黑龙江省哈三中2019-2020高三上学期期末考试数学(文)试题

哈三中2023-2024学年度上学期高三学年期末考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知{}21log 1,12xA x xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=<⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B = （ ）A. ()1,2- B. ()1,0- C. ()0,2 D. ()1,2【答案】C 【解析】【分析】根据对数函数的单调性、指数函数的单调性，结合集合交集的定义进行求解即可.【详解】由()22log 1log 2020,2x x A <=⇒<<⇒=，由()011100,22x x B ⎛⎫⎛⎫<=⇒>⇒=+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A B = ()0,2，故选：C 2. 复数12iiz +=的虚部为（ ）A. 1- B. 2C. i- D. i【答案】A 【解析】【分析】利用复数除法的运算法则化简为复数的代数形式，即可得到复数虚部.【详解】由()()2212i i 12i 2i i 2i i iz +-+===--=--，所以虚部为-1.故选：A3. 函数()232f x x x =+的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】先求出定义域，再确定为偶函数，最后由特殊值法确定即可.【详解】定义域为0x ≠，()()()223322f x x x f x xx -=-+=+=-为偶函数，采用特殊值法代入，当x 趋近于零时，2x 趋近于零，23x 趋于正无穷；此时()232f x x x =+取值趋于正无穷；当x 趋近于正无穷时，2x 趋近于正无穷，23x 趋于零，此时()232f x x x=+取值趋于正无穷；所以只有B 图像符合；故选：B4. 若()(),1,2,,3a b a b a b m +=-==，则实数m =（ ）A. 6B. 6- C. 3D. 3-【答案】B 【解析】【分析】将a b a b +=- 两边平方，结合数量积的运算律求出a b ⋅ ，再根据数量积的坐标公式即可得解.【详解】因为a b a b +=-，所以()()22a ba b +=- ，即222222a b a b a b a b ++⋅=+-⋅，所以0a b ⋅=，即60+=m ，解得6m =-.故选：B.5. 已知命题：2000R,210x ax ax ∃∈+-≥为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()(),10,-∞-⋃+∞B. ()1,0-C. []1,0-D. (]1,0-【答案】D 【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定，可知命题：2R,210x ax ax ∀∈+-<为真命题，讨论a 是否为0，结合0a ≠时，解不等式，即可求得答案.【详解】由题意知命题：2000R,210x ax ax ∃∈+-≥为假命题，则命题：2R,210x ax ax ∀∈+-<为真命题，故当0a =时，2210ax ax +-<，即为10-<，符合题意；当0a ≠时，需满足2Δ440a a a <⎧⎨=+<⎩，解得10a -<<，综合可得实数a 的取值范围是(]1,0-，故选：D6. 若椭圆221259x y +=和双曲线22197x y -=的共同焦点为12,,F F P 是两曲线的一个交点，则12PF F △的面积值为 （ ）A.B.C. D. 8【答案】A 【解析】【分析】设点(),P m n ，根据方程组求点P 的坐标和焦距，进而可得面积.【详解】对于椭圆221259x y +=可知：半长轴长为5，半短轴长为3，半焦距为4，则128F F =，设点(),P m n ，则22221259197m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得=n 所以12PF F △的面积值为182⨯=.故选：A.7. 等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，若51013S S =，则1015SS =（ ）A.37B.73C.12D. 1【答案】A 【解析】【分析】根据51051510,,S S S S S --构成等比数列求解即可.【详解】因为{}n a 为等比数列，51013S S =，设510,3,0S k S k k ==>，所以51051510,,S S S S S --构成等比数列.所以15,2,3k k S k -构成等比数列，所以157S k =，所以10153377S k S k ==.故选：A8. 哈三中第38届教改汇报课在2023年12月15日举行，组委会派甲乙等6名志愿者到,A B 两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若甲和乙不能去同一路口，则不同的安排方案总数为（ ）A. 14 B. 20 C. 28 D. 40【答案】C 【解析】【分析】先安排甲乙两人，再根据分组分配的方法安排其余4名志愿者.【详解】先安排甲乙两人，有22A 2=种方法；再安排其余4名志愿者有两类方法，共有122424C A C 14+=种方法，根据分步计数原理可得共有21428⨯=种方法.故选：C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，9. 下列说法正确的是（ ）A. 已知111,,,202420232023α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x x α=为奇函数，且在()0,∞+上递减，则α只能为1-B. 函数()212log 20242023y x x =-+-的单调递减区间为()1,1012C.函数y =与函数3y x =-是同一个函数D. 已知函数()21f x +的定义域为[]1,1-，则函数()22f x +的定义域为[]1,1-【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，直接由幂函数的奇偶性、单调性即可验证；对于B ，由复合函数单调性以及复合对数函数的定义域即可验证；对于C ，定义域都是全体实数，且对应法则也一样，由此即可判断；对于D ，由抽象函数定义域的求法即可验证.【详解】对于A ，当1α=-时，幂函数()1f x x xα==奇函数，且在()0,∞+上递减，满足题意，当12023α=时，幂函数()1f x x x α==在()0,∞+上递增，不满足题意，当12023α=-时，幂函数()f x x α==()0,∞+上递减，满足题意，当2024α=-时，幂函数()20241f x x xα==为偶函数，在()0,∞+上递减，不满足题意，故A 错误；对于B ，12log y t =关于t 在定义域内单调递减，若函数()212log 20242023y x x =-+-关于x 在定义域内单调递减，则由复合函数单调性可知220242023x x t -+-=关于x 单调递增，而二次函数220242023x x t -+-=开口向下，对称轴为2012x =，所以22024202302012x x x ⎧-+->⎨<⎩，解得12012x <<，所以函数()212log 20242023y x x =-+-的单调递减区间为()1,1012，故B 正确；对于C ，()13333y x x ⎡⎤==-=-⎣⎦，故C 选项正确，对于D ，若函数()21f x +的定义域为[]1,1-，则[][]1,1,211,3x x ∈-+∈-，所以函数()22f x +的定义域满足[]221,3x +∈-，解得[]1,1x ∈-，故D 正确.故选：BCD.10. 已知正数,a b ，2a b +=，且a b >，则下列说法正确的是（ ）为A.1b a> B. e e a b a b+>+ C.114a b+> D.1<【答案】AB 【解析】【分析】选项A ，将不等式1b a>等价转化为1ab <，由于和式为定值，判断积的取值范围即可；对于选项B ，需要研究函数e x y =的单调性，即可判断不等式；对于选项C ，1111()2a b a b a b ++=+⨯，应用基本不等式即可；对于选项D 平方，2a b =++，判断积的取值范围即可；【详解】对于选项A ，1b a>等价1ab <，2a b =+≥1≤，其中a b >1<，1ab <，不等式成立，选项A 正确；对于选项B ，因为e 1>，指数函数e x y =是增函数，且a b >，所以e e a b >所以e e a b a b +>+，选项B 正确；对于选项C ，1111()112222a b b a a b a b a b ++=+⨯=++≥+=，由于a b >，22b a a b ≠，等号取不到，112a b+>，选项C 不正确；对于选项D ，22()4a b a b +=++≤+=，由于a b >，等号取不到，所以24<2<，选项D 不正确；故选：AB.11. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的有（ ）A. 11//AC 平面1B CDB. 点1C 到平面1B CDC. 当P 在线段11C D 上运动时，三棱锥11A B PC -的体积不变D. 若Q 为正方体侧面11BCC B 上的一个动点，,E F 为线段1AC 的两个三等分点，则QE QF +的最小值【答案】BCD【解析】【分析】对于A 通过观察可得直线11A C 与平面有公共点1A 所以A 不正确；对于B 利用等体积法计算点到平面距离；对于C 观察到点P 到平面11A B C 的距离为定值，确定三棱锥11A B PC -的体积不变；对于D 利用线段1AC 关于平面11BCC B 的对称直线，将QE QF +转化，利用两点间线段距离最短求解.【详解】对于A ，因为平面1B CD 也就是平面11A B CD 与直线11A C 有公共点1A ，所以A 选项不正确. 对于B ，设点1C 到平面1B CD 的距离为h ，由1111C B CD D CC B V V --=得11111133B CD CC B S h S ⨯=⨯ ，由已知易得11,CD B C D ===则1B CD △是直角三角形，所以1B CD S =112C CD S =，解得h =.故B 选项正确对于C ，设点P 到平面11A B C 的距离为h ，易知点P 所在的直线11C D 与平面11A B C 平行，则点P 到平面11A B C 的距离为定值，因为11111113A B PC P A B C A B C V V S h --==⨯ ，其中11A B C S 也为定值，故C 选项正确.对于D ，如图1QE QF QE QF +=+，当1E Q F 、、共线的时候1QE QF EF +=最小，在1AC M 中222111111cos 23C A C M AMAC M C A C M+-∠==，由余弦定理得22211111111112cos 9EF C E C F C E C F AC M =+-∠=，所以1EF =，所以QE QF +有最小值，故D 正确.故选：BCD12. 已知函数()cos sin (0)f x a x b x ωωω=+>在π6x =处取得最大值2，()f x 的最小正周期为π，将()y f x =图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度得到()g x 的图象，则下列结论正确的是（ ）A. π6x =是()f x 图象的一条对称轴 B. ()π2cos 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C. π2g x ⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数 D. 方程()2lg 0g x x -=有3个实数解【答案】ACD 【解析】【分析】由()f x 最小正周期为π，求出ω，由最值点和最值，求出,a b ，得()f x 的解析式，判断AB 选项；由函数图象的变换，求()g x 的解析式，验证C 选项，数形结合验证D 选项．【详解】()()cos sin f x a x b x x ωωωϕ=+=-，其中tan b aϕ=，()f x 的最小正周期为πT =，则有2π2π2πT ω===，故()()2f x x ϕ=-，函数()f x 在π6x =处取得最大值2，则πππcos sin 26332f a b ⎧⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭=，解得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩()πcos22cos 23f x x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，B 选项错误；函数()π2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π6x =处取得最大值2，则π6x =是()f x 图象的一条对称轴，A 选项正确；将()y f x =图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得函数π2cos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度得到()2cos g x x =的图象，ππ2cos 2sin 22g x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数为奇函数，C 选项正确；在同一直角坐标系下作出函数()2cos g x x =和函数2lg y x =的图象，如图所示，的两个函数图象有3个交点，可知方程()2lg 0g x x -=有3个实数解，D 选项正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知α为第二象限角，2sin 3α=，则tan2α=_______．【答案】-【解析】【分析】根据同角三角函数的关系式，结合正切的二倍角公式即可求得.【详解】因为2sin 3α=，α为第二象限角，所以cos ===α则sin tan cos ===ααα22tan tan21tan ααα=-2⎛⨯==-故答案为：-14. 已知边长为2的等边三角形ABC 所在平面外一点,S D 是AB 边的中点，满足SD 垂直平面ABC，且SD =S ABC -外接球的体积为_______．【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设出球心坐标，根据外接球的性质，列出方程组，即可求出外接球的半径，从而求得三棱锥S ABC -外接球的体积.【详解】因为SD 垂直平面ABC ，ABC 为等边三角形，且D 是AB 边的中点，以D 为坐标原点，分别以,,DB DC DS 所在的直线为x 轴，y 轴，z轴，建系如图，设三棱锥S ABC -外接球的球心(),,O x y z ，半径为R ，因为2AB BC AC ===，则DC ===，又因为SD =(S ，()1,0,0B ，()1,0,0A -，()C ，则====OS OA OB OC R ，即RRR R ====，解得0x y z R =⎧⎪⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪⎪=⎪⎩所以三棱锥S ABC -外接球的体积3344R 33V ππ===.15. 直线l 与抛物线24x y =交于,A B 两点且3AB =，则AB 的中点到x 轴的最短距离为_______．【答案】916【解析】【分析】设出直线方程，利用弦长得到两个变量间的关系式，结合函数单调性可得答案.【详解】设直线l 的方程为y kx m =+，()()1122,,,A x y B x y ；联立24y kx m x y=+⎧⎨=⎩，2440x kx m --=，216160k m ∆=+>，12124,4x x k x x m +==-.AB ==因为3AB =3=，整理可得()229161m k k =-+.由()21212242y y k x x m k m +=++=+，所以AB 的中点到x 轴的距离为()2212292112161y y k m k k +=+=++-+设21t k =+，则1t ≥，1291216y y t t +=+-，由对勾函数的单调性可得129216y y +≥，当且仅当0k =时，取到最小值916.故答案为：91616. 设()f x 是定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，对任意的()12,0,x x ∈+∞满足()()1221120x f x x f x x x ->-且()315f =，则不等式()5f x x >的解集为_______．【答案】(,3)(0,3)-∞-⋃【解析】【分析】根据题意可设()(),0f x g x x x=≠，结合()f x 的奇偶性判断()g x 的奇偶性，再结合题设判断()g x 的单调情况，进而结合不等式()5f x x >，讨论x 的正负，结合()g x 的单调情况，分类求解，即可得答案.【详解】设()(),0f x g x x x=≠，而()f x 是定义在()(),00,∞∞-⋃+上的奇函数，即()()f x f x -=-，故()()()()f x f x g x g x xx---===--，即()(),0f x g x x x=≠为偶函数；对任意的()12,0,x x ∞∈+，不妨设12x x <，则()()()()121212f x f xg x g x x x -=-()()211212x f x x f x x x -=，又对任意的()12,0,x x ∞∈+满足()()1221120x f x x f x x x ->-，当12x x <时，120x x -<，则()()12210x f x x f x -<，即()()21120x f x x f x ->，而120x x >，故()()()()1212120,f x f x g x g x x x ->∴>，则()g x 在()0,∞+上单调递减，又()g x 为偶函数，故()g x 在(),0∞-上单调递增，()315f =，故()3(3)53f g ==，则(3)5g -=-，而不等式()5f x x >，即为不等式()50f x x x ⎧>⎪⎨⎪>⎩或()50f x x x ⎧<⎪⎨⎪<⎩，即()5(3)0g x g x >=⎧⎨>⎩或()5(3)g x g x <=-⎧⎨<⎩，故03x <<或3x <-，即不等式()5f x x >的解集为(,3)(0,3)-∞-⋃，故答案为：(,3)(0,3)-∞-⋃【点睛】方法点睛：诸如此类抽象函数的问题，解答时要结合题设构造出函数，由此判断出其奇偶性和单.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c)sin b C C =-．（1）求角B ；（2）D 为AC 边上一点，DB BA ⊥，且4AD DC =，求cos C 的值．【答案】（1）2π3； （2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，然后由三角形内角和定理与和差公式化简整理即可求解；（2）BCD △和Rt ABD 分别根据正弦定理和三角函数定义列式，联立整理得2c a =，再由余弦定理求得b =，然后可解.在【小问1详解】)sinb C C=-，)sin sinA B C C=-，又()()sin sinπsin sin cos cos sinA B C B C B C B C⎡⎤=-+=+=+⎣⎦，)cos sin sin sinB C B C B C C+=-，整理得)πsin sin2sin sin03C B B C B⎛⎫+=+=⎪⎝⎭，因为()0,π,sin0C C∈>，所以πsin03B⎛⎫+=⎪⎝⎭，又()ππ4π0,π,,333B B⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，所以ππ3B+=，即2π3B=.【小问2详解】由（1）知B，因为DB BA⊥，所以π6CBD∠=，记BDCθ∠=，则πBDAθ∠=-，在BCD△中，由正弦定理得πsinsin6CD aθ=，得2sinaCDθ=，在Rt ABD中，有()sinπsinc cADθθ==-，因为4AD DC=，所以2sin sinc aθθ=，得2c a=，在ABC中，由余弦定理可得22222π422cos73b a a a a a=+-⨯=，即b=，所以cos C==18. 已知{}n a是公差不为零的等差数列，11a=，且125,,a a a成等比数列．（1）求数列{}n a的通项公式；.（2）若114(1)n n n n nb a a ++=-⋅，求{}n b 的前1012项和1012T ．【答案】（1）21n a n =- （2）101220242025T =【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项即可得解；（2）由裂项相消法可求出前1012项和.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，又11a =，则211a a d d =+=+，51414a a d d =+=+，因为125,,a a a 成等比数列，所以2215a a a =⋅，即()()21114d d +=⨯+，得220d d -=，又因为{}n a 是公差不为零的等差数列，所以2d =，即()()1111221n a a n d n n =+-=+-=-.【小问2详解】由（1）知()()11114411(1)(1)(1)21212121n n n n n n n n b a a n n n n ++++⎛⎫=-=-=-+ ⎪⋅-⋅+-+⎝⎭，1012123410111012T b b b b b b =++++++ 11111111111133557792021202320232025⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12024120252025=-=.19. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点为12,A A ，点G 是椭圆C 的上顶点，直线2A G 与圆2283x y +=相切，且椭圆C．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆C 交于A B 、两点，若点()0,M m ，且MA MB =，求实数m 的取值范围．【答案】（1）22184x y +=（2）[【解析】【分析】（1）先由离心率得出a =，再由直线2A G 与圆2283x y +=相切得到圆心(0,0)O 到直线2A G 的距离等于半径得出2222883a b a b +=，联立即得椭圆方程；（2）依题设出直线AB 方程，与椭圆方程联立，得出韦达定理，求出AB 的中点H 坐标，利用条件MA MB =判断MH 是直线AB 的中垂线，求出方程，将求m 的取值范围转化成求关于t 的函数的值域问题即得.【小问1详解】由c a =可得：a =①因2(,0),(0,)A a G b ，则2:1A Gx y l a b +=即：0bx ay ab +-=，又因直线2A G 与圆2283x y +==2222883a b a b +=②，联立①②，可解得：2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的标准方程为：22184x y +=.【小问2详解】如图，因直线l 与x 轴不重合，椭圆焦点为(2,0)F ，故可设:2l x ty =+，由222184x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x整理得：22(2)440t y ty ++-=，易得：0∆>，不妨设1122(,),(,)A x y B x y ，则有12212242,42t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩设AB 中点为00(,)H x y ，则：1202222y y t y t +==-+,1212022()442()222222x x t y y t t x t t ++==+=⋅-+=++，即：2242(,)22t H t t -++，因MA MB =，则MH 为直线AB 的中垂线.又因直线AB 的斜率为1t，故直线AB 的中垂线MH 的斜率为t -，于是2224:()22MH t l y t x t t +=--++，因()0,M m ，则有：222422222t t tm t t t =-=+++，①当0=t 时，0m =，此时直线:2l x =，点(0,0)M ，符合题意；②当0t ≠时，22m t t=+，若0t >，则2t t +≥可得m ∈，当且仅当t =时取等号；若0t <，则2t t +≤-,可得[m ∈，当且仅当t =.综上，实数m的取值范围为[.20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，//,4,2,60AB CD AB BC CD BP DP BCD ︒=====∠=，AD PD ⊥．（1）求证：平面PBD ⊥平面ABCD ；（2）若线段PC 上存在点F ，满足CF FP λ= ，且平面BDF 与平面ADP实数λ的值．【答案】（1）证明见解析（2）2λ=【解析】【分析】（1）要证面面垂直，需证线面垂直，就是要证AD ⊥平面PBD ，再进一步判断面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，用向量的方法求解.【小问1详解】如图：因为2CB CD ==，60BCD ∠=︒，所以BCD △为等边三角形，2BD =又//AB CD ，所以60ABD BDC ∠=∠=︒，又4AB =，所以22212··cos 60164242122AD AB BD AB BD =+-︒=+-⨯⨯⨯=.因为222AD BD AB +=，所以ABD △为直角三角形，AD BD ⊥.又AD PD ⊥，BD ，PD 为平面PBD 内的两条相交直线，所以AD ⊥平面PBD ，AD ⊂ABCD ，所以：平面PBD ⊥平面ABCD .【小问2详解】取BD 中点O ，AB 中点E ，因为PB PD =⇒PO BD ⊥，又平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD 平面ABCD BD =，PO ⊂平面PBD ，所以PO ⊥平面ABCD ，又OE BD ⊥，故以O 为原点，建立如图空间直角坐标系，所以()0,1,0B ，()0,1,0D -，()0,0,3P ，)E，()1,0A -，()C .设(),,F x y z ，因为CF FPλ=⇒()(),,,3x y z x y z λ+=---⇒()3x xy y z z λλλ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩解得031x y z λλ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，所以31F λλ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭.设平面ADP 的法向量为()111,,m x y z =，则m AD m DP ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ⇒·0·0m AD m DP ⎧=⎪⎨=⎪⎩⇒()()()()111111,,0,,0,1,30x y z x y z ⎧⋅-=⎪⎨⋅=⎪⎩⇒111030x y z =⎧⎨+=⎩，取()0,3,1m =- ；设平面BDF 的法向量为()222,,n x y z = ，则n BD n BF ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ⇒·0·0n BD n BF ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ⇒()()()222222,,0,2,003,,1,01x y z x y z λλ⎧⋅-=⎪⎛⎫⎨⋅-= ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎩⇒222030y z λ=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取),0,1n =.那么⋅=m n ()0,3,1-⋅),0,11=-，m =，n = .由m n m n ⋅=⋅⇒231λ+=⇒24λ=，又0λ>，所以2λ=.【点睛】关键点睛：根据CF FP λ=，和点C 、F 的坐标，求F 点坐标是本题的一个关键.21. 圆G经过点(()2,,4,0-，圆心在直线y x =上．（1）求圆G 的标准方程；（2）若圆G 与x 轴分别交于,M N 两点，A 为直线:16l x =上的动点，直线,AM AN 与曲线圆G 的另一个交点分别为,E F ，求证直线EF 经过定点，并求出定点的坐标．【答案】（1）2216x y +=（2）证明见详解，直线EF 过定点()1,0【解析】【分析】（1）设出圆心坐标，利用圆心到圆上各点的距离等于半径求解即可；（2）设出直线AM 的方程和直线AN 的方程，分别与圆的方程联立写出E F 、的坐标，进而写出直线EF的方程，化简即可证明直线EF 经过定点，并求出定点的坐标.【小问1详解】因为圆心在直线y x =上，设圆心为(),,a a 又因为圆G经过点(()2,,4,0-则()(()222224a a a a -+-=++，解得0a =，所以圆心()0,0,4=，所以圆G 的标准方程为2216x y +=【小问2详解】由圆G 与x 轴分别交于,M N 两点，不妨设()()4,0,4,0M N -，又A 为直线:16l x =上的动点，设()()16,0A t t ≠，则,,2012==AM AN t t k k 则AM 方程为()420t y x =+，AN 方程为()412ty x =-，设()()1122,,,E x y F x y ，联立方程()2242016t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，解得()()22224008164000t x t x t +++-=，所以()212164004400t x t --=+，即()211224400160,400400t t xy t t --==++，即()2224400160,400400t t E t t ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭.联立方程()2241216t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，解得()()22221448161440t x t x t +-+-=，所以()222161444144t x t -=+，即()22222414496,144144t t x y t t --==++，即()222414496,144144t t F t t ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭.所以()()2222221609640014444004144400144EFt tt t k t t t t --++=----++232240=-t t，所以直线EF 的方程为()222241449632,144240144t t t y x t t t ⎛⎫-- ⎪-=- ⎪+-+⎝⎭化简得()2321,240ty x t =--所以直线EF 过定点()1,0.22. 已知函数()()()22e e e ,,e 12x x x xf xg xh x x -+===+．（1）求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）当0x >时，试比较()()(),,f x g x h x 的大小关系，并说明理由；（3）设n *∈N ，求证：1111111111ln2123421223421n n n -+-+⋅⋅⋅+-<<-+-+⋅⋅⋅+--．【答案】（1）e e 44y x =+ （2）()()()f x g x h x <<；理由见解析； （3）证明见解析.【解析】【分析】（1（2）构造函数，利用导数确定函数的单调性，求出最值，即可判定结论；（3）构造函数，结合数列知识求和即可证明结论.【小问1详解】由()e1xf x x =+得，()()2e 1xx f x x '=+，所以()f x 在1x =处的切线的斜率()e 14k f ='=，切点e 1,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以所求切线方程：()e e124y x -=-，即e e 44y x =+；【小问2详解】结论：()()()f x g x h x <<；理由如下：要证()()f x g x <，即证e e e 12x x x x -+<+，只需证()()2e 1e e x x xx -<++，为令()()()2e 1e e x x x x x ϕ-=-++，则()()()()()2e e e 1e -e ee x x x x x x x x x x ϕ---=-+-+=-'，当0x >时，1x e -<，e 1x >，故()0x ϕ'<，所以()()()2e 1e e xx x x x ϕ-=-++在0x >时单调递减，所以()()00x ϕϕ<=，即()()2e 1e e 0x x x x --++<，所以e e e 12x x xx -+<+，故()()f x g x <；要证()()g x h x <，即证22e ee 2x x x -+<，只需证22e e ln ln e 2x x x -+<，令()222e e e e 1ln ln e ln 222x x x x x v x x --++=-=-，则()e e e e x x x x v x x ---=-+'，令()e e e ex xx x w x x ---=-+，则()()241e e x x w x -=-+'，当0x >时，e e 2x x -+>，从而()2e 4x ->，故()()2410e e x x w x -=-'<+，所以()e e e ex xx x v x x ---=-+'在0x >时单调递减，所以()()00v x v ''<=，从而()2e e 1ln 22x x v x x -+=-在0x >时单调递减，所以()()00v x v <=，即22e e ln ln e 20x x x -+-<，即22e e ln ln e 2x x x -+<所以22e ee 2x x x -+<，故()()g x h x <，又因为()()f xg x <，所以()()()f x g xh x <<.【小问3详解】令()()()ln 101x u x x x x =-+>+，则()()()22110111x u x x x x -=-=<+++'所以()()ln 11x u x x x =-++在当0x >时单调递减，所以()()00u x u <=，所以()ln 11x x x <++，即()1ln 111x x <++，令1x n =，则有()11ln 1ln 1ln 1n n n n ⎛⎫<+=+- ⎪+⎝⎭，即()1ln 1ln 1n n n <+-+，所以()()1ln 2ln 12n n n <+-++，()()1ln 3ln 23n n n <+-++，⋯()1ln 2ln 212n n n<--，所以111ln 2ln ln 2112n n n n n++<-=++ ，所以111111234212n n-+-+⋅⋅⋅+--11111111223421242n n ⎛⎛⎫=++++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+ ⎪-⎝⎝⎭1111111112342122n n n ⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以11111111112342121112n n n n n n-+-+⋅⋅⋅+-=+++-+++ ，因为1111ln 21112n n n n+++<+++ ，所以111111ln 2234212n n -+-+⋅⋅⋅+-<-；下面先证当0x >时，ln 1≤-x x ，令()()1ln 0p x x x x =-->，()111x p x x x'-=-=，令()0p x '>，则1x >，所以()1ln p x x x =--在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以()()10p x p ≥=，从而()1ln 0p x x x =--≥，即ln 1≤-x x ，当且仅当1x =时，ln 1x x =-，所以当0x >时，()ln 1x x +<，令1x n =，则有11ln 1n n⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即()1ln 1ln n n n+-<，所以()()1ln 2ln 11n n n +-+<+，()()1ln 3ln 22n n n +-+<+，⋯()()1ln 2ln 2121n n n --<-，所以()1111ln 2ln 1221n n n n n n -<++++++- ，即111ln 2121n n n ++++>+- ，因为1111123421n -+-+⋅⋅⋅+-111111112234212422n n ⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭111111112342121n n ⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以111111111234211221n n n n n -+-+⋅⋅⋅+=++++-++- ，因为1111ln 21221n n n n ++++>++- ，所以11111ln 223421n -+-+⋅⋅⋅+>-，综上所述，1111111111ln2123421223421n n n -+-+⋅⋅⋅+-<<-+-+⋅⋅⋅+--.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。

黑龙江省哈尔滨市第三中学校2019届高三上学期期末考试数学理试题考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分， 满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷 （选择题， 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设=,=，则A ．B ．C ．D ．2. 已知，，，则实数的值为A. B. C. D.3. “”是“”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4. 已知数列为等差数列，且，则等于A. B. C. D.5. 已知变量满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y ，则的最大值为A. B ． C. D ．6. 阅读右下面的程序框图，输出结果的值为（其中为虚数单位.）A ．B ．C ．D ．7. 在正方体中,是正方形的中心，则异面直线与所成角为A. B. C. D.8. 如果双曲线的两个焦点分别为、, 一条渐近线方程为, 那么经过双曲线焦点且垂直于轴的弦的长度为A. B. C. D.9. 若某几何体的三视图如下所示，其中正视图与侧视图都是边长为2的正方形，则该几何体的体积是A. B.C. D. 10. 已知椭圆的离心率，为椭圆上的一个动点，若定点，则的最大值为A. B. C. D.11. 已知点 在同一个球面上，5,43===MP NP MN ， ，若四面体体积的最大值为 10，则这个球的表面积是A. B. C. D.12. 已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+--=5,4log 5,2331323x x x x x x x f ，则函数的零点个数为A. B. C. D.第Ⅱ卷 （非选择题， 共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上.)13. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且双曲线的离心率为2，则双曲线的方程为 .14. 函数在单调递减，且为偶函数，则满足的的取值范围是 .15. 过点作直线与圆0204222=--++y x y x 交于两点, 如果，则直线的方程为 .16. 设数列的前项和为，，且，若则的最大值为 .三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.（本题12分）在中，三个内角所对的边分别为,满足0cos cos )2(=+-C b B a c .（Ⅰ） 求角的大小；（Ⅱ） 若,72,12==⋅b 求（其中）.18.（本题12分）数列的前项和为, 且, ().（Ⅰ） 证明数列为等比数列,并求；（Ⅱ） 若, 求数列的前项和.19. （本题12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点.（I ）若，求证：；（II ）若平面平面，且，点在线段上，试确定点的位置，使二面角大小为,并求出的值.20.（本题12分）在圆上取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，设线段中点的轨迹为. （Ⅰ）求的方程;（Ⅱ）试问在上是否存在两点关于直线对称，且以为直径的圆恰好经过原点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.21.（本题12分）已知函数)1)(1(ln )(---+=a ax x x x f .（I ）当时，求的最大值;（II ）若对，都有恒成立，求的取值范围;（III ）证明：n ne n n n n n 22222321⋅>++⋅+⋅+）（）（）（）（ 对任意正整数均成立，其中为自然对数的底数.请考生在第22，23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. （本题10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的方程为，．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为08sin 6cos 22=+--θρθρρ．（I ）求的直角坐标方程；（II ）若与有四个公共点，求的取值范围．23. （本题10分）选修4—5：不等式选讲已知关于的不等式2255x a x a +++-<.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式有实数解，求实数的取值范围．哈三中2018—2019学年度上学期 高三学年期末考试数学（理）试卷答案第I 卷 （选择题， 共60分）一．选择题BCABD DDAAC BB第Ⅱ卷 （非选择题， 共90分）二．填空题; ()()()+∞--∞-,31,13, ; 或; .三．解答17. （1）； （2）.18. （1）； （2）..19. （1）略；（2）.20. （1）；（2）存在，.21.（1）；（2）；（3）略22. (1)（2） .23.（1）； （2）。

2019届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．设，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：，即..故B正确. 【考点】集合间的关系.2．已知向量，，且，则实数的值为A．1 B．C．D．2【答案】C【解析】直接利用向量共线的坐标表示列方程求解即可.【详解】因为，，且，所以，解得，故选C.【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.3．“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：若，则，所以“”是“”的充分而不必要条件。

【考点】本题考查充分必要充要条件；三角函数求值。

点评：熟练掌握充分必要充要条件的判断。

此题为基础题型。

4．已知数列为等差数列，且，则等于A．B．C．D．【答案】B【解析】由，利用等差数列的性质可得，根据诱导公式，结合特殊角的三角函数即可得结果.【详解】因为数列为等差数列，且，所以，，所以，故选B.【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及诱导公式的应用，属于中档题.解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）.5．已知变量满足约束条件，则的最大值为A．B．C．D．【答案】D【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出表示的可行域，如图，由可得，将变形为，平移直线，由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最大，最大值为，故选D.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6．阅读下面的程序框图，输出结果的值为（其中为虚数单位，）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值,利用虚数单位的乘方运算化简可得结果.【详解】阅读、并执行程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，根据虚数单位的乘方运算法则可得，，故选D .【点睛】算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式、复数、三角函数等自然交汇，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.7．在正方体中，是正方形的中心，则异面直线与所成角为A．B．C．D．【答案】D【解析】先证明，从而是异面直线与所成角（或所成角的补角），利用余弦定理能求出异面直线与所成角.【详解】在正方体中，所以，可得是矩形，，是异面直线与所成角（或所成角的补角），设正方体中棱长为2，则，，，异面直线与所成角为，故选D.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.8．如果双曲线的两个焦点分别为、, 一条渐近线方程为, 那么经过双曲线焦点且垂直于轴的弦的长度为A．B．C．D．【答案】A【解析】由焦点坐标求得,根据和渐线方程，联立求得和,可得双曲线方程，将代入双曲线方程，进而可得结果.【详解】因为双曲线的两个焦点分别，—条渐近线方程为，，解得，双曲线的方程为，由所以经过双曲线焦点且垂直于轴的弦的长度为，故选A.【点睛】本题主要考查利用双曲线的方程与简单性质，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.9．若某几何体的三视图如下所示，其中正视图与侧视图都是边长为2的正方形，则该几何体的体积是A．B．C．D．【答案】A【解析】利用三视图，以正方体为载体还原几何体的直观图为四棱锥（如图），利用分割法，将四棱锥分解成棱柱的体积减去两个小棱锥计算体积.【详解】由三视图可知，几何体为不规则放置的四棱锥，是正方体的一部分，如图，因为正视图与侧视图都是边长为2的正方形，所以图中正方体的棱长为2，四棱锥可以看作是棱柱去掉两个三棱锥的几何体，所以几何体的体积，故选A.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.10．已知椭圆的离心率，为椭圆上的一个动点，则与定点连线距离的最大值为A．B．C．D．【答案】C【解析】利用椭圆的离心率求出，然后利用椭圆的参数方程设出，根据两点间距离公式，利用配方法求最值即可得结果.【详解】椭圆的离心率，可得，解得，椭圆方程为，设，则与定点连线距离为，当时，取得最大值，故选C.【点睛】本题主要考查椭圆参数方程的应用及圆锥曲线求最值，属于中档题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.11．已知点在同一个球面上，，若四面体体积的最大值为10，则这个球的表面积是A．B．C．D．【答案】B【解析】由三个边长利用勾股定理可知垂直，可知球心的位置在过中点与面垂直的直线上，作出图形，因为面积为定值，所以高最大时体积最大，根据球的几何性质可得，当过球心时体积最大，利用勾股定理列出关于半径的方程，即可得解.【详解】由，可知，则球心在过中点与面垂直的直线上，因为面积为定值，所以高最大时体积最大，根据球的几何性质可得，当过球心时体积最大，因为四面体的最大体积为10，所以，可得，在中，，，得，球的表面积为，故选B.【点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②可以转化为长方体的外接球；③特殊几何体可以直接找出球心和半径；④设球心（在过底面多边形外接圆圆心与底面垂直的直线上），利用待定系数法求半径.12．已知函数，则函数的零点个数为A．B．C．D．【答案】C【解析】设,则，求得，根据数形结合可得的图象有一个交点；的图象与三个交点；的图象有一个交点，从而可得结果.【详解】函数的零点个数就是方程的根的个数，设,则，函数的大致图象如下：由或，可得有三个解，，的图象有一个交点；的图象与三个交点；的图象有一个交点，即分别由1，3，1个解，方程的根的个数为5，函数的零点个数为5，故选C.【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.二、填空题13．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为_______.【答案】【解析】由椭圆与双曲线有共同的焦点，利用双曲线的离心率为2，可得到的关系式，求解，即可得到双曲线方程.【详解】因为椭圆与双曲线有共同的焦点，由，可得，即，因为双曲线的离心率为，，则，所以双曲线的方程为，故答案为.【点睛】用待定系数法求双曲线方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断双曲线的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.14．已知函数在区间上单调递减，且为偶函数，则满足的的取值范围是_______.【答案】【解析】根据函数在区间上单调递减，结合奇偶性可得等价于，从而可得结果.【详解】根据题意，函数在区间上单调递减,且为偶函数，则，，解可得或或，即的取值范围为，故答案为.【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据函数单调性列不等式求解.15．过点作直线，与圆交于两点, 若，则直线的方程为______________.【答案】或【解析】将圆的方程化为标准方程,确定圆心与半径，当斜率存在时，设斜率为，方程，利用垂径定理，结合勾股定理, 可求得的值，再验证当斜率不存在时是否满足题意即可得结果.【详解】圆化为，圆心，半径，点在圆内，当斜率存在时，设斜率为，方程，即，圆心到直线距离为，，的方程当斜率不存在时，直线也满足，的方程或，故答案为或.【点睛】本题主要考查圆的方程与性质，以及点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.16．设数列的前项和为，，2，且，则的最大值为___________ .【答案】63【解析】先证明数列是以为公比，以为首项的等比数列可得的通项公式，求得,当为偶数时，不合题意，当为奇数时，由，可得，利用2，得,从而可得关于的不等式，进而可得结果.【详解】数列是以为公比，以为首项的等比数列，数列的前项和为,,当为偶数时，，无解；当为奇数时，由，可得，由可得，，因为2，所以,即，结合，可得，所以，使得的的最大值为，故答案为 .【点睛】本题主要考查等比数列的定义、等差数列的求和公式以及已知数列的递推公式求通项，属于综合题.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法，形如的递推数列求通项往往用构造法，利用待定系数法构造成的形式，再根据等比数例求出的通项，进而得出的通项公式.三、解答题17．在中，三个内角所对的边分别为，满足.（1）求角的大小；（2）若，求，的值.（其中）【答案】（1）；（2）4，6【解析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出的值，即可确定出的度数；（2）根据平面向量数量积的运算法则计算得到一个等式，记作①，把的度数代入求出的值,记作②,然后利用余弦定理表示出，把及的值代入求出的值，利用完全平方公式表示出，把相应的值代入，开方求出的值,由②③可知与为一个一元二次方程的两个解,求出方程的解,根据大于，可得出，的值.【详解】（1）已知等式，利用正弦定理化简得，整理得，即，，则.（2）由，得，①又由（1），②由余弦定理得，将及①代入得，，，③由②③可知与为一个一元二次方程的两个根，解此方程，并由大于，可得.【点睛】以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.18．数列的前项和为, 且, ().（1）证明：数列为等比数列，并求；（2）若, 求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）两式相减，可得，从而可求得，结合等比数列求和公式可得结果；（2）结合（1），，利用等差数列求和公式可得结果.【详解】（1），①-②将，，故此数列为，，时，因为也适合，故，，所以数列为等比数列.（2）.【点睛】本题主要考查数列的通项公式与前项和公式之间的关系，以及等差数列与等比数列的求和公式，属于中档题. 已知数列前项和，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意的情况.19．如图，四边形是边长为的正方形，为等腰三角形，，平面平面，动点在棱上，无论点运动到何处时，总有.（1）试判断平面与平面是否垂直，并证明你的结论；（2）若点为中点，求三棱锥的体积.【答案】（1）存在，证明见解析；（2）【解析】（1）由面面垂直的性质先证明平面，从而平面，由此能证明平面平面；（2）到平面的距离等于到平面距离的一半，而到平面的距离等于到平面距离，可得，利用，即可得结果.【详解】（1）平面与平面垂直，证明如下：四边形是边长为2的正方形，所以，因为平面平面，平面，动点在棱上，无论点运动到何处时，总有，又平面，平面平面平面.（2）点为中点，到平面的距离等于到平面距离的一半，而到平面的距离等于到平面距离，由平面，可得，由平面，可得，所以平面，为等腰直角三角形，到平面的距离等于，，三棱锥的体积.【点睛】本题主要考查三棱锥的体积的求法，以及空间线线、线面、面面间的位置关系，是中档题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.20．在圆上取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当点在圆上运动时，设线段中点的轨迹为.（1）求的方程；（2）试问在上是否存在两点关于直线对称，且以为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】（1）设，则点，将代入圆，可得的方程；（2）可判断直线存在斜率，设直线的方程为，联立，消去并整理得，设，利用根与系数可得，依题意，可得，即，化为，由的中点在直线上，可得，代入化简解出即可.【详解】（1）设，则点，将代入圆，可得的方程为.（2）显然，直线存在斜率，设直线的方程为，联立，消去并整理得，,化为，设，则，依题意，可得，，又，，，解得，由的中点在直线上，，，化为，把代入化为，解得（舍去）或，，解得，满足，即满足，在上存在两点关于直线对称,且以为直径的圆恰好经过坐标原点，直线的方程为.【点睛】本题主要考查的轨迹方程的求解方法、直线与椭圆的位置关系、向量垂直与数量积的关系，化归与转化思想方法的应用，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.21．已知函数.（1）当时，求的最大值；（2）若对任意大于1的实数都成立，求的取值范围；（3）证明：不等式对任意正整数均成立. （其中为自然对数的底数）【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】（1）时，，利用单调性求出极值，可得最大值；（2）求得，讨论时，，时三种情况，分别利用导数判断函数的单调性，利用单调性求函数最值，即筛选出的取值范围；（3）令，利用导数研究其单调性可证明，令，可得，可得，因此，进而可证明结论.【详解】（1）时，，，在上递减，在上递增，在时取得极大值即最大值.（2）由函数可得，，因为，所以，时，在上递减，，不合题意；，在上递增，，合题意；时，在上递减，此时，，不合题意；综上可得，解得.（3）证明，令，则，在内单调递减，，，令，则，可得，，，，.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、利用导数证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题. 不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.22．在直角坐标系中，曲线的方程为，．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求的直角坐标方程；（2）若与有四个公共点，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，代入曲线的极坐标方程可求出曲线的直角坐标方程；（2）将曲线的方程表示为分段函数的形式，可得得直线与直线与曲线都相交，然后利用圆心到直线的距离小于半径，列不等式即可求出的值.【详解】（1）由，代入曲线的极坐标方程可得，因此，曲线的普通方程为.（2）将曲线的方程可化为，由于曲线与曲线有四个公共点，直线与曲线相交且直线与曲线相交，则有，化简得，解得或，，化简得，解得或，综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题考查曲线的极坐标方程，考查极坐标方程与普通方程之间的转化，同时考查了直线与圆的位置关系,属于中等题.解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系（求弦长问题需要考虑点到直线距离、半径，弦长的一半之间的等量关系）；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.23．已知关于的不等式.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式有实数解，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】(1)代入的值，对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；(2 )根据绝对值三角不等式求得的最小值为，得到,解不等式即可得结果.【详解】（1）时，故或或，解得，故不等式的解集是.（2）因为，所以，要使不等式有实数解，则，即解得，即的范围是.【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题,考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，属于中档题.绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。

2019届哈尔滨三中高三上期末考试数学（文）试卷（附答案）第I 卷 （选择题， 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合=,=，则A ．B ．C ．D ． 2. 已知向量，，且，则实数的值为A. B.C. D. 3. “”是“”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4. 已知数列为等差数列，且，则等于 A. B. C. D. 5. 已知变量满足约束条件，则的最大值为A.B ．C. D ．P {}4|<x x Q {}4|2<x x Q P ⊆Q P ⊆Q C P R ⊆P C Q R ⊆)2,3(-=),1(λ-=//λ1313222()6k k Z παπ=+∈1cos 22α={}n a 3895π=+a a 7tan a 3-33±33-y x ,⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y y x z 23+=3-255-46. 阅读右面的程序框图，输出结果的值为（其中为虚数单位，）A ．B ．C ．D ．6. 在正方体中，是正方形的中心，则异面直线与所成角为A. B. C. D.8. 如果双曲线的两个焦点分别为、, 一条渐近线方程为, 那么经过双曲线焦点且垂直于轴的弦的长度为A. B. C. D.9. 若某几何体的三视图如下所示，其中正视图与侧视图都是边长为2的正方形，则该几何体的体积A.B.C. D.s i 12-=i 11-i i -1111D C B A ABCD -O 1111D C B A 1AD BO 90 60 45 30)0,3(1-F )0,3(2F x y 2=x 34322138332225主视图侧视图俯视图10. 已知椭圆的离心率，为椭圆上的一个动点，则与定点连线距离的最大值为A.B. C. D. 11. 已知点 在同一个球面上，且，若四面体体积的最大值为10，则该球的表面积是A. B. C. D.12. 已知函数，则函数的零点个数为A. B. C. D.第Ⅱ卷 （非选择题， 共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上)13. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为 .14. 已知函数在区间上单调递减，且为偶函数，则满足的的取值范围是 .15. 过点作直线，与圆交于两点, 若，则直线的方程为 .()11222>=+a x ay 552=e P P ()0,1-B 232253Q P N M ,,,5,4,3===MP NP MN MNPQ 425π16625π16225π4125π()21,272,21x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪-⎩()()12g x f f x =-⎡⎤⎣⎦3456142222=++m y m x 12222=-by a x ()x f [)+∞,0()()122f x f <-x )0,4(-l 0204222=--++y x y x B A ,8=AB l16. 设数列的前项和为，，且，若，则的最大值为 .三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.（本题满分12分）在中，三个内角所对的边分别为，满足.（Ⅰ） 求角的大小；（Ⅱ） 若，求，的值.（其中）18.（本题满分12分）数列的前项和为, 且, (). （Ⅰ） 证明：数列为等比数列，并求； （Ⅱ） 若, 求数列的前项和.}{n a n n S 121+=++n a a n n 2019=n S 22<a n ABC ∆C B A ,,c b a ,,B 72,12==⋅b a c c a <{}n a n n S 21=a n n S a =+1+∈N n {}n S n S n n a b 2lg ={}n b n n T如图，四边形是边长为的正方形，为等腰三角形，， 平面平面，动点在棱上，无论点运动到何处时， 总有.（Ⅰ） 试判断平面与平面是否垂直，并证明你的结论； （Ⅱ） 若点为中点，求三棱锥的体积.ABCD 2ABE ∆BE AE =⊥ABCD ABE F CE F AE BF ⊥ADE BCE F CE D AEF - AB CEDF在圆上取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当点在圆上运动时，设线段中点的轨迹为. （Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）试问在上是否存在两点关于直线对称，且以为直径 的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.4:22=+y x O P P x PD D P O PD M E E E N M ,530:+=kx y l MN MN已知函数.（Ⅰ） 当时，求的最大值； （Ⅱ） 若对任意大于1的实数都成立，求的取值范围；（Ⅲ） 证明：不等式对任意正整数均成立. （其中为自然对数的底数）)1)(1(ln )(---+=a ax x x x f =a 0()f x ()>f x 0x a (+)(+)(+)(+)<n n n n n n e n 22222123L g n e请考生在第22，23，两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22. （本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的方程为，．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （I ）求的直角坐标方程；（II ）若与有四个公共点，求的取值范围．23. （本题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知关于的不等式.（Ⅰ）当时，求不等式的解集； （Ⅱ）若不等式有实数解，求实数的取值范围．xOy 1C 2-=x k y ()R k ∈x 2C 08sin 6cos 22=+--θρθρρ2C 1C 2C k x 2255x a x a +++-<23=a a高三学年期末考试数学（文）试卷答案第I 卷 （选择题， 共60分）一．选择题 BCABD DDAAC BC第Ⅱ卷 （非选择题， 共90分）二．填空题; ; 或; . 三．解答 17. （1）； （2）.18. （1）； （2）..19. （1）略；（2）. 20. （1）； （2）存在，. 21.（1）；（2）；（3）略22. (1)（2） .23.（1）； （2） 1322=-y x ()()()+∞--∞-,31,13,35125--=x y 4-=x 633π=B 6,4==b a n n S 2=2lg 2⋅n 311422=+y x 5302+±=x y ()()01max ==f x f 21≥a ()()23122=-+-y x 7>k ⎪⎭⎫⎝⎛-819,821()20，。

黑龙江省哈三中2020届高三上学期第四次验收（期末）考试数学（文）试题及答案考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟． （1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合 ，则B 中所含元素的个数为A ．5B ．6C ．7D ．82．已知复数（i 是虚数单位），则的虚部为A ． -3B ．-3iC ．3D ．3i3．给定命题p ：函数ln[(1)(1)]y x x =-+为偶函数；命题q ：函数为偶函数，下列说法正确的是 A ．是假命题B ．是假命题C ．是真命题D ．是真命题4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2312a a a =，且472a a 与的等差中项为54，则5S =A ．36B ．33C ．31D ．295．下列几个命题中，真命题是 A ．,.l m n 是空间的三条不同直线，若B ．α，β，γ是空间的三个不同平面，若C ．两条异面直线所成的角的范围是D ．两个平面相交但不垂直，直线，则在平面β内不一定存在直线与m 平行，但一定存在直线与垂直．6．已知a,b 是两个互相垂直的向量，|a|=1，|b|=2，则对任意的正实数t ，的最小值是A ．2B ．C ．4D ．7．B 1、B 2是椭圆短轴的两端点，O 为椭圆中心，过左焦点F 1作长轴的垂线交椭圆于P ，若|F 1B 2|是|OF 1|和|B 1B 2|的等比中项，则的值是AB ．2C ．2D ．38．函数的零点所在的区间是A ．B ．C ．D ．9．已知正三棱锥P —ABC 的主视图和俯视图如图所示，则此三棱锥外接球的表面积为10．已知直线交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，且有，那么实数k 的取值范围是A ．B ．C ．D ．11．设关于x ，y 的不等式组表示的平面区域内存在点P(a ，b),满足a-3b=4，则实数m 的取值范围是 A ．B ．C ．D ．12．在平面直角坐标系中，定义之间的“折线距离”，在这个定义下，给出下列命题： ①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆； ③到两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x=0；④到两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．其中真命题有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．若直线平行，，则m+n= 。

2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）第一次验收数学试卷（文科）（8月份）一、选择题（本大题共12小题）1.设集合，集合，则A. B. C. D.2.已知是第二象限角，若，则A. B. C. D.3.已知角的终边上有一点，则A. B. C. D.4.若函数，则A. 是奇函数，且在R上是增函数B. 是偶函数，且在R上是增函数C. 是奇函数，且在R上是减函数D. 是偶函数，且在R上是减函数5.已知，则的值为A. B. C. D.6.函数的最小值为A. B. C. D.7.设函数，则下列结论错误的是A. 的一个周期为B. 的图象关于直线对称C. 的一个零点为D. 在上单调递减8.函数的大致图象是A. B.C. D.9.若函数在区间上单调递减，且，，则A. B. C. D.10.已知命题，命题q：，，则以下命题为真命题的是A. B. C. D.11.设定义在R上的函数满足都有，且时，\;} \dfrac{f(x)}{x}'/>，则、、的大小关系是A. B.C. D.12.已知函数e是自然对数的底数与的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.函数且的图象恒过定点P，P在幂函数的图象上，则______．14.函数的最小正周期为______15.已知，则______16.已知函数，若关于x的方程恰有3个不同的实数解，则实数t的取值范围为______三、解答题（本大题共6小题）17.在极坐标系中，已知两点，直线l的方程为．求A，B两点间的距离；求点B到直线l的距离．18.求的值；已知，，，求的值．19.设函数．若为函数的图象的一条对称轴，当时，求函数的最小值；将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，已知，求的单调递减区间．20.已知函数，．当时，求不等式的解集；若不等式的解集包含，求实数a的取值范围．21.设函数．设不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；设函数在上有零点，求实数的取值范围．22.已知函数．讨论函数的极值点的个数；若函数有两个极值点，，证明：．答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合，集合，．故选：C．先分别求出集合A和集合B，由此利用交集定义能求出．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查三角函数化简求值，同角三角函数基本关系式以及诱导公式的应用，属于基础题．直接利用诱导公式化简，再用同角三角函数基本关系式转化求解即可．【解答】解：由，可得，是第二象限角，．故选：D．3.【答案】D【解析】解：角的终边上有一点，所以，则．故选：D．直接求出三角函数的正切值，进一步利用三角函数关系式的变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：正切函数值的求法，三角函数关系式的恒等变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．4.【答案】A【解析】解：，函数为奇函数；，当时，，则，函数在R上是增函数．故选：A．根据函数奇偶性的定义验证是否成立，可得函数的奇偶性；当时，判断与的大小，可得函数的单调性．本题考查了函数单调性与奇偶性的判断与证明，利用定义判断函数的单调性与奇偶性是基本方法，一定要熟练掌握．5.【答案】A【解析】解：，将，代入得，原式．故选：A．观察所给式子是二次齐次式，因此可以用“1的代换“，整式除以，再进行化简．本题考查三角函数化简求值，考查计算能力，是基础题．6.【答案】A【解析】解：，所以当，即函数．故选：A．首先把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步求出函数的最值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．7.【答案】D【解析】解：函数，的周期为，故A正确；当时，，为最小值，可得的图象关于直线对称，故B正确；当时，，故的一个零点为，故C正确；在上，，没有单调性，故选：D．由题意利用余弦函数的周期性、零点、单调性以及图象的对称性，得出结论．本题主要考查余弦函数的周期性、零点、单调性以及图象的对称性，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：当时，，，所以，故可排除B，C；当时，，故可排除D．故选：A．用排除B，C；用排除故选A．本题考查了函数图象与图象的变换，属基础题．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，属于中档题．求出原函数的定义域，再求出内函数二次函数的增区间，由题意列关于a的不等式组，求得a的范围，结合，得答案．【解答】解：由，可得，函数的增区间为，要使在区间上单调递减，则，即．而，，．故选：D．10.【答案】C【解析】解：当时，单调递增，，故命题p为假命题；，，，故命题q为真命题．为假命题；为假命题；为真命题；为假命题．故选：C．由函数的单调性求得的范围判断p，由配方法说明q为真命题，再由复合命题的真假判断得答案．本题考查利用函数的单调性求最值，考查复合命题的真假判断，是基础题．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、构造法、等价转化方法、函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．定义在R上的函数满足都有，可得，函数是周期为4的函数．可得，，令函数，利用导数研究其单调性可得函数在时单调性质．即可得出大小关系．【解答】解：定义在R上的函数满足都有，，函数是周期为4的函数．令函数，，时，\dfrac{f(x)}{x}'/>，，函数在时单调递增．又，，．，，．即．故选：A．12.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的对称性，函数的零点与方程根的关系，考查利用导数研究函数的单调性和最值，构造函数法求方程的解及参数范围，属于较难题．关将已知存在关于x轴对称的点转化为方程在区间上有解．设函数，求出其导数，可知函数有最小值，且，进而得到函数有最大值，即可得到函数在区间上的值域为若方程在区间上有解，则必有，则有，进而求出a的取值范围．【解答】解：根据题意，若函数e是自然对数的底数与的图象上存在关于x轴对称的点，则方程在区间上有解，，即方程在区间上有解，设函数，其导数，令，得，分析可得：当时，，为减函数，当时，，为增函数，故函数有最小值，又由，；比较可得：，故函数有最大值，故函数在区间上的值域为．若方程在区间上有解，则必有，则有，即a的取值范围是，故选A．13.【答案】27【解析】【分析】本题考查了对数函数的性质和幂函数的定义，属于基础题．利用可得定点P，代入幂函数即可．【解答】解：对于函数，令，解得，此时，因此函数的图象恒过定点．设幂函数，在幂函数的图象上，，解得．．．故答案为27．14.【答案】【解析】解：，所以函数的最小正周期为．故答案为：首先把三角函数关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．15.【答案】【解析】解：由于，则，所以，．故答案为：直接利用三角函数关系式的恒等变换和角的变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，角的关系式的变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．16.【答案】【解析】解：函数的导数为，当时，，递增；当时，，递减，可得在取得极大值，作出的图象，设，关于x的方程，即为，解得或，当时，只有一个实根；由题意可得有两个不等实根，由图象可得，解得，故答案为：求得的导数，可得单调区间和极值，作出的图象，设，关于x的方程，即为，解得m，再由图象可得t 的不等式，解不等式即可得到所求范围．本题考查方程的根的个数问题解法，考查数形结合思想方法，以及导数的运用：求单调区间和极值，考查运算能力，属于中档题．17.【答案】解：由，结合，，得，，；由，得，即．由点到直线的距离公式可得点B到直线l的距离．【解析】化A，B两点的极坐标为直角坐标，再由两点间的距离公式求解；化直线的极坐标方程为直角坐标方程，再由点到直线的距离公式求解．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查两点间的距离公式及点到直线距离公式的应用，是基础题．18.【答案】解：原式．，又，，，，则．【解析】以切化弦、降幂、二倍角等的原则化简．，，并判断的范围是．本题考查同角三角函数的基本关系式的应用三角函数化简求值，考查计算能力，是基础题．19.【答案】解：函数，若为函数的图象的一条对称轴，，，当时，，，故当时，函数的最小值为．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，已知，，令，求得，可得的单调递减区间为．【解析】由题意利用正弦函数的图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，求出当时，函数的最小值．利用函数的图象变换规律，求出的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得的单调递减区间．本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，正弦函数的单调性以及定义域和值域，属于中档题．20.【答案】解：，当时，．，或或，或或，，不等式的解集为；由知，当时，．不等式的解集包含，在上恒成立，即在上恒成立，的取值范围为．【解析】将写为分段函数的形式，然后根据时，可得或或，解不等式组可得解集；由不等式的解集包含，可得在上恒成立，然后求出a的范围即可．本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想，转化思想和数形结合思想，属中档题．21.【答案】解：，，即，令，，，，当时取得最大值4．．，令可得，令，显然为增函数，故在上的值域为．由对勾函数单调性可知当时，取得最小值．的取值范围是：．【解析】分离参数得：，利用换元法，求出函数的最大值即可得出m的取值范围；令可得，令，得出的值域，再根据对勾函数的性质求出的值域，从而得出的范围．本题考查了函数最值、函数零点与函数单调性的关系，函数恒成立问题与存在性问题，属于中档题．22.【答案】解：函数，0)=- \dfrac {2ax^{2}-x+1}{x} =\dfrac {-2ax^{2}+x-1}{x}'/>，，当时，，，当时，，单调递减；当时，0'/>，单调递增；当时，有极小值；当时，，故，在上单调递减，故此时无极值；当时，，方程有两个不等的正根，．可得，．则当及时，，单调递减；当时，0'/>；单调递增；在处有极小值，在处有极大值．综上所述：当时，有1个极值点；当时，没有极值点；当时，有2个极值点．由可知当且仅当时有极小值和极大值，且，是方程的两个正根，则，．；令，；，在上单调递减，故，【解析】先求出函数的导函数，通过讨论a的范围确定导函数的符号，从而得出函数的单调区间，进而判断函数极值点个数；由可知当且仅当时有极小值和极大值，且，是方程的两个正根，则，根据函数表示出，令，通过对求导即可证明结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，注意分类讨论思想的运用，属于难题．。

哈尔滨市三中2019届高三上学期期末数学文科试卷【试卷满分150分;考试时间120分钟】第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分・）1.设集合P = {x|x<4},Q = {x|x 2 <4},则2.已知向量a = (-3,2), b = (-l,2),且d//b,则实数2的值为—1 2 c A. 1 B ・一 C. — D ・ 2 33 JI Ia = — + 2k7c{k G Z) ”是“c os 2a = — n 的6 2y < x5. 已知变满足约束条件<x+yWl,贝ij z = 3x + 2y 的最大值为y>-lA. P^QB. Q^PC. P J C R QD. Q J C R P3. A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条4. 已知数列{%}为等差数列，且a 5 + r/9 =—则tan©等于 A.-V3 B.73 C.±V3D. 46.阅读右面的程序框图，输出结果§的值为（其中i为虚数单位，厂=一1）D. -i6.在正方体ABCD-ABS中，。

是正方形AEG®的中心，则异面直线AQ；与30所成角为A.90°B. 60°C. 45°D.3(r8.如果双曲线的两个焦点分别为仔(-3,0)、鬥(3,0), —条渐近线方程为y = ^2x，那么经过双曲线焦点且垂直于兀轴的弦的长度为A.4A/3B. 2V3C. 2D. 19.若某几何体的三视图如下所示，其中正视图与侧视图都是边长为2的正方形，则该几何体的体积是A，3C.22 ry / 510.已知椭圆£ +兀2二1@>1)的离心率£ = 亠，P 为椭圆上的一个动点，则P与定点fi(-l,0)连线CT5距离的最大值为3 5A. —B. 2C. —D・ 32 2已知点M,N,P,Q在同一个球面上，且MN = 3,NP = 4,MP = 5,若四面体MNPQ11.体积的最大值为1(),则该球的表面积是A 25兀B 625% Q 225TV口125兀4 16 16 ~ 42X-I,x<212.已知函数/⑴二7-2兀‘则函数^(x) = /[/(x)]-丄的零点个数为-------- ,x>2 2.X —1A. 3B. 4C. 5D. 6第II卷(非选择题，共90分)填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡相应的位置上)—>2 2 2 213.已知椭圆----- +丄亍二1与双曲线r-厶=1有共同的焦点，且双曲线的离心率为2,则该双曲线4 + 加广X kr的方程为14.已知函数/(x)在区间[0,+8)上单调递减，11为偶函数，则满足f(x2 -2)< /(1)的兀的取值范围是15.过点(-4,0)作直线/,与圆F+y2+2—令―20 = 0交于两点，若|佔|=8，则直线/的方程为设数列｛a“｝的前斤项和为S”，a n+i + a lt =2/1 + 1 ,且S fl =20 1若a2 <2 f则斤的最大值16.为三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤•)17.(本题满分12分)在MBC中,三个内角A.B.C所对的边分别为a,b,c,满足(c-2c)cosB + bcosC = 0.(1 )求角B的大小;（II）若BA ~BC=lZh = 2/7 >求Q，c的值.（其屮a<c）18.（本题满分12分）数列｛%｝的前〃项和为S”，且® =2, a n+l =S n（ne N+）.（I）证明：数列｛S〃｝为等比数列，并求S（II）若6= \ga2n,求数列彼｝的前n项和7],・19.（本题满分12分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，AABE为等腰三角形，AE = BE ,平面ABCD丄平面ABE ,动点F在棱CE上，无论点F运动到何处时，总有BF丄AE.（I ）试判断平面4DE与平面BCE是否垂直，并证明你的结论；（II）若点F为CE中点，求三棱锥D-AEF的体积.E20.（本题满分12分）在圆O ：〒+），=4上取一点P,过点P作兀轴的垂线段PD, D为垂足，当点P在圆。