第六章IIR滤波器的设计方法
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第六章IIR滤波器的设计方法
j4
数字滤波器的频率响应：
H
(e
j
)
1
0.318e j 0.4177e j 0.01831e
j
2
冲激响应不变法的优缺点
优点： h(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应ha(t)
时域逼近良好 保持线性关系：=T
线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器
缺点： 频率响应混迭
只适用于限带的低通、带通滤波器
通带、阻带与过渡带：信号允许通过的频带 为通带，完全不允许通过的频带为阻带，通 带与阻带之间为过渡带。
滚降与滚降率：滤波器幅频特性在过渡 带的衰减和衰减速度称为滚降与滚降率。
阻带衰减：输入信号在阻带的衰减量
带内平坦度：通带和阻带内的平坦程度
4、数字滤波器的设计步骤
数字滤波器的设计三个步骤:
后各频率成分的衰减情况
( j) 为相频特性：反映各频率成分通过滤波
器后在时间上的延时情况
理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近
通带： c
1 1 H (e j ) 1
阻带： st H (e j ) 2
过渡带： c st
c ：通带截止频率
st ：阻带截止频率
：通带容限
Ha(s) Ha(-s)的零极点分布
由 Ha ( j) 2 确定Ha (s)的方法
由幅度平方函数得象限对称的s平面函数 对比 Ha ( j) 和 Ha (s) ，确定增益常数 由零极点及增益常数，得Ha (s)
低通
2π
π
高通
H (e j ) π
2π ω
2π
π
带通
H (e j ) π
2π ω
2π
π
带阻
H (e j ) π
数字信号处理 第六章
各种数字滤波器的理想幅度频率响应 数字滤波器的设计步骤 理想滤波器的逼近 数字滤波器的系统函数H(z) IIR滤波器设计方法
6.1 引言
数字滤波器的设计步骤：
按任务要求，确定滤波器性能要求。 用一个因果稳定的离散线性移不变的系统函数去逼 近这一性能要求。逼近所用系统函数有无限冲激响 应（IIR）系统函数与有限长单位冲激响应（FIR） 系统函数两种。 利用有限精度算法来实现这个系统函数。 实际的技术实现。
零极点分布对系统相角的影响
相位“延时”（或相位“滞后”）系统
最小相位延时系统 最大相位延时系统 最大相位超前系统 最小相位超前系统
相位“超前”（或相位“领先”）系统
当全部零点在单位圆外时，相位变化最大，又是负数， 当全部零点在单位圆外时，相位变化最小， 当全部零点在单位圆内时，相位变化最大， 当全部零点在单位圆内时，相位变化最小， 故称为最小相位超前系统。 故称为最大相位超前系统。 故称为最大相位延时系统。 故称为最小相位延时系统。
2、可实现Ha(s)Ha(-s)零极点分布
j
σ
1、零极点中一半属Ha(s)，另一 半属Ha(-s)。如要求系统稳定， 则左半平面极点属于Ha(s)。 2、挑选零点时，不加任何限制， 则Ha(s)的解不唯一。 3、如限定Ha(s)是最小相位的， 则只能取所有左半平面的零极 点作为Ha(s)的零极点，Ha(s) 的解唯一。 4、虚轴上的零点阶数减半分配给 Ha(s)。 5、稳定系统虚轴上无极点，临界 稳定时虚轴上才会有极点。
第6章 无限冲激响应IIR 数字滤波器的设计方法
刘笑楠
第6章 无限冲激响应IIR 数字滤波器的设计方法
第六章IIR数字滤波器的理论与设计(2)
例如，一个模拟微分器，它的幅度与频率是直线关系， 但通过双线性变换后，就不可能得到数字微分器
H ( j) k b H (e
j
) H ( j )
tg
2
ktg
2
b
b. 线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤 波器为非线性相位。 c. 要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段恒定的，故双 线性变换只能用于设计低通、高通、带通、带阻等选 频滤波器。
面的左半平面 Re{S}＜0 应映射到Z平面的单位圆以内|Z|<1。
一、脉冲响应不变法 脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波 器的单位脉冲响应序列h(n)正好等于模拟滤波器的冲激响应 ha(t)的采样值，即
ha t |t nT ha nT hn
T为采样周期。
j
Ha ( j ) T
脉冲响应不变法的频率混叠现象
1 H z |z esT H a s jks T k
首先对Ha(s)作周期延拓，然后再经过 的映射关系映射到 Z 平面上。
ze
sT
令
z re
j
,
s j
在S平面上沿虚轴移动，对应于Z平面沿单位圆周 期性旋转，每平移 s ， 则沿单位圆转一周。 S平面到Z平面的映射是多值映射。
极点为：
s1 (0.3224 j0.772), s2 (0.3224 j 0.7772)
二、双线性变换法
脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混 淆，这是从S平面到Z平面的标准变换z＝esT的多值对应 关系导致的,为了克服这一缺点，设想变换分为两步： 第一步：将整个S平面压缩到S1平面的一条横带里； 第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个Z 平面上去。 由此建立 S 平面与 Z 平面一一对应的单值关系，消除多 值性，也就消除了混淆现象。
IIR数字滤波器的设计方法
6.2 IIR滤波器设计的特点
将IIR滤波器的系统函数用极、零点表示：
M
M
bk zk
(1 ck z1)
H(z)
k 0 N
A
k 1 N
1 ak zk
(1 dk z1)
k 1
k 1
M≤N
对系统函数的设计就是确定各系数ak, bk或零极点ck，dk和A， 使滤波器满足给定的性能要求
14
第12讲 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 6.3.2 巴特沃思低通逼近 （最平幅度逼近）
巴特沃思低通滤波器在通带内有最大平坦的幅度特 性，因而又称为最平幅度特性滤波器
巴特沃思低通滤波器幅度平方函数定义
|
H
a
(
j)
|2
1
(
1 / c
)2
N
式中，N为正整数，代表滤波器的阶数。Ωc为 3dB截止频率。当Ω=Ωc时，衰减为 3 dB
器• Ha(s)Ha(-s)的极点为
sk
1
(1)2N ( jc )
ej
1 2
22kN1
c
k=1, 2, …, 2N
• Ha(s)Ha(-s)的2N个极点等间隔分布在半径为Ωc的圆（巴特沃 思圆）上，极点间的角度间隔为π/N rad
16
第12讲 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
|Ha(jΩ)|2单调减小，N越大，通带内特性越平坦，过渡带越窄
15
第12讲 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
巴特沃思滤波器的极(零)点分布 (公式法求解低通Ha(s))
|
H
将IIR滤波器的系统函数用极、零点表示：
M
M
bk zk
(1 ck z1)
H(z)
k 0 N
A
k 1 N
1 ak zk
(1 dk z1)
k 1
k 1
M≤N
对系统函数的设计就是确定各系数ak, bk或零极点ck，dk和A， 使滤波器满足给定的性能要求
14
第12讲 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 6.3.2 巴特沃思低通逼近 （最平幅度逼近）
巴特沃思低通滤波器在通带内有最大平坦的幅度特 性，因而又称为最平幅度特性滤波器
巴特沃思低通滤波器幅度平方函数定义
|
H
a
(
j)
|2
1
(
1 / c
)2
N
式中，N为正整数，代表滤波器的阶数。Ωc为 3dB截止频率。当Ω=Ωc时，衰减为 3 dB
器• Ha(s)Ha(-s)的极点为
sk
1
(1)2N ( jc )
ej
1 2
22kN1
c
k=1, 2, …, 2N
• Ha(s)Ha(-s)的2N个极点等间隔分布在半径为Ωc的圆（巴特沃 思圆）上，极点间的角度间隔为π/N rad
16
第12讲 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
|Ha(jΩ)|2单调减小，N越大，通带内特性越平坦，过渡带越窄
15
第12讲 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
巴特沃思滤波器的极(零)点分布 (公式法求解低通Ha(s))
|
H
IIR滤波器的设计方法
把H(z)单位圆外的零点：z 1/ z0, 1/z0*, z0 1 映射到单位圆内的镜像位置：z z0, z0*
构成Hmin(z)的零点。
而幅度响应不变：
P231 图6－6
H (e j ) Hmin (e j ) Hap (e j ) Hmin (e j )
2）级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成 一个稳定滤波器
相位响应：
(e
j
)
arctan
Im[H Re[H
(e (e
j j
)] )]
H *(e j ) H (e j ) e j (e j )
H (e j ) H *(e j )
e2 j (e j )
(e j )
1 2j
H (e j )
ln
H
*
(e
j
)
1 2j
ln
H(z)
H
(
z
1
)
z
阻带最小衰减： 2
H (e j0 )
2 20lg H (e jst ) 20lg H (e jst ) 20lg2
其中： H (e j0 ) 1
当 H (e jc ) 2 / 2 0.707 时，1 3dB
称 c 为3dB通带截止频率
6、表征滤波器频率响应的特征参量
幅度平方响应
H (e j ) 2 H (e j )H *(e j )
2π ω
2π
π
π
2π ω
2、LP到其他滤波器的变换 由LP实现的HP
LP实现的BP
LP实现的BRF
3、 滤波器的性能指标
带宽：当幅度降低到0.707时的宽度称为
滤波器的带宽（3dB带宽）
第六章 IIR数字滤波器的设计方法
x(n m) e
X (e
)
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理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近（以低通为例）
通带： c 阻带：
st
1 1 H (e
H (e
j
j
) 1
2
)
过渡带： c st
c
：通带截止 （cutoff）频率 ：通带容限 ：阻带（stop）截止 频率 ：阻带容限
j
)] )]
j j
H (e ) H (e ) e
*
j
j
j (e
)
H (e H (e
*
) )
e
2 j (e
j
)
(e
j
H (e 1 ) ln * 2 j H (e
j
H (z) 1 ) ln 1 2 j j ) H ( z ) z e j
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6.2、最小与最大相位延时系统、最小与最大相位超前系统
LSI系统的系统函数：
H (z) K
M M
m 1 N
(1 c m z (1 d k z
M
1
) Kz
(N M )
m 1 N
( z cm ) (z dk )
k 1
1
)
k 1
频率响应：
H (e
j
上页 下页
因果稳定系统
H (e a rg K
j
z r, r 1
n < 0时，h(n) = 0
全部极点在单位圆内：po = 0，pi = N
) 2 m i 2 p i 2 ( N M ) 2
IIR滤波器的设计方法
实验六 IIR 滤波器的设计方法⏹ 实验学时：2学时 ⏹ 实验类型：设计、验证一、实验目的IR 数字滤波器的常用指标和设计过程的理解；响应不变法和双线性变换法设计IIR 滤波器的原理，设计方法，步骤； 现象，比较脉冲响应不变法和双线性变换法设计IIR 滤波器的特点熟悉Matlab 信号处理工具箱中的常用函数二、实验原理与方法IIR 数字滤波器设计步骤：（一）先设计模拟低通原型滤波器（二）AF 数字化为DF1． 脉冲响应不变法用数字滤波器的单位脉冲响应序列)(n h 模仿模拟滤波器的冲激响应)(t h a ,让)(n h 正好等于)(t h a 的采样值，即)()(nT h n h a =，其中T 为采样间隔，如果以)(s H a 及)(z H 分别表示)(t h a 的拉式变换及)(n h 的Z 变换，则)2(1)(m Tj s H T z H m a e z sT ∑∞-∞==+=π2．双线性变换法S 平面与z 平面之间满足以下映射关系：11112--+-⋅=zz T s （***） s 平面的虚轴单值地映射于z 平面的单位圆上，s 平面的左半平面完全映射到z 平面的单位圆内。
双线性变换不存在混叠问题。
双线性变换是一种非线性变换，这种非线性引起的幅频特性畸变可通过预畸而得到校正。
双线性变换法特别适合用于设计常见的选频性滤波器，下面以双线性变换法设计低通数字滤波器为例，将设计步骤归纳如下：（1）根据需要确定数字滤波器的性能指标：通带截止频率p f 、阻带截止频率p f 、通带最大衰减αp 、阻带内的最小衰减αs ，采样频率s f ； (2) 确定相应的数字角频率，T f p p πω2=；T f s s πω2=； (3) 计算经过预畸的相应模拟低通原型的截止频率，)2(2pp tg T ω=Ω，)2(2s s tg T ω=Ω；(4)根据Ωp ，αp 和Ωs ，αs 计算模拟低通原型滤波器的传递函数)(s H a ； (5)用上述（***）表示的双线性变换公式代入)(s H a ，求出)(z H ；分析滤波器特性，检查其指标是否满足要求。
IIR数字滤波器的原理及设计解析
因此截止频率又叫做3db带宽或者半功率点。
图6.1
Butterworth低通滤波器的平方幅度特性
3. N的影响
在通带内，0<(Ω/Ωc)<1，故N越大， | H ( j)|2 随增大 a
而下降越慢；
在阻带内，(Ω/Ωc)>1，故N越大，| H a ( j)| 随增大而下
2
降越快。
1. 最平坦函数
B型滤波器的幅频特性是随增大而单调下降的。在 =0附近以及 很大时幅频特性都接近理想情况，而且在 这两处曲线趋于平坦，因此B型特性又叫做最平坦特性。
2. 3db带宽 由(6.4)式可知，当Ω =Ω c 时，| H a ( j)|2 = 1 ，而 2
10log10 | H a ( jc ) |2 10log10 1 2 3db
根据幅频特性指标来设计系统函数。
图6.1中用虚线画出的矩形表示一个理想的模拟低通滤波
器的指标，是以平方幅度特性|Ha(jΩ )|2来给出的。
Ω c 是截止频率，当0≤Ω <Ω c时，|Ha(jΩ )|2 =1，是通带； 当Ω >Ω c时，|Ha(jΩ )|2 =0，是阻带。图6.1中的实的曲线 表示一个实际的模拟低通滤波器的平方幅度特性，我们的 设计工作就是要用近似特性来尽可能地逼近理想特性。 通常采用的典型逼近有Butterworth逼近、 Chebyshev逼 近和Cauer逼近（也叫椭圆逼近〕。
i 0 i 1
M
N
于是得到IIR数字滤波器的系统函数：
Y ( z) H ( z) X ( z)
i a z i i 0
M
1 bi z i
第六章 无限长单位冲激响应(IIR)数字滤波器的设计方法
6.1 引 言
数字滤波器的性能要求
通带截止频率 误差容限 阻带截止频率
具有误差容限的的滤波器具有三个特征范围： 通带 过渡带
阻带
1 1 H (e j ) 1,
c
c st
H (e j ) 2 , st
第六章 IIR数字滤波器的设计方法
z e j
H ( z)H ( z 1) 的零极点特征：
1 若 z re ji 是H(z)的极点，则 z e ji 是H(z-1)的极点。 r 即 H ( z)H ( z 1) 的极点是以单位圆镜像对称的，同时也是共轭的。
jIm[z]
满足上述条件的极点可能有几种情况。 对于可实现的系统，系统函数的极点都在单位圆内。 对于零点的分析类似极点，只是系统函数的零点没
0 1
Re[z]
4
有只在单位圆内的限制。
第六章 IIR数字滤波器的设计方法
6.1 引 言
M
设计IIR数字滤波器的方法 数字滤波器可用系统函数表示
H ( z)
1 ak z k
k 0
k 0 N
bk z k
对IIR系统，N>0,且一般有MN。
设计的目的就是要求出ak和bk，使对应的传输函数逼近所要求的特性。
对于因果稳定的LSI系统，其单位冲击响应 h(n)为实函数，因而满足共轭 对称条件，即 H (e j ) H (e j )
第六章 IIR数字滤波器的设计方法
6.1 引 言
幅度平方响应：
H (e
j 2
) H (e j ) H (e j ) H (e j ) H (e j ) H ( z ) H ( z 1 )
第六章IIR滤波器的理论与设计
► Down
X a ( n s )
Return
2019/3/27
◄ Up
◙
Main
ha(t)也是一模拟信号，对其取样即有
n
Tha ( nT )e jn H a ( n s )
n j
令h(n)=Tha(nT)，并以 H(ejω) 表示h(n)的频谱，则
◄ Up
► Down
◙
Main
Return
2019/3/27
§6.3 脉冲响应不变法（时域变换）
有了刚才的基础（数字仿真），如何在给定模拟滤波
器系统函数Ha(s)的情况下，求出数字滤波器系统函数
H(z)。Ha(s)是模拟滤波器冲激响应的拉氏变换 一、设计方法
k a s k i b s i i 0 M M
w() …
w( ) x( t )ha ( )
y(t)为曲线与坐标轴间面积， 当T足够小时，可近似计算
0 T
y( t ) T [ w(0) w(T ) w( 2T ) w( kT ) ]
T [ x( t )ha (0) x( t T )ha ( t ) x( t kT )ha ( kT ) ]
◄ Up
► Down
◙
Main
Return
2019/3/27
综上所述： • 若有一个脉冲响应为ha(t)，频率响应为Ha()的模拟 滤波器，
• 当||>m时，Ha()=0，则可得到一个与之仿真的数
字滤波器； • 其脉冲响应为h(n)=Tha(nT)，抽样周期满足
s=2p/T≥2m ；
• 频率响应为H(ej) ，是 Ha() 的周期延拓，且在－ s/2 ～s/2 区间内与Ha()完全一致。
X a ( n s )
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2019/3/27
◄ Up
◙
Main
ha(t)也是一模拟信号，对其取样即有
n
Tha ( nT )e jn H a ( n s )
n j
令h(n)=Tha(nT)，并以 H(ejω) 表示h(n)的频谱，则
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► Down
◙
Main
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§6.3 脉冲响应不变法（时域变换）
有了刚才的基础（数字仿真），如何在给定模拟滤波
器系统函数Ha(s)的情况下，求出数字滤波器系统函数
H(z)。Ha(s)是模拟滤波器冲激响应的拉氏变换 一、设计方法
k a s k i b s i i 0 M M
w() …
w( ) x( t )ha ( )
y(t)为曲线与坐标轴间面积， 当T足够小时，可近似计算
0 T
y( t ) T [ w(0) w(T ) w( 2T ) w( kT ) ]
T [ x( t )ha (0) x( t T )ha ( t ) x( t kT )ha ( kT ) ]
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◙
Main
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2019/3/27
综上所述： • 若有一个脉冲响应为ha(t)，频率响应为Ha()的模拟 滤波器，
• 当||>m时，Ha()=0，则可得到一个与之仿真的数
字滤波器； • 其脉冲响应为h(n)=Tha(nT)，抽样周期满足
s=2p/T≥2m ；
• 频率响应为H(ej) ，是 Ha() 的周期延拓，且在－ s/2 ～s/2 区间内与Ha()完全一致。
第六章IIR滤波器的设计方法
一. IIR滤波器的一般设计方法：
1.累试法
滤波器的幅度特性和相位特性完全由其零点和极点位置所决定。
如果在单位圆内处
设置一对共轭极点
j0 Z r e ，频响 在 0 将有一峰值。
极点 0 离单位圆愈远，频响在 0 处的峰值比较平缓。 极点 0 越接近单位圆，频响在 0 处的峰值就越尖锐。 如果通带太窄，可以把极点向原点平移，如果通带太宽，可以将极点
2 m Ha j T m
表达式表明：数字滤波器的频响并不是简单的重现模拟滤波器的频响，
H e j 为模拟滤波器频响
的周期重复 ,是以 j Ha
为周期的周期延。 s
需要强调指出，在周期重复模拟滤波器频响的过程中所存在的问题：
首先分析一下
变函数的映射变换，这种映射变换应该满足两个基本的要求： ① H z 的频响应该模仿 H a s 的频响
即要求
②是因果稳定的映射 指 H a s 的因果稳定性通过映射后， H z 仍保持因果稳定。
§6.5 脉冲响应不变法
根据容限设计好一个模拟滤波器后，就可对此模拟系统进行模仿。 数字滤波器从什么角度去模仿模拟滤波器呢？第一种方法是脉冲响应 不变法。 1. 脉冲响应不变法
1
N j 1 1 j C
2N
N —— 为整数，表示滤波器的阶次；
c——
为截止频率。
当 0 时， 当 时， c
H a j 0 1
2
H a j C
2
1 2
又称为滤波器的3bB带宽
巴特沃斯低通滤波器的特点：
①在 0 ，所以巴特沃斯滤波器通带内具 处，即靠近零频处，衰减为 0 有最大平坦的振幅特性，故得名为最平坦响应滤波器。
1.累试法
滤波器的幅度特性和相位特性完全由其零点和极点位置所决定。
如果在单位圆内处
设置一对共轭极点
j0 Z r e ，频响 在 0 将有一峰值。
极点 0 离单位圆愈远，频响在 0 处的峰值比较平缓。 极点 0 越接近单位圆，频响在 0 处的峰值就越尖锐。 如果通带太窄，可以把极点向原点平移，如果通带太宽，可以将极点
2 m Ha j T m
表达式表明：数字滤波器的频响并不是简单的重现模拟滤波器的频响，
H e j 为模拟滤波器频响
的周期重复 ,是以 j Ha
为周期的周期延。 s
需要强调指出，在周期重复模拟滤波器频响的过程中所存在的问题：
首先分析一下
变函数的映射变换，这种映射变换应该满足两个基本的要求： ① H z 的频响应该模仿 H a s 的频响
即要求
②是因果稳定的映射 指 H a s 的因果稳定性通过映射后， H z 仍保持因果稳定。
§6.5 脉冲响应不变法
根据容限设计好一个模拟滤波器后，就可对此模拟系统进行模仿。 数字滤波器从什么角度去模仿模拟滤波器呢？第一种方法是脉冲响应 不变法。 1. 脉冲响应不变法
1
N j 1 1 j C
2N
N —— 为整数，表示滤波器的阶次；
c——
为截止频率。
当 0 时， 当 时， c
H a j 0 1
2
H a j C
2
1 2
又称为滤波器的3bB带宽
巴特沃斯低通滤波器的特点：
①在 0 ，所以巴特沃斯滤波器通带内具 处，即靠近零频处，衰减为 0 有最大平坦的振幅特性，故得名为最平坦响应滤波器。
数字信号处理第六章8设计IIR滤波器的频率变换法
灵活性
频率变换法可以根据不同的设计需求，灵活地调 整滤波器的频率响应特性，实现多种多样的滤波 效果。
数学基础坚实
频率变换法基于严格的数学推导，具有坚实的理 论基础，保证了设计结果的准确性和可靠性。
频率变换法的局限性
对初值敏感
频率变换法对初值的选择较为敏感，初值选取不当可能导致设计 结果偏离预期目标。
模糊、锐化、边缘检测等效果。
控制系统
03
在控制系统中，频率变换法可用于设计IIR滤波器，以改善系统
的动态性能和稳定性。
04
CATALOGUE
结论
频率变换法的总结
频率变换法是一种有效的设计IIR滤波器的方法 ，通过将原始滤波器的频率响应转换为易于实 现的形式，从而简化了滤波器的设计过程。
该方法基于频率域的变换，通过一系列的数学 推导，将原始滤波器的频率响应转换为易于实 现的形式，从而得到滤波器的系数。
选择合适的频率变换方法
根据滤波器类型和性能指标，选择合 适的频率变换方法，如巴特沃斯、切 比雪夫等。
计算滤波器系数
根据选择的频率变换方法，计算滤波 器系数。
验证滤波器性能
通过仿真或实验验证滤波器的性能是 否满足设计要求。
设计实例
选择巴特沃斯频率变换方法。 通过仿真验证滤波器性能，确保满足设计要求。
03
在应用中，需要注意滤波器的 实时性要求，选择合适的算法 和实现方式以满足实时处理的 需求。
THANKS
感谢观看
数字信号处理第六 章8设计iir滤波器的 频率变换法
目录
• 引言 • 设计IIR滤波器 • 频率变换法在IIR滤波器设计中的应用 • 结论
01
CATALOGUE
引言
背景介绍
频率变换法可以根据不同的设计需求，灵活地调 整滤波器的频率响应特性，实现多种多样的滤波 效果。
数学基础坚实
频率变换法基于严格的数学推导，具有坚实的理 论基础，保证了设计结果的准确性和可靠性。
频率变换法的局限性
对初值敏感
频率变换法对初值的选择较为敏感，初值选取不当可能导致设计 结果偏离预期目标。
模糊、锐化、边缘检测等效果。
控制系统
03
在控制系统中，频率变换法可用于设计IIR滤波器，以改善系统
的动态性能和稳定性。
04
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结论
频率变换法的总结
频率变换法是一种有效的设计IIR滤波器的方法 ，通过将原始滤波器的频率响应转换为易于实 现的形式，从而简化了滤波器的设计过程。
该方法基于频率域的变换，通过一系列的数学 推导，将原始滤波器的频率响应转换为易于实 现的形式，从而得到滤波器的系数。
选择合适的频率变换方法
根据滤波器类型和性能指标，选择合 适的频率变换方法，如巴特沃斯、切 比雪夫等。
计算滤波器系数
根据选择的频率变换方法，计算滤波 器系数。
验证滤波器性能
通过仿真或实验验证滤波器的性能是 否满足设计要求。
设计实例
选择巴特沃斯频率变换方法。 通过仿真验证滤波器性能，确保满足设计要求。
03
在应用中，需要注意滤波器的 实时性要求，选择合适的算法 和实现方式以满足实时处理的 需求。
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数字信号处理第六 章8设计iir滤波器的 频率变换法
目录
• 引言 • 设计IIR滤波器 • 频率变换法在IIR滤波器设计中的应用 • 结论
01
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引言
背景介绍
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5、数字滤波器的技术要求
选频滤波器的频率响应:
H (ej)H (ej)ej(j)
H ( e j ) 为幅频特性：表示信号通过该滤波器
后各频率成分的衰减情况
( j) 为相频特性：反映各频率成分通过滤波
器后在时间上的延时情况
理想滤波器不可实现,只能以实际滤波器逼近
通带： c
11H(ej)1
2 π π π 2 π ω
2、LP到其他滤波器的变换 由LP实现的HP
LP实现的BP
LP实现的BRF
3、 滤波器的性能指标
带宽:当幅度降低到0.707时的宽度称为滤
波器的带宽（3dB带宽）
通带、阻带与过渡带:信号允许通过的频带为 通带,完全不允许通过的频带为阻带，通带与 阻ejdk
各零矢量模的连乘积 各极矢量模的连乘积
k1
相角:
a r g H ( K e j ) m M 1 a r g [ e j c m ] k N 1 a r g [ e j d k ] ( N M )
a r g H ( K e j ) m M 1 a r g [ e j c m ] k N 1 a r g [ e j d k ] ( N M )
则为线性相位滤波器
7、IIR数字滤波器的设计方法
用一因果稳定的离散LSI系统逼近给定的性能要求:
M
bk z k
H (z)
k0 N
1 a k z k
k 1
即为求滤波器的各系数
ak , bk
s平面逼近:模拟滤波器
z平面逼近:数字滤波器
先设计模拟滤波器,再转换为数字滤波器 计算机辅助设计法
a） 时域说明 b） 频域说明
（2） 四种基本的滤波器
四种基本滤波器为低通（LP）、高通 （HP）、带通（BP）和带阻滤波器（BRF）:
（3） 四种基本滤波器的数字表示
H (e j )
低通
高通
2 π π
H(e j ) π 2 π ω
带通
2 π π H(e j ) π 2 π ω
带阻
2 π π H(e j ) π 2 π ω
6.1 引言
数字滤波器:
是指输入输出均为数字信号,通过一定运算 关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者 滤除某些频率成分的器件。
优点:
高精度、稳定、体积小、重量轻、灵活,不要 求阻抗匹配，可实现特殊滤波功能
1、滤波器的基本概念 （1） 滤波器的功能
滤波器的功能是对输入信号进行滤波 以增强所需信号部分,抑制不要的部分。
当0 2,2
j Im[z]
0
Re[z]
位于单位圆内的零/极矢量角度变化为2 位于单位圆外的零/极矢量角度变化为 0
a r g H ( K e j ) m M 1 a r g [ e j c m ] k N 1 a r g [ e j d k ] ( N M )
第六章 IIR滤波器的设计
主要内容
理解数字滤波器的基本概念 了解最小相位延时系统 理解全通系统的特点及应用 掌握冲激响应不变法 掌握双线性变换法 掌握Butterworth、Chebyshev低通滤波器的特点 了解利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的设计过程 了解利用频带变换法设计各种类型数字滤波器的方法
滚降与滚降率:滤波器幅频特性在过渡 带的衰减和衰减速度称为滚降与滚降率。
阻带衰减:输入信号在阻带的衰减量
带内平坦度:通带和阻带内的平坦程度
4、数字滤波器的设计步骤
数字滤波器的设计三个步骤:
(1) 按要求确定滤波器的性能参数; (2) 用一个因果稳定的离散线性移不变系统的系 统函数去逼近去逼近这一性能要求； (3) 用有限精度的运算实现；实现可以采用通用 计算机,也可以采用DSP。
H *(ej)H (ej)ej(ej)
H(ej) H*(ej)
e2
j(ej
)
(ej)21jlnH H*((eej j))
1 2j
H(z) lnH(z1)zej
H ( e j )
群延迟响应
相位对角频率的导数的负值
(ej)
d(ej)
d
dH(z) 1 Rez dz H(z)zej
若滤波器通带内 ( e j ) = 常数，
6.2 最小与最大相位延时系统、最小 与最大相位超前系统
LSI系统的系统函数:
M
M
(1cmz1)
(zcm)
H(z)KmN1
Kz(NM)
m1 N
(1dkz1)
(zdk)
k1
k1
频率响应:
M
(ejcm)
H(ej)Kej(NM)m N 1
H(ej)ejarg[H(ej)]
(ejdk)
k1
模:
M
H(ej) K
其中： H (e j0) 1
当 H (ejc)2/20.707时，1 3dB
称 c 为3dB通带截止频率
6、表征滤波器频率响应的特征参量
幅度平方响应
H (ej)2H (ej)H *(ej)
H ( e j ) H ( e j ) H ( z ) H ( z 1 )z e j
H(z)H(z1)的极点既是共轭的，又是以单
位圆成镜像对称的
j Im[z]
H(z)的极点:单位圆内的极点
1/a*
a
0 a*
Re[z]
a 1
相位响应
H ( e j ) H ( e j ) e j ( e j ) R e H ( e j ) j I m H ( e j )
相位响应：(ej)arctan R Im e[[H H((eejj ))]]
令： 单位圆内零点数为mi 单位圆外的零点数为mo
mi moM
单位圆内的极点数为pi 单位圆外的极点数为po
pi poN
则:
a rg H (K ej) 2 2(N M ) 2m i 2p i
因果稳定系统 z r, r1n < 0时，h(n) = 0
全部极点在单位圆内:po = 0,pi = N
阻带： st H(ej) 2
过渡带： cst
c ：通带截止频率 s t ：阻带截止频率
1 ：通带容限
2 ：阻带容限
通带最大衰减： 1
12 0lgH H ((e ejj 0 c)) 2 0lgH (ej c) 2 0lg (11)
阻带最小衰减： 2
220lgH H ((e ej j0 st)) 20lgH (ejst) 20lg2