七年级数学上册第6章图形的初步知识6.7角的和差分层训练

【答案】B
11．用一副三角板画角时可画出许多不同度数的角，下列哪
个度数画不出来？( D )
A．15°
B．75°
C．105°
D．65°
12．【2017·瑞安期末】将长方形纸条以BC为折痕并折叠铺平
成如图的形状，若∠DBA＝66°，则∠ABC为( )
C
A．66°
B．62°
C．57°
D．52°
13．【2018·杭州上城区期末】如图是一副三角尺拼成的图 案，其中∠ACB＝∠EBD＝90°，∠A＝30°， ∠ABC＝60°，∠E＝∠EDB＝45°.若∠EBC＝ 4∠ABD，则∠ABD的度数为________． 30°
5．【中考·大连】如图，点O在直线AB上，射线OC平分
∠BOD，若∠COB＝35°，则∠AOD等于( C )
A．35°
B．70°
C．110° D．145°
6．如图，点C，O，B在同一条直线上，∠AOB＝90°， ∠AOE＝∠BOD，则下列结论： ①∠EOD＝90°；②∠COE＝∠AOD； ③∠COE＝∠DOB；④∠COE＋∠BOD＝90°. 其中正确的个数是( )
(1)∠EBC的度数为________； (2)将图①中的三角尺15A0B°C绕点B旋转一个角度α(0°＜α ＜90°)，能否使∠EBC＝2∠ABD？若能，则求出α的 值；若不能，说明理由．(图②、图③仅供参考)
解：能.①逆时针旋转：90°＋60°－α＝2α，α＝50°； ②顺时针旋转： 当0°＜α≤30°时，90°＋60°＋α＝2α，α＝150°， 不符合题意，舍去； 当30°＜α＜90°时，360°－90°－60°－α＝2α， α＝70°. 综上所述，逆时针旋转α＝50°或顺时针旋转α＝70°
针方向旋转一个角度α(0°＜α＜60°)至∠COD，当

6．7 角的和差知识点一 角的和差的意义一般地，如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫做另两个角的和；如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫做另两个角的差．1．根据图6－7－1填空： 图6－7－1(1)∠AOB ＝∠AOC ＋________；(2)∠COB ＝∠COD －________＝________－________；(3)∠AOB ＋∠COD －∠AOD ＝________.知识点二 角平分线的定义从一个角的顶点引出的一条______，把这个角分成__________的角，这条射线叫做这个角的________．如图6－7－2，OC 是∠AOB 的平分线，则∠AOC ＝∠BOC ＝12∠AOB ，∠AOB ＝∠AOC ＋∠BOC ＝2∠AOC ＝2∠BOC .图6－7－2图6－7－32．如图6－7－3，下列式子中不能表示“OC 是∠AOB 的平分线”的是( )A ．∠AOC ＝∠BOCB ．∠AOC ＝12∠AOB C ．∠AOB ＝2∠BOC D ．∠AOC ＋∠BOC ＝∠AOB类型一与角平分线有关的计算例1 教材例2针对训练已知：如图6－7－4所示，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD 的平分线．(1)若∠AOB＝140°，求∠COE的度数；(2)在(1)的条件下，如果∠COD＝20°，求∠BOE的度数．图6－7－4【归纳总结】与角平分线有关的计算的“三点注意”：(1)要灵活应用角平分线的三种表达方式，不要一味地想到“等”，还要想到“倍”或“分”；(2)注意转化，即用已知代替未知，将未知转化为已知；(3)灵活运用整体方法，不要着眼于局部．类型二角度计算中的分类讨论例2 教材补充例题已知∠AOB＝40°，过点O作射线OC(不同于OA，OB)，满足∠AOC＝35∠BOC，求∠AOC的度数．【归纳总结】本题结合了分类讨论思想和方程思想，当角与角之间的数量关系较多时，可以通过设未知数，理清数量之间的关系，然后建立方程求解．, 小结◆◆◆)反思◆◆◆)你能说出用同一副三角尺能画出多少个小于平角的角吗？你能将画出的这些角进行分类吗？详解详析【学知识】知识点一1．[答案] (1)∠BOC(2)∠BOD ∠AOB ∠AOC(3)∠BOC知识点二 射线 两个相等 平分线2．[解析]D A 项，∵∠AOC ＝∠BOC，∴OC 平分∠AOB，即OC 是∠AOB 的平分线，正确，故不符合题意．B 项，∵∠AOC ＝12∠AOB ，∴∠AOB ＝2∠AOC＝∠AOC＋∠BOC，∴∠AOC ＝∠BOC，∴OC 平分∠AOB，即OC 是∠AOB 的平分线，正确，故不符合题意． C 项，∵∠AOB ＝2∠BOC＝∠AOC＋∠BOC，∴∠AOC ＝∠BOC，∴OC 平分∠AOB，即OC 是∠AOB 的平分线，正确，故不符合题意．D 项，∵∠AOC ＋∠BOC＝∠AOB，∴假如∠AOC＝30°，∠BOC ＝40°，∠AOB ＝70°，符合上式，但OC 不是∠AOB 的平分线，故符合题意．故选D .【筑方法】例1 解：(1)∠COE＝∠COD＋∠DOE＝12∠AOD ＋12∠BOD ＝12(∠AOD＋∠BOD)＝12∠AOB ＝70°.(2)由(1)知∠COE＝70°，因为∠COD＝20°，所以∠DOE＝50°.又因为OE 是∠BOD 的平分线，所以∠BOE＝∠DOE＝50°.例2 [解析] 由于原题没有图，故射线OC 既可以在∠AOB 的内部也可以在∠AOB 的外部．解：如图①，当射线OC 在∠AOB 的内部时，设∠BOC＝x °，则∠AOC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x °，x ＋35x ＝40，解得x ＝25，35x ＝15，所以∠AOC＝15°.如图②，当OC 在∠AOB 的外部时，设∠BOC＝x °，则∠AOC＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x °，x －35x ＝40, 解得x ＝100，35x ＝60，所以∠AOC ＝60°. 综上所述，∠AOC 的度数为15°或60°.【勤反思】[反思] 由一副三角尺能画出11个角，分别是15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°.这11个角中，锐角有5个：15°，30°，45°，60°，75°；直角有1个：90°；钝角有5个：105°，120°，135°，150°，165°. 欢迎您的下载，资料仅供参考！。

∴∠EOF＝12∠BOC－13∠BOC＝61∠BOC. ∴∠BOC＝6∠EOF＝120°. ∴∠EOC＝23∠BOC＝23×120°＝80°. 即∠EOC＝80°.
【答案】 80°
【跟踪练习3】 如图6.7－6，∠AOC＝30°， ∠BOC＝70°，射线OD平分∠AOB，求 ∠BOD，∠COD的度数．
【点拨】 (1)求图形中某个角的度数，关键是要弄清这个角 与相关角的数量关系． (2)注意∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝180°是隐含的数量关系， 不要遗漏．
【解析】 作∠BOC的平分线OF，则∠BOF＝∠COF=21∠BOC.
∵OD平分∠AOB，∴∠AOD＝∠DOB＝12∠AOB. 又∵∠BOC＋∠AOB＝180°， ∴∠DOB＋∠BOF＝90°，即∠DOF＝90°. ∴∠EOF＝∠DOF－∠DOE＝20°. 又∵∠EOF＝∠BOF－∠BOE， 而∠BOF＝12∠BOC，∠BOE＝13∠BOC，
【点拨】 求两个角的和差可运用数形结合思想．
【解析】 (1)∠AOC＝∠AOB＋∠BOC. (2)∠AOB＝∠AOD－∠BOD＝∠AOC－∠BOC. (3)∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC， 即∠AOC＝∠DOB.
【跟踪练习1】 如图6.7－2，∠AOC和∠BOD都 是直角．若∠DOC＝28°，求∠AOB的度数.
(4)从(1)(2)(3)的结果中发现∠MON=12(∠AOB＋∠BOC)． (5)不唯一，如：设 C 为线段 AB 上任意一点，如解图所示，M， N 分别为 AC，BC 的中点．若 AB＝a，求线段 MN 的长．
规律：MN＝12a. 【答案】 (1)60° (2)12α＋15° (3)45°＋12β (4)∠MON＝ 12(∠AOB＋∠BOC) (5)计算题见“解析”，规律：MN＝12a

浙教版2019－2020学年度七年级数学上册第6章图形的初步知识6.7 角的和差【知识清单】1.两个角的和：一般地，如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫做另两个角的和；2.两个角的差：一般地，如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫做另两个角的差.3.角的平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.4.角的三等分线：从一个角的顶点出发的两条射线，如果把这个角分成三个相等的角，这两条射线就叫这个角的三等分线.5.角的四等分线：从一个角的顶点引出三两条射线，把这个角分成四个相等的角，这些射线叫做这个角的四等分线.6.同样也可以定义角的五等分线，角的六等分线，角的n等分线.【经典例题】例题1、下列说法中正确的是A．两个锐角相加一定是直角B．比锐角大的角一定钝角C．钝角与锐角的差一定小于直角D．钝角与直角的差一定是锐角【考点】角的和差与角的大小比较．【分析】根据钝角、直角、锐角的定义：锐角是大于0°小于90°的角；钝角是大于90°小于180°的角；直角是等于90°的角；据此解答即可.【解答】A、两个都大于45°的角相加大于直角，故A错；B、比锐角大的角也可能还是锐角，故B错；C、如175°的角与1°的角的差一定大于直角，故C错；D、钝角与直角的差一定小于直角，故D正确.故选D．【点评】此题主要考查钝角、直角和锐角的定义，理解和掌握钝角、直角、锐角的定义是解决此题的关键．例题2、将长方形ABCD沿DE折叠，使点C恰好落在AB边上一点F，若∠ADF=58°，则∠FDE 的度数为．【考点】角的计算；翻折变换(折叠问题)．【分析】先根据四边形ABCD是长方形得出∠ADC=90°，再由∠ADF=58°求出∠FDC的度数，由图形翻折变换的性质即可得出结论．【解答】∵四边形ABCD是长方形，∴∠ADC=90°，∵∠ADF=58°，∴∠FDC=90°－58°=32°，例题2图∵由折叠可知DE 是∠FDC 的平分线， ∴∠FDE =21∠FDC =16°． 故答案是∠FDE =16°．【点评】本题考查的是角的和差以及角的计算，熟知角平分线的定义和图形翻折不变性的性质是解答此题的关键． 【夯实基础】1．如图所示，下列结论错误是是( )A ．∠AOB +∠COB =∠AOD －∠DOC B ．∠DOB +∠AOC =∠DOA +∠COB C ．∠DOB +∠AOC －2∠COB =∠AOD D ．∠AOD －∠DOB =∠AOC －∠COB 2．如图，下列表示不正确的是( )A ．∠B =∠ABD =∠C B A B ．∠C =36° C ．∠ADB +∠ADC =180°D ．∠α+∠β=∠A3．已知∠AOB =56°，从∠AOB 的顶点O 引一条射线OC ，使∠AOC =18°，则∠BOC 的度数 为( )A ．38°B ．74°C ．38°或74°D ．无法确定4．如图所示，点A ，O ，B 在同一直线上，OD 平分∠AOC ，OE 平分∠BOC ，则∠DOE 为( )A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．平角 5．(1)如图，∠BOD =∠COE =Rt ∠，则∠1______∠2(填“>”“<”或“=”) . (2)已知OC 是∠AOB 的三等分线，若∠AOC =32°，则∠AOB 的大小为 .6．(1)如图，已知∠AOC 直角， ∠COB=38°， ，则∠BOD =_______°. (2)如图所示，OC 是∠AOD 的平分线，OB 平分∠AOC ，且∠COB =23°，则∠AOD 的度数为 .第1题图第4题图第2题图第5题图(1)7．如图，已知∠AOD =120°，∠AOC 是直角，OB 为∠AOD 的平分线，根据图形填空：解：(1)∵∠AOD =120°，∠AOC = °， ∴∠DOC =∠AOD － = ∵OB 平分∠AOD ，8．已知∠α，∠β，∠γ，用量角器作一个角∠AOB ，使∠AOB =29．如图∠BOC =4∠AOC ，OD 平分∠AOB ，(1)若∠COD =33°，求∠AOB 的度数．(2)请画出∠BOD 的角平分线OE ，∠DOC 的角平分线OF ， 试猜想∠EOF 与∠AOC 的数量关系，并说明理由．【提优特训】10．如图，∠AOB =3∠BOC ，∠AOD =8∠BOC ，若∠DOC =60°，则∠BOC 的度数为( )A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°11.若∠AOB 是平角，射线OC 将∠AOB 分为∠AOC 与∠COB 两个角，若∠∠AOC ，射第12题图 第10题图第7题图第6题图(2)第8题图第9题图线OD 是∠AOC 的平分线，则∠COD 的度数为( ).A ．67.5°B ．72.5°C ．78.75°D ．79.5°12．如图所示，射线OB 、OC 、OD 在∠AOE 的内部，若∠AOE =75°，∠BOD =28° ，则图中所 有角的和为( )A ．300°B ．356°C ．360°D ．无法求出13. 如图所示，OD ，OC 是∠AOB 的任意两条射线，OP 平分∠AOC ，OQ 平分∠BOD ，若∠POQ =α，∠DOC =β，则表示∠AOB 的代数式是( )A ．2α－βB ．α－βC ．α+βD ．以上都不正确14．(1)已知∠AOB =90°，射线OC 平分∠AOB ，射线OD 平分∠BOC ，射线OE 平分∠AOD ，则∠COE 的度数等于 .(2)若∠AOC =∠BOD =90°，∠AOD =130°，则∠BOC 的度数为 .15．(1) 如图，将长方形纸片的角A 、E 分别沿着BC 、BD 折叠，则∠CBD = ． (2) 如图是3×3网格图，每个小正方形的边长为1，则∠1+∠2+∠3+…+∠7+∠8+∠9的和16．射线OE 在∠AOB 的内部，下列四个式子中：① ∠AOE =∠EOB ；②∠AOE +∠EOB =∠AOB ；③∠AOB =2∠BOE ；④∠AOE =12∠AOB ；⑤∠BOE :∠AOB =1:2.能判断OE 是∠AOB 的平分线的是 (填序号). 17．已知∠AOB 是Rt ∠.请回答下列问题：(1) 如图(1)，OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC ，直接写出∠DOE 的度数为 ． (2) 如图(2) OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC ，若∠BOC =40°，猜想∠DOE 的度数为 ．(3)试问在(2)的条件下，如果将题目中∠BOC =40°改成∠BOC =α(锐角)，其他条件不变，你能求出∠DOE 的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．18．如图(1)所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点O 处．(1)①∠AOD 和∠BOC 相等吗？说明理由．②∠AOC 和∠BOD 在数量上有何关系？说明理由．(2)若将三角尺AOB 绕点O 旋转到第13题图第15题图(2)第15题图(1)第17题图(1)第17题图(2)如图(2)的位置．①∠AOD 和∠BOC 相等吗？说明理由．②∠AOC 和∠BOD 的以上关系还成立吗？说明理由．19．已知∠AOB =42°20．已知∠AOB =(n +1)°，在∠AOB 的内部引n 条射线分别为OA 1，OA 2，OA 3，…，OA n －1，OA n ，依据要求回答问题： (1)°. (2)°. (3)°. ……(4) °.【中考链接】21．(2019•模拟) 把一副三角尺按如图2所示拼在一起，则∠ACB 等于( ) A ．70° B ．90° C ．105° D ．120°22．(2019•模拟)如图所示，将长方形ABCD 沿AE 折叠，点D 落在长方形ABCD 的内部点F 处，若∠CEF =76°，则∠AED 的大小是 .第18题图(1)第18题图(2)第20题图第21题图第22题图23．(2019•模拟) 如图，已知∠AOB=m度，OA1平分∠AOB，OA2平分∠AOA1，OA3平分∠AOA2，OA4平分∠AOA3，…，OA n平分∠AOA n－1，则∠AOA n的度数为___度．第23题图参考答案1、C2、D3、C4、B5、(1) = (2) 96°或48°6、(1) 26 (2) 92°10、C 11、C 12、B 13、A 14、(1) 11.25°(2) 50°或130°14、(1) 90°(2) 405°、9×45°15、(1) 不变 (2) < 16、①③④⑤ 21、D 22、52° 23、n 21m 7．如图，已知∠AOD =120°，∠AOC 是直角，OB 为∠AOD 的平分线，根据图形填空：解：(1)∵∠AOD =120°，∠AOC = 90 °， ∴∠DOC =∠AOD －∠∵OB 平分∠AOD ，8．已知∠α，∠β，∠γ，用量角器作一个角∠AOB ，使∠AOB =2作法1：如图(1)①用量角器量得∠α=25°，∠β=40°，∠γ=120°，所以2∠α=50° ②作射线OA .③用量角器作射线OB ，使∠AOB =50°.④用量角器在∠AOB 的外部以射线OC 为边作射线OC ，使∠BOC =20°. ⑤用量角器在∠AOC 的内部以射线OA 为边作射线OD ，使∠AOD =40°.∠DOC =30°23.作法2①用量角器量得∠α=25°=40°，∠γ=120°， 所以. 第8题图(2)第8题图②作射线OA .③用量角器作射线OB ，使∠AOB =30°.∠AOB =30°. 9．如图∠BOC =4∠AOC ，OD 平分∠AOB ，(1)若∠COD =33°，求∠AOB 的度数．(2)请画出∠BOD 的角平分线OE ，∠DOC 的角平分线OF ，试猜想∠EOF 与∠AOC 的数量关系，并说明理由． 解：(1)∵OD 平分∠AOB ，∴∠BOD =∠AOD =∠AOB ， 设∠AOB =x ， 则∠BOD =∠AOD =∠AOB =∵∠BOC =4∠AOC ， ∴∠AOC =∵∠AOD －∠AOC =∠COD =33°. . 解得x =110°，∴∠AOB =110°. (2)结论：∠EOF =2∠AOC . 理由：设∠AOC =y ， 则∠AOB =5y ，∠BOC =∠AOB －∠AOC =4y ， ∵OE 平分∠BOD ， ∴∠EOD =∠BOD . ∵OF 平分∠DOC ， ∴∠DOF =∠DOC . ∴∠EOF =∠EOD +∠DOF =∠BOD +∠DOC ) ∠BOC =2y ∴∠EOF =2∠AOC . 17．解：第9题图第9题图(1)∵OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC ，∠AOB =90°， ∴∠DOC =21∠COB ， ∠COE =21∠COA ， ∴∠DOE =∠DOC +∠COE =21∠BOC +21∠COA =21(∠BOC +∠COA ) =21∠AOB =45°； (2)∵∠AOB =90°，∠BOC =40°，∴∠AOC =∠AOB +∠BOC =90°+40°=130°. ∵OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC ， ∴∠COD =∠DOB =21∠BOC =20°，∠COE =21∠AOC =65°， ∴∠DOE =∠COE －∠COD =65°－20°=45°. (3)∵∠AOB =90°，∠BOC =α， ∴∠AOC =90°+α，∵OD 、OE 分别是∠BOC 、∠AOC 平分线， ∴∠COD =∠DOB =21∠BOC =2α，∠COE =21∠AOC =45°+2α， ∴∠DOE =∠COE －∠COD =45°+2α－2α=45°. 18．解：(1)①∠AOD =90°+∠AOC∠BOC =90°+∠AOC ， ∴∠AOD 和∠BOC 相等．②∵∠AOC +∠AOB +∠BOD +∠DOC =1个周角， ∴∠AOC +90 +∠BOD +90 =360°. ∴∠AOC +∠BOD =180°； (2)①∵∠AOD =90°－∠BOD ，∠BOC =90°－∠BOD ， ∴∠AOD 和∠BOC 相等． ②成立．第18题图(1)∵∠AOC +∠BOD =∠AOB +∠BOC +∠BOD =∠AOB +∠DOC =90°+90°=180°， ∴∠AOC +∠BOD =180°．19．已知∠AOB =42°解：根据题意可以作出图(1)与图(2)的两种图形. 由图(1)设∠BOC =x °， ∵∠AOB =42°=∠AOC +∠COB ，+x =42， 解得，x =12°.由图(2)设∠BOC =x °，则∠AOC =(x +42) °， ∴x =， 解得，x =28°.∴∠BOC 的度数的为12°或28°.20．已知∠AOB =(n +1)°，在∠AOB 的内部引n 条射线分别为OA 1，OA 2，OA 3，…，OA n －1，OA n ，依据要求回答问题： (1))°. (2))°. (3) 第19题图(2)第19题图(1)第20题图浙教版2019-2020学年七年级数学上册第6章图形的初步知识6.7角的和差学案(有答案） 11 / 11 ……(4)23．(2019•模拟) 如图，已知∠AOB =m 度，OA 1平分∠AOB ，OA 2平分∠AOA 1，OA 3平分∠AOA 2，OA 4平分∠AOA 3，…，OA n 平分∠AOA n －1，则∠AOA n 的度数为 度． 解：∵∠AOB = m ，OA 1平分∠AOB ，∴∠AOA 1=21∠AOB = ∵OA 2平分∠AOA 1，∴∠AOA 2=21∠AOA 1m ，同理∠AOA 3=81m =∠AOA 4……∴∠AOA n第23题图。