第4章IIR滤波

用 s 代换 j
2
H ( j )
1 c
通带截止频率 Ωc 幅频特性曲线光滑，单调下降
H ( j ) 1, 0 用来确定H(s)中的增益常数
2
1 , C 2
对数纵坐标 0
H ( s) H ( s)
根据因果性、稳定性要求，将左半 s 平面的极点分配给 H ( s ) ；
10
0.1 Ap
2、求 3 dB 截止频率 C 由通带指标求得 ：2 N 100.1 Ap 1
p c 1
给定性能指标： 通带截止频率 p 与通带幅度最大衰减 A p （或 3 dB 截止频率 C ）， 阻带起始频率 S 与阻带幅度最小衰减 AS 。 1、求 求N
c
通带内，等幅波动 通带外，快速单调衰减
2 p 2 2 Ap 20lg H j p 10lg H j p 10lg 1 2CN 10lg 1 p 2 s 2 2 2 1 s As 10lg H js 10lg 1 2CN 10lg 1 ch N ch p p
1 j 1 j c 1 s 1 j c
2N
s1 c e
1 1 j 2 6
s1
pk
s5
j sk e 2 2N c
1 2 k 1
, k 1,2,..., N , N 1,...2 N
y (t ) Ax (t td )
例：理想低通
4.2.1 理想滤波器及其频率响应
Y ( j) H ( j ) Ae jtd X ( j )
H ( j ) A arg H ( j ) td
e H dL ( j) 0
H dL ( j )
4.1 概述
数字信号处理
数字滤波器的狭义理解：具有一定频率选择性的信号处理装置、部件、模块 （让一些频率分量通过，阻止另一些频率分量通过）
第4章 IIR数字滤波器设计和实现
Chapter 4 Design and implementation of Infinite Impulse Response Digital Filters
jtd
C C hdL (t ) 是 sinc 函数
1
时域响应无限长、非因果、不可实现。 原因：幅频响应的锐截止特点
理想频选滤波器 应是 通带内： 通带外： 幅频响应为常数，相位响应为线性 幅频响应为0
C
0
C

4.2.1 理想滤波器及其频率响应
2、频率响应、幅度平方函数
4.2.3 切比雪夫滤波器
H ( j )
H ( j )
2
1 2 1 2C N p
为通带波动参数
p s
20lg H ( j )
(dB)
给定性能指标： 通带截止频率 p 与通带幅度最大衰减 A p ， 阻带起始频率 S 与阻带幅度最小衰减 AS 。 1、求 和N
H ( s) H ( p) p
5 s 10000
切比雪夫 II 型 低通 特点：带内单调衰减 阻带等幅波动
K0 s s s s s 3.23606798 5.23606798 5.23606798 3.23606798 1 10000 10000 10000 10000 10000
用 s 代换 j H ( s ) H ( s ) 令分母为零，得极点
1
2N
s2
第159页 表4.2(a)：各 p k 值

将左半平面的一半极点分配给 将左半平面的 半极点分配给 H(p)
H ( p) K0
sk jc ( 1) 2 N c e
1 2 k 1 j 2 2N
滤波器类型： 低通 高通 低通、高通、 带通、带阻… 滤波器设计 或 数学模型 H ( z)
黄爱苹 浙江大学 信电系 2012秋冬学期
性能指标： 通带范围（边频 ） p 阻带范围（边频 ） 过渡带范围
h ( n)
H (k )
S
通带最大波动（ 或 A ） p p 阻带最小衰减（ 或 ） AS S
将 N 和 C 代入 H ( j)
1
2N
100.1 As 1 2 N lg s lg 0.1 Ap 1 10 p 100.1 As 1 lg 0.1 Ap 1 最小正整数 N 10 2lg s p
或由阻带指标求得 ： c 求幅度平方函数
3、求幅度平方函数
p
2N
Ap 20lg g H j p As 20lg H js
2 N 2 10lg g H j p 10lg g 1 p c 2 N 2 10lg H js 10lg 1 s c
4.2.2 巴特沃思滤波器
巴特沃思（Butterworth）低通滤波器 幅度平方函数 H ( j)
2
H ( j ) H ( j ) e
j
1
阶次 N
2N
设计出了满足要求的 H ( j) 之后，如何得到传递函数 H ( s ) ？
H ( j ) H ( j ) H * ( j ) H ( j ) H ( j ) H ( s ) H ( s ) s j
（1）模拟原型法。设计一个模拟滤波器，将其传输函数变换为数字滤波器的传输函数 （2）零极点位置累试法。 （3）直接设计法。 （4）参数化模型。
H z
a z
i 0 i N i 0
M
i
1 bi z i
A
(1 c z (1 d z
i 1 i i 1 N i
3
4.2.3 切比雪夫滤波器
1、求 和 N
4.2.3 切比雪夫滤波器
例4.4 设计一个低通切比雪夫滤波器。要求： 通带截止频率 f p 3 MHz ，最大衰减 Ap 0.1 dB ； 阻带截止频率 f s 12 MHz ，最小衰减 As 60 dB 解： 1、求 和 N 。
M
1
) )
（5）最优化设计法（计算机辅助设计法）。
1
设计：确定传输函数的系数 ai 、bi 或 零点 ci、极点di ，以满足性能要求 （3）用一个有限精度的运算去实现这个传输函数 运算结构 字长、处理方法等 4.8节 第 6章
1
4.2 模拟滤波器设计
4.2.1 理想滤波器及其频率响应
1、理想频选滤波器 概念：无失真传输 —— 只有线性缩放和延迟 任意 x(t)
增益常数 K0：零频（s=0）处校正
最后，确定增益常数 K0： 零频（s = 0）处校正
4.2.2 巴特沃思滤波器
例4.2 设计一个巴特沃思低通滤波器。 c 10000 , Ap 3 dB, s 20000 , As 30 dB 解： 1、求 N
4.2.3 切比雪夫滤波器
H ( j )
H ( j )
取 N 5 3、求幅度平方函数 H ( j) 2、求 3 dB 截止频率 C（本题不需求） 1 2
10
p s H ( j ) H ( j )
p s
1 10000 4、求传输函数（如，查表4.2(b)） K0 H ( p) 5 p 3.23606798 p 4 5.23606798 p 3 5.23606798 p 2 3.23606798 p 1
1 p c
2N
10
2
0.1 Ap
类似有 100.1 As 1 s c 2N 100.1 As 1 相除 s 0.1 Ap 10 1 p
2N
1 c 该滤波器通带指标正好满足，阻带指标 超额满足。
确定 H(s) 中的增益常数。
x
20lg
H ( j ) (dB) H max ( j)
4.2.2 巴特沃思滤波器Hale Waihona Puke 4.2.2 巴特沃思滤波器
2 N 1、求 N Ap 10lg 1 p c 2N p 0.1 Ap 1 10 c
, k 1, 2,..., N , N 1,...2 N
s3 |s| = C
s4
2N 个极点等间隔分布在半径为 C 的圆上 将左半平面的一半极点分配给 H(s) K0 K0 H ( s) N N s a N 1s N 1 ... a1s a0 ( s sk )
4 3 2
课内不讨论II型
p s
p s
H ( s ) s 0 1
K0 1
4.2.3 切比雪夫滤波器
I 型 低通的幅度平方函数 N 阶切贝雪夫多项式
1 cos N cos ( x) , x 1 CN ( x) 1 x 1 ch N ch ( x) ,
s
2N
100.1 As 1
将 N 和 C 代入。
该滤波器阻带指标正好满足，通带指标 也满足，过渡带响应太高。
2
4.2.2 巴特沃思滤波器
4、求传输函数 幅度平方函数
H ( j )
2
4.2.2 巴特沃思滤波器
j s6 2N 个归一化极点等间隔分布在单位圆上，其值可以查表。
例： N = 3
k 1
(p p )
k 1 k