广东省北大附中深圳南山分校2019-2020学年高一数学上学期期中试题[带答案]

深圳中学2023-2024学年度第一学期期中考试试题年级：高一科目：数学考试用时：120分钟 卷面总分：150分注意事项：答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效.选择题作答必须用2B 铅笔. 参考：以10为底的对数叫常用对数，把10log N 记为lg N ；以e(e 2.71828)= 为底的对数叫自然对数，把e log N 记为ln N ．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{3P x x =∈≥N 或0}x ≤，{}2,4Q =，则()P Q =N （）A.{}1 B.{}2 C.{}1,2 D.{}1,2,4【答案】D 【解析】【分析】根据补集的定义和运算可得{}1,2P =N ，结合并集的定义和运算即可求解. 【详解】由题意知，{}1,2P =N ，{}2,4Q =，所以(){}1,2,4P Q =N ，故选：D ．2.命题“()()31,,1,x x ∞∞∃∈+∈+”的否定是（ ）A.()1,x ∀∈+∞，都有()31,x ∞∉+B.()1,x ∀∉+∞，都有()31,x ∞∉+C.()1,x ∀∈+∞，都有()31,x ∞∈+D.()1,x ∀∉+∞，都有()31,x ∞∈+【答案】A 【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题命题“()()31,,1,x x ∞∞∃∈+∈+ ”的否定是“()1,x ∀∈+∞，都有()31,x ∞∉+.故选：A. 3.函数()f x =的定义域是（ ） A. (,1)(1,0)−∞−∪− B. [1,)−+∞ C. [1,0)− D. [1,0)(0,)−+∞【答案】D 【解析】【分析】根据根式与分式的定义域求解即可. 【详解】()f x =的定义域满足1020x x +≥ ≠ ，解得[1,0)(0,)x ∈−+∞ . 故选：D4. ()f x x 1x 2=−+−的值域是 A. ()0,∞+ B. [1,)+∞C. ()2,∞+D. [2,)+∞【答案】B 【解析】【分析】对x 的范围分类，把(f x 的表达式去绝对值分段来表示，转化成各段函数值域的并集求解．【详解】()32,1121,1223,2x x f x x x x x x −≤=−+−=<< −≥，作出函数()f x 的图像如图所以()12f x x x =−+−的值域为[)1,+∞， 故选B.【点睛】本题主要考查了绝对值知识，对x 的范围进行分类，可将含绝对值的函数转化成初等函数类型来解决5. 已知幂函数的图象经过点()8,4P ，则该幂函数在第一象限的大致图象是（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据求出幂函数的解析式，再根据幂函数的性质即可得出答案. 【详解】设()af x x =，则328422a a =⇔=，所以32a =，所以23a =，所以()23f x x ==，因为2013<<， 因为函数()f x 在()0,∞+上递增，且增加的速度越来越缓慢， 故该幂函数在第一象限的大致图象是B 选项. 故选：B .6. 函数31()81ln 803x f x x -⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎝⎭的零点位于区间（ ）A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)【答案】B 【解析】【分析】根据函数的单调性及函数零点的存在性定理选择正确选项即可．【详解】因为函数81ln y x =与31803x y − =−−在()0,∞+上均为增函数，所以()f x 在()0,∞+上为增函数．因为()281ln 2830f =−<，()381ln 3810f =−>， 所以函数()f x 的零点位于区间()2,3内． 故选：B7. 已知不等式220ax bx ++>的解集为{}21x x −<<，则不等式220x bx a −+<的解集为（ ）A. 11,2 −B. 1,12−C. 1,12D. ()2,1−【答案】A 【解析】【分析】根据不等式解集，求得参数,a b ，再求不含参数的一元二次不等式即可.【详解】根据题意方程220ax bx ++=的两根为2,1−，则221,2b a a−+=−−=，解得1,1a b =−=−， 故220x bx a −+<，即2210x x +−<，()()2110x x −+<，解得11,2x ∈−. 即不等式220x bx a −+<的解集为11,2 −. 故选：A .8. 已知()f x 和()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()e x g x f x −=，则(1)(1)f g =（ ） A. 22e 1e 1+− B. 22e 1e 1−+C. 221e 1e −+D. 221e 1e +−【答案】C 【解析】【分析】根据奇函数与偶函数的性质即可代入1x =和=1x −求解.【详解】因为()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，所以由()()111e g f −−−−=有()()111e g f −+=， 又()()11e g f −=，所以()121e e g −=+，()121e ef −=−， 所以()()12121e e 1e 1e e 1e f g −−−−==++．故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）A. ()1f x x =+与21()1x g x x −=−B. ()1f t t =−与()1g x x =−C. ()ln e x f x =与()g x =D. ln ()e x f x =与()g x =【答案】BC 【解析】【分析】根据题意，由同一函数的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A ，()f x 定义域为R ，()g x 定义域为{}|1x x ≠，定义域不相同，不是同一函数，A 错误； 对于B ，函数()f x 与()g x 的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数，故正确；对于C ，函数()()f x x x =∈R ，函数()()g x x x =∈R ，两函数的定义域与对应关系都一致，所以是同一函数，故正确；对于D ，()()0f x x x =>，()g x x =，所以对应关系不相同，定义域也不同，不是同一函数，D 错误． 故选：BC10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数1y x x=+的最小值为2 B. 若a ，b ∈R ，则“220a b +≠”是“0a b +≠”充要条件 C. 若a ，b ，m 为正实数，a b >，则a m ab m b+<+ D. “11a b>”是“a b <”的充分不必要条件 【答案】BC 【解析】【详解】根据基本不等式满足的前提条件即可判定A ，根据绝对值和平方的性质可判定B ，根据不等式的性质可判断CD.【分析】对于A ，当x 取负值时显然不成立，故A 错误， 对于B ，若,a b ∈R ，由220a b +≠，可知a ，b 不同时为0， 由0a b +≠，可知a ，b 不同时为0，所以“220a b +≠”是“0a b +≠”的充要条件，故B 正确；对于C ，()()()()()0b a m a b m m b a a m a b m b b b m b b m +−+−+−==<+++，所以a m ab m b+<+，故C 正确， 对于D ，①若11a b>，则当0a >，0b >时，则0a b <<， 当0a <，0b <时，则0a b <<， 当a ，b 异号时，0a b >>．的②若a b <，则当a ，b 同号时，则11a b >， 当a ，b 异号时，0a b <<，则11a b<， 所以“11a b>”是“a b <”的既非充分也非必要条件，D 选项错误．故选：BC11. 下列命题正确的是（ ）A. 函数212log (23)y x x =−−在区间(1,)+∞上单调递减 B. 函数e 1e 1x xy −=+在R 上单调递增C. 函数lg y x =在区间(,0)−∞上单调递减D. 函数13xy =与3log y x =−的图像关于直线y x =对称【答案】BCD 【解析】【分析】A 项，由复合函数的定义域可知错误；B 项分离常数转化为()21e 1x f x =−+，逐层分析单调性可得；C 项由偶函数对称性可知；D 项，两函数互为反函数可知图象关于直线y x =对称.【详解】对于A ，由2230x x −−>，解得1x <−，或3x >， 故函数定义域为(,1)(3,)−∞−∪+∞，由复合函数的单调性可知该函数的减区间为()3,+∞，故A 错； 对于B ，()21e 1x f x =−+， 由于e 1x y =+在x ∈R 单调递增，且e 10x +>， 所以1e 1x y =+在R 上单调递减，2e 1xy =−+在R 上单调递增， 因此()f x 在R 上单调递增，B 正确；对于C ，当0x >时，lg y x =（即lg y x =）在区间()0,∞+上单调递增， 又因为lg y x =为偶函数，其图象关于y 轴对称， 所以在区间(),0∞−上单调递减，C 正确；对于D ，由于函数13xy =与13log y x =（即3log y x =−）互为反函数．所以两函数图象关于y x =对称，D 正确． 故选：BCD.12. 德国数学家狄里克雷在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x ，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图像、表格等形式表示，例如狄里克雷函数()D x ，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．下列关于狄里克雷函数()D x 的性质表述正确的是（ ） A. ()D x 的解析式为()R 1,,0,.x Q D x x Q ∈ = ∈B. ()D x 的值域为[]0,1C. ()D x 的图像关于直线1x =对称D. (())1D D x = 【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，由狄里克雷函数的定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A ，用分段函数的形式表示狄里克雷函数，故A 正确． 对于B ，由解析式得()D x 的值域为{}0,1，故B 错误；过于C ，若x 为有理数，则2x −为有理数，则()()21D x D x =−=；若x 为无理数，则2x −为无理数．则()()20D x D x =−=；所以()D x 的图像关于直线1x =对称，即C 正确；对于D ，当x 为有理数，可得()1D x =，则()()1D D x =，当x 为无理数，可得()0D x =，则()()1D D x =，所以()()1D D x =，所以D 正确． 故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.110.752356416(4)−−−++++=________．【答案】414##1104【解析】【分析】根据题意，结合指数幂的运算法则和运算性质，准确化简、运算，即可求解. 【详解】根据指数幂的运算法则和运算性质，可得：11111430.752364353355426416(4)[()](2)(2)22233−−−−+=+−+++⋅ 221141821033444=−+++==． 故答案：414. 14. 已知a ，b 是方程22(ln )3ln 10x x −+=的两个实数根，则log log a b b a +=________． 【答案】52##2.5 【解析】【分析】方法一：利用韦达定理结合换底公式求解；方法二：解方程可得e a =，b =，代入运算求解即可.【详解】方法一：因为a ，b 是方程()22ln 3ln 10x x −+=的两个实数根， 由韦达定理得1ln ln 2a b ⋅=，3ln ln 2a b +=， 则()()()()2222ln ln ln ln 2ln ln ln ln ln ln 5log log 2ln ln ln ln ln ln ln ln 2a b a b a b a ba b b a b a a ba ba ba b++−⋅++=+===−=⋅⋅⋅，即5log log 2a b b a +=；方法二：因为22310t t −+=的根为1t =或12t =， 不妨设ln 1a =，1ln 2b =，则e a =，b =，所以e 15log log log 222e a b b a +==+=．故答案为：52.15. 已知0,0x y >>且2x y xy +=，则2x y +的最小值是__________． 【答案】8 【解析】【分析】运用“1”的代换及基本不等式即可求得结果.为【详解】因为2x y xy +=，所以211x y+=，所以()214222248x y x y x y x y y x +=++=+++≥+=，当且仅当4x y y x =，即4,2x y ==时取等号.所以2x y +的最小值为8. 故答案为：8.16. 记(12)(12)T x y =−−，其中221x y +=，则T 的取值范围是________．【答案】3,32 −+ ． 【解析】【分析】根据基本不等式，结合换元法，将问题转化为213222T t =−− ，t ≤≤上的范围，由二次函数的性质即可求解.【详解】()124T x y xy =−++，设x y t +=，则212t xy −=， 所以221124212t T t t t −=−+⋅=−．因为22x y xy + ≤，所以22124t t −≤．所以t ≤≤又213222T t =−− ，所以当12t =时，T 有最小值32−，当t =T 有最大值3+．故答案为：3,32 −+ 四、解答题：本题共6小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知集合{}(,)|1Ax y y x ==−，{}2(,)|B x y y mx ax m ==++．（1）若1a =−，0m =，求A B ∩；（2）若1a =，且A B ∩≠∅，求实数m 的取值范围．【答案】（1）11,22A B=−（2）[]2,1−． 【解析】【分析】（1）联立两方程，求出交点坐标，得到交集；（2）联立后得到210mx m +++=，分0m =与0m ≠两种情况，，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 若1a =，0m =，则(){},|Bx y y x ==． 由1y x y x =−=− ，得1212x y= =− ． 所以11,22A B =−． 【小问2详解】由()211x y y mx x m −==+++消去y，得210mx m +++=①． 因为A B ∩≠∅，所以方程①有解．当0m =时，方程①可化为1=−，解得x =，所以1y ， 所以0m =符合要求．当0m ≠时，要使方程①有解，必须(()2Δ410m m =−+≥，即220m m +−≤，解得21m −≤≤， 所以21m −≤≤，且0m ≠． 综上所述，m 的取值范围是[]2,1−． 18. 设不等式2514x x −≤−的解集为A ，关于x 的不等式2(2)20x a x a −++≤的解集为B ． （1）求集合A ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[)1,4（2）[)1,4．【解析】【分析】（1）根据题意，结合分式不等式的解法，即可求解；（2）根据题意，转化为B A ，再结合一元二次不等式的解法，分类讨论，求得集合B ，进而求得a 取值范围.【小问1详解】 解：由不等式2514x x −≤−，可得2511044x x x x −−−=≤−−， 即()()140x x −−≤，且4x ≠，所以14x ≤<，所以[)1,4A =．【小问2详解】解：因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，所以集合B 是A 的真子集，由不等式()2220x a x a −++≤，可得()()20x x a −−≤， 当2a <时，不等式的解集为2a x ≤≤，即[],2B a =，因为B A ，则12a ≤<；当2a =时，不等式为2(2)0x −≤，解得2x =，即{}2B =；B A 成立；当2a >时，不等式的解集为2x a ≤≤，即[]2,B a =，因为B A ，则24a <<，综上所述14≤<a ，即a 的取值范围是[)1,4．19. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，2()2f x x x =+，现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示．（1）请将函数()f x 的图象补充完整，并求出()()f x x ∈R 的解析式；（2）求()f x 在区间[],0a 上的最大值．【答案】（1）作图见解析，()222,02,0x x x f x x x x +≤= −+>（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据函数奇函数的对称性，即可根据对称作出函数图象，进而可利用奇函数的定义求解解析式，（2）根据二次函数的性质，结合函数图象即可求解.【小问1详解】作出函数()f x 的图象，如图所示，当0x >时，0x −<，则()()22()22f x x x x x −=−+−=−， 因为()f x 为奇函数，所以()()22f x f x x x =−−=−+， 所以()222,02,0x x x f x x x x +≤= −+>． 【小问2详解】易如()()200f f −==，当2a <−时，()f x 在x a =处有最大值()22f a a a =+； 当20a −≤<时，()f x 在0x =处有最大值()00f =.20. 为了减少能源损耗，某建筑物在屋顶和外墙建造了隔热层，该建筑物每年节省的能源费用h (万元)与的隔热层厚度(cm)x 满足关系式：()()3232020h x x x k=−≤≤+．当隔热层厚度为1cm 时，每年节省费用为16万元，但是隔热层自身需要消耗能源，每年隔热层自身消耗的能源费用g (万元)与隔热层厚度(cm)x 满足关系：()2g x x =．（1）求k 的值；（2）在建造厚度为(cm)x 的隔热层后，每年建筑物真正节省的能源费用为()()()=−f x h x g x ，求每年该建筑物真正节省的能源费用的最大值.【答案】（1）1k =（2）18万元．【解析】【分析】（1）根据()116h =求解出k 值即可；（2）根据条件先表示出()f x ，然后利用基本不等式求解出最大值，注意取等条件.【小问1详解】由题知()116h =，所以3232161k −=+， 解得1k =；【小问2详解】由（1）知，()()32320201h x x x =−≤≤+， 所以()()323220201f x x x x =−−≤≤+， 所以()()()323232212342111f x x x x x −−++=−++= ++， 因为()3221161x x ++≥=+，当且仅当()32211x x =++，即3x =时取等号， 所以()341618f x ≤−=， 所以每年该建筑物真正节省的能源费用的最大值为18万元．21. 已知23()21x x a f x −−=+， （1）若定义在R 上的函数()ln ()g x f x =是奇函数，求a 的值；（2）若函数()()h x f x a =+在(1,)−+∞上有两个零点，求a 的取值范围．的【答案】（1）13− （2）41,3【解析】【分析】（1）根据题意，结合()()0g x g x −+=，得出方程，进而求得实数a 的值； （2）令()0h x =，得到()23210x x a a −−++=，得到()222210x x a a −⋅+=，令2x t =，转化方程可化为2210at at −+=1,2 +∞上有两个不相等的根， 方法一：设()221p t at at =−+，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解；方法二：把方程化为()211a t a −−=，求得1t =±，结合11,2 +∞，即可求解. 【小问1详解】 解：因为()g x 是奇函数，所以()()2323ln ln 02121x x x x a a g x g x −−−−−+=+=++， 可得232312121x x x x a a −−−−⋅=++，即()()2312291x x a a −++=−恒成立， 因为220x x −+≠，所以310a +=且2910a −=，所以13a =−． 【小问2详解】 解：由232()()1x x h a x f a a x −=+−=++，令()0h x =，可得23021x x a a −−+=+， 所以()23210x x a a −−++=， 两边同乘以2x 并整理，得()222210x x a a −⋅+=． 令2x t =，因为1x >−，所以12t >， 于是方程可化为2210at at −+=，（*） 问题转化为关于t 的方程（*）在1,2 +∞上有两个不相等的根，显然0a ≠， 方法一：设()221p t at at =−+，抛物线的对称轴为1t =，()01p =．若a<0，由()00p >知，()p t 必有一个零点为负数，不合题意； 若0a >，要使()p t 在1,2 +∞ 上有两个零点，由于对数轴112t =>， 故只需2102Δ440p a a > =−> ，即31044(1)0a a a −> −> ，解得413a <<． 综上可得，实数a 的取值范围是41,3． 方法二：方程（*）可化为()211a t a −=−，若0a =，则01=−，矛盾，故0a ≠，故()211a t a −−=， 所以10a a−>，即a<0或1a >，①此时，1t −=，即1t =±，其中11,2 +∞ ，则112−>12<，即114a a −<，可得340a a −<，解得403a << ② 由①②得a 的取值范围是41,3． 22. 定义在R 上函数()f x 满足如下条件：①()()()4f x y f x f y +=+−；②(2)6f =；③当0x >时，()4f x >．（1）求(0)f ，判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论； （2）当[)0,x ∈+∞时，不等式()()()ln 3e 122ln 310x f a f x a −++−−≤ 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()04f =，函数()f x 在R 上为增函数，证明见解析 （2）[]1,3【解析】的【分析】（1）令2,0x y ==，求得()04f =，再根据函数单调性的定义和判定方法，证得函数()f x 在R 上为增函数；（2）根据题意，转化为不等式()ln 3e 12ln 30x a x a −+−−≤ （*）对于任意[)0,x ∈+∞成立，由对数函数的性质，求得03a <≤，再由不等式()23e 3e 10x x a a +−−≥成立，转化为max 1e x a ≥ 对于任意[)0,x ∈+∞成立，求得1a ≥，即可求得实数a 的取值范围．【小问1详解】解：令2x =，0y =，可得()04f =．函数()f x 在R 上为增函数，证明如下：设12x x <，因为()()()4f x y f x f y +−=−，令1x y x +=，2x x =，则21y x x =−，可得()()()21214f x f x f x x −=−−， 因为210x x −>，所以()214f x x −>，所以()2140f x x −−>， 所以()()210f x f x −>，即()()21f x f x >， 所以函数()f x 在R【小问2详解】解：由条件有()()()4f x f y f x y +=++，则不等式可化为()()ln 3e 122ln 3410x f a x a −++−−+≤ ，即()()ln 3e 122ln 36x f a x a −++−−≤ ， 又由()26f =，所以()()()ln 3e 122ln 32xf a x a f −++−−≤ ， 因为函数()f x 在R 上为增函数，可得()ln 3e 122ln 32x a x a −++−−≤即()ln 3e 12ln 30x a x a −+−−≤ （*）对于任意[)0,x ∈+∞成立， 根据对数函数的性质，可得()3e 10x a −+>，30a >对于任意[)0,x ∈+∞成立，则13e 0x a a <+ >，因为0x ≥，则e 1x ≥，所以101e x <≤， 可得1334ex <+≤，所以03a <≤ ①， 又由（*）式可化为()()2ln 3e 12ln 3ln 3e x x a x a a −+≤+= ， 即对于任意[)0,x ∈+∞，()23e 13e x xa a −+≤成立，即()23e 3e 10x x a a +−−≥成立， 即对于任意[)0,x ∈+∞，()()3e 1e 10x x a +−≥成立， 因为3e 10x +>，所以e 10x a −≥对于任意[)0,x ∈+∞成立， 即max1e x a ≥ 对于任意[)0,x ∈+∞成立，所以1a ≥ ②． 由①②，可得13a ≤≤，所以实数a 的取值范围为[]1,3．。

2023-2024学年北京师大附属实验中学高一（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合A ＝{x |x ＝2k +1，k ∈Z }，B ＝{x |﹣2＜x ＜4}，那么A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1，1}B ．{1，3}C ．{﹣1，1，3}D ．{0，2，4}2．函数f （x ）=√1−x 2的定义域是（ ） A ．[﹣1，1]B ．（﹣1，1）C ．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）3．下列函数中，在定义域内既是奇函数，又是增函数的是（ ） A ．y ＝x 2B ．y ＝x +1C ．y =−1xD ．y ＝x 34．已知x ＞0，则x +9x的最小值为（ ） A ．﹣3B ．3C ．6D ．105．已知函数f(x)={x 2−1，x ≥1，x −2，x ＜1．若f （a ）＝3，则a ＝（ ）A ．±2B ．2C ．﹣2D ．56．已知函数f （x ）是定义在[﹣6，6]上的偶函数，且在[0，6]上单调递增．以下结论正确的是（ ） A ．f （﹣5）＞f （π）＞f （﹣2） B ．f （π）＞f （﹣2）＞f （﹣5） C ．f （π）＞f （﹣5）＞f （﹣2）D ．f （﹣5）＞f （﹣2）＞f （π）7．已知函数y ＝f （x ）图象是连续不断的，并且是R 上的增函数，有如下的对应值表以下说法中错误的是（ ） A ．f （0）＜0B ．当x ＞2时，f （x ）＞0C ．函数f （x ）有且仅有一个零点D ．函数g （x ）＝f （x ）+x 可能无零点8．已知f （x ）是定义在R 上的函数，那么“存在实数M ，使得对任意x ∈R 总有f （x ）≤M ”是“函数f （x ）存在最大值”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．数学里有一种证明方法为无字证明，是指仅用图形而无需文字解释就能不证自明的数学命题．在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形ABCD 为矩形，△BCE 为等腰直角三角形，设AB =√a ，BC =√b(b ≥a ＞0)，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（ ）A ．a+b 2≥√abB ．2aba+b ≤√ab C ．a 2+b 2≥2√abD ．a+b 2≤√a 2+b 2210．将5个1，5个2，5个3，5个4，5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入1个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2，设第k 行的所有数的和为r k （k ＝1，2，3，4，5），m 为r 1，r 2，r 3，r 4，r 5中的最小值，则m 的最大值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．11二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

北京师大附中2019-2020学年上学期期中考试高一数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填在答题卡上）1．设集合A={﹣1，0，1}，B={x ∈R|x ＞0}，则A ∩B=（ ）A ．{﹣1，0}B ．{﹣1}C ．{0，1}D ．{1}2．函数的定义域是（ ）A ．（﹣∞，2）B ．[2，+∞）C ．（﹣∞，2]D ．（2，+∞）3．已知幂函数y=f （x ）的图象过点（，），则f （2）的值为（ ）A ．B ．﹣C ．2D ．﹣24．已知a=log 20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．a ＜c ＜bD ．b ＜c ＜a5．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（ ）A ．y=2x 3B ．y=|x|+1C ．y=﹣x 2+4D ．y=2﹣|x|6．设函数y=x 3与y=（）x 的图象的交点为（x 0，y 0），则x 0所在的区间是（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）7．已知函数f （x ）是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）=x 3﹣2x 2，则x ＜0时，函数f （x ）的表达式为f （x ）=（ ）A ．x 3+2x 2B ．x 3﹣2x 2C ．﹣x 3+2x 2D ．﹣x 3﹣2x 28．函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x 关于y 轴对称，则f （x ）=（ ）A ．e x+1B ．e x ﹣1C ．e ﹣x+1D ．e ﹣x ﹣1二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在答题纸上）9．满足关系式{2，3}⊆A ⊆{1，2，3，4}的集合A 的个数是 ．10．函数f （x ）=2a x+1﹣3（a ＞0，且a ≠1）的图象经过的定点坐标是 ．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 升．12．已知定义域为（0，+∞）的函数f （x ）满足：（1）对任意x ∈（0，+∞），恒有f （2x ）=2f （x ）成立；（2）当x ∈（1，2]时，f （x ）=2﹣x ．给出如下结论：①对任意m ∈Z ，有f （2m ）=0；②函数f （x ）的值域为[0，+∞）；③存在n ∈Z ，使得f （2n +1）=9；④“函数f （x ）在区间（a ，b ）上单调递减”的充要条件是“存在k ∈Z ，使得（a ，b ）⊆（2k ，2k+1）”；其中所有正确结论的序号是 ．三.解答题（本大题共3小题，共40分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上）13．A={x|x 2﹣3x+2=0}，B={x|ax ﹣2=0}，若B ⊆A ，求a ．14．已知函数且f（1）=2．（1）求实数k的值及函数的定义域；（2）判断函数在（1，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．15．已知二次函数f（x）的图象过点（0，4），对任意x满足f（3﹣x）=f（x），且有最小值是．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数h（x）=f（x）﹣（2t﹣3）x在区间[0，1]上的最小值，其中t∈R；（3）在区间[﹣1，3]上，y=f（x）的图象恒在函数y=2x+m的图象上方，试确定实数m的范围．四、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案的序号填在答题纸上）（x+1）的解集是．16．如图，函数f（x）的图象为折线 AC B，则不等式f（x）≥log217．函数的单调递增区间是．18．（lg2）2+lg2•lg5+的值为．19．设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．五、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上）20．为配合国庆黄金周，促进旅游经济的发展，某火车站在调查中发现：开始售票前，已有a人在排队等候购票．开始售票后，排队的人数平均每分钟增加b人．假设每个窗口的售票速度为c人/min，且当开放2个窗口时，25min后恰好不会出现排队现象（即排队的人刚好购完）；若同时开放3个窗口，则15min后恰好不会出现排队现象．若要求售票10min后不会出现排队现象，则至少需要同时开几个窗口？21．已知定义域为R的函数是奇函数．（1）求f（x）；（2）判断函数f（x）的单调性（不必证明）；（3）解不等式f（|x|+1）+f（x）＜0．22．对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．（1）证明：[0，1]是函数y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．（2）求证：函数不存在“和谐区间”．（3）已知：函数（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n ﹣m的最大值．北京师大附中2019-2020学年上学期期中考试高一数学试卷参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填在答题卡上）1．设集合A={﹣1，0，1}，B={x∈R|x＞0}，则A∩B=（）A．{﹣1，0} B．{﹣1} C．{0，1} D．{1}【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={x∈R|x＞0}，∴A∩B={1}，故选：D．2．函数的定义域是（）A．（﹣∞，2）B．[2，+∞）C．（﹣∞，2] D．（2，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】：根据函数有意义的条件可知求解即可【解答】解：根据函数有意义的条件可知∴x＞2故选：D3．已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（2）的值为（）A．B．﹣C．2 D．﹣2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】设幂函数y=f（x）=xα，把点（，）代入可得α的值，求出幂函数的解析式，从而求得f（2）的值．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，把点（，）代入可得=α，∴α=，即f（x）=，故f（2）==，故选：A．4．已知a=log0.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是（）2A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．a ＜c ＜bD ．b ＜c ＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】看清对数的底数，底数大于1，对数是一个增函数，0.3的对数小于1的对数，得到a 小于0，根据指数函数的性质，得到b 大于1，而c 小于1，根据三个数字与0，1之间的关系，得到它们的大小关系．【解答】解：由对数和指数的性质可知，∵a=log 20.3＜0b=20.1＞20=1c=0.21.3 ＜ 0.20=1∴a ＜c ＜b故选C ．5．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（ ）A ．y=2x 3B ．y=|x|+1C ．y=﹣x 2+4D ．y=2﹣|x|【考点】函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质．【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义和性质，对选项一一加以判断，即可得到既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数．【解答】解：对于A ．y=2x 3，由f （﹣x ）=﹣2x 3=﹣f （x ），为奇函数，故排除A ；对于B ．y=|x|+1，由f （﹣x ）=|﹣x|+1=f （x ），为偶函数，当x ＞0时，y=x+1，是增函数，故B 正确； 对于C ．y=﹣x 2+4，有f （﹣x ）=f （x ），是偶函数，但x ＞0时为减函数，故排除C ；对于D ．y=2﹣|x|，有f （﹣x ）=f （x ），是偶函数，当x ＞0时，y=2﹣x ，为减函数，故排除D ．故选B ．6．设函数y=x 3与y=（）x 的图象的交点为（x 0，y 0），则x 0所在的区间是（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）【考点】幂函数的图象；指数函数的图象与性质．【分析】构造函数f （x ）=x 3﹣，利用零点存在定理判断即可．【解答】解：令f （x ）=x 3﹣，∵f ′（x ）=3x 2﹣ln =3x 2+ln2＞0，∴f （x ）=x 3﹣在R 上单调递增； 又f （1）=1﹣=＞0，f （0）=0﹣1=﹣1＜0，∴f （x ）=x 3﹣的零点在（0，1），∵函数y=x 3与y=（）x 的图象的交点为（x 0，y 0），∴x 0所在的区间是（0，1）．故答案为：A ．7．已知函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2，则x＜0时，函数f（x）的表达式为f（x）=（）A．x3+2x2B．x3﹣2x2C．﹣x3+2x2D．﹣x3﹣2x2【考点】函数奇偶性的性质．【分析】设x＜0时，则﹣x＞0，我们知道当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2，所以可求f（﹣x）=﹣x3﹣2x2，再由奇函数知f（x）=﹣f（﹣x）即可求解．【解答】解：设x＜0时，则﹣x＞0，因为当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2所以f（﹣x）=（﹣x）3﹣2（﹣x）2=﹣x3﹣2x2，又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），所以当x＜0时，函数f（x）的表达式为f（x）=x3+2x2，故选A．8．函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x关于y轴对称，则f（x）=（）A．e x+1B．e x﹣1C．e﹣x+1 D．e﹣x﹣1【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的图象与图象变化．【分析】首先求出与函数y=e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式，然后换x为x+1即可得到要求的答案．【解答】解：函数y=e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=e﹣x，而函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x的图象关于y轴对称，所以函数f（x）的解析式为y=e﹣（x+1）=e﹣x﹣1．即f（x）=e﹣x﹣1．故选D．二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在答题纸上）9．满足关系式{2，3}⊆A⊆{1，2，3，4}的集合A的个数是 4 ．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由题意一一列举出集合A的情况即可．【解答】解：由题意知，满足关系式{2，3}⊆A⊆{1，2，3，4}的集合A有：{2，3}，{2，3，1}，{2，3，4}，{2，3，1，4}，故共有4个，故答案为：4．10．函数f（x）=2a x+1﹣3（a＞0，且a≠1）的图象经过的定点坐标是（﹣1，﹣1）．【考点】指数函数的图象变换．【分析】根据指数函数的图象和性质即可得到结论．【解答】解：由指数幂的性质可知，令x+1=0得x=﹣1，此时f（﹣1）=2﹣3=﹣1，即函数f（x）的图象经过的定点坐标是（﹣1，﹣1），故答案为：（﹣1，﹣1）．注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为8 升．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，由此得到该车每100千米平均耗油量．【解答】解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8．故答案是：8．12．已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．给出如下结论：①对任意m∈Z，有f（2m）=0；②函数f（x）的值域为[0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k，2k+1）”；其中所有正确结论的序号是①②④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据定义可求出f（2）=0，再逐步递推f（2m）=f（2•2m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2）=0；②分区间分别讨论，得出在定义域内函数的值域；③根据②的结论x∈（2m，2m+1），f（x）=2m+1﹣x，求出f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1=2n﹣1，再判断是否存在n值；④由②的结论x∈（2m，2m+1），f（x）=2m+1﹣x显然可得结论．【解答】解：∵x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．∴f（2）=0．f（1）=f（2）=0．∵f（2x）=2f（x），∴f（2k x）=2k f（x）．①f（2m）=f（2•2m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2）=0，故正确；②设x∈（2，4]时，则x∈（1，2]，∴f（x）=2f（）=4﹣x≥0．若x∈（4，8]时，则x∈（2，4]，∴f（x）=2f（）=8﹣x≥0．…一般地当x∈（2m，2m+1），则∈（1，2]，f（x）=2m+1﹣x≥0，从而f（x）∈[0，+∞），故正确；③由②知当x∈（2m，2m+1），f（x）=2m+1﹣x≥0，∴f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1=2n﹣1，假设存在n使f（2n+1）=9，即2n﹣1=9，∴2n=10，∵n∈Z，∴2n=10不成立，故错误；④由②知当x∈（2k，2k+1）时，f（x）=2k+1﹣x单调递减，为减函数，∴若（a，b）⊆（2k，2k+1）”，则“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”，故正确．故答案为：①②④．三.解答题（本大题共3小题，共40分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上）13．A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|ax﹣2=0}，若B⊆A，求a．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】解一元二次方程先化简集合A ，再由子集的定义分集合B 是否为空集两种情况讨论，最后综合讨论结果求解．【解答】解：解：集合A={x|x 2﹣3x+2=0}={1，2}∵B ⊆A ，∴（1）B=∅时，a=0（2）当B={1}时，a=2（3））当B={2}时，a=1故a 值为：2或1或0．14．已知函数且f （1）=2．（1）求实数k 的值及函数的定义域；（2）判断函数在（1，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．【考点】函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）由f （1）=2便可求出k=1，并容易求出函数f （x ）的定义域；（2）可以判断在（1，+∞）上为增函数，根据增函数的定义，设任意的x 1＞x 2＞1，然后作差，通分，提取公因式，从而可证明f （x 1）＞f （x 2），这便可得出f （x ）在（1，+∞）上为增函数．【解答】解：（1）f （1）=1+k=2；∴k=1，，定义域为{x ∈R|x ≠0}；（2）为增函数；证明：设x 1＞x 2＞1，则：==；∵x 1＞x 2＞1；∴x 1﹣x 2＞0，，； ∴f （x 1）＞f （x 2）；∴f （x ）在（1，+∞）上为增函数．15．已知二次函数f （x ）的图象过点（0，4），对任意x 满足f （3﹣x ）=f （x ），且有最小值是．（1）求f （x ）的解析式；（2）求函数h （x ）=f （x ）﹣（2t ﹣3）x 在区间[0，1]上的最小值，其中t ∈R ；（3）在区间[﹣1，3]上，y=f （x ）的图象恒在函数y=2x+m 的图象上方，试确定实数m 的范围．【考点】二次函数的性质．【分析】本题（1）用待定系数法设出函数解析式，利用条件图象过点（0，4），f （3﹣x ）=f （x ），最小值得到三个方程，解方程组得到本题结论；（2）分类讨论研究二次函数在区间上的最小值，得到本题结论；（3）将条件转化为恒成立问题，利用参变量分离，求出函数的最小值，得到本题结论．【解答】解：（1）二次函数f（x）图象经过点（0，4），任意x满足f（3﹣x）=f（x）则对称轴x=，f（x）存在最小值，则二次项系数a＞0设f（x）=a（x﹣）2+．将点（0，4）代入得：f（0）=，解得：a=1∴f（x）=（x﹣）2+=x2﹣3x+4．（2）h（x）=f（x）﹣（2t﹣3）x=x2﹣2tx+4=（x﹣t）2+4﹣t2，x∈[0，1]．当对称轴x=t≤0时，h（x）在x=0处取得最小值h（0）=4；当对称轴0＜x=t＜1时，h（x）在x=t处取得最小值h（t）=4﹣t2；当对称轴x=t≥1时，h（x）在x=1处取得最小值h（1）=1﹣2t+4=﹣2t+5．综上所述：当t≤0时，最小值4；当0＜t＜1时，最小值4﹣t2；当t≥1时，最小值﹣2t+5．∴．（3）由已知：f（x）＞2x+m对于x∈[﹣1，3]恒成立，∴m＜x2﹣5x+4对x∈[﹣1，3]恒成立，∵g（x）=x2﹣5x+4在x∈[﹣1，3]上的最小值为，∴m＜．四、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案的序号填在答题纸上）（x+1）的解集是（﹣1，1] ．16．如图，函数f（x）的图象为折线 AC B，则不等式f（x）≥log2【考点】函数的图象．【分析】在同一坐标系中画出函数f（x）和函数y=log（x+1）的图象，数形结合可得答案．2【解答】解：在同一坐标系中画出函数f（x）和函数y=log（x+1）的图象，如图所示：2（x+1）的解集是：（﹣1，1]，．由图可得不等式f（x）≥log2故答案为：（﹣1，1]17．函数的单调递增区间是[2，3）．【考点】复合函数的单调性．【分析】令t=﹣3+4x﹣x2＞0，求得函数的定义域，结合y=，本题即求函数t在（1，3）上的减区间，再利用二次函数的性质可得结论．【解答】解：令t=﹣3+4x﹣x2＞0，求得1＜x＜3，则y=，本题即求函数t在（1，3）上的减区间．利用二次函数的性质可得函数t在（1，3）上的减区间为[2，3），故答案为：[2，3）．18．（lg2）2+lg2•lg5+的值为 1 ．【考点】对数的运算性质．【分析】根据lg2+lg5=1，进行计算即可．【解答】解：（lg2）2+lg2•lg5+=lg2（lg2+lg5）+lg5=lg2+lg5=1，故答案为：1．19．设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为﹣1 ；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是≤a＜1或a≥2 ．【考点】函数的零点；分段函数的应用．【分析】①分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；②分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围．【解答】解：①当a=1时，f （x ）=，当x ＜1时，f （x ）=2x ﹣1为增函数，f （x ）＞﹣1，当x ＞1时，f （x ）=4（x ﹣1）（x ﹣2）=4（x 2﹣3x+2）=4（x ﹣）2﹣1，当1＜x ＜时，函数单调递减，当x ＞时，函数单调递增，故当x=时，f （x ）min =f （）=﹣1，②设h （x ）=2x ﹣a ，g （x ）=4（x ﹣a ）（x ﹣2a ）若在x ＜1时，h （x ）=与x 轴有一个交点，所以a ＞0，并且当x=1时，h （1）=2﹣a ＞0，所以0＜a ＜2，而函数g （x ）=4（x ﹣a ）（x ﹣2a ）有一个交点，所以2a ≥1，且a ＜1，所以≤a ＜1，若函数h （x ）=2x ﹣a 在x ＜1时，与x 轴没有交点，则函数g （x ）=4（x ﹣a ）（x ﹣2a ）有两个交点，当a ≤0时，h （x ）与x 轴无交点，g （x ）无交点，所以不满足题意（舍去），当h （1）=2﹣a ≤0时，即a ≥2时，g （x ）的两个交点满足x 1=a ，x 2=2a ，都是满足题意的，综上所述a 的取值范围是≤a ＜1，或a ≥2．五、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上）20．为配合国庆黄金周，促进旅游经济的发展，某火车站在调查中发现：开始售票前，已有a 人在排队等候购票．开始售票后，排队的人数平均每分钟增加b 人．假设每个窗口的售票速度为c 人/min ，且当开放2个窗口时，25min 后恰好不会出现排队现象（即排队的人刚好购完）；若同时开放3个窗口，则15min 后恰好不会出现排队现象．若要求售票10min 后不会出现排队现象，则至少需要同时开几个窗口？【考点】根据实际问题选择函数类型；简单线性规划．【分析】根据条件建立不等式关系，进行求解即可．【解答】解：设至少需要同时开x 个窗口，则根据题意有，．由①②得，c=2b ，a=75b ，代入③得，75b+10b ≤20bx ，∴x ≥， 即至少同时开5个窗口才能满足要求．21．已知定义域为R 的函数是奇函数．（1）求f （x ）；（2）判断函数f （x ）的单调性（不必证明）；（3）解不等式f （|x|+1）+f （x ）＜0．【考点】函数单调性的判断与证明；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）根据f（x）是R上的奇函数，f（0）=0，求出b的值1即可；（2）化简f（x），判断f（x）在R上为减函数；（3）利用f（x）的单调性与奇偶性，化简不等式并求出解集．【解答】解：（1）因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）=0，即=0，解得b=1；从而有；…经检验，符合题意；…（2）由（1）知，f（x）==﹣+；由y=2x的单调性可推知f（x）在R上为减函数；…（3）因为f（x）在R上为减函数且是奇函数，从而不等式f（1+|x|）+f（x）＜0等价于f（1+|x|）＜﹣f（x），即f（1+|x|）＜f（﹣x）；…又因f（x）是R上的减函数，由上式推得1+|x|＞﹣x，…解得x∈R．…22．对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．（1）证明：[0，1]是函数y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．（2）求证：函数不存在“和谐区间”．（3）已知：函数（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n﹣m的最大值．【考点】函数单调性的性质．【分析】（1）根据二次函数的性质，我们可以得出y=f（x）=x2在区间[0，1]上单调递增，且值域也为[0，1]满足“和谐区间”的定义，即可得到结论．（2）该问题是一个确定性问题，从正面证明有一定的难度，故可采用反证法来进行证明，即先假设区间[m，n]为函数的“和谐区间”，然后根据函数的性质得到矛盾，进而得到假设不成立，原命题成立．（3）设[m，n]是已知函数定义域的子集，我们可以用a表示出n﹣m的取值，转化为二次函数的最值问题后，根据二次函数的性质，可以得到答案．【解答】解：（1）∵y=x2在区间[0，1]上单调递增．又f（0）=0，f（1）=1，∴值域为[0，1]，∴区间[0，1]是y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集．∵x≠0，[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），故函数在[m，n]上单调递增．若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则故m、n是方程的同号的相异实数根．∵x2﹣3x+5=0无实数根，∴函数不存在“和谐区间”．（3）设[m，n]是已知函数定义域的子集．∵x≠0，[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），故函数在[m，n]上单调递增．若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则故m、n是方程，即a2x2﹣（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根．∵，∴m，n同号，只须△=a2（a+3）（a﹣1）＞0，即a＞1或a＜﹣3时，已知函数有“和谐区间”[m，n]，∵，∴当a=3时，n﹣m取最大值。

一第I 2024-2025学年广东省深圳市高一上学期期中考试数学检测试题卷､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 已知集合{}3,1,1,3,{24}A B x x =--=-<<∣，那么A B = （ ）A. {}1,1- B. {}1,3 C. {}1,1,3- D. {}0,2,4【答案】C【解析】【分析】根据交集知识来求得正确答案.【详解】依题意，{}1,1,3A B ⋂=-.故选：C2. 函数()1f x x =的定义域是（ ）A. [)1,-+∞ B. [)1,0- C. [)()1,00,-+∞ D. ()(),00,-∞+∞ 【答案】C【解析】【分析】根据根式和分式性质，列不等式即可求解.【详解】()1f x x =+的定义域需满足100x x +≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≥-且0x ≠，故定义域为[)()1,00,-+∞ ，故选：C3. 若幂函数()y f x =的图象经过点，则(5)f 的值是（ ）A.B. C. 15 D. 25【答案】A【解析】.的的【分析】设()a f x x =，由已知条件可得()2f =，求出a 的值，可得出函数()f x 的解析式，进而可求得(5)f 的值.【详解】设()a f x x =，则()22a f ==12a =，故()f x =(5)f =.故选：A.4. 已知函数()2132f x x +=+，则()2f 的值等于（ ）A. 2B. 5C. 11D. 1-【答案】B【解析】【分析】令12x +=，求出x 的值，代入解析式中可得结果．【详解】令12x +=，求出1x =，则()223125f =⨯+=.故选：B5. 已知函数()322,11,1x x f x x x -⎧>=⎨+≤⎩，则()()3f f =（ ）A. 2B. 1C. 12D. 14【答案】A【解析】【分析】先求出()3f ，进而可得出答案.【详解】由()322,11,1x x f x x x -⎧>=⎨+≤⎩，得()33321f -==，所以()()()231112f f f ==+=.故选：A.6. 下列四个命题中为真命题的是（ ）A. ,143x x ∃∈<<Z B. ,510x x ∃∈+=Z C. 2,10x x ∀∈-≠R D. 2,20x x x ∀∈++>R 【答案】D【解析】【分析】根据全称量词命题、存在量词命题的知识对选项进行分析，从而确定正确答案【详解】A 选项，由143x <<得1344x <<，x 不是整数，所以A 选项错误.B 选项，由510x +=得15x =-，x 不是整数，所以A 选项错误.C 选项，1x =或1x =-时，210x -=，所以C 选项错误.D 选项，由于22172024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，所以D 选项正确.故选：D7. 已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，则()()03f f +等于（ ）A. 3- B. 1- C. 1 D. 3【答案】C【解析】【分析】根据(3)f (3)f =--以及(0)0f =可求出结果.【详解】因为函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，所以()()()33321f f =--=--+=．而()00f =，∴()()031f f +=．故选：C ．8. 已知关于x 的一元二次不等式2210kx x -+<的解集为(),m n ，则43m n +-的最小值是（ ）A. 32 B.3 C. 92 D. 6【答案】A【解析】【分析】根据不等式与对应方程的关系，结合根与系数的关系，得出m 与n 的关系式，再利用基本不等式求43m n +-的最小值．【详解】因为(),m n 是不等式2210kx x -+<的解集，所以,m n 是方程2210kx x -+=的两个实数根且0k >，所以2m n k +=，1mn k =，所以112m n mn m n=++=，且0m >，0n >；所以111141194(4)()(5)(5(54)22222n m m n m n m n m n +=⋅+⋅+=⋅++≥+=⨯+=，当且仅当322n m ==时“=”成立；所以43m n +-的最小值为93322-=．故选：A ．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法中，正确的是（ ）A. 若b a <，则11a b<B. 若22ac bc >，则a b>C. 若0b a <<，则22b a >D. 若,a bcd ><，则a c b d->-【答案】BCD【解析】【分析】利用特殊值以及不等式的性质来确定正确答案.【详解】A 选项，111,1,,b a b a a b=-=<>，所以A 选项错误.B 选项，若22ac bc >，则20c >，则a b >，所以B 选项正确.C 选项，若0b a <<，则()()22220,b a b a b a b a -=+->>，所以C 选项正确.D 选项，若,a b c d ><，则c d ->-，所以a c b d ->-，所以D 选项正确.故选：BCD10. 若正实数a ，b 满足21a b +=，则下列说法正确的是（ ）A. 12a b+有最小值9 B. 24a b +的最小值是C. ab 有最大值18 D. 22a b +最小值是25【答案】ABC 的【解析】【分析】根据基本不等式求最值后判断．【详解】()1212222559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当2213b a a b a b =⇒==时等号成立，A 对；22422a b a b +=+≥=，当且仅当222a b =，即1124a b ==，时等号成立，B 对；21a b +=≥，则18ab ≤，当且仅当2a b =，即1124a b ==，时等号成立，C 对；由12a b =-，则222221541555a b b b b ⎛⎫+=-+=-+ ⎪⎝⎭，而102b <<，所以2215a b +≥，当且仅当25b =时等号成立，D 错.故选：ABC 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数.例如：[ 3.2]4-=-，[2.3]2=.已知函数21()122x x f x =-+，则关于函数()[()]g x f x =的叙述中正确的是（ ）A. ()f x 是奇函数B. ()f x 在R 上是减函数C. ()g x 是偶函数D. ()g x 的值域是{}1,0-【答案】AD【解析】【分析】利用奇偶性的定义判断可选项A ，C ，由函数单调性的结论可判断选项B ，由函数单调性求出()f x 的取值范围，结合定义可得()g x 的值域可判断选项D ．【详解】对于选项A ：因为函数11()112221122x x x f x =-=--=++11212x -+，x ∈R ，可得()121()1221221x x x f x f x ---=-=-=-++，所以函数()f x 为奇函数，故A 正确；对于选项B ：因为12x y =+、112=-+x y 在R 上是增函数，所以()11212xf x =-+在R 上是增函数，故B 错误；对于选项C ：因为()11212x f x =-+，则()()11g f ==⎡⎤⎣⎦106⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()()11g f -=-=⎡⎤⎣⎦116⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦，即()()11g g -≠，所以函数()g x 不是偶函数，故C 错误；对于选项D ：因为121x +>，则10112x <<+，可得11()22f x -<<，所以()[()]g x f x =的值域为{}1,0-，故D 正确．故选：AD ．第II 卷三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12. 已知函数()1(0xf x a a =+>且1)a ≠，则函数()f x 的图象恒过定点的坐标为__________.【答案】()0,2【解析】【分析】根据指数型函数的定点的求法求得正确答案.【详解】由于()0012f a =+=，所以定点坐标为()0,2.故答案为：()0,213. 求值：121081(0.1)2)16-⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭__________.【答案】252##12.5【解析】【分析】利用指数幕的运算性质直接求解即可．【详解】1210811925(0.1)2)101110160.142-⎛⎫⎛⎫⨯--=-⨯=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：252##12.5.14. 已知函数()0.50.5f x x x -=+，若()3f a =，则()2f a =__________，若关于x 的不等式()()24110mf x f x --≤在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，则实数m 的取值范围是__________.【答案】 ①. 7 ②. 13,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】3=，两边平方整理可得17a a +=，即()217f a a a =+=.利用换元法，结合分离参数，问题转化成9m t t ≤+在103,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦能成立，求实数m 的取值范围.【详解】()()0.50.5,3f x x x f a -=+=+=，故17a a +=，所以()217f a a a =+=.()()24110mf x f x --≤，即2211110m x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设111,,3,2x t x y x x x ⎡⎤+=∈=+⎢⎥⎣⎦在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(]1,3上单调递增，故222210112,,223t x x t x x ⎡⎤⎛⎫∈+=+-=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，故290mt t --≤，故9m t t ≤+，不等式()()24110mf x f x --≤在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，即9m t t ≤+在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，函数()9y g t t t ==+在[)2,3上单调递减，在103,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()max 101318113()max 2,max ,32302g t g g ⎧⎫⎛⎫⎧⎫===⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭，故132m ≤.故答案为：7；13,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦.【点睛】关键点点睛：应用换元法解决问题时，一定要注意新元的取值范围.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15. 已知集合{}{}5,16A x a x a B x x =≤≤+=-≤≤∣∣，全集U =R .（1）当0a =时，求()U A B ð；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{0xx ≤<∣-1或56}x <≤ （2）11a -≤≤【解析】【分析】（1）将0a =代入再由集合的交、补运算即可求解；（2）由“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，得A B ⊆，再利用集合的包含关系即可求解.小问1详解】当0a =时，集合{}05A x x =≤≤∣{0U A x x =<∣ð或5}x >，()U A B ð{0∣-1=≤<xx 或56}x <≤ ；【小问2详解】由“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，得A B ⊆，因为5a a <+，所以A ≠∅则由A B ⊆，得1a ≥-且56a +≤，解得11a -≤≤，所以实数a 的取值范围是11a -≤≤.16. 已知函数()2f x mx n =+，满足()()01,13f f =-=（1）求函数()f x 的解析式；（2）求不等式()2f x x ->的解集；（3）对于R x ∈，不等式()0f x ax ->恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()221f x x =+ （2）{1|2x x <-或 1}>x （3）(-【解析】【分析】（1）将已知条件代入求出,m n 即可求解；（2）由（1）可知()221f x x =+，则解不等式即可求解；【（3）将不等式转化为2210x ax -+>恒成立，因为()221f x x ax =-+开口向上，根据0∆<即可求解.【小问1详解】由函数()2f x mx n =+，满足()()01,13f f =-=，()()220011(1)3f m n f m n ⎧=⋅+=⎪⎨-=⋅-+=⎪⎩，解得21m n =⎧⎨=⎩，故函数()f x 的解析式为：()221f x x =+.【小问2详解】由（1）知()221f x x =+，即不等式转化为2210x x -->，则()()1210x x -+>，所以不等式的解集{1|2x x <-或 1}>x .【小问3详解】不等式转化为2210x ax -+>恒成立，因为()221f x x ax =-+开口向上，可得280a ∆=-<，解之可得a -<<，所以实数a 的取值范围是(-.17. 某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到x 元.公司拟投入21(600)6x -万元.作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入5x 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a 至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价.【答案】（1）40元 （2）10.2万件，30元【解析】【分析】（1）设每件定价为t 元，求出原销售收入和新销售收入后列不等式求解；（2）列出不等关系21125850(600)56ax x x ≥⨯+++-，分离参数得1501165a x x ≥++，从而利用基本不等式即可得解.【小问1详解】依题意，设每件定价为()25t t ≥元，得()8250.2258t t --⨯≥⨯⎡⎤⎣⎦，整理得26510000t t -+≤，解得2540t ≤≤.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.【小问2详解】依题意知当25x >时，不等式21125850(600)56ax x x ≥⨯+++-有解，等价于25x >时，1501165a x x ≥++有解，由于1501106x x +≥=，当且仅当15016x x =，即30x =时等号成立，所以10.2a ≥，当该商品改革后销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.18. 已知函数()23f x x ax a =++-，a ∈R ．（1）若()f x 过点(2,6)P ，求()f x 解析式；（2）若()y f x =．（ⅰ）当[]13,x ∈-函数()f x 不单调，求a 的取值范围；（ⅱ）当[]0,2x ∈函数()f x 的最小值是关于a 的函数()m a ，求()m a 表达式【答案】（1）()24f x x x =-+ （2）（ⅰ）()6,2-；（ⅱ）()23,013,4047,4a a m a a a a a a ->⎧⎪⎪=--+-≤≤⎨⎪+<-⎪⎩【解析】【分析】（1）根据题意，将点(2,6)P 代入函数的解析式，求得1a =-，即可求解；（2）（ⅰ）根据题意，结合二次函数的图象与性质，列出不等式132a -<-<，即可求解；（ⅱ）由（ⅰ）知，对称轴为2a x =-，结合二次函数性质，分<02a -，022a ≤-≤和>22a -，三种情况讨论，即可求解.【小问1详解】因为函数()23f x x ax a =++-过点(2,6)P ，将点(2,6)P 代入函数的解析式，可得4236a a ++-=，解得1a =-，所以函数()f x 解析式为()24f x x x =-+.【小问2详解】（ⅰ）由函数()23f x x ax a =++-，可得其图象对应的抛物线开口向上，且对称轴为2a x =-，要使得[]1,3x ∈-函数()f x 不单调，可得132a -<-<，解得62a -<<，所以实数a 的取值范围()6,2-；（ⅱ）由（ⅰ）知，函数()f x 的图象对应的抛物线开口向上，且对称轴为2a x =-，当<02a -时，即0a >时，()f x 在[]0,2单调递增，所以()()min 03f x f a ==-；当022a ≤-≤时，即40a -≤≤时，()f x 在[0,)2a -单调递减，在(,2]2a -单调递增，所以()2min 1(322a f x f a a =-=--+；当>22a -时，即4a <-时，()f x 在[]0,2单调递减，所以()()min 27f x f a ==+，所以()m a 表达式为()23,013,4047,4a a m a a a a a a ->⎧⎪⎪=--+-≤≤⎨⎪+<-⎪⎩19. 已知函数()()240,12x x a a f x a a a a+-=>≠+是定义在R 上的奇函数.（1）求实数a 的值；（2）判断()f x 在定义域上的单调性，并用单调性定义证明；（3）[]1,2x ∃∈，使得()22x t f x ⋅≥-成立，求实数t 的取值范围.【答案】（1）2 （2）增函数，证明见解析（3）0t ≥【解析】【分析】（1）利用“奇函数在原点上有定义，则()00f =”即可求解.（2）根据单调性定义即可证明.（3）先将不等式()22x t f x ⋅≥-化为()221121x x t ≥--+-，再利用换元法结合函数单调性求出()221121x x --+-的最小值即可得解.【小问1详解】因为()()240,12x x a a f x a a a a+-=>≠+，R x ∈,定义域关于原点对称，令0x =，所以()2002a f a-==+，故2a =，则()()21R 21x x f x x -=∈+，()()211221211221x x x x x x f x f x ------===-=-+++，所以()f x 为定义在R 上的奇函数，故2a =.【小问2详解】()2121x x f x -=+是R 上的增函数.证明：任取12,R x x ∈，且12x x <，()()()()()()()()()()()1221121212121212212121212222121212121212121x x x x x x x x x x x x x x f x f x -+--+----=-==++++++，所以12x x <，所以1210x +>，2210x +>，12022x x <<，所以12220x x -<， ()()1221210x x ++>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 是R 上的增函数.【小问3详解】当[]1,2x ∈时，不等式()·22x t f x ≥-即()()222121x x x t -+≥-，故()()222222112121x x x x x t --≥=--+--，则令21x v =-，由题意可知[]1,3v ∃∈，21t v v ≥-+，因为函数y x =，2y x =-为[]1,3上的增函数，故21y v v =-+在[]1,3v ∈上单调递增，故min 2211101v v ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭，所以0t ≥.。

一、选择题1．设集合2{|}A x x x =<，2}6{|0B x x x =+-<，则A B =（ ）A ．（0，1）B ．()()3,01,2-⋃C ．（－3，1）D ．()()2,01,3-⋃2．已知x ，y 都是非零实数，||||||x y xy z x y xy =++可能的取值组成的集合为A ，则下列判断正确的是（ ） A ．3A ∈，1A -∉B ．3A ∈，1A -∈C ．3A ∉，1A -∈D ．3A ∉，1A -∉3．若集合{}2560A x x x =+-=，{}222(1)30B x x m x m =+++-=.若{}1A B ⋂=,求实数m 的值为（ ） A ．0B ．-2C ．2D ．0或-24．设集合{,}A a b =,{}220,,B a b =-,若A B ⊆,则⋅=a b （ ）A ．-1B ．1C ．-1或1D ．05．记有限集合M 中元素的个数为||M ，且||0∅=，对于非空有限集合A 、B ，下列结论：① 若||||A B ≤，则A B ⊆；② 若||||AB A B =，则A B =；③ 若||0A B =，则A 、B 中至少有个是空集；④ 若AB =∅，则||||||A B A B =+；其中正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．已知集合{|25}A x x =-≤≤，{|121}B x m x m =+≤≤-．若B A ⊆，则实数m 的取值范围为（ ） A ．3m ≥B ．23m ≤≤C ．3m ≤D ．2m ≥7．已知集合2{|120}A x x x =--≤, {|211}B x m x m =-<<+.且A B B =，则实数m 的取值范围为 ( ) A ．[-1，2)B ．[-1，3]C ．[-2，+∞)D ．[-1，+∞)8．已知集合{}|10A x x =-<，{}2|20B x x x =-<，则AB =（ ）A ．{}|0x x <B ．{}|1x x <C ．{}1|0x x <<D ．{}|12x x <<9．对于非空实数集A ，定义{|A z *=对任意},x A z x ∈≥．设非空实数集(],1C D ≠⊆⊂-∞．现给出以下命题：（1）对于任意给定符合题设条件的集合C ，D ，必有D C **⊆；（2）对于任意给定符合题设条件的集合C ，D ，必有C D *≠∅；（3）对于任意给定符合题设条件的集合C ，D ，必有CD *=∅；（4）对于任意给定符合题设条件的集合C ，D ，必存在常数a ，使得对任意的b C *∈，恒有a b D *+∈．以上命题正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．若集合{}2|560A x x x =-->，{}|21xB x =>，则()R C A B =（ ）A ．{}|10x x -≤<B ．{}|06x x <≤C ．{}|20x x -≤<D ．{}|03x x <≤11．已知0a b >>，全集为R ，集合}2|{ba xb x E +<<=，}|{a x ab x F <<=，}|{ab x b x M ≤<=，则有（ ）A ． E M =（R C F ）B ．M =（RC E ）F C ．F E M =D ．FE M =12．设{}|13A x x =≤≤，(){}|lg 321B x x =-<，则A B =（ ）A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦二、填空题13．若集合{}{,,,}1,2,3,4,a b c d =且下列四个关系：①1a =；②1b ≠；③2c =；④4d ≠中有且只有一个是正确的，则符合条件的所有有序数组(,,,)a b c d 的个数是________．14．集合{(,)|||,}A x y y a x x R ==∈，{(,)|,}B x y y x a x R ==+∈，已知集合A B中有且仅有一个元素，则常数a 的取值范围是________ 15．已知常数a 是正整数，集合1{|||,}2A x x a a x Z =-<+∈，{|||2,}B x x a x Z =<∈，则集合A B 中所有元素之和为________16．已知有限集{}123,,,,(2)n A a a a a n =≥. 如果A 中元素(1,2,3,,)i a i n =满足1212n n a a a a a a =+++，就称A 为“复活集”，给出下列结论：①集合⎪⎪⎩⎭是“复活集”； ②若12,a a R ∈，且12{,}a a 是“复活集”，则124a a >； ③若*12,a a N ∈，则12{,}a a 不可能是“复活集”； ④若*i a N ∈，则“复活集”A 有且只有一个，且3n =.其中正确的结论是____________.（填上你认为所有正确的结论序号） 17．设集合A 、B 是实数集R 的子集，[2,0]AB =-R，[1,2]BA =R，()()[3,5]A B =R R ，则A =________18．设集合{}[1,2),0M N x x k =-=-≤,若M N ⋂=∅，则实数k 的取值范围为_______.19．已知集合{}{}2430,21xA x x xB x =++≥<，则AB =____________ 20．记[]x 为不大于x 的最大整数，设有集合[]{}{}2|2=|2A x x x B x x =-=<，,则A B =_____. 三、解答题21．设集合{}{}222280,430A x x x B x x ax a =+-<=-+= （1）若x A ∈是x B ∈的必要条件，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使A B ϕ⋂≠成立？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由.22．已知集合{}02A x x =<<，{}1B x x a =<<-（1）若3a =-，求()R A B ⋃；（2）若AB B =，求a 的取值范围.23．已知集合612A xx ⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭,{}2(4)70B x x m x m =-+++<．（1）若3m =时，求()RAB ；（2）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围．24．已知p ：x ∈A={x|x 2﹣2x ﹣3≤0，x ∈R}，q ：x ∈B={x|x 2﹣2mx+m 2﹣9≤0，x ∈R ，m ∈R}． （1）若A∩B=[1，3]，求实数m 的值；（2）若p 是¬q 的充分条件，求实数m 的取值范围．25．已知{}240A x x x =+=，(){}222110B x x a x a =+++-=，若B A ⊆，求a 的取值范围.26．已知集合|1|{|28}x A x -=<，2{|log (51)2}B x x =->，求AB .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】化简集合A ，B ，根据交集运算即可求值. 【详解】因为2{|}A x x x =<(,0)(1,)=-∞⋃+∞，26{|}(32)0,B x x x =+-<=-所以()()3,01,2A B ⋂=-⋃. 故选：B 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合的运算，属于中档题.2．B解析：B 【分析】分别讨论,x y 的符号，然后对||||||x y xy z x y xy =++进行化简，进而求出集合A ，最后根据集合元素的确定性即可得出答案. 【详解】当0x >，0y >时，1113z =++=； 当0x >，0y <时，1111z =--=-； 当0x <，0y >时，1111z =-+-=-； 当0x <，0y <时，1111z =--+=-. 所以3A ∈，1A -∈. 故选：B. 【点睛】本题考查了对含有绝对值符号的式子的化简，考查了集合元素的特点，考查了分类讨论思想，属于一般难度的题.3．D解析：D 【分析】根据A ∩B ＝{1}可得出，1∈B ，从而得出1是方程x 2+2（m +1）x +m 2﹣3＝0的根，1代入方程即可求出m 的值； 【详解】 A ＝{﹣6，1}； ∵A ∩B ＝{1}； ∴1∈B ；即1是方程x 2+2（m +1）x +m 2﹣3＝0的根； ∴1+2（m +1）+m 2﹣3＝0； ∴m 2+2m ＝0； ∴m ＝0或m ＝﹣2；当m ＝0时，B ＝{﹣3，1}，满足A ∩B ＝{1}； 当m ＝﹣2时，B ＝{1}，满足A ∩B ＝{1}； ∴m ＝0或m ＝﹣2； 故选：D 【点睛】考查交集的定义及运算，元素与集合的关系，描述法、列举法的定义，一元二次方程实根的情况,是基础题．4．A解析：A 【分析】由集合的包含关系得,a b 的方程组，求解即可 【详解】A B ⊆，由集合元素互异性得0,0,a b a b ≠≠≠ 则22a a b b ⎧=⎨=-⎩ 或22b a a b ⎧=⎨=-⎩ 解得11a b =⎧⎨=-⎩或11b a =⎧⎨=-⎩故选： A 【点睛】本题考查集合的包含关系，考查元素的互异性，是基础题5．B解析：B 【分析】先阅读题意，取特例{}1A = ,{}2B =,可得①③错误，由集合中元素的互异性可得②④正确. 【详解】解：对于①，取{}1A = ,{}2B =,满足||||A B ≤，但不满足A B ⊆，即①错误； 对于②，因为||||AB A B =，由集合中元素的互异性可得A B =，即②正确；对于③，取{}1A = ,{}2B =, 满足||0A B =，但不满足A 、B 中至少有个是空集，即③错误； 对于④，A B =∅，则集合A B 、中无公共元素，则||||||A B A B =+，即④正确；综上可得②④正确，故选B. 【点睛】本题考查了对新定义的理解及集合元素的互异性，重点考查了集合交集、并集的运算，属中档题.6．C解析：C 【分析】讨论,B B =∅≠∅两种情况，分别计算得到答案. 【详解】当B =∅时：1212m m m +>-∴< 成立；当B ≠∅时：12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩解得：23m ≤≤.综上所述：3m ≤ 故选C 【点睛】本题考查了集合的关系，忽略掉空集的情况是容易发生的错误.7．D解析：D 【分析】 先求出集合A ,由A B B =,即B A ⊆,再分B φ=和B φ≠两种情况进行求解.【详解】由2120x x --≤,得34x -≤≤. 即[3,4]A =-. 由AB B =,即B A ⊆.当B φ=时，满足条件,则211m m -≥+解得2m ≥.当B φ≠时，要使得B A ⊆，则12121314m m m m +>-⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩.解得：12m -≤<.综上满足条件的m 的范围是：1m ≥-. 故选：D. 【点睛】本题主要考查集合的包含关系的判断及应用，以及集合关系中的参数范围问题，考查分类讨论思想，属于中档题.8．C解析：C 【分析】求出A 、B 中不等式的解集确定出A 、B ，找出A 与B 的交集即可． 【详解】集合{}{}|10|1A x x x x =-<=<，集合{}{}2|20|02B x x x x x =-<=<<，所以A B ={}1|0x x <<.故选：C【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．9．B解析：B 【分析】根据题干新定义{|A z *=对任意},x A z x ∈≥，通过分析举例即可判断。

2019-2020学年广东省深圳市南山区南头中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.下列表示方法正确的是()A. 0∈⌀B. ⌀∈{0}C. ⌀∉{0}D. 0∈{0}2.函数f(x)=1√1−x+√x+3−1的定义域是()A. (−1,3]B. (−1,3)C. [−3,1)D.[−3,1]3.设全集I是实数集R，M={x|x≥3}, N={x|(x−5)(x−2)≤0}都是I的子集(如图所示)，则阴影部分所表示的集合为()A. {x|2<x<3}B. {x|2≤x<3}C. {x|2<x≤3}D.{x|2≤x≤5}4.若函数f(x)={10x−1,x≤1lgx,x>1,则f(f(10))=()A. 9B. 1C. 110D. 05.下列函数为奇函数的是()A. x2+2xB. 2cosx+1C. x3sinxD. 2x−12x6.下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是()A. f(x)=−1xB. f(x)=3x−1C. f(x)=x3+xD. f(x)=log3|x|7.命题“∀x∈R，∃n∈N∗，使得n≥x2”的否定形式是()A. ∀x∈R，∃x∈N∗，使得n<x2B. ∀x∈R，∀n∈N∗，使得n<x2C. ∃x∈R，∃n∈N∗，使得n<x2D. ∃x∈R，∀n∈N∗，使得n<x28.函数f(x)=12x2−2ln(x+1)的图象大致是()A. B. C. D.9.使不等式x2−x−6<0成立的一个充分不必要条件是()A. −2<x<0B. −3<x<2C. −2<x<3D. −2<x<410.已知log a13>log b13>0，则a,b的取值范围是()A. 1<b<aB. 1<a<bC. 0<b<a<1D. 0<a<b<111. 某山区加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长，那么，经过x 年，绿色植被面积可以增长为原来的y 倍，则函数y =f (x )的图象大致为( ) A. B. C. D.12. 已知lnx +lny =a ，则lnx 3+lny 3=( )A. a 2B. aC. 3a 2D. 3a二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f(x)=a 2x+4+1图象所过定点坐标为___________14. 设函数f(x) (x ∈R)为奇函数，f(3)=32，f(x +2)=f(x)+f(2)，则f(1)=__________．15. 若a >b >0，0<c <1，给出下列关系式：①log a c <log b c ；②log c a <log c b ；③a c <b c ；④c a >c b ．其中正确的关系式是________(填序号)． 16. 已知指数函数y =a x (a >1)在区间[−1,1]上的最大值比最小值大1，则实数a 的值为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 计算下列各式：(1)(0.027)23+(27125)−13−(279)0.5； (2)lg25+23lg8+lg5⋅lg20+(lg2)2．18.设集合A={x|−1≤x<3}，B={x|x−a≥0}．(1)当a=2时，求A∪B；(2)若A∩B=A，求实数a的取值范围．+ax是偶函数．19.已知函数f(x)=1x2(1)求a的值；(2)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论．20.某粮食店经销小麦，年销售量为6000千克，每千克小麦进货价为2.8元，销售价为3.4元，全年进货若干次，每次的进货量均为x千克(1000≤x≤600000)，运费为100元/次，并且全年小麦的总存储费用为1.5x元．(1)用x(千克)表示该粮食店经销小麦的年利润y(元)；(2)每次进货量为多少千克时，能使年利润y最大？21.已知函数f(x)=x2−3x+4,g(x)=log3(x2−4x−5)，若函数g(x)的定义域为集合A，则当x∈A时，求函数f(x)的值域．22.若全称命题“对任意x∈[−1,+∞),x2−2ax+2>a恒成立”是真命题，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：⌀表示不含有元素的集合，∴A.0∈⌀表示错误，B .⌀⊆{0}，∴B 错误．C ..⌀⊆{0}，∴C 表示错误．D .0∈{O}，∴D 正确．故选：D ．根据元素和集合之间的关系进行判断即可．本题主要考查元素和集合关系的表示，正确理解空集的意义是解决本题的关键，比较基础． 2.答案：C解析：解：由{1−x >0x +3≥0， 解得−3≤x <1．∴函数f(x)=√1−x √x +3−1的定义域是：[−3,1)．故选：C ．由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不等于0，联立不等式组，求解即可得答案． 本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式的解法，是基础题． 3.答案：B解析：【分析】本题主要考查Venn 图的综合判读，同时理解阴影部分表示的集合的含义，属于较易题． 根据集合的交、补运算即可求解．【解答】解：根据题意，由于全集U 是实数集R ，M ={x|x ⩾3},N ={x|(x −5)(x −2)⩽0}={x|2≤x ⩽5}因此可知C I M ={x|x <3}，那么阴影部分表示的为(C I M )∩N ={x|2≤x <3}，故选B ．解析：【分析】本题考查分段函数求函数值，属于基础题.直接代入即可求解．【解答】解：由题意得：f(f(10))=f(lg10)=f(1)=101−1=1．故答案为B．5.答案：D解析：解：A.f(−1)=1+12，f(1)=2，则f(−1)≠−f(1)，B.f(x)=2cosx+1为偶函数．C.f(x)=x3sinx为偶函数，D.f(−x)=(2−x−12−x )=12x−2x=−(2x−12x)=−f(x)，则函数为奇函数，故选：D根据函数奇偶性的定义进行判断．本题主要考查函数的奇偶性的判断，根据定义是解决本题的关键．6.答案：C解析：【分析】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．根据题意，依次分析函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f(x)=−1x，是奇函数但在其定义域上不是增函数，不符合题意；对于B，f(x)=3x−1，不是奇函数，不符合题意；对于C，f(x)=x3+x，既是奇函数又在定义域内递增，符合题意；对于D，f(x)=log3|x|，不是奇函数，不符合题意．故选C．7.答案：D解析：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x ∈R ，∃n ∈N ∗，使得n ≥x 2”的否定形式是：∃x ∈R ，∀n ∈N ∗，使得n <x 2． 故选D ．8.答案：A解析：解：当x =0可得：f(0)=0，排除B ，D ，当x =12时，f(12)=18−2ln 32=ln 4e 189<ln1=0，排除C ．故选：A ．利用特殊点的位置判断选项即可．本题考查函数的图象的判断，特殊点的位置是判断函数图象的常用方法．9.答案：A解析：【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，转化为集合真子集关系是解决本题的关键． 求出不等式的等价条件，结合充分不必要条件的定义转化为真子集关系进行求解即可．【解答】解：由x 2−x −6<0得(x +2)(x −3)<0，得−2<x <3，则−2<x <0是x 2−x −6<0成立的一个充分不必要条件，故选A ．10.答案：C解析：【分析】本题主要考查了对数与对数运算，属于基础题．先判断出log a3<logb3<0，继而依据对数的性质得到1log3a <1log3b<0，即可推出结论．【解答】解：由log a13>log b13>0，得−log a3>−logb3>0，得log a3<logb3<0，得1log3a <1log3b<0，得log3b<log3a<0，得0<b<a<1．故选C．11.答案：D解析：设山区第一年绿色植被面积为a，则y=a1.104xa=1.104x,∴y=1.104x，由此可知图象为D．12.答案：D解析：【分析】本题考查对数运算，属于基础题．根据lnx+lny=a得到xy=e a，则lnx3+lny3=ln(xy)3=lne3a=3a，即可得到答案．【解答】解：lnx+lny=a，则xy=e a，lnx3+lny3=ln(xy)3=lne3a=3a．故选D．13.答案：(−2,2)解析：【分析】本题主要考查指数函数的图象经过定点问题，属于基础题．对于指数函数，令幂指数等于零，求得x，y的值，可得它的图象所过的定点坐标．【解答】解：对于函数f(x)=a2x+4+1(a>0且a≠1)，令2x+4=0，求得x=−2，所以f(−2)=a0+1=2，即y=2，可得它的图象所过的定点坐标是(−2,2)，故答案为(−2,2)．14.答案：12解析：由题意可得{f(3)=f(1)+f(2)f(1)=f(−1)+f(2)又因为f(x)为奇函数，所以f(−1)=−f(1)，代入可解得f(1)=12. 15.答案：②解析：【分析】本题考查利用指数函数与对数函数的性质比较大小，属于基础题．利用指数函数与对数函数的性质比较大小即可．【解答】解：∵a >b >0，0<c <1，∴log c a <log c b ，∴log a c >log b c ，故①错误，②正确；∵a >b >0，0<c <1，∴a c >b c ，c a <c b ，故③④错误．故答案为②．16.答案：√5+12解析：【分析】本题考查了指数函数的单调性，属于基础题．根据函数的单调性得到关于a 的方程，解出即可．【解答】解：当a >1时，y =a x 在[−1,1]上单调递增，∴当x =−1时，y 取到最小值a −1，当x =1时，y 取到最大值a ，∴a −a −1=1，解得：a =√5+12， 故答案为：√5+12．17.答案：解：(1)原式=0.09+53−53=0.09；(2)原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)2=2+lg2⋅lg5+(lg5)2+lg2⋅lg5+(lg2)2=2+lg5⋅(lg2+lg5)+lg2⋅(lg5+lg2)=2+lg5+lg2=2+1=3．解析：考查分数指数幂和对数的运算，为基础题．(1)进行分数指数幂的运算即可；(2)进行对数式的运算即可．18.答案：解：(1)A ={x|−1≤x <3}，当a =2时，B ={x|x ≥2}，所以A ∪B ={x|x ≥−1}．(2)因为A ∩B =A ，所以A ⊆B ，所以a ≤−1．即实数以的取值范围是(−∞,−1]．解析：本题考查了集合的交集运算，并集及其运算，集合关系中的参数取值问题，属于中档题．(1)根据a =2，得到集合B ，结合集合A ，即可求得其并集；(2)根据A ∩B =A ，得到A ⊆B ，由集合间的包含关系得到不等式组，解答出结果即可． 19.答案：解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)．由f(−x)=f(x)得1x 2−ax =1x 2+ax ．所以ax =0．因为ax =0对于定义域中任意的x 都成立，所以a =0．(Ⅱ)函数f(x)=1x 2在区间(0,+∞)上是减函数．证明：在(0,+∞)上任取x 1，x 2，且x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=1x 12−1x 22=(x 1+x 2)(x 2−x 1)x 12x 22，由0<x 1<x 2，得x 1+x 2>0，x 2−x 1>0，x 12x 22>0，第11页，共11页 于是f(x 1)−f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2).所以函数f(x)=1x 2在区间(0,+∞)上是减函数．解析：(Ⅰ)根据函数的奇偶性求出a 的值即可；(Ⅱ)根据函数的单调性的定义证明即可．本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，考查函数单调性的定义，是一道中档题．20.答案：解：(1)由题意可知：一年总共需要进货6000x (x ∈N ∗且1000≤x ≤6000)次， ∴y =3.4×6000−2.8×6000−6000x ⋅100−1.5x ， 整理得：y =3600−600000x −1.5x(x ∈N ∗且1000≤x ≤6000)． (2)y =3600−600000x −1.5x ，当且仅当x =1000时，年利润y 最大．解析：(1)由年销售总量为6000包，每次进货均为x 包，可得进货次数，进而根据每包进价为2.8元，销售价为3.4元，计算出收入，由运费为100元/次，全年保管费为1.5x 元计算出成本，相减可得利润的表达式；(2)由(1)中函数的解析式，由函数的单调性，结合x 的实际意义，可得使利润最大，每次进货量． 本题考查的知识点是函数最值的应用，其中根据已知条件计算出利润y(元)元表示为每次进货量x(千克)的函数表达式是解答本题的关键．21.答案：解：依题意由x 2−4x −5>0，得A ={x|x >5或x <−1}，则可得函数f(x)在(−∞,−1)为减函数，(5,+∞)为增函数，∴f(x)的值域为{y|y >8}．解析：本题主要考查了函数的定义域和值域，属于基础题．先求出g(x)的定义域，即为集合A ，从而可求得f(x)的值域．22.答案：[−3,1]解析：由题意，对任意x ∈[−1,+∞)，令f (x )=x 2−2ax +2>a 恒成立，函数f (x )=x 2−2ax +2配方得f (x )=(x −a )2+2−a2.则命题可转化为对任意x ∈[−1,+∞),f(x)min >a 恒成立，即对任意x ∈[−1,+∞),f (x )min ={2−a 2,a ≥−1(1+a )2+2−a 2,a <−1，由f(x)min >a ，可得a ∈(−3,1)．。

深圳市高级中学2019-2020学年第一学期期中测试高一数学本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷为1-12题，共60分；第Ⅱ卷为13-22题，共90分。

全卷共计150分。

考试时间为120分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡相应的位置。

2.选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案。

全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

3、考试结束，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。

第Ⅰ卷（本卷共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}|24x A x =≤，集合{}|lg(1)B x y x ==-，则A B 等于 ( )（A ）(1,2)（B ） (1,2]（C ） [1,2)（D ）[1,2]2. 函数()()2log 31x f x =-的定义域为 （ ） （A ）[)1,+∞ （B ）()1,+∞ （C ）[)0,+∞ （D ） ()0,+∞3．已知函数⎩⎨⎧≤>=0,20,log )(3x x x x f x ，则))91((f f = （ ）（A ）12 （B ）14（C ）16 （D ）184．已知f (x )＝(a －1)x 2＋3ax ＋7为偶函数，则f (x )在区间(－5,7)上为 ( ) （A ）先递增再递减 （B ）先递减再递增 （C ）增函数 （D ） 减函数 5．三个数a ＝0.42，b ＝log 20.4，c ＝20.4之间的大小关系是 ( ) （A ）a c b << （B ）a b c << （C ）b a c << （D ）b c a <<67()a x k +8 9 10.函数()f x 是R 上的偶函数,在[0,)+∞上是减函数,若(ln )(1),f x f >则x 的取值范围是（ ）（A ）(0,1)(,)e +∞ （B ）1(0,)(1,)e -+∞ （C ）1(,1)e - （D ） 1(,)e e -11．已知函数53()28f x ax bx x =++-且10)2(=-f ，那么=)2(f ( ) （A ）26- （B ）26 （C ）10- （D ）1012．已知函数2()2f x x x =-，()2(0)g x ax a =+>，且对任意的1[1,2]x ∈-，都存在2[1,2]x ∈-，使21()()f x g x =，则实数a 的取值范围是 （ ） （A ）[3，＋∞) （B ）(0,3] （C ）⎣⎡⎦⎤12，3 （D ）⎝⎛⎦⎤0，12第Ⅱ卷（本卷共计90分）二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。

2020-2021深圳北师大南山附属学校中学部高一数学上期中试题带答案一、选择题1．已知函数()25,1,,1,x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．30a -≤<B ．0a <C ．2a ≤-D ．32a --≤≤2．函数2xy x =⋅的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且(1)f x +为偶函数，若(3)1f =，则不等式(21)1f x +<的解集为（ ） A ．(1,1)- B ．(1,)-+∞ C ．(,1)-∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞U4．设函数22,()6,x x x af x ax x a⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是定义在R 上的增函数，则实数a 取值范围（ ）A ．[)2,+∞B ．[]0,3C ．[]2,3D ．[]2,45．设奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1]x ∈-都成立，当[1,1]a ∈-时，则t 的取值范围是（ ） A ．1122t -≤≤ B ．22t -≤≤C ．12t ≥或12t ≤-或0t = D ．2t ≥或2t ≤-或0t =6．若0.23log 2,lg0.2,2a b c ===,则,,a b c 的大小关系为A ．c b a <<B ． b a c <<C ． a b c <<D ．b c a <<7．函数()f x 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )A ．()212xx f x -= B ．()()21xf x x =-C ．()ln f x x =D ．()1xf x xe =-8．定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3xf x =，则()3log 54f =（ ）A ．32B ．23-C ．23D ．32-9．已知定义在R 上的函数()21()x mf x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<10．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b << 11．设0.60.3a =，0.30.6b =，0.30.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c b a << 12．已知函数在上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题13．方程组2040x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为_________.14．已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += . 15．已知函数2()121()f x ax x ax a R =+++-∈的最小值为0，则实数a =_________. 16．函数()1x f x x+=的定义域是______． 17．函数()12x f x -的定义域是__________．18．已知函数()f x 是定义在 R 上的奇函数，且当0x >时，()21xf x =-，则()()1f f -的值为______．19．已知f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m .如果∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2,2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数m 的取值范围是______________. 20．10343383log 27()()161255---+=__________．三、解答题21．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x <0时，()111f x x =+-. (1)求f (2)的值；(2)用定义法判断y ＝f (x )在区间(－∞，0）上的单调性． (3)求0()x f x >时，的解析式22．已知定义域为R 的函数()221x x af x -+=+是奇函数．()1求实数a 的值；()2判断函数()f x 在R 上的单调性，并利用函数单调性的定义加以证明．23．已知函数()1ln1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(),1B a a =+，且B A ⊆. （1）求实数a 的取值范围；（2）求证：函数()f x 是奇函数但不是偶函数. 24．已知二次函数()2f x ax bx c =++.（1）若方程()0f x =两个根之和为4，两根之积为3，且过点(2,－1).求()0f x ≤的解（2）若关于x 的不等式()0f x >的解集为(2,1)-. （ⅰ）求解关于x 的不等式20cx bx a ++>（ⅱ）设函数2(1)(),(1)(1)b x cg x x a x +-=<-，求函数()g x 的最大值 25．已知函数24,02()(2)2,2x x f x x x a x a x ⎧-<≤⎪=⎨⎪-++->⎩，其中a 为实数．（1）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求a 的取值范围．（2）若7a <，满足不等式()0f x a ->成立的正整数解有且仅有一个，求a 的取值范围．26．设集合2{|40,}A x x x x R =+=∈，22{|2(1)10,}B x x a x a x R =+++-=∈. (1)若A B B ⋃=，求实数a 的值; (2)若A B B =I ，求实数a 的范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处的函数值. 【详解】要使函数在R 上为增函数，须有()f x 在(,1]-∞上递增，在(1,)+∞上递增，所以21,20,115,1aa a a ⎧-≥⎪⎪<⎨⎪⎪--⨯-≤⎩，解得32a --≤≤.故选D. 【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑.解析：A 【解析】 【分析】先根据奇偶性舍去C,D,再根据函数值确定选A. 【详解】因为2xy x =⋅为奇函数，所以舍去C,D; 因为0x >时0y >,所以舍去B ，选A. 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．3．A解析：A 【解析】 【分析】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，再利用函数的单调性，即可求出不等式的解集． 【详解】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，且在[1，+∞）上单调递增，所以不等式f （2x+1）＜1=f （3）⇔ |2x+1﹣1|）＜|3﹣1|， 即|2x |＜2⇔|x |＜1，解得-11x ＜＜ 所以所求不等式的解集为：()1,1-. 故选A ． 【点睛】本题考查了函数的平移及函数的奇偶性与单调性的应用，考查了含绝对值的不等式的求解，属于综合题．4．D解析：D 【解析】 【分析】画出函数22y x x =--的图象，结合图象及题意分析可得所求范围． 【详解】画出函数22y x x =--的图象如下图所示，结合图象可得，要使函数()22,,6,,x x x a x ax x a ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是在R 上的增函数，需满足22226a a a a ≥⎧⎨--≥-⎩，解得24x ≤≤． 所以实数a 取值范围是[]2,4． 故选D ． 【点睛】解答本题的关键有两个：（1）画出函数的图象，结合图象求解，增强了解题的直观性和形象性；（2）讨论函数在实数集上的单调性时，除了考虑每个段上的单调性之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系．5．D解析：D 【解析】试题分析：奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数, 且()11f -=-,在[]1,1-最大值是21,121t at ∴≤-+,当0t ≠时, 则220t at -≥成立, 又[]1,1a ∈-,令()[]22,1,1r a ta t a =-+∈-, 当0t >时,()r a 是减函数, 故令()10r ≥解得2t ≥, 当0t <时,()r a 是增函数, 故令()10r -≥,解得2t ≤-,综上知，2t ≥或2t ≤-或0t =,故选D. 考点：1、函数的奇偶性与单调性能；2、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性与单调性能、不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合（()y f x =图象在()y g x =上方即可）；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得t 的范围.6．B解析：B 【解析】 【分析】由对数函数的单调性以及指数函数的单调性，将数据与0或1作比较，即可容易判断. 【详解】由指数函数与对数函数的性质可知，a =()3log 20,1,b ∈=lg0.20,c <=0.221>，所以b a c <<，故选：B. 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.7．B解析：B 【解析】 【分析】根据定义域排除C ，求出()1f 的值，可以排除D ，考虑()100f -排除A . 【详解】根据函数图象得定义域为R ，所以C 不合题意；D 选项，计算()11f e =-，不符合函数图象；对于A 选项， ()10010099992f -=⨯与函数图象不一致；B 选项符合函数图象特征.故选：B 【点睛】此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.8．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()354f log =()3log 23f +， 则()354f log =()31log 21f -+，且()()331log 21log 21f f +=--， 由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-，据此可得：()()3312log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32-.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．B解析：B 【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.10．C解析：C 【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.11．B解析：B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性得出0.60.30.30.3<，而根据幂函数的单调性得出0.30.30.30.6<，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】解：0.3xy =Q 在定义域上单调递减，且0.360.<，0.60.30.30.3∴<，又0.3y x∴=在定义域上单调递增，且0.360.<，0.30.30.30.6∴<， 0.60.30.30.30.30.6∴<<，a cb ∴<<故选：B ． 【点睛】考查指数函数和幂函数的单调性，以及增函数和减函数的定义．12．C解析：C 【解析】 【分析】由函数单调性的定义，若函数在上单调递减，可以得到函数在每一个子区间上都是单调递减的，且当时，，求解即可．【详解】 若函数在上单调递减，则，解得. 故选C. 【点睛】本题考查分段函数的单调性．严格根据定义解答，本题保证随的增大而减小，故解答本题的关键是的最小值大于等于的最大值． 二、填空题13．【解析】【分析】解方程组求出结果即可得答案【详解】由解得或代入解得或所以方程组的解组成的集合为故答案为【点睛】该题考查的是有关方程组解集的问题需要注意的问题是解是二维的再者就是需要写成集合的形式属于 解析：()(){}2,2,2,2--【解析】 【分析】解方程组2040x y x +=⎧⎨-=⎩，求出结果即可得答案.【详解】由240x -=，解得2x =或2x =-，代入0x y +=， 解得22x y =⎧⎨=-⎩或22x y =-⎧⎨=⎩，所以方程组2040x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为{}(2,2),(2,2)--，故答案为{}(2,2),(2,2)--. 【点睛】该题考查的是有关方程组解集的问题，需要注意的问题是解是二维的，再者就是需要写成集合的形式，属于简单题目.14．【解析】若则在上为增函数所以此方程组无解；若则在上为减函数所以解得所以考点：指数函数的性质解析：3 2 -【解析】若1a>，则()f x在[]1,0-上为增函数,所以11{10a bb-+=-+=，此方程组无解；若01a<<，则()f x在[]1,0-上为减函数,所以10{11a bb-+=+=-，解得1{22ab==-，所以32a b+=-.考点：指数函数的性质.15．【解析】【分析】设计算可得再结合图象即可求出答案【详解】解：设则则由于函数的最小值为0作出函数的大致图象结合图象得所以故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质考查转化思想考查数形结合思想属解析：±1.【解析】【分析】设2()()1()()21g x h x axg x h x x ax+=+⎧⎨-=+-⎩，计算可得2(),()()()2(),()()g x g x h xf xh x g x h x≥⎧=⎨<⎩，再结合图象即可求出答案．【详解】解：设2()()1()()21g x h x axg x h x x ax+=+⎧⎨-=+-⎩，则22()()1g x x axh x x⎧=+⎨=-⎩，则()()()()()f xg xh x g x h x=++-2(),()()2(),()()g x g x h xh x g x h x≥⎧=⎨<⎩，由于函数()f x的最小值为0，作出函数()g x，()h x的大致图象，结合图象，210x-=，得1x=±，所以1a=±，故答案为：±1．【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题．16．【解析】【分析】由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x 的取值集合得答案【详解】由得且函数的定义域为：；故答案为【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法是基础的会考题型 解析：[)()1,00,∞-⋃+【解析】【分析】由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x 的取值集合得答案．【详解】由{100x x +≥≠，得1x ≥-且0x ≠． ∴函数()1x f x x+=的定义域为：[)()1,00,-⋃+∞； 故答案为[)()1,00,-⋃+∞．【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，是基础的会考题型． 17．【解析】由得所以所以原函数定义域为故答案为解析：(],0-∞【解析】由120x -≥，得21x ≤，所以0x ≤，所以原函数定义域为(],0-∞，故答案为(],0-∞. 18．【解析】由题意可得：解析：1-【解析】由题意可得：()()()()()111,111f f f f f -=-=--=-=-19．－5－2【解析】分析：求出函数的值域根据条件确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论详解：由题意得：在－22上f(x)的值域A 为g(x)的值域B 的子集易得A ＝－33B ＝m －18＋m 从而解得－5≤m≤解析：[－5,－2].【解析】分析：求出函数()f x 的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论. 详解：由题意得：在[－2,2]上f (x )的值域A 为g (x )的值域B 的子集.易得A ＝[－3,3]，B ＝[m －1,8＋m ]，从而解得－5≤m ≤－2.点睛：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强.20．【解析】三、解答题21．（1）23-；（2）见解析；（3）()1x f x x -=+ 【解析】【分析】(1)利用函数的奇偶性求解.(2)函数单调性定义，通过化解判断函数值差的正负；（3）函数为R 奇函数，x 〈0的解析式已知，利用奇函数图像关于原点对称，即可求出x 〉0的解析式.【详解】（1）由函数f (x )为奇函数，知f (2)＝-f (－2)＝23-· (2)在(－∞，0）上任取x 1，x 2，且x 1<x 2， 则()()1212121111111111f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+=- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ ()()211211x x x x -=-- 由x 1－1<0，x 2－1<0，x 2－x 1>0，知f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．由定义可知，函数y ＝f (x )在区间(－∞，0]上单调递减．·（3）当x >0时，－x <0，()111f x x -=-+ 由函数f (x )为奇函数知f (x )＝-f (－x )，()1111x f x x x -∴=-+=++ 【点睛】 本题考查了函数奇偶性的应用和单调性的定义，利用奇偶性求函数值和解析式主要应用奇偶性定义和图像的对称性；利用定义法证明函数单调性关键是作差后式子的化解，因为需要判断结果的正负，所以通常需要将式子化成乘积的形式.22．（1）1；（2）减函数，证明见解析【解析】【分析】（1）奇函数在0x =处有定义时，()00f =，由此确定出a 的值，注意检验是否为奇函数；（2）先判断函数单调性，然后根据函数单调性的定义法完成单调性证明即可.【详解】()1根据题意，函数()221x x a f x -+=+是定义域为R 奇函数，则()0020021a f -+==+，解可得1a =， 当1a =时，()()12121212x xx x f x f x -----=-==-++，为奇函数，符合题意； 故1a =；()2由()1的结论，()12121221x x x f x -==-++，在R 上为减函数； 证明：设12x x <，则()()()()()2212121222112221212121x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 又由12x x <，则()21220x x ->，()1210x +>，()2210x +>，则()()120f x f x ->，则函数()f x 在R 上为减函数．【点睛】本题考查函数奇偶性单调性的综合应用，难度一般.(1)定义法证明函数单调性的步骤：假设、作差、变形、判号、下结论；(2)当奇函数在0x =处有定义时，一定有()00f =.23．（1）[1,0]- ;（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由对数的真数大于0，可得集合A ，再由集合的包含关系，可得a 的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得()f x 的定义域，计算()f x -与()f x 比较，即可得到所求结论．试题解析：（1）令101x x+>-，解得11x -<<，所以()1,1A =-， 因为B A ⊆，所以111a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得10a -≤≤，即实数a 的取值范围是[]1,0- （2）函数()f x 的定义域()1,1A =-，定义域关于原点对称()()()1ln 1x f x x ---=+- ()1111ln ln ln 111x x x f x x x x -+--⎛⎫===-=- ⎪-++⎝⎭而1ln32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11ln 23f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1122f f ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以函数()f x 是奇函数但不是偶函数.24．（1）{}13x x ≤≤；（2）（ⅰ）1(,)(1,)2-∞-⋃+∞；（ⅱ）2-.【解析】【分析】（1）由韦达定理及函数过点(2,－1)，列方程组()432421b a c a f a b c ⎧-=⎪⎪⎪=⎨⎪=++=-⎪⎪⎩求解即可； （2）（ⅰ）由不等式的解集与方程的根可得012a b ac a⎧⎪<⎪⎪-=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，则20cx bx a ++>可化为2210x x -->，再解此不等式即可；（ⅱ）由（ⅰ）得()g x =4(1)()21x x ⎡⎤--++⎢⎥-⎣⎦，再利用均值不等式求函数的最大值，一定要注意取等的条件，得解.【详解】 （1）由题意可得()432421b a c a f a b c ⎧-=⎪⎪⎪=⎨⎪=++=-⎪⎪⎩，解得143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，()243f x x x ∴=-+， 解不等式()0f x ≤，即2430x x -+≤，即()()130x x --≤，解得13x ≤≤， 因此，不等式()0f x ≤的解集为{}13x x ≤≤； （2）（ⅰ）由题意可知012a b ac a⎧⎪<⎪⎪-=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以20cx bx a ++>可化为210c b x x a a ++<， 即2210x x -++<，得2210x x -->，解得21x <-或1x > 所求不等式的解集为1(,)(1,)2-∞-⋃+∞. （ⅱ）由（ⅰ）可知22(1)(1)2()(1)(1)b x c a x a g x a x a x +-++==--=231x x +=- 2(1)2(1)41x x x -+-+=-=4(1)()21x x ⎡⎤--++⎢⎥-⎣⎦ ,因为1,x <所以10x ->，所以4(1)()41x x -+≥-，当且仅当411x x -=-时即1x =-时取等号 , 所以4(1)()41x x ⎡⎤-+≤-⎢⎥-⎣⎦，4(1)()221x x ⎡⎤-≤-++≤-⎢⎥-⎣⎦所以当1x =-时，()max 2g x =- .【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法及不等式的解集与方程的根的关系，重点考查了利用均值不等式求函数的最大值及取等的条件，属中档题.25．（1）2a ≤（2）03a ≤<【解析】【分析】（1）分析当02x <≤时的单调性，可得2x >的单调性，由二次函数的单调性，可得a 的范围；（2）分别讨论当0a <，当02a ≤≤时，当23a <<时，当37a ≤<，结合函数的单调性和最值，即可得到所求范围．【详解】（1）由题意，当02x <≤时，4()f x x x =-为减函数， 当2x >时，()()222f x x a x a =-++-，若2a ≤时，()()222f x x a x a =-++-也为减函数，且()()20f x f <=， 此时函数()f x 为定义域上的减函数，满足条件；若2a >时，()()222f x x a x a =-++-在22,2a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则不满足条件． 综上所述，2a ≤．（2）由函数的解析式，可得()()13, 20f f ==，当0a <时，()()20, 13f a f a =>=>，不满足条件；当02a ≤≤时，()f x 为定义域上的减函数，仅有()13f a =>成立，满足条件； 当23a <<时，在02x <≤上，仅有()13f a =>，对于2x >上，()f x 的最大值为22(2)1244a a f a +-⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭， 不存在x 满足()0f x a ->，满足条件；当37a ≤<时，在02x <≤上，不存在整数x 满足()0f x a ->，对于2x >上，22(2)(4)123444a a a ----=<-，不存在x 满足()0f x a ->，不满足条件；综上所述，03a ≤<．【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，以及函数的单调性的判断和不等式有解问题，其中解答中熟练应用函数的单调性，以及把函数的有解问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档题．26．（1）1a =；(2)1a ≤-或1a =【解析】【分析】（1）∵A B B ⋃=，∴A ⊆B ，又B 中最多有两个元素，∴A=B ，从而得到实数a 的值；（2）求出集合A 、B 的元素，利用B 是A 的子集，即可求出实数a 的范围.【详解】（1）∵A B B ⋃=，∴A ⊆B ，又B 中最多有两个元素，∴A=B ，∴x=0，﹣4是方程x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0的两个根，故a=1；（2）∵A={x|x 2+4x=0，x ∈R}∴A={0，﹣4}，∵B={x|x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0}，且B ⊆A ．故①B=∅时，△=4（a+1）2﹣4（a 2﹣1）＜0，即a ＜﹣1，满足B ⊆A ；②B≠∅时，当a=﹣1，此时B={0}，满足B ⊆A ；当a ＞﹣1时，x=0，﹣4是方程x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0的两个根，故a=1；综上所述a=1或a ≤﹣1；【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．。

广东省北大附中深圳南山分校2019-2020学年高一上学期期中考试试题一、单选题(本题包括15小题，每小題3分，共45分。

每小题只有一个选项符合题意。

)1.关于时间和时刻，以下说法中正确的是A. 2013年12月2日1点30分，“嫦娥三号”发射升空，这里指的是时间B. 高速摄影机拍摄子弹穿过苹果瞬间的照片，曝光时间为10-6s，这里指的是时刻C. 物体在第5秒内指的是在4秒末到5秒末这1秒的时间D. 中央电视台每晚新闻联播节目开播时间是19点，这里指的是时间间隔『答案』C『解析』2013年12月2日1点30分，“嫦娥三号”发射升空，这里的“2013年12月2日1点30分”是时刻，故A正确；高速摄影机拍摄子弹穿过苹果瞬间的照片,曝光时间为10-6s，这里的10-6s 是时间段，是时间，故B错误；物体在第5s内指的是在4s末到5s末这1s的时间，故C正确；中央电视台每晚新闻联播节目开播时间是19点,这里的“19点”是时间点，是时刻，故D错误。

所以C正确，ABD错误。

2.关于位移和路程，下列四种说法中正确的是A. 两运动物体的位移大小均为30 m，这两个位移一定相同B. 位移用来描述直线运动，路程用来描述曲线运动C. 位移取决于物体的始末位置，路程取决于物体实际通过的路线D. 做直线运动的两物体的位移x甲=3 m，x乙=-5 m，则x甲＞x乙『答案』C『解析』【详解】A．两运动物体的位移大小均为30 m，但是位移的方向不一定相同，则这两个位移不一定相同，选项A错误；B．位移和路程都可以用来描述曲线运动，也可以用来描述直线运动，选项B错误；C．位移取决于物体的始末位置，路程取决于物体实际通过的路线，选项C正确；D．做直线运动的两物体的位移x甲=3 m，x乙=-5 m，符号代表方向，则x甲<x乙，选项D错误。

3.下列关于速度的说法正确的是()A. 物体运动的越快，位置的变化就越大B. 物体的瞬时速率始终不变，则物体的速度不变C. 物体的速度不变，则物体的瞬时速率也不变D. 物体的位移越大则速度越大『答案』C 『解析』【详解】A 、物体运动的越快，瞬时速度越大，但位移不一定大，故位置的变化不一定越大，故A 错误；B 、物体的瞬时速率始终不变，但速度的方向可能改变，故B 错误；C 、物体的速度不变，也就是瞬时速度不变，故C 正确；D 、物体的位移大，但用时可能也长，故速度不一定大，故D 错误； 4.下列关于加速度的说法，正确的是 A. 物体的速度越大，加速度越大B. 物体速度为零时，其加速度不可能很大C. 物体加速度增大时其速度也一定随之增大D. 物体加速度逐渐减小，其速度可能逐渐增大『答案』D 『解析』【详解】A ．物体的速度越大，加速度不一定越大，选项A 错误；B ．物体速度为零时，其加速度也可能很大，例如火箭将要发射时，选项B 错误；C ．当加速度和速度反向时，物体加速度增大时其速度减小，选项C 错误。