第五章博弈论初步

Stackelberg寡头竞争模型
• 逆向归纳法求解
– 然后倒推到企业1，企业1是理性的，预测到企业2 将根据一阶条件选择产量，则企业1面临的问题为
max 1 ( q1 , s2 ( q1 )) q1 ( a q1 s( q1 ) c )
q1 0
由一阶条件可得
q1* 1 (a c) 2
Stackelberg寡头竞争模型
• 分析（逆向归纳法求解）
价格函数：P(Q ) a q1 q2 其中，q1 [0, )，为企业 的产量， 1 q2 [0, )，为企业2的产量
支付（利润）函数为
i qi ( P(Q) c), i 1,2
Stackelberg寡头竞争模型
5.1博弈论概述——博弈论例子
• 囚徒困境
囚徒乙
坦白 抵赖 0，-10 -1，-1
囚徒甲
坦白 -8，-8 抵赖 -10，0
囚徒困境反应了一个很深刻的问题，那就是个人理性 集体理性的矛盾，它在经济学上有广泛的应用
5.1博弈论概述——博弈论例子
• 性别战
丈夫 芭蕾 妻子 芭蕾 2，1 足球 0，0 足球 0，0 1，2
• 先动优势
1 * 纳什均衡q1* q2 ( a c ); 纳什均衡利润 3 1 * * 1 ( q1* , q2 ) 2 ( q1* , q2 ) ( a c ) 2 9
5.5不完全信息静态博弈
• 表达式： G={ A1，A2，…， An ； T1，T2，…， Tn ； P1， P2，…， Pn ； U1（· U2（· …， Un（· } ）， ）， ）， • 贝叶斯纳什均衡定义：
• 3.对k=1
L （2，0）
R （1，1）
• 参与者1，选L • 由此得出精炼的NE为（（L，L’’）,L’）
子博弈精炼纳什均衡例题
A 不仿 仿
（0，10） 打
（-2，5）
B
不打 A 不仿 打 仿 B 不打 （10，4）
（5，5）
（2，2）
子博弈精炼纳什均衡例题
A 不仿 仿 子博弈精炼纳什均衡解为： （（不仿，仿），（打，不打）） 不打 A 不仿 打 仿 B 不打 （10，4）
• 博弈的分类
行为顺序 信息 完全信息 不完全信息 静态 完全信息静态博弈 纳什均衡 不完全信息静态博弈 贝叶斯纳什均衡 动态 完全信息动态博弈 子博弈精炼纳什均衡 不完全信息动态博弈 精炼贝叶斯纳什均衡
5.2完全信息静态博弈
• 纳什均衡的定义：
在一个n个参与者标准博弈G={ S1，S2，…， Sn ； U1（· U2（· …， Un（· }中，如果战 ）， ）， ）， 略组合（S1＊，S2＊，…， Sn＊ ）满足： 对每个参与者i， Si＊是它针对其他参与者 所选的战略S-i＊的最优反应战略。 即Ui（si ＊ ，s-i ＊ ）≥ Ui（si ，s-i ＊ ）
社会福利博弈
•
政府
救济 w
流浪汉
找工作 r 游荡 1-r
3，2 不救济1-w -1，1
-1，3 0，0
政府以w的概率选择救济，以1-w的概率选择不救济； 流浪汉以r的概率选择找工作，以1-r的概率选择游荡。
政府的期望收益为：[3r+(-1)(1-r)w+0(1-r)](1-w) 政府的最优战略为： 1 r>0.2 w= 0 r<0.2 0到1上的任何值 r=0.2 流浪汉的期望收益：[2w+(1-w)]r+[3w+0(1-w)](1-r) 流浪汉的最优战略为： 1 w<0.5 r= 0 w>0.5 0到1上的任何值 w=0.5
π2 （q1 ＊ ，q2 ＊ ） ≥ π2 （q1 ＊ ，q2 ）
q2 =（a-c）/3
5.3混合策略
• 混合策略的定义：在n个人参与的博弈G={ S1， S2，…， Sn ； U1（· U2（· …， Un（· }中,博弈 ）， ）， ）， 方i的纯策略空间记为Si={si1，si2 ， …， sin },则博弈 方i的纯策略概率分布Pi ={pi1，pi2 ， …， pin }，称为 一个混合策略。 • 混合策略组合及其期望支付： 用（ p1，p2 ， …， pn ）表示混合策略组合； 用σi （ p1，p2 ， …， pn ）表示参与者I的期望支付 值； σi （ p1，p2 ， …， pn ） = p(s)ui (s)
• 逆向归纳法求解
– 从企业2开始分析，假定企业1已经选择了 产量q1，则企业2选择时要以最大化自己的 例如为目标，即，面临如下问题：
max 2 ( q1 , q2 ) q2 ( a q1 q2 c )
q2 0
由一阶条件可得
s2 ( q1 ) 1 ( a q1 c ) 2
5.2完全信息静态博弈——古诺模型
古诺寡头竞争模型是纳什均衡最早 的版本，它是法国经济学家古诺1838年 提出的。这一模型的基本结构是各企业 生产同一产品，并都以产量为决策变量。 假定所有厂商都是同时行动的，即他在 选择自己的产量时并不知道其他厂商的 选择。市场需求为P=a－Q
古诺模型
• 参与者：{企业1，企业2} • 策略集：A1：{q1|q1≥0} A2：{q2|q2≥0} • 支付函数：利润 π1 （q1 ，q2）= q1 [a－（ q1 +q2 ）]－c q1 π2 （q1 ，q2）= q2 [a－（ q1 +q2 ）]－c q2 • 求解： 满足如下一阶条件 π1 （q1 ＊ ，q2 ＊ ） ≥ π1 （q1 ，q2 ＊ ） q1 =（a-c）/3
5.4完全信息动态博弈
• 定义：参与人行动有先后顺序，且后行方在自 己行动之前能观察到先行方的行动。 • 博弈的扩展式 1.参与者集合 2.参与者行动的顺序 3.参与者行动集 4.参与者的信息集 5.参与者的支付函数
5.4完全信息动态博弈
• 博弈树
节点 行动枝
信息集
（，）
（，） （，）
（，）
子博弈、子博弈精炼的纳什均 衡
2 R’ 1 L’’ （3，0） R’’ （0，2）
（1，1）
反向递推算法的应用实例
• 解：用反向递推法 • 1.对k=3
L’’ （3，0） R’’ （0，2）
• 参与者1，选L’’
反向递推算法的应用实例
• 2.对k=2
L’ （1，1）
R’ （3，0）
• 参与者2，选L’
反向递推算法的应用实例
Stackelberg寡头竞争模型
• 描述的问题
– 垄断企业产量选择 – 参与人：企业1和企业2 – 行动顺序：企业1先行动，称为领头企业；企业2观 测到企业1的选择，然后选择自己的产量，称为尾 随企业 – 企业2的产量是企业1产量的函数 – 价格是总产量的函数 – 两个企业有相同的不变单位成本c
a i Ai , t i Ti
5.5不完全信息静态博弈——市场 进入实例
一个行业有两个相关企业，一个是垄断者（局中人1），一 个是潜在进入者，两者的决策局面如下：
局中 人1
进入 0，-1
不进入 2，0
3，0
局中 人2
决策论与对策论的联系与区别
• 单人与多人，多人中无相互影响的不是 对策 • 集中与分散的决策模式，如计划经济就 是集中的决策模式
博弈的构成要素：
1、参与人：做决策的个体 2、行动：所能做的某一选择，是参与人的决策 变量 3、信息：参与人的特征，特别是有关其他参与 人的特征和行动的知识 4、策略：参与人选择行动的规则 5、支付：参与人从博弈中获得的效用水平，是 行动的函数 6、结果：博弈分析者感兴趣的要素的集合 7、均衡：所有参与人的最优战略或行动的组合
5.3混合策略——求解方法
• 最优反应函数法
• 等支付方法
5.3混合策略——应用实例
• 求解参与者甲与乙的混合策略纳什均衡 解
乙 C 甲 A B 2，3 3，1 D 5，2 1，5
5.3混合策略——应用实例
• 参与者甲的混合策略记为（a,1-a） • 参与者乙的混合策略记为（b,1-b） • 对甲来说，取纯策略A的期望支付为：2b+5(1-b);取纯策 略B的期望支付为：3b+(1-b) 等支付原则表示为：2b+5(1-b)=3b+(1-b) 可以解得：b=0.8 • 对乙来说，取纯策略C的期望支付为：3a+(1-a);取纯策 略D的期望支付为：2a+5(1-a) 等支付原则表示为：3a+(1-a)=2a+5(1-a) 可以解得：a=0.8 因此，这个博弈的混合策略纳什均衡是：甲的混合策略 为（0.8，0.2），乙的混合策略为（0.8，0.2）
• 纳什均衡解意义：
它是博弈结果的一致预测，这种结果具有内 在的稳定性和可自动实施性。
求解纳什均衡——划线法
• 例：两人有限策略的博弈 参与人：{甲，乙} 参与人的策略集：S甲={U，N，D} S乙={L，C，R}
乙 L U 甲 L M C R0，44ຫໍສະໝຸດ 05，34，0 3，5
0，4 3，5
5，3 6，6 ＊
在静态贝叶斯博弈G={ A1，A2，…， An ； T1， T2，…， Tn ； P1，P2，…， Pn ； U1（· U2（· …， ）， ）， Un（· }中，战略组合（S1＊，S2＊，…， Sn＊ ）是一 ）， 个纯战略贝叶斯纳什均衡解，如果对每一个参与者i及 i的类型集Ti中的每一个类型tt，它满足：| ti ) MAX Ui (ai , a -i ( i -i )) P( t -i
• 子博弈定义： 一个扩展式博弈的子博弈G是由一个决策结 （X）和所有的该决策结的后续决策结（T （X））组成，它满足如下条件： 1. x是单结的信息集。 2. 后续结点的所有信息集上的结点都属于后续 结集合。 • 子博弈精炼的纳什均衡的求法：反向递推算法