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2019届一轮复习人教A版 集合 学案

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当前形势集合在近五年北京卷(理)考查5 18分高考要求内容要求层次具体要求A B C集合的含义与表示√了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．集合间基本关系√理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．在具体情境中，了解全集与空集的含义．集合基本运算√理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．能使用Venn图表达集合的关系及运算考点1：集合的概念1.1集合的概念与表示新课标剖析满分晋级第1讲函数1级集合集合函数2级函数及其表示函数3级函数的单调性集合的引入（说明为什么要学习集合）塔罗牌中有一张牌叫巴比塔，是一个倒了的塔，这个塔源自《圣经·旧约》，《圣经》上说，人类的祖先最初讲的是同一种语言．他们在两河流域定居下来，修起了城池．后来，他们的日子越过越好，决定修建一座可以通到天上去的高塔，这就是巴比塔．直到有一天，高高的塔顶已冲入云霄．上帝耶和华得知此事，立即从天国下凡视察．上帝一看，又惊又怒，认为这是人类虚荣心的象征．上帝心想，人们讲同样的语言，就能建起这样的巨塔，日后还有什么办不成的事情呢？于是，上帝决定让人世间的语言发生混乱，使人们互相言语不通．数学家希望建立一个所有学数学的人有一个能共同对话的平台，这个平台就是集合．那到底什么叫集合呢？知识点睛1．⑴集合的含义：一些能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合．构成集合的每个对象叫做这如：现在我们班上的所有同学，构成了一个集合，其中每个同学都是这个集合中的一个元素．⑵一般情况下，集合用英文大写字母,,,a b c表示；A B C表示．元素用英文小写字母,,,⑶不含任何元素的集合叫做空集，记作∅．集合含义的理解对于集合的含义，我们需要注意集合首先是一个整体，所有满足条件的对象都必须在这个集合中．“能够确定”是指有明确的可界定的规则，每一个对象是不是在范围中都能得到客观判定．理解这个要注意以下三点：①界定的规则一定是一个客观的属性，不依赖主观的感觉；如：中国所有的比较老的人不能构成一个集合；中国所有年龄在60岁以上的人可以构成一个集合；这种类型的例子很多，如我们班同学中比较高的人不能构成一个集合，因为姚明与潘长江的标准会很不相同，但给身高一个标准就构成一个集合了，如高于160cm的人．再如我们班比较帅的人，比较漂亮的人，这个因为有审美观的主观差异，还有情人眼里出西施的特殊情况，所以都不能构成集合．在数学上，由于数学本身的严格，这个东西会变得简单，如方程2320-+=的根；小于x x等于3的实数都可以构成集合；②这个整体如果客观存在，即使不知道也不影响确定性．如：我们班头发根数最多的4个人．世界第五高的山峰；存在，虽然你并不知道．但它们都能构成集合．③方程210x+=的实数根能不能构成一个集合呢？我们可以判定任意一个实数都不在其中，所以它可以构成一个集合，这个集合就是什么都没有的集合，叫做空集，用∅表示．再如，小于3又大于3的集合．我们班既是男性又是女性的同都是空集．下面可以构成集合的有_______．①中国人口排在第8-12位的城市；②到两定点的距离的和等于两定点间的距离的点； ③高一数学课本中的难题；④方程220x +=的实数解； 正解：①②④．2．元素与集合的关系：如果a 是集合A 中的元素，就说a 属于A ，记作a A ∈； 如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于A ，记作a A ∉．3<教师备案> 常见数集写法的字母意义：自然数N 是Natural Number （自然数）的首字母，N 即全体非负整数构成的集合；习惯用*N 或+N 表示正整数集，其中*N 的星是非零的意思； 整数集的Z 是德文 ahlen （数字）的首字母．有理数集的Q 是英语/德语Quotient （商）的首字母，因为有理数都可以写成两整数的商． 实数R 是Real Number(实数)的首字母．在后面的学习中，会在均值不等式部分用+R 表示正实数集，在复数中引入C 表示复数集之外，高中不会接触到其它数集的表示形式． 为什么要用一个德文首字母表示整数集呢？使用Z 作为整数集的标记，是因为19世纪德国数论很强很强，所以德国的某些数学家引入的记号后来就通行了，至于这个数学家是谁，说法不一，有人说是朗道，有人说是诺特（此人是迄今为止最牛的女数学家，没有之一）．数学中的符号使用，就两个原则．一是优先：谁先提出，得到认可，后面就跟着用．二是方便：谁的符号更实用，更方便．就会得到大家认可，从而流行．例如数字，中国、印度、希腊都有自己的系统，但现在只用阿拉伯数字，就是它方便，而且它有0（汉字的零是后来从阿拉伯数字0抄来的）．用∈，∉填空．①1-___N ；②3-___*N ；③12__Z ；④3.14___Q ；___Q ；⑥___R ；⑦π___R ；；∈；∉；∈；∉；∈；∈．4．元素的性质①确定性：集合中的元素是确定的，不能模棱两可．②互异性：集合中的元素是互不相同的，相同的元素在集合中只能算作一个． ③无序性：集合中的元素是无次序关系的．<教师备案> 确定性在讲集合的概念时就已经说明了．互异性是指集合中的元素互不相同，这样给定一个集合，会有一些天然的避讳，有一些默认的事实存在，如由1a ，构成的集合中，一定满足1a ≠．因为这里没讲集合的表示法，所以元素的性质都需要结合一些实际中的问题进行讲解．集合的互异性可以通过班上同学举例，如要从班上选出五个同学组队参加一个比赛，这里选出的五个人构成一个集合，这五个人必须是不同的五个人，必须满足互异性，把一个人重复指点五次并不能构成这个集合．集合无序性是指集合中的元素没有顺序，同样还是上面选出的五个人，把他们的姓名按照姓氏笔画顺序排列，还是按照拼音字母顺序排列，还是按照体重数量排列，都是这五个人．这个集合并没有变化．【例1】 ⑴若2a a ，是一个集合中的两个元素，实数a 应满足什么条件？⑵设R x ∈，将对象x ，x -，组成集合M ，则集合M 中元素最多时有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 ⑶下列叙述中正确的个数是（ ）①若a -∈Z ，则a ∈Z ；②若a -∉N ，则a ∈N ；③a ∈Z ，若a -∉N ，则a ∈N ；④a ∈Z ，若a ∈N ，则a -∉N ． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【解析】 ⑴ 0a ≠且1a ≠；⑵ A ⑶ C ；讲完集合的概念与元素的性质之后，我们自然需要知道如何把一个集合与数学的语言表示出来．下面，我们来看看集合的表示法．考点2：集合的表示法——列举法与描述法5．集合的表示法⑴ 列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，并写在大括号“{ }”内的表示集合的方法．例如：{12345}，，，，，{12345}，，，，，．【注意】列举法既可以表示有限集（集合中元素个数是有限多个的），也可以表示元素呈现一定规律的无限集，如不大于100的自然数，可以表示为{0123100}，，，，，，自然数集可以表示成{0123}，，，，．有了列举法，我们就很容易将一些语言翻译成集合语言，如方程260x x +-=的解集可以写成{23}-，；直线2y x =与直线2y x =的交点集合可以写成{(00)(24)}，，，．描述法引入列举法非常简单直观，一个对象是否在集合中很容易判断，但凡是很简单的方法往往就会有一些经典精讲知识点睛问题与局限性，如果一个集合中元素太多，而规律性又不强，这时把所有的元素都列出来，就很难做到了：如世界上所有高度在3000米以上的山峰，《红楼梦》中所有的人物，这两个集合用列举法表示非常困难；而所有大于3的实数构成的集合用列举法就根本表示不出来了．另外，有些集合虽然可以确定，元素个数也不多，但元素是哪些却不容易得到，如班上头发最多的四位同学，这用列举法就很难表示．再比如方程220x x a ++=（a 为参数）的解．遇到这样的集合，就需要一些新的表示方法．⑵ 描述法（又称特征性质描述法）：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如{|()}x A p x ∈，()p x 称为集合的特征性质，x 称为集合的代表元素．A 为x 的范围，有时也写为{|()}x p x x A ∈，． 例如：大于3的所有整数用描述法表示为{|3}x x ∈>Z ．方程260x x +-=的实根用描述法表示为2{|60}x x x ∈+-=R ．【注意】①描述法给出了一个客观的标准，用{|}表示，竖线前面表示集合描述的是谁，竖线后面表示集合中描述的元素具有什么特点．如：{3000}x x 是山峰｜的高度在米以上；{|}x x 是人物角色是《红楼梦》中出现的人；{|}x x 是人是《西游记》中出现的人，老师讲到此处时，可以调节一下课堂气氛，问一下学生：孙悟空在这个集合中吗？不在，他不是人；猪八戒在吗？不在，他也不是人．李世民在吗？在；天篷元帅在吗？……{|3}x x ∈R ≥，说明集合描述的是实数x ，这个实数具有大于等于3的特点．若元素范围为R ，在不致发生误解时，x ∈R 也可以省略，直接写成{|3}x x ≥．但对于集合{|3}x x ∈Z ≥，则x ∈Z 一定不能省略．②除了数集外，还有一类集合是点集，集合中的元素是点，竖线前面的代表元素为()x y ，． 如：2{()|}x y y x x =∈R ，，，说明集合是点集，点()x y ，满足2y x =，故集合中的点在抛物线2y x =上，即此集合表示抛物线2y x =上所有的点．③描述法需要注意集合描述与字母选取无关，即{|2}x x >与{|2}y y >表示的是同一个集合．字母只是一个代号，是浮云，后面学到函数我们还会强调这一点．就相当于不管你怎么改名字，你还是你．<教师备案> 在教学用书中有这样的说明：有些集合可以直接写出元素名称，并用花括号括起来表示这类元素的全体，如用{}奇数表示所有的奇数组成的集合．当成是一种特殊的特征性质描述法．遇到这种写法可以向学生作个说明，但不推荐使用．为了方便起见，在后面的教师备案中，对一些非数学的概念，我们有时会采用这样的一种写法，如用{我们班同学}表示我们班所有同学表示的集合．①2{|10}A x x =∈-=R ；②2{|10}B x x =∈-=Z ；③2{|10}C x x =∈-=N ；④22{()|0}D x y x y =+=，；⑤{()|1E x y y x ==-，，且2}y x =．①{11}-，；②{11}-，；③{1}；④{(00)}，；⑤{(12)}--，．①{|21}x x k k ∈=-∈R Z ，；②{|2}x x k k ∈=∈R Z ，；③21()|y x x y y x ⎧⎫=+⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎪⎪⎩⎩⎭，．由所有的奇数构成的集合；②由所有的偶数构成的集合；③直线与抛物线的交点．【例2】 请指出以下几个集合间的区别，有等价集合的写出其等价集合（即给出集合的另一种写法）．2{|1}A x y x =∈=+R ，2{|1}B y y x =∈=+R ，2{()|1}C x y y x ==+，． 【解析】 A ：描述的是实数x ，x 满足x ∈R ；A =R ；B ：描述的是实数y ，211y x =+≥，{|1}B y y =≥；C ：描述的是点()x y ，，表示抛物线21y x =+上所有的点．【例3】 ⑴已知集合{1234}A =，，，，集合{()|}M a b a A b A a bA =∈∈+∈，，，，用列举法表示 集合M =_________________．⑵已知集合2010|5M a a a *⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N N ，，集合20102010|55N a a a *⎧⎫=∈∈⎨⎬--⎩⎭N N ，，则用列举法表示集合M =________，集合N =_______________．⑶集合{}|2A x x k k ==∈Z ，，{}|21B x x k k ==+∈Z ，，{}|41C x x k k ==+∈Z ，， 又a A ∈，b B ∈，则有（ ）A ．a b A +∈B ．a b B +∈C ．a b C +∈D ．a b +不属于A ，B ，C 中任意1个【解析】 ⑴ {(12)(21)(13)(31)(11)(22)}M =，，，，，，，，，，，．⑵ {0234}M =，，，，{40267010052010}N =，，，； ⑶ B【备选】 集合{}222(,,)432,,,A x y z x y z xy y z x y z =+++=++∈R 中有（ ）个元素．A ．0B ．1C ．2D ．无数【解析】 B列举法与描述法是我们最常用，也是最普遍的两种集合的表示方法．前者简单直观，一个对象是否在其中一目了然，但只能表示一些比较简单的集合．后者具有普遍的意义，有时解读起来并不容易，高考压轴题有些具有集合背景，首先就需要对一个由描述法给出的集合进行解读，我们会在秋季时再看．除了这两种表示方法之后，还有两种集合的特殊的表示方法，一种是在后面讲的集合的相互关系中常常遇到，称为图示法，也叫维恩图．还有一种方法—区间表示法可以表示一类特殊的连续数集．考点3：集合的表示法——图示法与区间表示法经典精讲⑶ 图示法：用平面内的一个封闭曲线的内部表示一个集合，这个区域通常叫做维恩（Venn ）图．图示法常用在表示集合的相互关系与运算中．见板块1.2与板块1.3．⑷ 区间表示法：设a b ∈R ，，且a b <，实数集R 也可以用()-∞+∞，表示．⑴{|12}x x -<≤；⑵{|240}x x ->；⑵{|420}x x -≥．⑴(12]-，；⑵(2)+∞，；⑶(2]-∞，． <教师备案> 区间是集合的一种表示方法，[12]，就表示一个集合，不需要用[12]x ∈，表示一个集合．引入区间表示法后能进一步看出描述法中的字母只是一个符号，没有本质的意义． 如：2{|1}y y x x =+∈R ，用区间表示即为[1)+∞，，与y 无关．在直角坐标系下，记号()23，可以用来表示区间，也可以用来表示一个点，可以根据情况区分．【例4】 把下列集合表示成区间⑴{|1}x x ≤；⑵2{|2}y y x x =-+；⑶2{|22111}y y x x x =++-<<，． 【解析】 ⑴[11]-，．⑵(1]-∞，；⑶152⎡⎫⎪⎢⎣⎭，．这里补充一个初高衔接的内容：配方法（学生版不出现，课件出现，以后同）配方法是针对二次函数或者换元后是二次函数的函数求取值范围或最大最小值常用的一种方法，是高中需要熟练掌握的一种方法．知识点睛【例题】求出下列函数的最大值、最小值和对应的x 值．⑴2241y x x =+-；⑵2261y x x =-++；⑶2241y x x =+-，22x -≤≤；⑷2261y x x =-++，12x -≤≤．【解析】 ⑴22(1)33y x =+--≥，最小值为3-，此时1x =-，无最大值；⑵2311112222y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭≤，最大值为112，此时32x =，无最小值；⑶当1x =-时，有最小值为3-；当2x =时，有最大值15； ⑷当32x =，有最大值112；当1x =-时，有最小值7-．【练习】求下列函数的最值：⑴221y x x =++，11x -≤≤；⑵227y x x =---，2x -≤≤1．【解析】 ⑴217248y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，最小值为78，最大值为4；⑵2(1)6y x =-+-，最大值为6-，最小值为10-．集合的关系引入我们研究问题的轨迹通常是从特殊到一般，从单个到多个．前面研究的都是单个集合，下面要研究的是集合间的关系．首先，并不是所有的集合之间都有关系，如{123}，，这个集合与{花果山的猴子}之间可能就没什么关系；实数集R 与{市场上所有卖的鸡蛋}之间可能也没什么关系．但有些集合间是有各种各样稀奇古怪的关系的．如{我们班的同学}与{我们班的女同学}就感觉有关系，下面我们就研究一下这些有关系的集合之间的关系：考点4：子集、真子集与集合相等1．子集：对于两个集合A B ，，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作 “包含于”（或“B 包含A ”）．规定：∅是任意集合的子集．如果集合A 中存在着不是集合B 中的元素，那么集合A 不包含于B ，记作A B Ú或B A Û．<教师备案> 从一个大的群体中选出一个部分，这个部分就是群体的一个子集．如：A ={我们班同学}，B ={我们班男同学}，C ={我们班所有戴眼镜的同学}，D ={我们班所有有头发的同学}．则B ，C ，D 都是A 的一个子集．又{猴子}是{动物}的一个子集；{小孩子}是{人}的一个子集……⊆与∈的区别：（调侃：一个横杠在里面，一个横杠在外面）⊆表示的是集合与集合的关系，左右两边都是集合；∈表示的是元素与集合的关系．子集数学上的严格的定义是：对任意的x A ∈，都有x B ∈，则称A 是B 的子集．知识点睛1.2集合的关系意味着，从A 里随便拽一个出来，都在B 里．如{12}{1234}⊆，，，，，⊆⊆⊆N Z Q R ． 可以让学生写出{123}，，的所有子集．其中{123}，，是不是子集可以重点讲解：由子集的定义：集合{123}，，中的任意一个元素都在集合{123}，，中，所以A A ⊆．再强调一下空集是任意集合的子集，写子集先写空集，即A ∅⊆．真子集引入子集分为两类，一类是“相等”关系的子集，另一类是把“相等”关系的子集去掉的子集，称为真子集．可以用韦恩图表示如下．A B Ü：A/BBAA B =：A/B在刚刚的例子中，真子集有7个，就是指一个集合的所有子集中，去掉和它相等的那个．2．真子集：如果集合A B ⊆，且存在元素x B ∈，但x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A ÜB （或B ÝA ），读作A 真包含于B （B 真包含A ）． 规定：∅是任意非空集合的真子集．<教师备案> 可以让学生写出{123}，，的所有真子集、非空真子集．它们分别比所有子集少一个、两个集合．而对于一般的子集个数的问题，我们放到同步再讲．注意：高中数学真子集统一用符号Ü表示，在立体几何中的线面关系中，因为线在面内时，线一定是面的真子集，那时会用一个新的符号⊂表示，在集合的章节里，没有这样的记号．但有时可能会在有些资料中遇到用⊂表示真子集的情况．_______．①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集；③空集的元素个数为零； ④任何一个集合必有两个或两个以上的子集．3．集合相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊆），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，我们说集合A 与集合B 相等，记作A =B ．<教师备案> 集合相等的定义在理论性证明时比较有用，如对于两个比较抽象的集合，证明两个集合相等，一般都是通过证明一个集合中的任何一个元素都是另一个集合中的元素得到的．这类问题与已知集合相等求参数的问题我们留到在同步时再讲．【例5】 ⑴ 下面关系式中，正确的是_______．①0{}∈∅；②{}∅∅Ü；③{0}∅Ü；④{}a a ⊆；⑤{}{}a a Ü；⑥{}a ∅∈．⑵用=≠，，，茌填空：①{1}______2{|320}x x x -+=；②{12}，______2{|320}x x x -+= ③∅______2{|20}x x ∈+=R ；④{|32}x x +>______{|10}y y ->；经典精讲⑤2{()|1}x y y x =+，_____2{|1}y y x =+；⑥2{|1}x y x =+_____2{|1}y y x =+； ⑦{(2,3)}______{(3,2)}；⑧{23}，______{(23)}，．【解析】 ⑴②③；<教师备案> 空集的含义：把集合想象成一个大的塑料袋，空集就是这个塑料袋中什么都没有．但{}∅不再是空集，因为这个塑料袋中还放着一个塑料袋呢．在这个集合中，∅是一个元素，但同时∅也可以作为一个集合，所以{}∅∈∅与{}∅∅Ü都正确．所以∅与{}∅的关系有很多种不同的说法，理解即可，不必太纠结．⑵①Ü；②=；③=；④Ý；⑤≠；⑥Ý；⑦≠；⑧≠．【备注】一般来说，我们只研究有关系的两个集合之间的关系，而数集与点集是两种不同类型的集合，它们之间一般没有关系，但在概念初学阶段，我们有时会出现这类的题帮助学生更好地理解它们之间的区别．【例6】 ⑴若{}|41X x x n n ==+∈Z ，，{}|43Y y y n n ==-∈Z ，，{}|81L z z n n ==+∈Z ，，则X ，Y ，L 的关系是（ ）A ．X Y L 葺B ．X Y L 苘C ．X Y L =ÝD ．X Y L ==⑵若{|41}X x x n n ==+∈Z ，，{|21}Y x x n n ==+∈Z ，，{|41}L x x n n ==±∈Z ，，则X Y L ，，的关系是（ ） A ．X YL 苘 B ．X Y L =Ü C ．Y XL 苘 D ．X LY 苘【解析】 ⑴ C ；⑵B ．集合的运算引入什么叫运算？在座的诸位，从小学一年级算起，直到现在，学了九年的数 若再加上幼儿园，可能时间会更长些，有没有同学一生下来就会数学的？一生下来，你张口不是“哇”，而是“一”，有这样的吗？我们在这么长的学习中，其实很多次都接触到运算，那么我们都学习过哪些运算？+-⨯÷，，，，这叫四则运算；对a求：n a ，a ，1a，a -，也都是运算．到底什么叫运算呢？运算最广义的定义是：如果有一个对象或几个对象，你对它/它们进行相应的操作，得到一个新的对象，这个过程就可以理解为运算．对于今天集合间的运算，我们来学习三种：交运算、并运算、补运算．集合通过这些运算，最终得到一个新的集合，注意运算后的结果仍然是一个集合．考点5：交集、并集与补集知识点睛1.3集合的运算交集的引入直观上，现在你有两个集合，这两个集合的公共部分就是一个新的集合，这就是交运算． 例：{我们班所有男生}和{我们班所有戴眼镜的同学}，它们的公共部分就是{我们班所有戴眼镜的男生}，这是一个新的集合，这个过程就是交的运算过程．而{我们班所有的男生}和{我们班所有的女生}，它们的公共部分没有任何元素，就是空集．A 与B 的交集用A B 表示．给一些数学上的例子：例：⑴{123}{234}A B ==，，，，，，则{23}AB =，；⑵A B ==Z N ，，则A B =N ；⑶{|2}A x x k k ==∈Z ，，{|21}B x x k k ==+∈Z ，，则AB =∅；交集的严格数学定义即：{}|A B x x A x B =∈∈且．我们可以注意到AA A A =∅=∅，，若AB ⊆，则A B A =．1．交集：对于两个给定的集合A 、B ，属于又属于B 的所有元素构成的集合叫做A 、B 的交集，记作“A B ”．集合A B 用符号语言表示为：{}|A B x x A x B =∈∈且，用维恩（Venn ）图表示为：AB =∅ AB B = AB 为其公共部分并集的引入直观上，现在你有两个集合，你把两个集合中的元素放到一块，就得到一个新的集合． 例：{我们班所有男生}和{我们班所有女生}两个集合放一块，就是{我们班所有同学}，这个过程就叫做并的运算过程．A 与B 的并集用A B 表示．可以给一些数学上的小例子：例：⑴{123}{456}A B ==，，，，，，则{123456}AB =，，，，，；⑵{|2}A x x k k ==∈Z ，表示所有偶数，{|21}B x x k k ==+∈Z ，表示所有奇数，则A B =Z为所有整数；⑶{|41}A x x k k ==+∈Z ，，{|43}B x x k k ==+∈Z ，，则A B ={|21}x x k k =+∈Z ，．在并的运算过程中，注意元素相同的只需要考虑一个就行，不能重复出现，这是由集合中元素的互异性决定的．例{123}{234}A B ==，，，，，时，{1234}A B =，，，；A B ==Z N ，，则AB =Z ；我们可以注意到AA A A A =∅=，，若AB ⊆，则AB B =．有了并的运算后，很多写法就非常简单了，如2320x x -+>的解集可以写成{|1x x <或2}x >，可以用区间与并集符号写成(1)(2)-∞+∞，，．BA2．并集：对于两个给定的集合A 、B ，由两个集合所有元素构成的集合叫做A 与B 的并集，记作“A B ”．集合AB 用符号语言表示为{}|AB x x A x B =∈∈或;用维恩（Venn ）图表示如下：或或补集的引入一般情况下，把我们所描述对象的所有全体当作一个对象，这个对象就是全集．把在全集U 中不属于A 的那些元素构成的集合，叫到A 在U 中的补集，直观上，就是从U 中把A 挖掉剩下的部分．如：U ={我们班同学}，A ={我们班男生}，A 的补集就是{我们班女生}；U ={我们班人}，A ={我们班同学}，A 的补集就是{老师}．A 在U 中的补集记为U A ð．例：{12345}U =，，，，，{123}A =，，，则{45}U A =，ð；Z N ð就是所有的负整数；R Q ð就是所有的无理数；{|21}A x x k k ==+∈Z ，，则{|2}A x x k k ==∈Z Z ，ð； [55]A =-，，[01]B =，，[50)(15]A B =-，，ð．3．补集：①全集：如果所研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，常用U 表示． ②补集：如果给定集合A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合，叫做A 在U 中的补集，记作“U A ð”．读作“A 在U A 在U 中的补集的数学表达式是{}|U A x x U x A =∈∉，且ð． 用维恩（Venn ）图表示：【例7】 ⑴已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合U A B ð等于（ ）A ．}{|24x x -≤≤B ．{}|34x x x 或≤≥C ．{}|21x x -<-≤D ．{}|13x x -≤≤⑵设集合{}21|2|12A x x B x x ⎧⎫=-<<=⎨⎬⎩⎭，≤，则A B =（ ）A ．{}|12x x -<≤B ．1|12x x ⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭≤C ．{}|2x x <D ．{}|12x x <≤⑶集合{}{}2|03|9P x x M x x =∈<,=∈Z R ≤≤，则P M =（ ）A ．{}12,B ．{}012,,C ．{}|03x x <≤D ．{}|03x x ≤≤⑷已知集合{}2|1P x x =≤，{}M a =，若PM P =，则a 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．[)1+∞，C ．[]11-，D ．(][)11-∞-+∞，，【解析】 ⑴D ；⑵A ；⑶B ；⑷C ．经典精讲但我们会在下一讲安排一元二次不等式解法的初高衔接内容，这里不希望涉及到太多的解一元二次方程的内容，但为了完整，我们将2012年北京高考题放在下面：⑸（2012北京理1）已知集合{}|320A x x =∈+>R ，()(){}|130B x x x =∈+->R ， 则AB =（D ）A ．()1-∞-，B ．213⎛⎫-- ⎪⎝⎭，C ．233⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．()3+∞，【例8】 ⑴集合2{|20}A x x ax b =-+=，2{|6(2)50}B x x a x b =++++=，若12A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，求A B ；⑵集合2{|10}{|320}A x ax B x x x =-==-+=，，且AB B =，求实数a 的值．【解析】 ⑴ 11,,423AB ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭；⑵实数a 的值为1012，，．【备选】若非空集合{|135}X x a x a =+-≤≤，{|116}Y x x =≤≤，则使得X X Y ⊆成立的所有a 的集合是（ ）A ．{|07}a a ≤≤B ．{|37}a a ≤≤C ．{|7}a a ≤D ．空集 【解析】 B ；这里补充一个初高衔接的内容：因式分解因式分解是一种研究问题的手段，把一个多项式化成几个整式的积的形式，如将232(1)(2)x x x x -+=--，这与代数的核心目的是一样的，代数的核心目的是降次或消元，因式分解的主要目的是降次．<教师备案>初中学过完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±；平方差公式：22()()a b a b a b -=+-．这些学生比较熟悉，我们不再安排例题．对二次多项式，另一种常用的因式分解方式是十字相乘，这是这里练习的重点．【例题】将下列关于x 的代数式进行因式分解⑴226x x +-；⑵2615x x --；⑶2(1)x ax a ++-；⑷2(12)1ax a x a +-+-(0)a ≠． 【解析】 ⑴(2)(23)x x +-；⑵(35)(23)x x -+；⑶(1)(1)x x a ++-；⑷(1)(1)x ax a -+-．【练习】将下列关于x 的代数式进行因式分解：⑴261x x --；⑵2(1)1ax a x +--（0a ≠）． 【解析】 ⑴(21)(31)x x -+；⑵(1)(1)x ax +-．对于更高次的多项式，高中需要掌握的因式分解方式是通过猜根进行分解，通常猜根12±±，．猜根后可以通过多式的除法（又称长除法）得到分解后的式子． 更多的高次多项式的因式分解技巧，如分组分解、添加项等不作一般要求．【例题】将下列代数式因式分解⑴376x x -+；⑵322744x x x -++．【解析】 ⑴ 当1x =时，代数式为0，故代数式有因子1x -，3276(1)(6)x x x x x -+=-+-(1)(3)(2)x x x =-+-；⑵ 当2x =时，代数式为0，故代数式有因子2x -，32222744(2)(232)(2)(21)x x x x x x x x -++=---=-+．【练习】将32332x x x +++因式分解．【解析】 2x =-时，代数式为0，故代数式有因子2x +，322332(2)(1)x x x x x x +++=+++．【拓展】将54321x x x x x -+-+-因式分解． 【解析】 1x -是因子，原式42(1)(1)(1)x x x x x =-+-+-42(1)(1)x x x =-++422(1)(21)x x x x =-++-222(1)(1)x x x ⎡⎤=-+-⎣⎦22(1)(1)(1)x x x x x =-++-+．已知集合()(){}210M x x a x ax a =--+-=各元素之和等于3，则实数a 的值为 ．【解析】 2a =或32【点评】忽略集合的互异性，由()()()(){}110M x x a x x a =----=直接得到{}11M a a =-，，，∴3232a a =⇒=．漏解2a =，此时11a -=．【演练1】用最恰当的符号（∈∉=≠，，，，，茌）填空⑴___{0}∅； ⑵2___{(1,2)}； ⑶0___2{|250}x x x -+= ⑷{35}，____2{|8150}x x x -+=； ⑸{35}，___N ； ⑹{|2}x x k k =∈N ，______{|6}x x ττ=∈N ， ⑺{|41}x x k k =+∈Z ，____{|43}x x k k =-∈Z ，．【解析】 ⑴Ü；⑵ ∉； ⑶∉； ⑷=； ⑸Ü ；⑹Ý；⑺=．【演练2】已知集合{123}A =，，，用列举法表示下面集合⑴{()|}M a b a A b A =∈∈，，；⑵{()|}N a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，． 【解析】 ⑴{(11)(12)(13)(21)(22)(23)(31)(32)(33)}M =，，，，，，，，，，，，，，，，，；实战演练⑵{(21)(31)(32)}N =，，，，，．【演练3】已知{}2|1M y y x x ==-∈R ，，{}|1P x x a a ==-∈R ，，则集合M 与P 的关系是（ ）A ．M P =B ．P M ∈C ．M P ÜD ．M P Ý【解析】 A ；【演练4】⑴ 已知2{|43}A y y x x x ==-+∈R ，，2{()|22}B x y y x x x ==--+∈R ，，，则A B等于（ ）A ．∅B ．{(1,3)}-C ．RD ．[13]-，⑵ 已知2{|43,}A y y x x x ==-+∈R ，2{|22,}B y y x x x ==--+∈R ，则A B 等于（ ）A ．∅B ．{1,3}-C ．RD ．[13]-，⑶已知(){}2|43,A x y y x x x ==-+∈R ，，(){}2|22,B x y y x x x ==--+∈R ，，则AB 等于（ ）A ．∅B ．{(1,3)}-C ．RD ．[13]-，【解析】 ⑴ A ；⑵D ⑶ A ．【演练5】设集合{|(3)()0,}A x x x a a =--=∈R ，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求AB A B ，．【解析】 ①当3a =时，{1,3,4}AB =，A B =∅； ②当1a =时，{1,3,4}A B =，{1}A B =； ③当4a =时，{1,3,4}AB =，{4}AB =；④当1a ≠且3a ≠且4a ≠时，{1,3,4,}A B a =，A B =∅．1．集合中的元素具有______性、______性、______性；2．常用数集的符号：自然数集____；正整数集____；整数集____；有理数集____；实数集_____． 3．集合的表示法：把集合中的元素一一列举出来的方法叫做______；把集合中的元素用一个代表元素表示，并注明满足的条件的方法叫做______；通常用来表示集合与集合之间的关系的方法叫做_______．用来表示连续数集的方法叫做______． 4．用来表示元素与集合的关系的符号有_______，用来表示集合与集合的关系的符号有_____________． 5．空集是______的子集、空集是___________的真子集．6．两个集合的运算有______、______与______，用这些运算的符号表示下列集合:{|x x A ∈，且}x B A ∈=___B ；{|x x A ∈，或}x B A ∈=___B ,{|x x U ∈，且}x A ∉=______．答案：1．确定性、互异性、无序性．2．N ；*N 或+N ；Z ；Q ；R ；3．列举法、描述法、图示法、区间表示法．4．∈∉，；⊆⊇=≠，，，，，，，茌谯；5．任何集合、任何非空集合；6．交、并、补，U A ，，ð．概念要点回顾。

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2019届高考数学一轮复习 全一册学案

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2019届高考数学一轮复习全一册学案第一节集合1．集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2．集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3．集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．授课提示：对应学生用书第1页◆教材通关◆1．元素与集合(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)集合中元素与集合的关系有且仅有两种：属于(用符号“∈”表示)和不属于(用符号“∉”表示)．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B真子集 A 中任意一个元素均为B 中的元素，且B 中至少有一个元素不是A中的元素A B空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集[必记结论]集合的子集、真子集个数的规律为：含n 个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集(除集合本身)，有2n－1个非空子集，有2n－2个非空真子集(除集合本身和空集，此时n ≥1)．3．集合的基本运算集合的并集 集合的交集 集合的补集符号 表示 A ∪B A ∩B若全集为U ，则集合A 的补集为∁U A图形 表示意义{x |x ∈A ， 或x ∈B }{x |x ∈A ， 且x ∈B }{x |x ∈U ，且x ∉A }(1)A ∩∅＝∅，A ∪∅＝A ；(2)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B ⇔A ∩(∁U B )＝∅；(3)A ∪(∁U A )＝U ，A ∩(∁U A )＝∅，∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．[小题诊断]1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( )A ．A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <32 B ．A ∩B ＝∅C ．A ∪B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <32D ．A ∪B ＝R解析：因为A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <32，所以A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <32，A ∪B ＝{x |x <2}．故选A.答案：A2．设集合M ＝{－1,1}，N ＝{x |x 2－x ＜6}，则下列结论正确的是( ) A ．N ⊆MB ．N ∩M ＝∅C．M⊆N D．M∩N＝R解析：由已知得集合M＝{－1,1}，N＝{x|x2－x＜6}＝{x|－2＜x＜3}，所以M⊆N，故选C.答案：C3．(2018·唐山模拟)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,4}，B＝{2,5}，则(∁U A)∪B ＝( )A．{3,4,5} B．{2,3,5}C．{5} D．{3}解析：因为U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,4}，所以∁U A＝{3,5}，又B＝{2,5}，所以(∁U A)∪B＝{2,3,5}．答案：B4．(2018·衡水中学联考)若集合B＝{x|x≥0}，且A∩B＝A，则集合A可能是( ) A．{1,2} B．{x|x≤1}C．{－1,0,1} D．R解析：由A∩B＝A得A⊆B，因为B＝{x|x≥0}，所以集合A可能是{1,2}，故选A.答案：A5．已知全集U＝R，集合A＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A．{0,1} B．{1}C．{1,2} D．{0,1,2}解析：由Venn图可知，阴影部分的元素由属于A且不属于B的元素构成，所以用集合表示为A∩∁U B.∵U＝R，A＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥2}，∴A∩∁U B＝{0,1}，故选A.答案：A6．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，y＝4x2－1}，则A∩B的元素个数是________．解析：集合A是以原点为圆心，半径等于1的圆周上的点的集合，集合B是抛物线y＝4x2－1上的点的集合，观察图象可知，抛物线与圆有3个交点，因此A∩B中含有3个元素．答案：3◆ 易错通关 ◆1．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身． 2．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．3．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．[小题纠偏]1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |7－6x ≤0}，集合B ＝{x |y ＝lg(x ＋2)}，则(∁U A )∩B 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，76 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫76，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，76 D ．⎝⎛⎭⎪⎫－2，－76解析：依题意得A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥76，∁U A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜76；B ＝{x |x ＋2＞0}＝{x |x ＞－2}，因此(∁U A )∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2＜x ＜76. 答案：A2．若集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆A ，则由m 的可取值组成的集合为________．解析：当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝∅，满足B ⊆A ；若B ≠∅，且满足B ⊆A ，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≥－3，m ≤3，∴2≤m ≤3.故m ＜2或2≤m ≤3，即所求集合为{m |m ≤3}．答案：{m |m ≤3}3．已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x ≤0}，则满足A ∪B ＝{0,1,2}的集合B 的个数为________． 解析：由A 中的不等式解得0≤x ≤2，x ∈N ，即A ＝{0,1,2}．∵A ∪B ＝{0,1,2}，∴B 可能为{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，∅，共8个．答案：8授课提示：对应学生用书第2页考点一 集合的概念与关系 自主探究 基础送分考点——自主练透[题组练通]1．已知集合A ＝{1，－1}，B ＝{1,0，－1}，则集合C ＝{a ＋b |a ∈A ，b ∈B }中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：由题意，当a ＝1，b ＝1时，a ＋b ＝2；当a ＝1，b ＝0时，a ＋b ＝1；当a ＝1，b ＝－1时，a ＋b ＝0；当a ＝－1，b ＝1时，a ＋b ＝0；当a ＝－1，b ＝0时，a ＋b ＝－1；当a ＝－1，b ＝－1时，a ＋b ＝－2.因此集合C ＝{2,1,0，－1，－2}，共有5个元素．故选D.答案：D2．(2018·兰州模拟)已知集合A ＝{x |y ＝ln(x ＋3)}，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( )A ．A ＝B B ．A ∩B ＝∅C ．A ⊆BD ．B ⊆A解析：A ＝{x |x ＞－3}，B ＝{x |x ≥2}，结合数轴可得：B ⊆A . 答案：D3．已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π4＋π4，k ∈Z，集合N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π8－π4，k ∈Z，则( ) A ．M ∩N ＝∅ B ．M ⊆N C ．N ⊆MD ．M ∪N ＝N解析：由题意可知，M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k ＋48π－π4，k ∈Z ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2n π8－π4，n ∈Z，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪ x ＝2k π8－π4或⎭⎪⎬⎪⎫x ＝2k －18π－π4，k ∈Z ，所以M ⊆N ，故选B. 答案：B4．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.解析：由log 2x ≤2，得0＜x ≤4， 即A ＝{x |0＜x ≤4}， 而B ＝(－∞，a )，由于A ⊆B ，如图所示，则a ＞4，即c ＝4.答案：41．集合中元素的互异性常常容易被忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．如题组中1易错．2．已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的条件，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析．如题组中2,4均用了数轴进行分析求解．考点二 集合的基本运算 多维探究 题点多变考点——多角探明[锁定考向] 集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力．常见的命题角度有：(1)集合的基本运算；(2)利用集合运算求参数或范围． 角度一 集合的基本运算1．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.答案：B2．设集合A ＝{x ∈Z ||x |≤2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪32x≤1，则A ∩B ＝( ) A ．{1,2} B ．{－1,2} C ．{－2,1,2}D ．{－2，－1,0,2}解析：A ＝{－2，－1,0,1,2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2x －32x ≥0＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥32或x ＜0，所以A ∩B ＝{－2，－1,2}，故选C.答案：C3．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－1}，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}，则∁R (A ∩B )＝( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12B ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞解析：A ＝{y |y ＝x 2－1}＝[0，＋∞)，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}＝⎝⎛⎭⎪⎫0，12，所以A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， 所以∁R (A ∩B )＝(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 答案：D解决集合运算的两个方法方法解读适合题型 数轴 法利用数轴解决实数集合间的运算问题，用数轴表示时注意端点值的取舍步骤是：①化简集合；②将集合在数轴上表示出来；③进行集合运算求范围，重叠区域为集合的交集，合并区域代表集合的并集以不等 式形式 给出的 集合Venn 图法利用Venn 图，即利用封闭曲线的内部表示集合与集合之间的关系．对于Venn 图要熟悉．如图所示抽象的 集合角度二 利用集合运算求参数或范围4．(2017·高考全国卷Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( )A ．{1，－3}B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}解析：因为A ∩B ＝{1}，所以1∈B ，所以1是方程x 2－4x ＋m ＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m ＝3，方程为x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以B ＝{1,3}．答案：C5．已知集合A ＝{x |log 2x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜c }，若A ∪B ＝B ，则c 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,2]D ．[2，＋∞)解析：A ＝{x |log 2x ＜1}＝{x |0＜x ＜2}，因为A ∪B ＝B ，所以A ⊆B ，所以c ≥2，所以c ∈[2，＋∞)，故选D.答案：D6．(2017·合肥模拟)已知A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)解析：因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.答案：A根据集合运算的结果确定参数的取值范围解决此类问题的步骤一般为：(1)化简所给集合；(2)用数轴表示所给集合；(3)根据集合端点间关系列出不等式(组)；(4)解不等式(组)；(5)检验，通过返回代入验证端点是否能够取到．解决此类问题多利用数形结合的方法，结合数轴或Venn 图进行求解．[即时应用]1．(2017·高考全国卷Ⅱ)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则A ∪B ＝( ) A ．{1,2,3,4} B ．{1,2,3} C ．{2,3,4}D ．{1,3,4}解析：由题意得A ∪B ＝{1,2,3,4}． 答案：A2．(2017·高考浙江卷)已知集合P ＝{x |－1＜x ＜1}，Q ＝{x |0＜x ＜2}，则P ∪Q ＝( ) A ．(－1,2)B ．(0,1)C．(－1,0) D．(1,2)解析：P∪Q＝(－1,2)．答案：A3．(2017·高考山东卷)设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝( )A．(1,2) B．(1,2]C．(－2,1) D．[－2,1)解析：由4－x2≥0，解得－2≤x≤2，由1－x＞0，解得x＜1，∴A∩B＝{x|－2≤x＜1}．故选D.答案：D4．(2018·长沙模拟)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2－3x＋a＝0，a∈A}，若A∩B≠∅，则a的值为( )A．1 B．2C．3 D．1或2解析：当a＝1时，B中元素均为无理数，A∩B＝∅；当a＝2时，B＝{1,2}，A∩B＝{1,2}≠∅；当a＝3时，B＝∅，则A∩B＝∅，所以a的值为2，故选B.答案：B5．设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x＞a}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是( ) A．a≤1 B．a≥1C．a≥0 D．a≤0解析：由A∩B＝∅知0∉B,1∉B，∴a≥1，故选B.答案：B考点三集合的新定义问题创新探究交汇创新考点——突破疑难与集合有关的新定义问题属于信息迁移类问题，它是化归思想的具体运用，是近几年高考的热点问题，这类试题的特点是：通过给出的新的数学概念或新的运算法则，在新的情境下完成某种推理证明，或在新的运算法则下进行运算.常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型.解决此类题型的关键是理解问题中的新概念、新公式、新运算、新法则等的含义，然后分析题目中的条件，设法进行套用.[典例] 设A是自然数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k2∉A，且k∉A，那么k是A 的一个“酷元”，给定S＝{x∈N|y＝lg(36－x2)}，设M⊆S，集合M中有两个元素，且这两个元素都是M 的“酷元”，那么这样的集合M 有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个解析：由36－x 2＞0可解得－6＜x ＜6，又x ∈N ，故x 可取0,1,2,3,4,5，故S ＝{0,1,2,3,4,5}．由题意可知：集合M 不能含有0,1，且不能同时含有2,4.故集合M 可以是{2,3}、{2,5}、{3,5}、{3,4}、{4,5}．答案：C[即时应用]1．设A ，B 是两个非空集合，定义集合A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }．若A ＝{x ∈N |0≤x ≤5}，B ＝{x |x 2－7x ＋10＜0}，则A －B ＝( )A ．{0,1}B ．{1,2}C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,5}解析：∵A ＝{x ∈N |0≤x ≤5}＝{0,1,2,3,4,5}，B ＝{x |x 2－7x ＋10＜0}＝{x |2＜x ＜5}，A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，∴A －B ＝{0,1,2,5}．故选D. 答案：D2．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ⊗Q ＝{z |z ＝a ÷b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{－1,0,1}，Q ＝{－2,2}，则集合P ⊗Q 中元素的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：当a ＝0时，无论b 取何值，z ＝a ÷b ＝0； 当a ＝－1，b ＝－2时，z ＝12；当a ＝－1，b ＝2时，z ＝－12；当a ＝1，b ＝－2时，z ＝－12；当a ＝1，b ＝2时，z ＝12.故P ⊗Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－12，12，该集合中共有3个元素，所以选B.答案：B课时作业单独成册 对应学生用书第187页A 组——基础对点练1．(2017·高考天津卷)设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{1,2,3,4}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{1,2,3,4,6}解析：由题意知A ∪B ＝{1,2,4,6}， ∴(A ∪B )∩C ＝{1,2,4}． 答案：B2．(2018·成都市模拟)设集合A ＝{0,1}，B ＝{x |(x ＋2)(x －1)＜0，x ∈Z }，则A ∪B ＝( )A ．{－2，－1,0,1}B ．{－1,0,1}C ．{0,1}D ．{0} 解析：因为集合A ＝{0,1}，B ＝{x |(x ＋2)(x －1)＜0，x ∈Z }＝{－1,0}，所以A ∪B ＝{－1,0,1}．故选B.答案：B3．设集合A ＝{x |x ＜2}，B ＝{y |y ＝2x－1}，则A ∩B ＝( ) A ．(－∞，3) B ．[2,3) C ．(－∞，2)D ．(－1,2)解析：A ＝{x |x ＜2}，因为y ＝2x－1＞－1，所以B ＝{y |y ＝2x－1}＝(－1，＋∞)，所以A ∩B ＝(－1,2)，故选D.答案：D4．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：根据题意，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，又∵a ≠0，∴a ＋b ＝0，即a ＝－b ，∴b a＝－1，b ＝1.故a ＝－1，b ＝1，则b －a ＝2.故选C.答案：C5．已知集合A ＝{－2，－1,0,1,2,3}，B ＝{x |x ＋1x －2＜0}，则A ∩B ＝( )A．{－2，－1,0,1,2,3} B．{－1,0,1,2}C．{－1,2} D．{0,1}解析：由题意，得B＝{x|－1＜x＜2}，所以A∩B＝{0,1}，故选D.答案：D6．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝( )A．{1} B．{4}C．{1,3} D．{1,4}解析：由题意，得B＝{1,4,7,10}，∴A∩B＝{1,4}．答案：D7．(2018·长沙市模拟)已知集合P＝{x|－2 016≤x≤2 017}，Q＝{x| 2 017－x＜1}，则P∩Q＝( )A．(2 016,2 017) B．(2 016,2 017]C．[2 016,2 017) D．(－2 016,2 017)解析：由已知可得Q＝{x|0≤2 017－x＜1}＝(2 016，2 017]，则P∩Q＝(2 016,2 017]．答案：B8．(2018·石家庄模拟)函数y＝x－2与y＝ln(1－x)的定义域分别为M，N，则M∪N ＝( )A．(1,2] B．[1,2]C．(－∞，1]∪[2，＋∞) D．(－∞，1)∪[2，＋∞)解析：使x－2有意义的实数x应满足x－2≥0，∴x≥2，∴M＝[2，＋∞)，y＝ln(1－x)中x应满足1－x＞0，∴x＜1，∴N＝(－∞，1)，所以M∪N＝(－∞，1)∪[2，＋∞)，故选D.答案：D9．(2018·沈阳市模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|0≤x＜6}，则集合(∁U A)∩B＝( )A．{x|0＜x＜2} B．{x|0＜x≤2}C．{x|0≤x＜2} D．{x|0≤x≤2}解析：∵U＝R，A＝{x|x≥2}，∴∁U A＝{x|x＜2}．又B＝{x|0≤x＜6}，∴(∁U A)∩B＝{x|0≤x＜2}．故选C.答案：C10．(2017·天津模拟)设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝( )A．{1} B．{2}C．{0,1} D．{1,2}解析：N＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，又M＝{0,1,2}，所以M∩N＝{1,2}．11．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝( )A．{1,4} B．{2,3}C．{9,16} D．{1,2}解析：n＝1,2,3,4时，x＝1,4,9,16，∴集合B＝{1,4,9,16}，∴A∩B＝{1,4}．答案：A12．(2018·长春市模拟)已知集合A＝{x|x2－x＋4＞x＋12}，B＝{x|2x－1＜8}，则A∩(∁R B )＝( )A．{x|x≥4} B．{x|x＞4}C．{x|x≥－2} D．{x|x＜－2或x≥4}解析：由题意易得，A＝{x|x＜－2或x＞4}，B＝{x|x＜4}，则A∩(∁R B)＝{x|x＞4}．故选B.答案：B13．已知集合A＝{－1,2,3,6}，B＝{x|－2＜x＜3}，则A∩B＝________.答案：{－1,2}14．已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(∁U B)＝________.解析：∁U B＝{2}，∴A∪∁U B＝{1,2,3}．答案：{1,2,3}15．集合{－1,0,1}共有__________个子集．解析：集合{－1,0,1}的子集有∅，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1,1}，{0,1}，{－1,0,1}，共8个．答案：816．已知集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(∁U B)＝__________.答案：{1,2,3,5}B组——能力提升练1．已知全集U＝{0,1,2,3}，∁U M＝{2}，则集合M＝( )A．{1,3} B．{0,1,3}C．{0,3} D．{2}解析：M＝{0,1,3}．答案：B2．已知集合A＝{0,1,2}，B＝{1，m}．若A∩B＝B，则实数m的值是( )A．0 B．2C．0或2 D．0或1或2解析：∵A∩B＝B，∴B⊆A，∴m＝0或m＝2.3．(2018·南昌市模拟)已知集合A ＝{x ∈R |0＜x ≤5}，B ＝{x ∈R |log 2x ＜2}，则(∁A B )∩Z ＝( )A ．{4}B ．{5}C ．[4,5]D ．{4,5}解析：∵集合A ＝{x ∈R |0＜x ≤5}，B ＝{x ∈R |log 2x ＜2}＝{x |0＜x ＜4}，∴∁A B ＝{x |4≤x ≤5}，∴(∁A B )∩Z ＝{4,5}，故选D.答案：D4．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋2≤0，B ＝{x |y ＝lg(－x 2＋4x ＋5)}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．(－2，－1] B ．[－2，－1] C ．(－1,1]D ．[－1,1]解析：依题意，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋2≤0＝{x |－2<x ≤1}，B ＝{x |y ＝lg(－x 2＋4x ＋5)}＝{x |－x 2＋4x ＋5>0}＝{x |－1<x <5}，∴∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥5}，A ∩(∁R B )＝(－2，－1]，选A.答案：A5．(2018·惠州模拟)已知集合A ＝{0,1}，B ＝{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈A }，则集合B 的子集的个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．8解析：由题意知，B ＝{0,1,2}，则集合B 的子集的个数为23＝8.故选D. 答案：D6．(2018·太原市模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x (x ＋2)＜0}，B ＝{x ||x |≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是( )A ．(－2,1)B ．[－1,0]∪[1,2)C ．(－2，－1)∪[0,1]D ．[0,1]解析：因为集合A ＝{x |x (x ＋2)＜0}，B ＝{x ||x |≤1}，所以A ＝{x |－2＜x ＜0}，B ＝{x |－1≤x ≤1}，所以A ∪B ＝(－2,1]，A ∩B ＝[－1,0)，所以阴影部分表示的集合为∁A ∪B (A ∩B )＝(－2，－1)∪[0,1]，故选C.答案：C7．(2018·郑州质量预测)设全集U ＝{x ∈N *|x ≤4}，集合A ＝{1,4}，B ＝{2,4}，则∁U (A ∩B )＝( )A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{1,3,4} D．{2,3,4}解析：因为U＝{1,2,3,4}，A∩B＝{4}，所以∁U(A∩B)＝{1,2,3}，故选A.答案：A8．(2018·广雅中学测试)若全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x ＝0}关系的Venn图是( )解析：由题意知，N＝{x|x2＋x＝0}＝{－1,0}，而M＝{－1,0,1}，所以N M，故选B.答案：B9．已知集合A满足条件{1,2}⊆A{1,2,3,4,5}，则集合A的个数为( )A．8 B．7C．4 D．3解析：由题意可知，集合A中必含有元素1和2，可含有3,4,5中的0个、1个、2个，则集合A可以为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，共7个．故选B.答案：B10．已知集合A＝{2,0,1,4}，B＝{k|k∈R，k2－2∈A，k－2∉A}，则集合B中所有的元素之和为( )A．2 B．－2C．0 D． 2解析：若k2－2＝2，则k＝2或k＝－2，当k＝2时，k－2＝0，不满足条件，当k＝－2时，k－2＝－4，满足条件；若k2－2＝0，则k＝±2，显然满足条件；若k2－2＝1，则k ＝±3，显然满足条件；若k2－2＝4，得k＝±6，显然满足条件．所以集合B中的元素为－2，±2，±3，±6，所以集合B中的元素之和为－2，故选B.答案：B11．给出下列四个结论：①{0}是空集；②若a∈N，则－a∉N；③集合A＝{x|x2－2x＋1＝0}中有两个元素；④集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Q ⎪⎪⎪6x ∈N是有限集． 其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：对于①，{0}中含有元素0，不是空集，故①错误； 对于②，比如0∈N ，－0∈N ，故②错误；对于③，集合A ＝{x |x 2－2x ＋1＝0}＝{1}中有一个元素，故③错误；对于④，当x ∈Q 且6x ∈N 时，6x可以取无数个值，所以集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Q ⎪⎪⎪6x∈N是无限集，故④错误．综上可知，正确结论的个数是0.故选A. 答案：A12．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z }，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，定义集合A B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }，则A B 中元素的个数为( )A ．77B ．49C ．45D ．30解析：集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z }，所以集合A 中有5个元素(即5个点)，即图中圆内及圆上的整点．集合B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }中有25个元素(即25个点)，即图中正方形ABCD 内及正方形ABCD 上的整点．集合A B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }中的元素可看作正方形A 1B 1C 1D 1内及正方形A 1B 1C 1D 1上除去四个顶点外的整点，共7×7－4＝45个．答案：C13．设全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1,2,3,5,8}，B ＝{1,3,5,7,9}，则(∁U A )∩B ＝________.解析：依题意得U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，∁U A ＝{4,6,7,9,10}，(∁U A )∩B ＝{7,9}． 答案：{7,9}14．集合A ＝{x ∈R ||x －2|≤5}中的最小整数为________．解析：由|x －2|≤5，得－5≤x －2≤5，即－3≤x ≤7，所以集合A 中的最小整数为－3. 答案：－315．若集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0，x ∈R }有且仅有两个子集，则实数a 的值为________．解析：由题意知，方程(a －1)x 2＋3x －2＝0，x ∈R ，有一个根，∴当a ＝1时满足题意，当a ≠1时，Δ＝0，即9＋8(a －1)＝0，解得a ＝－18.答案：1或－18第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件1．理解命题的概念．2．了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、 否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系． 3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．授课提示：对应学生用书第4页◆ 教材通关 ◆1．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系． [必记结论]由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．[提醒] 易混否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．充分条件、必要条件与充分必要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q pp是q的必要不充分条件p q且q⇒pp是q的充分必要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p q且q p1．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( ) A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3解析：同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题．答案：A2．命题“若a2＜b，则－b＜a＜b”的逆否命题为( )A．若a2≥b，则a≥b或a≤－bB．若a2＞b，则a＞b或a＜－bC．若a≥b或a≤－b，则a2≥bD．若a＞b或a＜－b，则a2＞b解析：因为“a2＜b”的否定为“a2≥b”，“－b＜a＜b”的否定为“a≥b或a≤－b”，所以逆否命题为“若a≥b或a≤－b，则a2≥b”．答案：C3．(2018·唐山模拟)已知a，b为实数，则“a3＜b3”是“2a＜2b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：由于函数y＝x3，y＝2x在R上单调递增，所以a3＜b3⇔a＜b⇔2a＜2b，即“a3＜b3”是“2a＜2b”的充要条件．答案：C4．已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p 的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定解析：命题p ：“正数a 的平方不等于0”写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q 是p 的否命题．答案：B5．(2016·高考四川卷)设p ：实数x ，y 满足x ＞1且y ＞1，q ：实数x ，y 满足x ＋y ＞2，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，y ＞1，∴x ＋y ＞2，即p ⇒q .而当x ＝0，y ＝3时，有x ＋y ＝3＞2，但不满足x ＞1且y ＞1，即q p ．故p 是q 的充分不必要条件．答案：A6．命题“对任意x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A ．a ≥4 B ．a ＞4 C ．a ≥1D ．a ＞1解析：要使“对任意x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题，只需要a ≥4，∴a ＞4是命题为真的充分不必要条件．答案：B◆ 易错通关 ◆1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．易忽视A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且BA )与A 的充分不必要条件是B (B ⇒A 且A B )两者的不同．[小题纠偏]1．设a ，b 均为非零向量，则“a ∥b ”是“a 与b 的方向相同”的________条件． 答案：必要不充分2．“在△ABC 中，若C ＝90°，则A ，B 都是锐角”的否命题为：________.解析：原命题的条件：在△ABC 中，C ＝90°， 结论：A ，B 都是锐角．否命题是否定条件和结论， 即“在△ABC 中，若C ≠90°，则A ，B 不都是锐角”． 答案：在△ABC 中，若C ≠90°，则A ，B 不都是锐角授课提示：对应学生用书第5页考点一 命题及其关系 自主探究 基础送分考点——自主练透[题组练通]1．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三个内角成等差数列”的逆命题( )A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题解析：原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三个内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题．答案：D2．(2018·焦作质检)设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .给出命题s ：若|q |＝2，则S 6＝7S 2，则在命题s 的逆命题、否命题、逆否命题中，错误命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：若|q |＝2，则q 2＝2，S 6＝a 11－q 61－q＝a 11－q 21＋q 2＋q 41－q＝7·a 11－q 21－q ＝7S 2，所以原命题为真，从而逆否命题为真；而当S 6＝7S 2时，显然q ≠1，这时a 11－q 61－q ＝7·a 11－q 21－q，解得q ＝－1或|q |＝2，因此，逆命题为假，否命题为假，故错误命题的个数为2.答案：B3．命题“若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ”的否命题是( ) A ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c B ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤b C ．若a ＋c ＞b ＋c ，则a ＞b D ．若a ＞b ，则a ＋c ≤b ＋c解析：否命题是将原命题的条件和结论都否定，故命题“若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ”的否命题是“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”，故选A.答案：A1.判断命题真假的方法(1)判定一个命题是真命题，需经过严格推理证明，而要说明它是假命题，只需举出一个反例即可．(2)利用原命题与逆否命题、逆命题与否命题具有相同的真假性对所给命题的真假进行间接判断．2．由原命题写出其他三种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将原命题的条件与结论互换即得到逆命题，将原命题的条件与结论同时否定即得否命题，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．考点二 充分必要条件的判定 互动探究 重点保分考点——师生共研[典例] (1)(2018·合肥教学质检)“x ≥1”是“x ＋1x≥2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件(3)(2018·衡阳联考)设p ：x 2－x －20＞0，q ：log 2(x －5)＜2，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：(1)由题意得x ＋1x ≥2⇔x ＞0，所以“x ≥1”是“x ＋1x≥2”的充分不必要条件，故选A.(2)设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A 的补集C ＝{(x ，y )|x ＝y }，B 的补集D ＝{(x ，y )|cos x ＝cos y }，显然C D ，所以B A .于是“x ≠y ”是“cos x ≠cosy”的必要不充分条件．(3)∵x2－x－20＞0，∴x＞5或x＜－4，∴p：x＞5或x＜－4.∵log2(x－5)＜2，∴0＜x－5＜4，即5＜x＜9，∴q：5＜x＜9，∵{x|5＜x＜9}{x|x＞5或x＜－4}，∴p是q的必要不充分条件．故选B.答案：(1)A (2)C (3)B充要条件的3种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件.[即时应用]1．(2018·合肥模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：设命题a：“若p，则q”，可知命题a是祖暅原理的逆否命题，则a是真命题．故p是q的充分条件．设命题b：“若q，则p”，若A比B在某些等高处的截面积小一些，在另一些等高处的截面积大一些，且大的总量与小的总量相抵，则它们的体积还是一样的．所以命题b是假命题，即p不是q的必要条件．综上所述，p是q的充分不必要条件．故选A.答案：A2．设a，b∈R，则“log2a＞log2b”是“2a－b＞1”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：log2a＞log2b⇔a＞b＞0,2a－b＞1⇔a＞b，所以“log2a＞log2b”是“2a－b＞1”的充分不必要条件．故选A.答案：A3．已知命题甲是“⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x 2＋xx －1≥0”，命题乙是“{x |log 3(2x ＋1)≤0}”，则( ) A ．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件 B ．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解析：由x 2＋xx －1≥0，即x (x ＋1)(x －1)≥0且x ≠1，解得－1≤x ≤0或x ＞1.∵log 3(2x＋1)≤0，∴0＜2x ＋1≤1，解得－12＜x ≤0.∴甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件．故选B.答案：B考点三 根据充分、必要条件求参数的取值范围 变式探究 母题变式考点——多练题型[典例] (2018·济南月考)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．是否存在实数m ，使得x ∈P 是x ∈S 的充分必要条件？若存在，求出m 的取值范围．解析：P ＝{x |x 2－8x －20≤0}＝{x |－2≤x ≤10}． 要使x ∈P 是x ∈S 的充分必要条件，则P ＝S ， 即{x |－2≤x ≤10}＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，此时，m 不存在，即不存在实数m ，使得x ∈P 是x ∈S 的充分必要条件．[变式探究1]母题条件若改为“x ∈P 是x ∈S 的必要条件”，问题不变． 解析：∵x ∈P 是x ∈S 的必要条件， 即x ∈S ⇒x ∈P ，∴S P ， ∴1－m ＞1＋m 或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，1－m ≤1＋m ，∴m ≤3. [变式探究2]母题条件若改为“綈P 是綈S 的必要不充分条件”，问题不变．解析：∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴S 是P 的必要不充分条件， ∴P 是S 的充分不必要条件， ∴P S ⇔⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＞1－m ，1－m ≤－2，1＋m ≥10，∴m ≥9.利用充要条件求参数的值或范围的关键点和注意点(1)关键点：是合理转化条件，准确将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算．(2)注意点：注意区间端点值的检验.[即时应用]1．(2018·日照模拟)已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由2x 2－3x ＋1≤0，得12≤x ≤1，∴命题p 为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1. 由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1， ∴命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}．綈p 对应的集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞1或x ＜12， 綈q 对应的集合B ＝{x |x ＞a ＋1或x ＜a }． ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴a ＋1≥1且a ≤12，∴0≤a ≤12，即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 2．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜2x＜8，x ∈R，B ＝{x |－1＜x ＜m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．解析：A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜2x＜8，x ∈R＝{x |－1＜x ＜3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，∴A B ，∴m ＋1＞3，即m ＞2. 答案：(2，＋∞)课时作业单独成册 对应学生用书第189页A 组——基础对点练1．(2017·高考天津卷)设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由|x －1|≤1，得0≤x ≤2，∵0≤x ≤2⇒x ≤2，x ≤20≤x ≤2，故“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要而不充分条件，故选B. 2．命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( ) A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数 B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数 C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数 D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数解析：由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”，故选C.答案：C3．已知命题“若函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”，则下列结论正确的是( )A ．否命题“若函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上是减函数，则m ＞1”是真命题 B ．逆命题“若m ≤1，则函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上是增函数”是假命题 C ．逆否命题“若m ＞1，则函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上是减函数”是真命题 D ．逆否命题“若m ＞1，则函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题 解析：命题“若函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m ＞1，则函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．答案：D4．“a ＝－2”是“直线l 1：ax －y ＋3＝0与l 2：2x －(a ＋1)y ＋4＝0互相平行”的( ) A ．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当a＝－2时，直线l1：2x＋y－3＝0，l2：2x＋y＋4＝0，所以直线l1∥l2；若l1∥l2，则－a(a＋1)＋2＝0，解得a＝－2或a＝1.所以“a＝－2”是“直线l1：ax－y＋3＝0与l2：2x－(a＋1)y＋4＝0互相平行”的充分不必要条件，故选A.答案：A5．设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( )A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0解析：由原命题和逆否命题的关系可知D正确．答案：D6．(2018·惠州市调研)设函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|是偶函数”是“y＝f(x)的图象关于原点对称”的( )A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：设f(x)＝x2，y＝|f(x)|是偶函数，但是不能推出y＝f(x)的图象关于原点对称．反之，若y＝f(x)的图象关于原点对称，则y＝f(x)是奇函数，这时y＝|f(x)|是偶函数，故选C.答案：C7．(2018·南昌十校模拟)命题“已知a，b，c为实数，若abc＝0，则a，b，c中至少有一个等于0”，在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( ) A．0 B．1C．2 D．3解析：原命题为真命题，逆命题为“已知a，b，c为实数，若a，b，c中至少有一个等于0，则abc＝0”，也为真命题．根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题，故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为3.答案：D8．(2018·石家庄模拟)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,1)，则“m＝1”是“a∥b”成立的( )B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：向量a ＝(1，m )，b ＝(m,1)，若a ∥b ，则m 2＝1，即m ＝±1，故“m ＝1”是“a ∥b ”的充分不必要条件，选A.答案：A9．(2018·武汉市模拟)设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q ＜0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n ＜0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：a 1＞0，a 2n －1＋a 2n ＝a 1q2n －2(1＋q )＜0⇒1＋q ＜0⇒q ＜－1⇒q ＜0，而a 1＞0，q ＜0，取q ＝－12，此时a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n －2(1＋q )＞0.故“q ＜0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n＜0”的必要不充分条件．答案：B10．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“a ⊥b ”是“α⊥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为α⊥β，b ⊥m ，所以b ⊥α，又直线a 在平面α内，所以a ⊥b ；但直线a ，m 不一定相交，所以“a ⊥b ”是“α⊥β”的必要不充分条件，故选B.答案：B11．(2018·南昌市模拟)a 2＋b 2＝1是a sin θ＋b cos θ≤1恒成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为a sin θ＋b cos θ＝a 2＋b 2sin(θ＋φ)≤a 2＋b 2，所以由a 2＋b 2＝1可推得a sin θ＋b cos θ≤1恒成立．反之，取a ＝2，b ＝0，θ＝30°，满足a sin θ＋b cos θ≤1，但不满足a 2＋b 2＝1，即由a sin θ＋b cos θ≤1推不出a 2＋b 2＝1，故a 2＋b 2＝1是a sin θ＋b cos θ≤1恒成立的充分不必要条件．故选A.答案：A12．(2018·洛阳统考)已知集合A ＝{1，m 2＋1}，B ＝{2,4}，则“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若A ∩B ＝{4}，则m 2＋1＝4， ∴m ＝±3，而当m ＝3时，m 2＋1＝4，∴“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的充分不必要条件． 答案：A13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的__________条件．解析：由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，故a ≤b ⇔sin A ≤sinB ．答案：充要14．“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”的__________条件．解析：由log 12(x ＋2)＜0，得x ＋2＞1，解得x ＞－1，所以“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”的充分不必要条件．答案：充分不必要15．命题“若x >1，则x >0”的否命题是__________． 答案：若x ≤1，则x ≤016．如果“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为__________． 解析：由x 2>1，得x <－1，或x >1，又“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，知由“x <a ”可以推出“x 2>1”，反之不成立，所以a ≤－1，即a 的最大值为－1.答案：－1B 组——能力提升练1．(2018·湖南十校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若A ＝B ＝0，则S n ＝0，故数列{a n }不是等比数列；若数列{a n }是等比数列，则a 1。

【数学】2019届一轮复习人教A版理第1章第1节　集　合教案

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第章集合与常用逻辑用语第一节集合[考纲传真](教师用书独具)1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．(对应学生用书第1页)[基础知识填充]1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R(1)子集：若对∀x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A．(2)真子集：若A⊆B，但∃x∈B，且x∉A，则A B或B A．(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B．(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算并集交集补集图形表示符号表示A∪B A∩B ∁U A意义{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B}{x|x∈U且x∉A}[(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个．(2)任何集合是其本身的子集，即：A⊆A．(3)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C．(4)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B．(5)∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何集合都有两个子集．()(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．()(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.()(4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．()(5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．(6)若A∩B＝A∩C，则B＝C．()[解析](1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．(2)错误．三个集合分别表示函数y＝x2的定义域(－∞，＋∞)，值域[0，＋∞)，抛物线y＝x2上的点集．(3)错误．当x＝1时，不满足互异性．(4)正确．两个集合均为不大于1的实数组成的集合．(5)正确．由交集、并集、子集的概念知，正确．(6)错误．当A＝∅时，B，C可为任意集合．[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)×2．(教材改编)若集合A ＝{x ∈N |x ≤22}，a ＝2，则下列结论正确的是( ) A ．{a }⊆A B ．a ⊆A C ．{a }∈A D ．a ∉A D [由题意知A ＝{0,1,2}，由a ＝2，知a ∉A ．]3．若集合A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－2＜x ＜－1} B ．{x |－2＜x ＜3} C ．{x |－1＜x ＜1}D ．{x |1＜x ＜3}A [∵A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}， ∴A ∩B ＝{x |－2＜x ＜－1}．故选A ．]4．设全集U ＝{x |x ∈N *，x ＜6}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，则∁U (A ∪B )等于( )A ．{1,4}B ．{1,5}C ．{2,5}D ．{2,4}D [由题意得A ∪B ＝{1,3}∪{3,5}＝{1,3,5}．又U ＝{1,2,3,4,5}，∴∁U (A ∪B )＝{2,4}．]5．已知集合A ＝{x 2＋x,4x }，若0∈A ，则x ＝________. －1 [由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＝0，4x ≠0或⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝0，x 2＋x ≠0，解得x ＝－1.](对应学生用书第1页)集合的基本概念M 中的元素个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6(2)已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，ba ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019为( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1(1)B (2)C [(1)因为集合M 中的元素x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，所以当b ＝4，a＝1,2,3时，x＝5,6,7.当b＝5，a＝1,2,3时，x＝6,7,8.由集合元素的互异性，可知x＝5,6,7,8.即M＝{5,6,7,8}，共有4个元素．(2)由已知得a≠0，则ba＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.][规律方法]与集合中的元素有关的问题的求解策略(1)确定集合中的元素是什么，即集合是数集还是点集.(2)看这些元素满足什么限制条件.(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性.[跟踪训练](1)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝()A．92B．98C．0 D．0或98(2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________.【导学号：97190001】(1)D(2)－32[(1)若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a＝0时，x＝23，符合题意；当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0得a＝98，所以a的取值为0或98.(2)因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3， 此时集合A 中有重复元素3， 所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)， 此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意． 所以m ＝－32.]集合间的基本关系(1)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( ) A ．A B B ．B A C ．A ⊆BD ．B ＝A(2)已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}，B ＝{x |－m ＜x ＜m }．若B ⊆A ，则m 的取值范围为________．(1)B (2)m ≤1 [(1)由题意知A ＝{x |－1≤x ≤1}， 所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}， 因此B A ．(2)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A ，当m ＞0时，因为A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}＝{x |－1＜x ＜3}． 当B ⊆A 时，有所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m ＜m .所以0＜m≤1.综上所述m的取值范围为m≤1.][规律方法] 1.集合间基本关系的两种判定方法(1)化简集合从表达式中寻找两集合的关系.(2)用列举法(或图示法等)表示各个集合从元素(或图形)中寻找关系.2.根据集合间的关系求参数的方法已知两集合间的关系求参数时关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系进而转化为参数满足的关系解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图化抽象为直观进行求解.易错警示：B⊆A(A≠∅)，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论.[跟踪训练](1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．(1)D(2)(－∞，4][(1)由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．(2)∵B⊆A，∴当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4.]集合的基本运算◎角度1 集合的运算(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x ＜1}，则( ) A ．A ∩B ＝{x |x ＜0} B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{x |x ＞1}D ．A ∩B ＝∅(2)(2018·石家庄质检(二))设U ＝R ，A ＝{－3，－2，－1，0,1,2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁U B )＝( )A ．{1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－3，－2，－1,0}D ．{2}(1)A (2)C [(1)∵B ＝{x |3x ＜1}，∴B ＝{x |x ＜0}．又A ＝{x |x ＜1}，∴A ∩B ＝{x |x ＜0}，A ∪B ＝{x |x ＜1}．故选A ． (2)由题意得∁U B ＝{x |x ＜1}，∴A ∩(∁U B )＝{－3，－2，－1,0}，故选C ．] ◎角度2 利用集合的运算求参数(2018·合肥第二次质检)已知A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞D ．(1，＋∞)A[集合A ∩B ≠∅，则⎩⎨⎧12a ≤2a －1，2a －1≥1，解得a ≥1，故选A ．] ◎角度3 新定义集合问题如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x,0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝________.{0,6} [由题意可知－2x ＝x 2＋x ，所以x ＝0或x ＝－3.而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x ＝－3时，A ＝{－6,0,6}，所以A ∩B ＝{0,6}．] [易错警示] 解决集合运算问题需注意以下四点：(1)看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.(2)看集合能否化简，集合能化简的先化简，再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于求解.(3)要借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化.一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，并注意端点值的取舍.(4)以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以创新，但最终应转化为原来的集合问题来解决.[跟踪训练] (1)(2017·全国卷Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( )A ．{1，－3}B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}(2)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |(x －1)(x ＋3)＜0}，N ＝{x ||x |≤1}，则阴影部分(如图1-1-1)表示的集合是()图1-1-1A．[－1,1) B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞) D．(－3，－1)(3)设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝________.【导学号：97190002】(1)C(2)D(3){0}∪[2，＋∞)[(1)∵A∩B＝{1}，∴1∈B．∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C．(2)由题意可知，M＝(－3,1)，N＝[－1,1]，∴阴影部分表示的集合为M∩(∁N)＝(－3，－1)．U(3)由已知A＝{x|0＜x＜2}，B＝{y|y≥0}，又由新定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．]。

人教A版高三艺术特长生一轮复习集合的含义与表示教案

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集合的含义与表示一、学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征。

二、要点梳理㈠、集合的概念1一般地，把一些能够 不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的构成的集合(或集).构成集合 的叫做这个集合的元素(或成员).集合通常用英语大写字母A,B,C,…来表示，它们的元素通常用英语小写字母a,b,c,…来表示.如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作 ，如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作 。

2一般地，我们把 元素的集合叫做空集，记作 。

3.集合的分类:(1)含有有限个元素的集合叫 。

(2)含有无限个元素的集合叫 。

(3)非负整数全体构成的集合叫 ，记作 。

(4)在自然数集内排除0的集合叫 ，记作 。

(5)整数全体构成的集合，叫做 ，记作 。

(6)有理数全体构成的集合，叫做 ，记作 。

(7)实数全体构成的集合，叫做 ，记作 。

4.集合中元素的特性是 、 、 。

5.如果一个集合是 ，元素又不太多，常常把集合的所有元素都列举出来，写在花括号“{}”内表示这个集合，这种表示集合的方法叫做 。

6.如果在集合I 中，属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质p (x)，而不属于集合A 的元素都 性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A 的 .于是，集合A 可以用它的特征性质p(x)描述为 ，它表示集合A 是由集合I 中具有性质p (x)的 元素构成的.三、典例精析例1、试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合； （2）大于2且小于7的整数.例2、用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈， 则有： 17 A ； －5 A ； 17 B .例3、试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13 A 组题4）（1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合；（2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合；（3）反比例函数的自变量的值组成的集合.例4 、 用列举法把下列集合表示出来：（1）A = {x ∈N |∈N }；（2）B = {∈N | x ∈N }；（3）C = { y ｜ y = – x 2 + 6，x ∈N ，y ∈N }；（4）D = {(x ，y ) | y = –x 2 +6，x ∈N }；（5）E = {x |pq = x ，p + q = 5，p ∈N ，q ∈N *}.例5.已知集合A= { a-2 , 2a 2 +5a,10 }，且一3∈A ，则a 的值为 。

2018-2019学年人教A版必修一集合学案

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第一章 集合与函数概念1.1 集合一、集合的概念 1．集合与元素一般地，我们把___________统称为元素，用小写拉丁字母a,b,c,⋅⋅⋅表示．把___________组成的总体叫做集合，用大写拉丁字母A,B,C,⋅⋅⋅表示．说明：组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式，也可以是人或物等． 2．元素与集合的关系如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作___________；如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作___________．学注意：a A ∈与a A ∉取决于元素a 是否是集合A 中的元素．根据集合中元素的确定性可知，对任何元素a 与集合A ，a A ∈与a A ∉这两种情况中必有一种且只有一种成立． 3．集合中元素的特征（1）___________：集合中的元素是否属于这个集合是确定的，即任何对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一．这是判断一组对象是否构成集合的标准．（2）___________：给定集合的元素是互不相同的．即对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．（3）___________：集合中各元素间无先后排列的要求，没有一定的顺序关系． 4．集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的． 二、常用的数集及其记法1．全体___________组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N ； 2．所有___________组成的集合称为正整数集，记作*N 或+N ； 3．全体___________组成的集合称为整数集，记作 ； 4．全体___________组成的集合称为有理数集，记作Q ；5．全体___________组成的集合称为实数集，记作R ．易错点：N 为非负整数集（即自然数集），包括0，而*N 表示正整数集，不包括0，注意区分． 三、集合的表示方法 1．列举法把集合的元素___________出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．注意：（1）用列举法表示的集合，集合中的元素之间用“，”隔开，另外，集合中的元素必须满足确定性、互异性、无序性．（2）“{}”含有“所有”的含义，因此用{}R 表示所有实数是错误的，应是R ． 2．描述法用集合所含元素的___________表示集合的方法称为描述法．具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的___________．说明：用描述法表示集合应写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是数、有序实数对、集合，还是其他形式． 四、Venn 图，子集 1．Venn 图的概念我们经常用平面上___________的内部代表集合，这种图称为Venn 图．说明：（1）表示集合的Venn 图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线． （2）Venn 图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显． 2．子集（1）子集的概念一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中___________都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）． 用Venn 图表示A ⊆B 如图所示：（2）子集的性质①任何一个集合是它自身的子集，即A A ⊆．②传递性，对于集合A ，B ，C ，如果A B ⊆，且B C ⊆，那么A C ⊆． 五、从子集的角度看集合的相等如果集合A 是集合B 的___________（A B ⊆），且集合B 是集合A 的___________（B A ⊆），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作A B =．用Venn 图表示A B =如图所示．六、真子集 1．真子集的概念如果集合A B ⊆，但存在元素___________，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B ⊂≠（或B A ⊃≠）． 如果集合A 是集合B 的真子集，在Venn 图中，就把表示A 的区域画在表示B 的区域的内部．如图所示：2．真子集的性质对于集合A ，B ，C ，如果A B ⊂≠，B C ⊂≠，那么A C ⊂≠．辨析：子集与真子集的区别：若A B ⊆，则A B ⊂≠或A B =；若A B ⊂≠，则A B ⊆．七、空集 1．空集的概念我们把___________任何元素的集合叫做空集，记作∅，并规定：空集是任何集合的子集． 2．空集的性质（1）空集是任何集合的___________，即A ∅⊆； （2）空集是任何非空集合的___________，即A ⊂∅≠．注意：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解．八、并集 1．并集的概念一般地，由___________属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：___________（读作“A 并B ”），即{},AB x x A x B =∈∈或．用Venn 图表示如图所示：（1） （2） （3） 由上述图形可知，无论集合A ，B 是何种关系，AB 恒有意义，图中阴影部分表示并集．注意：并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可，这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的． 2．并集的性质对于任意两个集合A ，B ，根据并集的概念可得： （1）()A A B ⊆，()B A B ⊆； （2）A A A =；（3）A A ∅=； （4）A B BA =．九、交集 1．交集的概念一般地，由___________的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作：___________（读作“A 交B ”），即{|},AB x x A x B =∈∈且．用Venn 图表示如图所示：（1）A 与B 相交（有公共元素） （2）A B ⊂≠，则AB A = （3）A 与B 相离（A B =∅）注意：（1）交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合的交集中的元素必须同时是两个集合的元素．（2）定义中的“所有”是指集合A 和集合B 中全部的公共元素，不能是一部分公共元素．2．交集的性质 （1）(),()AB A A B B ⊆⊆； （2）A A A =；（3）A ∅=∅； （4）A B B A =．十、全集与补集 1．全集的概念一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U ，是相对于所研究问题而言的一个相对概念．学+说明：“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集R 看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集Z 看作全集． 2．补集的概念对于一个集合A ，由全集U 中___________集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作U A ð，即{},U A x x U x A =∈∉且ð．用Venn 图表示如图所示：说明：（1）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A 的补集的前提是A 是全集U 的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．（2）若x U ∈，则x A ∈或U x A ∈ð，二者必居其一． 3．全集与补集的性质设全集为U ，集合A 是全集U 的一个子集，根据补集的定义可得： （1）U U =∅ð； （2）U U ∅=ð； （3）()U UA A =痧；（4）()UAA U =ð； （5）()UA A =∅ð．知识参考答案：一、1．研究对象 一些元素 2．a A ∈ a A ∉ 3．确定性 互异性 无序性 二、1．非负整数 2．正整数 3．整数 4．有理数 5．实数 三、1．一一列举 2．共同特征 共同特征 四、1．封闭曲线 2．（1）任意一个元素五、子集 子集六、1．x B ∈，且x A ∉七、1．不含 2．（1）子集 （2）真子集 八、1．所有 A ∪B九、1．属于集合A 且属于集合B A ∩B 十、2．不属于—重点1．并集与交集的概念，补集的有关运算及数轴的应用，数形结合的思想；2．运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法正确表示一些简单的集合；—难点1．能利用Venn 图表达集合间的关系； 2．集合中元素的三个特性；—易错1．在分析有关集合问题时，要注意空集的地位； 2．判断集合之间的关系时，要从元素入手．1．集合的概念判断指定的对象的全体能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是否是给定集合中的元素．注意：构成集合的元素除常见的数、式、点等数学对象外，还可以是其他任意确定的对象．【例1】下列各组对象中不能构成集合的是A ．正三角形的全体B ．所有的无理数C ．高一数学第一章的所有难题D ．不等式2x ＋3>1的解【答案】C【解析】C 中的难题并没有确定的标准，因此不满足集合中元素的确定性，不能构成集合．A ，B ，D 中的对象满足集合中元素的确定性、互异性和无序性，能够构成集合．【名师点睛】集合中元素的三个特性：（1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都必须明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一．（2）互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任意两个元素都是不同的．（3）无序性：集合中元素的排列无先后顺序，任意调换集合中元素的位置，集合不变．判断指定的对象能不能组成集合，关键是看作为集合的元素是否具有确定性，也就是能否找到一个明确的标准．2．元素与集合之间的关系元素与集合之间有且仅有“属于（∈）”和“不属于（∉）”两种关系，且两者必居其一．判断一个对象是否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征．若集合是用描述法表示的，则集合中的元素一定满足集合中元素的共同特征，可据此列方程（组）或不等式（组）求解参数；若a A ∈，且集合A 是用列举法表示的，则a 一定等于集合A 的其中一个元素，由此可列方程（组）求解．【例2】已知{21}M x |x a ,a ==+∈Z ，则有A ．1M ∉B ．0M ∈C ．2M ∈D ．1M -∈【答案】D【解析】设121a =+，则0a =∈Z ，即1M ∈，同理可得0M ∉，2M ∉，1M -∈．【名师点睛】解决本题的关键是根据集合M 中元素的一般形式分别判断1，0，2，1-是否为该集合中的元素，即分别判断方程21a +=1，0，2，1-是否有整数解． 3．集合的表示方法对于元素较少的集合宜采用列举法表示，用列举法表示集合时，要求元素不重复、不遗漏、不计次序；对于元素较多的集合宜采用描述法表示．但是对于有些元素较多的集合，如果其中的元素具有规律性，那么也可以用列举法表示，常用省略号表示多个元素．但要注意不要忽略集合中元素的代表形式． 【例3】选择适当的方法表示下列集合： （1）1和70组成的集合；（2）大于1且小于70的自然数组成的集合．（3）大于1且小于70的实数组成的集合．（4）平面直角坐标系中函数2y x =-+图象上的所有点组成的集合． 【答案】答案详见解析．（4）设平面直角坐标系中函数2y x =-+图象上的所有点组成的集合为E ，函数2y x =-+图象上的点可以用坐标(,)x y 表示，则有{(,)|2}x y y x =-+．【名师点睛】由于本题（2）中的集合B 中的元素是大于1且小于70的自然数，具有规律性，所以还可以表示为B ＝{2，3，…，69}．注意：由于用以表示集合的大括号已有概括“全体元素”之意，因此在大括号内不应再出现“全体”、“所有”、“集”等词．例如，Q ={全体有理数集}，R ={实数集}都是错误的． 4．集合相等从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系，看一个集合中的元素与另一集合中的哪个元素相等，一般需要分类讨论，在求出参数值后，要注意检验是否满足集合中元素的互异性及是否使有关的代数式有意义．【例4】已知集合M 中含有三个元素2，a ，b ，集合N 中含有三个元素2a ，2，2b ，且两集合相等，求a ，b 的值．【答案】01a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．【名师点睛】（1）对于列举法给出的集合，若两个集合相等，则它们所含元素完全相同，与元素的排列顺序无关，由此可列出方程或方程组．因为集合中的元素具有无序性，所以在建立方程（组）的时候，要注意分类讨论，同时要对最后结果进行检验，以免与集合中元素的互异性相矛盾．（2）对于描述法给出的集合，要判断两集合是否相等，要判断两个集合的代表元素是否一致，及代表元素所满足的条件是否一致，若都一致，则两集合相等． 5．判断两个集合之间的关系（1）从集合关系的定义入手，对两个集合进行分析，首先，判断一个集合A 中的任意元素是否属于另一集合B ，若是，则A ⊆B ，否则A 不是B 的子集； 其次，判断另一个集合B 中的任意元素是否属于第一个集合A ，若是，则B ⊆A ，否则B 不是A 的子集；若既有A ⊆B ，又有B ⊆A ，则A ＝B ．（2）确定集合是用列举法还是描述法表示的，对于用列举法表示的集合，可以直接比较它们的元素； 对于用描述法表示的集合，可以对元素性质的表达式进行比较，若表达式不统一，要先将表达式统一，然后再进行判断．也可以利用数轴或Venn 图进行快速判断． 【例5】指出下列各组中两个集合的包含关系： （1）{1,2,4}A =，{|8}B x x =是的约数；（2）{|3,}A x x k k ==∈N ，{|6,}B x x z z ==∈N ；（3）{|}A x x =是平行四边形，{|}B x x =是菱形，{|}C x x =是四边形，{|}D x x =是正方形．【答案】（1）A B ⊂≠；（2）B A ⊂≠；（3）C A B D ⊃⊃⊃≠≠≠．【解析】（1）8的约数有1，2，4，8，所以{1,2,4,8}B =，从而有A B ⊂≠． （2）A 中的元素都是3的倍数，B 中的元素都是6的倍数，对任意的z ∈N ，6=3(2)z z ⨯．因为z ∈N ，所以2z ∈N ，从而可得6z A ∈，从而有B A ⊆， 设63z =，则12z =∉N ，故3B ∉，但3A ∈，所以B A ⊂≠． （3）画出Venn 图如图所示，由图可知C A B D ⊃⊃⊃≠≠≠．【名师点睛】（1）当A B ⊆和A B ⊂≠均成立时，A B ⊂≠最准确反映集合,A B 的关系．当A B ⊆和A B =均成立时，A B =最准确反映集合,A B 的关系．（2）包含、真包含关系是集合与集合之间的关系，属于关系是元素与集合之间的关系，注意区分． 6．确定集合的子集的个数有限集子集的确定问题，求解关键有三点： （1）确定所求集合；（2）注意两个特殊的子集：∅和自身；（3）依次按含有一个元素的子集，含有两个元素的子集，含有三个元素的子集……写出子集．就可避免重复和遗漏现象的发生．【例6】集合{14}A=x x ∈-<<N 的真子集个数为A ．7B ．8C ．15D ．16【答案】C【解析】方法一：{}3210，，，=A 中有4个元素，按真子集中所含元素的个数分类写出真子集． ∅是任何非空集合的真子集；由一个元素构成的真子集：{0}{1}{2}{3}，，，； 由两个元素构成的真子集：{0,1}{0,2}{0,3}{1,2}{1,3}{2,3}，，，，，； 由三个元素构成的真子集：{0,1,2}{0,2,3}{1,2,3}{0,1,3}，，，．故集合{14}A=x x ∈-<<N 的真子集个数为15．故选C ．方法二：{}3210，，，=A 中有4个元素，则真子集个数为15124=-．故选C ．【名师点睛】如果有限非空集合A 中有n 个元素，则： （1）集合A 的子集个数为2n ； （2）集合A 的真子集个数为21n -； （3）集合A 的非空子集个数为21n -； （4）集合A 的非空真子集个数为22n-． 7．集合的交、并、补运算 （1）“AB ”是指所有属于集合A 或属于集合B 的元素并在一起所构成的集合．注意对概念中 “所有”的理解：不能认为“AB ”是由A 中的所有元素和B 中的所有元素组成的集合，即简单拼凑，要满足集合中元素的互异性，A 与B 的公共元素只能作并集中的一个元素． （2）“A B ”是指属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合．注意对概念中“且”的理解：不能仅认为AB 中的任意元素都是A 和B 的公共元素，它同时还表示集合A 与B 的公共元素都属于AB ，而且并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A 和集合B 没有公共元素时，=A B ∅．（3）{|,}U A x x U x A =∈∉且ð．全集与补集的性质：①一个集合与其补集的并集是全集，即()=U A A U ð；②一个集合与其补集的交集是空集，即()=U A A ∅ð；③一个集合的补集的补集是其本身，即()=U U A A 痧；④空集的补集是全集，即=U U ∅ð；⑤全集的补集是空集，即=U U ∅ð．⑥若A B ⊆，则()()U U A B ⊇痧；反之，若()()U U A B ⊆痧，则B A ⊆；⑦若=A B ，则=U U A B 痧；反之，若=U U A B 痧，则=A B ；⑧德▪摩根定律：并集的补集等于补集的交集，即()=()()U UU AB A B 痧?；交集的补集等于补集的并集，即()=()()U UU AB A B 痧?．（4）解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求()U A B ð时，先求出U A ð，再求交集；求()U AB ð时，先求出A B ，再求补集．【例7】设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A B ð＝A ．{4,8}B ．{0,2,6}C ．{0,2,6,10}D ．{0,2,4,6,8,10}（2）已知集合2{|20},{0,1,2}M x x x N =-==，则MN =A ．{0}B ．{0,1}C ．{0,2}D ．{0,1,2}（3）已知全集{}{},|0,|1U A x x B x x ==≤=≥R ，则集合()U AB =ðA ．{}|0x x ≥B ．{}|1x x ≤C ．{}|01x x ≤≤D ．{}|01x x <<【答案】（1）C ；（2）C ；（3）D【名师点睛】（1）集合{|()0}x f x =表示关于x 的方程()0f x =的解集． （2）解决与不等式有关的集合问题时，常借用数轴求解，要注意端点值能否取到．1．下列选项正确的是A ．0∈NB ．π∉RC ．1∉QD ．0∈2．在下列命题中，不正确的是A ．{1}∈{0，1，2}B ．Φ⊆{0，1，2}C ．{0，1，2}⊆{0，1，2}D ．{0，1，2}={2，0，1}3．下列哪组对象不能构成集合A ．所有的平行四边形B ．高一年级所有高于170厘米的同学C ．数学必修一中的所有难题D ．方程x 2–4=0在实数范围内的解 4．已知集合A ={2，3}，下列说法正确的是A ．2∉AB ．2∈AC ．5∈AD ．3∉A5．集合{3，x ，x 2–2x }中，x 应满足的条件是A．x≠–1 B．x≠0C．x≠–1且x≠0且x≠3D．x≠–1或x≠0或x≠36．已知集合A={2，–1}，B={m2–m，–1}，则A=B，则实数m=A．2 B．–1 C．2或–1 D．47．集合A={x|–2≤x≤2}，B={0，2，4}，则A∩B=A．{0} B．{0，2} C．[0，2] D．{0，1，2}8．已知集合A={1，2，3}，B={x|x2–x–2<0，x∈}，则A∪B=A．{1} B．{1，2}C．{0，1，2，3} D．{–1，0，1，2，3}9．已知集合A={1，2}，B={0，2，5}，则A∪B中元素的个数为A．2 B．3 C．4 D．510．设全集U={3，1，a2–2a+1}，集合A={1，3}，∁U A={0}，则a的值为A．0 B．1 C．–2 D．–111．已知全集U={0，1，2，3，4}，A={2，4}，B={1，3，4}，则（∁U A）∩B=A．ΦB．{0} C．{1，3} D．{0，1，3，4}12．如果集合U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={2，4，8}，B={1，3，4，7}，那么（∁U A）∩B等于A．{4} B．{1，3，4，5，7，8}C．{1，3，7} D．{2，8}13．已知集合M={x∈||x|≤3}，则下列结论中正确的个数是①2.5∈M②0⊆M③{0}∩M={0}④Φ∈M⑤集合M是无限集．A．0 B．1 C．2 D．3．14．设集合A={x∈|x>–1}，则A．Φ∉A B．2∉AD．{2}⊆AC．2A15．设A∪{–1，1}={0，–1，1}，则满足条件的集合A共有个．A．1 B．2 C．3 D．416．设A={x|2≤x≤6}，B={x|2a≤x≤a+3}，若B⊆A，则实数a的取值范围是A．[1，3] B．[3，+∞）C．[1，+∞）D．（1，3）17．如图所示的韦恩图中，若A={x|0≤x<2}，B={x|x>1}，则阴影部分表示的集合为A．{x|0<x<2} B．{x|1<x≤2}C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x>2}18．若全集U={–1，0，1，2}，P={x∈|x2–x–2<0}，则∁U P=A．{0，1} B．{0，–1}C．{–1，2} D．{–1，0，2}19．已知集合1{|12}{|22}8xM x x x P x x=-≤∈=<<∈Z R，，，，则图中阴影部分表示的集合为A．{1} B．{–1，0}C．{0，1} D．{–1，0，1}20．设全集U={x∈N|x≤9}，集合A={2，5，8，9}，B={1，4，6，7，9}，则图中阴影部分表示的集合为A．{1，4，6} B．{1，4，7}C．{1，4，9} D．{1，4，6，7}21．已知集合A是由0，m，m2–3m+2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m为__________．22．由实数t，|t|，t2，–t，t3所构成的集合M中最多含有__________个元素．23．设A={x|1<x<4}，B={x|x–a<0}，若A⊆B，则a的取值范围是__________．24．已知集合A={0，1}，B={–1，0，a+3}，且A⊆B，则a等于__________．25．已知{1}⊆A⊆{1，2，3}，则这样的集合A有__________个．学+26．已知a∈R，b∈R，若{a，ba，1}={a2，a+b，0}，则a2019+b2019=__________．27．已知集合A={a，b，2}，B={2，b2，2a}，且A=B，则a=__________．28．已知集合A={x|–2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m–1}．若A∪B=A，求实数m的取值范围．29．已知集合A={x|x<–1或x>4}，B={x|2a≤x≤a+3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．30．（2018•新课标Ⅱ）已知集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则A∩B=A．{3} B．{5}C．{3，5} D．{1，2，3，4，5，7}31．（2018•天津）设集合A={1，2，3，4}，B={–1，0，2，3}，C={x∈R|–1≤x<2}，则（A∪B）∩C= A．{–1，1} B．{0，1}C．{–1，0，1} D．{2，3，4}32．（2018•新课标Ⅰ）已知集合A={x|x2–x–2>0}，则∁R A=A．{x|–1<x<2} B．{x|–1≤x≤2}C．{x|x<–1}∪{x|x>2} D．{x|x≤–1}∪{x|x≥2}33．（2018•新课标Ⅰ）已知集合A={0，2}，B={–2，–1，0，1，2}，则A∩B=A．{0，2} B．{1，2}C．{0} D．{–2，–1，0，1，2}34．（2018•浙江）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则∁U A=A．∅B．{1，3} C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5} 35．（2018•北京）已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则A∩B=A．{0，1} B．{–1，0，1}C．{–2，0，1，2} D．{–1，0，1，2}36．（2018•新课标Ⅲ）已知集合A={x|x–1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2} 37．（2018•新课标Ⅱ）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈，y∈），则A中元素的个数为A．9 B．8 C．5 D．438．（2018•北京）已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则A∩B=A．{0，1} B．{–1，0，1}C．{–2，0，1，2} D．{–1，0，1，2}39．（2018•天津）设全集为R，集合A={x|0<x<2}，B={x|x≥1}，则A∩（∁R B）=A．{x|0<x≤1} B．{x|0<x<1} C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<2}40．（2018•江苏）已知集合A={0，1，2，8}，B={–1，1，6，8}，那么A∩B=__________．1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15D A C B C C B C C B C C B B D16 17 18 19 20 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39C C C BD C C B A C A C A A B 1．【答案】D【解析】在A中，0∉N，故A错误；在B中，π∈R，故B错误；在C中，1∈Q，故C错误；在D中，0∈，故D正确．故选D．2．【答案】A【解析】在A中，{1} {0，1，2}，故A错误；在B中，Φ是{0，1，2}的子集，故B正确；在C中，{0，1，2}是{0，1，2}的子集，故C正确；在D中，{0，1，2}={0，1，2}，故D正确．故选A．3．【答案】C【解析】所有的平行四边形满足集合元素的确定性，互异性，可以构成集合，高一年级所有高于170厘米的同学，满足集合元素的确定性，互异性，可以构成集合，数学必修一中的所有难题，不满足集合元素的确定性，不能构成集合，方程x2–4=0在实数范围内的解，满足集合元素的确定性，互异性，可以构成集合，故选C．4．【答案】B【解析】∵集合A={2，3}，∴2∈A，3∈A，5∉A，故选B．5．【答案】C【解析】集合{3，x，x2–2x}中，x2–2x≠3，且x2–2x≠x，且x≠3，解得x≠3且x≠–1且x≠0，故选C．6．【答案】C【解析】∵集合A={2，–1}，B={m2–m，–1}，A=B，∴m2–m=2，解得m=–1或m=2．故选C．7．【答案】B【解析】∵A={x|–2≤x≤2}，B={0，2，4}，∴A∩B={0，2}．故选B．8．【答案】C【解析】∵集合A={1，2，3}，B={x|x2–x–2<0，x∈}={x|–1<x<2，x∈}={0，1}，∴A∪B={0，1，2，3}．故选C．11．【答案】C【解析】全集U={0，1，2，3，4}，A={2，4}，B={1，3，4}，则∁U A={0，1，3}，（∁U A）∩B={1，3}．故选C．12．【答案】C【解析】集合U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={2，4，8}，B={1，3，4，7}，∴∁U A={1，3，5，6，7}，（∁U A）∩B={1，3，7}．故选C．13．【答案】B【解析】∵集合M={x∈||x|≤3}，∴①2.5∉M，故错误；②0∈M，故错误；③{0}∩M={0}，故正确；④Φ⊆M，故错误；⑤集合M是有限集，故错误．故选B．16．【答案】C【解析】∵A ={x |2≤x ≤6}，B ={x |2a ≤x ≤a +3}，且B ⊆A ；当B =Φ时，2a >a +3，解得a >3；当B ≠Φ时，362223a a a a +≤⎧⎪≥⎨⎪≤+⎩，解得1≤a ≤3；∴a 的取值范围是{a |1≤a ≤3，或x >3}={a |a ≥1}，故选C ． 17．【答案】C【解析】∵A ={x |0≤x <2}，B ={x |x >1}，设全集U =A ∪B ={x |x ≥0}，∵A ∩B ={x |1<x <2}，则阴影部分为 ∁U （A ∩B ）={x |0≤x ≤1或x ≥2}．故选C ． 18．【答案】C【解析】全集U ={–1，0，1，2}，P ={x ∈ |x 2–x –2<0}={x ∈ |–1<x <2}={0，1}，则∁U P ={–1，2}．故选C ． 19．【答案】B【解析】由Venn 图知阴影部分对应的集合为A ∩B ，由|x –1|≤2得–2≤x –1≤2，得–1≤x ≤3，即M ={–1，0，1，2，3}，由18<2x<2，得–3<x <1，即P =（–3，1），则M ∩P ={–1，0}，故选B ． 20．【答案】D【解析】∵全集U ={x ∈N |x ≤9}={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A ={2，5，8，9}，B ={1，4，6，7，9}，∴图中阴影部分表示的集合为：B ∩（C U A ）={1，4，6，7，9}∩{0，1，3，4，6，7}={1，4，6，7}．故选D ．21．【答案】3【解析】由题意知，m =2或m 2–3m +2=2，解得m =2或m =0或m =3，经验证，当m =0或m =2时，不满足集合中元素的互异性，当m =3时，满足题意．故答案为：3． 22．【答案】4【解析】由实数t ，|t |，t 2，–t ，t 3所构成的集合M 中，由于|t |至少与t 和–t 中的一个相等，故集合M 中至多有4个元素．故答案为：4． 23．【答案】[4，+∞）【解析】∵A ={x |1<x <4}，B ={x |x –a <0}={x |x <a }，A ⊆B ，∴a ≥4，故答案为：[4，+∞）． 24．【答案】–2【解析】∵集合A ={0，1}，B ={–1，0，a +3}，且A ⊆B ，∴a +3=1，解得a =–2．故答案为：–2．27．【答案】0或14【解析】∵集合A ={a ，b ，2}，B ={2，b 2，2a }，且A =B ，又根据集合元素的互异性，所以有22a a b b a b =⎧⎪=⎨⎪≠⎩或22b a a b a b=⎧⎪=⎨⎪≠⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故a =0或14．故答案为：0或14． 28．【答案】（–∞，3]【解析】若A ∪B =A ，则B ⊆A ，分两种情况考虑： （1）若B 不为空集，可得m +1≤2m –1，解得：m ≥2， ∵B ⊆A ，∵A ={x |–2≤x ≤5}，B ={x |m +1<x <2m –1}， ∴m +1≥–2，且2m –1≤5，解得：–3≤m ≤3， 此时m 的范围为2≤m ≤3；（2）若B 为空集，符合题意，可得m +1>2m –1，解得：m <2， 综上，实数m 的范围为（–∞，3]． 29．【答案】{x |a <–4或2<a <3或a >3}【解析】∵集合A ={x |x <–1或x >4}，B ={x |2a ≤x ≤a +3}，B ⊆A ， ∴当B =Φ时，2a >a +3，解得a >3，成立；当B≠Φ时，a+3<–1或2a>4，且2a<a+3，解得a<–4或2<a<3．∴实数a的取值范围是{x|a<–4或2<a<3或a>3}．30．【答案】C【解析】∵集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，∴A∩B={3，5}．故选C．33．【答案】A【解析】集合A={0，2}，B={–2，–1，0，1，2}，则A∩B={0，2}．故选A．34．【答案】C【解析】根据补集的定义，∁U A是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合，由已知，有且仅有2，4，5符合元素的条件．∁U A={2，4，5}，故选C．35．【答案】A【解析】∵集合A={x||x|<2}={x|–2<x<2}，B={–2，0，1，2}，∴A∩B={0，1}，故选A．36．【答案】C【解析】∵A={x|x–1≥0}={x|x≥1}，B={0，1，2}，∴A∩B={x|x≥1}∩{0，1，2}={1，2}．故选C．37．【答案】A【解析】当x=–1时，y2≤2，得y=–1，0，1，当x=0时，y2≤3，得y=–1，0，1，当x=1时，y2≤2，得y=–1，0，1，即集合A中元素有9个，故选A．38．【答案】A【解析】A={x||x|<2}={x|–2<x<2}，B={–2，0，1，2}，则A∩B={0，1}，故选A．39．【答案】B【解析】∵A={x|0<x<2}，B={x|x≥1}，∴∁R B={x|x<1}，∴A∩（∁R B）={x|0<x<1}．故选B．40．【答案】{1，8}【解析】∵A={0，1，2，8}，B={–1，1，6，8}，∴A∩B={0，1，2，8}∩{–1，1，6，8}={1，8}，故答案为：{1，8}．。