《地理空间数学基础》PPT课件

3 高差。地面上任意两点的高程(绝对高程或相对 高程)之差称为高差。
本章内容：
一 地理空间参考 二 空间数据投影 三 空间坐标转换 四 空间尺度
二 空间数据投影
解决如何把地球曲面信息展布到二维平面。 （一）为何要进行投影？ （二）地图投影变形 （三）地图投影的分类 （四）常用地图投影概述 （五）地图投影的选择
二 空间数据投影
（一）为何要进行投影？
将地球椭球面上的点映射到平面上的方法，称为地图投影。 1 球面坐标不方便进行距离、方位、面积等参数的量算； 2 地图为平面，符合视觉心理，并易于进行距离、方位、面积等量算和各种空间
分析。 3 地球椭球体为不可展曲面；
地图投影实质：
建立地球椭球面上的点的地理坐标（B，L）与平 面上对应点的平x 面f1坐(B标, L)（x，y）之间的函数关系：
1. 制图区域的地理位置，形状和范 围
地理位置
制图区域的地理位置决定了所选择投影 的种类。例如，制图区域在极地位置，理所 当然地选择正轴方位投影；在赤道附近应考 虑选择横轴方位投影或正轴方位投影；若制 图区域在中纬地区，则应考虑选择正轴圆锥 投影或斜轴方位投影。
形状
选用投影时最好使等变形线与制图区域的轮廓 形状基本一致。方位投影的变形线的形状是以投影中 心为圆心的圆形，所以它最适合表示具有圆形轮廓的 区域；当制图区域沿东西方向延伸且处于中纬地区时， 则宜采用正轴圆锥投影，如中国、美国等。当制图区 域在赤道附近或处于赤道两侧沿东西方向延伸时，应 采用正轴圆柱投影，如印度尼西亚。当制图区域沿南 北方向延伸，一般采用横轴圆柱投影和多圆锥投影， 如南美洲的阿根廷、智利。
黄海海面
1952-1979年平 均海水面为0米
水准原点 1985国家高
程基准，
72.2604米
青岛市观象山上国家水准原点
国家高程控制网是确定地貌地物海拔高程的坐标 系统，按控制等级和施测精度分为一、二、三、四等网。 目前提供使用的1985国家高程系统共有水准点成果114041 个，水准路线长度为416619．1公里。
范围
制图区域的范围大小也影响地图投影的选择。 当制图区域范围不太大时，无论选择什么投影，制 图区域范围内各处变形差异都不会太大。
有人曾以我国最大的省区新疆维吾尔自治区为 例，用等角、等积、等距三种正轴圆锥投影作比较， 其计算结果表明，不同纬度的长度变形差别甚微。 可见其他省区图变形差异就更微乎其微了。
由德国数学家兰勃特在1772年拟定。 设想用一个正圆锥割球面两标准纬线，应 用等角条件将地图投影到圆锥面上，然后沿一母 线展开，即为兰勃特投影平面。
我国比例尺小于1:100万的地图通常采用兰勃Байду номын сангаас投影。
二 空间数据投影
（五）地图投影的选择
地图投影的选择依据：
1. 制图区域的地理位置，形状和范围 2. 制图比例尺 3. 地图的内容
地心空间直角坐标系的坐标原点位于地球质心。
WGS-84坐标系——“World Geodetic System”(世界大地坐标系）是美 国国防局为进行GPS导航定位于1984年建立的地心坐标系，1985年投入使 用，采用WGS-84椭球。
平面坐标系统=球面坐标系统+投影规则
一 地理空间参考
（三）高程基准
一 地理空间参考
（二）坐标系统
天文坐标系
坐 球面坐标系统 标
大地坐标系 空间直角坐标系
系 平面坐标系统 统
球面坐标系统：天文坐标系
表示地面点在大地水准面上的位置，它的基准 面是大地水准面，它用天文经度λ和天文纬度φ两 个参数来表示地面点在大地体上的位置。
K( λ,φ)
天文坐标系
球面坐标系统：大地坐标系
自然地球表面
那么如何准确表达地球上每一点的绝对位置呢？ ——找出一个规则的曲面来代替地球的自然表
大地水准面
假设，当海水处于完全静止的平衡状态时，存 在着一个从海平面延伸到所有大陆下部、而与地球 重力方向处处正交的一个连续、闭合的水准面，这 就是大地水准面。
以大地水准面为基准，可以用水准仪完成地 球自然表面上任一点高程的测量。
大地测量中以参考椭球面为基准面建立 起来的坐标系。地面点的位置用大地经度L、 大地纬度B和大地高程来表示。
P(L,B,H)
B L
大地坐标系
大地经、纬度是根据起始大地点（大地原点， 该点的大地经纬度与天文经纬度一致）的大地坐标， 按大地测量所得的数据推算而得的。
由于天文坐标和大地坐标选用的基准线和基 准面不同，所以同一点的天文坐标与大地坐标不一 样，不过这种差异很小，在普通测量工作中可以忽 略。
六度带自本初子午线起每隔经差6°自西向东分60带。 三度带是在六度带的基础上分成的，自 1.5度子午线 起每隔经差3度自西向东分120带。
我国规定1:1万、1:2.5万、1:5万、1:10万、1:25万、1:50万比例尺地形图 均采用高斯投影。1:2.5至1:50万比例尺地形图采用经差6度分带，1:1万比 例尺地形图采用经差3度分带。
第2章 地理信息系统 §2.2 地理空间数学基础
本章内容：
一 地理空间参考 二 空间数据投影 三 空间坐标转换 四 空间尺度
一 地理空间参考
解决地球的空间定位与数学描述问题。
（一）地球形状与地球椭球 （二）坐标系统 （三）高程基准
一 地理空间参考
（一）地球形状与地球椭球
自然地球表面
是一个起伏不平，十分 不规则的表面，最高点 珠峰（8848.13米）， 最深处马里亚那海沟 （-11034米。这个高低 不平的表面无法用数学 公式表达，也无法进行 计算。
1910
6,378,388
1:297.0 1942
克拉索夫斯基 苏联
1940
6,378,245
1:298.3
从地球自然表面 球面
海面
大地水准面 地球椭
椭球体
大地水准面
地球表面
大地基准面：
大地基准面是利用特定椭球体对特定地区 地球表面的逼近。因此每个国家或地区均有各自 的大地基准面。
椭球体与大地基准面之间的关系是一对多的关系
圆柱投影：投影面为圆柱 圆锥投影：投影面为圆锥 方位投影：投影面为平面
正轴投影：投影面中心轴与地轴相互重
斜轴投影：投影面中心轴与地轴斜向相
横轴投影：投影面中心轴与地轴相互垂
二 空间数据投影
（四）常用地图投影概述
1 高斯-克吕格投影 2 通用墨卡托投影（UTM-Universal Transverse
年代
长半径/m
扁率
6,375,653
1：334.0
埃弗瑞斯(Everest) 英国
1830
6,337,276
1:300.801
贝赛尔(Bessel) 德国
1841
6,377,397
1:299.152
克拉克(Clarke) 英国
1880
6,378,249
1:293.459
海福特(Hayford) 年国际第一个推荐值
1 绝对高程。地面点沿垂线方向至大地水准面的 距离称为绝对高程或称海拔。
高程基准是推算国家统一高程控制网的水准原点的 起算依据，它包括一个水准基面和一个永久性水准 原点。
我国高程基准： 1956年黄海高程系（水准原点高程为72.289m） 1985年国家高程基准（国家水准原点高程为 72.260m)
Mercator ) 3 兰勃特等角投影（Lambert conformal conic)
1 高斯-克吕格投影-等角横轴切圆柱投 影
高斯-克吕格尔投影是德国的 C.F.高斯于 1822年提出的，后经德国的克吕格(J.H.L.Krüger) 于1912年加以扩充而完善。
设想一个椭圆柱横切于地球椭球某一经线，根据等角条 件，用解析法将中央经线两侧一定经差范围内地球椭球 体面上的经纬网投影到椭圆柱面上，并将此椭圆柱面展
圆柱割地球于南纬80度、北纬84度两条等 高圈，投影后两条相割的经线上没有变形。该投 影将地球划分为60个投影带，自180度经线向东每 带经差为6度，已被许多国家作为地形图的数学基 础。
高斯-克吕格投影的中央经线投影后保持 长度不变，而UTM投影的比例系数为0.9996。
3 兰勃特等角投影（Lambert conformal conic) ——正轴割圆锥投影
本章内容：
一 地理空间参考 二 空间数据投影 三 空间坐标转换 四 空间尺度
三 空间坐标转换
把空间数据从一种空间参考系映射到另一种空间参考系中。
三 空间坐标转换
（一）空间直角坐标的转换 （二）投影解析转换 （三）数值拟合转换
y f2 (B, L)
二 空间数据投影
（二）地图投影变形
将不可展的地球椭球面展开成平面，并且不能有断裂，则图形必将在某 些地方被拉伸，某些地方被压缩，故投影变形是不可避免的。 长度变形 面积变形 角度变形
二 空间数据投影
（三）地图投影的分类
变形分类：
投影面：
投影面位置： 合 交 直
等角投影：投影前后角度不变 等面积投影：投影前后面积不变； 任意投影：角度、面积、长度均变形
地球椭球面 —— 规则的数学曲面
基于大地水准面建立地 球椭球体模型：
x2 a2
y2 a2
z2 b2
1
b a
主要参数：长轴、短轴、扁率
旋转椭球体是地球表面几何模型中最简单一类模型，为世界各国普遍采用 作为测量工作的基准。
我国目前一般采用克拉索夫斯基椭球体作为地球表面几何模型。
国际主要的椭球参数
椭球名称 附注 德兰勃（Delambre） 1800 法国
2006年5月，为更好地利用水准原点这一独特的资 源，经国家测绘局批准，由专家精确移植水准原点信 息数据，在青岛银海大世界内（也叫银海国际游艇俱 乐部内）建起了“中华人民共和国水准零点”。这也 是全国唯一的水准零点标志。
2 相对高程。地面点沿铅垂线方向至任意假定的 水准面的距离称为该点的相对高程，亦称假定高 程。
陕西泾阳县永乐镇石际寺村大地原点
国家大地控制网
大地坐标系
1954北京坐标系——采用克拉索夫斯基椭球，
实质上是由原苏联普尔科沃为原点的1942年坐标 系的延伸。
1980西安坐标系——采用1975国际椭球， 以陕西省泾阳县永乐镇大地原点为起算点。
球面坐标系统：空间直角坐标系（参心、 地心）
参心空间直角坐标系的坐标原点位于参考椭 球的中心，Z轴指向参考椭球的北极，X轴指向起始 子午面与赤道的交点，Y轴位于赤道面上切按右手系 于X轴呈90度夹角。
高斯平面直角坐标系
坐标原点：赤道和中央子午线 的交点。
x轴：中央子午线，北方向为正。 y轴：赤道投影线，东方向为正。
YA=100 000m YB=-200 000m
※在计算中为避免Y值出现负值，我国规定各投影带内 纵坐标轴西移500KM。
2 通用墨卡托投影（UTM-Universal
Transverse Mercator ) ——等角横轴割圆柱投影
为平面所得到的一种等角投影。示意图如下：
高斯-克吕格投影有以下特性：
①中央子午线是直线，其长度不变形，离开中央 子午线的其他子午线是弧形，凹向中央子午线。 离开中央子午线越远，变形越大。
②投影后赤道是一条直线，赤道与中央子午线保 持正交。
③离开赤道的纬线是弧线，凸向赤道。
④ 所有经线和纬线正交。
通常其按经差6°或3°分为六度带或三度带。
地图投影
Y
Curved Earth Geographic coordinates:B, L
(Latitude & Longitude)
X
(xo,yo)
Flat Map
Cartesian coordinates: x,y (Easting & Northing)
Map Scale
Map distance = Earth distance
而对于制图区域广大的大国地图、大洲地图、 半球图、世界图等，则需要慎重地选择投影。
2. 制图比例尺
不同比例尺地图对精度要求的不同，导致 在投影选择上亦各不相同。以我国为例，大比例 尺地形图，由于要在图上进行各种量算及精确定 位，因此应选择各方面变形都很小的地图投影， 比如分带投影的横轴等角椭圆柱投影（如高斯— 克吕格投影）。而中小比例尺的省区图，由于概 括程度高于大比例尺地形图，因而定位精度相对 降低，选用正轴等角、等积、等距的圆锥投影即 可满足用图要求。
3. 地图的内容
即使同一个制图区域，但因地图所表现的 主题和内容不同，因而其地图投影选择也应有 所不同。
如交通图、航海图、军用图等要求方向正确 地图应选择等角投影；
而自然地图和社会经济地图中的分布图、类 型图等则要选择等积投影。
再如世界时区图，为使时区的划分表现得清 楚，只能选择经线投影成直线的正轴圆柱投影 等。