实验一用递推公式计算定积分

第1篇一、实验目的1. 理解定积分的概念和意义。

2. 掌握定积分的计算方法。

3. 通过实验，加深对定积分理论知识的理解和应用。

二、实验原理定积分是微积分学中的一个基本概念，它表示某一曲线与x轴及两条垂直于x轴的直线所围成的平面图形的面积。

定积分的计算方法主要有直接积分法、分部积分法、换元积分法等。

三、实验仪器与材料1. 计算机2. 计算软件（如MATLAB、Mathematica等）3. 数学教材和参考书籍四、实验内容1. 理论学习（1）复习定积分的定义、性质和计算方法。

（2）了解定积分在物理学、工程学、经济学等领域的应用。

2. 实验操作（1）计算以下定积分：∫（0到1）x^2 dx（2）使用MATLAB软件进行定积分计算，并比较与手工计算的结果。

3. 结果分析（1）分析手工计算与MATLAB计算的结果差异，找出原因。

（2）总结定积分计算方法在实际应用中的优缺点。

五、实验步骤1. 理论学习（1）阅读数学教材，了解定积分的定义、性质和计算方法。

（2）查阅相关资料，了解定积分在各个领域的应用。

2. 实验操作（1）使用计算器或手工计算定积分∫（0到1）x^2 dx，得到结果。

（2）打开MATLAB软件，编写以下代码进行定积分计算：```matlabsyms x;I = int(x^2, 0, 1);```运行代码，得到结果。

3. 结果分析（1）比较手工计算和MATLAB计算的结果，发现两者基本一致。

（2）分析定积分计算方法在实际应用中的优缺点，总结如下：优点：- 定积分计算方法可以处理各种复杂函数，具有广泛的适用性。

- 定积分在物理学、工程学、经济学等领域的应用非常广泛。

缺点：- 对于某些复杂函数，计算过程较为繁琐，需要花费较多时间。

- 在实际应用中，可能需要根据具体情况选择合适的计算方法。

六、实验总结通过本次实验，我们了解了定积分的概念、性质和计算方法，并掌握了使用MATLAB软件进行定积分计算的方法。

-----------------------------------Docin Choose -----------------------------------豆 丁 推 荐↓精 品 文 档The Best Literature----------------------------------The Best Literature例谈定积分的计算方法和技巧韦兰英（南宁师范高等专科学校数学与计算机科学系，广西龙州532400）摘要：文章通过举例，主要从五个方面探讨了简化定积分计算所采用的方法和技巧，这些方法和技巧既可减少计算量，提高效率，又可以开拓解题思路，提高学生定积分的计算能力。

关键词：定积分；计算；方法；技巧中图分类号：O13文献标识码：A文章编号：1008-696X(2008)04-0112-03On Methods and Techniques of Calculation on Definite IntegralWei Lanying(Dept.of Maths and Computer Science,Nanning Teachers College,Longzhou,Guangxi532400,China) Abstract：The methods and techniques on simplified calculation on definite integral are discussed with examples from five aspects,which helps reduce the amount of calculation and improve the efficency and performance in students'exercises.Key words:definite integral;calculation;method;technique定积分是积分学的一个基本问题，是高等数学的重要概念之一。

实验一 用递推公式计算定积分09信息 符文飞 09211210071、实验目的：由于一个算法是否稳定，十分重要。

如果算法不稳定，则数值计算的结果就会严重背离数学模型的真实结果，因此，在选择数值计算公式来进行近似计算时，我们应特别注意选用那些在数值计算过程中不会导致误差迅速增长的公式。

体会稳定性在选择算法中的地位．误差扩张的算法是不稳定的，是我们所不期望的；误差衰竭的算法是稳定的．是我们努力寻求的，这是贯穿本课程的目标．通过上机计算，了解舍入误差所引起的数值不稳定性。

2、实验题目：对n =0,1,2,…,20,计算定积分dx x x y n n ⎰+=1053、实验原理由于y(n)= = – 在计算时有两种迭代方法，如下：方法一： y(n)= – 5*y(n-1),n=1,2,3, (20)取y(0)= = ln6-ln5 ≈ 0.182322方法二：利用递推公式：y(n-1)=-*y(n),n=20,19, (1)而且，由 = * ≤≤* = 可取：y(20)≈*()≈0.008730.4、实验内容：算法1的程序：y0=log(6.0)-log(5.0);y1=0;n=1;while n<=30y1=1/n-5*y0;fprintf('y[%d]=%-20f',n,y1);y0=y1;n=n+1;if mod(n,1)==0;fprintf('\n')endend算法2的程序：y0=(1/105+1/126)/2;y1=0;n=1;while n<=30y1=1/(5*n)-y0/5;fprintf('y[%d]=%-20f',n,y1)y0=y1;n=n+1;if mod(n,1)==0fprintf('\n')endend5、实验结果对于算法1：y[1]=0.088392y[2]=0.058039y[3]=0.043139y[4]=0.034306y[5]=0.028468y[6]=0.024325y[7]=0.021233y[8]=0.018837y[9]=0.016926y[10]=0.015368y[11]=0.014071y[12]=0.012977y[13]=0.012040y[14]=0.011229y[15]=0.010519y[16]=0.009904y[17]=0.009304y[18]=0.009035y[19]=0.007457y[20]=0.012713y[21]=-0.015946y[22]=0.125183y[23]=-0.582439y[24]=2.953862y[25]=-14.729311 y[26]=73.685015y[27]=-368.388036 y[28]=1841.975892 y[29]=-9209.844979y[30]=46049.258229 对于算法2：y[1]=0.198254y[2]=0.060349y[3]=0.054597y[4]=0.039081y[5]=0.032184y[6]=0.026897y[7]=0.023192y[8]=0.020362y[9]=0.018150y[10]=0.016370y[11]=0.014908y[12]=0.013685y[13]=0.012648y[14]=0.011756y[15]=0.010982y[16]=0.010304y[17]=0.009704y[18]=0.009170y[19]=0.008692y[20]=0.008262y[21]=0.007871y[22]=0.007517y[23]=0.007192y[24]=0.006895y[25]=0.006621y[26]=0.006368y[27]=0.006134y[28]=0.005916y[29]=0.005713y[30]=0.0055246、实验结果分析：由实验结果可以看到，算法1在计算过程中误差会增长，所以算法1不稳定。

定积分递推公式例题0到PI/2上sin^n(x)的定积分，在n大于等于2的时候有递推公式。

你不妨用n表示来推一下。

第一步，拆出来一个sinx写作-d(cosx)，分部积分，一次分部积分以后变成了sinx的n-2次方和cosx的平方的乘积，cosx平方写成1-sin^2(x)的形式。

拆开两项，又变成了这个递推公式。

令n阶的积分值用I{n}表示的话，递推公式是，I{n}=[n/(n-1)]I{n-2}。

最后的结果，n分为奇偶两种情况。

像你这道题，前面那个n=2，后面那个n=4。

分别等于小于等于n的偶数的乘积做分母，小于n的奇数的乘积做分子，最后乘以PI/2。

如果n是奇数，那么分母是奇数的乘积，分子是偶数，最后不乘PI/2。

你可以自己算一下。

这种式子写出来也没有什么可读性。

在定积分的计算中，有一种题型是积分中含有正整数，当我们碰到这种题型时一般会使用分部积分法推导出递推公式然后计算。

设在[a,b]上连续，在(a,b)上二阶可导且二阶导有界，证明：证明：(1):若在端点处取得最值，则不等式显然成立：(2):若不在端点处取得最值，则在极值点处取得，则有根据Taylor公式在最大值处展开设在[a,b]上连续,在[0,1]上可积。

证明：证明：令两式相减，得将区间分为,模仿7.1的例题这个没有留言功能，如果有错误请私信指出(2)n n n n n→∞+++．分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．解将区间[0,1]n等分，则每个小区间长为1i x n?=，然后把2111n n n =?的一个因子1n乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即33322。