第十章博弈论初步

二、博弈的基本要素 10.1 博弈论的基本概念
3）支付（Payoff） 支付有时也称赢得，是指一个特定策略组合下参与人
得到的收益水平。
在一局博弈中，各参与人所选定的策略形成的策略组
合称为一个局势，即若Si是第i个参与人的一个策略，则n个 参与人的策略组 S =（S1 ，S2 ，…，Sn ）就是一个局势。
三、博弈的分类
10.1 博弈论的基本概念
博弈分类及对应的均衡概念
静态
动态
完全 信息
完全信息静态博弈 Nash Equilibrium Nash（50，51）
完全信息动态博弈
Subgame Perfect Nash Equilibrium
Selten（1965）
不完全 不完全信息静态博弈
不完全信息动态博弈
二Байду номын сангаас最优纯策略
10.2 矩阵博弈的数学模型
可以看出，矩阵A的元素a22既是其所在行的最小元素， 又是其所在列的最大元素，即：
ai2 ≤ a22 ≤ a2j ， i = 1，2，3，4； j =1，2，3
将这一事实推广到一般矩阵博弈，可得如下定理： 定理1 矩阵博弈G = {S1，S2；A}在纯策略意义下有解 的充要条件是：存在纯局势
S1 = {α1，α2 ,…,αm} S2 = {β1,β2,…,βn } 当参与人I选定纯策略αi和参与人II选定纯策略βj 后， 就形成了一个纯局势(αi,βj)。可见这样的纯局势共有 m×n 个。
一、矩阵博弈模型描述 10.2 矩阵博弈的数学模型
对任一纯局势(αi,βj)，记参与人I的赢得值为aij, 并称
不仅取决于自己的策略选择，还取决于其他博弈参与者的策 略选择。这种具有策略依存性的竞争性的决策行为称为博弈 行为。
博弈就是一些个人、团队或组织，面对一定的环境条件， 在一定规则下，同时或先后、一次或多次，从各自可能选择 的行为或策略中进行选择和实施，各自得到相应结果的过程。
一、博弈论和博弈行为 10.1 博弈论的基本概念
一、矩阵博弈模型描述 10.2 矩阵博弈的数学模型
田忌赛马（齐王的赢得表）
田忌的策略
β1
β2
β3
β4
β5
β6
齐王的策略
上中下 上下中 中上下 中下上 下中上 下上中
α1（上，中，下）
3
1
1
1 1 -1
α2（上，下，中）
1
3
1
1 -1 1
α3（中，上，下）
1
-1
3
1
1
1
α4（中，下，上） -1
1
1
3
二、最优纯策略
10.2 矩阵博弈的数学模型
矩阵博弈的解可以是不唯一的
α1 A = α2
α3 α4 max
β1 β2 β3 β4 6565 1 4 2 -1 8575 0262
8 5* 7 5*
min 5* -1 5* 0
于是 i* = 1，3； j* = 2，4
（α1,β2 ）、（α1,β4 ）、（α3,β2 ）、（α3,β4 ） 四个局势都是博弈的解，且VG=5。
信息
Bayesian Nash Equilibrium Perfect Bayesian Nash Equilibrium
Harsanyi（67-68）
Selten（1975）
Kreps，Wilson（1982）
Fudenberg Tirole（1991）
三、博弈的分类
结盟博弈
静态博弈
联合博弈
合作博弈
第10章 博弈论初步
Game Theory
■10.1 博弈论的基本概念 ■10.2 矩阵博弈的数学模型 ■10.3 矩阵博弈的混合策略 ■10.4 矩阵博弈的解法
一、博弈论和博弈行为 10.1 博弈论的基本概念
博弈行为 博弈论是关于策略相互作用（Strategic interaction)和理
性行为的理论。 所谓策略依存性是指每一个博弈参与者所得结果的好坏，
1
1
α5（下，中，上）
1
1 -1 1 3 1
α6（下，上，中）
1
1
1 -1 1 3
二、最优纯策略
10.2 矩阵博弈的数学模型
1 最优纯策略的定义 矩阵博弈模型给定后，各参与人面临的问题便是：如 何选取对自己最为有利的纯策略以谋取最大的赢得（或最 少损失）。 例 设有一矩阵博弈 G = {S1、S2；A}，
策略（如果最优纯策略存在）才是理智的行动。
二、最优纯策略
10.2 矩阵博弈的数学模型
例解
β1
β2
β3
Min aij
α1
6
α2
3
α3
9
α4
-3
Max aij
9
1
-5
-5
2
4
2*
-1
-10
-10
0
6
-3
2*
6
于是： max min aij = min max aij = a22 =2
ij
ji
由定义1， VG = 2， G的解为（α2 ，β2 ），α2 和β2分别是 参与人I 和II 的最优纯策略。
二、最优纯策略
10.2 矩阵博弈的数学模型
分析 市场竞争中的博弈问题，为此首先建立甲公司的支付矩阵。 根据问题，甲公司要建的两个娱乐场不会都建在同一区，故甲公司 的纯策略有三个：把娱乐场建在A，B区，或A，C区，或B，C区； 乙公司也有三个纯策略：把娱乐场建在A区、B区或C区。于是根据 背景条件，甲（乙）公司占有市场的份额（以百分比计）为:
A A,B 70
(30)
乙
B
C
75
70
(25) (30)
甲 A,C 70
70
75
(30) (30) (25)
B,C 60
72
72
(40) (28) (28)
二、最优纯策略
10.2 矩阵博弈的数学模型
2）甲公司的支付矩阵 市场业务总额为100（按百分比计），本 来乙公司想与甲公司各占50个份额，但乙公司因财力有限不能与甲公 司分享市场份额。当甲公司使用A，B纯策略，而乙公司采用纯策略A 时，甲公司多赢20个份额（70与50的差），这个20是这一局势下甲公 司的赢得值，而此时，甲公司多得的份额恰好是乙公司失去的份额 （50与30的差），于是我们可写出甲公司的赢得矩阵如下（把上面矩 阵每个元素的数值减去20）：
二人博弈
有限博弈
多人博弈
博弈
不结盟博弈
无限博弈
二人博弈 多人博弈
动态博弈
微分博弈
零和博弈
非零和博弈 零和博弈 非零和博弈 零和博弈 非零和博弈 零和博弈 非零和博弈
三、博弈的分类
完全理性 博弈
非合作博弈
博弈
有限理性 博弈
合作博弈
动态博弈
静态博弈
静态博弈
完全信息 静态博弈
不完全信息 静态博弈
动态博弈
（α*i ，β*j ） 使得对一切 i=1,2,…,m; j =1,2,…n, 均有
aij* ≤ ai*j* ≤ ai*j
二、最优纯策略
10.2 矩阵博弈的数学模型
二元函数鞍点的概念： 定义2 设f（x，y）为一个定义在 x∈A 及y∈B 上的实 值函数，如果存在x*∈A ，y*∈B，使得对一切x∈A 及 y∈B，有
完全信息 动态博弈
不完全信息 动态博弈
一、矩阵博弈模型描述 10.2 矩阵博弈的数学模型
矩阵博弈： 二人有限零和博弈。 一般，用I、II分别表示两个参与人， 设参与人 I 有 m个纯策略 α1，α2 ,…,αm可供选择，
参与人II 有n 个纯策略 β1, β2, …, βn 可供选择， 则参与人I、II 的策略集分别为:
S1 = {α1，α2 , α3, α4}， S2 = {β1, β2, β3 }，
-6 1 -5 3 24 A= 9 -1 -10 -3 0 6
二、最优纯策略
10.2 矩阵博弈的数学模型
对于一般矩阵博弈，有如下定义：
设G = {S1、S2；A}为矩阵博弈，其中 S1 = {α1，α2 , …, αm}， S2 = {β1,β2, …， βn}， A = （aij）m×n， 若等式
最优纯策略的进一步解释
关于定理1的直观解释是：如果ai*j*既是矩阵A中第i*行 的最小值，又是A中j*列的最大值，则ai*j*即为博弈的值， 且（αi*,βj* ）就是博弈的解。其博弈意义是：一个平衡局势 （αi*,βj* ）应具有这样的性质，当参与人I 选取了纯策略αi* 后，参与人II 为了使其所失最少，只有选择纯策略βj*，否 则就可能失去的更多；反之，当参与人II 选取了纯策略βj* 后，参与人I 为了得到最大的赢得，也只能选择纯策略αi*， 否则就会赢得更少。双方的竞争局势在（αi*,βj* ）下达到了 一个平衡状态。
矩阵博弈的值是唯一的。
二、最优纯策略
10.2 矩阵博弈的数学模型
例 某城市有A，B，C三个区，城市居民40%住在A区， 30%住在B区，30%住在C区，目前该城没有娱乐场。有两 个公司认为在该城修建娱乐场有利可图，甲公司要建两个 同样的娱乐场，乙公司原本也打算建两个与甲公司同样的 娱乐场与甲公司平分业务，但由于筹款不足，只能建一个。 由于每个娱乐场的规模档次差不多，故有如下情况：1）若 在某区建两个娱乐场，则该区业务将被平分；2）若在某区 只有一个娱乐场，则该区业务将被其独揽；3）若某区无娱 乐场，则该区业务将被其它区三个娱乐场所平分。问甲、 乙两公司应如何选择建设方案？
当局势出现后，博弈的结果也就确定了。也就是说，
对任一局势S，参与人i 可以得到一个赢得Hi（S）。显然， Hi（S）是局势S 的函数，称之为第i 个参与人的赢得函数 （或称支付函数）。