the expression 2x + 4y + 6x + 12y. We cangroup the terms with the same variable together: (2x + 6x)+ (4y + 12y). Now, we can factor out the common factorsfrom each group: 2x(1 + 3) + 4y(1 + 3). Simplifying further, we get: 2x(4) + 4y(4), which can be further simplified to8x + 16y.Factoring, on the other hand, involves breaking down an expression into its factors. This is particularly useful when we want to solve equations or find the roots of a polynomial. Let's look at an example:Consider the quadratic equation x^2 + 5x + 6 = 0. We can factor this equation by finding two numbers whose sumis 5 and whose product is 6. In this case, the numbers are 2 and 3. So, the factored form of the equation is (x + 2)(x + 3) = 0. By setting each factor equal to zero, we can solve for x: x + 2 = 0 or x + 3 = 0. Solving these equations, we find x = -2 or x = -3.Factoring can also be used to simplify expressions.Let's consider the expression 2x^2 + 8x. We can factor out the common factor of 2x: 2x(x + 4). This simplifies the expression and makes it easier to work with.Overall, grouping and factoring are powerful techniques in algebra that allow us to simplify expressions, solve equations, and find the roots of polynomials. They help us break down complex problems into simpler components, makingit easier to understand and solve them.中文回答:分组和因式分解是代数中用于简化表达式和解方程的两种方法。
因式分解的十二种方法把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样,现总结如下:1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、分解因式x-2x-xx-2x–x=x(x-2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a+4ab+4b解:a+4ab+4b=(a+2b)3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m+5n-mn-5m解:m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n=(m-5m)+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx+px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x-19x-6分析:1-3722-21=-19解:7x-19x-6=(7x+2)(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解。
例5、分解因式x+3x-40解x+3x-40=x+3x+()-()-40=(x+)-()=(x++)(x+-)=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来。
因式分解的常用方法第一部分:方法介绍因式分解:因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式,主要有提公因式法,公式法,十字相乘法,分组分解法,换元法等因式分解的一般步骤是:(1)通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提,其次看能否直接利用乘法公式;如前两个步骤都不能实施,可用分组分解法,分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解;(2)若上述方法都行不通,可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项(添项)等方法;。
注意:将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。
一、提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如:(1) (a+b)(a -b) = a 2-b 2 -----------a 2-b 2=(a+b)(a -b);(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ---------a 2±2ab+b 2=(a ±b)2;(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3---------a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2);(4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 --------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2).下面再补充两个常用的公式:(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca);例.已知a bc ,,是ABC ∆的三边,且222a b c ab bc ca ++=++, 则ABC ∆的形状是( )A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解:222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.(一)分组后能直接提公因式例1、分解因式:bn bm an am +++分析:从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有a ,后两项都含有b ,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系。
初中数学试卷因式分解——分组分解法引例:am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b) 或者am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+n) 以上分解因式的方法称为分组分解法。
类型一:①分组后组内有公因式;②组与组之间有公因式例1:因式分解(1) a2-ab+ac-bc (2) 3ax+4by+4ay+3bx练习:把下列各式因式分解(1) x2-xy+2x-2y (2) x3-x2+3x-3 (3) m2+5n-mn-5m (4) 2ax-10ay+5by-bx (5) 5am-a+b-5bm (6) 6xy-10+15x-4y类型二:①分组后,各组有公因式,或者可以直接使用公式法②组与组之间有公因式或可以用公式法例2:因式分解(1) x2-y2+ax+ay (2) a2-2ab+b2-c2练习:把下列各式因式分解(1) x2y2 -4+xy2-2y (2) x2-4y2+12yz-9z2(3) 4a2+4ab+b2-1 (4) a4-b4+2a3b-2ab3(5) 9a2-b2+2b-1 (6) 1-x2+6xy-9y2例3:(1)若m2+2mn+2n2-6n+9=0,则m= ,n= 。
(2)若x2+2y2+2xy-4y+4,则x y= 。
(3)已知a2+b2=10a+8b-41,则a= ,b= 。
巩固练习1:把下列各式因式分解(1) a2-b2-4a-4b (2) 4a2-2a-b2-b (3) m2-4mn+4n2-4 (4) 4x2-4xy+4y2-16z2(5) x2-2x+1-y2(6) a2-b2-2bc-c22已知|a-2|+b2-2b+1=0,则a= ,b= .3.已知a2+b2+6a-4b+13=0,则(a+b)2的值为4.已知2a2-2ab+b2+4a+4=0, 求a2b+ab2的值。
第十一讲因式分解(分组分解法和十字相乘法)第一部分、教学目标:1、掌握十字相乘法和分组分解法分解因式2掌握十字相乘法在实际生活中的应用第二部分、教学重点、难点本节课的重点是会利用分组分解法等方法分解因式本节课的难点是因式分解在实际问题中的应用。
第三部分、教学过程例题讲解:例1、因式分解:m2﹣my+mx﹣yx=.【分析】原式两项两项结合提取公因式即可.【解答】解:原式=(m2﹣my)+(mx﹣yx)=m(m﹣y)+x(m﹣y)=(m﹣y)(m+x),故答案为:(m﹣y)(m+x).练1.1、分解因式:6k2+9km﹣6mn﹣4kn.解:6k2+9km﹣6mn﹣4kn=3k(2k+3m)﹣2n(3m+2k)=(2k+3m)(3k﹣2n).练1.2、观察下面分解因式的过程,并完成后面的习题分解因式:am+an+bm+bn解法一:原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)解法二:原式=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+n)根据你发现的方法,分解因式:(1)mx﹣my+nx﹣ny(2)2a+4b﹣3ma﹣6mb.【解答】(1)解法一:原式=(mx﹣my)+(nx﹣ny)=m(x﹣y)+n(x﹣y)=(m+n)(x﹣y);解法二:原式=(mx+nx)﹣(my+ny)=x(m+n)﹣y(m+n)=(m+n)(x﹣y);(2)解法一:原式=(2a+4b)﹣(3ma+6mb)=2(a+2b)﹣3m(a+2b)=(2﹣3m)(a+2b);解法二:原式=(2a﹣3ma)+(4b﹣6mb)=a(2﹣3m)+2b(2﹣3m)=(2﹣3m)(a+2b).例2、分解因式:(1)2x2﹣18;(2)a2﹣4ab+4b2﹣9.【分析】(1)先提2,然后利用平方差公式分解因式;(2)先分组,把前面三项利用完全平方公式表示,然后利用平方差公式分解.【解答】解:(1)原式=2(x2﹣9)=2(x+3)(x﹣3);(2)原式=(a﹣2b)2﹣32=(a﹣2b+3)(a﹣2b﹣3).练2.2、分解因式:25﹣4x2+4xy﹣y2.解:25﹣4x2+4xy﹣y2,=25﹣(4x2﹣4xy+y2),=52﹣(2x﹣y)2,=(5+2x﹣y)(5﹣2x+y)例3、先阅读下列材料,再解答下列问题:材料:因式分解:(x+y)2+2(x+y)+1.解:将“x+y”看成整体,令x+y=A,则原式=A2+2A+1=(A+1)2.再将“A”还原,得原式=(x+y+1)2.上述解题用到的是“整体思想”,“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法,请解答下列问题:(1)因式分解:1+2(2x﹣3y)+(2x﹣3y)2.(2)因式分解:(a+b)(a+b﹣4)+4;【分析】(1)将(2x﹣3y)看作一个整体,利用完全平方公式进行因式分解.(2)令A=a+b,代入后因式分解后代入即可将原式因式分解.【解答】解:(1)原式=(1+2x﹣3y)2.(2)令A=a+b,则原式变为A(A﹣4)+4=A2﹣4A+4=(A﹣2)2,故(a+b)(a+b﹣4)+4=(a+b﹣2)2.练3.2、先阅读下列两段材料,再解答下列问题:(一)例题:分解因式:(a+b)2﹣2(a+b)+1解:将“a+b”看成整体,设M=a+b,则原式=M2﹣2M+1=(M﹣1)2,再将“M”还原,得原式=(a+b﹣1)2上述解题用到的是“整体思想”,“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法;(二)常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法但有的多项式只用上述一种方法无法分解,例如x2﹣4y2﹣2x+4y,我们细心观察就会发现,前两项可以分解,后两项也可以分解,分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了.过程为:x2﹣4y2﹣2x+4y=(x2﹣4y2)﹣2(x﹣2y)=(x﹣2y)(x+2y)﹣2(x ﹣2y)=(x﹣2y)(x+2y﹣2).这种方法叫分组分解法,对于超过三项的多项式往往考虑这种方法.利用上述数学思想方法解决下列问题:(1)分解因式(3a+2b)2﹣(2a+3b)2;(2)分解因式.xy2﹣2xy+2y﹣4;(3)分解因式:(a+b)(a+b﹣4)﹣c2+4.解:(1)(3a+2b)2﹣(2a+3b)2=(3a+2b﹣2a﹣3b)(3a+2b+2a+3b)=5(a﹣b)(a+b);(2)xy2﹣2xy+2y﹣4=xy(y﹣2)+2(y﹣2)=(xy+2)(y﹣2);(3)(a+b)(a+b﹣4)﹣c2+4=(a+b)2﹣4(a+b)+4﹣c2=(a+b﹣2)2﹣c2=(a+b﹣2﹣c)(a+b﹣2+c).例4、x2+(p+q)x+pq型式子是数学学习中常见的一类多项式,如何将这种类型的式子因式分解呢?因为(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq,所以,根据因式分解是与整式乘法方向相反的变形,利用这种关系可得:x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).如:x2+3x+2=x2+(1+2)x+1×2=(x+1)(x+2)上述过程还可以形象的用十字相乘的形式表示:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角;再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角;然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项的系数,如图.这样,我们可以得到:x2+3x+2=(x+1)(x+2)利用这种方法,将下列多项式分解因式:(1)x2+7x+10(2)﹣2x2﹣6x+36【分析】(1)仿照题中的方法将原式分解即可;(2)仿照题中的方法将原式分解即可.【解答】解:(1)x2+7x+10=(x+5)(x+2);(2)﹣2x2﹣6x+36=﹣2(x2+3x﹣18)=﹣2(x+6)(x﹣3).例5、若m+n=4,则2m2+4mn+2n2﹣5的值为()A.27B.11C.3D.0【分析】根据m+n=4和完全平方公式,将所求式子变形,即可得到所求式子的值.【解答】解:∵m+n=4,∴2m2+4mn+2n2﹣5=2(m+n)2﹣5=2×42﹣5=2×16﹣5=32﹣5=27,故选:A.练5.1、若m2+m﹣1=0,则m3+2m2+2019的值为(A)A.2020B.2019C.2021D.2018练5.2、已知a=2019x+2018,b=2019x+2019,c=2019x+2020,则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为(D)A.0B.1C.2D.3例6、已知a,b,c是△ABC的三条边,且满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=0,判断△ABC形状【分析】把等式两边乘以2,再利用完全平方公式得到(a﹣b)2+(b﹣c)2+(a﹣c)2=0,然后根据非负数的性质得到a=b=c,从而可判断△ABC的现状.【解答】解:∵a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=0,∴2a2+2b2﹣2ab﹣2bc﹣2ac=0,∴(a﹣b)2+(b﹣c)2+(a﹣c)2=0,∴a﹣b=0,b﹣c=0,a﹣c=0,∴a=b=c,∴△ABC为等边三角形.练6.1、已知a,b,c是三角形的三边,那么代数式(a﹣b)2﹣c2的值(B)A.大于零B.小于零C.等于零D.不能确定练6.2、已知a、b、c是△ABC的三条边,且满足a2+bc=b2+ac,则△ABC是(C)A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形阅读并解决问题:分解因式(a+b)2+2(a+b)+1.解:设a+b=x,则原式=x2+2x+1=(x+1)2=(a+b+1)2.这样的解题方法叫做“换元法”,即当复杂的多项式中,某﹣﹣部分重复出现时,我们用字母将其替换,从而简化这个多项式换元法是一一个重要的数学方法,不少问题能用换元法解决.请用“换元法”对下列多项式进行因式分解:(1)(m+n)2﹣18(m+n)+81;(2)(x2﹣4x+2)(x2﹣4x+6)+4【解答】解:(1)设m+n=x,则原式=x2﹣18x+81=(x﹣9)2=(m+n﹣9)2;(2)设x2﹣4x+2=y,则原式=y(y+4)+4=y2+4y+4=(y+2)2=(x2﹣4x+2+2)2=[(x﹣2)2]2=(x﹣2)4第四部分、板书设计第五部分、作业布置今天是2020年月号星期天气今日所学:因式分解今日作业:新思维第页下次上课时间:下周正常上课第六部分、课后反思。
因式分解(三)——分组分解法【知识要点】分组分解法的意义:很多多项式都不能直接运用提公因式法或直接运用公式法分解,但是,进行分组后,就可以先在局部上,进而在整体上运用这两种方法进行分解,使问题迎刃而解。
所以,“分组”步骤的作用,在于促进了提公因式法和公式法的应用,使多项式从不能分解的形态向能分解的状态转化.例如:多项式by bx ay ax -+-236是一个四项式,它的各项没有公因式,而且也没有供四项式作分解的公式可用,所以是用基本方法无法直接分解的.但如运用分组分解法,就可以通过添括号的步骤进行分组,得原式)2()36(by bx ay ax -+-=,可以看到,在两个局部上,都是可以用提公因式法分解的.分别分解,得原式)2()2(3y x b y x a -+-=,应当注意到,完成了这一步,因式分解并没有完成(想一想,为什么?),但它的意义在于又出现了公因式)2(y x -,再从整体上运用提公因式法,可以得原式)3)(2(b a y x +-=,从而完成了整体上作分解的目的.◎所以,在这里,分组分解法的意义在于促进了提公因式法的应用.注意运用添括号法则:可以看到,分组的过程,就是添括号的过程,所以正确地使用添括号法则,才能正确地选择分组方案,再能正确实现分解.1、添加带有正号的括号时,各项都不变号 2、添加带有负号的括号时,括号内的各项都变号 补充说明:(1)把有公因式的各项归为一组,并使组之间产生新的公因式,这是正确分组的关键所在。
因此,分组分解因式要有预见性;(2)分组的方法不唯一,而合理的选择分组方案,会使分解过程简单;(3)分组时要用到添括号法则,注意在添加带有负号的括号时,括号内每项的符号都要改变;(4)实际上,分组只是为实际分解创造了条件,并没有直接达到分解的目的。
【经典例题】例1 分解因式(1)22x ax y ay --+ (2)27321a b ab a -+-(3)y b x b y a x a 2222+++; (4)nx n mx mx --+2例2 把下列各式分解因式:(1)b a b a 2423---;(2)2222b ab a x -+-;(3)a ax ax ax -+-23;(4)2242x x y y --+;例3 添拆项后再分组。
初中数学因式分解-十字相乘与分组分解考试要求:知识点汇总:一、十字相乘法十字相乘法:一个二次三项式2ax bx c ++,若可以分解,则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式,它的系数可以写成12a a 12c c ,十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数,其实就是分解系数a ,b ,c ,使得:12a a a =,12c c c =,1221a c a c b +=,2()()()x a b x ab x a x b +++=++若24b ac -不是一个平方数,那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解二、分组分解分组分解法:将一个多项式分成二或三组,各组分别分解后,彼此又有公因式或者可以用公式,这就是分组分解法.例题精讲:一、十字相乘【例 1】分解因式:⑴256x x ++ ⑵256x x -+⑶276x x ++ ⑷276x x -+【解析】 ⑴(2)(3)x x ++;⑵(2)(3)x x --;⑶(1)(6)x x ++;⑷(1)(6)x x --【巩固】 分解因式:268x x ++【解析】268(2)(4)x x x x ++=++【巩固】 分解因式:278x x +-【解析】278(8)(1)x x x x +-=+-【例 2】分解因式:2376a a --【解析】 2376(32)(3)a a a a --=+-【巩固】 分解因式:2383x x --【解析】 2383(31)(3)x x x x --=+-【巩固】 分解因式:25129x x +-【解析】 25129(3)(53)x x x x +-=+-【巩固】 分解因式:42730x x +-【解析】 4222730(3)(10)x x x x +-=-+【巩固】 分解因式:2273320x x --【解析】 2273320(94)(35)x x x x --=+-【例 3】分解因式:212x x +-【解析】 221212(3)(4)x x x x x x +-=-++=+-+【巩固】 分解因式:2612x x -+-【解析】 22612(612)(23)(34)x x x x x x -+-=-+-=-+-【例 4】分解因式:2214425x y xy +-【解析】 2214425(16)(9)x y xy x y x y +-=--【巩固】 分解因式:22672x xy y -+【解析】 22672(2)(32)x xy y x y x y -+=--【巩固】 分解因式:22121115x xy y --【解析】 22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+【例 5】分解因式:⑴2()4()12x y x y +-+-;⑵2212()11()()2()x y x y x y x y +++-+-【解析】 ⑴把x y +看作一个整体,利用十字相乘法分解即可.2()4()12(2)(6)x y x y x y x y +-+-=+++-⑵将,x y x y +-看作整体,则原式[][]4()()3()2()(53)(5)x y x y x y x y x y x y =++-++-=++.【巩固】 分解因式:257(1)6(1)a a ++-+【解析】[][]257(1)6(1)53(1)12(1)(23)(23)a a a a a a ++-+=-+++=-+【巩固】 分解因式:2(2)8(2)12a b a b ---+【解析】[][]2(2)8(2)12(2)2(2)6(22)(26)a b a b a b a b a b a b ---+=----=----【例 6】分解因式:1a b c ab ac bc abc +++++++【解析】 把a 视为未知数,其它视为参数。