2016-2017年江苏省泰州中学高二(上)期中数学试卷及参考答案

2016-2017学年江苏省泰州中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是．2．如果复数为纯虚数，则a=．3．抛物线y2=4x的焦点坐标为．4．集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是．5．函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是．6．已知a，b，c，d为实数，且c＞d．则“a＞b”是“a﹣c＞b﹣d”的条件．7．下列图形中，若黑色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为8．若双曲线x2﹣=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距等于．9．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD ﹣A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O距离大于1的概率为．10．若P0（x0，y0）在椭圆外，则过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线方程是．那么对于双曲线则有如下命题：若P0（x0，y0）在双曲线外，则过P0作双曲线的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2的所在直线方程是．11．若曲线y=与直线y=a恰有一个公共点，则实数a的取值范围为．12．函数f（x）=﹣的最大值是．13．椭圆E： +=1的右焦点F，直线l与曲线x2+y2=4（x＞0）相切，且交椭圆E于A，B两点，记△FAB的周长为m，则实数m的所有可能取值所成的集合为．14．已知曲线在x=﹣1处的切线和它在x=x0（x0＞0）处的切线互相垂直，设，则m=．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（1）计算（2）求中心在原点，焦点在坐标轴上，并且经过点P（3，）和Q（，5）的双曲线方程．16．已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2=0”．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．17．已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣（a＞0）（1）若a=l，求f（x）的极值；（2）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围．18．某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示．其上部分是以AB为直径的半圆，点O为圆心，下部分是以AB为斜边的等腰直角三角形，DE，DF是两根支杆，其中AB=2米，∠EOA=∠FOB=2x（0＜x＜）．现在弧EF、线段DE与线段DF上装彩灯，在弧AE、弧BF、线段AD与线段BD上装节能灯．若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为2k，节能灯的比例系数为k（k ＞0），假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y是所有灯“心悦效果”的和．（1）试将y表示为x的函数；（2）试确定当x取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，直线l与x轴交于点E，与椭圆C交于A、B两点．当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦AB的长为．（1）求椭圆C的方程；（2）若点E的坐标为（，0），点A在第一象限且横坐标为，连结点A与原点O的直线交椭圆C于另一点P，求△PAB的面积；（3）是否存在点E，使得+为定值？若存在，请指出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．20．已知函数f（x）=alnx+ax2+bx，（a，b∈R）．（1）设a=1，f（x）在x=1处的切线过点（2，6），求b的值；（2）设b=a2+2，求函数f（x）在区间[1，4]上的最大值；（3）定义：一般的，设函数g（x）的定义域为D，若存在x0∈D，使g（x0）=x0成立，则称x0为函数g（x）的不动点．设a＞0，试问当函数f（x）有两个不同的不动点时，这两个不动点能否同时也是函数f（x）的极值点？2016-2017学年江苏省泰州中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是“若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1”．【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】先否定原命题的题设做结论，再否定原命题的结论做题设，就得到原命题的逆否命题．【解答】解：∵“x2＜1”的否定为“x2≥1”．“﹣1＜x＜1”的否定是“x≤﹣1或x≥1”．∴命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是：“若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1”．故答案：若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1．2．如果复数为纯虚数，则a=﹣2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵为纯虚数，∴，即a=﹣2．故答案为：﹣2．3．抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先确定焦点位置，即在x轴正半轴，再求出P的值，可得到焦点坐标．【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2∴焦点坐标为：（1，0）故答案为：（1，0）4．集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】利用古典概型概率计算公式求解．【解答】解：集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各任意取一个数有2×3=6种，其两数之和为4的情况有两种：2+2，1+3，∴这两数之和等于4的概率p==．故答案为：．5．函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是（0，1）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】依题意，可求得f′（x）=，由f′（x）＜0即可求得函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间．【解答】解：∵f（x）=x2﹣2lnx（x＞0），∴f′（x）=2x﹣==，令f′（x）＜0由图得：0＜x＜1．∴函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是（0，1）．故答案为（0，1）．6．已知a，b，c，d为实数，且c＞d．则“a＞b”是“a﹣c＞b﹣d”的必要不充分条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的基本性质和实数比较大小的法则，可得由“a﹣c＞b﹣d”可推出“a＞b”，而反之不一定成立．由此不难得到本题的答案．【解答】解：充分性，因为c＞d，所以﹣d＞﹣c，当a＞b时可得a﹣d＞b﹣c．不一定能得到a﹣c＞b﹣d，故充分性不成立；必要性，当a﹣c＞b﹣d成立时，两边都加上c得a＞b+（c﹣d）因为c＞d，得（c﹣d）＞0，所以b+（c﹣d）＞b由不等式的传递性，得a＞b成立，故必要性成立故答案为：必要不充分7．下列图形中，若黑色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为a n=3n﹣1【考点】归纳推理．【分析】根据图形的特点，每增加一个三角形应在原来的基础上再增加3倍个三角形，三角形的个数为：1，3，3×3，3×9…，归纳出第n图形中三角形的个数．【解答】解：由图形得：第2个图形中有3个三角形，第3个图形中有3×3个三角形，第4个图形中有3×9个三角形，以此类推：第n个图形中有3n﹣1个三角形．故答案为：a n=3n﹣18．若双曲线x2﹣=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距等于6．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据焦点到其渐近线的距离求出b的值即可得到结论．【解答】解：双曲线的渐近线为y=±bx，不妨设为y=﹣bx，即bx+y=0，焦点坐标为F（c，0），则焦点到其渐近线的距离d===b=2，则c====3，则双曲线的焦距等于2c=6，故答案为：69．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O距离大于1的概率为1﹣．【考点】几何概型；棱柱的结构特征．【分析】本题是几何概型问题，欲求点P与点O距离大于1的概率，先由与点O距离等于1的点的轨迹是一个半球面，求出其体积，再根据几何概型概率公式结合正方体的体积的方法易求解．【解答】解：本题是几何概型问题，与点O距离等于1的点的轨迹是一个半球面，其体积为：V1=×π×13=“点P与点O距离大于1的概率”事件对应的区域体积为23﹣，则点P与点O距离大于1的概率是=1﹣．故答案为：1﹣．10．若P0（x0，y0）在椭圆外，则过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线方程是．那么对于双曲线则有如下命题：若P0（x0，y0）在双曲线外，则过P0作双曲线的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2的所在直线方程是．【考点】类比推理．【分析】根据椭圆与双曲线之间的类比推理，由椭圆标准方程类比双曲线标准方程，由点的坐标类比点的坐标，由切点弦P1P2所在直线方程类比切点弦P1P2所在直线方程，结合求椭圆切点弦P1P2所在直线方程方法类比求双曲线切点弦P1P2所在直线方程即可．【解答】解：若P0（x0，y0）在椭圆外，则过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线方程是．那么对于双曲线则有如下命题：若P0（x0，y0）在双曲线外，则过P0作双曲线的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2的所在直线方程是故答案为：．11．若曲线y=与直线y=a恰有一个公共点，则实数a的取值范围为a=﹣e或a＞0．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】根据导数判断单调性：f（x）在（0，）的单调递增，在（1，），（1，+∞）的单调递减，画出图象判断即可．【解答】解：∵y=，定义域为：（0，1）∪（1，+∞）∴y′=，①当＞0时，即0，②当＜0时，即＜x＜1，x＞1，③当=0时，即x=，∴f（x）在（0，）的单调递增，在（1，），（1，+∞）的单调递减，f（）=﹣e，∵曲线y=与直线y=a恰有一个公共点，∴a=﹣e或a＞0，12．函数f（x）=﹣的最大值是．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】明确函数的几何意义，利用三点共线，可求函数的最大值．【解答】解：f（x）=﹣=表示点P（x，x2）与A（3，2）的距离及B（0，1）的距离的差∵点P（x，x2）的轨迹是抛物线y=x2，B在抛物线内，A在抛物线外∴当P、B、A三点共线且B在AP之间时|PA|﹣|PB|最大，为|AB|（P、A、B不共线时三点可构成三角形，两边之差小于第三边）∵|AB|=∴函数f（x）=﹣的最大值是故答案为．13．椭圆E： +=1的右焦点F，直线l与曲线x2+y2=4（x＞0）相切，且交椭圆E于A，B两点，记△FAB的周长为m，则实数m的所有可能取值所成的集合为{2} ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】确定AQ，BQ，利用椭圆第二定义，即可求出实数m的所有可能取值所成的集合【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），切点为Q，则同理可求得：由椭圆第二定义：故答案为：{2}．14．已知曲线在x=﹣1处的切线和它在x=x0（x0＞0）处的切线互相垂直，设，则m=2．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出x＜0的函数的导数，可得在x=﹣1处的切线斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得在x=x0（x0≠0）处的切线斜率，求出x＞0的函数的导数，可得切线的斜率，构造函数g（t）=te t﹣，求出导数，运用零点存在定理，即可判断m=2．【解答】解：由=，得y′=．=﹣2e，，∴y′|x=﹣1则，∴（1﹣x0）e1﹣x0=，设t=1﹣x0，即有te t=，令g（t）=te t﹣，g′（t）=（1+t）e t，当m=0时，x0∈（0，），t∈（，1）；当m=1时，x0∈（，），t∈（，）；当m=2时，x0∈（，），t∈（，）；由g（）=﹣＜0，g（）=﹣＞0，g（）=﹣＞0，g（1）=e﹣＞0，且g（t）在（，1）递增，可得g（t）在（，）内只有一解，故m=2成立．故答案为：2．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（1）计算（2）求中心在原点，焦点在坐标轴上，并且经过点P（3，）和Q（，5）的双曲线方程．【考点】复数代数形式的乘除运算；双曲线的标准方程．【分析】（1）直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案；（2）由题意设出双曲线方程为，代入两点的坐标，联立方程组求得m，n的值得答案．【解答】解：（1）==；（2）由题意设双曲线方程为，∵双曲线经过点P（3，）和Q（，5），∴，解得．∴双曲线方程为：．16．已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2=0”．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1）由于命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，令f（x）=x2﹣a，只要x∈[1，2]时，f（x）min≥0即可；（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，a≤1，命题q为真命题时，△=4a2﹣4•2≥0，解得a的取值范围．由于命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，可知：命题p与命题q 必然一真一假，解出即可．【解答】解：（1）∵命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，令f（x）=x2﹣a，根据题意，只要x∈[1，2]时，f（x）min≥0即可，也就是1﹣a≥0，解得a≤1，∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]；（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，a≤1，命题q为真命题时，△=4a2﹣4×2≥0，解得a≤﹣或a≥．∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，∴命题p与命题q必然一真一假，当命题p为真，命题q为假时，．当命题p为假，命题q为真时，综上：a或﹣＜a≤117．已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣（a＞0）（1）若a=l，求f（x）的极值；（2）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）问题转化为[f（x）﹣g（x）]min＜0，（x∈[1，e]）成立，设h（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣alnx+，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=x﹣lnx，函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=1﹣=，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故f（x）的极小值是f（1）=1，无极大值；（2）存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，等价于[f（x）﹣g（x）]min＜0，（x∈[1，e]）成立，设h（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣alnx+，则h′（x）=，令h′（x）=0，解得：x=﹣1（舍），x=1+a；①当1+a≥e，h（x）在[1，e]递减，∴h（x）min=h（e）=e2﹣ea+1+a，令h（x）min＜0，解得：a＞；②当1+a＜e时，h（x）在（1，a+1）递减，在（a+1，e）递增，∴h（x）min=h（1+a）=a[1﹣ln（a+1）]+2＞2与h（x）min＜0矛盾，综上，a＞．18．某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示．其上部分是以AB为直径的半圆，点O为圆心，下部分是以AB为斜边的等腰直角三角形，DE，DF是两根支杆，其中AB=2米，∠EOA=∠FOB=2x（0＜x＜）．现在弧EF、线段DE与线段DF上装彩灯，在弧AE、弧BF、线段AD与线段BD上装节能灯．若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为2k，节能灯的比例系数为k（k ＞0），假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y是所有灯“心悦效果”的和．（1）试将y表示为x的函数；（2）试确定当x取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳．【考点】在实际问题中建立三角函数模型；三角函数的最值．【分析】（1）由题意知，建立三角函数模型，根据所给的条件看出要用的三角形的边长和角度，用余弦定理写出要求的边长，表述出函数式，整理变化成最简的形式，得到结果．（2）要求函数的单调性，对上一问整理的函数式求导，利用导数求出函数的单增区间和单减区间，看出变量x取到的结果．【解答】解：（1）∵∠EOA=∠FOB=2x，∴弧EF、AE、BF的长分别为π﹣4x，2x，2x连接OD，则由OD=OE=OF=1，∴，∴=；（2）∵由，解得，即，又当时，y'＞0，此时y在上单调递增；当时，y'＜0，此时y在上单调递减．故当时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，直线l与x轴交于点E，与椭圆C交于A、B两点．当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦AB的长为．（1）求椭圆C的方程；（2）若点E的坐标为（，0），点A在第一象限且横坐标为，连结点A与原点O的直线交椭圆C于另一点P，求△PAB的面积；（3）是否存在点E，使得+为定值？若存在，请指出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由，设a=3k（k＞0），则，b2=3k2，可设椭圆C的方程为，由于直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点，即，代入椭圆方程，解得y 即可得出．（2）将代入，解得y，可得直线AB的方程，与椭圆方程联立解得B，又PA=．过原点O，可得P，|PA|，直线PA的方程，求出点B到直线PA的距离h，k可得S△PAB（3）假设存在点E，使得为定值，设E（x0，0），当直线AB与x轴重合时，有=，当直线AB与x轴垂直时，可得=，利用，解得x0，若存在点E，此时，为定值2．根据对称性，只需考虑直线AB过点，设A（x1，y1），B（x2，y2），又设直线AB的方程为，与椭圆C联立方程组，利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：（1）由，设a=3k（k＞0），则，b2=3k2，∴椭圆C的方程为，∵直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点，即，代入椭圆方程，解得y=±k，于是，即，∴椭圆C的方程为．（2）将代入，解得y=±1，∵点A在第一象限，从而，由点E的坐标为，∴，直线AB的方程为，联立，解得，又PA过原点O，于是，|PA|=4，∴直线PA的方程为，∴点B到直线PA的距离，．（3）假设存在点E，使得为定值，设E（x0，0），当直线AB与x轴重合时，有，当直线AB与x轴垂直时，，由，解得，，∴若存在点E，此时，为定值2．根据对称性，只需考虑直线AB过点，设A（x1，y1），B（x2，y2），又设直线AB的方程为，与椭圆C联立方程组，化简得，∴，，又，∴，将上述关系代入，化简可得．综上所述，存在点，使得为定值2．20．已知函数f（x）=alnx+ax2+bx，（a，b∈R）．（1）设a=1，f（x）在x=1处的切线过点（2，6），求b的值；（2）设b=a2+2，求函数f（x）在区间[1，4]上的最大值；（3）定义：一般的，设函数g（x）的定义域为D，若存在x0∈D，使g（x0）=x0成立，则称x0为函数g（x）的不动点．设a＞0，试问当函数f（x）有两个不同的不动点时，这两个不动点能否同时也是函数f（x）的极值点？【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）由题意a=1，f（x）在x=1处的切线过点（2，6），利用导数函数的几何性质求解b的值；（2）b=a2+2，求函数f（x），求其导函数，讨论在区间[1，4]上的最大值；（3）根据函数g（x）的不动点新定义，求其f（x）定义域，当a＞0时，g（x0）=x0讨论函数f（x）有两个不同的不动点；同时求函数f（x）的极值点，即可知道两个不动点能否同时也是函数f（x）的极值点．【解答】解：（1）对f（x）进行求导：f'（x）=+2ax+b当a=1时，f（x）=lnx+x2+bx，f'（x）=+2x+b当x=1时，f（1）=1+b，f'（1）=3+b故切线方程为：y﹣（1+b）=（3+b）（x﹣1）点（2，6）满足切线方程，故b=1．（2）由题意，f（x）=alnx+ax2+（a2+2）x，x＞0则：f'（x）=+2ax+a2+2=当a=0时，f（x）=2x，f'（x）=2＞0，f（x）在[1，4]上为增函数，故最大值为f（4）=8；当a＞0时，f'（x）＞0，f（x）在x＞0上为增函数，故最大值为f（4）=4a2+（16+ln4）a+8；当a＜0时，令f'（x）=0，则导函数有两个零点：x1=﹣，x2=﹣．（i）当a＜时，∵，∴x1＜x2，f（x）在（0，﹣），（﹣，+∞）上单调递减，在（﹣，﹣）上单调递增；①当﹣＜＜1＜4≤﹣时，即a≤﹣8，此时最大值为f（4）=4a2+（16+ln4）a+8；②当﹣＜＜1＜﹣≤4时，即﹣8≤a＜﹣2，此时最大值为f（﹣）=aln（﹣）﹣﹣a；③当＜＜≤1＜4时，即﹣2≤a＜﹣，此时最大值为f（1）=a2+a+2；（ii）当a=﹣时，，f'（x）≤0，f（x）在[1，4]上单调递减，最大值为f（1）=4﹣；（iii）当﹣＜a＜0时，，∴x1＞x2f（x）在（0，﹣），（﹣，+∞）上单调递减，（﹣，﹣）上单调递增；①当时，即≤a＜0，最大值为f（4）=4a2+（16+ln4）a+8；②当﹣＜＜1＜﹣≤4时，即﹣1＜a≤，最大值为f（﹣）=aln（﹣）﹣a﹣；③当﹣＜＜﹣≤1＜4时，即﹣＜a≤﹣1，最大值为f（1）=a2+a+2；（3）由题意知：f（x）=⇒由①②化简后：alnx﹣a﹣ax2=x⇒则说明a（lnx﹣x2﹣1）=x 有两个根；∵a＞0，x＞0∴=即y=与y=h（x）=在（0，+∞）上有两个不同交点．h'（x）=，令F（x）=2﹣x2﹣lnx⇒F'（x）=﹣2x﹣＜0；∴F（x）在x＞0上单调递减；∵F（1）＞0，F（）＜0∴F（x）的零点为x0∈（1，），故F（x0）=0，即2﹣﹣lnx0=0⇒lnx0=2﹣③；所以，h（x）在（0，x0）单调递减，（x0，+∞）上单调递增；h（x0）===，h（x0）∈（﹣，﹣1）；故h（x）的图形如右图：当＜0时即a＜0，h（x）图形与y=图形有两个交点，与题设a＞0相互矛盾，故a不存在．资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除2017年3月11日----完整版学习资料分享----。

2016-2017学年江苏省泰州二中高二（上）期中数学试卷一、填空题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）命题：“∃x＜﹣1，x2≥1”的否定是．2．（5分）已知函数f（x）=x2+e x，则f'（1）=．3．（5分）“a，b都是偶数”是“a+b是偶数”的条件．（从“充分必要”，“充分不必要”，“必要不分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写）4．（5分）如图，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，则f（4）+f′（4）的值为．5．（5分）抛物线x2+y=0的焦点坐标为．6．（5分）椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k=．7．（5分）已知曲线y=x+sinx，则此曲线在x=处的切线方程为．8．（5分）双曲线x2﹣=1的离心率是，渐近线方程是．9．（5分）已知椭圆上一点P到左焦点的距离为，则它到右准线的距离为．10．（5分）已知函数f（x）=x2﹣8lnx，若对∀x1，x2∈（a，a+1）均满足，则a的取值范围为．二、解答题（本大题共11小题.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）11．（4分）求函数y=cos（2x﹣1）+的导数．12．（4分）已知方程=1表示椭圆，求k的取值范围．13．（8分）已知双曲线的对称轴为坐标轴，焦点到渐近线的距离为，并且以椭圆的焦点为顶点．求该双曲线的标准方程．14．（8分）已知p：﹣2≤≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q 的必要不充分条件，求实数m的取值范围．15．（8分）倾斜角的直线l过抛物线y2=4x焦点，且与抛物线相交于A、B两点．（1）求直线l的方程．（2）求线段AB长．16．（10分）已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．17．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x，（1）过点P（2，﹣6）作曲线y=f（x）的切线，求此切线的方程；（2）若关于x的方程f（x）﹣m=0有三个不同的实数根，求m的取值范围．18．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点P（﹣1，﹣1），c为椭圆的半焦距，且c=b，过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l1的斜率为﹣1，求△PMN的面积．19．（14分）用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？20．（15分）若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A，B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为2，又OA⊥OB，求a，b的值．21．（15分）已知函数，g（x）=x+lnx，其中a＞0．（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年江苏省泰州二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）命题：“∃x＜﹣1，x2≥1”的否定是∀x＜﹣1，x2＜1．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题：“∃x＜﹣1，x2≥1”的否定是∀x＜﹣1，x2＜1；故答案为：∀x＜﹣1，x2＜1．2．（5分）已知函数f（x）=x2+e x，则f'（1）=2+e．【解答】解：函数的导数f′（x）=2x+e x，则f′（1）=2+e，故答案为：2+e．3．（5分）“a，b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件．（从“充分必要”，“充分不必要”，“必要不分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写）【解答】解：∵a与b都是偶数⇒a+b是偶数为真命题，但a+b是偶数时，a与b都是偶数不一定成立，故a+b是偶数⇒a与b都是偶数为假命题故“a与b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．4．（5分）如图，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，则f（4）+f′（4）的值为 5.5．【解答】解：如图可知f（4）=5，f'（4）的几何意义是表示在x=4处切线的斜率，故，故f（4）+f'（4）=5.5．故答案为：5.55．（5分）抛物线x2+y=0的焦点坐标为（0，﹣）．【解答】解：∵抛物线x2+y=0，即x2=﹣y，∴p=，=，∴焦点坐标是（0，﹣），故答案为：（0，﹣）．6．（5分）椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k=1．【解答】解：把椭圆方程化为标准方程得：x2+=1，因为焦点坐标为（0，2），所以长半轴在y轴上，则c==2，解得k=1．故答案为：1．7．（5分）已知曲线y=x+sinx，则此曲线在x=处的切线方程为6x﹣6y+3﹣π=0．【解答】解：曲线y=x+sinx的导数为y′=cosx+，可得曲线y=x+sinx，在x=处的切线斜率为=1，切点为（，），可得曲线y=x+sinx，则此曲线在x=处的切线方程为y﹣=x﹣，即为6x﹣6y+3﹣π=0，故答案为：6x﹣6y+3﹣π=0．8．（5分）双曲线x2﹣=1的离心率是2，渐近线方程是y=．【解答】解：双曲线x2﹣=1中，a=1，b=，c=2，∴e==2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2，y=．9．（5分）已知椭圆上一点P到左焦点的距离为，则它到右准线的距离为3．【解答】解：由椭圆的第一定义得点P到右焦点的距离等于4﹣=，离心率e=，再由椭圆的第二定义得=e=，∴点P到右准线的距离d=3，故答案为：3．10．（5分）已知函数f（x）=x2﹣8lnx，若对∀x1，x2∈（a，a+1）均满足，则a的取值范围为0≤a≤1．【解答】解：∵对∀x1，x2∈（a，a+1）均满足，∴f（x）在（a，a+1）单调递减函数，∵f（x）=x2﹣8lnx，∴f′（x）=2x﹣∵函数f（x）是单调递减函数，∴f′（x）=2x﹣≤0在（a，a+1）上恒成立∴（0，2]⊇（a，a+1）∴0≤a≤1，故答案为：0≤a≤1．二、解答题（本大题共11小题.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）11．（4分）求函数y=cos（2x﹣1）+的导数．【解答】解：函数的导数y′=﹣2sin（2x﹣1）﹣2•=﹣2sin（2x﹣1）﹣．12．（4分）已知方程=1表示椭圆，求k的取值范围．【解答】解：根据题意，若方程=1表示椭圆，必有，解可得2＜k＜4且k≠3，即k的取值范围是（2，3）∪（3，4）；故k的取值范围是（2，3）∪（3，4）．13．（8分）已知双曲线的对称轴为坐标轴，焦点到渐近线的距离为，并且以椭圆的焦点为顶点．求该双曲线的标准方程．【解答】解：椭圆的焦点坐标为（±2，0），为双曲线的顶点，双曲线的焦点到渐近线的距离为，∴=b=，∴a==，∴该双曲线的标准方程为=1．14．（8分）已知p：﹣2≤≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q 的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【解答】解：由：﹣2≤≤2得﹣6≤x﹣4≤6，即﹣2≤x≤10，由x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），得[x﹣（1﹣m）][x﹣（1+m）]≤0，即1﹣m≤x≤1+m，m＞0，若￢p是￢q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，即，即，解得m≥9．15．（8分）倾斜角的直线l过抛物线y2=4x焦点，且与抛物线相交于A、B两点．（1）求直线l的方程．（2）求线段AB长．【解答】解：（1）根据抛物线y2=4x方程得：焦点坐标F（1，0），直线AB的斜率为k=tan45°=1，由直线方程的点斜式方程，设AB：y=x﹣1，（2）将直线方程代入到抛物线方程中，得：（x﹣1）2=4x，整理得：x2﹣6x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由一元二次方程根与系数的关系得：x1+x2=6，x1•x2=1，所以弦长|AB|=|x1﹣x2|=•=8．16．（10分）已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：∵命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，令f（x）=x2﹣a，根据题意，只要x∈[1，2]时，f（x）min≥0即可，也就是1﹣a≥0，解得a≤1，∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]；命题q为真命题时，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2或a≥1．∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，∴命题p与命题q必然一真一假，当命题p为真，命题q为假时，，∴﹣2＜a＜1，当命题p为假，命题q为真时，，∴a＞1，综上：a＞1或﹣2＜a＜1．17．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x，（1）过点P（2，﹣6）作曲线y=f（x）的切线，求此切线的方程；（2）若关于x的方程f（x）﹣m=0有三个不同的实数根，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵f′（x）=3x2﹣3，设切点坐标为（t，t3﹣3t），则切线方程为y﹣（t3﹣3t）=3（t2﹣1）（x﹣t），∵切线过点P（2，﹣6），∴﹣6﹣（t3﹣3t）=3（t2﹣1）（2﹣t），化简得t3﹣3t2=0，∴t=0或t=3．∴切线的方程：3x+y=0或24x﹣y﹣54=0．（2）由f'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）=0，得x=1或x=﹣1．当x＜﹣1或x＞1时，f'（x）＞0；当﹣1＜x＜1时，f'（x）＜0，所以在（﹣∞，﹣1]和[1，+∞）上f（x）单调递增，在[﹣1，1]上f（x）单调递减，在R上f（x）的极大值为f （﹣1）=2，在R上f（x）的极小值为f（1）=﹣2．函数方程f（x）=m在R上有三个不同的实数根，即直线y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象有三个交点，由f（x）的大致图象可知，当m＜﹣2或m＞2时，直线y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象没有交点；当m=﹣2或m=2时，y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象有两个交点；当﹣2＜m＜2时，直线y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象有三个交点．因此实数m的取值范围是﹣2＜m＜2．18．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点P（﹣1，﹣1），c为椭圆的半焦距，且c=b，过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l1的斜率为﹣1，求△PMN的面积．【解答】解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点P（﹣1，﹣1），c为椭圆的半焦距，且c=b，过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N，∴，解得b2=，a2=4．∴椭圆方程为：=1．（2）设l1方程为y+1=k（x+1），联立，消去y得（1+3k2）x2+6k（k﹣1）x+3（k﹣1）2﹣4=0．∵P（﹣1，1），解得M（，）．当k≠0时，用﹣代替k，得N（，），将k=1代入，得M（﹣2，0），N（1，1），∵P（﹣1，﹣1），∴PM=，PN=2，∴△PMN的面积为=2．19．（14分）用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？【解答】解：根据题意可设容器的高为x，容器的体积为V，则有V=（90﹣2x）（48﹣2x）x=4x3﹣276x2+4320x，（0＜x＜24）求导可得到：V′=12x2﹣552x+4320由V′=12x2﹣552x+4320=0得x1=10，x2=36．所以当x＜10时，V′＞0，当10＜x＜36时，V′＜0，当x＞36时，V′＞0，所以，当x=10，V有极大值V（10）=19600，又V（0）=0，V（24）=0，所以当x=10，V有最大值V（10）=19600故答案为当高为10，最大容积为19600．20．（15分）若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A，B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为2，又OA⊥OB，求a，b的值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（，）．联立，得（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0．∴=，=1﹣=．∴M（，）．∵k OM=2，∴a=2b．①∵OA⊥OB，∴=﹣1．∴x1x2+y1y2=0．∵x1x2=，y1y2=（1﹣x1）（1﹣x2），∴y1y2=1﹣（x1+x2）+x1x2=1﹣+=．∴=0．∴a+b=2．②由①②得a=，b=．21．（15分）已知函数，g（x）=x+lnx，其中a＞0．（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵，g（x）=x+lnx，∴，其定义域为（0，+∞），∴．∵x=1是函数h（x）的极值点，∴h′（1）=0，即3﹣a2=0．∵a＞0，∴．经检验当时，x=1是函数h（x）的极值点，∴；（2）对任意的x1，x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立等价于对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．当x∈[1，e]时，．∴函数g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函数．∴[g（x）]max=g（e）=e+1．∵，且x∈[1，e]，a＞0．①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是增函数，∴．由1+a2≥e+1，得a≥，又0＜a＜1，∴a不合题意；②当1≤a≤e时，若1≤x＜a，则，若a＜x≤e，则．∴函数在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数．∴[f（x）]min=f（a）=2a．由2a≥e+1，得a≥，又1≤a≤e，∴≤a≤e；③当a＞e且x∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是减函数．∴．由≥e+1，得a≥，又a＞e，∴a＞e；综上所述：a的取值范围为．。

2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二（上）期中数学试卷（理科）一.填空题（每题5分，共计70分）1．投掷两颗相同的正方体骰子（骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1、2、3、4、5、6）一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为．2．已知某算法的伪代码如图，根据伪代码，若函数g（x）=f（x）﹣m在R上有且只有两个零点，则实数m的取值范围是．3．如图，空间四边形O A BC中，=，=，=，点M在O A上，且=，点N为BC中点，则等于．（用向量表示）4．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为．5．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x2+y2=．6．已知b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（﹣）6的展开式中的常数项是．（用数字作答）7．如图，在正四面体ABCD中，点E为BC中点，点F为AD中点，则异面直线AE与CF 所成角的余弦值为．8．已知（x﹣m）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展开式中x3的系数是35，则a1+a2+a3+…+a7=．9．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子至少有2粒发芽的概率是．（请用分数表示结果）10．已知（1+mx）n（m∈R，n∈N*）的展开式的二项式系数之和为32，且展开式中含x3项的系数为80．则（1+mx）n（1﹣x）6展开式中含x2项的系数为．11．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P（ξ≤7）=．12．袋中混装着10个大小相同的球（编号不同），其中6只白球，4只红球，为了把红球与白球区分开来，采取逐只抽取检查，若恰好经过6次抽取检查，正好把所有白球和红球区分出来了，则这样的抽取方式共有种．（用数字作答）13．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形（如下表），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有种．1 2 34 5 67 8 914．已知数列{a n}为a0，a1，a2，a3，…，a n（n∈N），b n=a i=a0+a1+a2+a3+…+a n，i∈N．若数列{a n}为等差数列a n=2n（n∈N），则（b i）=．二.解答题（本题包括六道大题共计90分，解答时请写出必要的计算或证明过程）15．“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100mL（不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100mL（含80）以上时，属醉酒驾车．”2015年9月26日晚8时开始，德阳市交警一队在本市一交通岗前设点，对过往的车辆进行抽查，经过4个小时共查出喝过酒的驾车者60名，如图是用酒精测试仪对这60名驾车者血液中酒精浓度进行检测后所得结果画出的频率分布直方图．（1）求这60名驾车者中属醉酒驾车的人数；（图中每组包括左端点，不包括右端点）（2）求这60名驾车者血液的酒精浓度的平均值；（3）将频率分布直方图中的七组从左到右依次命名为第一组，第二组，…，第七组，在第五组和第七组的所有人中抽出两人，记他们的血液酒精浓度分别为x，y（mg/100mL），则事件|x﹣y|≤10的概率是多少？16．已知（+2x）n．（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．17．在甲、乙等7个选手参加的一次演讲比赛中，采用抽签的方式随机确定每个选手的演出顺序（序号为1，2，…7），求：（1）甲、乙两个选手的演出序号至少有一个为奇数的概率；（2）甲、乙两选手之间的演讲选手个数ξ的分布列与期望．18．如图：已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，且C1C=CD=1．（1）试用，，表示，并求||；（2）求证：CC1⊥BD；（3）试判断直线A1C与面C1BD是否垂直，若垂直，给出证明；若不垂直，请说明理由．19．一个袋中装有黑球，白球和红球共n（n∈N*）个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球．（1）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设ξ表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ；（2）当n取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少？20．数学运算中，常用符号来表示算式，如=a0+a1+a2+a3+…+a n，其中i∈N，n∈N*（Ⅰ）若a0、a1、a2、…a n成等差数列，且a0=0，公差d=1，求证：（a i C）=n•2n﹣1（Ⅱ）若（1+x）k=a0+a1x+a2x2+…+a2n x2k，b n=，记d n=1+且不等式t•（d n﹣1）≤b n对于∀n∈N*恒成立，求实数t的取值范围．2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.填空题（每题5分，共计70分）1．投掷两颗相同的正方体骰子（骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1、2、3、4、5、6）一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】试验发生包含的事件是掷两颗骰子有6×6=36个结果，满足条件的事件共4种结果，从而得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是掷两颗骰子有6×6=36个结果，满足条件的事件是两颗骰子向上点数之积等于12，有（2，6）、（3，4）、（4，3）、（6，2）共4种结果，∴要求的概率是=．故答案为：．2．已知某算法的伪代码如图，根据伪代码，若函数g（x）=f（x）﹣m在R上有且只有两个零点，则实数m的取值范围是（﹣∞，0）∪{1} ．【考点】伪代码．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值；函数g（x）=f（x）﹣m在R上有且只有两个零点，则我们可以在同一平面直角坐标系中画出y=f（x）与y=m的图象进行分析．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值；其函数图象如图所示：又∵函数g（x）=f（x）﹣m在R上有且只有两个零点，则由图可得m＜0或m=1，故答案为：（﹣∞，0）∪{1}．3．如图，空间四边形O A BC中，=，=，=，点M在O A上，且=，点N为BC中点，则等于．（用向量表示）【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】连接AM，根据向量的加减运算三角形法则，求出，，即可求．【解答】解：由题意：=，=，=，∴，．点N为BC中点，那么：，=，则，连接AN，则，那么：===，故答案为：．4．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为10．【考点】分层抽样方法．【分析】设从高三学生中抽取的人数应为x，根据分层抽样的定义和方法可得，由此求得x的值，即为所求．【解答】解：设从高三学生中抽取的人数应为x，根据分层抽样的定义和方法可得，解得x=10，故答案为10．5．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x2+y2=208．【考点】极差、方差与标准差．【分析】利用平均数、方差的概念列出关于x、y的方程组，求解即可．【解答】解：由题意可得：x+y=20，（x﹣10）2+（y﹣10）2=8，解得则x2+y2=208，故答案为：208．6．已知b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（﹣）6的展开式中的常数项是﹣540．（用数字作答）【考点】程序框图．【分析】根据题意，分析该程序的作用，可得b的值，再利用二项式定理求出展开式的通项，分析可得常数项．【解答】解：第一次循环：b=3，a=2；第二次循环得：b=5，a=3；第三次循环得：b=7，a=4；第四次循环得：b=9，a=5；不满足判断框中的条件输出b=9．∵（﹣）6=的展开式的通项为：=令3﹣r=0得r=3∴常数项为=﹣540．故答案为：﹣540．7．如图，在正四面体ABCD中，点E为BC中点，点F为AD中点，则异面直线AE与CF 所成角的余弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】可考虑用空间向量求异面直线AE与CF所成角的余弦值，取一组空间基底为{}，用这组基底分别表示出向量，可设正四面体的棱长为1，这样即可求出，，从而根据求出，这样便可得到异面直线AE与CF所成角的余弦值．【解答】解：，；设正四面体的棱长为1，则，=；=；∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为．故答案为：．8．已知（x﹣m）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展开式中x3的系数是35，则a1+a2+a3+…+a7=1或127．【考点】二项式系数的性质．【分析】由条件求得a0=（﹣m）7，根据展开式中x3的系数是35，求得m=±1．在（x﹣m）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7中，令x=1，可得（1﹣m）7=a0+a1+a2+…+a7 ①，分当m=1时和当m=﹣1时两种情况，分别由①求得a1+a2+a3+…+a7的值．【解答】解：∵（x﹣m）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7 ，∴a0=（﹣m）7．又展开式中x3的系数是35，可得•（﹣m）4=35，∴m=±1．∴a0=（﹣m）7=±1．在（x﹣m）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7中，令x=1，可得（1﹣m）7=a0+a1+a2+…+a7 ①，当m=1时，a0=﹣1，由①可得0=﹣1+a1+a2+…+a7 ，即a1+a2+a3+…+a7=1．当m=﹣1时，a0=1，由①可得27=1+a1+a2+…+a7 ，即a1+a2+a3+…+a7=127，故答案为：﹣1或129．9．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子至少有2粒发芽的概率是．（请用分数表示结果）【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】根据n次独立重复实验中至少发生k次的概率公式求得播下4粒种子至少有2粒发芽的概率是即可．【解答】解：根据题意，播下4粒种子至少有2粒发芽即4次独立重复事件至少发生2次，由n次独立重复事件至少发生k次的概率的公式可得，P=•+•+=，故答案为：．10．已知（1+mx）n（m∈R，n∈N*）的展开式的二项式系数之和为32，且展开式中含x3项的系数为80．则（1+mx）n（1﹣x）6展开式中含x2项的系数为﹣5．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意可得：2n=32，解得n=5，由（1+mx）5的展开式的通项公式，及其展开式中含x3项的系数为80．解得m=2．把（1+2x）5（1﹣x）6展开即可得出．【解答】解：由题意可得：2n=32，解得n=5，=（mx）r=m r x r，令r=3，（1+mx）5的展开式的通项公式：T r+1则=80，解得m=2．则（1+2x）5（1﹣x）6=，∴展开式含x2项的系数为=+﹣2=﹣5．故答案为：﹣5．11．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P（ξ≤7）=．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】取出的4只球中红球个数的可能为4，3，2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3个，得分的随机变量ξ=4，6，8，10，由经能求出P（ξ≤7）的值．【解答】解：取出的4只球中红球个数的可能为4，3，2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3个，∴得分的随机变量ξ=4，6，8，10，∴P（ξ≤7）=P（ξ=4）+P（ξ=6）==．故答案为：．12．袋中混装着10个大小相同的球（编号不同），其中6只白球，4只红球，为了把红球与白球区分开来，采取逐只抽取检查，若恰好经过6次抽取检查，正好把所有白球和红球区分出来了，则这样的抽取方式共有7920种．（用数字作答）【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、前6次取出的全部为白球，②、前5次取出3个红球、2个白球，第6次取出红球，分别求出每种情况下的取法数目，再由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，恰好经过6次抽取检查，正好把所有白球和红球区分开来，则一共有2种情况：①、前6次取出的全部为白球，需要将6个白球全排列，安排在前6次取出，有A66=720种情况，②、前5次取出3个红球、2个白球，第5次取出红球，需要在4个红球中取出3个，6只白球中取出2个，安排在前5次取出，第6次取出第4只红球，有C43C62A55=7200种情况，则一共有720+7200=7920种不同的抽取方式．故答案为：7920．13．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形（如下表），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有108种．1 2 34 5 67 8 9【考点】排列、组合的实际应用．【分析】当1，5，9，为其中一种颜色时，2，6共有4种可能，其中2种2，6是涂相同颜色，各有2种可能共6种可能．4，8及7，与2，6及3，一样有6种可能并且与2，6，3，颜色无关，当1，5，9换其他的颜色时也是相同的情况，相乘得到结果．【解答】解：首先看图形中的1，5，9，有3种可能，当1，5，9，为其中一种颜色时，2，6共有4种可能，其中2种2，6是涂相同颜色，各有2种可能共6种可能．4，8及7，与2，6及3，一样有6种可能并且与2，6，3，颜色无关．当1，5，9换其他的颜色时也是相同的情况符合条件的所有涂法共有3×6×6=108种，故答案为：10814．已知数列{a n}为a0，a1，a2，a3，…，a n（n∈N），b n=a i=a0+a1+a2+a3+…+a n，i∈N．若数列{a n}为等差数列a n=2n（n∈N），则（b i）=（n2+3n）•2n﹣2．【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的求和公式可得：b n=a i=a0+a1+a2+a3+…+a n==n （n+1）．因此（b i）=1×2×++…+n（n+1），构造等式：x（x+1）n=+++…+，两边对x两次求导，令x=1即可得出．【解答】解：∵a n=2n（n∈N），∴b n=a i=a0+a1+a2+a3+…+a n===n（n+1）．∴（b i）=1×2×++…+n（n+1），∵x（x+1）n=+++…+，两边对x求导：（x+1）n+nx（x+1）n﹣1=1+2x+3x2+…+（n+1），两边对x求导：n（x+1）n﹣1+n（x+1）n﹣1+nx（x+1）n﹣2=1×2×+x+…+n（n+1）x n﹣1，令x=1可得：（n2+3n）•2n﹣2=1×2×++…+n（n+1），故答案为：（n2+3n）•2n﹣2．二.解答题（本题包括六道大题共计90分，解答时请写出必要的计算或证明过程）15．“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100mL（不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100mL（含80）以上时，属醉酒驾车．”2015年9月26日晚8时开始，德阳市交警一队在本市一交通岗前设点，对过往的车辆进行抽查，经过4个小时共查出喝过酒的驾车者60名，如图是用酒精测试仪对这60名驾车者血液中酒精浓度进行检测后所得结果画出的频率分布直方图．（1）求这60名驾车者中属醉酒驾车的人数；（图中每组包括左端点，不包括右端点）（2）求这60名驾车者血液的酒精浓度的平均值；（3）将频率分布直方图中的七组从左到右依次命名为第一组，第二组，…，第七组，在第五组和第七组的所有人中抽出两人，记他们的血液酒精浓度分别为x，y（mg/100mL），则事件|x﹣y|≤10的概率是多少？【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【分析】（1）根据频率=，计算所求的频数即可；（2）利用频率分布直方图求出数据的平均值即可；（3）用列举法计算基本事件数与对应的概率值．【解答】解：（1）依题意知醉酒驾车者即血液酒精浓度在80 mg/100 mL（含80）以上者，共有0.05×60=3人；（2）由图知60名驾车者血液的酒精浓度的平均值为=25×0.25+35×0.15+45×0.2+55×0.15+65×0.1+75×0.1+85×0.05=47（mg/100 mL）；（3）第五组和第七组的人分别有：60×0.1=6人，60×0.05=3人，|x﹣y|≤10即选的两人只能在同一组中；设第五组中六人为a、b、c、d、e、f，第七组中三人为A、B、C；则从9人中抽出2人的一切可能结果组成的基本事件如下：ab；ac；ad；ae；af；aA；aB；aC；bc；bd；be；bf；bA；bB；bC；cd；ce；cf；cA；cB；cC；de；df；dA；dB；dC；ef；eA；eB；eC；fA；fB；fC；AB；AC；BC共36种；其中两人只能在同一组中的事件有18种，用M表示|x﹣y|≤10这一事件，则概率P（M）==．16．已知（+2x）n．（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．【考点】二项式定理的应用．【分析】（1）第k+1项的二项式系数为C n k，由题意可得关于n的方程，求出n．而二项式系数最大的项为中间项，n为奇数时，中间两项二项式系数相等；n为偶数时，中间只有一项．（2）由展开式前三项的二项式系数和等于79，可得关于n的方程，求出n．而求展开式中系数最大的项时，可通过解不等式组求得，假设T k+1项的系数最大，T k+1项的系数为r k，则有【解答】解：（1）∵C n4+C n6=2C n5，∴n2﹣21n+98=0，∴n=7或n=14．当n=7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，∴T4的系数=C73（）423=，T5的系数=C74（）324=70．当n=14时，展开式中二项式系数最大的项是T8．∴T8的系数=C147（）727=3432．（2）由C n0+C n1+C n2=79，可得n=12，设T k+1项的系数最大．∵（+2x）12=（）12（1+4x）12，∴∴9.4≤k≤10.4，∴k=10，∴展开式中系数最大的项为T11．T11=（）12C1210410x10=16896x10．17．在甲、乙等7个选手参加的一次演讲比赛中，采用抽签的方式随机确定每个选手的演出顺序（序号为1，2，…7），求：（1）甲、乙两个选手的演出序号至少有一个为奇数的概率；（2）甲、乙两选手之间的演讲选手个数ξ的分布列与期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题意设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，则由等可能性事件的概率计算公式即可求得；（2）由于题意知道ξ表示甲、乙两选手之间的演讲选手个数，有题意则ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，再有古典概型随机事件的概率公式及离散型随机变量的定义与其分布列即可求得．【解答】解：（1）设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则表示“甲、乙的演出序号均为偶数”．由等可能性事件的概率计算公式得．（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，，，，，，．从而ξ的分布列为ξ0 1 2 3 4 5P所以，．18．如图：已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，且C1C=CD=1．（1）试用，，表示，并求||；（2）求证：CC1⊥BD；（3）试判断直线A1C与面C1BD是否垂直，若垂直，给出证明；若不垂直，请说明理由．【考点】直线与平面所成的角；空间向量的基本定理及其意义．【分析】（1）利用向量线性运算的几何意义得出，通过计算2得出||；（2）通过计算=0得出CC1⊥BD；（3）通过计算数量积证明CA1⊥BD，CA1⊥BC1，于是直线A1C⊥平面C1BD．【解答】解：（1）=+，=+++2+2+2=1+1+1+2×1×1×+2×1×1×+2×1×1×=6，∴．证明：（2）∵=•（）=•﹣•==0，∴，∴CC1⊥BD．（3）=（+）•（）==1﹣+﹣1+=0，∴，∴CA1⊥BD．同理可证CA1⊥BC1，∵BC1⊂面BDC1，BD⊂面BDC1，BC1∩BD=B，∴A1C⊥面C1DB．19．一个袋中装有黑球，白球和红球共n（n∈N*）个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球．（1）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设ξ表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ；（2）当n取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少？【考点】离散型随机变量及其分布列；等可能事件的概率．【分析】（1）根据题意设出黑球和白球的个数，列出关于概率的方程，解出两种球的个数，由题意知变量取值，根据对应的事件做出分布列，求出期望．（2）设袋中有黑球个数，设从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球为事件C，用摸出的2个球中至少有1个黑球的对立事件摸两个球没有黑球，表示出概率，得到结果．【解答】解：（1）设袋中黑球的个数为x（个），记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球”为事件A，则．∴x=6．设袋中白球的个数为y（个），记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B，则，∴y2﹣29y+120=0，∴y=5或y=24（舍）．∴红球的个数为15﹣6﹣5=4（个）．∴随机变量ξ的取值为0，1，2，分布列是ξ的数学期望=；（2）设袋中有黑球z个，则，）．设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球”为事件C，用摸出的2个球中至少有1个黑球的对立事件求出则，当n=5时，P（C）最大，最大值为．20．数学运算中，常用符号来表示算式，如=a0+a1+a2+a3+…+a n，其中i∈N，n∈N*（Ⅰ）若a0、a1、a2、…a n成等差数列，且a0=0，公差d=1，求证：（a i C）=n•2n﹣1（Ⅱ）若（1+x）k=a0+a1x+a2x2+…+a2n x2k，b n=，记d n=1+且不等式t•（d n﹣1）≤b n对于∀n∈N*恒成立，求实数t的取值范围．【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）由题意求出等差数列的通项公式，然后结合二项式系数的性质证明（a i C）=n•2n﹣1；（Ⅱ）在二项式展开式中分别取x=﹣1，x=1，求出b n，再借助于二项式系数的性质化简可得d n，代入不等式t•（d n﹣1）≤b n，分n为奇数和偶数求得t的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：由已知得，等差数列的通项公式为a n=n，则（a i C）==．∵，∴，∴（a i C）=；（Ⅱ）解：令x=1，则，令x=﹣1，则，∴，由已知可知，==（1﹣4）n﹣（1﹣1）n+1=（﹣3）n+1，∴，将代入不等式t•（d n﹣1）≤b n，得t•（﹣3）n≤4n﹣1，当n为偶数时，，∴t≤；当n为奇数时，，∴．综上所述，所求实数t的范围是．2016年10月15日。

2016—2017学年江苏省泰州中学高二（上）期中数学试卷一、填空题(每题5分，共70分）1．命题“∃x∈R，cosx≥﹣1"的否定是．2．双曲线的渐近线方程为．3．若f（x）=1﹣cosx,则f'（α)等于．4．函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在［0，3］上的最大值是．5．抛物线x2=4y的焦点坐标为．6．P在曲线上移动，在点P处的切线的斜率为k，则k的取值范围是．7．“m=3”是“椭圆的焦距为2”的．（填“充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件”）8．函数f(x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1有极大值又有极小值，则a的范围是．9．若抛物线C：y2=4x上一点A到抛物线焦点的距离为4，则点A到坐标原点O的距离为．10．设直线x=t与函数f(x)=x2,g（x）=lnx的图象分别交于点M，N,则当｜MN｜达到最小时t的值为．11．已知双曲线C:﹣=1(a＞0，b＞0)的渐近线与圆(x﹣2）2+y2=1相交,则双曲线C离心率的取值范围是．12．若函数f(x）=x2﹣e x﹣ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是．13．已知椭圆的离心率，分别是椭圆的左、右顶点,点P是椭圆上的一点，直线PA、PB的倾斜角分别为α、β满足tanα+tanβ=1，则直线PA 的斜率为．14．设函数y=的图象上存在两点P，Q,使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点）,且斜边的中点恰好在y轴上,则实数a的取值范围是．二、解答题（共90分）15．根据下列条件，分别写出椭圆的标准方程：(1）与椭圆有公共焦点，且过M（3,﹣2)；（2）中心在原点，焦点在坐标轴上,且经过两点和．16．已知命题p：函数在区间（m，m+1)上单调递减，命题q：实数m 满足方程表示的焦点在y轴上的椭圆．(1）当p为真命题时，求m的取值范围；（2）若命题“p且q”为假命题,“p或q”为真命题，求m的取值范围．17．设函数f(x）=x3﹣6x+5，x∈R．（1)求f（x）的单调区间和极值；（2）求曲线f（x）过点（1，0）的切线方程．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的左焦点为F，右顶点为A，动点M为右准线上一点（异于右准线与x轴的交点），设线段FM交椭圆C于点P，已知椭圆C的离心率为，点M的横坐标为．(1）求椭圆C的标准方程；(2）若∠FPA为直角,求P点坐标；(3）设直线PA的斜率为k1，直线MA的斜率为k2，求k1•k2的取值范围．19．已知左焦点为F（﹣1，0）的椭圆过点E（1,）．过点P（1，1）分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为线段AB的中点，求k1；（3）若k1+k2=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标．20．已知函数f（x）=lnx．（1)求函数g（x）=f(x+1)﹣x的最大值;（2）若对任意x＞0，不等式f(x）≤ax≤x2+1恒成立,求实数a的取值范围；（3）若x1＞x2＞0，求证：＞．2016—2017学年江苏省泰州中学高二（上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题5分，共70分)1．命题“∃x∈R，cosx≥﹣1”的否定是∀x∈R，cosx＜﹣1．【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题,即∀x∈R,cosx＜﹣1，故答案为：∀x∈R，cosx＜﹣1．2．双曲线的渐近线方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线的渐近线方程为=0，整理后就得到双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线,∴双曲线的渐近线方程为=0，即．故答案为．3．若f（x)=1﹣cosx，则f’（α）等于sinα．【考点】导数的运算．【分析】运用余弦函数的导数，计算即可得到．【解答】解：f（x）=1﹣cosx的导数为f′（x）=sinx，则f'（α）=sinα．故答案为:sinα．4．函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0，3]上的最大值是5．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】对函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5求导，利用导数研究函数在区间[0，3]上的单调性，根据函数的变化规律，确定函数在区间[0，3]上最大值的位置,求值即可．【解答】解:由题意y′=6x2﹣6x﹣12令y′＞0，解得x＞2或x＜﹣1故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在(0，2）单调递减,在（2，3)上单调递增，因为f（0)=﹣12，f（2）=﹣15，f（3）=5故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间［0，3］上最大值是5,故答案为：5．5．抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1)．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4,即可得到抛物线的焦点坐标．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4,∴∴抛物线x2=4y的焦点坐标为（0,1）故答案为:(0，1）6．P在曲线上移动，在点P处的切线的斜率为k，则k的取值范围是k≥1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由二次函数的值域求法即可得到．【解答】解:设切点P（x0，y0）,在此点的切线的斜率为k．∵，∴f′（x）=3x2+1，∴f′(x0）=3x02+1，（x0∈R）．∴斜率k=3x02+1≥1，故答案为：k≥1．7．“m=3”是“椭圆的焦距为2”的充分不必要条件．(填“充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件”）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义结合椭圆的性质求出即可．【解答】解：若m=3，则c2=4﹣3=1，c=1，2c=2，椭圆的焦距是2,是充分条件,若椭圆的焦距是2，则c=1，故m﹣4=1或4﹣m=1，解得:m=5或m=3，不是必要条件,故答案为：充分不必要条件．8．函数f（x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有极大值又有极小值，则a的范围是｛a｜a＜﹣1或a＞2｝．【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】先对函数进行求导，根据函数f（x)=x3+3ax2+3(a+2）x+1既有极大值又有极小值，可以得到导函数为0的方程有两个不等的实数根，从而有△＞0，进而可解出a的范围．【解答】解：f′(x）=3x2+6ax+3（a+2），要使函数f(x)有极大值又有极小值，需f′（x）=3x2+6ax+3（a+2）=0有两个不等的实数根，所以△=36a2﹣36（a+2）＞0，解得a＜﹣1或a＞2．故答案为：｛a|a＜﹣1或a＞2｝9．若抛物线C：y2=4x上一点A到抛物线焦点的距离为4，则点A到坐标原点O的距离为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设出该点的坐标,根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x的值,代入抛物线方程求得y，最后利用两点的距离公式解之即可．【解答】解：设A点坐标为（x，y），根据抛物线定义可知x+1=4，解得x=3,代入抛物线方程求得y=±2,∴A点坐标为：（3，±2),∴A到坐标原点的距离为=．故答案为:．10．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当｜MN｜达到最小时t的值为．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】根据题意构造函数y=f（x）﹣g（x)，利用导数求此函数的最小值,确定对应的自变量x的值，即可得到结论．【解答】解：设函数y=f（x)﹣g（x)=x2﹣lnx（x＞0），则y′=2x﹣=,令y′=0得，x=或x=舍去，所以当时，y′＜0,函数在（0，)上为单调减函数,当时，y′＞0,函数在（，+∞)上为单调增函数，所以当x=时，函数取得唯一的极小值，即最小值为:=，则所求t的值为，故答案为：．11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=1相交，则双曲线C离心率的取值范围是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离小于半径求得a和b的关系,进而利用c2=a2+b2求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求．【解答】解:∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径,即＜1∴3b2＜a2，∴c2=a2+b2＜a2，∴e=＜∵e＞1∴1＜e＜．故答案为：12．若函数f（x）=x2﹣e x﹣ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是(﹣∞，2ln2﹣2）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据题意可得a＜2x﹣e x有解,转化为g（x）=2x﹣e x，a＜g（x)max，利用导数求出最值即可．【解答】解：∵函数f（x)=x2﹣e x﹣ax，∴f′（x）=2x﹣e x﹣a，∵函数f（x）=x2﹣e x﹣ax在R上存在单调递增区间,∴f′（x）=2x﹣e x﹣a＞0，即a＜2x﹣e x有解，令g′(x）=2﹣e x，g′（x）=2﹣e x=0，x=ln2，g′（x）=2﹣e x＞0，x＜ln2，g′（x）=2﹣e x＜0，x＞ln2∴当x=ln2时，g（x）max=2ln2﹣2，∴a＜2ln2﹣2即可．故答案为：（﹣∞，2ln2﹣2）13．已知椭圆的离心率，分别是椭圆的左、右顶点,点P是椭圆上的一点，直线PA、PB的倾斜角分别为α、β满足tanα+tanβ=1，则直线PA 的斜率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的离心率e====,求得a=2b,椭圆方程为：，整理得：=﹣，则tanα=,tanβ=,tanα•tanβ=•==﹣，由tanα+tanβ=1，tanα，tanβ是方程x2﹣x﹣=0的两个根,x=，则tanα=，即可求得直线PA的斜率．【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），B（a，0),P（x，y）,椭圆的离心率e====,整理得：a=2b,∴椭圆方程为：，∴y2=，则=﹣，直线PA、PB的倾斜角分别为α、β，∴k PA=tanα=，k PB=tanβ=，∴tanα•tanβ=•==﹣,直线PA、PB的倾斜角分别为α、β满足tanα+tanβ=1,∴tanα，tanβ是方程x2﹣x﹣=0的两个根,解得：x=,∴直线PA的斜率k PA=tanα=，故答案为:．14．设函数y=的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点)，且斜边的中点恰好在y轴上,则实数a的取值范围是（0，］．【考点】分段函数的应用．【分析】曲线y=f（x)上存在两点P、Q满足题设要求,则点P、Q只能在y轴两侧．设P(t，f(t）)（t＞0）,则Q（﹣t，t3+t2）,运用向量垂直的条件:数量积为0，构造函数h（x）=（x+1)lnx （x≥e）,运用导数判断单调性，求得最值，即可得到a的范围．【解答】解：假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．不妨设P(t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,∴•=0，即﹣t2+f（t）(t3+t2)=0（＊)若方程（＊）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q．若0＜t＜e，则f（t)=﹣t3+t2代入(*）式得：﹣t2+（﹣t3+t2）(t3+t2）=0即t4﹣t2+1=0,而此方程无解，因此t≥e，此时f(t）=alnt，代入（*）式得：﹣t2+（alnt）(t3+t2）=0，即=（t+1)lnt（**）令h（x）=（x+1）lnx（x≥e），则h′（x)=lnx+1+＞0，∴h（x）在[e,+∞)上单调递增，∵t≥e∴h（t）≥h(e）=e+1，∴h（t）的取值范围是[e+1，+∞)．∴对于0＜a≤，方程（＊*)总有解，即方程（*)总有解．故答案为：（0，］．二、解答题（共90分）15．根据下列条件，分别写出椭圆的标准方程：（1）与椭圆有公共焦点,且过M（3，﹣2）；（2）中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点和．【考点】椭圆的标准方程．【分析】（1）利用椭圆的定义求出a，可得b，即可求出椭圆的标准方程；（2)利用待定系数法，求出椭圆的标准方程．【解答】解:(1）椭圆的焦点坐标为（,0）,∵椭圆过M（3，﹣2）,∴2a=+=2，∴a=,b=,∴椭圆的标准方程为；（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0，n＞0）．∵椭圆经过两点和，∴，∴m=，n=，∴椭圆的标准方程为．16．已知命题p：函数在区间（m，m+1)上单调递减，命题q:实数m满足方程表示的焦点在y轴上的椭圆．(1）当p为真命题时，求m的取值范围；（2）若命题“p且q”为假命题,“p或q”为真命题，求m的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用;利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）当p为真命题时，f′(x）＜0恒成立，可得m的取值范围；（2）若命题“p且q”为假命题,“p或q”为真命题，则命题p，q一真一假，进而得到答案．【解答】解：（1）∵∴，当x∈(0，3）时，f′（x）＜0，函数为减函数，当p为真命题时，,解得：0≤m≤2…（2）若q为真命题，则：5﹣m＞m﹣1＞0,解得：1＜m＜3…若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则命题p，q一真一假，故,或解得:0≤m≤1或2＜m＜3…17．设函数f（x）=x3﹣6x+5，x∈R．（1)求f（x）的单调区间和极值;(2）求曲线f(x）过点（1，0)的切线方程．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】(1)求导f(x）导数，可得极值点，导数大于0可得增区间；导数小于0可得减区间；进而得到极值;（2）设切点为（m，n），可得切线的斜率，切线方程，代入（1，0），解方程可得切点，进而得到所求切线方程．【解答】解：（1)f’(x）=3（x2﹣2)，令f'（x）=0,得，∴当或时，f’（x）＞0；当时，f'（x）＜0，∴f（x)的单调递增区间是和，单调递减区间是；当x=﹣，f(x）有极大值5+4；当x=，f（x）有极小值5﹣4；(2）设切点为（m，n)，则切线的斜率为3(m2﹣2）,切线的方程为y﹣（m3﹣6m+5）=3（m2﹣2）（x﹣m），代入（1,0)，可得﹣（m3﹣6m+5）=3(m2﹣2)（1﹣m)，化为（m﹣1）2（2m+1）=0，解得m=1或m=﹣,则斜率为﹣3或﹣，可得切线的方程为y=﹣3x+3或y=﹣x+．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:的左焦点为F,右顶点为A，动点M为右准线上一点（异于右准线与x轴的交点)，设线段FM交椭圆C于点P，已知椭圆C的离心率为，点M的横坐标为．（1）求椭圆C的标准方程；（2)若∠FPA为直角,求P点坐标;（3）设直线PA的斜率为k1，直线MA的斜率为k2,求k1•k2的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】(1）由椭圆的离心率e==，准线方程x==，即可求得a和c的值，则b2=a2﹣c2=5，即可求得椭圆C的标准方程;(2）由∠FPA为直角,以AF为直径的圆的与椭圆相交于P点,设P(x，±)，求得圆心为O（,0）及半径为，根据点到直线的距离公式，即可求得a的值，代入求得y 的值，即可求得P点坐标；（3)设点P（x1，y1)（﹣2＜x1＜3）,点M，由点F、P、M三点共线，求得点M的坐标,．,则．由此可导出k1•k2的取值范围．【解答】解：(1)由题意可知：离心率e==，准线方程x==，解得：a=3，c=2,由b2=a2﹣c2=5，∴求椭圆C的标准方程为;…（2）由∠FPA为直角，∴以AF为直径的圆的与椭圆相交于P点，设P(x，±）,∴圆心为O（，0），半径为，∴丨PO丨=，即=,整理得：4x2﹣9x﹣9=0,解得：x=﹣或x=3(舍去），∴y=±=±,∴P点坐标为:…（3）设点P（x1，y1）（﹣2＜x1＜3)，点，∵点F，P，M共线，x1≠﹣2，∴，即，∴，…∵，∴，…又∵点P在椭圆C上，∴，∴，…∵﹣2＜x1＜3，∴，故k1•k2的取值范围为…19．已知左焦点为F(﹣1，0)的椭圆过点E(1，）．过点P（1，1)分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，CD,设M，N分别为线段AB，CD的中点．（1）求椭圆的标准方程;（2）若P为线段AB的中点,求k1；(3）若k1+k2=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程．【分析】(1）利用椭圆的定义求出椭圆的标准方程；(2）设A，B的坐标，利用点差法确定k1的值;（3）求出直线MN的方程，利用根与系数的关系以及k1+k2=1探究直线过哪个定点．【解答】（1）解：由题意c=1，且右焦点F′（1，0）∴2a=EF+EF′=，b2=a2﹣c2=2∴所求椭圆方程为；（2）解:设A（x1,y1），B（x2，y2），则①，②②﹣①，可得k1==﹣=﹣;（3）证明：由题意，k1≠k2,设M（x M,y M），直线AB的方程为y﹣1=k1（x﹣1)，即y=k1x+k2，代入椭圆方程并化简得(）x2+6k1k2x+=0∴，同理，,当k1k2≠0时，直线MN的斜率k==直线MN的方程为y﹣=（x﹣）即此时直线过定点(0,﹣）当k1k2=0时，直线MN即为y轴，此时亦过点(0，﹣）综上，直线MN恒过定点,且坐标为（0，﹣）．20．已知函数f（x)=lnx．(1）求函数g(x）=f（x+1）﹣x的最大值;（2）若对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，求实数a的取值范围；（3）若x1＞x2＞0，求证：＞．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）先求出g（x）=ln(x﹣1）﹣x（x＞﹣1）,然后求导确定单调区间，极值,最值即可求．（2）本小题转化为在x＞0上恒成立，进一步转化为，然后构造函数h（x）=，利用导数研究出h（x）的最大值，再利用基础不等式可知，从而可知a的取值范围．（3）本小题等价于．令t=，设u(t）=lnt﹣，t＞1，由导数性质求出u（t）＞u（1）=0,由此能够证明＞．【解答】解：(1）∵f（x）=lnx，∴g(x）=f(x+1）﹣x=ln(x+1）﹣x，x＞﹣1,∴．当x∈（﹣1，0）时,g′（x)＞0，∴g(x)在（﹣1，0）上单调递增；当x∈(0，+∞）时，g′（x）＜0，则g（x)在（0,+∞）上单调递减，∴g（x）在x=0处取得最大值g（0)=0．(2)∵对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，∴在x＞0上恒成立，进一步转化为，设h(x)=，则，当x∈（1，e)时,h′(x）＞0；当x∈（e,+∞)时，h′（x)＜0，∴h(x）．要使f（x)≤ax恒成立，必须a．另一方面，当x＞0时，x+,要使ax≤x2+1恒成立，必须a≤2,∴满足条件的a的取值范围是［，2]．（3)当x1＞x2＞0时，＞等价于．令t=，设u(t）=lnt﹣，t＞1则＞0，∴u（t）在(1，+∞)上单调递增，∴u（t）＞u（1)=0,∴＞．2016年12月20日。