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江苏省无锡市2020年高考数学 第二十二讲 数列通项公式的求法练习

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江苏省无锡市2020年高考数学 第二十二讲 数列通项公式的求法练习1、“14a =”是“对任意的正数x ，均有1ax x+≥”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】本题主要考查充要条件的概念以及均值不等式的应用. 属于基础知识、基本运算的考查. 11144214a x x x x=⇒+≥=g ，反之1a x x +≥恒成立，则22max10,(0)4x x a x a x x x a >+≥⇒≥-+>⇒≥得恒成立（） 14a ⇒=不一定为为真。

2、设函数212log ,0()log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是__________．(1,0)(1,)-+∞U ；若0a >，则212log log a a >，即22log 0a >，所以1a >，若0a <则()()122log log a a ->-，即()22log 0a -<，所以01a <-<，10a -<<。

所以实数a 的取值范围是1a >或10a -<<，即()()101a ,,∈-+∞U ．3、设12322()log (1)2x ex f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则不等式()2f x >的解集为(1,2)(10,)⋃+∞【解析】110222110112x x x e e e x x x --<>∴>=∴->∴>∴<<当时，22232log (1)21910101010(1,2)(10,).x x x x x x x x C ≥->∴->∴>∴><->∈+∞U 当时，或综合得所以选择解不等式log a (x －x1)＞1.解：(1)当a ＞1时，原不等式等价于不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-a xx11011由此得1－a ＞x 1.因为1－a ＜0，所以x ＜0，∴a-11＜x ＜0. (2)当0＜a ＜1时，原不等式等价于不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-a xx 11011 由 ①得x ＞1或x ＜0，由②得0 ＜x ＜a -11，∴1＜x ＜a -11. 综上，当a ＞1时，不等式的解集是{x |a-11＜x ＜0}，当0＜a ＜1时，不等式的解集为{x |1＜x ＜a-11}.4、设不等式x 2－2ax +a +2≤0的解集为M ，如果M ⊆［1，4］，求实数a 的取值范围.命题意图：考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系，属★★★★级题目. 知识依托：本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想.错解分析：M =∅是符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于a 的不等式要全面、合理，易出错.技巧与方法：该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；数形结合的思想使题目更加明朗.解：M ⊆［1，4］有n 种情况：其一是M =∅，此时Δ＜0；其二是M ≠∅，此时Δ＞0，分三种情况计算a 的取值范围.设f (x )=x 2－2ax +a +2，有Δ=(－2a )2－(4a +2)=4(a 2－a －2) (1)当Δ＜0时，－1＜a ＜2，M =∅［1，4］ (2)当Δ=0时，a =－1或2.当a =－1时M ={－1}［1，4］；当a =2时，m ={2}［1，4］.(3)当Δ＞0时，a ＜－1或a ＞2.设方程f (x )=0的两根x 1，x 2，且x 1＜x 2，那么M =［x 1，x 2］，M ⊆［1，4］⇔1≤x 1＜x 2≤4⎩⎨⎧>∆≤≤>>⇔0,410)4(,0)1(且且a f f即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<>>->+-210071803a a a a a 或，解得：2＜a ＜718，① ②∴M ⊆［1，4］时，a 的取值范围是(－1，718). 函数解析式求法命题特点1.考查数学建模（必考）；2.有些问题建立函数解析式是考查函数性质的前提也是解题的关键点，比如，函数最值问题、函数求值问题等. 必会解题方法和技能 1.对称法求函数解析式2. 待定系数法求函数解析式3. 方程组法求函数解析式4. 换元法求函数解析式5. 根据题意题意自己建立函数解析式1．若()2211f x x -=+，则()f x 的解析式为（ ）AC【答案】A【解析】试题分析：设 考点：换元法求函数解析式2已知f1）＝x ＋f （x ）的解析式为 ．【答案】()12-=x x f （） 【解析】 试题分析：1）＝x ＋,所以有()12-=x x f ，，所以所求函数的解析式应为()12-=x x f （）． 考点：应用整体配凑法来求函数解析式． 3已知，则f(3)＝___ 【答案】11.【解析】试题分析：本题一般用凑配法求出，，∴()()2221125252112244t t t t x x t x x f t f x ++++++⎛⎫=-∴=∴=+=∴= ⎪⎝⎭1x ≥f 21)1=-1+1³1x ≥2211()f x x xx-=+()f x 222111()()2f x x x x x x-=+=-+，从而.考点：求函数解析式.对称法求函数解析式4、函数f （x ）在R 上为奇函数，且当x ＞0时，，则x<0时的解析式为f （x ）＝________.【答案】 【解析】试题分析：当时，，，所以有，从而得结果.考点：具备奇偶性的函数的解析式的求解问题.5、已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则＝ . 【答案】 【解析】试题分析：为奇函数，且当时，∴当时，. ∴.考点：函数奇偶性的应用6、函数y ＝f (x )的图像与函数g (x )＝log 2x (x ＞0)的图像关于原点 对称，则f (x )的表达式为 f (x )＝－log 2(－x )(x ＜0)7、已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，则当),0(∞+∈x 时，=)(x f .设)(x f 是定义在R 上奇函数，且当0>x 时，32)(-=xx f ，求函数)(x f 的解析式【答案】【解析】2()2f x x =+2()3211f x =+=(1f x x ()=-1f x x -0x <0x ->()1()f x x f x --=-()1f x x =--()f x R 0x >()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()32log 5f -+95-()f x 0x >()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭0x <()3x f x =-3352log 5log 09-+=<()35log 933552log 5(log )399f f -+==-=-1302()0=0230x x x f x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩（） （) （）试题分析：根据函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，图像关于原点对称，解析式满足，所以，且已知时的解析式，那么当时的解析式，可由时，表示，同时当时，，所以当时，得到：，综上得到所求的函数的解析式. 试题解析：（1）)(x f 是定义在R 上奇函数，， （3分） （2）当0<x 时，，)(x f 是定义在R 上奇函数，（10分） （12分）考点：1.函数的奇偶性；2.转化法.8、若函数(1)y f x =-的图像与函数1y x =的图像关于直线y x =对称，则()f x =2x e9、函数()y f x =的图象与函数3log (0)y x x =>的图象关于直线y x =对称，则()f x =__________。

)(3R x x ∈10、已知函数222,0(),0x x x f x x ax x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩为奇函数，则满足()f x a >的x 的解集待定系数法高考命题规律： 1.数列求通项公式 2.高次等式因数分解3.线性规划中通过待定系数法进行配凑4.三角函数中待定系数法求解析式11、已知二次函数()f x 满足()()()12f x f x x x R +-=∈，且()01f =。

()()f x f x -=()00f =0x >0x <0x ->()23xf x --=-0x <()()23x f x f x --=-=-0x <()132xf x =-+0x =(0)0f =0x ->()f x -23x -=-()()f x f x -=-()f x ∴-23x -=-()f x ∴23x -=-+132x =-+1302()0=0230x x x f x x x ⎧-+<⎪⎪∴=⎨⎪->⎪⎩（） （) （）（1）求()f x 的解析式；（2）当[]1,1x ∈-时，不等()2f x x m >+式恒成立，求实数m 的取值范围； （3）设()()2g t f t a =+，[]1,1t ∈-,求()g t 的最大值。

解：（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，代入()()12f x f x x +-=和()01f =，并化简得()22,1ax a b x x R c ++=∈⎧⎪⎨=⎪⎩， 1.1,1,a b c ∴==-=()21f x x x ∴=-+。

（2）当[]1,1x ∈-时，不等()2f x x m >+式恒成立即不等式231x x m -+>恒成立，令()231g x x x =-+，则()23524g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当[]1,1x ∈-时，()min 1g x =-，1m ∴<-。

（3）()()()[]2224421,1,1,g t f t a t a t a a t =+=+-+-+∈-对称轴是124ax -=。

○1 当1204a-≥时，即12a ≤时，()()()22max 1442157g t g a a a a a =-=--+-+=-+；○2 当1204a-<时，即12a >时，()()()22max 144213 3.g t g a a a a a ==+-+-+=++综上所述：()2max2157,,2133,.2a a a g t a a a ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪++>⎪⎩。

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高考数学数列的通项公式的求法

高考数学数列的通项公式的求法

所以数列{an-an-1} (n≥2)是以首项为a2-a1=3/2,公比为 q=-1/2的等比数列,
3 1 n2 ∴ an an 1 = ( ) (n ≥ 2) 2 2 3 1 0 3 1 1 ∴ a 2 a1 = ( ) , a 3 a 2 = ( ) ,..., 2 2 2 2 3 1 n2 an an 1 = ( ) 2 2
例9 已知数列{an}满足 a0=4,a1=1,且 an= an 1 + an 2 (n ≥ 2, n ∈ N ), 求它的通项公式 an . 2
解出答案来
an 1 + an 2 ∵ (n ≥ 2) 解: an = 2 1 ∴ an an 1 = (an 1 an 2) 2 an an 1 1 ∴ = an 1 an 2 2
a 2 1 a3 2 a 4 3 an 1 n 2 ∴ = , = , = , ..., = , a1 3 a 2 4 a 3 5 an 2 n
an 1
n +1
2 an = 故该数列通项公式: n ( n + 1)
5,归纳法 ,
对于一些由递推关系给出的数列,可以通过 先研究前 n项的结构与项数 n的内在联系, 用不完全归纳法对 an 作出猜想,然后,再 用数学归纳法给予证明,这个方法也是求数 列通项的一种基本方法.
解:∵an+1=2an+2x3n ∴an=2an-1+2x3n-1
3 ∴ n n 1 = ( ) , ( n >= 2) 2 2 2 1 a3 2 a 2 a1 a2 = (3) , 3 2 = (3) , ∴ 2 2 2 2 2 2 2 n 1 an an 1 ……, , = (3) n n 1 2 2 2
已知an与Sn的关系题目中的an .
求数列通项公式的十种方法(例题+详解)

求数列通项公式的十种方法(例题+详解)

求数列通项公式的十种方法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232n n n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式,得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222n n a n =-。

评注:本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+⨯转化为113222n n n na a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-,进而求出数列{}n a 的通项公式。

二、利用{1(2)1(1)n n S S n S n n a --≥==例2．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，对任意正整数2(1)n a n =-+，34n n T S n -=.求数列{}n b 的通项公式；解： 22(1)4231a n a d S n n n n =-+∴=-=-=--23435T S n n n n n ∴=+=-- (2)分 当1,35811n T b ===--=-时当2,626 2.1n b T T n b n n n n n ≥=-=--∴=---时……4分练习：1。

已知正项数列｛a n ｝，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1，a 3，a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2）,②由①－②得 10a n =（a n 2－a n －12）+6(a n －a n －1），即（a n +a n －1）（a n －a n －1－5）=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2）当a 1=3时，a 3=13，a 15=73 a 1, a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3;当a 1=2时， a 3=12, a 15=72， 有 a 32=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3三、累加法例3 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，,求数列{}n a 的通项公式。

求数列通项公式的十种方法(例题+详解)

求数列通项公式的十种方法(例题+详解)

求数列通项公式的十种方法一.公式法 例1已知数列｛勺｝满足d”|=2勺+3x2", q=2,求数列｛勺｝的通项公式。

扌，故数列｛影｝是 以沪知为首项，以扌为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，畤“+心)|,3 1 所以数列｛©｝的通项公式为a n =(-n —)2\2 2评注：本题解题的关键是把递推关系式。

心=2©+3><2”转化为增一牛=3,说明数列 2 2 2 ｛*｝是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出*=1+5—1)_,进而求出数列 2 2 2｛q r ｝的通项公式。

例2.若S”和7；分别表示数列｛©｝和0｝的前"项和，对任意正整数a n =-2(n + l), T n -3S n =4n.求数列｛b K ｝的通项公式；解：•/ a fj = -2(n + I)/. “] = -4 cl = -2 = 一昇 一 3n.・.坊=3»+4"=-3舁2_5加 2 分 当 ”=1 时,7j 訥=—3—5=—8 当 n>2^\,b f J =T f J —7^2—1 =-6/2—2 ........... . ^=—6/2—2. 4 分I练习：1.已知正项数列｛an ｝,其前n 项和Sn 满足10Sn=an 2+5a n +6且a 】,a3,a 】5成等 比数列，求数列｛%｝的通项％. 解：T 105>訂+5/+6,① ・：108产日「+5/+6,解之得创=2或力产3,又 10$-产②-：+5②T +6(〃$2),②由①—②得 10a = (a^—a…-i 2) +6(a…—a…-x ),即(8”+$Q (%—/一】—5) =0T 色+/_1>0 , 二 a :—乔产5 (77^2) •当 ai =3 时，a.\— 13* ^i5=73. EL \* 越，去不成等比数列Si^3； 当 ai —2 时» 3.\— 12 9 ai5=72,有 &3 二日15 、二2, • • @7二5/7 —3,三、累加法 例3已知数列｛©｝满足如=©+2几+ 1, q=l,求数列｛©｝的通项公式。

数列通项公式的完整求法-还有例题详解

数列通项公式的完整求法-还有例题详解

一． 观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2）K ,17164,1093,542,211（3）K ,52,21,32,1（4）K ,54,43,32,21--解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…… ∴通项公式为：110-=n na（2）;122++=n n n a n （3）;12+=n a n（4）1)1(1+⋅-=+n na n n.点评：关键是找出各项与项数n 的关系。

二、公式法：当已知条件中有a n 和s n 的递推关系时，往往利用公式：a n ＝1*1(1)(2,)n n s n s s n n N -=⎧⎪⎨-≥∈⎪⎩来求数列的通项公式。

例1： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；解：(1)∵a 1=f (d －1) = (d －2)2，a 3 = f (d +1)= d 2，∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ， ∴d =2，∴a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)；又b 1= f (q +1)= q 2，b 3 =f (q －1)=(q －2)2，∴2213)2(q q b b -==q 2，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2，∴b n =b ·qn －1=4·(－2)n －1 例 2. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ⋅⋅=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ ）(A)122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n解析：设等差数列的公差位d ，由已知⎩⎨⎧==+⋅⋅+12348)()(3333a d a a d a ，解得⎩⎨⎧±==243d a ，又{}n a 是递减数列， ∴2-=d ，81=a ，∴=--+=)2)(1(8n a n 102+-n ，故选(D)。