2020-2021学年最新沪教版五四制九年级数学上册《二次函数的概念》教学设计-评奖教案

教学目标：1、理解二次函数的概念；掌握二次函数解析式的典型特征，能判断用解析式表示出来的两个变量之间的关系是不是二次函数。

2、对简单的实际问题，能根据具体情景中两个变量之间的依赖关系列出二次函数解析式，并确定函数的定义域。

3、经历从实际问题引进二次函数概念的过程，体会用函数去描述、研究变量之间的变化规律的意义。

4、培养学生的观察、分析、总结能力，让学生体会二次函数是研究和解决生产、生活实际问题的有用工具。

教学重点：引进二次函数的概念，并帮助学生理解概念，初步学会用二次函数描述实际问题中两个变量之间的依赖关系。

教学难点：让学生根据具体问题情景中两个变量之间的依赖关系列出二次函数解析式，并确定函数的定义域。

教学用具：多媒体工具。

教学过程：[复习] 函数的意义，一次函数、正比例函数、反比例函数的解析式和定义域。

[新知探索1 ] （学生探索回答）1、请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量y 与x 之间的关系：(1)圆的面积y (cm2)与圆的半径x ( cm );(2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月份利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为x，3月份的利润为y万元;(3)一个边长为4厘米的正方形，若它的边长增加x厘米，则面积随之增加y平方厘米，求y 关于x的函数解析式。

2、仔细观察上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征?（1）y =πx2（2）y = 2(1+x)2=2x2+4x+2 （3）y= (x+4)242= x2+8x3、得出结论：经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式，a,b,c是常数, a≠0。

[讲授]我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

注:在二次函数中,含x的代数式必须是整式,含x项的最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。

[新知探索2 ] 问题：是否任何情况下二次函数中的自变量的取值范围都是任意实数呢？例如：圆的面积y ( cm2 )与圆的半径x（cm)的函数关系是y =πx2, 其中自变量x能取哪些值呢？(x>0)注意:在实际应用问题中, 必须注意函数的定义域,自变量x的取值符合实际意义. [趣味练习] （演练竞技场）6个动物的图片，每个图片后面都有一个题目，学生可以选择动物的图片来回答后面的题目，同学可以一起帮助解决问题。

答案 y=x 2-6x+5【练习】已知二次函数2y ax bx c =++的图象过A(0，－5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线2x =，求二次函数解析式 答案 y=x 2-4x-5总结：四【课堂巩固练习】1．已知平面直角坐标系两点A （1，2）B （0，3），点C 在x 轴上，其横坐标满足方程 ①求点C 的坐标②若一个二次函数的图像经过A ，B ，C 三点，求这个二次函数表达式答案①x=3或-1 C(3,0)或C （-1,0） ②此时C(3,0)应舍去 因为a=1 将A （1，2）B （0，3）C （-1,0）代入得 y= -2x 2+x+32．已知二次函数c bx ax y ++=2，当3x =时，函数取得最大值10，且它的图象在x 轴上截得的弦长为4，试求二次函数的关系式。

答案 y= -5/2(x-3)2+10 五【课后作业】1．抛物线n mx x y ++=22过点()2,4，且其顶点在直线12+=x y 上，求此二次函数的关系式。

答案 抛物线y=x2+2mx+n 的对称轴是：x=- 2m /2 =-m ， 把x=-m 代入解析式得：y=m 2-2m 2+n=-m 2+n ， 即函数的顶点是（-m ，-m 2+n ）， 根据题意得： 4+4m+n=4 -m 2+n=-2m+1 ． 解得： m=-1 n=4 ． 则函数的解析式是：y=x 2-2x+4．2．已知抛物线4)334(2+++=x a ax y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，是否存在实数a ，使得ABC ∆为直角三角形．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．答案 依题意，得点C 的坐标为（0，4）， 设点A 、B 的坐标分别为（x1，0），（x2，0）， 由ax 2+（ 4 /3 +3a ）x+4=0， 2(1)422x -+=。

二次函数教学目标1．能够表示简单变量间的二次函数关系，并求出函数自变量的取值范围．2．理解二次函数的意义与特征，能判断一个给定的函数是否为二次函数．3．进一步增强用数学方法解决实际问题的能力，体会二次函数在应用中的作用．教学重难点理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式；从实例中抽象出二次函数的定义，分析实例中的二次函数关系．教学过程导入新课【导语一】回忆一次函数和正比例函数的定义、图象特征，它们对解决实际问题起了很大的作用，从而导入新课．【导语二】观察海湾战争期间，导弹拦截的瞬间图片(或在黑板上画出示意图)．思考：为何导弹长了眼睛，它的运动路线有何规律呢？这些需要我们对函数作进一步了解，从而导入新课．【导语三】观察喷泉水的流动弧线，篮球运动的路线，……探究这些优美的弧线与什么函数有关呢？推进新课一、合作探究【问题1】想一想：①正方体的棱长为x，表面积为y，则y＝6x2(用含x的代数式表示)．②圆的面积为S，半径为R，则S＝πR2(用含R的代数式表示)．设计意图：从简单的例子感知二次函数的形式．【问题2】某水产养殖户用长40 m的围网，在水库中围一块矩形的水面投放鱼苗，要使围成的水面面积为75 m2，则它的长应是多少米？(只列方程，不求解)思路分析：矩形水面的面积应等于矩形水面的长乘宽，故可设出矩形水面的长为x m，然后用总长表示出水面的宽为(20－x)m，就可表示出水面面积为x(20－x)，从而可列出方程．【问题3】某水产养殖户用长40 m的围网，在水库中围一块矩形的水面投放鱼苗，要使围成的水面面积最大，它的长应是多少米？(列出关系式)思路分析：矩形水面的面积应等于矩形水面的长乘宽，故可设出矩形水面的长为x m，然后用总长表示出水面的宽为(20－x)m，再设它的面积为S m2，就可表示出水面面积与矩形长的关系式为S＝x(20－x)，整理得S＝－x2＋20x.这里的取值应为0＜x＜20.【问题4】一种商品的售价为每件10元，一周可卖出50件．市场调查表明：这种商品如果每件涨价1元，每周要少卖5件．已知该商品进价每件为8元，问每件商品涨价多少元，才能使利润最多？思路分析：可设每件商品涨价x元，每周获得的利润为y元．根据“每周获得的利润＝每件的利润×每周卖的件数”，可推理如下：涨价0元时，每件的利润为(10－8)元，每周卖的件数为50件；涨价1元时，每件的利润为(10＋1－8)元，每周卖的件数为(50－5)件；涨价2元时，每件的利润为(10＋2－8)元，每周卖的件数为(50－5×2)件；涨价3元时，每件的利润为(10＋3－8)元，每周卖的件数为(50－5×3)件；涨价4元时，每件的利润为(10＋4－8)元，每周卖的件数为(50－5×4)件；……涨价x元时，每件的利润为(10＋x－8)元，每周卖的件数为(50－5x)件．由此可列关系式为y＝(10＋x－8)(50－5x)，整理得y＝－5x2＋40x＋100.【问题5】一种商品的售价为每件10元，一周可卖出50件．市场调查表明：这种商品如果每件降价1元，每周要多卖5件．已知该商品进价每件为8元，问每件商品降价多少元，才能使利润最多？思路分析： 根据上题的分析，同样可进行推理：降价x 元时，每件的利润为(10－x －8)元，每周卖的件数为(50＋5x )件． 从而可列出关系式为y ＝(10－x －8)(50＋5x )，即y ＝－5x 2－40x ＋100.【问题6】 观察比较以下关系式：①y ＝6x 2；②S ＝πR 2；③S ＝－x 2＋20x ；④y ＝－5x 2＋40x ＋100；⑤y ＝－5x 2－40x ＋100. 函数①②③④⑤有什么共同点与不同点．共同点：A ．等式的左边为函数，等式的右边为自变量的二次式；B ．等式的右边可统一为“ax 2＋bx ＋c ”的形式．师生共同归纳二次函数的定义：一般地，形如y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，且a ≠0)的函数，叫做二次函数．注意： (1)函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ≠0是必备条件，切不可忽视．而b ，c 的值可以为任意实数；(2)定义是关于x 的二次整式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫切不可把y ＝x 2＋1x ＋3也当成二次函数. 二、巩固提高1．二次函数定义的判定及其应用【应用示例】 下列函数是二次函数的是( )．A ．y ＝8x 2＋1B ．y ＝2x －3C ．y ＝3x 2＋1x 2D ．y ＝3x 解析：A 符合二次函数定义，故它是二次函数；B 是一次函数；C ，D 都出现分式，故C ，D 都不是二次函数．答案：A点评：紧扣定义中的两个特征：(1)a ≠0；(2)ax 2＋bx ＋c 是整式(二次三项式)．2．实际问题中的二次函数【应用示例】 一个正方形的边长是12 cm.若从中挖去一个长为2x cm ，宽为(x ＋1) cm的小长方形，剩余部分的面积为y cm 2.(1)写出y 与x 之间的函数关系式，并指出y 是x 的什么函数；(2)当小长方形的长中x 的值为2,4时，相应的剩余部分面积是多少？分析：画出示意图如下，剩余面积＝正方形面积－小长方形面积．解：(1)y ＝122－2x (x ＋1)，即y ＝－2x 2－2x ＋144.∴y 是x 的二次函数．(2)当x ＝2,4时，相应的y 的值分别为132 cm 2,104 cm 2.点拨：几何图形的面积一般需要画图分析，相关线段必须先用x 的代数式表示出来．三、达标训练1．下列函数中，哪些是二次函数？(1)y ＝5x ＋1；(2)y ＝4x 2－1；(3)y ＝2x 3－3x 2；(4)y ＝5x 4－3x ＋1.2．二次函数y ＝ax 2中，当x ＝1时，y ＝2，则a ＝__________.3．已知函数y ＝(a ＋2)x 2＋x ＋3是二次函数，则常数a 的取值范围是__________．4．已知函数y ＝(m ＋1)232m m x －－＋(m －1)x (m 是常数)．(1)m 为何值时，它是二次函数？(2)m 为何值时，它是一次函数？5．函数y ＝ax 2＋bx ＋c (其中a ，b ，c 是常数)中，当a ，b ，c 满足什么条件时，(1)它是二次函数？(2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？本课小结1．通过实际问题情境，引入二次函数的概念，让学生在观察、归纳中加深对二次函数的理解与掌握．2．二次函数的概念：一般地，形如y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，且a ≠0)的函数叫做二次函数，其中x是自变量．一、二次函数的取值范围1．一般情况下，二次函数中自变量的取值范围为全体实数．如：二次函数y ＝3x 2＋1中自变量x 的取值范围就为全体实数．2．实际问题中的二次函数，其自变量的取值范围必须使实际问题有意义．如：底面是边长为x cm 的正方形，高为0.5 cm 的长方体的体积为y cm 3.求y 与x 之间的函数关系式．因为正方形的边长为正数，所以此题自变量x 的取值范围应为x ＞0.二、二次函数的误区警示 二次函数是初中数学中的一个十分重要的内容，也是各地中考命题的一个热点内容，不少同学在学习时由于概念不清、考虑不周，遇到相关问题有时感到茫然，从而致使错误百出．现将误区作出警示．【例题】 已知y ＝(m －4)232m m x －－＋2x －3是二次函数，求m 的值．错解：根据题意，有m 2－3m －2＝2，即m 2－3m －4＝0.解得m 1＝－1，m 2＝4.点击：根据二次函数的定义，要使y ＝(m －4)·232m m x －－＋2x －3是二次函数，m 不但应满足m 2－3m －2＝2，而且还应满足m －4≠0，二者缺一不可，上述解法因忽略了隐含条件m －4≠0，而导致错误．正解：根据题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m －2＝2，m －4≠0， 解得m ＝－1.警示：解这类题目要特别注意防止漏掉“二次项系数不等于0”这个隐含条件．。

课 题26.2(3)二次函数y=a （x+m ）2的图像 课 型新授课 教学目标能画出二次函数y=a （x+m ）2的图像 理解二次函数y=a （x+m ）2的性质 注意培养学生观察图象分析问题的能力． 注意渗透分类讨论思想，培养学生数学思维的周密性． 重 点理解二次函数y=a （x+m ）2的性质 难 点能画出二次函数y=a （x+m ）2的图像 教 学准 备学生活动形式 讲练结合 教学过程 设计意图课题引入：课前练习一1.说出下列函数图像的开口方向,对称轴及顶点坐标.课前练习二课前二可以根据解析式的形式(加向上,减向下)来解答问题知识呈现：新课探索一（1）执教： 年级： 9 学科： 数 施教时间：第 周 星期第 课时上海市横沙中学2016学年第一学期课堂教学设计方案下面来验证我们的猜想。

新课探索一（2）列表：新课探索一（3）新课探索一（4）填表：新课探索二一般地，二次函数y=a(x+m)2(其中a,m是常数，且a≠0)的图像是抛物线，它可以通过将抛物线y=ax2向左(m＞0时)或向右(m＜0时)平移|m|个单位得到.你能归纳出抛物线y=a(x+m)2的特征吗？抛物线y=a(x+m)2(其中a,m是常数，且a≠0)的对称轴是过点(-m,0)且平行(或重合)于y轴的直线，即直线x=-m；当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.课内练习一1.(1)将抛物线y=-3x2向___平移__个单位，可得抛物线y=-3(x+2)2，这条抛物线的开口方向向___，对称轴是________，顶点是______.(2)将抛物线y= x2向___平移___个单位，可得抛物线y= (x-3)2，这条抛物线的开口方向向___，对称轴是________，顶点是______.(3)将抛物线y=2x2向___平移__个单位，可得抛物线y=2x2-3，这条抛物线的开口方向向___，对称轴是________，顶点是______.课内练习二2.说出抛物线y=a(x-3)2(a 是常数，且a ≠0)的开口方向、对称轴和顶点坐标.解：当a ＞0时，抛物线y=a(x-3)2开口方向向上，对称轴是直线x=3，顶点是(3,0).当a ＜0时，抛物线y=a(x-3)2开口方向向下，对称轴是直线x=3，顶点是(3,0).课内练习三思考 (1)将抛物线y=21- (x+3)2向___平移___个单位，可得抛物线y=21-(x-5)2. 试一试 (2)将抛物线y= x 2向___平移___个单位，再向___平移___个单位，可得函数y=- (x-2)2+3的图像.课堂小结：二次函数y=a(x+m)2的图像1. 一般地，二次函数y=a(x+m)2(其中a,m 是常数，且a ≠0)的图像是抛物线，它可以通过将抛物线y=ax 2向左(m ＞0时)或向右(m ＜0时)平移|m|个单位得到.2.抛物线y=a(x+m)2的特征抛物线y=a(x+m)2(其中a,m 是常数，且a ≠0)的对称轴是过点(-m,0)且平行(或重合)于y 轴的直线，即直线x=-m ；顶点坐标是(-m,0).当a ＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a ＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.课外作业练习册 预习要求预习二次函数y=a （x+m ）2 +k 教学后记与反思 1、课堂时间消耗：教师活动 20 分钟；学生活动 20 分钟） 2、本课时实际教学效果自评（满分10分）： 分3、本课成功与不足及其改进措施：。

沪教版数学九年级上册26.2《二次函数的图象与性质》（第3课时）教学设计一. 教材分析《二次函数的图象与性质》（第3课时）是沪教版数学九年级上册第26.2节的内容。

这部分内容主要介绍了二次函数的图象与性质，包括二次函数的顶点、开口方向、对称轴等。

学生需要掌握这些性质，并能够运用它们解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本课时，已经掌握了二次函数的定义和基本形式，对二次函数的图象有一定的了解。

但是，对于二次函数的性质，学生可能还不太熟悉。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考等活动，深入理解二次函数的性质。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次函数的顶点、开口方向、对称轴等性质，能够运用这些性质解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考等活动，培养学生的观察能力、动手能力和思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。

四. 教学重难点1.重点：二次函数的顶点、开口方向、对称轴等性质。

2.难点：如何运用二次函数的性质解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活情境，引导学生理解二次函数的性质。

2.直观教学法：利用图形、模型等直观教具，帮助学生形象地理解二次函数的性质。

3.合作学习法：学生进行小组讨论和实践，培养学生的合作意识和团队精神。

六. 教学准备1.准备相关的图形、模型等直观教具。

2.准备一些实际问题，用于巩固和拓展学生的知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活情境，引出二次函数的性质。

例如，可以给出一个二次函数的图形，让学生观察并描述它的特点。

2.呈现（10分钟）通过直观教具，呈现二次函数的顶点、开口方向、对称轴等性质。

引导学生观察、思考，并解释这些性质的含义。

3.操练（10分钟）让学生进行一些实际操作，巩固对二次函数性质的理解。

可以给出一些实际问题，让学生运用二次函数的性质进行解答。

4.巩固（10分钟）通过一些练习题，巩固学生对二次函数性质的掌握。

课题：§26.1 二次函数的概念授课班级：初三（1）班教学目标1、理解二次函数的概念；能判断用解析式表示出来的两个变量之间的关系是不是二次函数；2、对简单的实际问题，能根据具体情景中两个变量之间的依赖关系列出二次函数的解析式，并确定函数的定义域；3、经历从实际问题引进二次函数概念的过程，体会用函数去描述、研究变量之间的变化规律的意义。

教学重点与难点引进二次函数的概念，并帮助学生理解概念，初步学会用二次函数描述实际问题中两个变量之间的依赖关系。

教学过程教、学互动复习1、什么叫函数？我们之前学过了哪些函数？（正比例函数、反比例函数、一次函数）2、它们的形式是怎样的?)0(≠=kkxy；)0(≠=kxky；)0(≠+=kbkxy3、一次函数)0(≠+=kbkxy的自变量是什么？常量是什么？为什么要有0≠k的条件？k值对函数性质有什么影响？引入函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数。

下面几个例子中两个变量之间存在怎样的关系呢？[问题1]用长为20米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过20米），围成一个矩形的花圃（如图），怎样围法才能使围成的花圃的面积最大？[试一试]设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为x米，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积y平方_D_C_B_A米。

1、试将计算结果填写在下表的空格中。

并思考：x的值是否可以任意取？有限定范围吗？我们发现，当AB的长（x）确定后，矩形的面积（y）也就随之确定，y是x的函数。

2、试写出这个函数的关系式，并确定自变量的取值范围．)220(xxy-=)100(<<x即，xxy2022+-=)100(<<x[问题2]设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。

如果存款额是100元，那么请问两年后的本息和y(元)与x之间的关系是什么? (不考虑利息税) y是x的函数。