2020年4月全国自考高等数学基础试题及答案解析
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全国2018年4月自考高等数学基础试题
课程代码：00417
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.对于非零向量b a ,，下列诸等式中不成立的是（ ） A.)(b a b a -+=-
B.·a a =
C.→→→→=a b b a ··
D.→→→→⨯=⨯a b b a
2.下列平面中平行于oy 轴的是（ ）
A.y =0
B.x-z =1
C.x +y =1
D.3x -2y +z =0
3.点P 0⎪⎭⎫
⎝⎛-31,21
,1与球面x 2
+y 2+z 2-2x -y +2z =0的位置关系是（ ）
A.P 0在球面上
B.P 0在球面外
C.P 0在球面内但不是球心
D.P 0恰为球面的球心
4.下列函数中以π为最小周期的是（ ）
A.f (x )=21
sin(2x +1) B.f (x )=2sin x +1
C.f (x )= cos(x +2)
D.f (x )=tan(2x +1)
5.下列函数中，当x →0时是无穷小量的是（ ）
A.f (x )=x x
sin B.f (x )=x 1
C.f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≥002x x x x
D.f (x )=x 1
x)(1+
6.设曲线y =ax 2+bx -2在点（-1，3）处与直线y =4x +7相切，则a,b 的取值为（
）
A.a =1, b =6
B.a =-1, b =-6
C.a =9, b =14
D.a =-9, b =-14
7.下列曲线中有水平渐近线的是（ ）
A.y =arctan x
B.y =ln x
2 C.22
+=x x y D.y =cos x
8.下列极限中，不能用洛比塔法则求的是（ ） A.x
x x x cos lim +→∞ B.x e x x +∞→lim C.x e x x 1lim 0-→ D. x
x x arctan lim 0→ 9.设C 为任意常数，且F ′(x )=f (x )，则下列等式成立的有（ ）
A.⎰+='C x f dx x F )()(
B.⎰+=C x F dx x f )()(
C.⎰+='C x F dx x f )()(
D.⎰
+'=C x F dx x F )()( 10.曲线x 2=4-y 与x 轴所围图形的面积为（ ）
A.⎰-202dx )x 4(2
B.⎰-202dx )x 4(
C.⎰-20dy y 4
D.2⎰-2
0dy y 4
11.设A 是三阶方阵，且|A|=2，则|-2A|=（ ）
A.4
B.-4
C.16
D.-16
12.已知线性方程组Ax=b 的两个解x 1和x 2，且x 1≠x 2 .则下列线性组合一定是Ax =O 解的是（ ）
A. x 1+x 2
B. x 1-x 2
C.2x 1-x 2
D.2x 1+x 2
二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共16分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
13.设点A （2,-1,3）关于yoz 平面的对称点为B （-2，y ,3）.则y =___________.
14.过点P 0（-1，3，5）且与平面π：3x +2y -5z -7=0垂直的直线方程为___________.
15.设f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠0201cos x k x x x 在x =0处连续，则k =___________.
16.极限=--→x x x 11lim
0___________. 17.
⎰π=20dx x sin ___________.
3 18.设⎰=ϕx
0t tdt cos e )x (, 则)0(ϕ'=___________.
19.设n 阶行列式|a ij |中每一行的诸元素之和等于零，则该行列式|a ij |=___________.
20.已知矩阵A =⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+321211
111a ，则当a =___________时，秩r (A )=2. 三、计算题（一）（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
21．求过点p 1(-1,2,-1)与p 2(1,3,2)的直线方程
22．y =)1arcsin(22x x x -+-, 求y ′
23．计算不定积分⎰
+dx x x 12
24．已知矩阵X =⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--121011322 . 试证明X 是可逆的, 并求X -1 .
四、计算题（二）（本大题共4小题，每小题7分，共28分）
25．一平面过点P 1（2，1，3）及P 2（1，4，1）且与y 轴平行，求此平面方程.
26．确定函数y =ln(1+x 2)在（0,+∞）内的凸性与拐点.
27．计算定积分⎰π4
02
dx x sin .
28．求解线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-++-=-++-=-+-=-+-23
65711233434243214321
4314321x x x x x x x x x x x x x x x 五、综合题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
29．设f (x )=(x 3-1)g (x )，其中g (x )在x =1处连续，证明：f (x )在x =1处可导，并求f ′(1).
30．设曲线方程为y =e -x (x >0)，在此曲线上求一点（x 0,0x e -），使得过该点的切线与两个坐标轴所围平面图形的面积最大，并求出此最大面积.