课题：函数的周期性
考纲要求：
了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性
.
教材复习
1周期函数：对于函数
()y
f x ，如果存在非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何
值时，都有，那么就称函数()y f x 为周期函数，称T 为这个函数的一个周期.
2最小正周期：如果在周期函数
()f x 的所有周期中
的正数，那么这个最
小正数就叫作
()f x 的最小正周期.
基本知识方法
1.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个
x ，都存在非零常数T ，使得
()
()f x T f x 恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，
则kT （,0k Z k
）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫
()f x 的最小正周期.
2.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：
函数
y f x 满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,
①f x f x a ，则y f x 是以T a 为周期的周期函数；②f x a f x ，则x f 是以2T a 为周期的周期函数；
③
1
f x a
f x
，则x f 是以2T a 为周期的周期函数；
④
f x a
f x a ，则x f 是以2T
a 为周期的周期函数；
⑤1()()
1()
f x f x a f x ，则
x f 是以2T a 为周期的周期函数.
⑥1()()
1()f x f x a f x ，则
x f 是以4T a 为周期的周期函数.
⑦1()()1
()
f x f x a f x ，则
x f 是以4T
a 为周期的周期函数.
⑧函数
()y
f x 满足()
()f a x f a
x （0a ）
，若()f x 为奇函数，则其周期为4T
a ，若()f x 为偶函数，则其周期为
2T a .
⑨函数()y
f x x
R 的图象关于直线x
a 和x
b a
b 都对称，则函数
()f x 是
以
2b a 为周期的周期函数；⑩函数()y f x x R 的图象关于两点0,A a y 、0,B b y a b 都对称，则函数()f x 是以2b a 为周期的周期函数；⑾函数()y f x x R 的图象关于0,A a y 和直线x b a b 都对称，则函数()f x 是以4b a 为周期的周期函数；
3.判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的x 恒有()
()
f x
T f x ; 二是能找到适合这一等式的非零常数
T ，一般来说，周期函数的定义域均为无限集
.
4.解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，
还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值
.
问题1．(06山东)已知定义在
R 上的奇函数()f x 满足(2)
()f x
f x ，则(6)f 的
值为
.A 1
.B 0.C 1
.D 2
问题2．1
(00上海) 设()f x 的最小正周期2T 且()f x 为偶函数，
它在区间
0,1上的图象如右图所示的线段AB ,则在区间1,2上, ()
f x 2已知函数()f x 是周期为2的函数，当
1
1x
时，2
()
1f x x
，
当19
21x
时，()f x 的解析式是
3
x f 是定义在R 上的以2为周期的函数，对k
Z ，用k I 表示区间
21,21k
k ，已知当
0x
I 时，2
f x x ，求x f 在k I 上的解析式。问题3．
1（04福建）定义在R 上的函数x f 满足2x f x f ，当5,3x 时，
42
x
x
f ，则.A sin
cos
6
6
f f ；.
B sin1cos1f f ；
.
C 22cos sin
3
3
f
f .D cos 2si n 2
f f
2（05天津文）设()f x 是定义在R 上以6为周期的函数，
()f x 在(0,3)内单调递减，
且()y
f x 的图像关于直线
3x 对称，则下面正确的结论是.A (1.5)(3.5)(6.f f
f .B (3.5)(1.5)(6.5)f f f .C (6.5)(3.5)(1.
f f
f
.D (3.5)(6.5)
(1.5)
f f f 问题4．定义在
R 上的函数x f ，对任意R x
，有y f x f y x f y x
f 2，
且
00
f ，1求证：10
f ；2判断x f 的奇偶性；
3若存在非零常数c ,使02
c f
，①证明对任意
R x
都有x f c x
f 成立；
②函数
x f 是不是周期函数，为什么？
问题5．（01全国）设
()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线
1x
对称，对任
意的
12
1
,0,2
x x ，都有1
212()()()f x x f x f x .
1设(1)
2f ，求1
()2f 、1
()4
f ；2证明：()f x 是周期函数.
01
2y
21
B
A
x
