（1）(3-i)
5
解：3-i=2[cos( -30°)+isin(-30°)] =2[cos30°- isin30°]
(3-i)5
=25[cos(30°⨯5)-isin(30°⨯5)]
=25(-3/2-i/2) =-163-16i
（2）（1+i ）6
解：令z=1+i 则x=Re （z ）=1，y=Im （z ）=1 r=z =22y x +=2
tan θ=x y =1
x>0,y>0
∴θ属于第一象限角
∴θ=4
π ∴1+i=2（cos
4π+isin 4
π） ∴（1+i ）6=（2）6（cos 46π+isin 46π） =8（0-i ）
=-8i
1.2求下式的值 (3)61-
因为
-1=（cos π+sin π）
所以
61-=[cos(ππk 2+/6)+sin(ππk 2+/6)] (k=0,1,2,3,4,5,6).
习题一
1.2（4）求(1-i)3
1
的值。
解：(1-i)31 =[2(cos-4∏+isin-4∏)]31
=62[cos(12)18(-k ∏)+isin(12)
18(-k
∏)]
(k=0,1,2)
1.3求方程3z +8=0的所有根。
解：所求方程的根就是w=38-
因为-8=8（cos π+isin π） 所以38-= ρ [cos(π+2k π)/3+isin(π+2k π)/3] k=0,1,2
其中ρ=3r=38=2
即
w=2[cosπ/3+isinπ/3]=1—3i
1
w=2[cos(π+2π)/3+isin(π+2π)/3]=-2
2
w=2[cos(π+4π)/3+isin(π+4π)/3]= 1—3i
3
习题二
1.5 描出下列不等式所确定的区域或者闭区域，并指明它是有界还是无界的，单连通还是多连通的。
(1) Im(z)>0
解：设z=x+iy
因为Im(z)>0，即，y>0
而)
x
-∞
∈
,
(∞
所以，不等式所确定的区域D为：不包括实轴的上半平面。
由所确定的区域可知，不存在某一个正数M，使得确定区域内的每个点z满足M
z<，所以该区域是无界的。
在该区域D内任意作一条简单闭曲线，该曲线的内部总是属于D 区域，所以区域D为单连通区域。
综上所述，该不等式确定的区域是不包含实轴的上半区域，是无界的单连通区域。
描出下列不等式的区域或闭区域，并指出它是有界还是无界的，单连通的还是多连通的。
1.5（2）
解：该不等式的区域如图所示：
圆+=4的外部（不包括圆周），无界的，为开的多连通区域
1.5.描出下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界的还是无界的，单连通的还是多连通的
0由直线X=0与X=1所围成的带形区域，不包括两直线在内，是无界的、开的单连通区域。
1.5描述下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界的还是无界的，单连通的还是多连通的：
（4）
3 2≤≤z
解：32≤≤z 即9422≤+≤y x 为由圆周422=+y x 与
922=+y x 所围成的环形闭区域（包括圆周），是有界多连通闭区域。 如图：
已知映射w=z 3， 求
（1） 点z 1=i ，z 2=1+i ，z 3=3+i ，在w 平面上的像。
解：z=r ei θ，则w=z 3r 3
。于是
⑴ Z 1=i=e 2πi ,
z2=1+i=()=
Z3=+i=2（+i）=2()=经映射后在w平面上的像分别是
W1==-i,
W2==（-+i）=-2+i2，
W3==8i
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3.5计算下列各题
（1）=
=-((zcosz)z=1 -(zcosz)z=0 - dz ) =cos1-sin1
注：因输入法问题。故特设定z的共轭负数为z*,除号为/ 1.7：设f（z）=1/z2 (z/z*－z*/z) (z≠0)
当z→0时，极限不存在
解法一：首先假设z＝r e iθ
则有：(z/z*－z*/z)
＝r2 ( e-2 iθ- e2 iθ )/ r2
＝-2isin2θ
可见是随θ发生变化而变化的变量
所以根据极限必须为常数可知
当z→0时，极限不存在
是以此题得证。
解法二：首先假设z＝x+iy
则(z/z*－z*/z)
＝(z*2－z2 )/x2 ＋y2
＝-4ixy/ x2 ＋y2
所以可见，当z→0时，
即当x→0, y→0时
因为有lim (x→0, y→0)xy/ x2 ＋y2极限不存在
所以当z→0时，
f（z）=1/z2 (z/z*－z*/z)的极限不存在
是以此题得证。
2.1 利用导数定义推出：
（1） (z n )、=nz n-1(n 为正整数)；
解 0
lim →∆z z z z z n n ∆-∆+)( = 0lim →∆z z
z z c z z c z z c z c n
n n n n n n n n n ∆-∆++∆+∆+-- 222110 =0
lim →∆z (nz 1-n +c 2n z 2-n z ∆+...+c n
n 1-∆n z ) =nz 1-n
