云南省昆明一中2009届高三数学8月月考试题(理科)试题 人教版
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云南省昆明一中2009届高三8月月考试题数学(理科)试题命题：李建民 审题：汤丹本试卷分第Ⅰ卷(选择题)第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分，考试用时120 分钟。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P(A ﹒B)=P(A)﹒P(B) 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P, 334R V π=那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径k n kk n n P P C k P --=)1()(第Ⅰ卷(选择题，共60分)一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}0)1(≥-=x x x P ，=Q ｛11-x x＞0｝，则=⋂Q P A ．φ B ．｛x x ＞1｝ C ．{}1≥x x D ．｛1≥x x 或x ＜0｝2、定义映射f ：A →B ，若集合A 中元素x 在对应法则f 作用下的象为x3log ，则A 中元素9的象是A ．一3B ．一2C ．2D ．33、复数611⎪⎭⎫⎝⎛+i 的值是A ．一8B ．8C ．i 8-D ． i 8 4、已知53sin ),,2(=∈a a ππ，则=+)4tan(πaA ．7B ．71 c ．71- D ．一75、已知{}n a 是公比为q 的等比数列，且a l ，a 2，a 3成等差数列则q=A ．1或21-B ．1C ．21- D ．2- 6．已知a>b ，则下列不等式中正确的是 A ．a 1<b1 B ．2a >2b C ．b a +>ab 2 D ．22b a +>ab 2 7、下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是 A ．x x f sin )(= B ．1)(+-=x x f C ．x x x f +-=22ln)( D ．)(21)(xx a a x f -+= 8、设b a ,为两条直线，β,a 为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是A 、若a ，b 与a 所成的角相等，则a ∥βB 、若a ∥a ，b ∥β，a ∥β，则a ∥bC 、若a a ⊂，β⊂b ，a ∥b ，则a ∥βD 、若a ⊥a ，b ⊥β，a ⊥β，则a ⊥b 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若41cos =C ，·2-=且 b a +=5，则c=A 、5B 、13C 、4D 、1710、二次方程)0(,0122≠=++a x ax 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是： A 、a <0 B 、a >0 C 、a <1- D 、a >111、已知)(x f y =是其定义域上的单调递增函数，它的反函数是)(1x f y -=，且)1(+=x f y 的图象过A(一4，0)，B(2，3)两点，若3)1(1≤+-x f ，则x 的取值范围是A 、[一4，2]B 、[一1，2]C 、[0，3]D 、[1，3]。
12、若a ，b ，c 是取白集合{l ，2，3，4，5，6，7}中的三个不同的数，满足a b+bc+c a 为 奇数，则a ，b ，c 不同选取方法共有A 、132种B 、96种C 、60种D 、24种第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在题中横线上．13．抛物线22x ay =的焦点坐标是 ． 14．6)1(xx -的展开式中，常数项为 ．(用数字作答) 1≤y ，15、已知实数x 、y 满足 则y x 2+的最大值是 。
1-≥x y ，16．若球O 的表面积为π16，边长为2的正三角形ABC 的三个顶点在球O 的表而上．则 球心O 到平面ABC 的距离为三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．(本小题满分10分)设函数q p x f ⋅＝)(，其中向量)sin cos ,(sin x x x p +=，R x x x x q ∈-=)sin cos ,cos 2( (I)求函数)(x f 的最大值； (II)求函数)(x f 的单调递增区间．18．(本小题满分12分)如右图在棱长为1的正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 、F 分别是OD ′，BD 中点，G 在棱CD 上，且CD CG 41=。
(I)求证：EF ⊥B ′C ：(II)求EF 与C ′G 所成的角的余弦值。
19．(本小题满分12分)甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，其中甲袋装有1个红球，4个白球；乙袋装 有2个红球，3个白球。
现从甲、乙两袋中各任取2个球。
(I)用手表示取到的4个球中红球的个数，求告的分布列及ξ的数学期望； (II)求取到的4个球中至少有2个红球的概率。
20．(本小题满分12分)已知数列{}n a 中，1a =2，前n 项和为n S ，对任意n ∈N ﹡，43+=n n a S ． (I)求数列{}n a 的通项公式：(II)若数列{}n b 满足n n S b 3=，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．21．(本小题满分12分)己知双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为x y 3=，两条准线的距离为1．(I)求双曲线的方程；(II)直线，过坐标原点O 且和双曲线交于两点M ，N ，点P 为双曲线上异于M ，N 的一 点，且直线PM,PN 的斜率均存在，求PM k ·PN k 的值．22．(本小题满分12分) 设R a ∈，函数)1(21)(2++=-a ax e x f x，其中e 是自然对数的底数。
(I)判断函数)(x f 在R 上的单调性；(II)当一1<a<0时，求函数)(x f )在[1，2]上的最小值．理科数学参考答案及评分标准注意：本评分标准仅供参考，其他正确解答请参照评分标准酌情给分一．选择题；本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在题中横线上 13、)81,0( 14、15 15、4 16、362 三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17、解：(I)∵)sin cos ,cos 2(),sin cos ,(sin x x x q x x x p -=+=， ∴)(x f =p ·q=)sin cos ,(sin x x x +·)sin cos ,cos 2(x x x - x x x x 22sin cos cos sin 2-+=x x 2cos 2sin += )42sin(2π+=x∴ 函数)(x f 的最大值为2 (II)由)(224222Z k k x k ∈+≤+≤-πππππ得)(883Z k k x k ∈+≤≤-ππππ， ∴函数)(x f 的单调递增区间为)(8,83Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ 18、解：如图建立空间直角坐标系O 一xyz ，取顶点D 为坐标原点O 依题已知有)0,21,21(,21,0,0F E ⎪⎭⎫ ⎝⎛， )1,1,1()0,1,0(1B C )0,43,0()1,1,0(1G C(Ⅰ)证明： 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,21,2121,0,00,21,21)1,0,1()1,1,1()0,1,0(1--=-=B所以0210211=++-=⋅C B EF ， 得B 1⊥ 所以C B EF 1⊥ ………………………………………………………6分 (II)解：因为⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=1,41,0)1,1,0(0,43,01C 所以83218101=+-=⋅G C EF417116123=+==所以5151311=⋅⋅=G C EF G C EF19、解：（Ⅰ）509)2(25232524=⋅=C C C C P ＝ξ，2512)1(251213252425242514=⋅⋅⋅+⋅==C C C C C C C C C P ξ 103)2(252225242512254=⋅+⋅⋅=C C C C C C C C C P １３１＝ξ ， 251)3(25222514=⋅=C C C C P ＝ξ 随机变量ξ的分布列为数学期望6=ξE ………………………………………8分 (II)所求的概率5017251103)3()2()2(=+==+==≥=ξξξP P P 7…………12分 20、解(I)∵43+=n n a S ， ∴4311+=++n n a S ， 两式相减得：n n n n a a S S -=-++11)(3∴211-=+n n a a ∴1)21(2--=n n a ，………………………………………………6分(II)由(I)得43+==n n n a S b∴n S a a a b b b T n n n n 4)4()4()4(2121+=+⋅⋅⋅++++=+⋅⋅⋅+=又 ∵34)21(32341+-=+=-n n n a S ∴344)21(321++-=-n T n n …………………………12分 21、(I)解：依题意有3=ab122=ca ． 解得3,122==b a ． 所以双曲线方程为 222c b a =+1322=-y x ．……………………6分(II)解：设M ),00y x （，由双曲线的对称性，可得N(),00y x --（)．设P(),p p y x （)， 则222020000x x y y x x y y x x y y k k P P P P P P PNPM --=++⋅--=⋅ 又：132020=-y x ， 所以332020-=x y ． 同理3322-=P P x y ，所以3333322202=-+--=⋅x x x x k k P P PNPM ．…………………………12分 解：(I) )12(21221)1(21)(22--+-=⋅+++-='---a ax ax e ax e a ax e x f x x x 由于xe -21＜0，只需讨论函数12)(2--+-=a ax ax x g 的符号： 当a=0时，1)(-=x g ＜0，即)(x f '＜0，函数)(x f 在R 上是减函数 …4分当a ＞0时，由于a a a a 4)(4422-=+-=∆<0，可知)(x g <0，即)(x f <0，函数)(x f 在R 上是减函数； ……6分- 当a ＞0时，解0)(=x g 得a a x -±=1，且a a -+1＜aa--1． 在区间⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞-a a 1,和区间⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞--,1a a上，)(x g ＞0，即)(x f ＞0，函数)(x f 是增函数；在区间⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+a a a a 11，上，)(x g <0，即)(x f ＜0，函数即)(x f 是减函数． 综上可知：当 0≥a 时，函数)(x f 在上是减函数；当a ＜0时，函数)(x f 在区间⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞-a a 1,上是增函数；在区间⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+a a a a 11，上是减函数；在区间 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞--,1a a 上是增函数 (II) 1-<a <0f]寸，a a -+1 <1, aa--1>2， 所以，函数)(x f )在区间[1，2]上是减函数，其最小值是2215)2(ea f +=． (12)。
